nakİt akiŞlarinin eŞİtlenmesİ · 2019-11-04 · nakİt akilarinin eİtlenmesİ nakit...

Ondokuz Mayıs Üniversitesi 28.10.2019

Endsütri Mühendisliği Bölümü 1

Prof. Dr.Birol ELEVLİ Mühendislik Ekonomisi

NAKİT AKIŞLARININ EŞİTLENMESİ

Nakit akışları farklı zaman dilimlerinde oluşmaktadır,

Farklı zaman dilimlerindeki parasal değerlerin paranın zaman

değeri kapsamında eşitlenmesi gerekir,

Bunun için önce Nakit akımları serilerini bilmek gerekir,

Başlıca 4 adet Nakit Akış (NA) serisi vardır.


1) Basit NAKİT AKIŞI

Bu akışta tek bir akış olup, bunun farklı zamandaki değerleri aranır

F

1 2 30

P

n-1

İki husus sözkonusudur;

1) P biliniyor F aranıyor veya

2) F biliniyor P aranıyor


2) Tekdüze NAKİT AKIŞLARI

En çok karşılaşılan durumdur.

n dönemin her dönemindeki akış eşittir.

Her dönemin nakit akışı eşittir ve A ile gösterilir,

F

n-11 2 30

P A A A A An-1 An

Dört durum sözkonusudur;

1) P biliniyor A aranıyor,

2) A biliniyor P aranıyor,

2) F biliniyor A aranıyor,

4) A biliniyor F aranıyor


3) Eğimli NAKİT AKIŞLARI

Nakit akışları tek düze değil, her dönem sistematik olarak değişir. İki çeşit eğimli nakış akışı vardır;

1.Aritmetik eğimli; değişim sabit bir miktar olup G ile gösterilir, örneğin 100 TL/dönem

2.Geometrik eğimli; değişim sabit bir oranda g(%) ile gösterilir, örneği -%5/dönem.

G=-1000TL/yıl

1 2 30

P

4 5 6

g=%8

7 8 9 10 11 12

G

F

A


4) Düzensiz NAKİT AKIŞLARI

Önceki üç nakış akışından en az ikisinin birden olabileceği nakit akışıdır. Dönemler arsında NA’ları farklılık arzeder.

1 2 30

PE=?

4 5 6

g=%8

G=-1000TL/yıl

7 8 9 10 11 12

G


Faiz Faktörleri Nakit akışlarını hesaplamak için faiz formülleri vardır,

Bu formüller arka arkaya yazıldığı zaman karışıklığa sebep olmaktadır.

Formüller yerine bazen Faiz Faktörü kullanımı kolaylık sağlamaktadır. Bu kolaylıklar;

1. Karmaşayı engellemekte,

2. Formül sonucu tablolardan kolayca elde edilmekte

Bu faktörlerin standart yazımı aşağıdadır:

(X/B,i,n)

X… hesaplanacak değerB… bilinen değeri… faiz oranın…dönem sayısı

F = P(1+i)n yerine F=P(F/P, %i, n) yazılır




Faiz Faktörleri

Faktör İsmi Aranan Bilinen Faktör Eşitlik

Tek ödeme şimdiki değer P F (P/F,i,n) P=F(P/F,i,n)

Tek ödeme gelecek değer F P (F/P,i,n) F=P(F/P,i,n)

Eşit seri şimdiki değer P A (P/A,i,n) P=A(P/A,i,n)

Eşit seri dönemlik ödeme A P (A/P,i,n) A=P(A/P,i,n)

Eşit seri gelecek değer F A (F/A,i,n) F=A(F/A,i,n)

Dönemlik ödeme, gelecek

değer

A F (A/F,i,n) A=F(A/F,i,n)


Gelecek Değeri (F) Hesaplama

Bugünkü P miktar paranın %i faiz oranında n yıl sonraki F

değerinin hesaplanması aşağıdaki bağıntı ile yapılır;

F = P(1+i)n veya F = P(F/P,i,n)

Burada ;

(1+i)n veya (F/P,i,n) ifadeleri

“Tek-ödeme gelecek değer” faktörü olarak tanımlanır.

Örnek 3.1: %28 faizle alınan 320000 TL kredinin 10 yıl sonraki geri

ödemesi ne olur?

F = P(1+i)n bağıntısını kullanarak

F = 320000 x (1+0,28)10

= 320000 x 179,09

F = 3.777.893 TL geri ödenecektir.


