Não-lineariedades e controle em

uma treliça pseudoelástica

Marcel Vítor Santana dos Santos Orientadora: Aline Souza de Paula

PROJETO DE GRADUAÇÃO

Sumário

1– Motivação

2 – Contexto teórico

3 – Ferramentas de análise

4 – Implementação do controle

5 – Apresentação dos resultados

6 – Padrões e análise de sensibilidade

7 – Conclusão e perspectivas

Motivação e exemplos de aplicações

Materiais Inteligentes

(SMA)

Controle de caos

Sistemas dinâmicos

não-lineares

1 - Controle de operação 2 - Novos produtos 3 - Otimização estrutural

Treliça de Von Mises – modelo geral

Sistema mecânico com duas barras

Comportamento bi-estável

Não-linearidades geométricas

Liga de memória de forma

Não-linearidades constitutivas

Dinâmica de transição de fase

Forçamento externo

Massa concentrada no ponto de junção das barras

Deformação simétrica

Presença do fenômeno snap-through

CONTEXTO

SMA – Comportamento geral

Efeito memória de forma

Efeito memória de forma

SMA – Comportamento geral

Efeito pseudoelástico

Efeito mudança de temperatura

Diminuição da temperatura

• Martensita (A-B)

Aumento da temperatura

• Austenita (C-D)

Efeito pseudoelástico

• Somente austenita

• Estado livre de tensões

Efeito pseudoelástico

• Analisado neste trabalho

Modelagem matemática – movimento

Deformação (ε)

• Lei de Hooke

• E = EM + β3 (EA – EM)

Fração volumétrica

• β1 = M+ (não-maclada)

• β2 = M - (não-maclada)

• β3 = A

• β4 = 1−(β1+β2+β3)

Temperatura (T)

• Expansão térmica

• Ω = ΩM + β3 (ΩA – ΩM)

Modelagem matemática – movimento

Modelagem matemática – movimento

Modelagem matemática – evolução

Procedimento numérico

Linguagem

• Programa C++

Simulações

• 3000 períodos

• Discretizados (1200 partes)

Runge Kutta

• 4ª ordem

• ∆τ = π/1000ϖ

Modelo constitutivo

• Método de Projeção Ortogonal (Savi)

ANÁLISE

Sistemas dinâmicos não-lineares

Espaço de fase Hiperplano Seção de Poincaré

Vibração forçada – resposta dinâmica

Forçamento

• Amplitude constante

• γ = 0,01

Variação (frequência)

• Variação de regimes

• Diagrama de bifurcação

• 200 períodos de forçamento

Caso de estudo

• Frequência

• = 0,3347

Regime caótico

Dinâmica no espaço de fase

Dinâmica de transição de fases

CONTROLE

Órbitas periódicas instáveis

Seção de Poincaré

Varre-se todos os pontos

contidos na série temporal

Verifica-se quais os pares

que satisfazem à condição:

Tolerância determinada

OPIs encontradas

Período 1

Período 2

Período 4

Órbitas mostradas em detalhes

Método TDF (Time-Delay Feedback)

K é a matriz de ganho e xτ é a defasagem do método

Se a defasagem coincidir com a periodicidade da i-ésima OPI, a perturbação se anula para a solução do sistema que é correspondente a esta OPI.

x(t) variáveis de estado

Q(x,t) dinâmica do sistema

B(t) ação de controle

Modelagem – termo de controle

Modelagem – termo de controle

RESULTADOS

Resultados (τ = 1 e K = 0)

Resultados (τ = 1 e K = 0,5)

Resultados (τ = 1 e K = 1)

Resultados (τ = 1 e K = 1) – transiente

Resultados (τ = 2 e K = 0,7)

Resultados (τ = 4 e K = 0,5)

Efeito Transiente

Convergência

• O método TDF apresenta dificuldades para altas periodicidades (τ)

Avaliação de resultados

• Cuidado: caótico ou quase-periódico?

Avaliação de resultados

• Múltiplas perspectivas

Mapa de resultados

Ganho (K) 0 0,10 0,20 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,70 0,75 1,0

Defasagem (τ = 1) C P4 QP QP P2 QP QP QP QP QP P1 P1 P1

Defasagem (τ = 2) C C C C C C* C C C C P2 C* C*

Defasagem (τ = 4) C C C C C C* QP C C C* C* C* C*

Aplicação do método de controle pode ser considerada bem sucedida para todos os valores de ganho K

aplicados para uma defasagem τ = 1

A resposta de comportamento quase-periódico e periódico não

apresenta correlação com o aumento do valor de ganho

PADRÕES E ANÁLISE

DE SENSIBILIDADE

Padrões – regime caótico

Espaço de fase desorganizado

Visita os dois lados do sistema sem padrão bem definido

Presença de estados livre de tensões

Transições de fase com aspecto “borrado”

Sinais de controle sem padrão bem definido no espaço

Padrões – regime quase-periódico

Espaço de fase organizado

Visita aos dois lados do sistema com padrão bem definido

Nunca alcança um estado livre de tensões

Coexistência de laços de histerese

Sinal de controle com comportamento “ampulheta”

Padrões – regime periódico

Espaço de fase organizado

NO SNAP-THROUGH

Presença do estado livre de tensões

Laços de histerese claramente separados

Sinais de controle com padrão bem definido no espaço

Análise de sensibilidade – frequência

Análise de sensibilidade – amplitude

CONCLUSÃO

E PERSPECTIVAS

Conclusões

• O sistema de treliça composto por SMA em regime pseudoelástico apresenta comportamento bastante complexo 1

• O método TDF mostrou-se eficaz para controlar o sistema inicialmente caótico, especialmente para a utilização de valores de periodicidade baixos 2

• Após a aplicação do método de controle, foi possível identificar padrões muito fortes de comportamentos caóticos, quase-periódicos e periódicos 3

• O controle evitou o comportamento snap-through e reduziu significativamente os valores de tensão envolvidos 4

Perspectivas

• Alterações na aplicação do modelo de controle TDF, e abordagens com outros métodos devem ser consideradas 1

• Métodos de identificação de caos como o expoente de Lyapunov devem ser levados em consideração, apesar da dificuldade de implementação (cálculo do ganho) 2

• Investigações do comportamento da treliça em diferentes temperaturas podem revelar nuances interessantes e novos desafios para a abordagem de controle utilizada

3

Muito obrigado!