murolo antonio carlos matemática aplicada à administração, economia e contabilidade 4 edição

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Cálculo Vol. llamcs Stewart

Cálculo Vol. IIlames Stewart

Equações Diferenciais comAplicações em ModelagemDcnnis Cl Zill

Estatística: geral e aplicada( i i i iSL-ppe Milonc

Matemática Discreta:uma introduçãoEdward R. Scheinerman

Matemática Financeira AplicadaAnísio Costa Castelo Branco

Matemática Financeira eEngenharia EconómicaNivaldo Elias Pilão e"auto R. V. Hummcl

MATEMÁTICA APLICADA ÀADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA E

CONTABILIDADE

.OM

Dados Internacional» da Catalogação na Publicac5o (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Matemática aplicada à administração, economia econtabilidade / Afrânio Carlos Murolo, Giácomo AugustoBonetto. — São Paulo: Pioneira Thomson Learninq, 2004 .

ISBN 85-221-0399-2

l. Matemática — Estudo e ensino I. Bonetto,

CDD-510.07

índice para catálogo sistemático:

1. Matemática aplicada : Estudo e ensino 510.07

MATEMÁTICA APLICADA ÀADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA E

CONTABILIDADE

AFRÂNIO CARLOS MUROLO GIÁCOMO AUGUSTO BONETTO

TMOIVISOIM

AimliAlla Brttll Clngapura Espanha Estados Unidos México Reino Unido

TMOIV1SOM

Gerente Editorial:Adilson Pereira

Editora deDesenvolvimento:Ada Santos Seles

Supervisora deProdução Editorial:Patrícia La Rosa

Produtora Editorial:Ligia Cosmo Cantarelli

Copidesque:Norma Gusukuma

Revisão:Sueli Bossi da Silva eRegina ElisabeteBarbosa

Composição:Cia. Editorial

Capa:LUMMI Produção Visuale Assessoria Ltda.

COPYRIGHT © 2004 dePioneira Thomson LearningLtda., uma divisão daThomson Learning, Inc.Thomson Learning™ é umamarca registrada aquiutilizada sob licença.

Impresso no Brasil.Printed in Brazil.1 2 3 4 06 05 04

Rua Traipu, 114-3° andarPerdizes-CEP 01235-000São Paulo-SPTel.: (11 )3665-9900Fax: (11)[email protected]

Todos os direitosreservados. Nenhuma partedeste livro poderá serreproduzida, sejam quaisforem os meiosempregados, sem apermissão, por escrito, daEditora. Aos infratoresaplicam-se as sançõesprevistas nos artigos 102,104, 106 e 107 da Lei n"9.610, de 19 de fevereirode 1998.

Dados Internacionais deCatalogação na Publicação(CIP)(Câmara Brasileira doLivro, SP, Brasil)Murolo, Afrânio CarlosMatemática aplicada àadministração, economia econtabilidade / AfrânioCarlos Murolo, GiácomoAugusto Bonetto. — SãoPaulo: Pioneira ThomsonLearning, 2004.ISBN 85-221-0399-21. Matemática - Estudo eensino I. Bonetto, GiácomoAugusto. M. Título.04-0331CDD-510.07índice para catálogosistemático:1. Matemática aplicada :Estudo e ensino 510.07

Aos meus pais, Armando e Leonídia in memoriam,à minha esposa, Maria Helena,

e meus filhos, Rafael e Fernanda,por toda a compreensão,

carinho e apoio.

Afrânio

Aos meus pais, Juvenal e Darci,por todo o seu amor...

Giácomo

Agradecimentos

Agradecemos a todos que, de forma direta ou indireta, nos incentivaram narealização e execução deste trabalho com críticas e sugestões. Em especial,agradecemos a Cláudio Arconcher, pela leitura crítica e atenta de todo otrabalho, pelas inúmeras e valiosas contribuições e sugestões; a AdenioAntónio Costa Júnior, pelo apoio técnico em várias etapas do trabalho, e aMaria de Fátima Moreira Silva, pela leitura crítica e sugestões em relaçãoaos conceitos económicos nos Capítulos 9 e 12.

VII

Prefácio

Agradeço a honrosa oportunidade de prefaciar a obra Matemática Apli-cada à Administração, Economia e Contabilidade, dos colegas e amigosAfrânio Murolo e Giácomo Bonetto. Tive o privilégio de compartilhar comos autores o sempre desafiador ambiente académico, em que pude percebero perfil de educadores sérios e comprometidos com a aprendizagem dosseus alunos e com a disciplina pedagógica.

Este livro é o resultado da sua rica experiência docente e das inquietudesque sempre permeavam suas ações em sala de aula, no sentido de tornar oensino da matemática atrativamente assimilável e aplicável ao estudo dasorganizações e dos negócios e, principalmente, ao processo de tomada dedecisão, que tem se revelado cada vez mais complexo.

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade éuma obra que veio para exercer forte influência no ensino da matemáticanos cursos que pertencem às Ciências Sociais Aplicadas, devido, principal-mente, à sua abordagem didática. Em um estilo claro e acessível, ela ofereceos meios necessários para que se possa compreender e dominar importantesconceitos e habilidades de cálculo, que fazem parte do ambiente da gestãoe dos negócios.

Merece também destaque a forma inteligente pela qual os autores estru-turaram a apresentação da obra, o que certamente facilitará sua utilizaçãocomo livro-texto nos cursos de Administração, Economia e Contabilidade.Todos os capítulos e seus respectivos desdobramentos encontram-se devi-damente consubstanciados com conceitos e definições, bem como com apli-cações materializadas com pertinentes e elucidativos exemplos, além deexercícios para a sedimentação da aprendizagem. Ainda é elogiável ainserção de um Tópico Especial em cada capítulo e a sua aplicação, assim

IX

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

corno o Apêndice, com atividades para revisar os conteúdos de matemáti-ca do ensino fundamental e médio.

A contribuição académica e pedagógica desta obra permitirá um impor-tante avanço didático para a pavimentação do ensino e da aprendizagemda matemática nos cursos de Administração, Economia e Contabilidade.Esta é, em essência, a nobre intenção pedagógica dos seus autores, nãoobstante a complexidade em que se insere a aludida temática.

Desejo que alunos e professores tenham, com esta obra, a oportunidadepara desenvolver, por meio do estudo, da compreensão e da aplicação damatemática, competências e habilidades, materializadas pela capacidadeem reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, decidir em facedos diferentes graus de complexidade, desenvolver raciocínio lógico, críti-co e analítico e estabelecer relações formais e causais entre fenómenos pro-dutivos, administrativos e de controle no âmbito da gestão.

Finalmente, gostaria de cumprimentar os autores, Prof. Afrânio Muroloe Prof. Giácomo Bonetto, pela iniciativa e qualidade da obra MatemáticaAplicada à Administração, Economia e Contabilidade e agradecer por con-tribuírem para a formação de profissionais cada vez mais competentes esocialmente responsáveis de nosso país.

Prof. Adm. Mauro KreuzPresidente da Associação Nacional dos

Cursos de Graduação em Administração — Angrad

X

Sumário

• CAPÍTULO 1 - CONCEITO DE FUNÇÃO 1Conceito de Função 2

Tipos de Função 4Função Crescente ou Decrescente 4Função Limitada 4Função Composta 7

TÓPICO ESPECIAL - Dispersão e Correlação Linear 11

Diagrama de Dispersão 11Correlação Linear 14

* CAPÍTULO 2 - FUNÇÃO DO 1' GRAU 19Modelos Lineares 20Funções do 1a Grau 20Juros Simples 24Restrição Orçamentaria 25

Caracterização Geral 27

Obtenção da Função do 1Q Grau 29Exemplos de como Obter Funções do P Grau 29Sistemas Lineares e Funções do l" Grau 31

TÓPICO ESPECIAL - Regressão Linear Simples 37Modelo de Regressão Linear Simples 37Passos para Ajuste da Reta de Regressão 37Passos para Ajuste do Modelo de RegressãoLinear Simples pelo M.M.Q. 38

XI


• CAPÍTULO 3 - FUNÇÃO DO 2° GRAU 45

Modelos de Funções do 2a Grau 46Um Modelo de Função do 2a Grau 46


Exemplos de Funções do 2a Grau 53

TÓPICO ESPECIAL - Regressão Quadrática 62

A Regressão Quadrática 62

M CAPÍTULO 4 - FUNÇÃO EXPONENCIAL 69

Modelos de Funções Exponenciais 70Utilizando um Fator Multiplicativo 70Montante e Função Exponencial 73Função Exponencial e Depreciação de uma Máquina 75Função Exponencial e juros Compostos 77

Caracterização Geral 78Obtenção da Função Exponencial 801a Caso: Identificando Evolução Exponencial 802" Caso: Função Exponencial a partir de Dois Pontos 823° Caso: Função Exponencial a partir do Fator Multiplicativo 83

Logaritmos e Logaritmo Natural 86Logaritmos 86Propriedades dos Logaritmos 88

TÓPICO ESPECIAL - Regressão Exponencial 95

A Regressão Exponencial 95

m CAPÍTULO 5 - FUNÇÕES POTÊNCIA,

POLINOMIAL, RACIONALE INVERSA 103

Modelos de Função Potência 104Produção, Insumo e Proporcionalidade 104Produção e Taxas Crescentes 105Produção e Taxas Decrescentes 107A Lei de Pareto, Assíntotas e Limites 109

XII

Sumário

Caracterização Geral 114l" Caso: Potências Inteiras e Positivas 1152" Caso: Potências Fracionárias e Positivas 1163° Caso: Potências Inteiras e Negativas 117

Modelos de Função Polinomial 119Função Polinomial e Preço de um Produto 120


Modelos de Função Racional 121Função Racional e Receita 122


Função Inversa 128Obtendo a Inversa de uma Função Exponencial 128Existência da Função Inversa 130

TÓPICO ESPECIAL - Regressão Potência e Hipérbole 137

Modelo de Regressão Potência 137

Modelo de Regressão Hipérbole 141

l CAPÍTULO 6 - O CONCEITO DE DERIVADA 151

Taxa de Variação 152Taxa de Variação Média 152Taxa de Variação Média em um Intervalo 152Taxa de Variação Instantânea 154

Derivada de uma Função em um Ponto 158Derivada de uma Função como Taxa de Variação Instantânea 158

Interpretação Gráfica da Derivada 159Taxa de Variação Média como Inclinação da Reta Secante 159Taxa de Variação Instantânea como Inclinação da Reta Tangente 161Derivada como Inclinação da Reta Tangente 164Reta Tangente à Curva em um Ponto 167Diferentes Derivadas para Diferentes Pontos e a função Derivada 169Função Derivada 170

TÓPICO ESPECIAL - Linearidade Local 180

Linearização em q = 2 189Linearização em q = 6 189

XIII


• CAPÍTULO 7 - TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO 195Regras de Derivação 196Função Constante 196Função do l11 Grau 197Constante Multiplicando Função 197Soma ou Diferença de Funções 198Potência de y. 199Função Exponencial 201Função Exponencial na Base e 201Logaritmo Natural 202Produto de Funções 203Quociente de Funções 204Função Composta - Regra da Cadeia 205A Notação de Leibniz 209Regra da Cadeia com a Notação de Leibniz 211Derivada Segunda e Derivadas de Ordem Superior 214Diferencial 215

TÓPICO ESPECIAL - Derivação Implícita 218

• CAPÍTULO 8 - APLICAÇÕES DAS DERIVADASNO ESTUDO DAS FUNÇÕES 227

Máximos e Mínimos 228Máximo e Mínimo Locais 228Máximo e Mínimo Globais 229Pontos onde a Derivada não Existe Analisados Graficamente 230Derivada e Crescimento/Decrescimento de uma Função 232Pontos Críticos 233Teste da Derivada Primeira 234Derivada Segunda e Concavidade de um Gráfico 240Derivada Segunda e Comportamento da Derivada Primeira 240Derivada Segunda e Taxas de Crescimento/Decrescimento 242Teste da Derivada Segunda 244Ponto de Inflexão 245Como Encontrar um Ponto de Inflexão 245Observações gerais 250

TÓPICO ESPECIAL - Ponto de Inflexão e seuSignificado Prático 254

XIV

Sumário

• CAPÍTULO 9 - APLICAÇÕES DAS DERIVADASNAS ÁREAS ECONÓMICA EADMINISTRATIVA 257

Funções Marginais 258O Custo Marginal na Produção de Eletroeletrônicos 258Função Custo Marginal e Outras funções Marginais 261Custo Marginal 263Receita Marginal 264Lucro Marginal 266Custo Médio Marginal 268Elasticidade 272Elasticidade-Preço da Demanda 272Classificação da Elasticidade-Preço da Demanda 276Elasticidade-Renda da Demanda 276Relação entre Receita e Elasticidade-Preço da Demanda 277Propensão Marginal a Consumir e a Poupar 282

TÓPICO ESPECIAL - Modelo de Lote Económico 290

Lote Económico de Compra 290

• CAPÍTULO 10 - O CONCEITO DE INTEGRAL 301Integral Definida a partir de Somas 302Variação da Produção a partir da Taxa de Variação 302Estimativa para a Variação da Produção a partir daTaxa de Variação 305Variação da Produção e Integral Definida 307Integral Definida como Área 311Integral Definida para f (x) Positiva 311Integral Definida para f(x) Negativa 313Cálculo da Área entre Curvas 316Valor Médio e Integral Definida 318Primitivas e Teorema Fundamental do Cálculo 320Primitivas 320Teorema Fundamental do Cálculo 321

TÓPICO ESPECIAL - Regra de Simpson(Integração Numérica) 327

XV

r. : M . n i H M i Aplii ida à Administração, i e Contabilidade

• CAPÍTULO 11 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 331Integral IndefinidaPrimitivas e Integral Indefinida 332Regras Básicas de Integraçãofunção Constante 333Potência de x 334Constante Multiplicando Função 335Soma ou Diferença de Funções 336Função f(x) = i 337

Função Exponencial 338Função Exponencial na Base e 338Integração por SubstituiçãoUm Exemplo do Método da Integração por SubstituiçãoPassos para Aplicar o Método da Substituição 340Integração por Partes 343Integral do Logaritmo Natural 348Integrais Definidas . 349

TÓPICO ESPECIAL - Integrais Impróprias 355

• CAPÍTULO 12 - APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS 359Integrando Funções Marginais 360Integral Definida da Taxa de Variação como aVariação Total da Função 360

Excedente do Consumidor 364

Excedente do Produtor 371Valor Futuro e Valor Presente de um Fluxo de Renda 376Capitalização Contínua 376Valor Futuro de um Fluxo de Renda 378Valor Presente de um Fluxo de Renda 379

TÓPICO ESPECIAL - O índice de Gini e aCurva de Lorenz 385

• APÊNDICEAtividades para Revisão

• RESPOSTASExercícios ImparesBibliografia

395

409463

XVI

ca pitu Io 1

Conceito de Função

• Objetivo do CapítuloNesse capítulo, você notará como muitas situações práticas nas áreas deadministração, economia e ciências contábeis podem ser representadas porfunções matemáticas. Nas análises iniciais dessas funções, serão ressaltadosconceitos como crescimento e decrescimento, função limitada e função com-posta, sempre associados a aplicações nas áreas administrativa, económicae contábil. No Tópico Especial, por meio de diagramas de dispersão e docoeficiente de correlação linear, você analisará mais aspectos da associaçãoentre variáveis matemáticas.

, ii i Apll '• u ministraçío, l onomla • < ntabllldadi

• Conceito de FunçãoNa análise de fenómenos económicos, muitas vezes usamos funções matemá-ticas para descrevê-los e interpretá-los. Nesse sentido, as funções matemáti-cas são usadas como ferramentas que auxiliam na resolução de problemasligados à administração de empresas. Nesta seção descrevemos o conceito defunção e algumas de suas representações.

No exemplo a seguir, a Tabela 1.1 traz a distribuição dos preços doquilo do contrafilé no decorrer dos meses no ano de 2003.

Tabela 1.1 Preço médio do quilo do contrafilé em São Paulo

no ano de 2003

Mês (t) Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.

Preço (p) (R$) 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01 7,08 7,14 7,20 7,28 7,36 7,45

A cada mês, observamos um preço da carne. Assim, podemos dizer quecada preço, p, está associado a um mês, t, ou ainda que o preço dependedo mês que escolhemos.

Nesse exemplo, se substituirmos cada mês por um número, podemosentender a relação entre o mês e o preço como uma associação entre duasvariáveis numéricas; assim temos uma nova tabela:

Tabela 1.2 Preço médio do quilo do contrafilé em São Paulono ano de 2003

Mês (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Preço (p) (R$) 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01 7,08 7,14 7,20 7,28 7,36 7,45

Vale ressaltar que, a cada valor da variável "mês", temos um únicovalor da variável "preço" associado, o que caracteriza uma função mate-mática ou mais precisamente:

A cada valor da grandeza t está associado um único valor da grandeza P,caracterizando P como função de f, o que é indicado por P = f(t).

Nesse contexto, a variável t é chamada de independente e a variável p échamada de dependente; o conjunto dos valores possíveis para a variável inde-pendente é o domínio da função; a imagem da função é o conjunto dos valo-res da variável dependente que foram associados à variável independente.

2

Capítulo 1 - Conceito de Função

No exemplo anterior, por meio da tabela, fizemos uma representaçãonumérica da função, que pode ser representada também por meio de umgráfico:

Figura 1.1 Preço médio do quilo do contrafilé em São Paulo • -.-.no ano de 2003.

7,57,47,37,27,1

6,86,76,66,56,4

•

•

O l '2 3 4 '5 6 7 9 10 11 12

As funções também são representadas por fórmulas que relacionam asvariáveis. No exemplo dado não existe uma fórmula que relacione demaneira exata as variáveis í e P, mas podemos aproximar tal relação coma fórmula

p = 0,0676 t + 6,6104

cujo gráfico é representado por uma reta que se aproxima dos pontos játraçados na Figura 1.1:

Figura 1.2 Reta que aproxima o preço médio do quilo do contrafilé emSão Paulo no ano de 2003.

p 4.

5 6 7 8 '9 10 11 12

3

[ i . . . , i . . i ida à - . I n inii ti ição, Ei onomia e Contabilid ide

Lembramos que, para o traçado da reta no gráfico, o domínio que•ntes era dado por D (f) = (l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) foi substi-tuído pelo conjunto do números reais. Consideraremos o conjunto dosnúmeros reais, ou seus intervalos, como o domínio para as funções apre-sentadas neste livro.

Tipos de FunçãoMuitas funções podem ser identificadas por apresentar característicassemelhantes. Nesta seção estudaremos as funções crescentes e decrescentes,limitadas e compostas.

Função Crescente ou Decrescente

Na função do exemplo anterior, percebemos que, à medida que o númerof do mês aumenta, o preço p da carne também aumenta; nesse caso, dize-mos que a função é crescente.

Tomando como exemplo a demanda, q, de um produto em função deseu preço, p, relacionados pela fórmula

10

podemos esboçar o gráfico

Figura 1.3 Demanda de um produto em função de seu preço.

«t10

Percebemos que, à medida que o preço p aumenta, a demanda q dimi-nui. Nesse caso, dizemos que a função é decrescente.

Função Limitada

Vamos analisar a função da venda total, v, de um CD, no decorrer dosmeses, í, dada pela seguinte expressão:


250l + 500 • 0,5'

Construindo uma tabela, obtemos as vendas aproximadas (em milha n-sde CDs) para o número de meses após o lançamento do CD.

Tabela 1.3 Vendas totais aproximadas de um CD após seu lançamento

O 1 2 4 ò 8 10 12 14 16 18 20

0,5 1 2 8 28 84 168 223 243 248 250 250 •

t (meses)

v (vendas totaisem milhares)

Podemos representar tais valores no gráfico

Figura 1.4 Vendas totais aproximadas de um CD após seu lançamento.

0 2 4 10 12 14 16 18 20

De acordo com essa função, as vendas nunca ultrapassam 250.000CDs. Na verdade, o valor correto para í = 18 é v = 249.524 e para t = 20é v = 249.880.

Como notamos, por maior que seja o valor de í, o valor da funçãojamais ultrapassa 250. Nesse caso, dizemos que a função é limitada supe-riormente e que o valor 250 é um limitante superior. Podemos dizer queoutros valores - por exemplo, 251, 260, 300 ou 1.000 - também são limi-tantes superiores, porém chamamos o valor 250 de supremo por ele ser omenor dos limitantes superiores.

Agora, analisaremos o custo por unidade, cu, de um eletrodoméstico emfunção da quantidade produzida, q, cuja relação é dada por

240 ,ncu = + 50.


Construindo uma tabela, obtemos os custos unitários para os númerosde unidades produzidas.

Tabela 1.4 Custos unitários para produção de um eletrodoméstico

q (unidades) 10 20 40 60 80 100 150 200 250 300

cu (custo por 74,00 62,00 56,00 54,00 53,00 52,40 51,60 51,20 50,9650,80

unidade) (R$)


Figura 1.5 Custos unitários para produção de um eletrodoméstico.

100 j

75 j

só

25

OO 10 20 40 60 80 100 150 200 250 300

De acordo com essa função, o custo unitário nunca é menor que 50,00.Na verdade, se calculamos o custo por unidade para produzir q - 10.000unidades, obtemos o custo aproximado de cu = 50,02.

Como notamos, por maior que seja o valor de q, o valor da funçãojamais será inferior a 50. Nesse caso, dizemos que a função é limitada infe-riormente e que o valor 50 é um limitante inferior. Podemos dizer queoutros valores - por exemplo, 49, 40, 30 ou O — também são limitantesinferiores, porém chamamos o valor 50 de ínfimo por ele ser o maior doslimitantes inferiores.

Analisaremos agora a função do valor, v, de uma ação negociada nabolsa de valores, no decorrer dos meses, f, dada pela expressão

.( 2 -6 í+10

6


Construindo uma tabela, obtemos o valor aproximado para o númerode meses após o lançamento para a negociação da ação na bolsa de valores.

Tabela 1.5 Valor aproximado de uma ação na bolsa de valores

t (meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 5

v(valoremR$) 1,20 1,40 2,00 3,00 2,00 1,40 1,20 1,12 1,08 1,05 1,04 1,01


Figura 1.6 Valor aproximado de uma ação negociada na bolsa de valores.

v *.i, 5

;i,^

2-1,5

l""0,5

OO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

Analisando mais atentamente essa função, percebemos que o valor daação jamais ultrapassa R$ 3,00 e, ao mesmo tempo, nunca é inferior aR$ 1,00. Portanto, temos uma função que é limitada superiormente e infe-riormente, o que nos leva a chamá-la de função limitada.

Função Composta

Agora, consideremos duas funções: a produção p de um produto, em fun-ção da quantidade q de insumo disponível, e a quantidade vendida v domesmo produto, em função daquilo que foi produzido, p.

Vamos supor que a produção, dependendo do insumo, seja dada por

p = -q2 + 8q + 9

e que a venda, dependendo da produção, seja dada por

v = 0,7p.

Se for dada uma quantidade q = l de insumo, podemos calcular a pro-dução correspondente:


p = -l2 + 8 • l + 9p = 16.

Sabendo a produção p = 16, podemos determinar a venda correspondente:

v = 0,7 • 16i > = 11,2.

Realizando os mesmos cálculos para uma quantidade de insumo q = 4,obtemos a produção p = 25 e a venda v = 17,5.

Notamos, então, que dada uma quantidade de insumo, é possível calcu-lar as vendas, desde que calculemos primeiramente a produção. Entretanto,é possível obter uma função que permite calcular diretamente as vendas apartir da quantidade de insumo, não sendo necessário o cálculo da produ-ção. Essa função é conhecida como composta das funções v e p, simboliza-da como v = v(p) = v(p(q)). Tal função composta é obtida substituindo afunção da produção na expressão que dá a venda:

Substituindo p = - q2 + 8q + 9 em v = Q,7p, obtemos

v = Q,7(-q2 + 9>q + 9)v = -Q,7q2 + 5,6q + 6,3.

Como podemos notar, nessa última expressão, a venda v depende daquantidade q.

Podemos confirmar a validade da expressão obtida calculando a vendapara a quantidade q = l de insumo:

v = -0,7 • l2 + 5,6 • l + 6,3v= 11,2.

Representando graficamente os cálculos realizados, temos:

Figura 1.7 Representação gráfica de uma composição de função.


Nesse exemplo, simbolizamos a produção em função do insumo porp(q)', a venda em função da produção v(p) e a composta da venda em fun-ção do insumo por

v(p(q)) = v(q).

Exercícios

l . O gráfico seguir representa o valor (em R$) de uma ação negociada nabolsa de valores no decorrer dos meses.

^

s{

K^\

í y

S ^\

t/^

dJ i

*'

i_-j 'N

1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 í

Considerando í = l o mês de janeiro, í = 2 o mês de fevereiro, e assimsucessivamente, determine:

a) o valor da ação nos meses de fevereiro, maio, agosto e novembro.b) os meses em que a ação vale R$ 2,00,c) os meses em que a ação assumiu o maior e o menor valor. Deter-

mine também os valores nesses meses.d) os meses em que a ação teve as maiores valorizações e de quanto

foram essas valorizações. Os meses em que a ação teve as maioresdesvalorizações e de quanto foram essas desvalorizações.

e) a média dos valores das ações.

2. A produção de peças em uma linha de produção, nos dez primeiros diasde um mês, é dada pela tabela a seguir:

D i a 1 2 3 4 5 6 7 8 . 9 1 0

Unidades 1.250 1.200 1.450 1.380 1.540 1.270 1.100 1.350 1.300 1.410

Com base nos dados:

a) Determine a produção média de peças nos dez dias.


b) Determine a variação entre a maior e a menor produção de peças.c) Determine o maior aumento percentual na produção de um dia

para outro.d) Construa um gráfico de linha da produção. ie) Em que períodos a função é crescente? E decrescente?

3. A receita R na venda de q unidades de um produto é dada por f? = 2q.Ja) Determine a receita quando são vendidas 5, 10, 20 e 40 unidades

do produto.b) Quantas unidades foram vendidas, se a receita foi de R$ 50,00?c) Esboce o gráfico da receita.d) A função é crescente ou decrescente? Justifique.e) A função é limitada superiormente? Justifique.

4. A demanda q de uma mercadoria depende do preço unitário p em queela é comercializada, e essa dependência é expressa por q = 100 - 4p.

a) Determine a demanda quando o preço unitário é $ 5, $ 10, $ 15,$ 20 e $ 25.

b) Determine o preço unitário quando a demanda é de 32 unidades.c) Esboce o gráfico da demanda.d) A função é crescente ou decrescente? Justifique.

5. O custo C para a produção de q unidades de um produto é dado porC = 3<j + 60.

a) Determine o custo quando são produzidas O, 5, 10, 15 e 20 unidades.b) Esboce o gráfico da função.c) Qual o significado do valor encontrado para C quando q = O?d) A função é crescente ou decrescente? Justifique.e) A função é limitada superiormente? Em caso afirmativo, qual seria

o valor para o supremo? Justifique.

6. O lucro / na venda, por unidade, de um produto depende do preço p em queele é comercializado, e tal dependência é expressa por / = -p2 + ÍOp - 21.

a) Obtenha o lucro para o preço variando de O a 10.b) Esboce o gráfico.c) A função é limitada superiormente? Em caso afirmativo, qual um

possível valor para o supremo?

7. O custo unitário cu para a produção de q unidades de um eletrodomés-

tico é dado por cu = + 10.

10


a) Qual será o custo unitário quando se produzirem 10, 100, 1.000 e10.000 unidades?

b) Quantas unidades são produzidas quando o custo unitário é de $ .14?c) Esboce o gráfico.d) A função cu é crescente ou decrescente? Justifique.e) A função é limitada superiormente? E inferiormente? Em caso afir-

mativo para uma das respostas, qual seria o supremo (ou ínfimo)?

8. O custo C para a produção de q unidades de um produto é dado por

C = 3q + 60. O custo unitário cu para a confecção de um produto édado por cu = — •

a) Calcule o custo quando se produzem 2, 4 e 10 unidades.b) A partir dos valores de custo encontrados no item (a), obtenha o

custo unitário para as respectivas quantidades produzidas.c) Obtenha a função composta do custo unitário cu em função de q.d) Verifique com a expressão do item (c) os valores obtidos no item (b).

TÓPICO ESPECIAL - Dispersão e CorrelaçãoLinear

• Diagrama de Dispersão

Como vimos, o conceito de função está intimamente ligado à nossa vidaprática, e é comum relacionarmos grandezas tais como preço e quantidadeproduzida, preço e faturamento, custo e quantidade produzida, tempo emmeses, dias ou ano, com grandezas como custos, gastos e produção.

Notamos que essas relações podem ficar mais bem caracterizadas quan-do definimos variáveis para o que queremos estudar. Desse ponto de vista,é comum trabalhar com duas variáveis, x e y.

A variável "y" é a mais importante, dentro do que estamos interessadosem saber ou pesquisar. Assim sendo, em uma pesquisa sobre gastos compropaganda e tempo em meses, a variável "y" representará os gastos, e avariável "#", os meses a serem pesquisados. Podemos criar inúmeras liga-ções entre as variáveis x e y, tais como: consumo e renda, preço e quanti-dade ofertada, receita e preço, lucro e quantidade produzida, variação dainf lação em um determinado período em relação aos meses observados,

11


gastos com propaganda em uma empresa com a quantidade vendida paradeterminado produto.

