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Electromagnetismo II Página 1 de 18

Unidad 2. Propagación de ondas Electromagnéticas

Ing. José Miguel Hernández

Abril, 2009

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 10.1 de Sadiku

En el vacío, yakxtH ˆ)102cos(1.0 8

A/m. (a) calcule k, y T. (b) Determine el tiempo t1 que

la onda tarda en recorrer /8. (c) Trace la onda en t1.

= 2108 rad/m

kcu

667.0

103

1028

8

ck

rad/m

2 fcu 425.9

102

)103(228

8

cm

9

810416.31

102

221

fT s = 31.4 ns

Fase constante kxt constante 0 xkt

Si 01 tt 8/x 08

1

kt 88

2

8

21

Tt

En t = t1:

yy axakxT

H ˆ)667.07854.0cos(1.0ˆ)8

102cos(1.0 8

t1=T/8

t =0

/8

0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1 1.125 1.25 1.375 1.5

0.15

0.1

0.05

0.05

0.1

0.15

H x 0 ( )

H xT

8

x


11.15 Hayt, 5a. Edición

Una señal de radar de 30 GHz puede representarse como una onda plana uniforme en una región

suficientemente pequeña. Calcule la longitud de onda en centímetros y la atenuación en

decibelios por pie si la onda se está propagando en un material no magnético para el cual:

(a) r = 1, = 0; (b) r = 1.01, = 1103

S/m; (c) r = 2.1, = 5 S/m.

SOLUCIÓN: f = 30109 Hz , =2f No magnético: r = 1, = 0;

.(a) r = 1, = 0; , = 0

jjjjjj 0000

2

00 )0()(

75.62810302 00

9

00 rad/m

3109931.975.628

22

m = 0.99931 cm

= 0 Atenuación: 0 dB/pie

.(b) r = 1.01, = 1.010; = 1103

S/m

]01.1)10302(101[)10302()( 0

93

0

9 jjjj

jj 9.631187.0

9.631 rad/m

3109433.99.631

22

m = 0.99433 cm

= 0.187 Np/m Atenuación: 495.0pie

m 0.305

Np

dB 8.686

m

Np187.0 dB/pie

.(c) r = 2.1, = 2.10; = 5 S/m

]1.2)10302(5[)10302()( 0

9

0

9 jjjj

jj 9.1066555

9.1066 rad/m

3108892.59.1066

22

m = 0.589 cm

= 555 Np/m Atenuación: 4701pie

m 0.305

Np

dB 8.686

m

Np555 dB/pie

Ejercicio 10.2 de Sadiku


Una onda plana que se propaga por un medio con r = 8, r = 2, tiene

x

z aztseneE ˆ)10(5.0 83/

V/m. Determine

.(a) ; (b) la tangente de pérdidas; (c) la impedancia de la onda; (d) la velocidad de la onda; (e) el campo magnético.

00 8 r 00 2 r = 1/3 =1108 rad/s

.(a)

11

2

2

11

2

2

22

2

2

2

112

1248.11

)8)(2()101(

)3/1(21

21

00

28

2

2

22

3753.111248.12

)8)(2()101(11

2

008

2

rad/m

.(b) 1248.11

2

tan515.011248.1 2

.(c) 61.1771248.1

8

2

1

0

0

4

2

2

62.13515.0tan

2

1tan

2

1 11

62.1361.177

.(d) 68

1071.723753.1

101

u m/s

.(e) Si x

z azteEtzE ˆ)sin(),( 0

EkH aaa ˆˆˆ yxzH aaaa ˆˆˆˆ

y

z azteE

tzH ˆ)sin(),( 0


y

z aztetzH ˆ)62.133753.110sin(61.177

5.0),( 83/

y

z aztetzH ˆ)62.133753.110sin(815.2),( 83/

mA/m

10.15 Sadiku

Suponga un material homogéneo de longitud infinita con 10102 F/m, 51025.1 H/m, y

= 0. Hágase xakztE ˆ10cos400 9

V/m. Si todos los campos varían sinusoidalmente, utilice

las ecuaciones de Maxwell para encontrar

D ,

B ,

H y k.

SOLUCIÓN

xx akztakztED ˆ10cos1080ˆ10cos)400)(102( 99910

C/m2

xakztD ˆ10cos80 9

nC/m2.

