Dispersionstheorie. 429

111. Nachtray xur AbhandZuny I) : ,, Versuch einer Dispersionserkl&rwag etc.Cc;

voa l ? r a m # KoZaEek.

1. In obiger Abhandlung (1. c. p. 235) ist fiir die Grenzfliche zweier verechiedener Media eine Bedingungsgleichung hergelei- tet worden, der keine allgemeine Gultigkeit zukommt. Es lag die Aufgabe vor, g, 91, 5 so zu bestimmen, dass der Glei- chungensatz :

befriedigt werde. Irrthiirnlicher Weise wurden Ausdriicke wie :

als allgemein gultige Integrale angenommen, und daraus die Bedingung u cos nx+v cos ny+w cos iiz=o hergeleitet. Diese Grenzbedingung ist nicht allgemein gultig, weil sich fur 1, q, 5 Ausdrucke angeben lassen, welche die Gleichungen o hn e j e d e n V o r b e h a l t befriedigen. Versteht man unter Y u' die magnetischen Momente in der Volumeneinheit, fiihrt man vorderhand die beschrlnkende Annahme, dnss diese Momente den magnetischen Hrlften 01 ,LY y proportional seien , nicht ein, so ergibt das F a r a d a y -Maxwell'sche Inductiomprincip Gleichungen von der Form:

welche mit Riicksicht auf die Definitionsgleichungen 4 rn u = d y / d y - d,LY/dr etc. iibergehen in:

Diesen Gleichungen, sowie der Bedingung d%/ dx+d q /dy + d</dz = 0 genugen Ausdriicke, wie:

1) KolAGek, Wed. Ann. 32. p. 224. 1887.

wenn gesetzt wird:

An der Grenze hat eben nur die Bedingung (u-u‘) cosnr + (v - v‘) cos ny + (w - w’) cos nz = 0 zu gelten. Eandelt es sich dagegen um Schwingungen in einem sich selbst uber- lassenen Korper, welcher von einer Materie umgeben ist, in welcher weder Leitungsstrome, noch dielectrische Polarisa- tionsstrome zu Stande kommen konnen, so besteht die Grenz- bedingung u cos n x + v cos ny + w cos nz = 0, und mit ihr bleiben alle ferneren Entwickelungen des citirten Aufsatzes aufrecht, wenn man sie auf Schwingungen in einer s i c h s e l b s t u b e r l a s s e n e n Kugel bezieht. Weil von dieser feh- lerhaften Bedingung unabhangig, bleibt auch die spiiter ent- wickelte Dispersionstheorie unveriindert.

2. Halt man an dem Faraday-Maxwell’schen Princip fest, dass die in einer geschlossenen Linie inducirte Kraft durch den nach der Zeit genommenen Differentialquotienten der Zahl der Kraftlinien P gegeben ist, welche von dieser Linie umspannt werden, postulirt man ferner, dass die indu- cirte electromotorische Kraft durch ein Linienintegral Q darstellbar ist, zu dem alle Lingenelemente obiger Linie beitragen, selbst dam, wenn die Vectorpotentiale F G H auf dieser Linie discontinuirlich werden, so ergibt sich, falls die

Disco n tinuit at auf Flachen ein tri tt, dass die Tangentialcomponente der Vectorpotential econtinuirlich durch

m -e 1w die Discontinuitatsflache hindurch- a gehen muss. Es sei (siehe Figur) M M

die Trennungsfliche zweier Media I, 11, A B. C C‘ D A die geschlossene Linie, und das uber dieselbe genommene Integral = Q. Man postulire ferner P= Q. Zu beiden Seiten dieser Gleichung addire man:

D

Dann repriisentirt N+ Q zwei geschlossene Linienintegrale

Dispersionstlieorie. 43 1

mit iiberall continuirlichem F, G, H, und ist infolge dessen gleich zwei Flgchenintegralen A B C A + A‘ C‘ D A’. Die rechte Seite besteht aus einem ungeschlossenen Linieninte- gral N und zwei Flachenintegraleu. Nun ist zwischen den Punkten AC die Lage von A C auf der Fliiche vollkommen arbitrar, und ebenso sind es die durch beide Contouren A B CAI A‘ C’D A’ gelegten Integrationsflachen. Daraus folgen einerseits Gleichungen, wie :