Naturalmente, ao estudar as relações entre as variáveis, estamos interes-sados em analisar e interpretar o comportamento das grandezas relaciona-das. Uma maneira inicial de analisar e interpretar a relação entre as variáveisé a elaboração de diagramas de dispersão, que permitem a visualização docomportamento entre as variáveis estabelecidas. O diagrama de dispersão éconstruído ao se esboçar em um plano cartesiano os pontos relativos àsvariáveis estabelecidas.

Considerando, por exemplo, a produção de um tecido em relação à quan-tidade de insumo utilizada em sua produção, conforme a tabela seguinte:

Tabela 1.6 Produção de um tecido em correspondência com o insumoutilizado em sua produção

Insumo (x)

Produção (y)

1

10

2

21

3

49

4

67

5

91

6

87

7

97 89

9

85

10

70

podemos esboçar o diagrama de dispersão para a produção de tecido:

Figura 1.8 Produção de um tecido em relação ao insumo utilizado.

> T ' ,b100

90-

80-

70-

60-

40

.50

20

I O

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

12


Ou ainda, se considerarmos o custo para o transporte de tecidos rela-cionado às distâncias a serem percorridas, conforme a tabela seguinte:

Tabela 1.7 Custo para transporte relacionado à distância a ser percorrida.

Distância W 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Custo (y) 8 15 21 30 40 44 55 59 68 75

podemos esboçar o diagrama de dispersão do custo para o transporte:

Figura 1.9 Custo do transporte de tecido em relação à distânciaa ser percorrida.

1 1 \ 1 \ 1 1 1 1 x

O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Observando os pontos para os dois diagramas esboçados, podemos tra-çar, à mão livre, uma curva que se aproxime dos pontos do primeiro dia-grama e uma reta que se aproxime dos pontos do segundo diagrama.

13

M.iicm.itii i A|I|I. ida à Administra^ ío, El mia i - 1 < > i < i , i l > i l i < l . n l i '

Figura 1.10 Curva e reta que se aproximam dos pontos nosdiagramas de dispersão.

10 203040 5060 70 8090100

Correlação Linear

Como os pontos do segundo diagrama se aproximam de uma reta, dizemosque existe uma correlação linear entre as variáveis que originaram tal dia-grama. Nesses casos, podemos calcular o valor da correlação linear entretais variáveis e, de acordo com o valor obtido, avaliar se os pontos se apro-ximam pouco ou muito de uma reta; em outras palavras, por meio dessecálculo, podemos avaliar se existe forte ou fraca correlação linear.

O coeficiente de correlação linear será representado por r e é dado por

n - Ixy - (Lc ) .gy )

e varia dentro do intervalo [—1; 1].

• Se r é próximo de +1, dizemos que há entre as variáveis uma forte cor-relação linear positiva, o que indica que os pontos estão muito próxi-mos de uma reta e que as variáveis "caminham" em um mesmo sentido;isto é, se x cresce, então y também cresce. Se r = +1, dizemos que existeuma perfeita correlação linear positiva.

• Se r é próximo de —l, dizemos que há entre as variáveis uma forte cor-relação linear negativa, o que indica que os pontos estão muito próxi-mos de uma reta e que as variáveis "caminham" em sentidos opostos;

14


isto é, se x cresce, então y decresce. Se r = -l, dizemos que existe umaperfeita correlação linear negativa.

Ser é próximo de O, dizemos que há entre as variáveis uma fraca corre-lação linear (positiva ou negativa, conforme o caso), o que indica que ospontos não estão próximos de uma reta. Se r = O, dizemos que não exis-te correlação linear.

A seguir, algumas possibilidades para r e sua interpretação gráfica:

r = +íPerfeitamente Positiva

r s 0,7Moderadamente Positiva

Perfeitamente Negativa

r * -0,7Moderadamente Negativa

r = 0Correlação Linear Nula


Na verdade, estudaremos no próximo capítulo, em detalhes, os modelosda área administrativa e económica que podem ser representados grafica-mente por retas. No Tópico Especial do próximo capítulo, também traba-lharemos um método para obter uma reta que se ajusta aos pontos plotadosem um gráfico quando existe entre eles uma correlação linear simples.

• Problemas1. Dados os principais conceitos e propriedades dos somatórios, efetue as

somas indicadas nos itens (a) a (h) a partir da tabela a seguir.

'E*; = x\ X2 +*3 +

• x = k • 2* (k é constante)

2(* ± y) = 2* ± Iy, X

'~k = ̂2 -r-= T~ (k é constante)

x

y

a) 2 x2 b) 2 y2

g) I x* h) 2 *3

2. Construa o gráfico deduas variáveis x e y.

Preço Unitário (u. m.) (x)

Faturamento (u. m.) (y)

Tempo em meses (x)

Produção em milhares (y)

2 4 5

8 3 2

3

1

c) 2 xy d) 2 xy2

i) E 2* j)2f

dispersão para

Tabela

10 20

800 950

Tabela

1 2

1.000 1.500

. 10

5

e) 2 x2yk) 2 (x + y)

as tabelas a seguir, que

1

30

1.120

2

3

3.200

40 50

1.250 1.380

4 5

4.800 6.700 5.

f) 2 *2y2

relacionam

60

1.500

6 7

.200 4.300

16


3. Com base nas informações do Exercício 2, ajuste uma reta ou umacurva para os dados da Tabela l e Tabela 2, sem se preocupar com aexatidão desse ajuste, e perceba que os pontos x e y da Tabela l geramum sistema de dispersão adaptando-se a uma reta crescente, enquantoos pontos da Tabela 2 geram um sistema de dispersão adaptando-se aoformato de uma curva crescente.

4. A partir da Tabela l do Exercício 2 e do gráfico de dispersão correspon-dente:

a) Calcule o grau de correlação linear.b) Após ter identificado o sinal de r, interprete de que forma as variá-

veis x (preço) e y (faturamento) se relacionam.c) Podemos afirmar que nesse caso existe uma forte, moderada ou

fraca correlação entre as variáveis?d) Repita todos os itens anteriores para a Tabela 2 do Exercício 2 e

compare os resultados obtidos com os cálculos e análises efetuadoscom os dados da Tabela 1.

5. Uma empresa de ração para animais, estudando a variação da demandade seu principal produto (yj) em relação à variação de preços (xj), obser-vou dados relevantes para análise no que tange à dispersão e correlaçãodessas variáveis. A tabela a seguir resume os principais dados observados:

Mês

Jan.

Fev.

Mar.

Abr.

Maio

Jun.

Jul.

Ago.

Set.

Out.

Nov.

Dez.

/

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Preço unitário(x,)

10

12

14

16

19

20

22

25

28

34

38

43

Demanda

W450

320

280

220

150

125

100

82

64

32

18

10


A partir das informações exibidas na tabela:

a) Construa o sistema de dispersão.b) Observando os dados da tabela e o diagrama construído no item

anterior quanto à evolução do sistema, podemos afirmar que se com-porta de forma crescente ou decrescente? Justifique.

c) Em sua opinião, depois de construído o sistema de dispersão, ospontos do diagrama apresentam comportamento linear? Justifique.

d) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis e relacione seuvalor com as observações feitas nos itens anteriores.

capítulo 2

Função do 1a Grau

• Objetivo do CapítuloNesse- capítulo, você analisará as funções do primeiro grau e suas aplicações

c •.!lidando conceitos como taxa de variação; funções receita, custo e lucro;l>ii\ik-even point; juros simples; restrição orçamentaria, entre outros. Vocêi •.! ndará também diferentes maneiras de obter e interpretar graficamente ajinição do primeiro grau. No Tópico Especial, com base no Método dosMínimos Quadrados, serão apresentados os passos para obter o modelo deK i'pressão Linear Simples.


• Modelos Lineares

Analisaremos agora as funções do primeiro grau; estas representam um dostipos de funções mais simples e de grande utilização.

Funções do 1° GrauNo exemplo a seguir, a Tabela 2.1 traz o custo para a produção de camisetas.

Tabela 2.1 Custo para a produção de camisetas

Quantidade (q)

Custo (Q (RS)

O

100

5

110

10

120

20

140

50

200

100

300

Notamos que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, ocusto aumenta em R$ 10,00; se há um aumentp de 10 unidades, o custoaumenta em R$ 20,00, ou ainda, para um aumento de 30 unidades, o cus-to aumenta em R$ 60,00. Concluímos que uma variação na variável inde-pendente gera uma variação proporcional na variável dependente. É isso oque caracteriza uma função do l" grau.

Para um maior entendimento da função do 1Q grau desse exemplo,podemos calcular a taxa de variação média, ou simplesmente taxa devariação da variável dependente, C, em relação à variável independente, q,pela razão

_ variação em C _ 10 _ 20 _ 60 _variação em q 5 10 30

Nesse exemplo, a razão m = 2 dá o acréscimo no custo correspondenteao acréscimo de l unidade na quantidade.

Notamos ainda que, mesmo se não forem produzidas camisetas (q = 0),haverá um custo fixo de R$ 100,00. Tal custo pode ser atribuído à manu-tenção das instalações, impostos, despesas com pessoal etc.

De modo geral, podemos dizer que a função custo é obtida pela soma deuma parte variável, o Custo Variável, com uma parte fixa, o Custo Fixo:

C = C + C1

20

Capitulo 2 - Função do 1" Grau

Para o nosso exemplo, podemos obter a função do custo pela relação

C = 2q + 100

..mIr (;„ = 2q e Cf= 100.O gráfico da função de l" grau é uma reta, onde m = 2 dá a inclinação

il.i reta e o termo independente 100 representa o ponto em que a reta cortao eixo vertical.

Figura 2.1 Custo para a produção de camisetas.

c = 2q + 100

variação em C = 60

.5(1

Dada a função custo para a produção das camisetas, vamos analisara função Receita obtida com a comercialização das unidades.

Para um produto, a receita R é dada pela multiplicação do preço unitá-I H i, />, pela quantidade, q, comercializada, ou seja,

Supondo em nosso exemplo que o preço para a comercialização de cada. . i iniscta seja R$ 7,00, obtemos a função Receita

imundo que a taxa de variação para essa função de 1a grau em = 7 (incli-n. i(,;io da reta) e o termo independente é O (onde corta o eixo vertical).

O gráfico para essa função é uma reta que passa pela origem dos eixos..... i denados.

21

r.l . 1 . m.itii i Aplii ida . 1 Administrai 10, [ . . H L , n u . . <• l.ihilicl.irl.

Figura 2.2 Receita para a comercialização de camisetas.

variação em R = 210

Dadas as funções Custo e Receita é natural questionarmos sobre a fun-ção Lucro. De modo geral, a função Lucro é obtida fazendo "receita menosCusto":

Lucro = Receita - Custo

Para o nosso exemplo, chamando L o lucro e supondo que as quantida-des produzidas de camisetas são as mesmas comercializadas, temos

L = R-CL = 7q-(2q + 100)

L = Sq-\QQ

Nesse caso, notamos que a função Lucro também é uma função de 1a

grau, cujo gráfico é uma reta de inclinação m = 5 e que corta o eixo verti-cal em -100.

Figura 2.3 Lucro para a comercialização de camisetas.

40 1

Capítulo 2 - Função do 1" Grau

Podemos observar pelo gráfico que a reta corta o eixo horizontal emíf = 20. Na verdade, podemos obter facilmente esse valor fazendo L = O

L = Q5<7-100 = 0

q = 20

Tal valor indica que, se q < 20, temos lucro negativo (L < O, o que indi-ca prejuízo) e, se q > 20, temos lucro positivo (L > 0). Na verdade, pode-mos obter a quantidade que dá lucro zero fazendo Receita = Custo

L = 0R-C = 0

R = C

Graficamente, o ponto em que a receita é igual ao custo é chamadode break-even point e é dado pelo encontro das curvas que representama Receita e o Custo. No nosso exemplo, é dado pelo encontro das retasR = 7q e C = 2q + 100.

Figura 2.4 Interpretação do break-even point

-100

M.itt.Tii.itii i Aplic nl i i Adniínístr, Economia < • < <jnl.il>ili'l.nl<

Como pudemos observar, a função de 1a grau pode ser útil para repre-sentar o custo, a receita e o lucro na comercialização de um produto.Analisaremos agora as funções dos juros simples e de seu montante, repre-sentadas por meio da função de l2 grau.

Juros Simples

Vamos supor uma aplicação no sistema de capitalização simples, ou seja, ataxa de juros incide apenas sobre o capital inicial. Chamando de J os juros,P o capital aplicado inicialmente, i a taxa de juros (escrita na forma deci-mal), n o período da aplicação e M o montante composto dos juros mais ocapital inicial, podemos obter o valor dos juros e do respectivo montante apartir das relações

Assim, se uma quantia de R$ 10.000 for aplicada a uma taxa de 5%durante um período n, podemos obter a função que dá o valor dos juros

/ = 10.000 • 0,05 • n •J = 500«

e a função que dá o valor do montante

M = 500« + 10.000

Notamos que ambas as funções são do 1° grau e, supondo que os jurossão pagos para qualquer fração do período, obtemos como gráficos duasretas de traçado contínuo em que a inclinação é m = 500 para ambas.

Figura 2.5 Funções juros simples e montante respectivo.

10.000

10.000

Capítulo 2 - Função do V Grau

Notamos que a reta do montante foi obtida transladando-se para cima.1 reta dos juros em 10.000 unidades, valor que representa o capital aplica-do inicialmente.

Pelas caraterísticas das relações matemáticas que fornecem os juros sim-ples e seu montante, podemos dizer que ambos são sempre representadospor funções de 1° grau. Tais funções podem ser úteis também para repre-sentar restrições orçamentarias.

Restrição Orçamentaria

Supondo, por exemplo, que uma empreiteira deseja comprar areia e pedrapara fazer um calçamento e disponha de R$ 1.000. Sabendo que o metrocúbico de areia custa R$ 50, enquanto o metro cúbico de pedra custal<$ 40, podemos obter uma expressão matemática que relacione os possí-veis valores e quantidades de areia e pedra a serem compradas utilizando oorçamento de R$ 1.000.

Sendo x a quantidade de areia a ser comprada então, o valor a ser gastocom areia será 50*. De modo análogo, sendo y a quantidade de pedra a sercomprada então, o valor a ser gasto com pedra será 40x.

A restrição orçamentaria para a compra de dois produtos A e B, de.icordo com um orçamento determinado, é dada pela expressão

"Valor gasto com A" + "Valor gasto com B" = Orçamento

Então, em nosso exemplo, a restrição orçamentaria para a compra deareia e pedra será dada por

50x + 40y= 1.000

Para essa expressão, dizemos que a dependência entre x e y foi dada deforma implícita. Podemos explicitar tal dependência isolando x ou y, obten-do então

x = ~0,8y + 20 ou y = -l,25x + 25

Em todas as expressões, a dependência é linear, o que caracteriza a fun-ção de l" grau. Para a obtenção do gráfico da restrição orçamentaria, émUTcssante determinar os pontos em que a reta corta o eixo x e o eixo y.

Obtemos o ponto em que a reta corta o eixo x fazendo y = O (em qual-quer uma das expressões anteriores); por exemplo:

50* + 40 • O = 1.000 =* x = 20

25


Obtemos o ponto em que a reta corta o eixo y fazendo x = O (em qual-quer uma das expressões anteriores); por exemplo:

50 • O + 40y = 1.000 =* y = 25

Na verdade, esses dois pontos representam opções extremas de comprapois, se y = O, não é comprada pedra e, portanto, gasta-se todo o orçamen-to com x = 20 m3 de areia; entretanto, se x = O, não é comprada areia, gas-tando-se o orçamento com y = 25 m3 de pedra.

Figura 2.6 Restrição orçamentaria.

25

2(1

Neste gráfico, é interessante notar três tipos de pontos: abaixo da reta(A), na reta (B) e acima da reta (C).

Figura 2.7 Interpretação de pontos e a restrição orçamentaria.

25

\(8;15)

B\; 7)

20

26

Capítulo 2 - Função do 1' Grau

Pontos abaixo da reta correspondem a quantidades que, quando com-pradas, determinam um custo abaixo do orçamento. O ponto A = (8; 7)resulta em um gasto de R$ 680:

50 • 8 + 40 • 7 = 680

Pontos na reta correspondem a quantidades que, quando compradas,determinam um custo igual ao orçamento. O ponto B = (8; 15) resulta emum gasto de R$ 1.000:

50- 8 + 40- 15 = 1.000

Pontos acima da reta correspondem a quantidades que, quando com-pradas, determinam um custo acima do orçamento. O ponto C = (8; 22)resulta em um gasto de R$ 1.280:

50- 8 + 40 • 22 = 1.280

Por meio dos modelos e exemplos anteriores, notamos algumas dassituações em que é aplicada a função de l" grau. A seguir, descreveremostal função de maneira mais geral.

• Caracterização GeralDefinição: uma função de 1° grau é dada por

y = f(x) = mx + b

com m * O, onde

• w é chamado de coeficiente angular, ou taxa de variação média, ousimplesmente taxa de variação da variável dependente, y, em relaçãoà variável independente, x, e pode ser calculado pela razão

_ variação em y _ Ay _ f(c) - f(a)variação em x Ax c- a

• graficamente, m dá a inclinação da reta que representa a função.

1 b é chamado de coeficiente linear e pode ser obtido fazendo x = O

' graficamente, b dá o ponto em que a reta corta o eixo y.

27

M i Aplicada a Administração Ecòi ila 11 ortí ibNIdadi

Graficamente, podemos observar os componentes do coeficiente angu-lar e o coeficiente linear

Figura 2.8a Componentes do coeficiente angular e o coeficiente linear.

l variação em y = Ay

Figura 2.8b Componentes do coeficiente angular e o coeficiente linear.

Como já foi dito, m dá a taxa de variação da função, que representa ataxa como a função está crescendo ou decrescendo e, graficamente, m dá ainclinação da reta, sendo mais ou menos inclinada positiva ou negativa-mente.

Se m > O, temos uma taxa de variação positiva, logo a função é cres-cente e a reta será inclinada positivamente e, quanto maior o m, maior ocrescimento de y a cada aumento de x, tendo a reta maior inclinaçãopositiva.

Se m < O, temos uma taxa de variação negativa, logo a função é decres-cente e a reta será inclinada negativamente.

Os gráficos a seguir mostram algumas possibilidades para m.

28


Figura 2.9a Retas do tipoy = mx com m > 0.

Figura 2.9b Retas do tipoy = mx com m < 0.

• Obtenção da Função do 1° Grau

Exemplos de como Obter Funções do 1° Grau

Trabalhando com fenómenos que permitem a representação do modelomatemático por meio de uma função de 1a grau, é importante a obtençãocorreta da expressão que representa tal função. Em outras palavras, sepudermos representar o modelo por uma expressão do tipo y = mx + b, éimportante obtermos de maneira correta os parâmetros m e b.

Para a obtenção de m, devemos estar atentos para informações quedizem respeito à taxa de variação, ou seja, qual a variação da variáveldependente em relação à variação da variável dependente, assim podemosutilizar a definição

_ variação em y _ A yvariação em x A. x

Paia a obtenção de b, utilizamos um valor de x, seu correspondente y eo valor de m obtido anteriormente; substituindo tais valores em y = mx + b,obtemos b.

Exemplo 1: Um operário tem seu salário dado por um valor fixo mais umaparte variável que é diretamente proporcional ao número de horas extras tra-balhadas. Sabe-se que em um mês em que são feitas 12 horas extras, o salárioé de R$ 840, e que em um mês em que são feitas 20 horas extras, o salário éde R$ l .000. Obtenha a relação que dá o salário em função das horas r \. r.

29


Solução:Pelo enunciado, a função pode ser obtida pela expressão y = mx + b, ondey representa o salário e x representa o número de horas extras, então temosas correspondências

x = 12 => y = 840 e x = 20 => y = 1.000

Obtemos m por m = - 1.000 - 840 160 = 20 e obtemos bAx 20-12

substituindo em y = mx + b o valor m = 20 e um dos pares de valores de xe y dados, por exemplo, (x; y) = (12; 840)

840 = 20 • 12 + bb = 600

Assim, a função do salário é dada por y = 20x + 600.

Outra maneira de obter a função de l" grau, ou seja, a equação da retaque passa por dois pontos, é a resolução do sistema formado pelas equaçõesobtidas ao se substituir os pares de x e y dados na equação y = mx + b.

Exemplo 2: Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (5; 30) e(15; 10).

Solução: Como a função de 1a grau é representada graficamente por umareta, substituiremos as coordenadas dos pontos na expressão y = mx + b

(5; 30)(15; 10) =

> 30 = m • 510 = m - 15

b--b

Sm + b = 30 (I)• \5m + b = 10 (II)

Com as equações (I) e (II) formamos o sistema Sm + b = 30\5m + b = 10

Resolvendo tal sistema, obtemos m = -2 e b = 40 e, assim, a equação dareta

y = -2x + 40

Naturalmente, nos dois exemplos anteriores, podemos proceder deoutras maneiras, diferentes das expostas, para a obtenção dos parâmetrosme b. Assim, podemos, no Exemplo l, utilizar sistemas (como no Exemplo2) para obter a função de 1a grau e, no Exemplo 2, podemos proceder como

no Exemplo l, ou seja, determinar m por meio de m = —J- para, em

seguida, obter b.

30

Capítulo 2 - Função do V Grau

Sistemas Lineares e Funções do 1° Grau

Finalmente, lembramos que, quando lidamos simultaneamente com duasfunções do 1Q grau, podemos investigar se tais funções têm valores emcomum, ou seja, se há o encontro das retas que representam as funções.Como visto, se lidamos com as funções do custo e da receita, o ponto deencontro de tais retas é conhecido corno break-even point.

Para a investigação dos pontos comuns de duas retas diferentes, basta resol-

ver o sistema formado por elas, ou seja, resolver o sistema S = \e S tiver apenas uma solução, notamos que as retas se encontram em

um ponto comum e dizemos que tal sistema é possível e determinado. Já seS não tiver solução, notamos que as retas não se encontram, ou seja, sãoparalelas distintas, e dizemos que tal sistema é impossível.

Figura 2.10a Interpretação gráfica dasolução de um sistema

possível e determinado.

y = m'x + b'

y = mx + b

Figura 2.10b Interpretaçãográfica da solução de um

sistema impossível.

Solução do sistema

y = m'x + b"

y = mx + b

Solução = 0

• Exercícios

1. Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de $ 1,50 porlitro.

a) Determine uma expressão que relacione o valor pago (V) em fun-ção da quantidade de litros (q) abastecidos por um consumidor.

b) Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50litros, esboce o gráfico da função obtida no item anterior.

31


2. Um vendedor de planos de saúde recebe de salário $ 300,00, maisuma comissão de $ 5,00 por plano vendido.

a) Determine uma expressão que relacione o salário total (S) em fun-ção da quantidade de planos (x) vendidos.

b) Sabendo que seu salário em um mês foi de $ 1.550,00, qual a quan-tidade de planos vendidos?

c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a).

3. Um operário recebe de salário $ 600,00, mais $ 10,00 por hora extratrabalhada.

a) Determine uma expressão que relacione o salário em função daquantidade de horas extras trabalhadas no mês.

b) Sabendo que 50 é o número máximo permitido de horas extras emum mês, esboce o gráfico da função obtida no item anterior.

4. Um vendedor de uma confecção recebe de salário $ 350,00, mais 3%do valor das vendas realizadas.

a) Determine uma expressão que relacione o salário em função dovalor das vendas realizadas no mês.

b) Em um mês em que o salário foi de $ 800,00, qual o valor das ven-das?

c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a).

5. O valor inicial de um carro é $ 20.000,00, e a cada ano esse valor édepreciado em $ 1.250,00.

a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em fun-ção do número de anos passados após a compra.

b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial?c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a).

6. Supondo aplicações no sistema de capitalização simples em que Pindica o capital aplicado inicialmente e / a taxa de juros, obtenha paracada item, em função do período, as funções dos juros e do montan-te, esboçando também seus gráficos.

a) P = 250.000,00 e i = 3%b) P = 4.000,00 e i = 1,5%

7. Uma dona de casa deseja comprar legumes e frutas e dispõe de $ 24,00.Sabe-se que o preço médio por quilo de legumes é de $ 3,00 e por quilode frutas é de $ 4,00.


a) Obtenha a expressão da restrição orçamentaria.b) Represente graficamente a expressão obtida no item anterior.c) Obtenha a expressão que determina a quantidade de frutas em fun-

ção da quantidade de legumes comprada.d) Obtenha a expressão que determina a quantidade de legumes em

função da quantidade de frutas comprada.

8. Um pintor de casas pretende comprar tinta e verniz e dispõe de$ 1.200,00. Sabe-se que o preço do litro de tinta é $ 4,00 e do litro deverniz é $ 6,00.a) Obtenha a expressão da restrição orçamentaria.b) Represente graficamente a expressão obtida no item anterior.c) Supondo que o valor disponível para compra mude para $ 900,00

e para $ 1.500,00, obtenha as novas expressões para a restriçãoorçamentaria e represente em um mesmo sistema de eixos as novasrestrições e a restrição do item (a).

d) Supondo que o preço da tinta aumente para $ 5,00, obtenha a novaexpressão para a restrição orçamentaria e represente em um mesmosistema de eixos a nova restrição, juntamente com a do item (a).

e) Supondo que o preço do verniz diminua para $ 5,00, obtenha a novaexpressão para a restrição orçamentaria e represente em um mesmosistema de eixos a nova restrição, juntamente com a do item (a).

9. Um produto, quando comercializado, apresenta as funções Custo eReceita dadas, respectivamente, por C = 3q + 90 e R = 5q, onde q é aquantidade comercializada que se supõe ser a mesma para custo ereceita.a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de custo e recei-

ta. Determine também e indique no gráfico o break-even point.b) Obtenha a função Lucro, L, esboce o seu gráfico e determine as quan-

tidades necessárias para que o lucro seja negativo, nulo e positivo.

10. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B dados emcada item.

a) A = (1; 15) B = (4; 30)b) A = (2; 18) B = (6; 6)c) A = (-2; 10) B = (6; 30)

11. O preço p de um produto varia de acordo com sua demanda q. Atabela a seguir fornece o preço e a demanda para um produto.

33


Quantidade (q)

Preço (p)

3

43

7

37

11

31

15

25

a) Determine a expressão que relaciona preço e demanda.b) Determine o preço para uma quantidade de 10.c) Esboce o gráfico da função do item (a).

12. O valor da conta de um celular é dado por uma tarifa fixa, mais umaparte que varia de acordo com o número de ligações. A tabela a seguirfornece os valores da conta nos últimos meses.

Ligações

Valor

45

77,50

52

81,00

61

85,50

65

87,50

a) Determine a expressão que relaciona valor em função das ligações.b) Qual a tarifa fixa e o preço por ligação?c) Esboce o gráfico da função do item (a).

13. Um comerciante compra objetos ao preço unitário de $ 4,00, gasta emsua condução diária $ 60,00 e vende cada unidade a $ 7,00.

a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q.Expresse também sua receita R em função da quantidade vendidaq, que se supõe igual à quantidade comprada. Além disso, expres-se seu lucro diário L em função da quantidade q.

b) Esboce, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das funções de seucusto diário C e de sua receita R, determinando e indicando obreak-even point. Qual o significado de tal ponto?

c) Esboce o gráfico da função Lucro L e, observando os gráficos esbo-çados no item anterior, determine e indique, no gráfico do item (b),bem como no gráfico da função L, qual(is) a(s) quantidade(s) queproporciona(m) lucro positivo e lucro negativo.

d) Podemos obter as funções Custo Médio, Cme, e Lucro Médio, Lme

(ou Custo Unitário, Cu, e Lucro Unitário, Lu ) dividindo a funçãodo custo e lucro pela quantidade. Então, obtenha a função Cme eesboce seu gráfico, indicando se existirem limitantes superior ouinferior.

14. Podemos enunciar a lei da demanda de um produto em relação aopreço da seguinte forma: "A demanda ou procura por um produto

34


pelos consumidores no mercado geralmente aumenta quando o preçocai e diminui quando o preço aumenta".Em uma safra, a demanda e o preço de uma fruta estão relacionadosde acordo com a tabela

Demanda (q)

Preço (p)

10

5,10

25

4,95

40

4,80

55

4,65

a) Determine a expressão que relaciona preço e demanda.b) Esboce o gráfico da função do item anterior. A função é crescente

ou decrescente?

15. Podemos enunciar a lei da oferta de um produto em relação ao preçoda seguinte forma: "A predisposição para a oferta ou demanda de umproduto pelos fornecedores no mercado geralmente aumenta quandoo preço aumenta e diminui quando o preço diminui".Em uma safra, a oferta e o preço de uma fruta estão relacionados deacordo com a tabela

Oferta (q)

Preço (p)

10

4,50

25

4,80

40

5,10

55

5,40

a) Determine a expressão que relaciona preço e oferta.b) Esboce o gráfico da função do item anterior. A função é crescente

ou decrescente?