9101 rad/s, 4000

E V/m Forma fasor del campo eléctrico x

kzS aeEE ˆ0

SS BjE

y

jkz

y

jkz

y

jkz

jkz

zyx

S aekE

aeEjkj

az

eEj

eE

zyx

aaa

jB ˆˆ

)(ˆ

00

ˆˆˆ

000

0

B

H y

jkz

y

jkz

S aeHaekE

H ˆˆ 00

00

kEH

t

E

t

DEH

SSSS

x

kz

x

jkz

x

jkz

x

jkz

jkz

zyx

S aeEjaeEk

jaeHjkaz

eH

eH

zyx

aaa

H ˆˆˆ)(ˆ

00

ˆˆˆ

00

2

00

0

x

kz

x

jkz

aeEjaeEk

j ˆˆ 00

2

22 k k (se toma el valor positivo para que

sea consistente con la onda de campo eléctrico del enunciado).

0

50)102)(1025.1(101 1059 k rad/m


y

zj

y

zj

y

jkz

S aeae

aekE

B ˆ1020ˆ101

)400)(50(ˆ

506

9

50

0

V/m

yaztB ˆ)5010cos(20 9

T

6.1)1025.1)(101(

)400)(50(59

00

kEH

yaztH ˆ)5010cos(6.1 9

A/m

D11.4 Hayt, 5ª. Edición. Dado un material no magnético, el cual tiene r = 2.25, = 1104

S/m,

encuentre los valores numéricos en 2.5 MHz para:

.(a) la tangente de pérdida

.(b) la constante de atenuación

.(c) la constante de fase

.(d) la impedancia intrínseca

SOLUCIÓN

.(a) 320.0)25.2)(105.22(

101tan

0

6

4

.(b) )]25.2)(105.22(101[)105.22()( 0

64

0

62 jjjj

2.162104642.6 32 333 1056.79104.1214.811052.80 j

Constante de atenuación: = 12.4103

Np/m

.(c) Constante de fase = 79.56103

rad/m

.(d)

86.813.24572.171009.60

)25.2)(105.22(101

)105.22( 3

0

64

0

6

j

j

j

j

11.7 Hayt, 5ª. edición

Una onda que se propaga en un dieléctrico no disipativo tiene xaztE ˆ)10cos(500 7

V/m y

yaztH ˆ)10cos(1.1 7

A/m. Si la onda está viajando con velocidad 0.5c, encuentre: (a) r, (b)

r, (c) , (d) , (e) .


SOLUCIÓN

No disipativo:

H y

E en fase y la impedancia intrínseca es real, c = 3108 m/s.

1.1

500

0

0

H

E

2

1.1

500

(A)

cu 5.01

22

c (B)

(A)(B)

22

2 2

1.1

500

c

6100324.32

1.1

500

c 4131.2

104

100324.37

6

0

r

(B)(A)

22

2

500

1.12

c

12106768.14500

1.12

c

6576.1108542.8

10678.1412

12

0

r

c

rr

rrrr

0000

31267 107128.66)106768.14)(100334.3(101 rad/m

= 0.0667 rad/m

Se puede comprobar que la velocidad en el medio es

rrrrrr

cu

0000

11

18.94107128.66

223

m

Se puede comprobar que la impedancia intrínseca del medio es


r

r

r

r

r

r

0

0

0

0

0 0 : Impedancia intrínseca del vacío

55.4541066768.14

100324.312

6

11.20 Hayt, 5ª. Edición

Una onda plana uniforme se propaga en la dirección za a través de un material disipativo con

2.11.0 j m1

y 25300 j . Sea xS aE ˆ100

V/m en z = 0. (a) Encuentre promz)(

P en

z = 0, y en z = 1. (b) ¿Cuánta potencia promedio por metro cúbico está siendo disipada en

P(2,3,4)?

