17. IZVESTI METOD ITERACIJE GRAFIČKIM PUTEM !

Rješavamo f ( x )=0. Neka je f neprekidna i diferencijabilna na segmentu

[a ,b ] u kojem je dato početno rješenje x0 i u kojem se nalazi korijen jednačine.

x1→ x2→ x3→…limk → ∞

xk=¿ x¿¿

Ako je f ( x )=0 napišemo ekvivalentnu jednačinu x=φ ( x )

Oscilovanje (ciklički) Monotonost

18. IZVESTI BEZOUTOV STAV!

Bezuotov stav:: Polinom P ( x ) djeljiv je binomom ( x−a ) ako i samo ako je

P (a )=0. Broj a se naziva „nula“ ili korijen polinoma P.

Dokaz:: Po djeljenju polinoma P ( x ) sa ( x−a ) postoji polinom Q ( x ) i

konstanta C takvi da vrijedi P ( x )=( x−a )Q ( x )+C , pri

čemu je P (a )=c pa tvrđenje postaje očigledno.

19. ŠTA BI BILA METODA SJEČICE A ŠTA METODA REGULA FALSI (i njihove konvergencije)

Ideja metode sekante (regula falsi) je da se (n+1 )−va aproksimacija odredi

kao sjecište x -ose i sekante kroz tačke na grafu funkcije f . Čije apcise su predhodne

aproksimacije takve da su vrijednosti u njima različitog znaka. Konvergencija ovog metoda je linearna i u većini slučajeva konvergira brže od metoda polovljenja intervala.

Metod sječice:: kod metoda sječice ne računamo izvod nego ga aproksimiramo sa pravom kroz dvije tačke. Ovaj metod je najbolji od svih metoda koji ne koriste izvode, i konvergencija ovog metoda je superlinearna.

20. KONVERGENCIJA METODA ITERACIJE ZA NELINEARNE JEDNAČINE

|xn−x¿|=|φ ( xn−1 )−x¿|=|φ ( xn−1 )−φ ( x¿ )|=|φ' (ξ )||xn−1−x¿|¿ xn−x¿∨ ¿

|xn−1−x¿|=|φ ' (ξ )|⇒ lim

n→∞¿ xn−x¿∨ ¿

|xn−1−x¿|=|φ' (x¿ )|¿¿

Metod dakle ima linearnu konvergenciju pa je vidljivo da vrijednost

α=|φ' ( x¿ )| treba da bude manja od jedinice. Metod iteracije se u primjeni

vrlo često zove Gauss-Seidelov metod.

21. APRIORNA OCJENA GREŠKE PRIBLIŽNOG I TAČNOG RJEŠENJA

Ako je funkcija f ( x ) neprekidna na segmentu [a ,b ] i ako je

|f ' ( x )|≥m>0 za sve x∈ [a ,b ] tada je

|x¿−x|≤ f ( x )m

Dokaz se izvodi preko teoreme srednje vrijednosti

f ( x )−f ( x¿)= f ' (c ) ( x−x¿) gdje je c tačka između x i

x¿. Kako je f ( x¿ )=0 i |f ' ( x¿ )|≥m tvrđenje teoreme se direktno

dobija. Data formula je značajna jer se uvjek može koristiti za ocjenu greške bez obzira na metod koji je korišten za dobijanje približne vrijednosti. Ovakav način procjene greške u kojem se koriste vrijednosti izvedene tokom procesa nalaženja približne vrijednosti naziva se apriornom greškom.

22. ŠTA JE KONVERGENCIJA I KAKO SE MATEMATIČKI OPISUJEAko je :

limk → ∞

|ek+1||ek|

q =α ≠0

Tada se q naziva redom konvergencije. Ako je q=1 kažemo da je konvergencija

linearna, ako je q>1 kažemo da je superlinearna. Za slučajeve q=2 i

q=3 kažemo da je konvergencija kvadratna, odnosno kubna. Da bi metod

konvergirao očigledno je da niz {|ek|}mora biti konvergentan, i da mu granična

vrijednost mora biti nula. Pa prema tome mora biti |ek +1|<|ek| pa se

odavdje očigledno vidi da ako se radi o linearnoj konvergenciji mora biti α <1. Za

slučajeve superlinearne konvergencije ovaj uslov ne mora biti ispunjen. Ova vrijednost

zavisi najčešće od funkcije f ( x ) .