16. Podemos dizer que "o preço de equilíbrio de um produto correspon-de ao valor em que a procura por parte dos consumidores se iguala aoque é oferecido por parte do fornecedores, ou seja, quando a deman-da é igual à oferta".Considerando as funções demanda e oferta dos dois problemas ante-riores, determine:

a) O preço de equilíbrio e a quantidade demandada/oferecida paraesse preço.

b) Um esboço dos gráficos sobrepostos da demanda e oferta dos pro-blemas anteriores, indicando o preço de equilíbrio encontrado noitem anterior.

35


17. Uma locadora de automóveis aluga um "carro popular" ao preço de$ 30,00 a diária, mais $ 4,00 por quilómetro rodado. Outra locadoraaluga o mesmo modelo de carro ao preço de $ 80,00 a diária, mais$ 2,00 por quilómetro rodado.

a) Escreva as funções que descrevem, para cada locadora, o valor a serpago de aluguel em função do quilómetro rodado.

b) Represente graficamente, em um mesmo sistema de eixos, as fun-ções determinadas no item anterior.

c) Qual das duas locadoras apresenta a melhor opção para uma pes-soa alugar um carro popular? Justifique sua resposta.

18. Procurei duas firmas para obter um emprego como vendedor delivros. A firma A promete um salário fixo mensal de $ 200, maiscomissão de $ 8 para cada coleção de livros vendida. A firma B pro-mete um salário fixo mensal de $ 300, mais comissão de $ 3 para cadacoleção de livros vendida.

a) Escreva as funções que descrevem, para cada firmado salário men-sal (5) em função da quantidade de coleções vendidas (x).

b) Represente graficamente, em um mesmo sistema de eixos, as fun-ções encontradas e determine qual das duas firmas paga o melhorsalário mensal. Justifique sua resposta.

19. Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Na casa A, em média, éconsumido, por dia, 0,5 kg de gás. Na casa B, em média, é consumi-do, por dia, 0,3 kg de gás. Supondo que na casa A o botijão está cheioe que na casa B já foram gastos 5 kg de gás:

a) Expresse, para cada uma das casas, a massa m de gás no botijão,em função de t (dias de consumo). Depois de quanto tempo os boti-jões estarão vazios?

b) Esboce o gráfico, em um mesmo sistema de eixos, das funçõesdeterminadas no item anterior. Nessa situação, as funções são cres-centes ou decrescentes? A que tipo de taxa?

c) Depois de quanto tempo as quantidades de gás nos dois botijõesserão iguais?

Capítulo 2 - Função do 1° Grau

TÓPICO ESPECIAL - Regressão Linear Simples

• Modelo de Regressão Linear Simples

Nesse tópico, procuraremos estabelecer um paralelo entre a função do l"grau definida pela expressão y = mx + b com um método para determinartal função a partir de dados obtidos empiricamente em diversas áreas daadministração, economia, contabilidade e engenharia.

Neste capítulo, notamos que, quando construímos o gráfico da funçãodo 1° grau, os pontos do gráfico plotado estão perfeitamente alinhados deforma crescente, se o coeficiente angular for positivo, e decrescente, se ocoeficiente angular for negativo.

No entanto, nos fenómenos cujo comportamento se aproxima de umafunção do 1a grau, a pesquisa real mostra que nos diagramas de dispersãodos dados, quase em sua totalidade, os pontos do gráfico não se apresen-tam totalmente alinhados e sim aleatoriamente distribuídos em torno deuma reta que chamaremos reta de regressão.

Nessas situações, quando estivermos trabalhando com dados relativosa uma pesquisa, relacionando duas variáveis x e y, faz-se necessário ummodelo matemático que consiga efetivamente relacionar as variáveisenvolvidas no fenómeno ou processo em estudo. Um modelo matemáticoútil nesses casos é dado pela Regressão Linear Simples (R.L.S.), que é umatécnica estatística utilizada para pesquisar e modelar a relação existenteentre duas variáveis x e y com comportamento próximo ao da função de1a grau.

M Passos para Ajuste da Reta de Regressão

Iniciamos o estudo por meio de inspeção gráfica através da plotagem dosvalores de x e y em um diagrama de dispersão, notando se existe uma rela-ção linear aproximada entre as variáveis.

O gráfico a seguir ilustra um sistema de dispersão nessas condições comum reta de regressão a ser ajustada.

37

M.itiMM.itu.i A|)li(.,icl,i ,i Administração, Economia e Contabilidade

Figura 2.11 Diagrama de dispersão com comportamento linear.

O ajuste do modelo de regressão linear simples é dado por

onde• y é o valor observado (variável dependente)• x é a variável explicativa (variável independente)• a é o coeficiente angular (inclinação da reta)• pé o intercepto . . „ .• e é a componente aleatória (erro)

Considerando que os parâmetros a e f} são desconhecidos, será necessá-rio estimá-los por meio do emprego de dados amostrais. Na prática, traba-lha-se sempre com uma estimativa, y = a • x + /3, do modelo verdadeiro.

Nesse sentido, o modelo estimado será dado por

y = â- x + b

onde â e b são os estimadores dos verdadeiros parâmetros a e f).Convém observar que utilizaremos o Método dos Mínimos Quadrados

(M.M.Q.), técnica muito utilizada para o ajustamento da reta, diante dasobservações amostrais efetuadas para as variáveis x e y da pesquisa.

• Passos para Ajuste do Modelo deRegressão Linear Simples pelo M.M.Q.

Passo l - Coleta dos dados, definidos pelas n observações de x e y (variá-veis cm estudo), registrando os dados levantados em uma planilha.

38


Observação: Sugerimos a organização dos dados em uma planilha i r . ilizando previamente alguns cálculos que serão úteis para a obtenção dasmédias e coeficientes nos passos seguintes. Uma planilha útil dispõe osdados e cálculos conforme o modelo a seguir:

y\\-y\2.y2

'Lxy I.X2

Passo II - Cálculo da média aritmética simples ( x ) relativa à variável x:

- Zxx =

Passo III - Cálculo da média aritmética simples ( y ) relativa à variável y:

Passo IV - Cálculo da estimativa de a representada por â:

-n-x-y ' •; '

-n-(x)2 V ' ' . " .T T,

.1 A|ilu .nl.i .1 Administração, Economia e Contabilidade

Passo V - Cálculo da estimativa de /3 representada por b:

b = y —â -x

Passo VI - Obtenção do modelo linear dado pelo M.M.Q.:

y = â•x + b

B Problemas1. Em uma pesquisa realizada por uma empresa de consultoria económi-

ca da área de análise de investimento, relativa a um período de 12meses sobre a -evolução dos títulos da empresa A, verificou-se que ascotações médias mensais na bolsa de valores dessa empresa apresen-taram seus valores evolutivos, em percentuais, indicados pela planilhaa seguir:

Meses (x)

Janeiro

Fevereiro

Março

Abril

Maio

Junho

Julho

Agosto

Setembro

Outubro

Novembro

Dezembro

Cotações Médias Mensais

4,0 %

3,0%

3,5 %

-2,0%

3,0%

4,5%

-2,0 %

-1,0%

3,0%

2,0%

3,5%

2,5%

40


Com base nas informações obtidas, geradas pela planilha (meses xcotações), responda às questões:

a) Supondo-se que o valor nominal (valor de face) do título ó d.iordem de 1.000 u.m., construa a variável y, baseando-se na varia-ção percentual (%).

b) Construa o diagrama de dispersão em um gráfico relacionando avariável y e a variável x.

c) Diante da construção do diagrama de dispersão, pode-se afirmarque existe uma relação linear aproximada, acarretando a possibili-dade de ajuste de uma reta para a nuvem de pontos (x; y)?

d) Caso sua resposta tenha sido afirmativa no item anterior, obtenhaa equação da reta de regressão linear para os dados e pontos databela e gráfico elaborados nos itens (a) e (b).

2. Os dados apresentados na tabela a seguir mostram os valores obser-vados no estudo do relacionamento existente entre as variáveis x(tempo em meses) e y (vendas em unidades) relativas a um produto jáconhecido e comercializado no mercado.

Tempo (x)(meses)

Vendas (y)

(unidades)

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

475 460 620 615 600 670 790 750 765 800 820 825

Em decorrência das informações prestadas, pelo levantamento amos-trai das vendas em relação aos meses, responda às questões relativasaos itens:a) Construa o sistema de dispersão da pesquisa.b) O gráfico do sistema de dispersão construído no item (a) apresenta

uma configuração ou aparência aproximadamente linear?c) Calcule o coeficiente de correlação linear, faça uma análise quanto

ao sinal dele e seu grau de intensidade de relacionamento entre asvariáveis x (tempo em meses) e y (volume de vendas). (Veja oTópico Especial do Capítulo 1.)

d) Calcule as estimativas â e b e monte o modelo de regressão linearsimples.

e) Monte em um mesmo sistema de eixos o sistema de dispersão dosdados observados (x e y) e a reta de regressão obtida no item (d) .

f) Faça a previsão das vendas para os meses x = 13, x = 14 e x = I f .

41


3. Uma empresa de embalagens plásticas, preocupada com a demanda(yj) de seu produto, resolveu elaborar um estudo sobre as variaçõesdos preços de venda (xj). Após esse estudo e levantamento de dados,obteve as informações condensadas na tabela a seguir.

Meses Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set.

Preço de venda (x;) 16 18 20 23 26 28 30 33 35

Demanda (y,-) 1.200 1.150 950 830 800 760 700 690 670

A partir dessas informações, responda às questões relativas aos itens:a) Construindo o diagrama de dispersão, podemos afirmar, quanto à

sua evolução, que o sistema se comporta de forma aproximada-mente linear?

b) Após ter construído o diagrama de dispersão, os pontos apresen-tam um comportamento linear crescente ou decrescente?

c) As variáveis demanda e preço de mercado caminham, .em termos deevolução, no mesmo sentido ou em sentidos contrários?

d) Calcule e interprete o coeficiente de correlação linear.e) Estabeleça a equação de regressão de y (demanda) em relação a x

(preço).f) Represente em um mesmo sistema de eixos a dispersão dos dados

(x; y) e a reta de regressão.g) Qual a previsão da demanda, quando os preços atingirem os pata-

mares de x = 40 e x = 50?

4. Uma empresa do ramo de roupas femininas está estudando o compor-tamento de seu principal produto no mercado. Para isso, procurouconstruir um histórico da evolução da oferta desse produto ao longode seis períodos semestrais. As informações desse estudo originaramos dados especificados no quadro a seguir:

Quadro 1 - Escalas de ofertas de saias longas

Meses observados

Preço por unidade

comercializada (x)

1

100

2

120

3

135

4

152

5

173

6

195

Quantidade de saias longas

ofertadas por semestre (y) 1.500 1.650 1.820 2.050 2.290 2.500

42


Com base nas informações obtidas no quadro, pede-se:

a) Construindo o sistema de dispersão, verifica-se um comportamen-to crescente ou decrescente? Justifique.

b) As variáveis preço e oferta, em termos de evolução, caminham emum mesmo sentido ou em sentidos opostos? Justifique.

c) O comportamento dos pontos no diagrama de dispersão (ou nuvemde pontos) é aproximadamente linear?

d) Calcule o coeficiente de correlação linear e interprete-o.e) Construa a regressão linear de y sobre x.f) Estime a oferta quando os preços evoluírem para os patamares

x = 220 e x = 250.

43

capítulo 3

Função do 2e Grau

• Objetivo do CapítuloNesse capítulo, você estudará situações práticas envolvendo as funções dosegundo grau a partir da construção e análise de seu gráfico. No esboço grá-fico da função do segundo grau, será dada atenção especial ao vértice daparábola. Você notará que as coordenadas do vértice são úteis para a deter-minação de valores máximos, valores mínimos e intervalos de crescimento(ou decrescimento) das funções associadas. No Tópico Especial, de modosimilar àquilo que foi realizado no Tópico Especial do capítulo anterior,serão apresentados os passos para obter o modelo de Regressão Quadrática.


• Modelos de Funções do 2° Grau

Um Modelo de Função do 2° Grau

Algumas situações práticas podem ser representadas pelas funções polino-miais do segundo grau, chamadas simplesmente de funções do segundograu. Uma dessas situações é a obtenção da função receita quando consi-deramos o preço e a quantidade comercializada de um produto.

Sabemos que a receita R é dada pela relação

R = p x q

em que p representa o preço unitário e q a quantidade comercializada doproduto.

Por exemplo, se o preço dos sapatos de uma marca variar de acordocom a relação

p = -24 + 200*

podemos estabelecer a receita para a venda de sapatos pela expressão

R = (-2q + 20Q)qR = -2q2 + 200<j

Para uma melhor visualização dessa situação, vamos traçar um gráficoa partir de uma tabela com algumas quantidades de sapatos vendidos ereceitas correspondentes:

Tabela 3.1 Receita para a venda de pares de sapatos

Quantidade (q) O 10 20 30 40 50 60 70 80 90100

Receita (R) O 1.800 3.200 4.200 4.800 5.000 4.800 4.200 3.200 1.800 O

Graficamente, temos a curva conhecida como parábola:

Nesse exemplo, por questões didáticas, considerando q = 100, temos p = 0; entretan-to, na prática, não existe quantidade comercializada que torna o preço igual a zero.

46

Capitulo 3 - Função do 2" Grau

Figura 3.1 Receita para a venda de pares de sapatos.

R "

j

/

•/

,,

k eixo de simetria

~~>

\

\

O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Nessa parábola, convém observar alguns aspectos interessantes associa-dos à função R = -2q2 + 200q:

• a concavidade está voltada para baixo, pois o coeficiente do termo-2q2 é negativo.

• o ponto em que a curva corta o eixo R é obtido fazendo q = 0:

R = -2 • O2 + 200 • O

• os pontos em que a curva corta o eixo q, ou raízes da função, são obti-dos fazendo R = 0:

R = -2q2 + 200q = Oq = O ou q = 100

• o vértice V = (qv; RJ = (50; 5.000) da parábola em que qv = 50 é amédia aritmética das raízes e Rv = 5.000 é a receita correspondente:

O + 100 ™

Substituindo na função R, obtemos:

Rv = -2 • 502 + 200 • 50 = 5.000

Especificamente, para essa função do 2a grau, o vértice é importante, poisnos dá a quantidade qv = 50 que deve ser comercializada para que a receitaseja máxima Rv = 5.000. Embora tenhamos obtido a coordenada qv pela

47

Mltemitlca Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

i i i rd i a aritmética das raízes da função, encontraremos tal coordenada demodo diferente, pois nem sempre as raízes da função são números reais.Vale lembrar que a coordenada qv determina o eixo de simetria da parábo-la. Quantidades superiores a qv = 50 proporcionam receitas menores que Rv

= 5.000; isso é natural, pois a receita está inicialmente associada à funçãodo preço, p = —2q + 200, que decresce à medida que a demanda q aumenta.

Notamos, no exemplo anterior, que o gráfico foi traçado a partir deuma tabela que continha os principais pontos da parábola. Entretanto, nemsempre montamos a priori uma tabela que contenha tais pontos. Por isso,sistematizamos a seguir alguns passos que permitem a determinação de taispontos e uma caracterização mais precisa da parábola.

Considerando ainda a receita R = -2q2 + 200q na venda de q pares desapatos e supondo que o custo C na sua fabricação seja dado por

C = 40^+1.400

então o lucro L na comercialização dos sapatos será dado por

L = R - CL = -2q2 + 200q - (40q + 1.400)

L = -2q2 + 160qí-1.400

supondo que as quantidades produzidas e vendidas são as mesmas.Para a obtenção do gráfico, notamos que:

• a concavidade está voltada para baixo, pois o coeficiente do termo-2q2 é negativo.

• o ponto em que a curva corta o eixo L é obtido fazendo q = 0:

L = -2-02 + 160-0-1.400L = -1.400

• os pontos em que a curva corta o eixo q são obtidos fazendo L = 0:

L = -2q2+ 160^-1.400 = 0q = 10 ou q = 70

' o vértice V = (qj L J) da parábola em que qv = -

e Lv é o lucro correspondente:

coeficiente de q

2 x coeficiente de q2

48


Substituindo na função L, obtemos:

Lv = -2 • 402 + 160 • 40 - 1.400 = 1.800

Assim, o vértice é dado pelo ponto V = (40; 1.800).Com tais pontos, podemos esboçar o gráfico do lucro:

Figura 3.2 Lucro para a venda de pares de sapatos.

í- T

1.800

-1.400.!

A partir de tal gráfico, observamos que o lucro é positivo (L > 0)quando se vendem entre 10 e 70 pares de sapatos (L > O, se 10 < q < 70);0 lucro é nulo quando se vendem 10 ou 70 pares de sapatos (L = O, se q= 10 ou q = 70); o lucro é negativo quando se vendem entre O e 10 paresde sapatos ou quantidades superiores a 70 pares de sapatos (L < O, se O< q < 10 ou q > 70). A partir do vértice e do eixo de simetria, notamosque a quantidade de 40 pares de sapatos proporciona lucro máximo de1 .800 e que o lucro é crescente para quantidades inferiores a 40 e decres-cente para quantidades superiores a 40.

No próximo gráfico, pode-se analisar a situação esboçando no mesmosistema de eixos os gráficos das funções receita R = -2q2 + 20Qq e custo C= 40q + 1.400. Assim, obtemos dois pontos de encontro entre as curvas docusto e receita (break-even point) que algebricamente são obtidos fazendo

R = C-2q2 + 200,7 = 40<7 + 1.400

-2q2 + 200q - (40q + 1.400) = O-2q2 + UOq- 1.400 = O

q = 10 ou q = 70

49


substituindo tais quantidades na expressão da receita ou custo

q = 10 => R = C = 1.800 => (10 ; 1.800) (break-even point)

4 = 70=» R = C = 4.200 => (70 ; 4.200) (break-even point)

ou seja, obtemos os pontos em que o lucro é nulo.Notamos que as regiões em que o traçado da receita é superior ao do

custo determinam as quantidades em que o lucro é positivo. De maneiraanáloga, regiões em que o traçado do custo é superior ao da receita deter-minam as quantidades em que o lucro é negativo. Temos ainda o ponto delucro máximo como aquele em que é máxima a distância vertical entre ospontos dos gráficos da receita e do custo, com receita superior ao custo.

Figura 3.3 Receita, custo e lucro para a venda de pares de sapatos.

Maior distância entreReceita e Custo

Custo


• Caracterização Geral

l >i-finição: uma função do 2" grau é dada por

y = f(x) = ax2 + bx + c

t mu a ^ 0.Para a obtenção do gráfico, conhecido como parábola, podemos obser-

v.ir os passos a seguir.

• o coeficiente a determina se a concavidade é voltada para cima (a > 0)ou para baixo (a < 0).

• o termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo ye pode ser obtido fazendo x = 0:

y = f(0) = a- O2 + b • O + c=>;y = c

• se existirem, os pontos em que a parábola corta o eixo x são dadospelas raízes da função y = f(x) = ax2 + bx + c e podem ser obtidosfazendo y = 0:

y = O => ax2 + bx + c = O

Para a resolução dessa equação, utilizamos a fórmula de Báskara, em

• n i tal fórmula, fazendo o di> i l . i como

te A = b1 - 4ac, podemos reescre-

2a

1 > número de raízes, ou pontos em que a parábola encontra o eixo x,( l i |H-iulf do discriminante; em resumo:

• st- A > O, temos duas raízes reais distintas, x^ - ~ e2a

51


2a(graficamente, dois pontos em que a parábola corta o

n -• se A = O, temos as duas raízes reais iguais, x = - r - => x =

-b— —

(graficamente, a parábola "toca" o eixo x em um único ponto).• se A < O, não existem raízes reais (graficamente, a parábola não cruza

o eixo x).• o vértice da parábola é dado pelo ponto V = (xv; yv) = ;

2a 4a

Podemos resumir tais passos com alguns possíveis gráficos, considerando:

y • a>O eA> O

y •a<QeA<Q


• Exemplos de Funções do 2° Grau

i K problemas a seguir exemplificam algumas considerações feitas até aqui.l Minp lo 1: Em uma certa plantação, a produção, P, de feijão depende daquantidade, q, de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressaI K I I /' = -3q2 + 90q + 525. Considerando nessa lavoura a produção medidarm kg e a quantidade de fertilizante em g/m2, faça um esboço do gráfico,t • mii-nte os significados dos principais pontos, determine a quantidade de fer-i i l i / .mte para que a produção seja máxima, bem como a produção máxima.Solução:( K coeficientes dos termos da função são a = -3, b = 90 e c = 525.

• A concavidade é voltada para baixo, pois a < 0.• A parábola corta o eixo P em c = 525, pois, quando q = O, temos

P(0) = -3-O2 + 9 0 - 0 + 5 2 5 => P(0) = 525

• A parábola corta o eixo q quando P = O, o que leva a

-3g2 + 9Qq + 525 = O

cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara:

A = b2 - 4ac => A = 902 - 4 • (-3) • 525A = 14.400 => A > O

l >uas raízes reais e distintas dadas por

-90 +120-6

-90-120= -5 e q2 = - - => q2 = 35

— o

i M I srja, a parábola corta o eixo q nos pontos q\ -5 e q2 = 35.

• o vértice da parábola é dado pelo ponto V= (qv; Pv) =2a' 4a

90 14.4002-(-3) ' 4. (-3)

53

V = (15; 1.200)

1.1 iii i i itl i . 1 Aplii .H l , i ,i Administração, l coiKimi.i e Contabilidade

Assim, podemos esboçar o gráfico:

/' »

1.200

525

Figura 3.4 Produção de feijão.

> Eixo de simetria

15 35 q

Para esse exemplo, a concavidade voltada para baixo associada a umeixo de simetria em qv = 15 indica que a produção é crescente para quan-tidades de fertilizante entre O e 15 g/m2 e decrescente para quantidadessuperiores a 15 g/m2.

O ponto em que a curva corta o eixo P indica que, quando não é utili-zado fertilizante (q = 0), a produção é de P = 525 kg.

Os pontos em que a curva corta o eixo q indicam quantidades quefazem a produção se anular (P = 0) sendo que <jj = -5 não apresenta signi-ficado prático e <J2 = 35 g/m2 representa uma quantidade tão grande de fer-tilizante a ponto de prejudicar a planta, impedindo-a de produzir.

Finalmente, o vértice V = (15; 1.200) dá a quantidade qv = 15 g/m2 quemaximiza a produção, e tal produção máxima é Pv = 1.200 kg.

Exemplo 2: Um vendedor anotou as vendas de um eletrodoméstico nos 21dias em que trabalhou na seção de utilidades de uma loja de departamen-tos e notou que o número de aparelhos vendidos, dado por N, em funçãodo número de dias, dado por t, pode ser obtido por N = 0,25f2 - 4í + 16.Diante dessa situação, esboce o gráfico da função salientando os principaispontos e seus significados. (Considere í = O o 1a dia; í = l o 2" dia etc.)

Solução:

Os coeficientes dos termos da função são a = 0,25, b = -4 e c = 16.

* A concavidade é voltada para cima, pois a > 0.

54


• A parábola corta o eixo N em c = 16, pois, quando t = O, temos

N(0)=0,25-0 2 -4-0 + 16 => N(0) = 16

• A parábola corta o eixo f quando N = O, o que leva a

0,25í2-4í+ 16 = 0

t i i |us raízes, se existirem, são obtidas por Báskara:

A = b2 - 4ac => A = (-4)2 - 4 • 0,25 • 16 => A = O

Duas raízes reais e iguais, ambas representadas por

b (-4)/ = - — => í = 5 —

2a 2 • 0,25

t = 8

ou seja, a parábola simplesmente "toca" o eixo í no ponto í = 8.

• o vértice da parábola é dado pelo ponto V = (tv; Nv) = l- -—; - -r~\= -

O2-0,25' 4 - 0 2 5

V = (8;0)

Convém ainda obter o número de eletrodomésticos para o último dia deanálise do problema, ou seja, o 21" dia, quando devemos fazer t = 20:

N(20) = 0,25 • 202 - 4 • 20 + 16 => N(20) = 36


Figura 3.5 Número deeletrodomésticos vendidos.

55


Para esse exemplo, a concavidade voltada para cima associada a umeixo de simetria em tv = 8 indica que o número de aparelhos vendidos édecrescente, do 1a dia (í = 0) ao 9a dia (í = 8), e crescente, do 9" dia (í = 8)ao 21* dia (í = 20).

O ponto em que a curva corta o eixo N indica que, no 1a dia (í = 0), onúmero de eletrodomésticos vendidos foi N = 16.

Os pontos em que a curva corta o eixo t indicam dias que fazem onúmero de eletrodomésticos vendidos se anular (N = 0). Então, no 9a dia(í = 8), nenhum eletrodoméstico foi vendido.

Finalmente, o vértice V = (8; 0) dá o dia tv = 8, 9a dia, que minimiza onúmero de eletrodomésticos vendidos, e tal número mínimo é Nv = 0.

Exemplo 3: Em um ano, o valor, v, de uma ação negociada na bolsa devalores, no decorrer dos meses, indicados por t, é dado pela expressãov = 2t2 - 20t + 60. Sabendo que o valor da ação é dado em reais (Rf), façaum esboço do gráfico, comente os significados dos principais pontos edetermine a variação percentual do valor da ação após um ano. (Considereí = O o momento em que a ação começa a ser negociada; t = l após l mês;í = 2 após 2 meses etc.)

Solução:

Os coeficientes dos termos da função são a = 2, b = -20 e c = 60.

• A concavidade é voltada para cima, pois a > 0.• A parábola corta o eixo v em c - 60, pois quando t = O, temos

z/(0) = 2 • O2 - 20 • O + 60 => t/(0) = 60

• A parábola corta o eixo t quando v = O, o que leva a

2í2 - 20í + 60 = O

cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara:

A = b2 - 4ac => A = (-20)2 - 4 - 2 - 6 0A = -80 =* A < O

Não existem raízes reais, pois o discriminante é negativo, ou seja, aparábola não cruza o eixo í.

/ I A '

• o vértice da parábola é dado pelo ponto V = (tv; vv) = (--—; - —

v = L t"20) _ (-80)2 - 2 ' 4 - 2

=(5; 10)

56


Convém ainda obter o valor da ação após um ano, ou seja, para o ú l i imo mês de análise do problema quando í = 12:

t/(12) = 2 • 122 - 20 • 12 + 60 => i/(12) = 108


Figura 3.6 Valor de uma ação negociada na bolsa de valores.

> Eixo de simetria

108

60

II)

O

12

Por ser a concavidade voltada para cima, nesse exemplo, temos um eixoile simetria em tv - 5, indicando que o valor da ação é decrescente, domomento em que a ação começa a ser negociada (í = 0) ao final do 5Q mês(í = 5), e crescente, do final do 5°mês (í = 5) ao final do 12S mês (t = 12).

O ponto em que a curva corta o eixo v indica que, no momento em queA ação começa a ser negociada (í = 0), o seu valor era v = 60.

Nesse exemplo, não existem pontos em que a curva corta o eixo t, ouseja, em nenhum momento o valor da ação será nulo (v = 0).

O vértice V = (5; 10) dá o mês, tv = 5, que minimiza o valor da ação, elal valor mínimo é vv = 10.

Finalmente, a variação percentual do valor da ação após um ano serádada por

Variação percentual =(valor final)-(valor inicial)

valor inicial100%

57

M i i . ' I n . i i i . , A|.|I. ,i.l i , i Administração, t conomia e ( orrtabllldadí

f (12) -v(Q)Variação percentual = -100%

f(0)

108 - 60Variação percentual = 100%

60Variação percentual = 8 0 %

ou seja, após um ano, houve um aumento de 80% sobre o valor inicial daação.

• Exercícios

1. Para um certo produto comercializado, a receita e o custo são dados,respectivamente, por R = -2q2 + l.OOOg e C = 200q + 35.000, cujosgráficos são

R,C

125.000

45.000

35.000

250 350 500 q

Obtenha, então:

a) Os intervalos de crescimento e decrescimento da função receita, aquantidade para que a receita seja máxima e a receita máxima cor-respondente.

b) Os break-even points e seu significado.c) As regiões em que o lucro é positivo e em que o lucro é negativo.

Indique tais regiões graficamente.d) A função lucro e seu gráfico.e) A quantidade para que o lucro seja máximo e o lucro máximo cor-

respondente. Indique no gráfico da receita e custo tal quantidade eo significado geométrico do lucro máximo.

58


2. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dosmeses é dado por E = t2 - 8t + 210, onde o consumo £ é dado em kwhe ao tempo associa-se í = O a janeiro, t = l a fevereiro, e assim suces-sivamente.a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 kwh. •<b) Qual o consumo mensal médio* para o primeiro ano?c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboce o gráfico de E.

3. O número N, de apólices vendidas por um vendedor de seguros, podeser obtido pela expressão N = -t2 + 14f + 32, onde t representa o mêsda venda.a) Esboce o gráfico dessa função a partir de uma tabela com o núme-

ro de apólices vendidas para os dez primeiros meses de vendas.b) De acordo com os dados obtidos anteriormente, em que mês foi

vendido o máximo de apólices e qual o número máximo vendido?c) Qual a média de apólices vendidas por mês para os cinco primeiros

meses? E para os dez primeiros meses?