.(a) En z = 0, xS aE ˆ1000

V/m

yyS aaj

H ˆ)76.4332.0(ˆ25300

1000

A/m

Para z > 0

x

zS aeE ˆ100

V/m

x

zjS aeE ˆ100 )(

V/m

y

zjS aeeH ˆ332.0 76.4

A/m

y

zjjS aeeH ˆ332.0 )(76.4

A/m y

zjjS aeeH ˆ332.0 )(76.4

A/m

SSpromedio HEz Re2

1)(P

z

z

y

zjj

x

zjpromedio aeaeeaez ˆ76.4cos6.16ˆ332.0ˆ100

2

1)( 2)(76.4)(

P W/m2

z

zpromedio aez ˆ54.16)( 2.0

P W/m2

En z = 0. zpromedio a54.16)0( P

W/m2

En z = 1. zpromedio a54.13)1( P

W/m2

y

z

x

E

H

Propagación


.(b)

yxzSdzzP

)()()( PP

En z: yxzzP )()( P

En z+z: yxzzzzP )()( P

yxzyxzzPPP entsal )()( PP

Potencia disipada por unidad de volumen

zyx

yxzyxzz

v

P

)()( PP

z

zzz

v

P

)()( PP En el límite cuando el volumen tiende a cero:

dz

zd

z

zzz

v

P

dv

dP

zv

)()()(limlim

00

PPP

Se puede demostrar que, en general,

Pdv

dP

zzz eeedz

d

dz

zd

dv

dP 2.02.02.0 308.3)2.0(54.1654.16)(

PW/m

3.

En el punto (2,3,4) 4864.1308.3 )4(2.0 edv

dP 4864.1

dv

dPW/m

3.

Se disipa 1.49 W/m3.

11.30 Hayt (5ª Edición)

En la región 1, z < 0, 1 = 0, r1= 4, r1 = 1; en la región 2, z > 0, 2 = 0, r2 = 1.44, r1= 6.25.

Hay una onda incidente en la región 1, x

zj

S aeE ˆ400 20

1

V/m. (a) Especifique la frecuencia f. (b)

encuentre el campo total E

en la región 1. (c) Determine

2SE .

z

z

x

Psal Pent

S pequeño


Medio 1 Medio 2

111

1

1

u (a)

222

2

1

u (b)

De (a) 11

1

6

0011

1 1013.477)4)((2

20

22

f Hz

477f MHz ( = 3.0109 rad/s)

De (a) y (b) 11

1

22

2

30)20(41

25.644.11

11

22

1

11

22

2

rr

rr rad/m

314.020

22

1

1

m 209.0

30

22

2

2

m

Incidente

Reflejada

Transmitida

z

x

z = 0


37.1884 0

0

1

11

85.784

44.1

25.6

0

0

2

22

Coeficiente de reflexión 6129.037.18885.784

37.18885.784

12

12

Coeficiente de transmisión 6129.11

x

zjzj

x

zjzj

iS aeeaeeEE ˆ6129.0400ˆ)20()20()20()20(

01

x

ztjztjtj

SaeeeEE ˆ16.245400ReRe )20()20(

11

xaztztE ˆ)20(16.245)20cos(4001

xaztsensenztE ˆ2084.15420coscos16.6451

Onda transmitida

x

zj

x

zj

iS aeaeEE ˆ16.645ˆ)30()30(

02

xx

ztjtj

S aztaeeEE ˆ)30cos(16.645ˆ16.645ReRe )30(

22

2 1 0 1

500

500

z

1 2


Ejercicio 10.9 Sadiku

La onda plana yaztsenE ˆ)5(50

V/m situada en un medio sin pérdidas ( = 40, = 0)

encuentra a un medio disipativo en x = 0 ( = 0, = 40, = 0.1 S/m) viajando en la dirección

paralela al eje x. Halle: (a) , y s; (b) rE

y rH

; (c) tE

y tH

; (d) encuentre los vectores de

Poynting promedio en el tiempo en ambas regiones.