23. KOJE VRSTE GREŠAKA IMAMO

Greška metoda, greška približnog broja, greška matematičkog modela, greške ulaznih podataka, greške zaokruživanja, apsolutna greška približnog broja, relativna greška približnog broja, greška aritmetičkih operacija (sabiranja, oduzimanja, množenja, dijelenja), mašinske greške.

24. ŠTA ZNAČI AKO IMAMO oscilovanje BEZ KONVERGENCIJE kod metoda tangente

Ukoliko dođe do nespretnog izbora polaznog rješenja to može dovesti do divergencije te da je moguć i slučaj cikličkog ponavljanja vrijednosti. U posljednjem slučaju korijen može, a i ne mora biti u blizini takvih vrijednosti.

U slučajevima kada je drugi izvod stalnog znaka, početnu tačku treba izabrati tako da bude

f ( x ) f ' ( x )>0.

34. NA ŠTA UPUĆUJU OSCILATORNE A NA ŠTA MONOTONE VRIJEDNOSTI ITERACIJA KOD PRIMJENE

METODA ITERACIJE ?

Oscilatorne vrijednost upućuju da niz konvergira ka rješenju idući ciklično oko rješenja a monotone vrijednosti da niz konvergira ka rješenju približavajući mu se s jedne strane.

33. RED KONVERGENCIJE HORNEROVOG METODA. ŠTA PREDSTAVLJA POLINOM

Pn ( x1) U ODNOSU NA (x−x1)Zato što se Hornerov metod zasniva na rješavanju metoda tangente zato kao i metod tangente ima kvadratnu konvergenciju..

Pn(x)x−x1

=A0( x−x1)n−1+ A1(x−x1)

n−2+…+ An−1+An

x−x1Pn ( x )x−x1

−ostatak dijeljenja Pn(x )i x−x1 je An . Pn(x)=( x−x1 ) P( n−1)(x)+ An

Za x−x1 je Pn ( x1)=An. Ostatak dijeljenja nekog polinoma sa

x−x1jednaka je vrijednost tog polinoma u tački x1 .

39. KAD SE KAŽE DA JE METOD STABILAN ?Kaže se da je numerički postupak stabilan ako pri njegovom korištenju računska greška ili greška zaokruživanja neznatno raste!

38. ŠTA NAM ZNAČI AKO UZMEMO DA JE, ZA PRVIH NEKOLIKO KORAKA, JAKOBIJAN KONSTANTA ?

Ako uzmemo da je Jakobijan konstantan u nekoliko koraka povećavamo brzinu konvergencije ali i obaramo stepen konvergencije.

36. METODE ZA NALAŽENJE POČETNIH VRIJEDNOSTI.

Većina riješenja realne jednačine f (x)=0 zahtjeva poznavanje početnog

intervala [a ,b] u kom se nalazi tačno riješenje ili x0 početno riješenje koje nije

daleko od stvarnog riješenja (više metoda koje zahtjeva x0 – početno riješenje). Ako

dođemo do intervala [a ,b] na kojem funkcije mijenja predznak, a neprekidna je

tu se sigurno nalazi barem jedan korijen. Ako ima više korijena dijelimo interval na još manje dijelove.

35. POOPŠTENI METOD TANGENTE (METOD III REDA).

Ideja: Aproksimirati funkciju tangentom u početnoj aproksimaciji, i naći tačku x p koja

predstavlja sledeću aproksimaciju rješenja. Postupak ponavljati, korištenjem vrijednosti prvog izvoda za početnu aproksimaciju, do željenje tačnostiili pronalaska rješenja.

x i+1=x i−f ( x1) / f ' ( x1 )

f ' ( x )=f ' ( x0 )

x i+1=x i−f ( x1) / f ' ( x0 )Dok se ne dostigne željena tačnost

|x i+1−xi|≤ ε

25. KONVERGENCIJA BAIRSTOW-OVOG POSTUPKA. ZAŠTO ?

Konvergencija ovog iterativnog postupka je kvadratna, isto kao kod Hornerovog metoda,

s obzirom da se primjenjuje Newton-Raphsonov metod za izračunavanje pk i qk

:

x2−pk x−qk=0

26. KOLIKI JE POLUPREČNIK KOJI OBUHVATA SVE NULE U KOMPLEKSNOJ RAVNI KOD POLINOMA S REALNIM KOEFICIJENTIMA ?

Ako je za polinom Pn ( x ),

A=max {|a1|,|a2|, .... ,|an|} , tada se svi korijeni polinoma

Pn ( x ) nalaze u krugu poluprečnika R=1+ A /¿ao∨¿.