Bugünkü Değeri (P) Hesaplama

1(1 )

(1 )

n

nP F F i

i

(1+i)-n veya (P/F,i,n) ifadeleri

“Tek-ödeme şimdiki değer faktörü” olarak tanımlanır.

Gelecekteki ( n dönem sonraki) F miktar paranın %i faiz oranında bugünkü P değerinin ne olacağının hesabıdır.

Yani F biliniyor, Bugünkü P değerinin hesaplanması;

veya F = P(F/P,i,n)

Örnek 3.2: %28 faizle ve 10 yıl vadeli alınan kredi için 3777893 TL

geri ödenmiştir. Alınan kredi miktarı ne kadardır?

P= F(1+i)-n

bağıntısı kulanılarak

P = 3.777.893/(1+0,28)10

= 3.777.893 x 0,0056

P = 320.000 TL kredi alınmıştır.


ÖRNEK

3.3. Yıllık %10 faiz ile 1000 TL borç alınmıştır. 5 yıl sonunda bir defada kaç para geri ödenecektir?

Burada paranın gelecek değerini sorulmaktadır

F = P x ( 1+ i )n

= 1000 x ( 1 + 0.1)5

= 1610,5 TL


Faiz ve Vadenin Hesaplanması

Bilinen F ve P ile n değeri biliniyorsa bilinmeyen

(i)faiz’in bulunması;

log( / )

log(1 )

F Pn

i

1/

1

nF

iP

bağıntıları ile hesaplamalar yapılır.

F = P(1+i)n

F = P(1+i)n

Bilinen F,P ve i değerine karşın bilinmeyen vade(n)’nin

bulunması;


ÖRNEKLER

3.4. Bankaya yatırılan 1000

TL‘nin 5 yıl sonra 2000 TL

olabilmesi için faiz oranı ne

olmalıdır?

F=P(1+i)n

F/P = (1+i)n

i= (F/P)(1/n)-1 eşitliğini

kullanarak

i= (2000/1000)(1/5)-1

= 20,2 -1

= %14,87

3.5. Bankaya yatırılan 1000 TL

‘nin %10 faiz oranında 2000

TL olabilmesi için bankada ne

kadar süre kalmalıdır?

n= log(F/P)/log(1+i) eşitliğini

kullanarak

n= log(2000/1000)/log(1+0.10)

= log(2) /log(1.10)

= 0,3010/ 0.0413

= 7,3 Yıl




EŞİT (TEKDÜZE) SERİLERLE İLGİLİ

HESAPLAR


Eşit Seri Hesaplamaları

Burada iki varsayım vardır:

1. P değeri ilk A değerinden bir önceki dönem oluşur,

2. F değeri son A değeri ile aynı zamanda oluşur.

n

A:biliniyor

Ekonomide eşit seri (tekdüze) nakit akışlarına çok sık rastlanır.

A harfi ile gösterilen tekdüze nakit akımları dönemler arası

değişmez.

Bilinen A için P,F, ve G değerini veya tam tersini yapmak çok

yaygındır.P=?

0 1 2 3 n-3 n-2 n-1

F=?


Eşit Seri Gelecek Değer Hesabı

Yukarıdaki nakit akış diyagramında her bir A değeri bugünkü değer gibi kabul edilir, ve n. dönemdeki değeri hesaplanır.

Toplam F değeri aşağıdaki gibi hesaplanır

F = A1(1+i)n-1+A2(1+in-2+A3(1+i) n-3+…….+An-1(1+i)1+An(1+i)0

Bunu genelleştirirsek;

0 1 2 3 n-3 n-2 n-1

F=?A:biliniyor


Eşit Seri Gelecek Değer Hesabı

A’lar eşit olduğu için Yukarıdaki denklem ortak çarpanı (1+i) olan geometrik bir dizidir.

Bu nedenle F için aşağıdaki bağıntı yazılır:

veya F= A(F/A,i,n)


Eşit Seri Şimdiki Değer Hesabı

Şimdiki değer bağıntısı aşağıdaki gibi olur;

Eşit seri gelecek değer hesabı için aşağıdaki bağıntı mevcut.

Ayrıca F=P(1+i)n olduğunu biliyoruz.

