náhodný jav náhodná veličina
DESCRIPTION
Náhodný jav Náhodná veličina. Vlastnosti PopiS Zákon rozdelenia. Náhodný jav. Náhodný jav charakterizuje výsledok náhodného pokusu: kvalitatívne – slovne kvantitatívne – číselne Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu. Náhodná veličina. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/1.jpg)
VLASTNOSTIPOPIS
ZÁKON ROZDELENIA
NÁHODNÝ JAVNÁHODNÁ VELIČINA
![Page 2: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/2.jpg)
NÁHODNÝ JAV
• Náhodný jav charakterizuje výsledok náhodného pokusu:• kvalitatívne – slovne• kvantitatívne – číselne
• Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu
![Page 3: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/3.jpg)
NÁHODNÁ VELIČINA
• Je určená výsledkom náhodného pokusu• Charakteristickým znakom je jej
premenlivosť pri opakovaní pokusu• Môže nadobúdať rôzne hodnoty alebo
hodnoty z rôznych intervalov
Diskrétna náhodná veličinaSpojitá náhodná veličina
![Page 4: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/4.jpg)
DISKRÉTNA NÁHODNÁ VELIČINA
Môže nadobúdať konkrétnu hodnotu z otvoreného alebo uzatvoreného intervalu.Sú to izolované, väčšinou celočíselné hodnoty
Príklady:Počet narodených chlapcov zo 100 narodených detí je NV, ktorá nadobúda akúkoľvek náhodnú hodnotu od 0 po 100Počet chybných výrobkov v sklade (obmedzený počet, závisí od kapacity skladu)Počet zákazníkov, ktorý prídu do obchodu za jeden deň (je to vždy obmedzený počet)Odmeraný smer na stanoviskuAdičná konštanta
![Page 5: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/5.jpg)
SPOJITÁ NÁHODNÁ VELIČINA
Hodnoty z konečného alebo nekonečného intervalu, ktorých počet je nekonečný
Príklady:Ak meriame dĺžku s presnosťou ±5 mm, potom chyba, ktorej sa pri meraní dopustíme je spojitá NV a môže nadobúdať akékoľvek hodnoty z intervalu ±5 mmDoba čakania na autobus na zastávke je spojitá NV, lebo môže nadobudnúť akékoľvek nezáporné hodnoty Časový interval medzi prichádzajúcimi vlakmi v metreDĺžka náhodne vybranej tetivy v kružnici (body A, B)
![Page 6: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/6.jpg)
ZÁKON ROZDELENIA NV
• Je pravidlo, podľa ktorého sa priraďuje náhodnej veličine pravdepodobnosť P(x)
• Označenie náhodnej veličiny: X• Číselné hodnoty, ktoré nadobúda náhodná
veličina: xi (x)
![Page 7: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/7.jpg)
POPIS ZÁKONA ROZDELENIA PRAVDEPODOBNOSTI NV
• Matematickým vzorcom • distribučná funkcia F(x) – u spojitej aj diskrétnej
NV
• Grafom• na osi x sú hodnoty náhodnej veličiny xi a na osi
y sú jej príslušné pravdepodobnosti P(xi)
• Pravdepodobnostnou tabuľkou• u diskrétnej náhodnej veličiny
![Page 8: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/8.jpg)
DISTRIBUČNÁ FUNKCIA
• Slúži k popisu diskrétnej aj spojitej NV• Každému reálnemu číslu priraďuje
pravdepodobnosť, že náhodná veličina X nadobudne hodnotu menšiu než toto číslo
• Príklad distribučnej funkcie normálneho rozdelenia:
) ( )( xXPxF
dxexFx x
2
2
22
,N 2
1 )(
![Page 9: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/9.jpg)
VLASTNOSTI DISTRIBUČNEJ FUNKCIE
• Distribučná funkcia nadobúda hodnoty od 0 do 1 vrátane
• Distribučná funkcia je neklesajúca
• Distribučná funkcia je spojitá zľava
• Každá distribučná funkcia spĺňa podmienky
)()0( xXPxF )()0( xFxF
1)(0 xF
0 )(F 1)(F
)()(x 2121 xFFxx
![Page 10: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/10.jpg)
GRAF DISTRIBUČNEJ FUNKCIE
Zodpovedá v popisnej štatistike grafu kumulatívnych relatívnych početností
![Page 11: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/11.jpg)
• Popisuje len diskrétnu náhodnú premennú• Je najjednoduchšou formou zákona rozdelenia
• Ku všetkým možným hodnotám diskrétnej veličiny priraďuje zodpovedajúce pravdepodobnosti
PRAVDEPODOBNOSTNÁ TABUĽKA
xi x1 x2 ,,, xn Suma
P(i) p(1) p(2) ,,, p(n) 1
![Page 12: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/12.jpg)
VLASTNOSTI PRAVDEPODOBNOSTI DISKRÉTNEJ NV
Súčet pravdepodobností je rovný 1
Pravdepodobnosť je určená vzťahom
Pravdepodobnosť diskrétnej náhodnej veličiny v intervale je daná vzťahom
1)( xp
xx
i
i
xpxFxXP )()()(
)()()( 1221 xFxFxxxP
![Page 13: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/13.jpg)
SPOJITÁ NÁHODNÁ VELIČINA
• Distribučná funkcia spojitej náhodnej veličiny
kde(x) je hustota pravdepodobnosti NV.