27. IZVESTI RED KONVERGENCIJE METODA ITERACIJE !

|xn−x¿|=¿φ (xn−1)−x¿∨¿∨φ(xn−1)−φ( x¿)∨¿|φ' (ξ )||xn−1−x¿| odakle slijedi

|xn−x¿||xn−1−x¿|

=|φ' (ξ )|odnosno limn→∞

¿ xn−x¿∨ ¿|xn−1−x¿|

=|φ' (x¿ )|¿

Metod ima linearnu konvergenciju jer je q=1. A q koji je stepen nazivnika člana u

limesu predstavlja red konvergencije.

(|xn−x¿|/|xn−1−x¿|1⇒ q=1)28. OBJASNITI MAŠINSKU GREŠKU NA PRIMJERU SABIRANJA VIŠE TAČNIH BROJEVA !

θ je relativna mašinska greška. Za pseudoaritmetičke operacije ne važe uobičajene

osobine asocijativnosti, komutativnosti itd. Ovo se može pokazati na sabiranju tri broja:

(x1⨁ x2)⨁ x3=(x1+x2+x3)+( x1+x2 ) θ1+(x1+x2+ x3)θ2+(x1+x2)θ1θ2

|( x1⨁ x2 )⨁ x3−( x1+x2+x3 )|≤ ( x1+x2 )|θ1|+( x1+x2+x3 )|θ2|≤≤(2 x1+2x2+x3)θMAX

Ovo znači da će greška biti veća ukoliko prvo sabiremo veće brojeve.

30. ZNAČAJNE I SIGURNE CIFRE. POSTUPAK ZAOKRUŽIVANJA.

Svaka cifra broja, izuzev vodećih nula, naziva se značajnom cifrom broja. Značajna cifra nekog broja je sigurna ako apsolutna greška tog broja nije veća od polovine jedinice koja

odgovara toj cifri. Da bi se broj zaokružio na n značajnih cifara odbacuju se sve cifre

desno on n-te značajne cifre, poštujući sljedeća pravila:

- Ako je prva odbačena cifra < 5, zadržane cifre se ne mijenjaju- Ako je prva odbačena cifra > 5, posljednju zadržanu šifru povećamo za 1- Ako je prva odbačena cifra = 5, a stoji ispred parne cifre, cifra 5 se odbacuje- Ako je prva odbačena cifra = 5, a stoji ispred neparne cifre, posljednja zadržana cifra se uveća za 1.

31. PREDNOSTI I MANE METODA ITERACIJE.

Metoda iteracije je bolji nego metod polovljenja intervala, mada su oba metoda istog stepena konvergencije, ali metod iteracije moze biti jako osjetljiv u odnosu na izbor početnog rješenja. Problem koji se javlja kod primjene metoda iteracije javlja se kod

izbora zapisa jednačine f ( x )=0 u obliku x=φ (0 ). Moguće je da ni

nakon nekoliko izabranih slučajeva metod ne garantuje konvergenciju. Stoga je poželjnije

raspolagati algoritmom za nalaženje jednačine x=φ (0 ).

32. KAD KONVERGIRA METOD TANGENTE ? KOJI USLOV MORA BITI ISPUNJEN ?

0=f ( x¿)=f ( xk )+f ' ( xk ) (x¿−xk )

1!+

f ' ' (c ) (x¿−xk)2

2!