4. Para cada item a seguir, esboce o gráfico a partir da concavidade, dospontos em que a parábola cruza os eixos (se existirem) e vértice.a) y = x2 - 4x - 5b ) y = x2-Sx + l6c) y = -3x2 + 6x + 9d) y - —x2 + 4x - 6e) y = 4x2 + 12x + 16f) y = -2x2 - 4x - 2

5. O preço da garrafa de um vinho varia de acordo com a relaçãop = -2q + 400, onde q representa a quantidade de garrafas comercia-lizadas. Sabendo que a receita R é dada pela relação R = p x q:a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico, indicando os princi-

pais pontos e o eixo de simetria.b) Qual a quantidade de garrafas a ser comercializada para que a

receita seja máxima? Qual a receita máxima?c) Para quais quantidades comercializadas a receita é crescente? E

decrescente? fl-) _

*Nos problemas em que for solicitada a determinação de médias, considere a mcdin.iritmética, salvo observações em contrário.

59

M iliMii. i A|.|i, ,K|J ,i AJniinistr.ic.-io hconoitmi e CoiH.ibili'l,Ml.

6. Considerando as mesmas condições do problema anterior e o custopara a produção e comercialização das garrafas de vinho comoC = 240^ + 2.400:a) Obtenha a função lucro e esboce o gráfico indicando os principais

pontos.b) Qual a quantidade de garrafas a ser comercializada para que o

lucro seja máximo? Qual o lucro máximo?c) Para quais quantidades comercializadas o lucro é positivo? E nega-

tivo?d) Esboce o gráfico da função custo sobre o gráfico do item (a) do

problema anterior determinando e indicando os pontos break-even.

7. O valor, em reais (R$), de uma ação negociada na bolsa de valores nodecorrer dos dias de pregão é dado pela expressão v = 0,5í2 - 8í + 45.Considere t = O o momento inicial de análise; t = l após l dia; t = 2após 2 dias etc.

a) Esboce o gráfico indicando os principais pontos e o eixo de simetria.b) Após quanto tempo o valor da ação é mínimo? Qual o-valor mínimo?c) Para quais dias o valor da ação é decrescente? E crescente?d) Determine a variação percentual do valor da ação após 20 dias de

pregão.

8. Uma pessoa investiu em papéis de duas empresas no mercado de açõesdurante 12 meses. O valor das ações da primeira empresa variou deacordo com a função A = í + 10, eo valor para a segunda empresaobedeceu à função B = í2 - 4í + 10. Considere í = O o momento dacompra das ações; í = l após l mês; t = 2 após 2 meses etc.a) Em que momentos as ações têm o mesmo valor? Quais são esses

valores?b) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos para o período

de um ano.c) Comente a evolução do valor de cada uma das ações. Qual foi a

melhor aplicação após os três primeiros meses? E após um ano?

9. A produção de um funcionário, quando relacionada ao número dehoras trabalhadas, leva à função P = -2f2 + 24í + 128.a) Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos.b) Em que momento a produção é máxima? Qual a produção máxima?c) Em que momento a produção é igual à produção inicial?d) Em que momento o funcionário não consegue mais produzir?e) Quais os intervalos de crescimento e decrescimento para produção?

60


10. O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo com a fu in , .u>p = 0,25í2 - 2,5í + 60 para um período de um ano em que t = O representa o momento inicial de análise, í = l após l mês; í = 2 após 2meses etc.a) Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos.b) Em que momento o preço é mínimo? Qual o preço mínimo?c) Qual a variação percentual entre o momento inicial e final do ter-

ceiro mês? E a variação percentual entre os finais do terceiro e séti-mo mês?

11. Um comerciante de roupas compra ternos e camisetas para revenda etem um orçamento limitado para compra. A quantidade de ternos érepresentada por x, a de camisetas por y, e a equação que dá a restri-ção orçamentaria é IO*2 + 10y = 1.000.a) Expresse a quantidade de camisetas em função da quantidade de

ternos comprados.b) Esboce o gráfico obtido no item anterior ressaltando os principais

pontos.c) Se forem comprados 8 ternos, quantas camisetas é possível comprar?d) Se forem compradas 19 camisetas, quantos ternos é possível comprar?e) Se não forem comprados ternos, qual a quantidade de camisetas com-

pradas? E se não forem compradas camisetas, qual a quantidade deternos comprados? Indique tais pontos no gráfico do item anterior.

f) Se forem comprados 7 ternos e 40 camisetas, tal compra ultrapassa-rá o orçamento? Represente tal possibilidade no gráfico do item (b).

12. Uma empresa produz detergente e sabonete líquido em uma de suaslinhas de produção, sendo que os recursos são os mesmos para tal pro-dução. As quantidades de detergente e sabonete líquido produzidospodem ser representadas, respectivamente, por x e y. A interdependên-cia dessas variáveis é dada por 5x2 + Sy = 45, e o gráfico de tal equa-ção é conhecido também como curva de transformação de produto.a) Expresse a quantidade de sabonete líquido como função da quanti-

dade de detergente produzido.b) Esboce a curva de transformação de produto.c) Explique o significado dos pontos em que a curva corta os eixos

coordenados.d) Aproximadamente, quanto se deve produzir de detergente para que

tal quantidade seja a metade da de sabonete líquido? Considere queas quantidades são dadas em milhares de litros.

61

Matemática Aplicada à Administração, Economia a Contabilidade

13. O preço p de um produto depende da quantidade q que os fornecedo-res estão dispostos a oferecer e, para um certo produto, pela lei deoferta, tal dependência é dada pela função p - q2 + 10g + 9. Para omesmo produto, o preço também depende da quantidade q que oscompradores estão dispostos a adquirir e, pela lei de demanda, taldependência é dada por p = -q2 + 81. (Para mais detalhes sobre lei deoferta, lei de demanda e preço de equilíbrio, ver Exercícios 14, 15 e16 do Capítulo 2.)a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos da oferta e

demanda.b) Obtenha a quantidade e o preço de equilíbrio. Indique também no

gráfico do item anterior.

14. Para a comercialização de relógios, um lojista nota que a receita édada por R = -3q2 + Í20q e o custo é dado por C = 2q2 + 20q + 375.a) Esboce os gráficos da receita e custo sobre o mesmo sistema de

eixos, determinando e indicando os pontos break-even.b) Indique no gráfico do item anterior as quantidades para as quais o

lucro é positivo.c) Obtenha a função lucro e esboce o gráfico, indicando os principais

pontos.d) Qual a quantidade de relógios a ser comercializada para que o

lucro seja máximo? Qual o lucro máximo?e) Para quais quantidades comercializadas o lucro é positivo? Com-

pare com os resultados indicados no item (b).

TÓPICO ESPECIAL - Regressão Quadrática

• A Regressão Quadrática

Em problemas de Matemática e Estatística Aplicada, é comum nos depa-rarmos com situações de pesquisas em que os diagramas de dispersão mos-tram uma nuvem de pontos que não se manifestam com uma aproximaçãolinear convincente.

Nesses casos, dizemos que o sistema de dispersão tem um comporta-mento não-linear e, em muitos casos, as dispersões se apresentam comaproximações curvilíneas. Naturalmente, para aproximações curvilíneas,devemos buscar modelos de regressão cujas funções que os representem

62


lambem tenham comportamento curvilíneo. Como exemplos decujo comportamento gráfico é curvilíneo e cujo modelo de regressão é rolativamente simples, podemos citar a função do 2a grau (ou quadrática), a(unção exponencial, a função potência, entre outras. Nos próximos tópicosespeciais, desenvolveremos os modelos de regressão para a função expo-nencial e para a função potência. Discutiremos a seguir o modelo de regres-são para a função quadrática.

Desenvolvemos o modelo de regressão quadrática quando, em um dia-grama de dispersão, a nuvem de pontos se apresenta em um formato cur-vilíneo que lembra uma parábola, como exemplificado pelos diagramas aseguir.

Figura 3.7 Diagramas de dispersão com formato próximo ao parabólico.

O ajuste do modelo de regressão quadrática é dado por

onde

• y é o valor observado (variável dependente) '• x é a variável explicativa (variável independente)• a, p e y são os parâmetros do modelo j• £ é a componente aleatória (erro)

Como nos interessa determinar os parâmetros a, p e y, será necessárioestimá-los por meio do emprego de dados amostrais. Na prática, trabalha-se sempre com uma estimativa, y = a • x2 + f! • x + y, do modelo verdadeiro.


y = â - b-x + c

63


onde á, ò e c são os estimadores dos verdadeiros parâmetros o, 0 e f.

Para o cálculo dos parâmetros â, í» e c, podemos proceder da seguintemaneira:

• Escrevemos as equações normais de ajustamento do modelo, a partirdos n pontos dados, formando um sistema linear de três equações com três

incógnitas (â, b e c)

á • Zx3 + é • Z x2 + c - Z x = Z x;y

é - Z x + í-n = Zy

e resolvemos tal sistema linear, encontrando assim os parâmetros.

Uma vez encontrados os parâmetros â, b e c, basta substituí-los naexpressão do modelo estimado

y = â • x2 b- x + c

Observação: De modo análogo ao feito para a regressão linear, sugeri-mos a organização dos dados em uma planilha, realizando previamentealguns cálculos que serão úteis para a obtenção das equações normais deajustamento. Uma planilha útil dispõe os dados e cálculos conforme omodelo a seguir:

x,

*i

X2

*3

•

Zx

y-,

y\

V3

•

*y

x, • y,

x\-y\2-y2

X3'V3

•

Zxy

*?

V

*?

*32•

Zx2

x-3xl

*13

*23

*33

•

Zx2

x,4

x?

*24

*34

.

Z*4

x2 • y j

x2 • y 2

x2 • y-i*32 ' Vi

.

Z*2 - y

64


• Problemas

1. Um fazendeiro, cuja principal cultura é o café, recentemente resolveuindustrializar e comercializar a produção e vem acompanhando aten-tamente, ao longo de seis trimestres, a evolução da demanda de seuproduto, com o objetivo de melhoria de resultados nas vendas. Elesolicitou ao departamento responsável de sua empresa dados relativosà demanda observada em função da ocorrência desses seis trimestres.Rapidamente, os resultados foram gerados e alocados em uma tabela.

Trimestres (x/)

Demanda observada (y,-)(em unidades)

1 2 3 4 5 6

4.800 3.500 3.850 5.200 7.300 10.950

A partir dos dados levantados:

a) Construa o sistema de dispersão para a demanda em função dos tri-mestres e verifique se o comportamento desse sistema se aproximade uma curva parabólica.

b) Calcule e comente o coeficiente de correlação (r).

c) Procure ajustar uma curva parabólica (y = â-x2 + b-x + c ) aos

dados coletados.d) Uma vez ajustada a curva do 2" grau, calcule o vértice e interprete

o resultado obtido.e) Segundo a função obtida no item (c), determine os intervalos de

crescimento e decrescimento para a demanda.f) Estime a demanda para os dois trimestres seguintes.g) Partindo do pressuposto de que a demanda alcança um nível de

15.000 unidades, determine quando isso ocorre.

2. Uma companhia de seguros, cujo principal segmento de mercado é oramo de automóveis, estimou, através de sua gerência financeira, queo lucro realizável pela venda de seguros contratados por mês apontapara os valores distribuídos de acordo com os dados da tabela a seguir.

M j, i Apli ida i Administração, Economia e Contabilidade

Seguros contratados (xj) (em unidades)

Lucro (y/) (em unidades monetárias)

20

150

40

185

60

210

80

173

100

145

a) Construa o sistema de dispersão e verifique se o comportamentodesse sistema se aproxima de uma curva parabólica.

b) Ajuste uma parábola (y = â-x2 + b-x+c) para os dados tabela-

dos e construa o gráfico dessa curva.c) Segundo a função obtida no item (b), para que quantidades de "x"

seguros vendidos a função lucro é crescente? E decrescente?d) Projete o lucro para 125 unidades de seguros vendidos.

3. Uma empresa fabricante de calçados masculinos está mensurando avariação de sua receita (R) em função da quantidade demandada (q)de pares de sapatos. Ela conta com duas linhas de sapatos, que são osmais aceitos e vendidos, destinadas ao público jovem. Visando estabe-lecer um comparativo dos faturamentos dessas linhas, foram elabora-das duas tabelas para avaliar o comportamento da receita por umperíodo de seis meses. Os resultados foram os seguintes:

LINHA 1

1 2 3 4 5 6

1.000 2.000 3.500 5.800 8.20010.000

Meses

Quantidade (q) (em milhares)

Receita (R) (em milhares de reais) 10.000 22.000 40.500 55.000 37.000 23.500

Meses

LINHA 2

1

Quantidade (q) (em milhares) 1.000 2.100 3.500 5.800 7.50010.000

Receita (R) (em milhares de reais) 19.000 30.000 40.000 45.000 42.000 32.000

a) Construa, em um mesmo sistema de eixos, os sistemas de dispersãopara cada linha de sapatos e verifique se os comportamentos dessessistemas se aproximam de uma curva parabólica.

b) Ajuste a regressão quadrática para as linhas l e 2 de sapatos mas-culinos.

66


c) Qual das linhas apresenta ao longo do tempo um nível de f a i i n . imento mais expressivo? Justifique.

d) A partir das regressões obtidas no item (b), determine em qual nívelde demanda a receita é máxima para as linhas l e 2. Compare osresultados.

e) Qual a demanda média para as linhas l e 2? Compare os resultados.f) Quais são os intervalos de demanda para os quais a linha l supera a

linha 2? Em qual intervalo de tempo isso aproximadamente ocorre?g) Quais são os intervalos de demanda para os quais a linha 2 supera a

linha l? Em qual intervalo de tempo isso aproximadamente ocorre?h) Estime a receita para as linhas l e 2, quando elas atingem os pata-

mares de produção iguais a 12.000 e 14.000 pares de sapatos.

67

capítulo 4

Função Exponencial

• Objetivo do CapítuloNesse capítulo, você analisará as funções exponenciais obtendo-as a partirdo fator multiplicativo. Você estudará aplicações da função exponencialcomo o montante de uma dívida ou aplicação, juros compostos, o cresci-mento populacional, entre outros. Você estudará também diferentes manei-ras de obter e interpretar a função exponencial. No final do capítulo, visan-do à resolução de equações exponenciais, serão desenvolvidos os conceitoselementares a respeito dos logaritmos. De modo similar ao que foi feito nosCapítulos 2 e 3, o Tópico Especial trará os passos para obter o modelo deRegressão Exponencial.

f . i t< i i itii i - M ' t " iida . 1 Administração, l conomia e < ontabllldada Capítulo 4 - Função Exponencial

• Modelos de Funções Exponenciais

Estudaremos, nesta seção, problemas e situações práticas que envolvemmodelos exponenciais.

Utilizando um Fator Multiplicativo

Vamos considerar uma pessoa que toma emprestada a quantia de $ 10.000e cujo montante da dívida seja corrigido a uma taxa de juros de 5% queincide mês a mês sobre o montante do mês anterior. Podemos determinartal montante utilizando um fator multiplicativo:

• Após l mês, representando o montante por M (1), temos:

M (í) = Valor inicial + 5% do Valor inicial

M (1) = 10.000 + 5% de 10.0005

M (1) = 10.000 + •10.000.100

M (1) = 10.000 + 0,05 • 10.000

Colocando 10.000 em evidência:

M(l) =10.000(1+0,05)

M (l ) = 10.000-1,05M(l) =10.500

Notamos por esses passos que, se quisermos aumentar em 5% umaquantia, basta multiplicá-la por 1,05. Chamaremos esse fator de aumentode fator multiplicativo. Para a determinação do montante após 2 meses, 'demaneira análoga aos passos anteriores, ressaltaremos o aparecimento dofator multiplicativo.

• Após 2 meses, representando o montante por M (2), temos:

M (2) = Montante após l mês + 5% do Montante após l mês

M (2) = M(l) + 5%deM(l)

M (2) = 10.500 + 5% de 10.500

M (2) = 10.500+ 0,05-10.500

70

M (2) = 10.500(1+ 0,05)

M (2) = 10.500 -1,05

M (2) = 11.025

• Após 3 meses, representando o montante por M (3), temos:

M (3) = Montante após 2 meses + 5% do Montante após 2 meses

M (3) = M (2) + 5% de M (2)

M (3) = 11.025 + 5% de 11.025

M (3) = 11.025+ 0,05-l 1.025

M (3) =11.025(1+0,05)

M (3) = 11.025 -1,05

M (3) = 11.576,25

Para o cálculo dos montantes mês a mês, utilizamos o fator multiplica-tivo incidindo no montante do mês anterior, porém podemos simplificarainda mais tais cálculos e obter o montante de qualquer mês sem recorrer;io mês anterior. Na verdade, é possível obter o montante em um mês qual-quer a partir do valor inicial e do fator multiplicativo se considerarmos osseguintes raciocínios:

Primeiramente, lembramos que o montante de cada mês é calculadomultiplicando-se o valor anterior pelo fator 1,05

M (1)= 10.000-1,05 => M (1 )= 10.500

M (2) =10.500-1,05 ou M (2) = Aí (1)-1,05 => AÍ (2) = 11.025

M (3) =11.025 -1,05 ou M (3) = M (2) -1,05 =*> M (3) = 11.576,25.

Em Aí(2) = Al(l) • 1,05, vamos substituir M(l) = 10.000 • 1,05

Aí(2) = 10.000 • 1,05 • 1,05

Km M(3) = M(2) • 1,05, vamos substituir Al(2) = 10.000 • 1,05 • l , O S

71


M(3) = 10.000 • 1,05 • 1,05 • 1,05.

Assim

M(l) = 10.000 • 1,05M(2) = 10.000 • 1,05 • 1,05

M(3) = 10.000 • 1,05 • 1,05 • 1,05

que escritos com potências leva a

M(l) = 10.000 • 1,05 => M(l) = 10.000 • 1,05!M(2) = 10.000 • 1,05 • 1,05 =s> M(2) = 10.000 • 1,052

M(3) = 10.000 • 1,05 • 1,05 • 1,05 => M(3) = 10.000 • 1,053

e com tal raciocínio podemos escrever o montante após 4 meses como

M(4) = 10.000 • 1,054

ou, ainda, generalizar o montante após x meses como

M(x) = 10.000 • 1,05*

Temos assim o montante M da dívida como função do tempo x, e é inte-ressante notar que o valor inicial do empréstimo pode ser obtido conside-rando x = 0:

M(0) = 10.000 • 1,05°M(0) = 10.000 • l

M(0) = 10.000

Para tal função, podemos construir uma tabela com alguns valores demontante

Tabela 4.1 Montante aproximado da dívida no decorrer dos meses.

Mês (x) O

Montante (M) 10.000

10

16.289

20

26.533

30 40 50

43.219 70.400 114.674

e esboçar o respectivo gráfico

72

Capítulo 4 - Função Exponencial

Figura 4.1 Montante aproximado da dívida no decorrer dos meses.

70.400

43.219

26.533

16.289

10.000

O 10 20 30 -10 50

Montante e Função ExponencialSimilar ao exemplo discutido anteriormente é a situação em que é feita umaaplicação de $ 20.000 a juros de 12% ao ano, interessando-nos determinaro montante da aplicação ao longo do tempo e considerando que a taxa dejuros incida sempre no montante do período anterior. De modo análogo aoexemplo anterior, vamos determinar o fator multiplicativo:

• Após l ano, representando o montante por M (1), temos:

M (1) = Valor inicial + 12% do Valor inicial

M (1) = 20.000 + 12% de 20.000

M (1) = 20.000 + — • 20.000100

M (1) = 20.000+ 0,12-20.000

Colocando 20.000 em evidência


M(l) = 20.000(1+0,12)

M (l ) = 20.000-1,12

M(l) = 22.400

Notamos assim que, para aumentar em 12% a quantia inicial, bastamultiplicá-la por 1,12, sendo esse o fator multiplicativo usado para osaumentos sucessivos a cada ano.

M (1)= 20.000-1,12 => M (1) = 22.400

M (2) =22.400-1,12 ou M (2) = M (1)-1,12 =s> M (2) = 25.088

M (3) = 25.088-1,12 ou M (3) = M (2)-1,12 =* M (3) = 28.098,56

Em M(2) = M(l) • 1,12, substituindo M(l) = 20.000 • 1,12, temos

M(2) = 20.000 • 1,12 • 1,12

e em M(3) = M(2) • 1,12, substituindo M(2) = 20.000 • 1,12 • 1,12, temos

M(3) = 20.000 • 1,12 • 1,12 • 1,12

assim obtemos

M(l) = 20.000 • 1,12 => M(l) = 20.000 • 1.121

M(2) = 20.000 • 1,12 • 1,12 =* M(2) = 20.000 • 1,122

M(3) = 20.000 • 1,12 • 1,12 • 1,12 => M(3) = 20.000 • 1,123

Generalizando tal procedimento, o montante após x anos é dado pelafunção

M(x) = 20.000 • 1,12*.

Tal função é conhecida como função exponencial, pois a variável x é oexpoente da base 1,12.

Como realizado no exemplo anterior, podemos construir uma tabelacom alguns valores de montantes

Tabela 4.2 Montante aproximado da aplicação no decorrer dos anos

Ano (x) O 5 10 15 20 25

Montante (M) 20.000 35.247 62.117 109.471 192.926 340.001


c esboçar o respectivo gráfico

Figura 4.2 Montante aproximado da aplicação no decorrer dos anos.

M

340.001

192.926

109.471

67.117

35.24720.000

10 20 25

Notamos que tal função é crescente, e isso se deve ao fato de sua base1,12 ser um número maior que l, ou seja, o fator multiplicativo proporcio-na aumentos sucessivos ao montante.

Função Exponencial e Depreciação de uma Máquina

Outro exemplo de função exponencial é dado quando consideramos umamáquina cujo valor é depreciado no decorrer do tempo a uma taxa fixa queincide sobre o valor da máquina no ano anterior. Nessas condições, se ovalor inicial da máquina é $ 240.000 e a depreciação é de 15% ao ano,vamos obter o fator multiplicativo e, na sequência, a função que represen-ta o valor no decorrer do tempo.

• Após l ano, representando o valor da máquina por V (1), temos:

75


V(l) = Valor inicial - 15% do Valor inicial

V(í) = 240.000 - 15% de 240.000

V(l) = 240.000 - — • 240.000100

V(l) = 240.000 - 0,15 • 240.000

Colocando 240.000 em evidência

V(l) = 240.000(1- 0,15)

V (1) = 240.000-0,85

V(l) = 204.000

Notamos assim que, para diminuir em 15% o valor inicial, basta mul-tiplicá-lo por 0,85, sendo esse o fator multiplicativo usado para os decrés-cimos sucessivos a cada ano.

V (1) = 240.000 • 0,85 => V(l) = 204.000

V (2) = 204.000 -0,85 ou V (2) = V(l) • 0,85 => V ( 2 ) = 173.400

V (3) = 173.400 • 0,85 ou V (3) = V(2) • 0,85 => V(3) = 147.390

Em V(2) = V(l) • 0,85, substituindo V(l) = 240.000 • 0,85, temos

V(2) = 240.000 • 0,85 • 0,85

e em V(3) = V(2) • 0,85, substituindo V(2) = 240.000 • 0,85 • 0,85, temos

V(3) = 240.000 • 0,85 • 0,85 • 0,85

assim obtemos

V(l) = 240.000 • 0,85 => V(l) = 240.000 • 0.851

V(2) = 240.000 • 0,85 • 0,85 => V(2) = 240.000 • 0,852

V(3) = 240.000 • 0,85 • 0,85 • 0,85 => V(3) = 240.000 • 0,853

Por generalização, o valor após x anos é dado pela função

V(x) = 240.000 • 0,85*


Essa função exponencial tem a base 0,85, que é menor que l, o i|mtorna a função decrescente, ou seja, o fator multiplicativo proporcionadecréscimos sucessivos ao valor da máquina. Esses decréscimos podem sernotados na tabela

Tabela 4.3 Valor aproximado da máquina no decorrer dos anos.

Ano (x)

Valor (V)

O 3 6 9 12 15

240.000 147.390 90.516 55.588 34.138 20.965

e no esboço do respectivo gráfico

Figura 4.3 Valor aproximado da máquina no decorrer dos anos.

o 10

Função Exponencial e Juros Compostos

Percebemos então que a função exponencial é útil para a determinação devalores que sofrem aumentos ou decréscimos sucessivos a uma taxa cons-tante que incide sobre o valor do período anterior. Tal procedimento c

77


usado na determinação do montante para aplicações feitas no sistema decapitalização a juros compostos.

No sistema de capitalização composta, chamando de P o capital aplica-do inicialmente, i a taxa de juros (escrita na forma decimal), n o período daaplicação e M o montante, podemos obter o valor do montante a partirda relação

M = P • (l + «)"

Assim, se uma quantia de R$ 5.000 for aplicada a uma taxa de 3% duran-te um período n, podemos obter a função que dá o valor do montante

M = 5.000 • (l + 0,03)"M = 5.000 • 1,03"

Note que a base dessa função exponencial é obtida simplesmente pelasoma de l à taxa escrita na forma decimal.

Também podemos proceder assim para a obtenção da base da funçãoexponencial a partir da taxa na forma decimal, somando ao l a taxa deci-mal, em caso de aumento do valor inicial, e subtraindo do l a taxa decimal,em caso de diminuição do valor inicial. Por exemplo:

• aumento de 25% => base = l + 0,25 =*• base = 1,25• diminuição de 25% => base = l - 0,25 => base - 0,75

• Caracterização GeralDefinição: uma função exponencial é dada por

y = f(x) = b- a"

com a > O, a * \ b #0.

• o coeficiente b representa o valor da função quando x = O e dá o pontoem que a curva corta o eixo y:

y = b- l

Em situações práticas, é comum chamar o valor b de valor inicial. Essecoeficiente pode assumir valores positivos ou negativos, entretanto consi-deraremos em nossos estudos apenas valores positivos para b.

• se temos a base a > l, a função é crescente; se temos a base O < a < l,a função c decrescente, considerando b > 0.

78


Podemos resumir tais observações nos gráficos:

Figura 4.4 Resumo gráfico da função exponencial y = b • a".

y = b • ax y = b • ax

Como já foi observado, a base a determina o crescimento ou decresci-mento da função exponencial.

Se a > l, a função é crescente e seu crescimento é diferenciado para dife-rentes valores de a > l e, quanto maior o valor de a, maior o crescimentode y a cada aumento de x, fazendo com que a função alcance valores"grandes" mais "rapidamente".

Se O < a < l, a função é decrescente e seu decrescimento é diferenciadopara diferentes valores de O < a < l e, quanto menor o valor de a, maior odecrescimento de y a cada aumento de x, fazendo com que a função alcan-ce valores "próximos do zero" mais "rapidamente".

Os gráficos a seguir mostram algumas possibilidades para a.

Figura 4.5 Funções do tipo y = a*.

Matemática Aplicada à Administração, Economia o Contabilidade

• Obtenção da Função Exponencial

Interessam-nos agora os procedimentos que são úteis para a determinaçãoda função exponencial ou, em outras palavras, quais os passos a seremseguidos para obter os coeficientes a e b na relação y = b • ax. Temos aseguir três casos comuns de obtenção da função exponencial.

Naturalmente, a função exponencial será usada em fenómenos que per-mitem a representação do modelo matemático por meio de tal função.

No 1a caso a seguir temos uma tabela que permite exemplificar em quecircunstância o modelo a ser usado é o exponencial:

1° Caso: Identificando Evolução Exponencial

Quando são fornecidos dados relativos às variáveis independentes (x) e àscorrespondentes variáveis dependentes (y) período a período (isto é, dia a dia,mês a mês, unidade a unidade etc.), devemos dividir a variável dependentepela variável dependente do período anterior e comparar os resultados.

Variável

Independente (x,-)

x1

x?

x3

x4

Variável"

Dependente (yjí

y1

r2

r3

/

y. -y, y.Se os quocientes , —í-,y\ y?, forem iguais, temos um fenómeno

que pode ser representado por uma função exponencial, sendo a base a dafunção y = b • ax o resultado das divisões assim realizadas.

Para obtenção de b, utilizamos um valor de x, seu correspondente y e ovalor de a obtido anteriormente; substituindo tais valores em y = b • ax,obtemos b.

Exemplo 1: A população de uma cidade nos anos de 1999 a 2003 é dadaconforme a tabela.

Capitulo 4 - Função Exponencial

Tabela 4.4 População de uma cidade - 1999 a 2003

Ano 1999 2000 2001 2002

População 826.758 843.293 860.159 877.361

Fonte: Dados fictícios.

2003

894.908

Obtenha uma função que forneça a população como uma função do ano,considerando que o ano de 1995 foi o ano inicial e que, de 1995 a 1999, ocrescimento da população foi similar ao crescimento dado pela tabela.

Solução:

Pelo enunciado, vamos primeiramente reelaborar a tabela, considerandoy a variável que representa a população e x a variável que representa otempo. Como foi solicitado, consideraremos 1995 o ano inicial, sendoconveniente fazer x = O para esse ano, x = 1 para o ano de 1996, x = 2para o ano de 1997, e assim sucessivamente:

A n o M 4 5 6 7 8

População (y) 826.758 843.293 860.159 877.361 894.908

Para verificar se tal situação pode ser representada por uma funçãoexponencial, faremos as divisões:

843.293826.758860.159843.293877.361860.159894.908877.361

= 1,01999981 ^ 1,02

= 1,02000017 ^ 1,02

= 1,01999863 s 1,02

= 1,01999975 ^ 1,02

Como os resultados são iguais, temos nesse exemplo uma função expo-nencial cuja base é dada por a = 1,02; o coeficiente b será obtido substi-l u indo em y = b • ax o valor a = 1,02 e um dos pares de valores de x e ydados, por exemplo, (x; y) - (4; 826.758)

81


826.758 = fc-l,024

0 = 763.796,596731b ^ 763.797

Assim, a função da população é dada por y = 763.797 • 1,02*.