Yukarıdaki denklemde F yerine P(1+i)n yazarsak

veya P= A(P/A,i,n)


Eşit Seri Hesabı

veya A= F(A/F,i,n)

F biliniyor ve A aranıyorsa aşağıdaki gibi yazılır.

P biliniyor ve A aranıyorsa aşağıdaki gibi yazılır.

veya A= P(A/P,i,n)




ÖRNEK 3.6

3.6. Yıllık %6 faiz ile tasarruf hesabına yatırılan para yıllık eşit

miktarlarla her defasında 2000 TL olarak 5 yıl boyunca geri

çekilmek istenmektedir. İlk para çekme , hesaba para yatırdıktan

1 yıl sonra çekileceğine göre hesaba yatırılması gereken para ne

kadardır?

1 2 3

P=?

4 5

A=2000 TL

= 8424,8 TL

(1 ) 1; 0

(1 )

n

n

iP A i

i i


2

ÖRNEK 3.7

3.7. Bir önceki örnekte ilk para çekme , hesaba para yatırdıktan 3 yıl sonra çekilmeye başlansa hesaba yatırılması gereken para ne kadar olmalıdır?

Yıllık birikimleri t=2’de tek seferde çekecek gibi düşünürsek

1 3

P=?

4 5

A=2000 TL

6 7

P1=8424.8Tl

P1 değerinin bugünkü değerini de bulmamız gerekir

P1=8424.8 TL


ÖRNEK 3.8.

3.8. Bir tasarruf hesabında, 30 yıl süreyle yıllık 1000 TL yatırılırsa, %8 bileşik faiz koşullarında son para yatırıldıktan hemen sonra ne kadar para birikmiş olur?

(1 ) 1niF A

i

Eşitliğinde değerleri yerine koyarsak

= 1000(113,238)

= 113283 TL birikecektir.

𝐹 = 1000(1 + 0,08)30−1

0,08𝜋𝑟2


ÖRNEK 3.9.

3.9. Bir tasarruf hesabında 15 yıl sonra 150000 TL olması

isteniyorsa, yıllık %10 faiz koşullarında her yıl ne kadar para

yatırılmalıdır?

Eşitliğinde değerleri yerine koyarsak(1 ) 1n

iA F

i

= 150000 (0,03147)

= 4720,5 TL /YIL para yatırılmalıdır

Bu soruda paranın gelecek zaman değeri (F) biliniyor, her dönem

yatırılması gereken para miktarı (A) soruluyor. Buna göre ;

𝐴 = 1500000,1

(1 + 0,1)15−1


Eğimli Nakit Akışları P,F ve A Değerleri Bulma

Harcama veya gelirlerin belirli bir eğimle azalıp çoğaldığı nakit

akışlarıdır.

Azalan veya artan miktar eğim olarak tanımlanmaktadır.

Tekdüze veya doğrusal eğimli seriler,

Geometrik eğimli seriler

Nakit akışlarındaki bu değişim miktarı derece veya eğim olarak

adlandırılarak G harfi ile gösterilir.

G yıllık kazanç veya harcama miktarındaki değişimi gösterir.


Aritmetik Eğimli Nakit Akışları grafiksel gösterim

1 2 30 n

A1

A1+G

A1+2G

A1+(n-1)G

Artan eğim

1 2 30 n

A1 A1-GA1-2G

A1-(n-1)G

Azalan eğim

Taban ödeme




Eğimli Nakit Akışları;

Tekdüze eğim, şimdiki değer formülü

(1 ) 1nG iF n

i i

Tekdüze eğim gelecek zaman değeri

( / , , )F G F G i n

( / , , )P G P G i n


Eğimli Nakit Akışları;

1

(1 ) 1n

nA G

i i

Tekdüze eğimi yıllık eşdeğere dönüştürme

( / , , )( / , , ) ( / , , )A G P G i n A P i n G A G i n


1

Örnek 3.10

3.10. Yıllık %10 faizin ödendiği tasarruf hesabında her yıl birer adet hisse senedi biriktirilecektir. İlk değeri 300TL olan senet her yıl 100 TL’lik artış göstermektedir. Yapılan beş tasarruf sonunda hesapta ne kadar para birikmiş olur?

1 2 30 4

300400

500

5 1 2 3 4 5

A1=300

2 3 4 5

100200

300

400

Buradaki öncelikle bu seriyi iki ayrı seri haline getirmeliyiz.