0=f ( xk )+ f ' ( xk ) (x¿−xk )+f ' ' (c ) (x¿−xk )2

2 !

x¿= xk−f ( xk )f ' ( xk )

–f ' ' (c ) (x¿−xk )2

2 f ' ( xk )

xk+1−x¿=f ' ' ( c ) (x¿−xk )2

2 f ' ( xk )

ek+1=12

f ' ' (c )f ' ( xk )

ek

Pod uslovom da iterativni postupak konvergira, tada vrijednosti c i xk teže riješenju

x¿. Prema tome metod ima kvadratnu konvergenciju. Primjena na sisteme nelinearnih

jednačina, odnosno poopštenje metoda je tada moguće. Može se izvesti i poopštenje metoda uzimajući više članova razvoja u Taylorovom redu, što bi rezultiralo kubnom metodom. Međutim, metode višeg reda, pogotovo u slučajevima sistema nelinearnih jednačina vrlo se rijetko koriste.

1. KONVERGENCIJA METODA POLOVLJENJA INTERVALA.

Metod polovljenja intervala pod pretpostavkama u vezi neprekidnosti funkcije I izbora pocetnih vrijednosti uvijek konvergira , ALI VRLO SPORO. Očito je da nakon prvog koraka

|x3−x¿|≤ 12

(b−a ) , a nakon drugog

|x3−x¿|≤ 122

(b−a ) , odnosno nakon k-tog

|x3−x¿|≤ 12k

(b−a ) . Ova ocjena greške se naziva apriornom jer

se moze izračunati prije samog postupka. Konvergencija postupka je linearna (dakle spora) obzirom da je :

ek+1

ek

≈

1

2k +1(b−a )

12k (b−a )

=12

Greška svakog narednog koraka je priblizno jednaka polovini prethodne greške.

2. NEWTON-RAPHSONOV METOD.

¿Po analogiji sa skalarnim slušajem,razvićemo funkcije f i(x) u okolini tacke početnog

rješenja x⃗0. Na ovaj način se dobija:

{f 1 ( x⃗0 )=f 1 ( x⃗0 )+∂ f 1∂ x1

( x1−x10 )+∂ f 1∂x2

( x2−x20 )+…+∂ f 1∂ xn

( xn−xn0 )+..=0

f 2 ( x⃗ )=f 2 ( x⃗0 )+∂ f 2∂x1

( x1−x10 )+∂ f 2∂ x2

( x2−x20 )+…+∂ f 2∂xn

( xn−xn0 )+ ..=0

⋮

f n ( x⃗ )=f n ( x⃗0 )+∂ f n

∂x1( x1−x10 )+

∂ f n

∂ x2( x2−x20 )+…+

∂ f n

∂xn( xn−xn0 )+..=0

pri čemu su svi parcijalni izvodi računati u tački x⃗0. Ako se odbace članovi višeg

reda,sistem jednačina će se svesti na linearni, ali se kao rezultat neće dobiti rješenje

sistem x⃗nego sljedeće približenje rješenju x⃗1. Zapisano u matričnom obliku biće:

[∂ f 1∂x1

∂ f 2∂ x1

…∂f n

∂x1∂ f 1∂x2

∂ f 2∂ x2

…∂f 2∂x2

⋯ ⋯ ⋱ ⋯∂ f 1∂xn

∂ f 2∂ xn

⋯∂ f 2∂ xn

]

[ x11−x10x21−x20

⋮xn1−xn0

] = [−f 1 ( x⃗0 )−f 2 ( x⃗0 )

⋮−f n ( x⃗0 )]

Odnosno:

J0 ( x⃗1− x⃗0 )=− f⃗ 0Čijim rješavanjem dobijamo rješenje u sljedećoj iteraciji:

x⃗1= x⃗0−J0−1 f⃗ 0

Gdje je J Jakobijeva matrica.Dakle, Newton-Rapshonov metod je definisan iterativnom formulom:

x⃗k+1= x⃗k−J k−1 f⃗ k

I u ovom slučaju je moguće geometrijski interpretirati metod : u tački x⃗k se postave

hiperravni na hiperpovsšine f 1, f 2 , .. , f n, a onda se traži presjek ovih

površina i ravni y=0.

3. OBJASNITI POJAM STABILNOSTI NUMERIČKOG POSTUPKA !

Čak i kada imamo tačne ulazne podatke, zbog ogranicneosti formata brojeva n javljaju de greske zaokruživanja , za koje ne vrijede klasična pravila aritmetike. A taj način nastaju inherentne ili neodstranjive greške. U vezi sa tim greškama uvodi se i pojam stabilnosti numeričkog postupka. Kaze se da je numerički postupak stabilan ako pri njegovom korštenju računska ili greška zaokruživanja neznatno raste. Uprotivnom, metod je nestabilan. Zbog toga, treba izbjegavati korištenje nestabilnih numerickih metoda kod kojih male greške zaokruživanja mogu dovesti do velikih razlika između stvarnog I dobijenog rješenja.