__- - d H - a + 4.nX, ay aZ andererseits:

0 = (P- F’) cosnx+ (G - G’J cosny + (H- H’) cosnz. 3. Die Stromcontinuitatsbedingung an einer Grenzflache

wurde im citirten Aufsatze ztus der Praemisse hergeleitet, dass die magnetischen Krafte (in polarer Definition) mit ihren Tangentialcomponent en durch dieselbe continuirlich hindurch- gehen. Zur Erlauterung dieser Praemisse diene Folgendes: Es sei die Tangentialcomponente discontinuirlich ; dann hat das Arbeitsintegral der magnetischen Krafte A C C A (s. Figur) einen endlichen Werth, wenn, was wir voraussetzen wollen, die Normalcomponenten nicht unendlich werden; kann man doch die Strecken AA’, resp. CC‘ unendlich klein wahlen. Dann bewegt sich senkrecht durch AC in der Grenzflache ein f l a c h e n f o r m i g e r Strom von endlicher Starke, dessen Maass obiges von Null verschiedenes Arbeitsintegral ist. S o l c h e S t r o m e s i n d d e r j e t z i g e n E l e c t r o d y n a m i k fremd. Es ist aber auch in dem E’alle, als wir neben raum- lichen Stromen noch solchen Fllchenstromen eine Existenz zuschreiben wollten, das Continuitatsprincip nicht verletzt. Es ist namlich leicht zu erweisen, dass in diesem Falle der der Grenzfliche zufliessende r a u m l i c h e Strom gleich sein muss dem F l % c h e n s t r o m e und dem in das zweite Medium tretenden Raumstrome.

Die Definition der Stromstirke durch ein Arbeitsintegral hat gegeniiber den sonstigen electromagnetischen Definitionen den Vortheil, davon unabhangig zu sein, ob das Medium magnetisch polarisirbar ist oder nicht. Denn der Arbeits- werth solcher Eraf te , welche von polarisirten Moleciilen

432 R. Koki2eh.

herruhrte, ist offenbar Null, wenn die Arbeitslinie geschlos- sen ist.

4. I n der mehrfach erwilhnten Abhandlung wurde (1. c.p. 254) bemerkt, dass die daselbst unter Voraussetzung kugelfiirmiger Molecule hergeleiteten Dispersionsformeln an die Form des Moleculs nicht gebunden sind. Der Beweis sol1 hier nach- getragen werden. Es handle sich zuvorderat um die Eigen- schwingungen eines sich selbst uberlassenen Moleciils. Die zu erfiillenden Gleichungen sind:

Wir nehmen an, dass die Orossen E v 5 durch voneinan- der unabhiingige Lagrange ’ sche Coordinaten v1 vs.. v,,, ausgedriickt werden konnen. Hieraus folgt l) :

oder auch:

$ = U1cj1 + a,cp, + . . * b = bl& + bz& + - . - 5 = Cl(Ul + c& + ...

8E = a,ay, + a,sy, + * . . S v = b , a c p l + b , + p z + - . sg = C I 6 y J 1 + c z J q z + . * *

Es liisst sich dann 2 T = [ d t (iz + + tT dnrstellen in der Form:

2 T = bl1412 + 2 4 , &b2 + -.. d t ist ein Volumdifferential, und die Integration bezieht

sich auf das Molecul. Die drei ersten Gleichungen von (11) werden mit C36, 817, S< multiplicirt, addirt mit d t multipli- cirt und uber dns ganze Volumen integrirt. Man setze:

.._

1) Die Newton’sche Schreibweise a € / a t = i ist hier eingefiihrt.

Dispersionstheorie. 433

schreibe fur: S(dl3'<+dq b q + d j S g ) d t . . . . .8 @m Sym,

beriicksichtige die Unabhangigkeit der Grassen ago. So folgt die Gleichungenreihe m = 1, 2 . . . .

m = l

Periodische Bewegungen, die von der Amplitude unab- hangig sind, treten ein, wenn Qm eine lineare Function der Urossen 9, und T von sp unabhangig ist. Letzteres deutet darauf hin, dass E q 5 lineare Functionen der 'p sein miissen, sodass gilt:

wobei fmgm h, nur noch von x yz abhiingen kann. Sollen selbstandige Schwingungstypen vorkommen , so,

dass das Einleiten ciner Partialschwingung das Auftreten anderer n i c h t nach sich zieht, so muss bI2 = h13 = b,, . . . = 0 sein, wtihrend noch ist:

(111s) 6 = z q m f r n , 1 = x g m g m , 5 - x y m h m ?