G=100

1

(1 ) 1n

nA G

i i

Daha sonra eğimli seri eşit ödemeler serisine dönüştürülür.


Örnek 3.10 (dev.)

A1 ile A2 yi toplarsak A3 olarak yeni bir seri elde ederiz.

Yeni serinin gelecek değeri ise aşağıdaki bağıntı kullanılarak bulunur:

F= 481 x 6.105 = 2936,5 TL

1 2 3 4 5

A3= A1+A2=300+181= 481

(1 ) 1niF A

i


Örnek 3.11.

3.11. Yıllık %10 bileşik faiz ödemesi yapan bir fonda 5 yıllık tasarruf yapılmıştır. İlk tasarruf miktarı 800TL olup, diğer tasarruflar her yıl 100 TL azalmıştır. Yapılan beş tasarruf sonunda hesapta ne kadar para birikmiş olur? Biriken paranın bugünkü değeri nedir?

1 2 30 4

800700

600

5

500400

1 2 3 4 5

A1=800

100

1 2 3 4 5

200300

400

G=-100

Buradaki öncelikle bu seriyi iki ayrı seri haline

getirmeliyiz.

Daha sonra eğimli seri eşit ödemeler serisine dönüştürülür.

1

(1 ) 1n

nA G

i i


Örnek 3.11 (dev.)

A1 ile A2 yi toplarsak A3 olarak yeni bir seri elde ederiz.

Yeni serinin gelecek değeri ise aşağıdaki gibi bulunur:

F= 619x 6,105 = 3779 TL

1 2 3 4 5

A3= A1+A2=800-181= 619

(1 ) 1niF A

i




Örnek 3.12.

3.12. Aşağıdaki akış şeması için %10 bileşik faiz oranı için eşdeğer yıllık seriyi ve şimdiki değeri hesaplayınız.

0 1 2 3 4 5 6 7

100

110120

130

A1=60

0 1 2 3 4

Buradaki öncelikle bu seriyi üç

ayrı seri haline getirmeliyiz.

0 1 2 3 4 5 6 7

A1=60

0 1 2 3 4 5 6 7

A2=40

30

0 1 2 3 4 5 6 7

1020

G=10

0

Daha sonra G’nin yıllık eşdeğeri olarak A3’ü bulmalıyız:

1

(1 ) 1n

nA G

i i


P1

Örnek 3.12. (dev)

Daha sonra A4=A2+A3 hesaplanarak yeni seri belirlenir.

Bunun için önce A4 değeri P1 olarak 3.döneme getirilir

Sonra 4,5,6 ve 7. yılda olan nakit akışlarının 0-7 aralığındaki eşdeğeri

hesaplanır.

0 1 2 3 4 5 6 7

A1=60

0 1 2 3 4 5 6 7

A2=40

A4=40+13.81

A4= 53.81 TL

0 1 2 3 4 5 6 7

A4= 53.81

Sonra P1 değeri P0 olarak bugüne indirgenir.

P0


Örnek 3.12. (dev)

Bugünkü değerin yıllık ödemelerini hesaplarsak,

Bu değere 60 TL yıllık ödemeyi eklersek, yıllık eşdeğer seri

= 60+26.27=86.27TL

olur. Buradan da toplam bugünkü değer

olarak hesaplanır


Geometrik Eğimli Nakit Akışları;

Nakit artış veya azalışı bir dönemden sonrakine sabit bir % ile değiştiği durumdur. Uygulamada enflasyon veya deflasyonun etkilediği nakit akışıdır.

g, ödemelerin yıllık değişim oranıdır

1 2 30 n

A1

A1(1+g)1

Taban ödemeA1(1+g)2

A1(1+g)n-1


Geometrik Eğimli Nakit Akışları;

Geometrik eğim, şimdiki (P) değer hesabı

1

1

1 (1 ) (1 ) );

( )

;1

n ng iA i g

i gP

nA i g

i

Geometrik eğim gelecek zaman (F) değeri hesabı

1

1

1

(1 ) (1 ) );

( )

(1 ) ;

n n

n

i gA i g

i gF

A n i i g

1

1

[1 ( / , , )( / , , );

( )

( / , ,1);

A P F i n F P g ni g

i gP

A n P F i i g

1 1( / , , , )P A P A g i n

1 1( / , , , )F A F A g i n


Örnek 3.13.