dxxxFx
)(
![Page 14: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/14.jpg)
HUSTOTA PRAVDEPODOBNOSTI
• zobrazuje sa frekvenčnou krivkou• popisuje rozdelenie spojitej NV• má podobné vlastnosti ako
pravdepodobnosť pri diskrétnej veličine
x
xFxxF
dx
xdFxFx
x
)()(lim
)(0
![Page 15: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/15.jpg)
VLASTNOSTI HUSTOTY PRAVDEPODOBNOSTI
1. Je nezáporná
2. Spĺňa vzťah
3. Pravdepodobnosť, že NV nadobudne hodnoty z intervalu <x1,x2>
0x
1
dxx
dxxxxxPx
x
2
1
21
![Page 16: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/16.jpg)
DISTRIBUČNÁ FUNKCIA A HUSTOTA
PRAVDEPODOBNOSTI
![Page 17: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/17.jpg)
CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČÍN
Číselné hodnoty, ktoré popisujú rozdelenie náhodných veličín
Popisujú hlavné vlastnosti náhodnej veličiny
• Charakteristiky polohy• Charakteristiky premenlivosti• Charakteristiky šikmosti • Charakteristiky špicatosti• Momentové charakteristiky
![Page 18: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/18.jpg)
CHARAKTERISTIKY POLOHY
• Stredná hodnota• Medián• Modus• Harmonický priemer• Geometrický priemer• Aritmetický priemer• Kvadratický priemer• ...
![Page 19: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/19.jpg)
STREDNÁ HODNOTA
Popisuje polohu náhodnej veličiny, teda stred celého rozdeleniaStredná hodnota diskrétnej náhodnej veličiny
Stredná hodnota spojitej náhodnej veličiny
ix
ii xpxxE )(.)(
dxxxxE )(.)(
![Page 20: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/20.jpg)
VLASTNOSTI STREDNEJ HODNOTY
• Súčin konštanty a náhodnej veličiny
• Súčet dvoch náhodných veličín x a y
• Súčin dvoch nezávislých náhodných veličín
)(.).( xEkxkE
)()()( yExEyxE
)().().( yExEyxE
![Page 21: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/21.jpg)
MEDIÁN
5,0)()( medmed xxPxxP
Medián je hodnota, ktorá delí súbor náhodnej veličiny na dve rovnako pravdepodobné polovice
![Page 22: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/22.jpg)
MODUS
Modus u diskrétnej náhodnej veličiny je hodnota s najväčšou početnosťou
![Page 23: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/23.jpg)
ARITMETICKÝ PRIEMER
• je to zvláštny prípad strednej hodnoty
• Všeobecný aritmetický priemer (vážený aritmetický priemer)
n
xxxx
nx i
nAP 21
1
i
iinn
iVAP p
xpxpxpxp
px 2211
1
![Page 24: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/24.jpg)
• je to zvláštny prípad strednej hodnoty recipročných hodnôt
• Príklad: priemerná rýchlosť
HARMONICKÝ PRIEMER
nHP xxxnx11111
21
![Page 25: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/25.jpg)
GEOMETRICKÝ PRIEMER
• Príklad: finančný prírastok
nnGP xxxx .. 21
![Page 26: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/26.jpg)
KVADRATICKÝ PRIEMER
• Príklad: priemerná hodnoty výroby elektrickej energie
nxxx
x nQ
222
21
![Page 27: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/27.jpg)
MOMENTOVÉ CHARAKTERISTIKY
• Počiatočný moment k-teho rádu
• Centrálny moment k- teho rádu
kk xE
kkk xExExE 1
![Page 28: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/28.jpg)
MOMENTY DISKRÉTNEJ NÁHODNEJ VELIČINY
x
kk xPxEx )(
)(xPxkk
![Page 29: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/29.jpg)
MOMENTY SPOJITEJ NÁHODNEJ VELIČINY
dxxxkk )(