(Dl = ~ 1 ~ 1 , @2 = gyp, - * - 7 @ m = U m y m .

Die G1. (111) geht dann uber in:

Setzt man (111,) in (11) ein, so gewinnt man zur Beur- theilung des geometrischen Charakters der allgemeinen Coor- dinaten die Gleichungen:

dm hangt weder von t, noch von xyz ab, und ist mit Rucksicht auf (IV) der Grosse ctm/bmm gleich. Bildet man mit Hulfe von (111,) den Ausdruck fur 2T, so folgt wegen b,, = 0 die wichtige Relation: (V) O = I d ' ( f m fn + 9n9n + bmlim), m 5 12.

Ann. d. Phys. u. Chem. N. F. XXXlI. 28

434 F. KoldEek.

An diese Gleichung kniipft sich folgender Satz. Sind X Y Z von xyz abhiingige, die Gleichungen d X l d x + d Y l d y + d Z / d t = 0 , X cos a x + Ycos ny+ Z cos nz I= 0 befriedigende Griissen, hangen ferner die Grossen vl y2 . . . q m von x y z n i c h t ab, so gilt die Reihenentwickelung:

wobei sich yl, ergibt Bus: X = X.frnvm, Y = Bgrnvm, Z = 2 ' h m l l m ,

prnJdr Cf," +g: + h i , = J d r ( X f r n + Yg, + Zhrn!.

1st X cos nz + Y cos ny -k Z cos nz = 0 an der Grenz- flache n i c h t erfiillt, so kann man sich statt X Y Z andere Grossen denken, die mit ersteren bis hart an die Oberflache zusammenfallen, in der Nahe derselben aber so beschaffen sind, dass die Grenzbedingung erfiillt wird. Dann gilt die Reihenentwickelung der Grossen X Y Z bis hart an die Ober- flache. Von diesem Satze mschen wir folgenden Gebrauch. Es sei grn vm cm der von den Stromschwankungeu im Moleciil herriihrende Antheil des 6 ~ 5 in einem Moleciilpunkte, X YZ jener, welcher von den Stromschwankungen im intramolecu- laren Aether und den Nachbarmoleciilen herriihrt. W ir setzen :

t m = X V r n f m , X = X ! ! f m f m etc., Prn svrngrn, Y = 2 zY,yrn, c m = Z'71'm l tm Z = 2 Wm h, 7

wo 4% blos von t abhangt, bedenken, dass 6 = Ern +- X etc. ist, und setzen in (11) ein. Nimmt man auf dfrn/fm = dm Riicksicht, so resultirt, weil noch d X = d Y = d Z Null sein muss, das Gleichungensystem:

m = 1,z. . . Der Werth des ~nq,,,)i)mrn an einer a u s s e r h a l b des Mo-

leciils gelegenen Stelle ist eine lineare Function von yl q2.. ., weil die Tangentialcomponente der E m q m c m an der Grenz- flache des Moleculs continuirlich ist. Dasselbe gilt von der Einwirkung mehrerer Molecule, falls sie in gleicher Weise schwingen. Der Einfluss der Nachbarmoleciile auf einen Punkt des in Betracht stehenden Moleciils lasst sich somit durch die Formeln darstellen:

Dispersionstheorie. 435

wobei: A,4JA = f d t . [ f m & + ya& + Am<:] oder: Amm ’%= 9 1 - S d t [ f m F 1 +gmG1+ h m q l

+ ~2 J dt [ f m F z + 9 m G s + hmHJ + . . . . . . . . . . . . . . und Amm = r d t (fm’ + g m + Am2).

Daraus folgt:

Die Griissen arm hiingen vom geometrischen Charakter der allgemeinen Coordinaten, nicht aber davon ab, ob die Gruppe der gleichschwingenden Moleciile durch den Aether erregt wird, oder nicht; auch bleibt ihr Werth ungegndert derselbe, ob wir die Moleciile jedes Leitungsvermogens be- rauben oder nicht. Thun wir das erstere, h = 00 setzend, denken wir uns ferner die gleichschwingenden Molectlle sich selbst iiberlassen, also vom umgebenden Aether nicht erregt,, so ist fur Fm zu setzen qtlalm + q2aarn + . . . . . = F&. Die G1. (VI) geht uber in:

Ammarrn- S d t [ f m F , + g m G r + hmHr].

K a s (VI.) 4flp1u.37(?,!lm+ W A ) = ~ m d m , m = 1 , 2 , 3 . . . .