SOLUCIÓN

Medio 1: x < 0, Medio 2, x > 0

.(a) 111 6

0011

1 107504

5

rad/s

46.7534

0

0

1

11

56.3744.9518.5866.75

)4)(10750(1.0

10750

0

6

0

6

2 jj

j

j

j

08.1718185.0127.0809.0

46.75356.3744.95

46.75356.3744.95

12

12 j

55.332297.01269.01914.0

46.75356.3744.95

56.3744.9522

12

2 j

02.108185.01

8185.01

1

1

s

.(b) )08.171925.40)050)(08.1718185.0(00 ir EE


y

xrS aeE ˆ)08.171925.40( 1

511 jj

yr axtsenE ˆ)08.1715(93.40

V/m

92.80543.046.753

)050)(08.1718185.0(

1

000

i

ir

EHH A/m

z

xj

z

xjrS aeaeH ˆ)92.80543.0(ˆ)92.80543.0( 55

zr axtsenH ˆ)92.85(3.54

mA/m

.(c) )55.334850.11)050)(55.332297.0(00 it EE

y

xtS aeE ˆ)55.33485.11 2

V/m

25.9403.25)4107501.0)((10750())(( 0

6

0

6

2 jjjjj

44.5288.983.702.625.9403.252 jj

y

xjxtS aeeE ˆ485.11 )55.3383.7(02.6

y

xt axtseneE ˆ)55.3383.7(485.11 02.6

V/m

z

xjxz

xjx

tStS aee

aeeEH ˆ120.0

56.3744.95

ˆ485.11 )01.483.7(02.6)55.3383.7(02.6

2

z

xtS axtseneH ˆ)01.483.7(12.0 02.6

A/m

.(d) Medio 1, onda incidente

xxz

xj

y

xjiSiSi aaa

eaeHE ˆ659.1ˆ

46.753

50

2

1ˆ

50ˆ50Re

2

1Re

2

1 2

1

55

1

P W/m

2.

Medio 1, onda reflejada

z

xj

y

xjrSrSr aeaeHE ˆ)92.80543.0(ˆ)08.171925.40(Re

2

1Re

2

1 551

P W/m

2.


xxr aaj ˆ111.1ˆ0222.2Re2

11

P W/m2.

Total medio 1: xrSrSiSiSri aHEHE ˆ)111.1659.1(Re2

1Re

2

11

PPP

xx aa ˆ548.0ˆ)111.1659.1(1

P W/m2.

Medio 2:

z

xjx

y

xjxtStSt aeeaeeHE ˆ)01.4120.0(ˆ)55.33485.11Re

2

1Re

2

1 )83.7(02.6)83.7(02.6

P W/m

2

x

x

x

x

x

xt aeaejae ˆ546.0ˆ)8401.00925.1(Re

2

1ˆ56.370925.1Re

2

1 04.1204.1204.12

P W/m2.

13.5 Hayt (7ª)

La región z < 0 se caracteriza por r’= 1, r1=1, r’’= 0. El campo total

E está dado como la

suma de dos ondas planas uniformes, x

zj

x

zjS aeaeE ˆ)2050(ˆ150 1010

V/m.

.(a) ¿Cuál es la frecuencia de operación?

.(b) Especifique la impedancia intrínseca de la región z > 0 que proporcione la onda reflejada.

.(c) A qué valor de z en el intervalo 10 cm < z < 0, tiene máxima amplitud la intensidad de

campo eléctrico total?

SOLUCIÓN

.(a) 9

0011

1 10310

rad/m f = 477.46 MHz

.(b) )0150(2050

20

3

1

)0150(

2050


73.3760

0

1

11

12

12

1212 )( 2211 12

)1(

)1(

2407.1779560.69073.376

203

11

203

11

2 j

E1,max = 200 V/m

E1,min = 100 V/m

VSWR = 2

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 00

50

100

150

200

250

E1 z( )

z

Incidente

Reflejada

Transmitida

z

x

z = 0

Medio 2 Medio 1


Primer máximo en el intervalo

especificado se produce en

2

2mz

Con m = 0

3104.17)10(2

)0(2180

20

z

. zmax = 1.74 cm

13.7 Hayt (7ª Edición). Las regiones semiinfinitas: z < 0, z > 1 m están en el espacio libre. Para

0 < z < 1 m, r = 4, r =1, = 0. Una onda uniforme con = 4108 rad/s está viajando en la

dirección za a la interfaz en z = 0. (a) Encuentre la razón de onda estacionaria en cada una de las

tres regiones; (b) Encuentre la ubicación de max

E

para z < 0 que está más cerca de z = 0.

