COGNOME N ON SCRIVERE QUI

NOME

MATRICOLA c UNIVERSITÀ DI TRENTO - FACOLTÀ DI SCIENZE COGNITIVE

CDL IN SCIE ZE E TECNICHE: DI PSICOLOGIA COGNITIVA

CDL IN INTERFACCE E TECNOLOGIE DELLA COMUNICAZIONE

TERZA PROVA INTERMEDIA DI ANALISI MATEMATICA (CON ELEMENTI DI ALGEBRA)

A.A. 2009-2010 - ROVERETO, 8 GENNAIO 2010

Riempite immediatamente questo foglio scrivendo in stampatello cognome, nome e numero di matrìcola. Scrivete cognome e nome (in stampatello) su ogni foglio a quadretti. Il tempo massimo per svolgere la prova è eli DUE ORE. È obbligatorio consegnare sia il testo, sia tutti i fogli ricevuti; al momento della consegna, inserite tutti gli altri fogli, compreso quello con il testo, dentro uno dei fogli a quadretti. Potete usare solo il vostro materiale di scrittura e il vostro materiale di studio. Non usate il colore rosso.

1) Risolvete in lR le seguenti disequazioni:

(~t2-1 .3x 1 3-lxl < 9";

5

2) i) Calcolate 2: log! 2k ;

k=l

ii) Scrivete, usando il simbolo di sorwnatoria, la seguente espressione:

222 Z22 4~l- 222 22 2 43 21.1 l' z

e-xdx+ e-xdx+ r e-xdx+ e-xdx+ ... + [ e-xdx+ r e-xdx.1 J3 J21 J221 2 4

1-2 x2 - 1 iii) Calcolate ( + e- 2J

') dx. -4 X

iv) Determinate la funzion primitiva G(x) di f(x) = {IX tale che G(l) = 1.

3) Sia I : [-3,3] - lR la funzione rappresentata in figura. Sia F: [-3,3] - lR la funzione

integrale di I definita da F(x) = l: I(t) dt.

i) Determinate il segno di F. ii) Determinate gli intervalli di monotonia della F. Determinate gli eventuali massimi e minimi locali (e i rispettivi punti di massimo e di minimo locali) di F. iii) Determinate gli intervalli di convessità/concavità della F. Tracciate un grafico quali­tativo di F.

3 J

x

4) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano una funzione f: [-2,4] - lR continua e derivabile che soddisfa le proprietà seguenti:

i) l: I(x)dx > o;

ii) 1'(x) = °per ogni x E [-2,0], 1'(x) <°in ]0,3[, 1'(3) = O;

iii) I(x) <° in ]3,4].

5) i) Studiate (insieme di definizione, segno, comportamento agli estremi dell'insieme di definizione, continuità, derivabilità, punti critici e monotonia, convessità/concavità) la fun­zione definita da

l f(x) = 2x2 _ x3

e rappresentatela graficamente nel piano cartesiano. 1

ii) Determinate l'equazione della retta tangente r al grafico di f nel punto (3, -9) . Rappresentatela graficamente nello stesso sistema di riferimento della I. ... x+ 2 l m) Provate che I(x) = 4x2 + 4(2 _ x) .

iv) Determinate l'area della regione piana delimitata dal grafico di f, dalla retta tangente r e dalla retta x = 5 .

6) Dite in quanti modi potete disporre in fila 6 palline rosse, 7 palline blu e 3 palline gialle se nei primi due posti dovete mettere 2 palline rosse e nell'ultimo posto una pallina blu.

COGNOME N ON SCRIVERE QUI

NOME

MATRICOLA LI-L--L.--.L.-.l..-..L-....J D UNIVERSITÀ DI TRENTO - FACOLTÀ DI SCIENZE COGNITIVE

CDL IN SCIENZE E TECNICHE DI PSICOLOGIA COGNITIVA

CDL IN INTERFACCE E TECNOLOGIE DELLA COMUNICAZIONE

TERZA PROVA INTERMEDIA DI ANALISI MATEMATICA (CON ELEMENTI DI ALGEBRA)

A.A. 2009-2010 - ROVERETO, 8 GENNAIO 2010

Riempite immediatamente questo foglio scrivendo in stampatello cognome, nome e nwnero di matricola.. Scrivete cognome e nome (in stampatello) su ogni foglio a quadretti. TI tempo Ill8BSimo per svolgere la. prova è di DUE ORE. È obbligatorio consegnare sia il testo, sia tutti i fogli ricevuti; al momento della consegna, inserite tutti gli altri fogli, compreso quello con il testo, dentro uno dei fogli a quadretti. Potete usare solo il vostro materiale di .scrittura e il vostro materiale di studio. Non usate il colore rosso.

1) Risolvete in IR le seguenti disequazioni:

1(!t2

- ·2x 1 --'-=-'----,-,...--- < - .

2-lx l - 4 '

6

2) i) Calcolate L log~ 3k ;

k::=l

ii) Scrivete, usando il simbolo di sommatoria, la seguente espressione:

1l §. ~ i 11 ~

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2e-xdx+ e-xdx+ e-xdx+ e-xdx+ ... + e-xdx+ e-xdx.1 1 1 1 1l 2 3 4 21 22

1-2 4 1

iii) Calcolate (x - + e-3X ) dx.

-4 X

iv) Determinate la funzione primitiva G(x) di f(x) = ?'X tale che G(l) = 1.

3) Sia f : [-3,3] - 1R la funzione rappresentata in figura. Sia F: [-3,3] - JR la funzione

integrale di f definita da F(x) = 1: f(t) dt.

i) Determinate il segno di F. ii) Determinate gli intervalli di monotonia della F. Determinate gli eventuali massimi e minimi locali (e i rispettivi punti di massimo e di minimo locali) di F. iii) Determinate gli intervalli di convessita/concavità della F. 'fracciate un grafico quali­tativo di F. j

&~

4) Rappresentate graficamente nel piano cartesiano una funzione f : [-2,4] - 1R continua e derivabile che soddisfa le proprietà seguenti:

i) i: f(x)dx < Oj

ii) f'(x) = O per ogni x E [-2,1], f'(x) > O in ]1, 3[, 1'(3) = O;

iii) f(x) > O in ]3,4].

5) i) Studiate (insieme di definizione, segno, comportamento agli estremi dell'insieme di definizione, continuità, derivabilità, punti critici e monotonia, convessità/concavità) la fun­zione definita da

1 f(x) = x3 _ 2x2

e rappresentatela graficamente nel piano cartesiano. 1

ii) Determinate l'equazione della retta tangente r al grafico di f nel punto (3, 9) . Rappresentatela graficamente nello stesso sistema di riferimento della f.

-x-2 1 iii) Provate che f(x) = 4x2 + 4(x _ 2) .

iv) Determinate l'area della regione piana delimitata dal grafico di f, dalla retta tangente r e dal1a retta x = 4 .

6) Dite in quanti modi potete disporre in fila 6 palline rosse, 5 palline blu e 4 palline gialle se nei primi due posti dovete mettere 2 palline gialle e nell'ultimo posto una pallina blu.