2° Caso: Função Exponencial a partir de Dois Pontos

Em algumas situações, já é explicitado que se trata de uma função expo-nencial e, nesses casos, bastam apenas dois pares de valores relacionando xe y para determinar a expressão desejada.

O procedimento consiste em substituir os dois pares de valores (x; y) emy = b • ax, formando um sistema de duas equações com duas incógnitas cujasolução fornece os coeficientes a e b.

Para tal sistema, um modo rápido de resolvê-lo é realizar a divisão deuma equação pela outra, cancelando o coeficiente b, o que permite encon-trar a. Em seguida, substituindo a em uma das equações, encontramos ocoeficiente b.

Exemplo 2: Em um silo de armazenamento, os grãos de cereais armazena-dos, com o tempo, começam a estragar, sendo que a quantidade de grãosainda em condições de consumo começa a decair segundo um modeloexponencial. A tabela a seguir relaciona dois instantes e respectivas quan-tidades de grãos ainda em condições de consumo.

Tabela 4.5 Grãos aproveitáveis em silo de armazenamento

Tempo após estocagem (x) (anos) 2 5

Quantidade aproveitável de cereais (y) (toneladas) 576 243

Obtenha uma função que forneça a quantidade aproveitável de cereaiscomo uma função do ano após a estocagem.

Solução:

Pelo enunciado, sabemos que o modelo é exponencial e que os pontos (2;576) e (5; 243) satisfazem a expressão y = b • ax, então substituindo

x = 2 e y = 576 em y = b • ax, obtemos 576 = b • a2 ex = 5 e y = 243 em y = b • ax, obtemos 243 = b • a5

82


l b • a5 = 243Com isso, obtemos o sistema \e resolveremos dividin-

\b-a2 =576

do a primeira equação pela segunda:

243

b • a2 576

# • a5 243

¥ • a2 576

a3 =0,421875

a = ̂ 0,421875

a = 0,75

Substituindo a = 0,75 em b • a2 = 576, obtemos b:

b • 0,752 = 576b = 1.024

Assim, a função que fornece a quantidade aproveitável de cereais éy= 1.024-0,75*.

3' Caso: Função Exponencial a partir do Fator MultiplicativoIniciamos o capítulo caracterizando o fator multiplicativo para obter demaneira direta um aumento percentual em uma quantidade; ressaltamossua utilidade nos aumentos sucessivos, na caracterização da base da fun-ção exponencial, bem como nos decréscimos sucessivos e sua utilidadepara estabelecer o montante em juros compostos. Dada sua grande aplica-ção em modelos exponenciais, reforçaremos tal conceito com os doisexemplos a seguir.

Vale relembrar que o fator multiplicativo, e em nossos exemplos a baseila função exponencial, é obtido simplesmente pela soma de l à porcenta-gem de aumento escrita na forma decimal. Em caso de diminuição, sub-trai-se do l a porcentagem de diminuição escrita na forma decimal.

• aumento de i% base = l100

83


diminuição de í'%

Exemplo 3: A população de uma cidade é de 450.000 habitantes e cresce1,43% ao ano. Determine a expressão da população P como função dotempo í, isto é, P = f (t).

Solução:

Pelo enunciado, a população será expressa conforme P = b • a'.Estabelecendo primeiramente a base com aumento de i = 1,43%, temos

base = l +100

1,43100

a = 1,0143

a =1 +

Sabemos também que a população inicial fornece o coeficiente b, isto é,b = 450.000, logo a função da população é P = 450.000 • 1,0143'.

Exemplo 4: Para um carro cujo valor inicial é de $ 35.000,00, constatou-se uma depreciação no valor de 12,5% ao ano. Determine a expressão dovalor V como função do tempo í, isto é, V = f(t).

Solução:

Pelo enunciado, o valor será expresso por V = b • a1. Estabelecendo primei-ramente a base com diminuição de i = 12,5%, temos

base = l -100

_ 1 12,5100

a = 0,875

Sabemos também que o valor inicial fornece o coeficiente b, isto é,b = 35.000, logo a função do valor é V = 35.000 • 0,875'.

Para todos os exemplos deste capítulo desenvolvemos funções do tipoy = b • ax e, a partir delas, podemos facilmente determinar o valor de y paraum x dado. Por exemplo, se considerarmos a primeira das funções queestabelece o montante M de uma dívida em função do tempo x como

84


M(x) = 10.000 • 1,05*, podemos, a partir de diferentes valores de x, obterrapidamente os valores de M. Como exemplo, se quisermos M para x = 20,basta fazer

M(20)= 10.000 -1,0520

M(20) = 10.000 • 2,65329771

M(20) * 26.532,9771

M(20) a 26.533

Entretanto, interessa-nos agora discutir os casos em que em uma funçãodo tipo y = b • ax é dado y para então se determinar x.

fará alguns casos bastante simples, dado y é fácil determinar x. Porexemplo, sendo y = 3 • 2X, vamos determinar x quando y = 96 resolvendon equação exponencial:

3-2* = 9 6

2* =32

2* = 25

Por comparação, temos x = 5.Vamos agora tentar resolver um problema que também recai em uma

equação exponencial, cuja solução não é tão óbvia quanto a solução daequação acima.

1'roblema 1: O montante de uma dívida no decorrer de x meses é dado porM(x) = 10.000 • 1,05*. Determine após quanto tempo o montante será de$ 40.000,00.

Solução:

Na expressão acima, vamos substituir M(x) = 40.000

10.000-1,05*= 40.000

1,05* = 40.00010.000

1,05* =4

Essa equação é parecida com a equação 2* = 32, que foi resolvida ante-mente pela fatoração de 32, levando a 2X = 25 e resultando x = 5 por

85


comparação. Entretanto, na equação 1,05* = 4 não conseguiremos fatorar4 e escrevê-lo como uma potência de base 1,05.

Para obter o valor de x nesse caso, necessitamos de uma nova ferramen-ta de resolução: logaritmos.

Então, neste final de capítulo, estruturaremos os principais raciocíniosenvolvendo logaritmos com a intenção de usá-los exclusivamente comouma "ferramenta" para a resolução de equações exponenciais oriundas deproblemas que envolvem funções exponenciais.

• Logaritmos e Logaritmo Natural

Logaritmos

Definição: dado um número a, positivo e diferente de l, e um número cpositivo; o expoente x que se eleva na base a resultando no número c é cha-mado de logaritmo de c na base a:

loga c = x <=> ax = c

(Coma >0 , a * l e o 1)Chamamos a de base; c de logaritmando ou antilogaritmo e x de loga-

ritmo.De acordo com a definição, podemos escrever, por exemplo:

ou aindaIog2 8 = 3

Iog525 = 2

23 = 8

52 = 25

No primeiro exemplo, 2 é a base; 8 é o logaritmando ou antilogaritmoe 3 é o logaritmo. No segundo exemplo, 5 é a base; 25 é o logaritmandoou antilogaritmo e 2 é o logaritmo.

Notamos que, respeitadas as condições de existência, podemos escreverlogaritmos e diversas bases, porém as bases mais usadas nos cálculos mate-máticos e no estudo de fenómenos naturais são a base 10 e a base e, ondee é um número irracional e seu valor aproximado é e * 2,71828.

Quando se trabalha na base 10, denotamos Iog10 c = x simplesmentepor log c = x. Por exemplo, temos log 1.000 = 3, pois IO3 = 1.000.

De modo análogo à base 10, ao trabalhar na base e denotamos loge c = xsimplesmente por In c = x. Em outras palavras, os símbolos loge e In sãoequivalentes.

86


Por exemplo, temos In51 a 3,931826, pois e3'931826 s 51 que, em detalhes:

In 51 = loge 51 a 3,931826, pois e3,«i826 s 51

Considerando e s 2,71828, podemos reescrever a linha anterior como

In 51 = Iog2;71828 51 * 3,931826, pois 2,718283-93182fi * 51

Enfatizamos o logaritmo escrito na base e, também conhecido comologaritmo natural, pois tal base é comum em muitos fenómenos naturais,liem como em várias aplicações nas áreas de administração e economia. Ascalculadoras científicas possuem as teclas log e In que calculam o valor dologaritmo nessas bases. As calculadoras financeiras possuem pelo menos atecla In, que fornece o logaritmo natural, por esse motivo estaremos prio-ri/ando essa notação para o desenvolvimento das propriedades e dos pro-blemas mais adiante.

Nesse sentido, por exemplo, se em sua calculadora você digitar 200 eacionar a tecla In, o resultado obtido será 5,2983173666, o que indica sim-plesmente que:

In 200 = Iog2i71828 200 a 5,2983173666, pois 2,718285v«8M73666 „ 200.

Notamos ainda que o número e s 2,7182818285 é obtido pelo cálculodo limite

lirn

Nessa expressão, o símbolo x -* °° é lido como "x tende ao infinito", epor ora consideraremos apenas o seu significado como: a variável x assu-

( \l H— . Realizando algu-

mas contas, podemos obter alguns valores aproximados para o número e,conforme a tabela a seguir:

Tabela 4.6 Aproximações para o número e

10 100 1.000 1.000.000

l + 2 2,59374246 2,70481383 2,71692393 2,71828047x]

87


Propriedades dos Logaritmos

Na manipulação dos logaritmos, podemos trabalhar com muitas proprie-dades; entretanto, conforme proposto, vamos estabelecer apenas as pro-priedades necessárias para a resolução das equações que surgem nosproblemas envolvendo funções exponenciais. Cabe ainda lembrar que aspropriedades desenvolvidas a seguir são expressas na base e, sendo válidas,de forma similar, para outras bases. No que se segue, temos que A > O, B >O e k é um número real qualquer:

ln (A-B) = lnA + InB

In = InA - InB

InA* = k • InA

(Propriedade 1)

(Propriedade 2)

(Propriedade 3)

Decorre da definição que In l = O, pois e° = l, e também In e = l, poisgi = e.

Agora, com duas das propriedades acima, resolveremos o Problema lque deu início à nossa discussão sobre logaritmos.

Problema 1: O montante de uma dívida no decorrer de x meses é dado porM(x) = 10.000 • 1,05*. Determine após quanto tempo o montante será de$ 40.000,00.

l* Solução:Na expressão acima, vamos substituir M(x) = 40.000

10.000-1,05* =40.000

40.000- 10.000

1,05* = 4

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados da igualdade, temos

In 1,05* = ln.4

Aplicando a Propriedade 3, ou seja, In Ak = k • In A, temos

x- In 1,05 = In 4

In 1,05


Usando a calculadora, obtemos o valor de x:

1,38629436~ 0,04879016

x s 28,41340057

x ^ 28,4

o que permite concluir que o montante da dívida será de $ 40.000,00 entreo 28a e o 29a mês.

2" Solução:Na expressão acima, vamos substituir M(x) = 40.000

10.000 • 1,05* = 40.000


ln(10.000 • 1,05*) = In 40.000

Aplicando a Propriedade l, ou seja, ln(A • B) = In A + In B, temos

In 10.000 + In 1,05* = In 40.000

Aplicando a Propriedade 3, ou seja, lnAk = k • In A, temos

In 10.000+ x-In 1,05 = In 40.000x • In 1,05 = In 40.000 - In 10.000

In 40.000-In 10.000In 1,05

10,59663473 - 9,210340370,04879016

1,38629436~ 0,04879016

x a 28,41340057x ^28,4

o que permite concluir que o montante da dívida será de $ 40.000,00 entreo 28a e o 29a mês.

A 2" solução exemplifica a aplicação de duas das três propriedadesenunciadas. É possível resolver o problema utilizando a segunda e a tercei-ra propriedades enunciadas, entretanto essa solução, bem como a 2" solu-


cão, é mais extensa que a l* solução, o que nos motiva a resolver proble-mas desse tipo seguindo passos similares aos da 1a solução.

Exemplo 5: Segundo o Exemplo 4, para um carro cujo valor inicial é$ 35.000,00 e cuja depreciação é de 12,5% ao ano, obtemos o valor Vcomo função do tempo f por meio de V = 35.000 • 0,875'. Determine apósquanto tempo o valor do carro é a metade do valor inicial.

Solução:

Em V = 35.000 • 0,875', vamos substituir V = 17.500, que é a metade dovalor inicial 35.000:

35.000-0,875' =17.500

0,875' = 0,5


In 0,875' = In 0,5

Aplicando a Propriedade 3, ou seja, In A^ = k • In A, temos

f - In 0,875 = In 0,5

, l" 0,5In 0,875

Usando a calculadora, obtemos o valor de í:

_- 0,693 1471 8- 0,13353139

f s 5,1 9089317

t* 5,2

o que permite concluir que o valor do carro será a metade do valor inicialentre o 5° e o 6a anos.

• Exercícios

1. Expresse o fator multiplicativo que aplicado a uma quantia represente:a) Aumento de 25%b) Aumento de 13%


c) Aumento de 3%d) Aumento de 1%e) Aumento de 100%f) Aumento de 4,32%g) Diminuição de 35%h) Diminuição de 18%i) Diminuição de 4%j) Diminuição de 2%k) Diminuição de 6,17%1) Diminuição de 0,5%

2. O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é dadopor M(x) = 50.000 • 1,08*, onde x representa o ano após a aplicaçãoe x = O o momento em que foi realizada a aplicação.

a) Calcule o montante após l, 5 e 10 anos da aplicação inicial.b) Qual o valor aplicado inicialmente? Qual o percentual de aumento

do montante em um ano?c) Esboce o gráfico de M(x).d) Após quanto tempo o montante será de $ 80.000,00?

3. Um trator tem seu valor dado pela função V(x) = 125.000 • 0,91*,onde x representa o ano após a compra do trator e x = O o ano em quefoi comprado o trator.a) Calcule o valor do trator após l, 5 e 10 anos da compra.b) Qual o valor do trator na data da compra? Qual o percentual de

depreciação do valor em um ano?c) Esboce o gráfico de V(x).d) Após quanto tempo o valor do trator será $ 90.000,00?

4. Um automóvel após a compra tem seu valor depreciado a uma taxade 10% ao ano. Sabendo que o valor pode ser expresso por uma fun-ção exponencial e que o valor na compra é de $ 45.000,00:

a) Obtenha o valor V como função dos anos x após a compra do auto-móvel, isto é, V = f (x).

b) Obtenha o valor do automóvel após l, 5 e 10 anos da compra.c) Esboce o gráfico de V(x).d) Utilizando apenas a base da função, determine a depreciação per-

centual em 3 anos.e) Após quanto tempo o valor do automóvel será $ 25.000,00?

91


5. Uma máquina copiadora após a compra tem seu valor depreciado auma taxa de 11,5% ao ano. Sabendo que o valor pode ser expresso poruma função exponencial e que o valor na compra é de $ 68.500,00:

a) Obtenha o valor V como função dos anos x após a compra damáquina copiadora, isto é, V = f (x).

b) Obtenha o valor da máquina copiadora após l, 5 e 10 anos dacompra.

c) Esboce o gráfico de V(x).d) Após quanto tempo o valor da máquina será a metade do valor

inicial?

6. Uma pessoa faz um empréstimo de $ 35.000, que será corrigido a umataxa de 3,5% ao mês a juros compostos.

a) Obtenha o montante da dívida M como função dos meses x após adata do empréstimo, isto é, M = f(x).

b) Obtenha o montante da dívida após l, 12, 24 e 36 meses doempréstimo.

c) Esboce o gráfico de M(x).d) Utilizando apenas a base da função, determine o aumento percen-

tual em um ano.e) Após quanto tempo o valor do montante será $ 50.000,00?

7. O preço médio dos componentes de um eletrodoméstico aumenta con-forme uma função exponencial. O preço médio inicial dos componen-tes é de $ 28,50, e a taxa percentual de aumento é de 4% ao mês.

a) Obtenha o preço médio P como função dos meses í após o momen-to em que foi calculado o preço médio inicial, isto é, P = f(t).

b) Calcule o preço médio dos componentes após l, 5 e 10 meses domomento em que foi calculado o preço médio inicial.

c) Esboce o gráfico de P(í).d) Utilizando apenas a base da função, determine o aumento percen-

tual em um ano.e) Após quanto tempo o preço médio dos componentes duplicará?

Após quanto tempo o preço médio quadruplicará? Compare osresultados.

8. Uma cidade no ano 2000 tem 1.350.000 habitantes e, a partirde então, sua população cresce de forma exponencial a uma taxa de1,26% ao ano.

92


a) Obtenha a população P como função dos anos í, isto é, P = /(í).(Considere í = O representando o ano 2000, í = l representando oano 2001, e assim sucessivamente.)

b) Estime a população da cidade para os anos de 2000, 2001, 2005 e2010.

c) Esboce o gráfico de P(í).d) Qual o aumento percentual na primeira década? E na segunda

década?e) Em que ano a população será de 15.000.000 habitantes?f) Após quanto tempo a população duplicará?

9. Em uma jazida de minério, os técnicos com aparelhos fazem estimati-vas da quantidade de estanho restante que pode ser extraída após adescoberta da jazida. Tais quantidades foram computadas, e duas des-sas estimativas estão na tabela a seguir:

Tempo após a descoberta da jazida (anos)

Quantidade estimada de estanho na jazida (toneladas)

1 3

917.504 702.464

Sabe-se ainda que, com a extração mineral, a quantidade estimada deestanho restante vem diminuindo de forma exponencial.

a) Obtenha a quantidade de estanho restante y como função dos anosx após a descoberta da jazida, isto é, y = f(x).

b) Qual a diminuição percentual anual do estanho?c) Qual era a quantidade de estanho presente na jazida quando ela foi

descoberta?d) Após quanto tempo a jazida terá a metade da quantidade inicial de

estanho?

10. Após estudos, verificou-se que é exponencial o crescimento do consu-mo de energia elétrica em uma zona industrial de uma certa cidade.Foram computados os valores do consumo em relação ao número deanos transcorridos após o início do estudo, e dois desses valores sãodados na tabela a seguir:

Tempo após o início do estudo (anos) 3 7

Consumo de energia (GWh) 192.000 468.750

Matemática Aplicada à Administração, Economia • Contabilidade

11.

a) Obtenha o consumo de energia y como função dos anos x após oinício do estudo, isto é, y = f(x).

b) Qual o aumento percentual anual no consumo de energia?c) Qual era a quantidade de energia consumida no ano do início do

estudo?d) Sabe-se que o limite para fornecimento de energia, antes de haver

colapso do sistema, é de 1.000.000 GWh para tal região industrial.Se o crescimento do consumo continuar com as mesmas caracterís-ticas, após quanto tempo haverá colapso do sistema de distribuiçãode energia?

O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos meses édado pela tabela a seguir:

Mês após a aplicação inicial (x)

Montante (M)

7 8 9 10

499.430 506.922 514.525 522.243

Verifique se o montante pode ser expresso como uma função expo-nencial em relação aos meses após a aplicação inicial. Justifique suaresposta e, caso seja possível expressar o montante como uma funçãoexponencial, obtenha tal função.

12. A população de uma cidade no decorrer dos anos é dada pela tabelaa seguir:

Ano (t)

População (P)

1

154.728 157.823 165.714 178.970

Verifique se a população pode ser expressa como uma função expo-nencial em relação aos anos após o início de sua contagem (í = 0).Justifique sua resposta e, caso seja possível expressar a populaçãocomo uma função exponencial, obtenha tal função.

13. Uma organização sindical analisou as ofertas de empregos em umacidade no decorrer dos meses e organizou alguns dos dados analisa-dos conforme a tabela a seguir:

Meses (t) 3 4

Número de ofertas de empregos (N) 1.500 1.425 1.354

6

1.286

94


Verifique se o número de ofertas de empregos pode ser expresso comouma função exponencial em relação aos meses após o início da a n ã l ise (t = 0). Justifique sua resposta e, caso seja possível expressar onúmero de ofertas como uma função exponencial, obtenha tal função.

TÓPICO ESPECIAL - Regressão Exponencial

• A Regressão ExponencialComo observamos no tópico especial do capítulo anterior, existem situa-ções em que os diagramas de dispersão mostram uma nuvem de pontoscom aproximações curvilíneas. O modelo de Regressão Exponencial é ummodelo que pode ser útil para o estudo do comportamento das variáveisenvolvidas quando estas apresentam comportamento curvilíneo.

A seguir exemplificamos duas situações em que o modelo de regressãoexponencial é conveniente dado o comportamento das variáveis envolvidas:

Tabela 4.7 Volume de vendas de um produto no decorrer dos meses

Mês (x)

Volume de vendas (y)

(em unidades)

1

1.000

2

1.200

3

1.330

4

1.580

5

1.740

6

2.500

7

4.244

Figura 4.6 Volume de vendas de um produto no decorrer dos meses.

y-

4.500-

4.000-

3.500-

3.000

2.500-

2.000-

1.500

1.000-

500-

•

•

•

•

: 1 1 1 1 1 n 1 •>

0 i 2 3 4 5 ' í'''1'1/*'0'

.iiiTn.iticj Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade

Tabela 4.8 Faturamento pela venda de um produto no decorrer dos meses

Mês ( x ) 1 2 3 4 5 6 7

Faturamento (y)

(em unidades 30.000 19.800 12.450 7.125 6.150 5.120 4.280

monetárias)

Figura 4.7 Faturamento pela venda de um produto no decorrer dos meses.

y30.000-

25.000-

20.000

15.000-

10.000-

5.000-

0 1 2 3 4 5

Nas duas situações expostas, tanto na Figura 4.6 como na Figura 4.7tivemos um comportamento aproximadamente exponencial, sendo que omodelo da Figura 4.6 tem comportamento crescente, enquanto o da Figura4.7 tem comportamento decrescente.

Conforme visto neste capítulo, é plausível que a função que relaciona asvariáveis em questão tenha a forma y = b • ax. Então estaremos interessa-dos em determinar os parâmetros dessa função. Para isso, usaremos umprocesso que "lineariza" tais dados por meio de logaritmos.

Na verdade, os pontos que antes se aproximavam de uma curva expo-nencial, por meio dos logaritmos, se aproximarão de uma reta.Encontraremos os coeficientes da equação da reta por passos semelhantesaos discutidos no Tópico Especial do Capítulo 2, para finalmente determi-nar os coeficientes da função exponencial procurada.

90


O ajuste do modelo de regressão exponencial é dado por

y = P • cc*+ e

onde

• y é o valor observado (variável dependente)• x é a variável explicativa (variável independente)• a e p são os parâmetros do modelo• e é a componente aleatória (erro)

Como nos interessa determinar os parâmetros a e /3, será necessário esti-má-los por meio do emprego de dados amostrais. Na prática, trabalha-secom uma estimativa, y = (J • a*, do modelo verdadeiro.


y = b • âx

onde â e b são os estimadores dos verdadeiros parâmetros a e /3.

Aplicando logaritmo natural nos dois membros da expressão y = b • âx ,

teremos

Por meio das propriedades dos logaritmos, obtemos

In y = In b + In âx

In y = In b + x • In á

Fazendo Y = In y, A = In á e B = Inb , escrevemos a última expressãocomo

Y = B + x-A

De maneira análoga aos cálculos desenvolvidos no Tópico Especial doCapítulo 2, obtemos os parâmetros A e B por meio das fórmulas:

A =

Hxln y - Zx Zln y

e*)2

97


• B =Ihv A-Zx

Uma vez obtidos os parâmetros A e B, podemos escrever a equação dareta de regressão Y = B + x • A. Entretanto, devemos nos lembrar que, emúltima análise, estamos interessados em estabelecer o modelo de regressão

exponencial, estimado por y = b • â * , ou, em outras palavras, desejamos

determinar os parâmetros â e b.Lembrando que A = In â, que In representa o logaritmo na base e (loge),

e utilizando a definição de logaritmo, podemos fazer

A - In âloge à = A

eA = â

Ou seja, o parâmetro â é obtido fazendo

â = eA

ou, aproximadamente

â * 2,71828A

Considerando que B = In b, de modo análogo ao desenvolvido para á,obtemos

ou aproximadamente

Uma vez calculados os parâmetros â e b, obtemos, enfim, o modelo deregressão exponencial

y = b • âx

Observação: De modo análogo ao feito para as regressões linear e qua-drática, sugerimos a organização dos dados em uma planilha realizando

98


previamente alguns cálculos úteis na obtenção dos parâmetros A c- /lSugerimos a planilha que dispõe os dados e cálculos da seguinte forma:

*,

*1

*2

*3

•

Zx

y,

y\

V3

•

Zy

In y,

In 3/1

Iny2

Iny3

•

Zln y

x, • In y,

xrlnyl

x2 • In y 2

x3 • In y3

•

Zx In y

*?

*?

*22

*32

•

Z X2

^ Problemas

1. Uma empresa, observando o crescimento da oferta de seu produto emrelação aos preços praticados no mercado em que atua, disponibilizouesses dados na tabela a seguir, de acordo com a variação de um perío-do de tempo.

Meses

(reais)

Oferta (y)(unidades)

Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set.

10 12 14 15 17 19 21 23 26

100 120 135 167 198 220 268 310 390

De acordo com tais informações:

a) Construa o sistema de dispersão das variáveis x e y.b) Observando o gráfico do sistema de dispersão, verifica-se um cres-

cimento da oferta em função dos preços com tendência exponencial?

99


c) Diante das observações dos itens (a) e (b), estabeleça a regressãoexponencial de y sobre x.

d) Construa, em um mesmo sistema de eixos, a dispersão e a curvaexponencial ajustada no item (c).

2. Uma empresa de âmbito nacional está avaliando suas vendas de acor-do com as regiões mencionadas na tabela a seguir. Para isso, efetuouum levantamento por amostragem de seus volumes de vendas, procu-rando com essa pesquisa melhorar ainda mais suas vendas regionais.Contudo, estabeleceu para essa pesquisa as regiões cujos volumeseram mais essenciais para o seu faturamento anual.

Volume de vendas no decorrer dos meses

Região

Sul

Norte

Nordeste

Centro-Oeste

Jan.

2.000

4.500

4.800

5.200

Fev.

4.000

3.400

5.200

4.500

Mar.

5.000

3.000

5.000

5.000

Abr.

3.000

5.500

7.000

8.800

Maio

10.000

12.600

12.000

9.620

Jun.

25.000

25.000

25.000

28.000

í.

a) Calcule as médias regionais e interprete.b) Calcule as médias mensais e interprete.c) Construa a variável x, que será denotada pelos meses observados

na pesquisa.d) Esboce em um gráfico o sistema de dispersão, representando a

variável dada pelos meses observados e a variável y caracterizadapelas médias mensais calculadas no item (b).

e) Observando o esboço do sistema de dispersão, pode-se afirmar queocorre um crescimento com característica ou tendência exponencial?

f) Calcule e interprete o coeficiente de correlação linear.g) Diante das observações dos itens (e) e (f), construa a regressão

exponencial em que y = médias mensais e x = meses.h) Construa, em um mesmo sistema de eixos, o sistema de dispersão e

a curva exponencial ajustada no item anterior,i) Estime as vendas para os meses de julho e setembro.

A empresa f}, preocupada com a eventual queda no faturamento, emreais, diante da grande fatia de mercado em que atua, resolveu estu-dar as variações de faturamento em função do tempo em um interva-lo escolhido e determinado pelos analistas económicos dessa empresa.

100


O resultado dessa pesquisa está caracterizado na tabela disposta aseguir:

Meses (x)

haturamento (y) (RS)

1 2 3 4 5 6 7

30.000 19.500 12.000 7.100 6.200 4.900 4.180

a) Construa o sistema de dispersão para a pesquisa e verifique se asituação exposta caracteriza um crescimento ou decaimento expo-nencial.

b) Construa a regressão exponencial do faturamento (y) em função dotempo (x).

c) Em um mesmo sistema de eixos, construa o diagrama de dispersãoe o gráfico da função exponencial ajustada.

d) Estude qual o nível de faturamento para os meses 8 e 9.

4. Um índice económico está evoluindo de acordo com sua variaçãoanual. Esses dados levantados estão expressos na tabela a seguir:

Anos (x) 1

índice acumulado (y) 100

?

120

3

150

4

318

5

622

6 7

870 1.450

De acordo com os dados:a) Represente graficamente o diagrama de dispersão das variáveis x e

y. Observando o diagrama de dispersão, pode-se afirmar que o sis-tema tem características de um modelo exponencial?

b) Estabeleça a regressão exponencial para o índice acumulado (y) emfunção dos anos (x).

c) Em um mesmo sistema de eixos, construa o diagrama de dispersãoe o gráfico da função exponencial ajustada.

d) Projete o índice acumulado para os anos 8 e 9.e) Determine a taxa de crescimento anual para esse índice.

capítulo 5

Funções Potência,Polinominal, Racional

e Inversa

• Objetivo do CapítuloNesse capítulo, você estudará as funções potências, polinomiais, racionaisc inversas analisando seus comportamentos e estudando seus principaisaspectos gráficos. Você notará que as funções potências são largamenteaplicadas ao estudar os processos de produção em uma empresa. Será apre-sentada a função polinomial em sua forma geral, que pode ser exploradacm diversos fenómenos na área financeira. Você estudará as funções racio-nais explorando algumas ideias relacionadas à teoria dos limites. Ao finaldo estudo de tais funções, você trabalhará o processo de inversão de fun-ções e perceberá a utilidade da função inversa. O Tópico Especial fornece-rá os passos para obter dois importantes modelos de regressão: a regressãopotência e a regressão hipérbole.