dxxxEx kk )()(
![Page 30: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/30.jpg)
CHARAKTERISTIKY PREMELIVOSTI
• Variancia• Smerodajná odchýlka (stredná kvadratická
odchýlka)• Priemerná odchýlka• Pravdepodobná odchýlka
![Page 31: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/31.jpg)
VARIANCIA (ROZPTYL, DISPERZIA)
je mierou variability náhodnej premennej
je definovaná ako druhý centrálny moment
222 )()()()( xExExExExV
n
iii xPxExxV
1
2 )(.)()(
dxxxExxV i )()()( 2
![Page 32: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/32.jpg)
VLASTNOSTI VARIANCIE
• Variancia konštanty
• Variancia súčinu konštanty a náhodnej veličiny
• Variancia súčtu alebo rozdielu dvoch nezávislých NV
0)( kV
)().( 2 xVkxkV
)()()( yVxVyxV
![Page 33: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/33.jpg)
SMERODAJNÁ ODCHÝLKA
• Základná charakteristika premenlivosti
• Štandardná odchýlka
)(xV
![Page 34: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/34.jpg)
PRIEMERNÁ LINEÁRNA ODCHÝLKA
• Prvý absolútny centrálny moment
)(1 xExE
![Page 35: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/35.jpg)
PRAVDEPODOBNÁ ODCHÝLKA
• medián absolútnych odchýliek od strednej hodnoty
5,0)()( xExrPxExrP
![Page 36: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/36.jpg)
NORMOVANÁ NÁHODNÁ VELIČINA
• Normovaná (štandardizovaná) veličina
• Stredná hodnota normovanej veličiny
• Variancia normovanej veličiny
)(xEx
u
0)( uE
1)( uV
![Page 37: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/37.jpg)
CHARAKTERISTIKY ŠIKMOSTI
• Tretí normovaný moment • Koeficient šikmosti
• Symetrické rozdelenie:
33
3
3
3
)()(
xExEuA
0)(3 u
![Page 38: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/38.jpg)
CHARAKTERISTIKY ŠPICATOSTI
• Štvrtý normovaný moment
• Koeficient špicatosti
• Pre normálne rozdelenie je rovný 0• Pre E>0 je rozdelenie špicatejšie ako normálne • Pre E<0 je rozdelenie menej špicaté ako
normálne
44
4
4
4
)()(
xExEu
33)(44
4 uE
![Page 39: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/39.jpg)
DVOJROZMERNÁ NÁHODNÁ VELIČINA
yx,x
![Page 40: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/40.jpg)
• Charakteristika polohy veličiny x alebo y za podmienky, že druhá veličina nadobudla určitej hodnoty
• Diskrétna Spojitá
PODMIENENÁ STREDNÁ HODNOTA
x
jyxPxyxE )( dxyxxyxE
y
ixyPyxyE )( dyxyyxyE
![Page 41: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/41.jpg)
•Charakteristika polohy veličiny x alebo y za podmienky, že druhá veličina nadobudla určitej hodnoty•Diskrétna
•Spojitá
PODMIENENÁ VARIANCIA
x
jjj yxPyxExyxV )(2
dxyxyxExyxVx
jjj
)(2
![Page 42: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/42.jpg)
KOVARIANCIA
• Meria intenzitu vzťahu medzi obidvomi veličinami
• Stredná hodnota súčinu odchýliek obidvoch veličín od ich stredných hodnôt
)()(),( yEyxExEyxC
)()()( yExExyE
)()()()( yExExyEyxExyE
)()()()()()()( yExEyExEyExExyE
![Page 43: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/43.jpg)
VIACROZMERNÁ NÁHODNÁ VELIČINA
Tkxxx ,, 21x
![Page 44: Náhodný jav Náhodná veličina](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062314/56813655550346895d9ddda3/html5/thumbnails/44.jpg)
KOVARIANČNÁ MATICA
•Stredná hodnota vektora
•Variancie i2
•Kovariančná matica
TkxExExEE )(),(),()( 21 x
221
2222221
1122111
kkkkk
k
k
CCC
CCC
CCC
C