4. VRSTE NELINEARNIH JEDNAČINA OBZIROM NA FUNKCIJE ZA KOJE TRAŽIMO KORIJENE.

Nelinearne jednačnine se dijele na algebarske i transcedentne jednačine. Funkcija

f (x) je algebarska ako je za odredjivanje njene vrijednsoti u tacki x potrebno

izvrsiti samo operacije sabiranja, oduzimanja, mnozenja dijeljenja i stepenovanja sa racionalnim eksponentom. Ako se pri računanju vrijednosti javlja stepenovanje samo cijelim brojevima tada su takve funkcije racionalne. Funkcija je iracionalna ako se pri odredjivanjeu njenje vrijednosi mora vršiti korijenovanje. Sve algebarske funkcije su racionalne ili iracionalne. Transcedentne funkcije čine drugu veliku klasu funkcija. To su nealgebarske funkcije (eksponancijalne,logaritamske, trigonometrijske itd.).Zbog svega toga potrebno je korištenje pribliznih metoda. U praksi je često dovoljno znati približno rješenje sa unaprijed odredjenom tačnošću.

5. IZVESTI METOD TANGENTE PREKO TAYLOROVOG RAZVOJA !

Teorem: Ako f ( x0 ) f ' ( x0 )>0 i ako prvi i drugi izvod f (x) imaju

stalan znak na segmentu [a ,b] tada je, polazeći od početne aproksimacije

x0∈[a ,b ] moguće odrediti niz {Xn} po formuli:

xk+1=xk−f ( xk )f ' ( xk )

zakoji je limn→ ∞

xn=x¿

gdje je x¿ izolovani korijen jednačine f (x)=0 na segmentu [a ,b]

.Dokaz:

Ne umanjujući uopštenost može se pretpostaviti da je f (a)<0 ,

f (b)>0 ,f ' (x)>0 i f ' ' (x)>0 (ostali slučajevi se

razmatraju analogno). S obzirom na uslov teoreme treba uzeti x0=b . Zbog

monotosti f (x) mora biti f (x0)> f (x¿)=0 pa je:

x1=x0−f ( x0 )f ' ( x0 )

<x0Na osnovu Taylorove formule:

0=f ( x¿)=f ( x0 )+f ' ( x0 )1 !

(x0−x¿ )+ f ' ' (c )2!

x¿<c< x0

pa kako je po pretpostavci f ' ' (c )>0, mora biti

f (x0)+ f '(x0)(x¿−x0)<0. Odavde slijedi da je:

x¿<x0−f ( x0 )f ' ( x0 )

odnosno da je x¿<x1. Ovo znaći da je

niz X nodređen Newtonovim metodom

monotono opadajući ograničen odozdo, dakle konvergentan. Štaviše

njegova je granična vrijednost korijen odakle slijedi da je f (x)=0. Kako je

x¿ jedini korijen jednačine na segmentu [a ,b] mora biti x=x¿ .

6. ŠTA JE METOD TANGENTE, ŠTA METOD SJEČICE, I NJIHOVA KONVERGENCIJA ?

Newtonova metoda je jedna od najpoznatijih i najefikasnijih procedura u cijeloj numeričkoj analizi. Metoda uvijek konvergira ako je pocetna aproksimacija dovoljno blizu rješenju. Metodi regula falsi (što u prevodu znaci metoda netacnog položaja), nelinearna

funkcija f (X ) se aproksimira linearnom funkcijom g(X) u intervalu

(a ,b),

Tangenta – superlinearnu(kvadratnu) sječica – linearnu konvergenciju

8. LINEARNA I KVADRATNA KONVERGENCIJA. KOJA JE BRŽA I ZAŠTO ?

Ako je

limk → ∞

|ek+1||ek|

q =α ≠0

tada q naziva redom konvergencije. Ukoliko je q=1 kaže se da je konvergencija

linearna, a ako je q>1 kaže se da je superlinearna. U specijalnim slučajevima

q=2 i q=3 kaže se da je konvergencija kvadratna, odnosno kubna. Da bi

metod konvergirao očigledno je da niz {ek∨} mora biti konvergentan i da mu

granična vrijednost mora biti jednaka nuli. S toga mora biti |

ek+1∨¿∨ek∨¿. Stoga ukoliko se radi o linearnog konvergenciji

očigledno je da mora vrijediti α <1. Za slučajeve superlinearne konvergencije ovaj uslov

ne mora biti ispunjen. Svakako se do rješenja u takvim slučajevima dolazi što je vrijednost