• Modelos de Função Potência

Estudaremos nesta seção problemas e situações práticas que envolvem afamília de funções conhecidas como potências. Uma das aplicações das fun-ções potências é a análise de situações em que se vinculam quantidades pro-duzidas às quantidades de insumos utilizadas no processo de produção.Outro uso das funções potências está na Lei de Pareto, apresentada maisadiante e que discute a distribuição de rendas para indivíduos em umapopulação.

Produção, Insumo e Proporcionalidade

No processo de produção de um produto são utilizados vários fatores,como matéria-prima, energia, equipamentos, mão-de-obra e dinheiro. Cha-mamos tais fatores de insumos de produção ou, simplesmente, insumos.Por exemplo, são insumos dos tecidos o algodão, a seda, o linho, compo-nentes químicos específicos, mão-de-obra, equipamentos de tecelagem,energia elétrica etc. Nesse sentido, podemos dizer que a produção dependedos insumos.

Na análise matemática da produção de um produto, é interessante esta-belecer a quantidade produzida em correspondência com a quantidade deapenas um dos componentes dos insumos, considerando fixas as demaisquantidades dos outros insumos. Por exemplo, a quantidade produzida P,dependendo apenas da quantidade q de matéria-prima utilizada na produ-ção, considerando fixa a quantidade de mão-de-obra disponível, de energiautilizada, de dinheiro disponível etc.

Em resumo, é natural supor que, para um produto, a quantidade pro-duzida P dependa da quantidade utilizada q de um insumo ou, em outraspalavras, a produção pode ser escrita como função da quantidade de uminsumo: P = f(q).

Nesse sentido, em situações práticas para alguns processos de produção,nota-se que a produção é proporcional a uma potência positiva da quanti-dade de insumo, ou seja,

P = k • q"

onde k e n são constantes positivas.A seguir, temos alguns exemplos:

104

Capitulo 5 - Funções Potência, Polinomial, Racional e Inversa

• se k = 30 e n = l, obtemos P = 30 • q1 ou, simplesmente, P = 3Qq.*(Nesse caso, dizemos que P é diretamente proporcional a q e k = 30 éa constante de proporcionalidade.)

• se k = 5,07 e n = 2, obtemos P = 5,07 • q2 ou, simplesmente,P = 5,07g2.**(Nesse caso, dizemos que P é proporcional ao quadrado de q.)

• se k = 0,05 e n = 3, obtemos P = 0,05 • c£> ou, simplesmente,P = 0,05íj2.

T 3

• se k = 1.000 e n = -j , obtemos P = 1.000 • q 4 ou, simplesmente,

3P =1.000<3(4

Vamos analisar mais detalhadamente o comportamento das funçõesdadas nos dois últimos exemplos.

Produção e Taxas Crescentes

Em uma determinada fábrica, na produção de garrafas plásticas para refrige-rante, considerando P a quantidade de garrafas produzidas e q a quantidadede capital aplicada na compra de equipamentos, estabeleceu-se a função daprodução

P = 0,05<73

onde P é medida em milhares de unidades por mês e q é dada em milharesde reais.

Com base nessas informações, construímos uma tabela que dá a produ-ção para alguns valores do insumo q aplicado na compra de equipamentos

* Comparando F = 30t/ e y = mx + b, também podemos entender P como uma funçãodo lu grau, onde k = m = 30 é a taxa de variação e b = 0.** Comparando P - 5,07<j^ e y ~ ax^- + bx + c, também podemos entender P como uin . ifunção do 2" grau, onde k = a = 5,07, b = O e c = 0.

105


Tabela 5.1 Produção de garrafas plásticas em função do capitalaplicado em equipamentos

Dinheiro aplicado emequipamentos (q) (em O 2

milhares de R$)

Garrafas produzidas (P)

(em milhares de O 0,4unidades/mês)

10

3,2 10,8 25,6 50,0

e esboçamos o respectivo gráfico*.

Figura 5.1 Produção de garrafas plásticas em função do capitalaplicado em equipamentos.

2Í.6

II).»

Observamos nesse exemplo que a função produção P = 0,05g3 é cres-cente, e interessa-nos analisar melhor o crescimento dessa função.

A partir da tabela anterior, notamos que os aumentos de R$ 2.000,00em q acarretaram diferentes aumentos em P, que organizamos na tabela aseguir:

'Embora as variáveis independente e dependente sejam tipicamente discretas, conside-t . i imis , por questões didáticas e para esboços gráficos, tais variáveis como contínuasII I -SM- exemplo e em outros.

106

Capítulo 5 - Funções Potência, Polinomial, Racional e Inversa

Tabela 5.2 Aumentos em P em relação aos aumentos em q

Aumentos em q (em R$)

(2 -0 ) - 1.000 = 2.000

(4 - 2) • 1.000 = 2.000

(6 - 4) • 1.000 = 2.000

(8-6) . 1.000 = 2.000

(10-8) • 1.000 = 2.000

Aumentos em P (unidades/mês)

(0,4 - 0) • 1.000 = 400

(3,2-0,4)- 1.000 = 2.800

(10,8-3,2)- 1.000 = 7.600

(25,6- 10,8) • 1.000= 14.800

(50,0 - 25,6) • 1.000 = 24.400

Analisando mais atentamente o aspecto do crescimento da produçãopara essa função, percebemos que, para aumentos iguais em q, os aumen-tos em P são cada vez maiores, ou seja, os aumentos em P são crescentes.Nessa situação, dizemos que a função P cresce a taxas crescentes.Graficamente, o indicador das taxas crescentes é a concavidade voltadapara cima.

No exemplo seguinte, analisamos a produção, que novamente é crescen-te, porém com uma taxa "decrescente" para o crescimento.

Produção e Taxas Decrescentes

Em uma determinada linha de produção, o número P de aparelhos eletrô-nicos montados por um grupo de funcionários depende do número q dehoras trabalhadas, e foi estabelecida a função dessa produção como

3P =1.000^4

onde P é medida em unidades montadas, aproximadamente, por dia.A partir dessa função, construímos uma tabela que dá a produção para

alguns valores do insumo q, horas trabalhadas, em um dia

Tabela 5.3 Produção de aparelhos eletrônicos em funçãodas horas trabalhadas

Horas trabalhadas na montagem (q)

Aparelhos montados (P)

(unidades/dia) (aproximadamente)

O 2 4 6 8 10

O 1.682 2.828 3.834 4.757 5.623

107


e esboçamos o respectivo gráfico.

Figura 5.2 Produção de aparelhos eletrônicos em funçãodas horas trabalhadas,

p...

5.623

4.757

3.834

2.828

10

Observamos novamente que a função produção P = 1.000 g4 é cres-

cente e que os aumentos de 2 horas em q acarretaram diferentes aumentosem P, que organizamos na tabela a seguir:

Tabela 5.4 Aumentos em P em relação aos aumentos em q

Aumentos em q (em hora) Aumentos em P (unidades/dia)

2-0 = 2 1.682-0=1.682

4-2 = 2 2.828- 1.682 = 1.146

6-4 = 2 3.834-2.828 = 1.006

1-6 -2 4.757 - 3.834 = 923

10-8 = 2 5.623 - 4.757 = 866

Analisando mais atentamente o aspecto do crescimento da produçãopara essa função, percebemos que, para aumentos iguais em q, os aumen-

108


tos em P são cada vez menores, ou seja, os aumentos em P são decresceutes. Nessa situação, dizemos que a função P cresce a taxas decrescentes.(iraficamente, o indicador das taxas decrescentes é a concavidade voltadapara baixo.

Veremos agora outro uso das funções potências enunciado na Lei de1'areto.

A Lei de Pareto, Ass/ntotas e Limites

No final do século XIX, o economista italiano Vilfredo Pareto, ao estudar•A distribuição de rendas para indivíduos em uma população de tamanho a,notou que, na maioria dos casos, o número y de indivíduos que recebemuma renda superior a x é dado aproximadamente por

onde r é a menor renda considerada para a população e b é um parâmetropositivo que varia de acordo com a população estudada.

Por exemplo, se a população estudada é de 1.200.000 habitantes, arenda mínima considerada for de R$ 300,00 e o parâmetro b = 1,3, entãoo número de indivíduos y que têm renda superior ã x é dado por

1.200,000

(x-300)1 '3

Considerando essa função, se quisermos uma estimativa de quantos indi-víduos têm renda superior a R$ 1.000,00, basta fazer x = 1.000 e obtemos

1.200.000

(1.000-300)1'3

1.200.000

7001'3

1.200.0004.996

y = 240

Ou seja, 240 indivíduos recebem renda superior a R$ 1.000,00.

109


Muitas vezes, a relação y = - estabelecida pela Lei de Pareto é(x-r)b

escrita de modo mais simples, considerando-se r = O, ou seja, a renda míni-ma é zero ou, ainda, faz-se a renda mínima coincidir com zero. Dessaforma, a Lei de Pareto nos dá

/7y =

(x-0)b

ay =

que pode ser reescrita na forma de uma potência negativa de x como

y = a • x~h

Para uma breve análise, vamos considerar uma população de 5.000.000habitantes, a renda mínima de O e o coeficiente b = 1,5. Assim, o númerode indivíduos de acordo com a renda será dado por

y = 5.000.000 • x-i<5

ou, reescrevendo na forma de função hiperbólica,

y = 5.000.000- —.̂1,5

5.000.000

Para análise de tal função, devemos notar que, na prática, tal relaçãosomente tem sentido para O < x < maior renda possível e O < y < 5.000.000.

Construindo uma tabela para alguns valores de x, obtemos

Tabela 5.5 Distribuição aproximada de indivíduos comrenda superior à renda x

Renda (x) (em RS) Número aproximado de indivíduoscom renda superior a x (y)

100

200

300

5.000

1.768

962

Capitulo 5 - Funções Potência, Polinomial, Racional e Inverto

Tabela 5.5 continuação

Renda (x) (em R$) Número aproximado de indivíduoscom renda superior a x (y)

400 625

500 447

1.000 158

cujo gráfico é dado por

Figura 5.3 Distribuição aproximada de indivíduos comrenda superior à renda x.

y

s.ooo

O 100 200 300 400 500 1.000

Analisando tal gráfico, podemos notar que a maior parte dos indivíduostem rendas com valores baixos (valores de renda próximos a x = 0),enquanto é pequeno o número de indivíduos com altas rendas (valores dey próximos de y = O, quando x é grande). Notamos também que a funçio

111

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilldadu

}' =5.000.000 é decrescente e, por ter a concavidade voltada para cima,

1.000

1.000.000

1.000.000.000

1.000.000.000.000

1.000.000.000.000.000

158

0,005

0,000000158

0,000000000005

0,000000000000000158

ou simplesmente

lim y = O

lim y = O

Capítulo 5 - Funções Potência, Polinomial, Racional e lnver»a

dizemos que tal função é decrescente a taxas crescentes.É interessante notar que, para rendas grandes, a curva se aproxima cada

vez mais do eixo x. Vamos calcular alguns valores para y, quando x assu-mir valores cada vez maiores.

Tabela 5.6 Valores aproximados de y para grandes valores de x

5.000.000

Pelos cálculos observamos que, se x assumir valores cada vez maiores,então y assumirá valores positivos cada vez mais 'próximos' de zero.Simbolicamente, expressamos isso denotando que, se x -* +=°, entãoy -* 0+. Ou dizendo que, se "x 'tende' a mais infinito", então "y 'tende' azero com valores maiores que zero". Resumindo com a notação de limites,temos

Vale salientar que, ao escrevermos x -> +°°, queremos traduzir a ideia deque x assume valores tão grandes quanto se possa imaginar e que, ao

escrevermos lim y = O ou y -* 0+ quando x -» +°°, queremos traduzir aX-»oo

ideia de que y assume valores positivos cada vez menores, se "aproximan-do" do zero.

112

Graficamente, a curva se aproxima do eixo x, entretanto, sem "tocá-lo"ou, em outras palavras, a curva é asstntota ao eixo x quando x —» °°.

Nesse sentido, notamos que a curva também é assíntota ao eixo y quan-do x assume valores positivos cada vez menores, se "aproximando" do/ero. De modo análogo ao feito anteriormente, vamos discutir tal ideia.

Vamos calcular alguns valores para y, quando x assumir valores positi-vos cada vez mais "próximos" de zero.

Tabela 5.7 Valores de y para valores de x "próximos" de zero

5.000.000

1

0,1

0,001

0,000001

0,000000001

1,5

5.000.000

158.113.883

158.113.883.008

5.000.000.000.000.000

158.113.883.008.000.000.000 +00

Pelos cálculos, observamos que, se x assumir valores positivos cada vezmais "próximos" de zero, então y assumirá valores cada vez maiores.Simbolicamente, expressamos isso denotando que, se x —» 0+, então y —* +°°.Ou dizendo que, se "x 'tende' a zero com valores maiores que zero", então"y 'tende' a mais infinito". Resumindo com a notação de limites, temos

y =

ou simplesmente

lim

Salientamos que, ao escrever x -» 0+, queremos traduzir a ideia de quex assume valores positivos cada vez menores, se "aproximando" de zero eque, ao escrevermos lim y = oo ou y -» +<» quando x -* 0+, queremos tra-

x^0+

duzir a ideia de que y assume valores tão grandes quanto se possa imaginac

113

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidadis

Para tal problema, estabelecemos inicialmente que O < x < maior rendapossível, ou seja, assumimos x positivo. Por esse motivo, estamos analisan-do apenas lim y. Se quiséssemos analisar Hm y, deveríamos estudar não

x^0+ x-^0

apenas o limite lateral lim y mas também o limite lim y onde x —» 0~x-^0+ x—O

significa que x se "aproxima" de O com valores menores que 0.

• Observação: nos limites do tipo lim y , onde x -* a, devemos estudarx-+ a

o comportamento de y para x —* a+ e x —* a~ ou, em outras palavras,devemos analisar os valores assumidos por y quando x "se aproxima"de a com valores maiores que a e também analisar os valores assumi-dos por y quando x "se aproxima" de a com valores meno-res que a. Nesses casos, dizemos que o limite lim y deve ser anali-

x-*a

sado em termos dos limites laterais lim y e lim _ y .x—*a * x—*a

Por exemplo, se quisermos estudar o valor do limite Hm y, devemosx-»2

analisar os limites laterais lim y e lim y . Estudar tais limites significax->2+ x-»2~

analisar o comportamento de y quando x -* 2+ e x -> 2~, respectivamenteou, em outras palavras, verificar quais valores y assume quando x se"aproxima" de 2 com valores maiores que 2, isto é, x -» 2+, e verificar osvalores assumidos por y quando x se "aproxima" de 2 com valores meno-res que 2, isto é, % -* 2~.

11 Caracterização GeralDefinição: uma função potência é dadada por

= f(x) = k - x»

com k, n constantes e k * 0.Embora o expoente n possa assumir qualquer valor real, é interessante

analisar três casos:

• Potências Inteiras e PositivasExemplos:

y = 30x, y = ISx2, y = -200x3, y = 0,75x4 e y = 300*5.

114

Capítulo 5 - Funções Potência, Polinomial, Racional e Inverta

• Potências Fracionárias e PositivasExemplos:

y = SOx1'2, y = l O x2/3, y = 0,7xw, y = 50x3/2 e y = 20xsl2.

• Potências Inteiras e NegativasExemplos:

= 25ar1ou y = — , y = 350*-2 ou — y = IO*-3 ou y = —

Vamos analisar tais casos e, para simplificação das análises e esboçosgráficos, consideraremos k = l em y = k • x", de tal forma que estudaremosas potências da forma y = x".

1° Caso: Potências Inteiras e Positivas

Ao analisar o comportamento das potências inteiras e positivas de x nota-mos que:

• potências ímpares (y = x, y = x3, y = x5, ... ) são funções crescentes paratodos os valores do domínio e seus gráficos são simétricos em relação àorigem dos eixos. Notamos ainda que, para y = %3, y = xs, ... os gráficostêm concavidade voltada para baixo (taxas decrescentes) quando x < Oe concavidade voltada para cima (taxas crescentes) quando x > 0. Paray = x, cujo gráfico é uma reta, a taxa é constante (não há concavidade).

• potências pares (y = x2, y = x4, ...) são funções decrescentes para x < Oe crescentes para x > O e seus gráficos têm o formato de U e são simé-tricos em relação ao eixo y. Por ser a concavidade voltada para cima,as taxas são crescentes, tanto para o crescimento como para o decres-cimento da função.

Tais observações são verificadas nos gráficos a seguir:

Figura 5.4 Potências ímparespositivas de x.

Figura 5.5 Potências parespositivas de x.

115


2° Caso: Potências Fraeionár/as e Positivas

Ao estudar as potências fracionárias, devemos lembrar que, em y = x", o

expoente n pode ser reescrito na forma de uma fração do tipo _£_. Interessa-1

nos analisar apenas os casos em que p > O e q > 0; para tanto, devemos lem-brar que podemos escrever uma potência fracionária por meio de raízes

Assim, por exemplo, y = x5 = Vx3 ou, ainda, y = x2 = V*1 = v*-

Nesse último exemplo, sabemos que a raiz quadrada é definida apenas parax 2 0. De modo análogo, inúmeras potências fracionárias de x só têm sen-tido se x ^ 0; por esse motivo, consideraremos potências fracionárias de xdefinidas apenas para x a 0.

As potências fracionárias são crescentes a" taxas decrescentes se oexpoente é maior que O e menor que l (concavidade para baixo) e crescen-tes a taxas crescentes se o expoente é maior que l (concavidade para cima).

Exemplos em y = x":

• O < n < l crescente a taxas decrescentes - concavidade para baixo

y = x2'3, y = e y = x1'4

' n > l crescente a taxas crescentes — concavidade para cima

y = x3'2, y = x5'2 e y = x10'3

Nos gráficos a seguir notamos os aspectos comentados:

Figura 5.6 Potências fracionárias de Figura 5.7 Potências fracionáriasx com expoente O < n < 1. de x com expoente n > 1.


3° Caso: Potências inteiras e Negativas

As potências inteiras e negativas de x são definidas para xescrevê-las na forma de fração, temos x como denominador:

Em y = x" fazendo n = -b, com b > O, temos

O pois, ao

y = x'

Exemplos:

y = AT1 ou y = — , y = x~2 ou y = , y =X -f2.

ou y = —x3

Tais funções também são conhecidas como hiperbólicas, pois seus grá-ficos, no domínio x e R e x * O, são hipérboles.

Como no domínio de tais funções x f O, o gráfico não cruza o eixo y.Na verdade, analisando o comportamento de y quando x assume valorespróximos de zero, temos graficamente a curva assíntota ao eixo y. Se fizer-mos x —» +00 ou x —* -oo, teremos a curva assíntota ao eixo x.

Podemos fazer duas distinções para as potências inteiras e negativas:

• potências negativas ímpares (y = x~l, y = x~3, y = x~5, ...) são funçõesdecrescentes para todos os valores do domínio e, nos gráficos, osramos de hipérbole são simétricos em relação à origem dos eixos.Notamos ainda que os gráficos têm concavidade voltada para baixo(taxas decrescentes) quando x < O e concavidade voltada para cima(taxas crescentes) quando x > 0.

Figura 5.8 Potências ímpares negativas de x.

x»

117


1 potências negativas pares (y = %~2, y = x~^, y = xr6...) são funções cres-centes para x < O, decrescentes para x > O e, nos gráficos, os arcos dehipérbole são simétricos em relação ao eixo y. Por ser a concavidadevoltada para cima, as taxas são crescentes, tanto para o crescimentocomo para o decrescimento da função.

Figura 5.9 Potências pares negativas de x.

Após termos analisado os três principais casos para as potências de x,vale ressaltar três observações:

• Observação 1: ao compararmos diferentes potências positivas de x,temos que, quanto maior o expoente «, maior será o valor da funçãoy = x" para x > 1. Assim, por exemplo,

x3 > x5'2 > x2 > x > x1'2 > x2'5 > x1'-'

para x > l.Em outras palavras, x3 cresce mais "rapidamente" que x5'2, que cresce

mais "rapidamente" que x2 que cresce ... para x > 1.

• Observação 2: ao compararmos diferentes potências positivas de x,temos que, quanto menor o expoente n, maior será o valor da funçãoy = x" para O < x < 1. Assim, por exemplo,

v.l/2 ,0/2

para O < x < 1.Ou, em outras palavras, x1'3 cresce mais "rapidamente" que x2'5, que

cresce mais "rapidamente" que x1'2, que cresce ... para O < x < 1.O aspecto gráfico relativo às duas observações é notado a seguir:

118


Figura 5.10 Comparação das potências positivas de x.y

X3 x5/2 X2

111

Observação 3: Em y = k • x", se fizermos n = O, teremos a potênciazero de x ou função constante y - k:

cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo x:

Figura 5.1 1 Função constante y = k.

• Modelos de Função PolinomialNos Capítulos 2 e 3 estudamos as funções de primeiro grau e de segundo grau,respectivamente. Na verdade, tais funções são casos da função polinomial degrau n ou, simplesmente, função polinomial, que discutiremos a seguir.

119


A função polinomial é muito utilizada para modelar situações práticasem diversas áreas do conhecimento, dada a simplicidade do seu estudo e desuas propriedades.

Assim como a função potência, a função polinomial é muito utilizadaem problemas que envolvem o estudo da produção em relação à utilizaçãode insumos. Situações como estudo da receita, do custo e do lucro, já ana-lisadas anteriormente, podem ser estudadas de maneira mais ampla comfunções polinomiais de grau superior a 2. Nesta seção iremos apenas exem-plificar uma função polinomial e construir seu gráfico a partir de uma tabe-la. Um estudo mais detalhado dessas funções e de seus gráficos será feitono Capítulo 8, por meio das derivadas primeira e segunda.

Função Polinomial e Preço de um Produto

O preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatou-seque pode ser aproximado pela função p(t) = t3 - 6t2 + 9t + 10, onde í repre-senta o número do mês a partir do mês í = O que marca o início das análises.

Construindo uma tabela para alguns meses, determinamos os preços pdo produto e esboçamos o respectivo gráfico.

Tabela 5.8 Preço p(t) = t3 - 6t2 + 9t + 10 de um produtono decorrer dos meses t

Tempo ( t ) (meses) O 1 2 3 4 5

Preço (p) (R$) 10,00 14,00 12,00 10,00 14,00 30,00

Figura 5.12 Preço p(t) = t3 - 6t2 + 9t + 10 de um produto nodecorrer dos meses t.

120


Notamos que, em í = l, temos o preço máximo do produto para valo-res de t próximo a í = 1; em í = 2, temos o instante em que a concavidademuda, assinalando a mudança das taxas de decrescimento/crescimentoconforme o intervalo; e, em í = 3, temos o instante em que o preço assu-me o menor valor para valores de t próximo a t = 3. No Capítulo 8, seráfeita a confirmação de que t = l é um ponto de "máximo local", de queem í = 2 ocorre a mudança de concavidade ou a "inflexão" do gráfico ede que í = 3 é um ponto de "mínimo local".


Definição: uma função polinomial de grau « é dada por

y = f(x) = an • x» + an_{ • x"-1 + ... + a2 • x2 + av • x1 + a0

onde n é um número natural e an * 0.

• H é chamado de grau da função polinomial.*• os coeficientes an, an_i, ..., a2> a\ «o sã° números reais.

Exemplos:

• y = -4x5 - 30x3 + 7x2 + x - 10 -» função polinomial de grau 5• y = 2x3 - 20x2 + lOx +15 -» função polinomial de grau 3• y = 7x2 - 3Qx + 15 -> função polinomial de grau 2• y = -I0x + 50 -» função polinomial de grau l

• Modelos de Função Racional

Outro tipo de função utilizada para representar modelos nas áreas de admi-nistração e economia é a função racional. Tal função é obtida pela divisãode duas funções polinomiais, e seu gráfico apresenta formas bastante varia-das em que destacamos pontos onde a função não é definida, bem comodiferentes assíntotas.

* Podemos entender a função constante como uma função polinomial de grau zero comf(x) = a0 • x° = a0 para a0 * O, e a função constante nula f[x) = O pode ser entendidacomo a função polinomial nula e, nesse caso, não é definido o grau.

121


Função Racional e Receita

Considerando a função que dá a receita R para um certo produto em fun-ção da quantia x investida em propaganda, foi estabelecido que

IOOx+300K (x) - — . Consideraremos receita e quantia investida em pro-

paganda medidas em milhares de reais. Para entender o comportamento dareceita de acordo com a aplicação em propaganda, esboçaremos o gráficode R(x).

Por questões didáticas, faremos o esboço completo do gráfico, conside-rando inclusive pontos em que x < O, embora, em termos práticos, não façasentido dizer que foi aplicado x = -2 (ou "menos R$ 2.000,00") em propa-ganda. Nossa intenção é apresentar alguns passos importantes para o esbo-ço e a discussão de um gráfico e função similares ao de R(x):

• l" Passo: Analisar onde R(x) é definida, investigando assim se há

100*+300 vassmtotas verticais, rara que K(x] = —-— exista, e necessa-x + \0

rio que o denominador x + 10 seja diferente de zero:

x + 10 * Ox ̂ - 10

Assim, R(x) existe para x # -10 e, graficamente, temos nesse pontoassíntotas verticais. Para desenharmos tais assíntotas, vamos analisar ocomportamento R(x) quando x -» -10, ou seja, vamos analisar os limites

laterais Hm R(x) e lim R(x).x-»-l<T x-*-lO+

Para estimar o lim R( x) vamos montar uma tabela tomando valo-x-»-l(T

rés de x "próximos" de -10, porém menores que -10.

Tabela 5.9 Valores de R(x) = — —— para x ̂ -10-x + 10

R (x)

-10,1

100x + 300x + 10

7.100

122


Tabela 5.9 continuação

i

-10-

-10,01

-10,001

-10,000001

-10,000000001

IOOx + 300x + 10

70.100

700.100

700.000.100

700.000.000.100

l

+ 00

Pela tabela, percebemos que, quando x -> -10~, temos R ( x ) assumindo

valores cada vez maiores. Concluímos então que Hm R ( x ) = +°°.x—-10~

Para o cálculo de lim R(x) , vamos montar uma tabela tomandox-»-10+

valores de x "próximos" de —10, porém maiores que —10.

„,.., 100x+300laoeia D. m valores de "w X+10 parax^- IO*

x x

-9,9

1 -9,99

-9,999

-9,999999

-10+ -9,999999999

IOOx + 300R(X) x+10

-6.900

-69.900

-699.900

-699.999.900

-699.999.999.900

R(x)

1

-00

Pela tabela, percebemos que, quando x -> -10+, temos R(x) assumindo

valores cada vez menores. Concluímos então que lim R(x) = -°°.+

123


A partir dos dois limites calculados, concluímos que, em x = -10, temosduas assíntotas verticais, conforme a figura a seguir:

Figura 5.13 Assíntotas verticais de R(x) quando x -» -10.

• 2a Passo: Descobrir onde R(x) corta o eixo R fazendo x = 0:

100-0 + 300R(0) =

0 + 10300

R(0) - 10

R(0)= 30

Assim, R(x) corta o eixo R em R(0) = 30 e, em termos práticos,R$ 30.000,00 representa a receita quando nada é investido em propaganda.

• 3a Passo: Descobrir onde R(%) corta o eixo x fazendo R(x) = 0:

100%+300% + 10

Tal divisão é zero somente se o numerador 100% + 300 for zero, logo:

100% + 300 = O% = -3

Assim, R(%) corta o eixo % em x = -3.

• 4" Passo: Analisar o comportamento de R(x) quando % -» -oo. Logo,

vamos investigar o limite lim R(%)- Para tanto, vamos montar umaX-»-oo

tabela tomando valores de % cada vez menores.

124


Tabela 5.11 Valores aproximados de R(x) para pequenos valores de x

J.

— oc

-100

-1.000

-1 .000.000

-1 .000.000.000

-1 .000.000.000.000

IOOx + 300x + 10

107,777777778

100,707070707

100,000700007

100,000000700

100,000000001

!

100

Pelos cálculos, observamos que, se % assumir valores cada vez menores,R(%) assume valores cada vez mais próximos de 100, então temos quelim R(%) = 100. Observamos ainda que R(%) assume valores cada vez

mais próximos de 100, porém com valores maiores que 100; assim, quandox —* -oo, graficamente a curva de R(x) é assíntota à linha R(%) = 100, estan-do acima dessa linha. Tal assíntota é chamada de assíntota horizontal.

Notamos que lim R ( % ) = 100 poderia ter sido obtido algebricamenteX->-°°

ao fazer '

lim100% + 300 lim = lim 100 = 100.