SOLUCIÓN:

.(a) Vacío: 1200

3

4

103

1048

8

31

c

rad/m

Región intermedia

60

4 0

0

2

22

3

84104 00

8

222

rad/m

3

81

3

82 d rad

En z = 0,

32.14167.231)3/8sin(120)3/8cos(60

)3/8sin(60)3/8cos(12060

sincos

sincos

2322

22232 j

j

j

djd

djdent

0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0150

160

170

180

190

200

210

E1 z( )

z

Incidente

Reflejada

Transmitida

z

x

Medio 2

Vacío

Reflejada

Transmitida

d

Incidente

Vacío

Medio 1 Medio 3

Dieléctrico


Primera interfaz

73.122324.0273.0175.0

12032.14167.231

12032.14167.231

1

112 j

j

j

ent

ent

En región 1: 96.1324.01

324.01

1

1

12

12

1

s

Segunda interfaz 3

1

60120

60120

23

2323

En región 2: 2333.01

333.01

1

1

23

23

2

s

En región 3: No hay onda reflejada: 0 101

013

s

.(b) )(

12012011111

zjzj

i

zjzj

i eeEeeEE en donde 1212

El máximo de E1 se da cuando cada uno de los términos entre corchetes tienen el mismo ángulo,

es decir están en fase y el máximo es

1201 1 iEE

)2(11 mzz 1

max2

2

mz

m = 0, 1, 2, . . .

Primer máximo: m = 0 8032.03/42

)0(2/18073.122max

z m

13.16 Hayt (7ª Edición). Una onda plana uniforme en el aire incide perpendicularmente en una

placa de dieléctrico sin pérdidas de grosor igual a /8 e impedancia intrínseca de 260 .

Determine la razón de onda estacionaria enfrente de la placa. Asimismo, encuentre la fracción de

la potencia incidente que se transmite al otro lado de la placa.

SOLUCIÓN:

48

2 2

2

2

d

707.02

2)4/sin()4/cos(

Incidente

Reflejada

Transmitida

z

x

Medio 2

Aire

Reflejada

Transmitida

d

Incidente

Aire

Medio 1 Medio 3

Dieléctrico


La impedancia de entrada en la interfaz 1-2 es

23.9209.243707.0377707.0260

707.0260707.0377260

sin377cos260

sin260cos377

22

222 j

j

j

djd

djdent

92.136259.0177.0189.0

37723.9209.243

37723.9209.243

1

112 j

j

j

ent

ent

A la izquierda de la placa: 7.1259.01

259.01

1

1

12

12

1

s

Segunda interfaz 18.0260377

260377

23

2323

P1=P2=P3= Pi(1122)= Pi(10.259

2)=0.9329 Pi

Se transmite el 93.29%

13.17 Hayt (7ª Edición). Repita el problema 13.16 para el caso en que la frecuencia es: (a) doble,

(b) cuádruple.

SOLUCIÓN

1

.(a) Al duplicar la frecuencia, la longitud de onda se hace mitad y el grosor es ahora /4

24

2 2

2

2

d

44.179377

260

)2/sin()2/cos(

)2/sin()2/cos( 2

32

232

j

jent

35.037744.179

37744.179

1

112

ent

ent

A la izquierda de la placa: 10.235.01

35.01

1

1

12

12

1

s


P1=P2=P3= Pi(1122)= Pi(10.35

2)=0.874 Pi

Se transmite el 87.4%.

(b) Al duplicar la frecuencia, la longitud de onda se hace cuarta parte y el grosor es ahora /2.

2

2 2

2

2d

377260

377260

)sin(377)cos(260

)sin(260)cos(377260

2

j

jent

0377377

377377

1

112

ent

ent

A la izquierda de la placa: 101

01

1

1

12

12

1

s

P1=P2=P3= Pi(1122)= Pi(10

2)= Pi

Se transmite el 100%. No hay reflexión.

PROPUESTOS PARA RESOLVER

Capítulo 10 de Sadiku (Electromagnetismo, 3ª edición), “Ejercicios” propuestos dentro del

capítulo desde 10.1 hasta 10.9. Problemas de final del capítulo desde 10.1 hasta 10.39.

Corrección: en problema 10.5 la impedancia intrínseca es 24030 .

De Hayt (Electromagnetismo, 7ª edición)

Caps. 10 12 y 13

myslide.es ema215unidad2ejercicios

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