α manja. Ova vrijednost najčešće zavisi od funkcije f (x). Linearni metod je

sporiji, ali ne ovisi o početnom riješenju. Kvadratni metod je brži , ali desi se brz raspad konvergencije (divergira za veće početne uslove). Zbog izvoda aproksimacije sporija je linearna konvergencija od kvadratne.

7. GRAFIČKIM PUTEM OBJASNITI METOD TANGENTE !

Očigledno da je tanα=f (x0)x0−x1

. Kako je t tangenta na funkciju f(x) u

tački [ x0 , f (x0)] to je i tanα=f ' (x0). Dakle,

f ( x0 )x0−x1

=f ' ( x0 ) → x0−x1=f ( x0 )f ' ( x0 )

→x1=x0−f ( x0 )f ' ( x0 )

Što je trebalo i pokazati. Pri ovome se podrazumijeva da je f ' (x0) različito od

nule, inače ne bi bilo tačke odsjeka tangente t sa apcisom. U vezi sa grafičkom interpretacijom metoda tangente, ovdje se može uočiti razlika između metoda tangente i metoda iteracije. Naime, kako se kod metoda iteracije drži konstantnim prvobitno

izračunati λ= −1f ' (x0)

, to bi značilo da metod iteracije zadržava konstantan

nagib prvobitno nađene „tangente“ tokom čitavog iterativnog procesa, što je ilustrovano na slici 6. Ovo je znatno jednostavnije ali nažalost vodi ka metodu sa lineatnom konvergencijom.

9. limk → ∞

¿ek+1∨¿

¿ek∨¿q=α¿¿ , KADA K TEŽI KA

BESKONAČNO. KOMENTARISATI Α !

Ako je

limk → ∞

|ek+1||ek|

q =α ≠0

tada q naziva redom konvergencije. Ukoliko je q=1 kaže se da je konvergencija

linearna, a ako je q>1 kaže se da je superlinearna. U specijalnim slučajevima

q=2 i q=3 kaže se da je konvergencija kvadratna, odnosno kubna. Da bi

metod konvergirao očigledno je da niz {ek∨} mora biti konvergentan i da mu

granična vrijednost mora biti jednaka nuli. S toga mora biti |

ek+1∨¿∨ek∨¿. Stoga ukoliko se radi o linearnog konvergenciji

očigledno je da mora vrijediti α <1. Za slučajeve superlinearne konvergencije ovaj uslov

ne mora biti ispunjen. Svakako se do rješenja u takvim slučajevima dolazi što je vrijednost

α manja. Ova vrijednost najčešće zavisi od funkcije f (x).

10. KAD KONVERGIRA HORNEROV METOD ? ZAŠTO ?

Hornerov metod sluzi za odredjivanje jednog realnog korijena.Ustvari radi se o PRIMJENI

METODA TANGENTE. Za polaznu vrijednost uzimamo x0 (blizu korijena x¿)Najbrze

konvergira ako je x^*∈[-1,1] Ovo je primjena metoda tangente na polinom.

X 1+z1+w1+... za svaki korak nova aproksimacija. Kod poravka

W 1→0 to znaci da smo blizu rejsenja

X (1)=x 1X (2)=x1+z1

11. KOJA JE NAJBOLJA METODA ZA RJEŠAVANJE NELINEARNIH JEDNAČINA?

Metoda tangente je najbolja, iako ima svoje prednosti i mane. Jednostavnija je od metode iteracije, ali nazalost vodi ka metodi sa linearnom konvergencijom. Aproksimacija izvoda ove metode je brža nego kod metoda sekante. Iako je ovaj metod najbolji ne funkcioniše uvijek. Postoji kombinovani metod (metod tangente i sekante), ali je metod tangente bolji pa nema smisla to radit kombinovano.