Multipliciren wir rechts und links mit d (y,,, + YA) / a t und addiren alle Gleichungen, so steht links ein vollsandiges Differential nach der Zeit, rechts aber hat nur ein Addend diese Eigenschaft. Daraus folgt, dass auch:

28*

436 F. Kolh'Eek.

-y 7 Y'm

ein vollstandiges Zeitdifferential sein muss. Dies ist moglich, wenn ym = d G / d Wk ist, wo 51 eine quadratische Function von !?C,, also auch von y,,, ist. Hieraus folgt:

oder, weil diese Relation fur jedes y bestehen muss:

Die Grijssen 1 9 5 in einem Aetherpunkte bestehen aus zwei Theilen. Einer derselben, welcher von den Moleculen herriihrt, knnn sich im Aether nicht fortpflanzen, weil die Anwendung des La pl a c e'schen Operationssymbols auf den- selben Null gibt. Er selbst hangt von der Stelle des Punktes ab, ist aber offenbar eine lineare Function von yl, v2. . . . ym. Der Mittelwerth dieser Wirkungen, deducirt aus einem Vo- lumen, das gegen die Wellenlange klein ist, aber viele Mole- cule enthllt, ist deshalb ein Ausdruck der Form ZA&ylm wo die AA constante Zahlen sind fur dieses Volumen.

Fortpflanzen kann sich nur die von den Stromschwan- kungen im Aether herriihrende Wirkung. Sie wechselt zwar von Or t zu Ort, doch wird zur optischen Wirkung nur der in ahnlicher Weise gebildete Mittelwerth 6 17 5 gelangen. Pflanzt sich langs der %-Axe eine lineare polarisirte Welle mit in die x-Axe fallenden Schwingungen fort, ist die dieser Richtung entsprechende Dielectricitiitsconstante des intramole- cularen Aethers Ks, so gilt fur den Aether:

- - -

Die von den Stromschwankungen im Aether herriihrende Wirkung auf einen Moleciilpunkt enthiilt denselben Zeit- factor wie & entwickelt man daher dieselbe innerhalb des Moleculs in Reihen, so wird auch jede allgemeine Compo- nente dieser Wirkung denselben Zeitfactor wie 3 besitzen, und da in dem gegen die Wellenlange kleinen Volumen, aus

Dispersionstheorie. 437

dem der Mittelwerth S gebildet wurde, letzterer voin Orte nicht abhangt, so ist auch die allgemeine Componente der Aetherwirkung im MolecUl mit 5 selbst proportional. Fu r !Pm in (VI) hat man deshalb zu setzen:

und die Differentialgleichung fur das Moleciil lautet :

~a 1 + 4 n p [ 4 n a t + -- :I ah- 2 = O * m = 1,2,3..

Die Wirkung eines Moleciils nach aussen nimmt mit der Entfernung sehr rasch ab; so z. B. fdlt sie bei kugelformi- gen Moleculen mit der dritten Potenz der Entfernung vom Kugelcentrum, wie im ofters erwahnten Aufsatze nachgewie- sen ist. Deshalb wird man, falls sich nicht geradezu Mole- cul an Molecul lehnt, die Wirkung der Nachbarmolecule gegen die auf sich selbst gerichtete Wirkung eines derselben in erster Naherung vernachliissigen kannen, $2 entfallt, und die Gleichungen (VII) und (VIII) gehen uber in die Disper- sionsgleichungen der ersten Abhandlung uber diesen Gegen- stand. Dies tritt auch dann ein, wenn die quadratische Function L? sich auf eine Summe von Quadraten reducirt, also WA = i3$2latp,,, c- ammv’m gesetzt werden darf. Diese Annahme uber WA wurde als sehr plausibel ohne jede Be- grnndung in meinem ersten Aufsatze acceptirt. Sie ist aber eines Beweises fiihig. Der N euman n’sche magnetische In- ductionscoefficient ist fur die meisten Stoffe, Eisen und Nickel etwa ausgenommen, sehr klein, und infolge dessen die inducirende Wirkung der variablen Magnetismen zu vernach- lassigen; aber auch bei Eisen scheint dies, wenigstens fur sehr rasche Schwingungen, einzutreten , wie H e r t z nachge- wiesen hat. Man findet in der Triigheit des Magnetismus eine ausreichende Erklarung hierfur. 1st dies, so ist = - 2 f (duldt . l / r ) d t eine an den Grenzfiiichen continuirliche

E’unction, und dasselbe gilt vOn ihren Differentialquotienten.