3.13. Bir işletmede bugün 1000 TL olan giderler, gelecek 5 yıl boyunca enflasyon nedeniyle her yıl %10 artacağı, ve bu sürede faiz oranının %8 olacağı beklenmektedir. Bu harcama serisinin bugünkü eşdeğeri ne olur?

1

1

1 (1 ) (1 ) )

( )

ng iP A

i g

Bu problemde, i=0,08, g=0,1, n=5, ve A1=1000 TL’dir.

Görüldüğü gibi g>i. Formülde değerleri yerine koyarsak;

5 51 (1 0.1) (1 0.08) )1000

(0.08 0.1)

4804TL




Örnek 3.14

3.14. Bir yatırıma yönelik ödemelerin 5 yıl boyunca her yıl %4 oranında artacağı tahmin edilmektedir. İlk ödeme 1000 TL ve faiz oranı %10 olursa, bu serinin bugünkü eşdeğeri ne olur?

1

1

1 (1 ) (1 ) )

( )

ng iP A

i g

Bu problemde, i=0,1 , g=0,04, n=5, ve A1=1000 TL’dir.

Görüldüğü gibi g < i. Formülde değerleri yerine koyarsak;

5 51 (1 0.04) (1 0.1) )1000

(0.1 0.04)

4076TL


Örnek 3.15.

3.15. Yıllık %6 bileşik faiz ödemesi yapılan bir tasarruf

hesabında, her yıl tasarruf edilen hisse senetlerinin her biri

yıllık kazanç sağlamaktadır. Senetlerin değer artışı her yıl %5,

ilk tasarruf ise 500 TL’dir. 10.tasarruftan hemen sonra fonda ne

kadar para birikmiştir?

1 1( / , , , )

500( / 500,%5,%6,10)

F A F A g i n

F

Bu problemde, i=0,6, g=0,05, n=10, ve A1=500 TL’dir.

Formülde değerleri yerine koyarsak;

8095.00TL

500 16.190x


ÖDEV SORULARI

Ö2_1. 20000 TL’ye satın alınan bir makinenin, 12 yıl sonunda 3000 TL hurda

bedelle elden çıkarılabilecektir. Makinenin çalıştırma giderleri ilk 3 yıl

boyunca 2000 TL/yıl, sonraki 5 yıl boyunca %6 daha fazla, kalan yıllarda ise

4000 TL/yıl olacağı beklenmektedir. Makineden beklene gelir ise ilk iki yıl

5000 TL/yıl, sonraki 5 yıl bir önceki yıla göre 2000 TL daha fazla, ve sonraki

yıllarda ise her yıl 1000 TL daha düşük olacağı tahmin edilmiştir. Yıllık faiz

%10 ise;

Problemin akış şemasını çiziniz,

Nakit akışı eşdeğer şimdiki ve gelecek değeri bulunuz,

Nakit akışı eşdeğer yıllık değeri bulunuz,

Yatırım kararını irdeleyiniz

Ö2_2. İki yıl sonra bir ev almayı planlıyorsunuz. O zamanki evin

değerinin ( 250000 TL) %20 sini peşin ödemek için aylık bankaya

para yatırmaya başlıyorsunuz. Banka sizin birikiminize aylık %5

faiz ödüyor. İki yıl sonra peşinatı ödeyebilmek için her ay bankaya

kaç para yatırmalısınız?


ÖDEV 2_ SORULAR

Ö2_3. Yirmisekiz (28) yıl sonra emekli olmayı planlıyorsunuz. Bunun

için her üç ayda bir bankaya para yatıracaksınız. Emekli olduktan bir

yıl sonrada 15 yıl boyunca her yıl 65000 Tl alacaksınız. Eğer

yatırdığınız paranın 3 aylık bileşik faizi %4 ise, üç ayda bir bankaya

kaç para yatırmanız gerekiyor?

Ödev 2 Teslim tarihi : 12 Kasım 2019; Saat 13:15


Çalışma Soruları

Sayfa 184 ….problem 4.8 ve 4.9

Sayfa 186….problem 4.12

Sayfa 189…problem 4.17 ve 4.18

Sayfa 206…problem 4.21 ve 4.26

Sayfa 207…problem 4.30

Sayfa 208…problem 4.34

nakİt akiŞlarinin eŞİtlenmesİ · 2019-11-04 · nakİt akilarinin eİtlenmesİ nakit...

Documents