12. DOKAZATI DA POLINOMI SA REALNIM KOEFICIJENTIMA IMAJU REALNE ILI KONJUGOVANO KOMPLEKSNE KORIJENE !

Polinom n-tog stepena :

¿ Pn ( z )∨¿∨a0 zn+a1 zn−1+…+an−1 z+an∨¿

Vrlo cesto cemo biti u prilici odredjujemo korijene polinoma. (Polinom je NELINEARNA f-ja) Svaki polinom n-tog reda ima n-rjesenja koja mogu biti I KOMPLEKSNI brojevi koji se

javljaju u konjugovano-kompleksnim parovima. Ako je P(z )=0 , onda je i

P(z )=0. Svi koeficijeni ai su REALNI brojevi. z=I z=1 , (x-i)(x-1) = koeficijent

polinoma kompleksnog broja. Do sada smo proučavali metode kod kojih se korijeni pojedinačno izračunavaju. U novije vrijeme razvijeni su metodi za simultano (jednovremeno) nalaženje svih korijena algebarske jednačine:

Pn ( z )=zn+a1 zn−1+…+an−1 z+a1=0Pretpostavićemo da jednacina ima jednostruke realne I kompleksne korijene

z1,… zn, tj. Da važi faktorizacija Pn ( z )=∏

i=1

n

(z−zi).

Neka su z i(k ) (i=1,….,n) približni korijeni jednačine dobijeni u i-tomiterativnom

koraku. Označimo sa Δ zi(k) razliku između tačne I približne vrijednosti i-tod korijena

tj. Δ zi=zi−zi(k) .

13. ŠTA JE APRIORNA, A ŠTA APOSTERIORNA OCJENA GREŠKE ?

Apriorna je ona ocjena kod koje nam ne trebaju iterativne vrijednosti postupka do date

vrijednosti. Procjenjujemo grešku xk i ne treba ni jedna vrijednost prije do xk

.

Aposteriorna je vezana za sam postupak, nije uopštena i za njeno izračunavanje je potrebno nekoliko uzastopnih iterativnih koraka (bolja je, ali složenija).

15. DOBRE I LOŠE OSOBINE NEWTON-RAPHSONOVOG METODA.

Metod ima kvadratnu konvergenciju i jedan je od najkorištenijih metoda za rješavanje nelinearnih jednačina. Metod se vrlo često koristi pri rješavanju problema bezuslovne optimizacije. U slučaju da treba naći minimum funkcije više promjenjivih problem se može svesti na nalaženje stacionarne tačke funkcije f. U tom slučaju se problem svodi na nalaženje riješenja sistema nelinearnih jednačina. Pored niza dobrih osobina najveća mana je u inverziji Jakobijeve matrice. Za slučaj mnogo promjenjivih ovo može biti vrlo zahtjevan numerički proces i stoga se i ovdje koriste tehnike nalaženja inverzije Jakobijana u nekim koracima, obarajući tako stepen konvergencije. Efikasnost ovog pristupa zavisi od problema kojeg se rješava i iskustva inžinjera.

16. KONVERGENCIJA METODA TANGENTE. DOKAZATI !

0=f ( x¿)=f ( xk )+f ' ( xk ) (x¿−xk )

1!+

f ' ' (c ) (x¿−xk)2

2!

0=f ( xk )+ f ' ( xk ) (x¿−xk )+f ' ' (c ) (x¿−xk )2

2 !

x¿= xk−f ( xk )f ' ( xk )

–f ' ' (c ) (x¿−xk )2

2 f ' ( xk )

xk+1−x¿=f ' ' ( c ) (x¿−xk )2

2 f ' ( xk )

ek+1=12

f ' ' (c )f ' ( xk )

ek

Pod uslovom da iterativni postupak konvergira, tada vrijednosti c i xk teže riješenju

x¿. Prema tome metod ima kvadratnu konvergenciju. Primjena na sisteme nelinearnih

jednačina, odnosno poopštenje metoda je tada moguće. Može se izvesti i poopštenje metoda uzimajući više članova razvoja u Taylorovom redu, što bi rezultiralo kubnom metodom. Međutim, metode višeg reda, pogotovo u slučajevima sistema nelinearnih jednačina vrlo se rijetko koriste.