438 F. Kol&ek.

Behufs Nachweises des Satzes Y& = d R / B q m = a,= vm, oder behufs Nachweises arm = 0, r z m betrachten wir die Grosse:

A m m a r m = , [ d t ( f , F m + 97 ern 3. h r B m ) . --- Fm G, H, sind Wirkungen der Nachbarmolecule auf einen Punkt eines derselben. Begreift man die Wirkung des letz- teren auf eben denselben Punkt ein, so ist die totale Wir- kung Fm = Fm + qm etc. F, ist dann als Wirkung der Mole- cule eine Grosse, die im intramolecularen Aether der Glei- chung AFm = 0, im Molectil aber der Bedingung dF, = d m . fm Geniige leistet. Wegen:

fur r s r n ist:

Wegen dfr = d ( E +fr) = d ~ , = drf, folgt:

0 = [dl(frfm + 9r.9m + / l r h n )

A m m a r m J dt( fr* En + 9 r G m + 11rfin)-

Ammdr.urm = [dt (d Er F m + d Gr G m + d Hr H m ) .

Um unser Moleciil legen wir eine Kugel, welche alle jene Moleciile (N an der Zahl) enthalt, welche auf dasselbe ein- wirken. Wird die Dimension der Kugel gegen die Liinge einer Welle sehr klein vorausgesetzt, so werden alle Mole- cule sich in gleichen Umstanden befinden. Dies gibt:

A,mNdrar*=Sdz(dFr.Fm+ dG,.Gm+ d H r . H m ) ,

wobei die Integration iiber alle Molecularvolumina auszudeh- nen ist. Die Integration kbnnen wir aber ohne aeiteres auch auf den intramolecularen Aether ausdehnen, weil da- selbst AE, = 0 ist, ja wir konnen sie ausdehnen bis an die Grenzflache einer Kugel mit unendlich grossem Radius, der Raum zwischen beiden Kugelflachen von Moleciilen frei ge- dacht. Dann reducirt sich aber das Integral auf:

weil das Integral iiber die Oberflllche der Kugel R=m von der Ordnung 1/R ist. Wegen Stetigkeit von F, d F / d x etc. sind nlmlich die Moleculoberflachen bei der Integration nicht zu berucksichtigen. So folgt:

Dispersionstheorie. 439

Am, N . d,. arm = - J und durch Indicesvertauschung:

und daraus:

Nun ist wegen !PA = (dQ/dq,,,) etc. arm = a,,,, und damit fur r z m vermoge der letzten Gleichung arm = 0.

Damit ergeben sich ohne jeden Vorbehalt die Differen- tialgleichungen der ersten Abhandlung. Ein Unterschied resultirt aus der hier eingefiihrten Annahme, das die Dielec- tricitiitsconstante des intramolecularen Aethers nicht 1, son- dern Ks ist, insofern als fur unendlich lange Wellen das Quadrat des Brechungsindex nicht e i n s, sondern der Dielec- tricitatsconstante des i n t r a m o l e c u l a r en Aethers gleich wird. Letztere ist offenbar mit jener des brechenden Mediums nicht identisch.

A,,.N.d,,,.a,,,,= - J

A m m d r arm -- A w d m UmT = 0.

A u s t e r l i t z bei Briinn, 31. August 1887.

IV. Notix xur anornalen D4spers4on gliihender Metalldampfe; von A. W i n k e l m a r m .

I m Jahre 1880 hat Hr. E u n d t l ) die anomale Disper- sion des gluhenden Natriumdampfes nachgewiesen. Er be- nutzte dazu die Methode der gekreuzten Spectra, indem ein Glasprisma mit v e r t i c a l e r brechender Kante und eine durch Natrium gefhrbte Bunsen’sche Flamme, deren intensiv leuch- tender Kegel wie ein Prisma mit oben liegender ho r i zon- t a l e r brechender Kante wirkte, in den Gang der Licht- strahlen gebracht wurde. Die Bemuhungen K u n d t’s, die ke,gelformige Flamme durch seitlich angebrachte Platten von Glas oder Glimmer in eine prismatische zu verwandeln, fuhr. ten zu keinem Ziele. - Es schien mir nicht aussichtslos, statt des B u n s en’schen Brenners eine oder mehrere Geblaselam-

1) K u n d t , Wied. Ann. 10. p. 321. 1880.