Fizemos lim100%+300

im - —, pois 100% + 300 - 100% ex-»-oo X +10 x-»-" X

x + 10 - x quando x -> -oo, já que 300 é desprezível em 100% + 300 e 10é desprezível em % + 10 quando tomamos valores extremamente pequenospara %.

• 5" Passo: Analisar o comportamento de R(x) quando % -* +00. Logo,

vamos investigar o limite lim R(x). Para tanto, vamos montar umaX->oo

tabela tomando valores de x cada vez maiores.

125


Tabela 5.12 Valores aproximados de R(x) para grandes valores de x

100

i 1 .000

1.000.000

1 .000.000.000

+00 1.000.000.000.000

100x + 300x + 10

93,636363636

99,306930693

99,999300007

99,999999300

99,999999999

R(x)

l

100

Pelos cálculos, observamos que, se x assumir valores cada vez maiores,R(x) assume valores cada vez mais próximos de 100, então temos que

lim R (x) = 100. Observamos ainda que R(x) assume valores cada vez

mais próximos de 100, porém com valores menores que 100; assim, quan-do x -* +00, graficamente a curva de R(x) é assíntota à linha R(x) = 100,estando abaixo dessa linha.

De modo análogo ao realizado no 4a Passo, lim R ( x ) = 100 poderiaX~>+ 00

ter sido obtido algebricamente ao fazer

l im100*+300

*+oo X+10lim;C-» + CC #

= lim 100 = 100.

O valor do limite lim R ( x ) - 100 indica, em termos práticos, que, por*-*+«>

maior que seja a quantia investida em propaganda, a receita não excede ovalor de R$ 100.000,00, representada pela linha R(x) = 100.

Dos resultados obtidos nos cinco passos descritos, esboçamos o gráficode R(x).

126


Figura 5.14 Receita R<xIOOx + 300

x + 10 para um produto para x

investido em propaganda.-

-10.

100

30.

-3

^"^~~


Definição: uma função racional é dada por

PMy=f(x) =

onde P(x) e Q(x) são polinómios e Q(x) * 0.Para análise e representação gráfica de tal função, podemos seguir os

seguintes passos:

• l" Passo: Analisar onde y = f(x) é definida, investigando assim se háassíntotas verticais. Se há uma assíntota vertical em x = a, analisar ocomportamento da função quando x -* a, ou seja, estudar os limites

laterais lim y e lim y. Caso haja várias assíntotas verticais, éx-*a+ x-*a~

interessante construir uma tabela com alguns valores da função paradiferentes valores de x entre as assíntotas verticais.

• 2a Passo: Descobrir onde y = f(x) corta o eixo y fazendo x = 0.

• 3" Passo: Descobrir onde y = f(x) corta o eixo x fazendo y = 0.

• 4° Passo: Analisar o comportamento de y = f (x) quando x -* -°°.

• 5" Passo: Analisar o comportamento de y = f(x) quando x -» +°°.

127


• Função Inversa

No início do Capítulo 2, foi estudada uma situação que relaciona o custoC para a produção de q camisetas: na função C = 2q + 100, se for dadauma quantidade q produzida, obtém-se o custo C. A partir de tal função,podemos obter outra função em que, de maneira inversa, se é dado o custoC, obtém-se a quantidade q produzida. Para obter tal função, basta "iso-lar" a variável q na relação:

C=2q+ 1002q = C - 100

C -100

íq = C-5Q .

q = 0,5 C - 50

A função q = 0,5C - 50 é conhecida como a função inversa da funçãoC = 2q + 100. Se simbolizarmos a função do custo por C = f (q), então sim-bolizamos a inversa por q = f"1 (C).

Obtendo a Inversa de uma Função Exponencial

No início do Capítulo 4, estabelecemos a função M(x) = 10.000 • 1,05*, quedá o montante M de uma dívida no decorrer do tempo x contado em mesesa partir do mês em que foi realizado o empréstimo. Ao final do mesmo capí-tulo, na resolução do Problema l, vimos que, por meio de logaritmos, épossível estabelecer após quanto tempo o montante será de $ 40.000,00, ouseja, dado um montante específico, estabelecemos o tempo correspondente.Nesse sentido, queremos agora estabelecer, de modo mais geral, a expres-são que permite calcular o tempo x como função do montante M; em outraspalavras, dada M = f(x), queremos obter a função inversa x = f~l(M).

Na resolução do Problema l, para obter o tempo x foram utilizados loga-ritmos. Para a obtenção da função inversa de uma função exponencial tam-bém utilizaremos logaritmos e, dada a expressão M = 10.000 • 1,05* paraescrever x como função de M a intenção é "isolar" o x em tal expressão:

M = 10.000 • 1,05*

128

Capitulo 5 - Funções Potência, Polinomial, Racional e Inverti


In M = ln(10.000 • 1,05*)

Aplicando a Propriedade l de logaritmos, ou seja, ln(A • B) = In A + In B,temos

In M = In 10.000 + In 1,05*

Aplicando a Propriedade 3, ou seja, In A* = k • In A, temos

In M = In 10.000 + x - I n 1,05x- In 1,05 = In M - I n 10.000

In M -In 10.000In 1,05

In M In 10.000In 1,05

l- • In M -

In 1,05

In 10.000"- In 1,05 In 1,05

Usando a calculadora, obtemos os valores aproximados dos logaritmos euma aproximação para a função inversa

J [n M - 9>2103403720,048790164 0,048790164

x = 20,49593438 • In Al -188,7745319

x = 20,4959 • In M - 188,7745

Assim, a função inversa x = 20,4959 • In Aí - 188,7745 permite encon-trar o tempo x a partir do montante Al.

Na solução do Problema 4, encontramos x s 28,4 para um montante deAí = 40.000 resolvendo uma equação exponencial. Com a função inversaobtida anteriormente, vamos obter o mesmo valor para x fazendoM = 40.000:

x = 20,4959 • In Aí -188,7745

x = 20,4959 • In 40.000 -188,7745x * 20,4959 • 10.5966 - 188,7745

xá 217,1869-188,7745• . . - / i . x* 28,4124.o.,*.,,!, . xss2M

129

í l i . 1 .plii . 1 l i i Admini: ' Eo ifMM nttbHW ld<

Percebemos que, na função x = 20,4959 • In M - 188,7745, temos In Me isso indica que o logaritmo também pode ser entendido como uma fun-ção; na verdade, tal função é uma função logarítmica.

Existência da Função Inversa

Como vimos, para obtenção da inversa, procuramos "isolar" a variávelindependente na expressão que dá a função original; entretanto, tal proce-dimento não garante a obtenção da inversa. Por exemplo, se a função ori-

ginal for y = x2, ao isolarmos x obtemos x = ±-\] y , e tal relação não

caracteriza uma função, pois para cada valor da grandeza y obtemos doisvalores da grandeza x. Dizemos, nesse caso, que y = x2 não é inversível.Para que a relação inversa represente uma função, é necessário que, paracada valor da grandeza y, obtenhamos um único valor da grandeza x.

Percebemos que y = x2, onde o domínio é o conjunto IR, não é inversí-vel, pois pode ocorrer que dois elementos do domínio aplicados na funçãoresultem em um único elemento da imagem (por exemplo: f(2) = f(-2) = 4).Graficamente, isso é notado, pois ao traçarmos uma reta paralela ao eixox, tal reta encontra o gráfico de y = x2- em dois pontos.

Figura 5.15 Diferentes valores do domínio correspondendo a um únicovalor na imagem.

Se denotamos uma função f : A -> B, onde A é o domínio e B é o con-tradomínio, dizemos que f é inversível se, e somente se, para cada y G Bexistir em A um único elemento x tal que y = f(x). Em outras palavras, ftem inversa se sua imagem coincidir com seu contradomínio e, além disso,

130


elementos diferentes do domínio tiverem como correspondentes elementosdiferentes na imagem.

Vimos que y = x2- não possui inversa para o domínio e contradomínio IRmas, se restringirmos o domínio e o contradomínio para os reais não-nega-tivos (D?+), ou seja, x a O e y a O, a inversa da nova função assim determi-

nada será x = iy .

*i Exercícios

1. O custo variável Cv para a produção de q unidades de um produto édado por Cv = lOg3, onde Cv é medido em reais.

a) Construa uma tabela que forneça o custo variável para a produçãode O, l, 2, 3, 4 e 5 unidades do produto e, a partir de tal tabela,esboce o gráfico de Cv.

b) Qual o tipo de taxa de crescimento de Cví Justifique sua respostanumérica e graficamente.

c) Qual é a quantidade produzida quando o custo variável é deR$ 5.120,00?

d) Obtenha a inversa q = f~^(Cv) e explique o seu significado.

2. Em uma empresa, a produção P de alimentos beneficiados é dada porP = 0,25cjr4, onde p representa o capital investido em equipamentos. Aprodução é dada em toneladas e o capital, em milhares de reais.

a) Construa uma tabela que dê a produção de alimentos quando sãoinvestidos O, l, 2, 3, 4 e 5 milhares de reais em equipamentos e, apartir de tal tabela, esboce o gráfico de P.

b) Qual o tipo de taxa de crescimento de P? Justifique sua respostanumérica e graficamente.

c) Qual o capital investido para uma produção de 2.500 toneladas?d) Obtenha a inversa q - f~l(P) e explique o seu significado.

3. Em uma empresa, no decorrer do expediente, para um grupo de fun-cionários, nota-se que o número P de eletrodomésticos montados édado aproximadamente por P = 20Qq^/s, onde q representa o númerode horas trabalhadas a partir do início do expediente.

a) Construa uma tabela que dê a produção de eletrodomésticos quan-do o número de horas trabalhadas for O, l, 2, 3, 4 e 5 e, a partir detal tabela, esboce o gráfico de P.

131


b) Quanto foi produzido na primeira hora? Quanto foi produzido nasegunda hora? Quanto foi produzido na terceira hora? Qual o tipode taxa de crescimento de P? Justifique sua resposta.

c) Quantas horas devem se passar desde o início do expediente paraque sejam produzidos 3.200 eletrodomésticos?

d) Obtenha a inversa q = f~^(P) e explique seu significado.

4. Em uma safra, a quantidade q ofertada pelos produtores e o preço pde uma fruta estão relacionados de acordo com q = 20.000p5'2, ondea oferta é dada em quilos e o preço em reais por quilo (R$/kg).a) Construa uma tabela que dê a oferta para os preços de 0,50; 1,00;

1,50; 2,00; 2,50 e 5,00 R$/kg para tal fruta e, a partir de tal tabe-la, esboce o gráfico de q.

b) Qual o tipo de taxa de crescimento de q~í Justifique sua respostanumérica e graficamente.

c) Qual o preço da fruta quando os produtores estão dispostos a ofer-tar 151.875 kg?

d) Obtenha a inversa p = f~l(q) e explique seu significado.

5. Em uma safra, a quantidade q demandada pelos consumidores e opreço p de uma fruta estão relacionados de acordo com q = 150.000p~2,onde a demanda é dada em quilos e o preço em reais por quilo (R$/kg).

a) Construa uma tabela que dê a demanda para os preços de 0,50;1,00; 1,50; 2,00; 2,50; 5,00 e 10,00 R$/kg para tal fruta e, a partirde tal tabela, esboce o gráfico de q.

b) Qual o tipo de taxa de decrescimento de qí Justifique sua respostanumérica e graficamente.

c) Qual o preço da fruta quando os consumidores estão dispostos aconsumir 9.375 kg?

d) Obtenha a inversa p = f~l(q) e explique o seu significado.e) Qual o significado em termos práticos de p -> oo? Determine

lim q e interprete o resultado obtido.-

f) Qual o significado em termos práticos de plim q e interprete o resultado obtido.

+

0+? Determine

6. Podemos dizer que "o preço de equilíbrio de um produto correspon-de ao valor em que a procura por parte dos consumidores se iguala aoque é oferecido por parte dos fornecedores, ou seja, quando a deman-da é igual à oferta".

132


Considerando as funções demanda e oferta dos dois problemas ante-riores:a) Determine o preço de equilíbrio e a quantidade demandada/ofere-

cida para esse preço.b) Faça um esboço dos gráficos sobrepostos da demanda e oferta dos

problemas anteriores, indicando o preço de equilíbrio encontradono item anterior.

7. Analisando a distribuição de rendas para um grupo particular, pelaLei de Pareto, estabeleceu-se que o número y de indivíduos com rendasuperior a x é dado por y = 10.000.000 • x~1'5, onde x é dado em reaispor dia (R$/dia).a) Escreva y na forma de função hiperbólica.b) Construa uma tabela que dê o número de indivíduos com renda

superior a 5; 10; 20; 30; 40; 50; 100 R$/dia e, a partir de tal tabe-la, esboce o gráfico de y.

c) Qual o número de pessoas que têm renda entre 25 R$/dia e100 R$/dia?

d) Qual o tipo de taxa de decrescimento de y? Justifique sua respostanumérica e graficamente.

e) Qual é a menor renda diária das 640 pessoas que têm as rendas diá-rias mais altas?

f) Qual o significado em termos práticos de x -» °°? Determinelim y e interprete o resultado obtido.

8. Ao se analisar um produto, verificou-se que seu preço p no decorrerdo tempo í é dado por p = í3 - 21 í2 + 120í + 100, onde t representao mês após o início da análise em que í = O e o preço é dado em reais.

a) Esboce o gráfico do preço a partir de uma tabela na qual constemo preço no início da análise e os preços nos 12 meses posteriores aoinício da análise.

b) Com base na tabela e no gráfico do item anterior, determine paraque mês após o início da análise o preço atinge valor máximo.Determine também o preço máximo.

c) Analisando o preço para os meses 8, 9, 10, 11 e 12 após o início daanálise, qual é o mês em que o preço é mínimo? Nesse caso, qual éo preço mínimo?

d) Analisando o gráfico do item (a) e as diferentes variações dos preçosa cada mês, o que podemos afirmar a respeito do mês em que í = 7?

133

M.ilrin.ilu.i Aplic.id : <\dmii isti EI Ofí< ' ' • <•< iMlld ld

e) Pelo gráfico e valores da tabela do item (a), determine os intervalosde crescimento e decrescimento para p.

f) Observando o comportamento das diferentes variações dos preços,bem como o gráfico de p, determine os intervalos em que a conca-vidade é positiva (taxas crescentes para crescimento e/ou decresci-mento). Determine também onde a concavidade é negativa (taxasdecrescentes para crescimento e/ou decrescimento).

9. Em uma fábrica, o número y de peças produzidas por um operáriodepende do número x de horas trabalhadas a partir do início do turno(x = 0), e tal produção é dada por y = -x3 + 15x2, onde x é dada emhoras e y em unidades.

a) Esboce o gráfico do número de peças produzidas a partir de umatabela onde constem o número de peças produzidas no início doturno e o número de peças produzidas nas 10 horas posteriores aoinício do turno.

b) Quantas peças foram produzidas na primeira hora? E na segundahora? Construa uma tabela onde constem as peças produzidas emcada uma das horas, da primeira até a décima hora.

c) Observando o gráfico do item (a) e a tabela do item anterior,comente as formas de crescimento (diferentes taxas) para a produ-ção, de acordo com o tempo trabalhado a partir do início do turno.

d) De acordo com a tabela e o gráfico do item (a), qual o instante emque a produção é máxima? Qual é essa produção máxima?

e) Considere para esse problema a produtividade do operário, ou taxade variação da produção do operário, dada pela divisão da varia-ção da quantidade produzida (Ay) pela variação do tempo (A%), ou

Ayseja, taxa de variação da produção = —. Analisando a produtivi-

Axdade para intervalos de l hora, qual o instante em que a produtivi-dade do operário é máxima? Graficamente, qual é o significadodesse instante? (Sugestão: utilize os dados da tabela do item (b).)

f) Observando o comportamento das diferentes variações da produ-ção, bem como o gráfico de y, determine os intervalos em que a con-cavidade é positiva (taxas crescentes para o crescimento). Determinetambém onde a concavidade é negativa (taxas decrescentes paracrescimento). (Sugestão: utilize os dados da tabela do item (b).)

10. O lucro L na comercialização de um produto depende da quantidadeq comercializada, e tal lucro é dado por L = -q4 + 68q2 - 256, onde

134


o lucro é medido em milhares de reais e a quantidade, em milhares deunidades.a) Construa uma tabela que dê o lucro quando são comercializadas O,

1, 2, ... , 9 e 10 milhares de unidades e, a partir de tal tabela, esbo-ce o gráfico de L.

b) Para quais quantidades comercializadas o lucro é positivo? E nega-tivo?

c) De acordo com a tabela, para qual quantidade comercializada olucro foi máximo?

d) No item anterior, você obteve uma quantidade (qm^xjmo) que dá olucro máximo; a partir dessa quantidade, realize novos cálculosobtendo o lucro para valores de q próximos a qmáximo (teste novasquantidades 0,1 menor e maior que qmáximo^ verificando se qmáximoé de fato a quantidade que proporciona lucro máximo.

11. O custo C na produção de um produto depende da quantidade q pro-duzida, e tal custo é dado por C = q3 - 15q2 + 90q + 20, onde o custoé medido em milhares de reais e a quantidade, em milhares de unidades.a) Construa uma tabela que dê o custo quando são produzidas O, l,

2, ... , 9 e 10 milhares de unidades e, a partir de tal tabela, esboceo gráfico de C.

b) A partir da tabela do item anterior, construa uma nova tabela paraas diferentes variações do custo (AC) para variações de mil unida-des produzidas (Ag = 1), com q de O a l, l a 2, 2 a 3, ... , 9 a 10.

c) Analisando os dados da tabela do item anterior, o que podemosafirmar a respeito da quantidade q = 5? Graficamente, qual è o sig-nificado desse ponto?

d) A partir do gráfico do custo, do comportamento das diferentesvariações do custo e das conclusões no item anterior, determine osintervalos em que a concavidade é positiva (taxas crescentes para ocrescimento). Determine também onde a concavidade é negativa(taxas decrescentes para crescimento).

12. A receita R para um certo produto, em função da quantia x investida50*+200

em propaganda, é dada por R (x) = , onde tanto receita como

quantia investida em propaganda são medidas em milhares de reais,a) De acordo com a teoria desenvolvida para o esboço do gráfico de

uma função racional, esboce o gráfico de R(x) seguindo todos ospassos sugeridos.

135


l i ) Qual o valor de R(0)? Para esse problema, na prática, qual o signi-ficado de li (0)?

c) Para esse problema, na prática, qual o significado de x -» +°°?

d) Qual o valor de lim- R(x) ? Para esse problema, na prática, qual oX—*OO

significado do valor desse limite?

13. Para um laticínio em um segmento do mercado de laticínios, a quan-tidade q ofertada pelos produtores e o preço p do laticínio estão rela-

200p +400cionados de acordo com q (p) = — onde a oferta é dada

p + 4em toneladas e o preço, em reais por quilo (R$/kg).

a) De acordo com a teoria desenvolvida para o esboço do gráfico deuma função racional, esboce o gráfico de q(p) seguindo todos ospassos sugeridos.

b) Qual o valor de g(0)? Para esse problema, na prática, qual o signi-ficado de «j(0)?

c) Para esse problema, na prática, qual o significado de p -» +o°?d) Qual o valor de lim q(p) ? Para esse problema, na prática, qual o

p—*oo

significado do valor desse limite?

14. O custo médio Cme (ou custo unitário CJ é obtido dividindo-ser>

o custo C pela quantidade q, ou seja, Cme = — . Sabendo que

C = 3q2 + Í2q + 100 dá o custo para a produção de garrafas plásti-cas, onde C é dado em milhares de reais e q em milhares de unidades:

a) Obtenha o custo para a produção de l, 2, 5 e 10 mil unidades degarrafas plásticas.

b) Obtenha o custo médio (ou custo por unidade) para a produção del, 2, 5 e 10 mil unidades de garrafas plásticas.

c) Obtenha a função do custo médio Cme.d) Para tal função, há uma reta não-paralela ao eixo q paia a qual a

curva do Cme é assíntota tanto para q -* -°° quanto para q -» +00.Qual é essa reta?

e) Utilizando a reta para a qual a curva do Cme é assíntota, e de acor-do com a teoria desenvolvida para o esboço do gráfico de uma fun-ção racional, esboce o gráfico de Cme seguindo todos os passossugeridos.

136


f) Para esse problema, na prática, qual o significado de q -> 0+?

g) Para esse problema, na prática, qual o significado do valor do limi-

15. Para cada função dada, obtenha a função inversa. Explique também osignificado prático de cada função inversa encontrada.

a) S = Wx + 600 "S = salário de um operário e x = horasextras trabalhadas".

b) Aí = 50.000 • 1,08* "M = montante de uma aplicaçãofinanceira e x = ano após o ano da aplicação" (M > 0).

c) V = 125.000 -.0,91* "V = valor de um trator e x = ano apósa compra do trator" ( V > 0).

d) y = 10.000.000 • x"1-5 "y é o número de indivíduos com rendasuperior a x, Lei de Pareto - Exercício 7" (y > O e x > 0).

i TÓPICO ESPECIAL - Regressão Potência eHipérbole

tc Modelo de Regressão PotênciaPara certas distribuições de valores envolvendo uma variável independentee outra dependente, podemos obter a função que descreve a associação entretais variáveis e, conforme os Tópicos Especiais dos capítulos anteriores, játemos ferramentas que permitem o ajuste de curvas com comportamentolinear, quadrático e exponencial. Neste Tópico Especial, apresentaremos osprocedimentos para obter modelos relacionados à função potência oucurva geométrica.

Na construção de um diagrama de dispersão, podemos encontrar umconjunto de pontos cuja distribuição gráfica se aproxime de uma curva. Seo traçado de tal curva "se aproximar" de uma curva que representa a fun-ção potência, conforme o que foi estudado neste capítulo, então, para esta-belecermos a relação entre as variáveis x e y, consideraremos y = k • x".Para o desenvolvimento das fórmulas, escreveremos k = a e n = b, de modoque y = k • x" será reescrita como

y = a • xh

137


A seguir, conforme a Tabela 5.13, temos um exemplo de distribuiçãoque pode ser ajustada pelo modelo da função potência.

Tabela 5.13 índice de produção industrial e consumo aparentede papel e celulose

índice de produção

industrial (x)100 105 110 113 120 132 140 152 160 171 180

Consumo aparente 2.000 2,150 2.600 2.225 2.800 3.200 3.600 4.000 4.200 4.250 4.320de papel e celulose (y)

Figura 5.16 (ndice de produção industrial e consumo aparentede papel e celulose.

y •s.ooo4.000

ConsumoAparente 3.000

2.000

1.000 -n

/""""'//

50 100 150 200índice de Produção Industrial

Observando o gráfico da Figura 5.16, notamos que a curva traçadatem concavidade voltada para baixo, o que permite afirmar que, no mode-lo y = a • xb, temos o expoente b entre O e l, isto é, O < b < 1. Conformeos dados, a curva ajustada é crescente a taxas decrescentes.

Na Tabela 5.14 e Figura 5.17, temos outro exemplo em que a curvapode ser ajustada segundo y = a • xb.

Tabela 5.14 Quantidade ofertada em função da variação dos preços (R$)

Preço (RI) (x)

Quantidade ofertada (y)

10 15 20 28 30 35 40 45 50

500 650 1.300 2.500 2.750 4.000 5.500 7.560 11.200

138


Figura 5.17 Quantidade ofertada em função da variação dos preços (RS).

y12.000

10.000-Quantidade g 000

Ofertada6.000

4.000

2.000

20 40Preço <R$)

60

Observando o gráfico da Figura 5.17, notamos que a curva traçada temconcavidade voltada para cima, o que permite afirmar que, no modeloy - a • xb, temos o expoente b > 1. Conforme os dados e o traçado, a curvaajustada é crescente a taxas crescentes.

Nas duas situações apresentadas para as curvas y = a • x^, com b > l eO < b < l, respectivamente, é possível escrever a função potência, utilizan-do o processo de linearização de modo parecido ao realizado no TópicoEspecial do capítulo anterior. Isto é, os pontos que antes se aproximavamde curva geométrica por meio dos logaritmos se aproximarão de uma reta.Encontraremos os coeficientes da equação da reta por passos semelhantesaos discutidos no Tópico Especial do Capítulo 2, para, finalmente, deter-minar os coeficientes da função potência procurada.

O ajuste do modelo de regressão potência é dado por

y = a • xP + e

onde

• y ê o valor observado (variável dependente)• x é a variável explicativa (variável independente)• a e /3 são os parâmetros do modelo• £ é a componente aleatória (erro)

Como nos interessa determinar os parâmetros a e fi, será necessário esti-má-los por meio do emprego de dados amostrais. Na prática, trabalha-secom uma simplificação do modelo verdadeiro e desprezando-se a parcela etemos y = a • xP.

139

Mdtumática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capitulo 5 - Funções Potência, Polinomial, Racional e Inverta


y = a • x"

onde â e b são os estimadores dos verdadeiros parâmetros a e f).

Aplicando logaritmo natural nos dois membros da expressão y - â • xb ,

teremos

In y = \n(â-xty

Por meio das propriedades dos logaritmos, obtemos

In y = In â + In xb

In y = In á + b • In x

Fazendo em tal expressão Y = \n y , A - \n à e X = In x 5 temos

Y= A + b-X

No processo de linearização, seguindo os passos descritos a seguir, calcu-

lamos A e b. Estamos interessados em encontrar o modelo y = â • xb e,

como o estimador b é obtido imediatamente, faltará apenas â.Sabemos que A = In á, que In representa o logaritmo na base e (loge),

então, pela definição de logaritmo, podemos fazer

A= Inâloge â = A

eA = â

Ou seja, o parâmetro â é obtido fazendo

Para calcular os coeficientes â e b da função potência y = â • xh , mais

uma vez utilizaremos o método dos mínimos quadrados (M.M.Q.), seguin-do os seguintes passos:

Passo I - Coleta dos dados, definidos pelas n observações de x e y(variáveis em estudo), e organização da planilha para obtenção dos soma-tórios necessários para a realização dos cálculos.

n

«l

«2

"3

•

X

xl

X2

*3

*

y

y\

V3

•

\nx= X

In xí

In X2

In x3

E In x

l n y = Y

I n y j

Iny 2

Iny 3

•

E In y

In x • In y

In KJ - In y i

In x2 • In y2

In x3 • In y3

•

2 In x • In y

In* x

(In2 xj)

(In2 X2)

(In2 x3)

E In2 x

Passo II - Cálculo dos parâmetros A e b

b =n . E In x . In y — S In x • E In y

n .E ln2 x- (I. In x)2

Passo III - Cálculo de â

A =E In y -b • E In x

A = lná => á = eA(A calculado no Passo II)

Passo IV — Estabelecer o modelo potência;

y = à • xb ; função ajustada

ou, aproximadamente,

â » 2,71828^

• Modelo de Regressão HipérboleA partir das função potência, restabeleceremos o conceito de curvas depotência com expoentes inteiros negativos, designando em y = k • x" os

140 141


parâmetros k = a e n = -b, o que leva a y = a • x~h ou, simplesmente,

Para estabelecer o modelo de regressão hipérbole, estaremos interessa-dos fundamentalmente em modelos e situações práticas em que o domínioserá restrito para x > 0.

Vale a pena recordar que, quando construímos gráficos das funçõesy = x~l, y = x~2, verificamos que eles têm assíntotas em ambos os eixos x ey e, à medida que a variável x cresce, os valores da variável y decrescem(x 1, y j ) ou, ainda, à medida que a variável x decresce, os valores davariável y crescem (x J,, y f ) .

Considerando as funções y = x~^ e y = x~2 para x > O, ilustramos naFigura 5.18 os seus gráficos. Na prática, o preço P de um produto em fun-ção de sua demanda D exemplifica graficamente uma curva similar aos grá-ficos de y = x-1 e y = x~2, conforme a Figura 5.19.

Figura 5.18 Curvas x~1 e x~2

(comparação gráfica).Figura 5.19 Gráfico do preço (P)

versus a demanda (D) de um produto.

Observações:

• Para a obtenção dos modelos de regressão anteriores, denotamos osestimadores dos parâmetros utilizando "chapéu" (acento circunflexo)â, b e c com a intenção de diferenciar os valores dos parâmetros parauma amostra da população em relação aos parâmetros calculados apartir de toda a população. Assim, o "chapéu" no parâmetro a (â) sig-nifica que estamos trabalhando com um estimador calculado a partirde uma amostra representativa da população.

• Para o modelo de regressão hipérbole, por questões de simplicidade naconstrução dos gráficos e explicações, não usaremos a notação com"chapéu"; entretanto, ressaltamos que, para esse modelo de regressão,

142

Capitulo 5 - Funções Potência, Polinomial, Racional e Inverti

os parâmetros escritos somente com a e b, em vez de â e è, rcproscntarão estimadores calculados a partir de amostras representativas d.ipopulação.

Na Figura 5.20, temos a comparação gráfica das curvas da formay - a • x~h para diferentes valores de b, onde 0<b<l,b = leb>l.

Figura 5.20 Representação gráfica de y = a • x-° parapossíveis variações de b.

.1- i

A função hipérbole pode assumir uma segunda forma do tipo

Y = a + b • X-1 ou Y = a + b • X-1

que pode ser reescrita comov b v bY = a + - ou Y = a--

com X > 0 , a > O e Y > 0 , podemos esboçar seus traçados conforme asFiguras 5.21 e 5.22:

Figura 5.21 Y =a + —X

Figura 5.22 Y =aX

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capitulo 5 - Funções Potência, Polinomial, Racional e Inversa

A mudança de variável que proporciona a forma linear é obtida quan-

do adotamos x = — ,yC

Assim, obtemos as funções ajustadas

com a > 0 , í > > O e X > 0 , apresentando assim uma função decrescente coma concavidade voltada para cima, conforme a Figura 5.23.

Figura 5.23 Hipérbole Y =l

a + b-X-, com a>0, b > O e X > 0 .

Y=a±b-x

A partir da última expressão, podemos obter os parâmetros a e b pelométodo dos mínimos quadrados, cujos passos estão resumidos a seguir:

Passo I — Elaboração da planilha dos somatórios

x

x,

X2

•

Y

Y!

*2

ZY

_ J_

1

1* 2 = X 2

Zx

..Y

x, V,

x 2 .Y 2

Z x - Y

x2

x,2

*22

•

Z*2

sso II - Cálculos dos parâmetros a e b

n • Zx2 - (Zx)2 n

Passo III - Construção do modelo ajustado

1 Y = a H ou • Y = aX X

A função hipérbole também poderá se apresentar na forma

.Y = —L_

144

A expressão Y =b-X

pode ser reescrita como

ou ainda

l

Y

Na última expressão, se fizermos — = y , linearizamos a hipérbole

Y = — —, obtendo a funçãoa + b-X

y=a+b-X

Da mesma forma procedida nos modelos anteriores, a seguir são descri-tos os passos necessários para a construção da hipérbole ajustada:

Y =l

a + b-X

145

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidndo

Passo I - Elaboração da construção da planilha

X

x,

X2

•

XX

Y

YI

Y2

•

1y = —

Y1

^^1

V2~-V2

Zy

X2

Xl2

X22

•

EX2

X - y

X i - y ,

X 2 - y 2

•

I X - y

Passo II - Cálculos dos coeficientes a e b

• b = n • £X • y - IX • E— - - -M -EX 2 - (EX) 2

Ey - b • EX— - -

Passo III - Função hipérbole ajustada

l> Y =

b-X

Problemas - Regressão Potência:

Em uma empresa, um produto com estilo estritamente popular estápara ser lançado no mercado. O Departamento de Marketing dessaempresa, orientado por pesquisas de seu público-alvo, tem em seupoder dados numéricos coletados, que caracterizam para esse produ-to um comportamento das vendas com crescimento acentuado, comboas expectativas futuras para um longo período.Alicerçado pelas informações confirmadas por seu público-alvo e cor-roborando com os objetivos da diretoria dessa empresa, o Departa-mento de Marketing tomou a decisão de estimar as vendas por meiode ajuste da regressão potência.

146


A tabela que evidencia os dados coletados apresenta as variações detempo em anos, relacionados com as expectativas mensuradas dosvolumes das vendas.

Anos

(x)

Volume de vendas emunidades de 1.000 (y)

2003 20041 2

2005

3

2006 2007

4 5

5.000 11.000 15.000 25.000 26.500

a) Construa o sistema de dispersão.Dica Importante: Você pode fazer uso de uma importante ferramen-ta muito utilizada - o Excel, programa de planilha eletrônica - paraobtenção de uma visualização rápida do ajuste a ser realizado, sele-cionando os dados coletados para as variáveis x = tempo em anos ey = volume das expectativas das vendas. Em seguida, utilize o assis-tente gráfico desse programa, clicando em dispersão (xy). Note quevocê poderá escolher o tipo de dispersão para melhor visualizaçãográfica da nuvem de pontos da pesquisa. Feito isso, avance até a últi-ma etapa do assistente gráfico para a visualização do gráfico.b) Observando o gráfico do sistema de dispersão, podemos afirmar

que existe um crescimento do volume das vendas em função dotempo com tendência geométrica (potência)!

c) Realizadas e confirmadas as observações referentes aos itens (a) e(b), estabeleça a regressão potência de y = vendas sobre x = tempo.

d) Construa, em um mesmo sistema de eixos, a dispersão e a curvapotência ajustada no item (c).

e) Estime as vendas para os anos 2008 e 2009.

2. Em uma pesquisa, cujo objetivo é estudar o consumo de cimento emkg/habitante, foram caracterizadas a demanda desse produto e arenda per capita em unidades monetárias de uma dada região nos últi-mos cinco anos. Como o interesse maior esteve em medir a demanda(D) de cimento em kg/hab., adotou-se a demanda observada comosendo a variável y do problema.

Anos

Renda per capita em unidadesmonetárias (x)

Consumo de cimento em kg/hab.em quantidades (y)

1

100

50

147

2

200

145

3

250

220

4

300

450

5

350

750

r.i ii t i < ,i Aplii ;id i . 1 Administrai Ia l • onomia . ' ontabiliH.i<l<

a) Construa o sistema de dispersão da pesquisa e observe o tipo deajuste compatível no caso, s e è > l o u O < è < l .

b) Construa o modelo potência y = a • xb (b > 1) dado por:Demanda = a • (renda)b

• y = Demanda (quantidades kg/hab.) • x = renda per capita (u.m.)c) Estime o nível de consumo de cimento (kg/hab.) quando o nível de

renda per capita atingir 450 (u.m.).d) Estime o nível de renda per capita, quando o consumo em kg/hab.

atingir patamares iguais a 800 kg/hab.e) Calcule e interprete a elasticidade renda e demanda e interprete o

valor obtido.Observação: A elasticidade pode ser calculada através da relação E = b,onde b é o coeficiente da curva ajustada y = a • x^ e E = Elasticidaderenda da demanda.

• Problemas - Regressão Hipérbole:

3. A empresa Lavax, produtora de eletrodomésticos, em fase de expan-são de mercado, está visando a melhorias para o seu processo produ-tivo, tendo em vista o crescimento de suas vendas. Para isso, está ana-lisando individualmente o custo por unidade produzida CM, em reais,em relação às suas quantidades produzidas. Os dados levantados dãoos custos unitários (CM) em função das quantidades produzidas (q) deum eletrodoméstico, gerando assim a tabela para estudos de viabilida-de de produção.

Quantidade emunidades (x) ou (q)

Custo por unidadeem (R$) (y) ou (CJ

10 20 40 60 80 100 150 200 250 300

76,00 60,00 57,00 56,50 55,00 52,80 52,60 51,90 51,50 50,20

a) Construa o sistema de dispersão e verifique que o tipo de ajuste- i bcompatível será y = a H— .

b) Construa o modelo de regressão da hipérbole (CM = a + —} , pro-

curando estabelecer em um mesmo sistema de eixos a dispersão e acurva ajustada.

148


c) À medida que aumentarmos o número de quantidades a serem pro-duzidas, o que ocorrerá com os custos por unidade (CJ?

d) Calcule os custos por unidade quando q = 320 unidades e q = 5 uni-dades.

e) Estime a produção (q), quando os custos se aproximarem deCu = Rf 75,00 e CM = R$ 52,30.

4. A empresa MHM, produtora de cosméticos, decidiu estudar a varia-ção da demanda em relação aos preços de venda de um de seus pro-dutos. No período estudado, a demanda apresentou queda acentuadano consumo em detrimento da elevação dos preços de mercado por elapraticada. Nessas condições, foram realizados um estudo e um levan-tamento de uma série histórica de consumo, a fim de observar e ana-lisar o comportamento da demanda em relação aos preços até entãopraticados. Escolhendo a variável y como a demanda do produto e xcomo a variável que assumirá a variação dos preços por um períodode sete meses, temos a tabela:

Meses

Preços praticados

(em R$) (x)

Demanda

(em unidades) (y)

Dez.(Ano Anterior)

10

200

Jan.

12

130

Fev-

15

75

Mar.

18

50

Abr.

20

42

Maio

22

39

Jun.

28

35

a) Construa a regressão da demanda (y = — }• (modelo compa-V a + b • x)

tível à pesquisa).b) Construa a curva de regressão e o sistema de dispersão em um

mesmo sistema de eixos.c) Qual deverá ser a demanda do produto, se o preço praticado em

julho do período citado sofrer uma correção de 15% em relação aomês anterior?

d) Projete a demanda para os preços a serem eventualmente pratica-dos quando: x = preço = R$ 23,00 e x = preço = Rf 30,00.

e) Estime as projeções de preço quando a demanda do produto atin-gir os patamares em unidades vendidas iguais a: Demanda = 30 uni-dades e Demanda = 25 unidades.

149

capítulo 6

O Conceito deDerivada

• Objetivo do CapítuloNesse capítulo, trabalhando os conceitos de taxa de variação média e taxade variação instantânea, você chegará ao conceito de derivada de uma fun-ção em um ponto e seu significado numérico e gráfico. Fique atento à deri-vada de uma função, pois trata-se de um dos conceitos mais importantes docálculo diferencial e integral. Nesse capítulo, você terá contato com as pri-meiras aplicações da derivada na análise do comportamento local de umafunção e, nos Capítulos 8 e 9, você estudará inúmeras aplicações da deriva-da na análise geral de uma função e de modelos da economia, administraçãoe contabilidade. O Tópico Especial trará o estudo da linearidade local deuma função a partir da equação da reta tangente à curva em um ponto.Nesse tópico, você perceberá como a equação da reta tangente pode substi-tuir a expressão de uma função em uma localidade determinada e como talequação é útil para obter estimativas locais em fenómenos aplicados.


• Taxa de Variação

Nesta seção, estudaremos o conceito de taxa de variação analisando a taxade variação média e a taxa de variação instantânea. Tais análises permiti-rão entender o conceito de derivada, que tem grande aplicação nas maisvariadas áreas do conhecimento. Naturalmente, nossa atenção estará vol-tada para a aplicação de tal conceito, principalmente nas áreas de adminis-tração, economia e contabilidade.

Taxa de Variação Média

No início do Capítulo 2, ao estudarmos o custo C para a produção de umaquantidade q de camisetas, estabelecemos o custo como função da quanti-dade produzida, ou seja, C = f (q). Vimos também que, para tal função, umavariação na quantidade de camisetas produzidas determinava uma varia-ção correspondente nos custos de produção e assim pudemos definir que ataxa de variação média, ou simplesmente taxa de variação da variáveldependente, C, em relação à variável independente, q, é dada pela razão

variação em Cvariação em q

Em tal exemplo prático, por se tratar de uma função do 1a grau, salien-tamos que a taxa de variação média representa o coeficiente angular dareta que representa graficamente tal função. A equação de tal reta (ou fun-ção) é dada por y = f(x) = m • x + b.

Na verdade, o conceito de taxa de variação média não é exclusivo dasfunções de 1a grau. A taxa de variação média pode ser calculada para qual-quer função. Se y representa a variável dependente e x a variável independen-te, então a taxa de variação média de y em relação a x é calculada pela razão

Taxa de variação média =variação em y A yvariação em x &x

Vamos explorar mais atentamente tal conceito em uma situação práticaque norteará o desenvolvimento deste capítulo.

Taxa de Variação Média em um Intervalo

No início do capítulo anterior, estudamos a produção como função doinsumo disponibilizado no processo de produção. Nesse sentido, conside-rando que, para um grupo de operários em uma indústria de alimentos, a

152

Capitulo 6 - O Conceito de Derivada

quantidade P de alimentos produzidos (ou industrializados) depende donúmero x de horas trabalhadas a partir do início do expediente e que talprodução é dada por P = k • x2 e fazendo k = l, temos

onde P é dada em toneladas. Então, temos a produção como função dotempo x, ou seja, P = f(x), e podemos escrever a produção como

f (x) = *2

O instante do início do expediente é representado por x = O, ou seja,0:00 hora. Vamos determinar a taxa de variação média da produção parao intervalo de tempo das 3:00 horas até as 4:00 horas e também para ointervalo das 4:00 horas até as 5:00 horas (ou seja, para 3 s x s 4 e para

De acordo com a definição dada anteriormente, podemos dizer que ataxa de variação média para esse exemplo será:

variação em P AP

A xTaxa de variação média =

variação em x

Pata os intervalos de tempo estipulados acima, teremos

42 -32

4-3

Taxa de variação média /Í4) - fl3)de f(x) para o intervalo =

de 3 até 4

Taxa de variação médiade f(x) para o intervalo =

de 4 até 5

= 16-9 = 5 ton/h

^^ = ̂ ^=25-16 = 9ton/h-4 l5-4

A taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas que,na prática, têm unidades de medida, então a taxa de variação média tam-bém tem unidade de medida que será dada pela divisão das duas unidadesde medida envolvidas.

Percebemos tal fato ao notar que, para as taxas obtidas anteriormente,a tonelada é a unidade de medida da produção, então sua variação (AP)também é medida em tonelada, enquanto que hora é a unidade de medidado tempo, então sua variação (A%) também é medida em hora, assim a taxa

tonelada .hora

de variação média foi medida em

153


_ A P toneladalaxa de variação media = <• — — = ton/h

A x hora

Notamos também que, com o passar do tempo, as taxas de variaçãomédias da produção aumentam e, como a produção é crescente, concluímosque a produção é crescente a taxas crescentes. O fato de as taxas de varia-ção serem crescentes é observado graficamente, se notarmos que o gráficode tal função é uma parábola com a concavidade voltada para cima.

A taxa de variação média sempre é calculada para intervalos da variá-vel independente. Se escrevermos de maneira geral um intervalo de a até b,a taxa de variação média será dada por


de a até b

f(b) - f(a)

Para essa forma de definir a taxa de variação média, podemos aindaconsiderar o "tamanho" do intervalo como sendo h, ou seja,

Ao isolarmos b, obtemos

b = a + h

e o intervalo de a até b passa a ser de a até a + h. Então, podemos escrevera taxa de variação média como

Taxa de variação média ,. , ,.de f(x) para o intervalo = M

de a até a + h h

Perceberemos a seguir que escrever a taxa de variação média dessaforma pode ser bastante prático para a obtenção da taxa de variação ins-tantânea.

Taxa de Variação Instantânea

Estudamos até agora a variação da produção para intervalos de tempo,como das 3:00 às 4:00 horas ou ainda das 4:00 às 5:00 horas, e a taxa devariação média em um intervalo foi útil para analisar o comportamento daprodução, pois dizer que a produção está variando a uma taxa de 5 ton/h

154


significa que, em uma hora, são produzidas 5 toneladas. De modo an.ilogo, dizer que a produção varia a uma taxa de 9 ton/h significa que, em uniahora, são produzidas 9 toneladas - produções essas referidas a intervalosde tempo distintos do processo de produção.

Sabemos que tais taxas foram calculadas para intervalos de tempo espe-cíficos. Nesse momento, cabe perguntar:

É possível calcular a taxa de variação da produção para um instanteespecífico? Por exemplo, qual a taxa de variação da produção exatamenteàs 3 horas? Se é possível calcular tal taxa, como realizamos tal cálculo?

Na verdade, estudar o comportamento da produção em um instanteespecífico nos remete ao desenvolvimento de "ferramentas" matemáticasque permitem estudar mais profundamente tal função e analisá-la de modomais detalhado.

Para a primeira pergunta feita, a resposta é "sim"! Podemos calcular ataxa de variação da produção para um instante específico e, ao calcularmostal taxa, vamos denominá-la taxa de variação instantânea.

Ao perguntarmos "Qual a taxa de variação da produção exatamente às3 horas?", estamos perguntando: "Qual a taxa de variação instantânea daprodução no instante x = 3?".

Para compreender como é possível o cálculo da taxa de variação instan-tânea da produção e qual o valor de tal taxa para o instante x = 3, vamosutilizar a seguinte ideia: calcularemos várias taxas de variação médias paraintervalos de tempo "muito pequenos", cada vez mais "próximos" do ins-tante x = 3.

Considerando o instante x = 3, vamos tomar para os cálculos das taxasde variação média o intervalo de 3 até 3 + h, onde h representa o tamanhodo intervalo; então, teremos

Taxa de variação média f(3+ h) - fí3)de f(x) para o intervalo = —

de 3 até 3 + b h

(D

Fazendo h = 0,1, temos o intervalo de 3 até 3 + 0,1 ou de 3 até 3,1:*

Taxa de variação média //^ + Q 1) — f(3) f(3 1) — /Í3)de f(x) para o intervalo = =

de 3 até 3 + 0,1 O.1 0,1

* Ao fazer um acréscimo de h = 0,1 hora no instante x = 3, estamos acrescendo0,1 x 60 min = 6 min às 3:00 horas, assim estamos calculando a taxa de variação médiada produção para o intervalo de tempo que vai das 3:00 horas até as 3:06 horas.

155


Taxa de variação média 3 12 _ 32 n t\e f(x) para o intervalo = — — = — — = 6,1

de 3 até 3,1 0,1 0,1

1 Fazendo h = 0,01, temos o intervalo de 3 até 3 + 0,01 ou de 3 até 3,01:


de 3 até 3 + 0,01

)- f(3) )- f(3)

0,01 0,01

Taxa de variação médiade f(x) para o intervalo = 3'01 ~ 3 = °'0601 = 6 Ol

de 3 até 3,01 0,01 0,01

• Fazendo h = 0,001, temos o intervalo de 3 até 3 + 0,001 ou de 3 até3,001:

Taxa de variação média A3+0001)_ ^3, /(3,001) - f(3)de f(x) para o intervalo = -I — = -

de 3 até 3 + 0,001 0,001 0,001

Taxa de variação média 3;0012 _ 32 0,006001de fíx) para o intervalo = — — = — — = 6,001

de 3 até 3,001 0,001 0,001

Assim, calculamos as taxas de variação média para intervalos de "3 atéum instante pouco maior que 3" e notamos que tal taxa cada vez mais se"aproxima" do valor 6.

Vamos agora calcular as taxas de variação média para intervalos de"um instante pouco menor que 3 até o instante 3" e verificar se, nessescasos, a taxa também vai se "aproximar" do valor 6. Para obter tais inter-valos e calculá-los na expressão (I) basta tomar valores negativos para h:

• Fazendo h = -0,1, temos o intervalo de 3 até 3 + (-0,1) ou de 3,0 até2,9:*Taxa de variação médiade f(x) para o intervalo = JV^W^J

de 3 até 3 -0,1 -0,1 -0,1^<2'9> ~

Taxa de variação médiaT •} Q2 ^2 A ÇQ

de f(x) paia o intervalo _ ' _ ' = 5 9de 3 até 2,9 -0,1 -0,1

* Ao fazer um "acréscimo" de h = -0,1 hora no instante x = 3, estamos diminuindo 0,1x 60 min = 6 min de 3:00 horas, assim estamos calculando a taxa de variação média daprodução para o intervalo de tempo que vai das 2:54 horas até as 3:00 horas.

156

Capítulo 6 - O Conceito de Derivada

1 Fazendo h = -0,01, temos o intervalo de 3 até 3 + (-0,01) ou de 3 até2,99:

Taxa de variação média A 3 _ 0 0 1 ) _ f(3) f(299}_ f{3)

de f(x) para o intervalo = — — -^-L- = -^—^—' ——de 3 até 3-0,01 -0,01 -0,01

Taxa de variação média 2 9?2 _ ̂ 2 _Q 0599de f(x) para o intervalo = — = '- = 5,99

de 3 até 2,99 -0,01 -0,01

1 Fazendo h = -0,001, temos o intervalo de 3 até 3 + (-0,001) ou de 3até 2,999:

- 0.001) -

de 3 até 3 -0,001 -0,001 -0,001

Taxa de variação média 2 99?2 _ 32 _Q 005999

de f(x) para o intervalo = — — = — — = 5,999de 3 até 2,999 -0,001 -0,001

Por esses últimos cálculos, onde os intervalos são obtidos fazendo bnegativo, notamos que a taxa de variação média também se "aproxima"do valor 6.

Então, dizemos que

Taxa de variação instantâneade f(x) em x = 3 = 6 ton/h

Tal resultado permite dizer que, às 3:00 horas, a produção é de 6 tone-ladas/hora. Como a taxa de variação instantânea é calculada a partir detaxas de variação médias, é normal que se use para ambas a mesma unida-de de medida (tonelada/hora).

O procedimento de tomar h "próximo" de zero e torná-lo "mais próxi-mo ainda" de zero pode ser resumido por h -* 0. Na verdade, o cálculo dataxa de variação instantânea em x = 3 a partir das taxas de variação médiapara h -* O pode ser resumido na linguagem de limites por

Taxa de variação instantânea l Taxa de variação média de f(x)\e f(x) em x = 3 ~h™o \Para ° intervalo de 3 até 3 + h j

Taxa de variação instantânea _ i - f(3 + h) - f(3)de f(x) em x = 3 _> 0 h

157


Considerando a taxa de variação instantânea assim definida, os três pri-meiros cálculos da taxa de variação média, com b > O, resumem a tentati-va de determinar o limite lateral

Hm f ( 3 + h ) - f(3) = 6

h^Q+ h

Os três últimos cálculos da taxa de variação média, com h < O, resumema tentativa de determinar o limite lateral

H m f ( 3 + h ) - f ( 3 )h -> Cr

A conclusão de que

Hm

= 6

= 6

só é possível porque os limites laterais são um número, e tal número coin-cide nos dois limites laterais.

Caso os limites laterais resultem em números diferentes, ou um delesresultar em +00 ou -°°, dizemos que o limite que dá origem aos limites late-rais não existe, ou seja, a taxa de variação instantânea não existe.

Em resumo, podemos dizer que

Taxa de variação instantânea _ iim /Taxa de variação média de f(x)def(x)emx = a h -» O \a o intervalo deaatéa + h

ou simplesmente

Taxa de variação instantânea _ |im f(a + h) - f(a)de f(x) em x = a h -» O ^

H Derivada de uma Função em um Ponto

Derivada de uma Função comoTaxa de Variação InstantâneaA taxa de variação instantânea da função produção no instante x - 3 émuito importante e também recebe o nome derivada da função produção

158


no ponto x = 3. Simbolizamos a taxa de variação instantânea, ou ida, no ponto x = 3 por f (3).

Assim, de um modo geral, a derivada de uma função em um ponto c ataxa de variação instantânea da função no ponto:

r,, , _ Derivada da função f(x) _ Taxa de variação instantânea *•!no ponto x = a de f(x) em x = a s t>

,,, , _ Derivada da função f(x) _\{m f(a + h) - f(a) 'no ponto x = a h -> o ^ :

Logo, a derivada de uma função f(x) em um ponto x = a é dada por

r ( a ) _ H m fa + V-fc)M ' - * - > < > h

Devemos lembrar que tal limite só existe, ou seja, a derivada no pontosó existe, se os limites laterais resultarem em um mesmo número. Caso issonão ocorra, o limite no ponto x = a não existe e, por consequência, a deri-vada não existe.

Para a função produção estudada, calculamos várias taxas de variaçãomédia; em seguida, por meio da taxa de variação instantânea no pontox = 3, obtivemos a derivada f (3) = 6. Vamos agora interpretar graficamen-te alguns desses resultados e estabelecer o significado gráfico da derivadada função no ponto.

• Interpretação Gráfica da DerivadaTaxa de Variação Média como Inclinação da Reta SecanteVamos analisar o significado gráfico da taxa de variação média. Sabemosque as taxas de variação médias da produção para os intervalos 3 s x <. 4e 4 £ x s 5 são 5 ton/h e 9 ton/h, respectivamente. Tais valores foram obti-dos fazendo

T j • ~ .,. variação em P = APlaxa de variação media = —variação em x = Áx

Vale lembrar que, no caso de 3 ^ x s 4, a variação em P foi obtida pelocálculo

AP = f(4) - f(3) = 42 - 32 = 16 - 9 = 5

159


e a variação em x foi obtida por

Graficamente, na Figura 6.1, ao denotarmos os pontos A = (3; f(3)) =(3; 9) e B = (4; f(4)) = (4;16), observamos AP como a subtração das ordena-das e Ax como a subtração das abscissas dos pontos A e B, e a taxa de varia-

ção média = -=— = — = 5 representa a inclinação da reta secante passan-Ax l

do pelos pontos A e B na curva da produção.Para o intervalo 4 <• x <. 5, na Figura 6.2, ao denotarmos os pontos

B = (4;16) e C = (5; f(5)) = (5; 25), observamos novamente AP como a sub-tração das ordenadas, A* como a subtração das abscissas dos pontos B e C e,

AP 9de modo análogo ao da Figura 6.1, a taxa de variação média = — — = - = 9

representa a inclinação da reta secante passando pelos pontos B e C nacurva da produção.

Figura 6.1 Taxa de variaçãomédia como inclinação da

reta secante *K& •

Figura 6.2 Taxa de variaçãomédia como inclinação da

reta secante BC .

16

AP = 5

P, x2

AP

11

3 4

Ax = l

AP = 9

160


Como observamos numericamente para a produção, a taxa de variaçãomédia para 4 s x s 5 é maior que a taxa para 3 s x s 4, o que é notado gra-

ficamente por uma "maior inclinação" da reta BC em relação à reta AB.

Taxa de Variação Instantânea comoInclinação da Reta Tangente

Numericamente, para obter a taxa de variação instantânea, partimos dataxa de variação média. Graficamente, para obter a representação da taxade variação instantânea, também partiremos da representação da taxa devariação média.

E interessante lembrar que a taxa de variação instantânea em x = 3 édada por

Taxa de variação instantânea _ ijm f(3 + h) - f(3)de f(x) em x = 3 fc -> o ^

Para obter o equivalente gráfico de tal limite, trabalhando graficamentecom h > O, procederemos da seguinte maneira:

• Na Figura 6.3, primeiramente tomamos o ponto P = (3; f(3)) = (3; 9)*representando a produção no instante x = 3; em seguida, fazemos umacréscimo h nesse instante, obtendo o instante 3 + h e o ponto corres-pondente Q = (3 + h; f(3 + h)) representando a produção em um ins-tante posterior x = 3. Temos, assim, uma reta secante passando por

PQ , onde sua inclinação dá a

f(3+h) - f(3)Taxa de variação médiade f(x) para o intervalo =

de 3 até 3 + h h

' Como devemos calcular o limite para h -» O, na Figura 6.4, tomamosh cada vez menores, de tal modo que 3 + h se aproxima de 3. O pontoQ assume novas posições na curva e, conseqúentemente, a reta secan-

te PQ também assume novas posições.

1 Notamos então, na Figura 6.4, que, quando h —» O, o ponto Q"tende" a uma posição limite. Tal posição limite é representada peloponto P.

* Note que tal ponto é o ponto A = (3; 9) da Figura 6.1.

161


Figura 6.3 Taxa de variação média de f(x) paraj3_intervalo de

3 até 3 + h como inclinação da reta PQ .

• Assim, ainda na Figura 6.4, percebemos que, à medida que h -» O, areta secante PQ também "tende" para uma posição limite. Tal posi-

ção limite é representada pela reta tangente à curva no ponto P.

• Logo, os valores das inclinações das retas secantes ( PQ ) tendem parao valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P.

Em resumo, quando h -» O, temos:

Q-P

Reta secante PQ -> Reta tangente à curva no ponto P

Inclinação da reta secante —• Inclinação da reta tangente à curva noponto P

Ou seja, numericamente,

/Taxa de variação média de f(xf\ ('Taxa de variação instantânea^l para o intervalo de 3 até 3 + b j [ d e f ( x ) e m x = 3 j

162


Figura 6.4 Taxa de variação instantânea de f(x) em x = 3 como inclinaçãoda reta tangente à curva no ponto P.

/J3) = 9

Como a taxa de variação média é representada pela inclinação da retasecante, é plausível concluir que

Taxa de variação instantânea Inclinação da reta tangentede f (x) em x = 3 à curva no ponto P

Já realizamos os cálculos do limite proposto e sabemos que

Taxa de variação instantânea _ jjm f(3 + h) - f(3) _def(x)emx = 3 = h -» O ~ ~^~

163


Então, graficamente, temos que

(Inclinação da reta tangente à curva no ponto P) = 6 ton/h

Podemos representar a reta tangente à curva no ponto x = 3, conformea Figura 6.5.

Figura 6.5 Reta tangente à curva P = x2 no ponto P = (3; 9).

Pt p = *2

Como pudemos observar, as representações gráficas foram feitas parah > O, ou seja, a representação do limite diz respeito a h -» 0+. Salientamosque representações gráficas similares podem ser feitas com h < O e, a par-tir da representação do limite onde h -> 0~, obtemos as mesmas conclusõesa respeito da representação gráfica da taxa de variação instantânea.

Derivada como Inclinação da Reta Tangente

Sabemos que a taxa de variação instantânea representa a derivada de umafunção no ponto, então visualizamos a derivada de uma função em umponto pela inclinação da reta tangente à curva naquele ponto.

Dada a derivada de uma função em um ponto x = a como

r f(a +h)- fia)

Graficamente, dizemos que

f (a) = Inclinação da reta tangente à curva f(x) no ponto x = a

e obtemos a representação gráfica seguindo os mesmos passos realizadosanteriormente:

164


• Na Figura 6.6, primeiramente tomamos o ponto P = (a; f(a)); emseguida, fazemos um acréscimo h nesse instante, obtendo o instantea + h e o ponto correspondente Q = (a + h; f(a + h)). Temos, assim, uma

reta secante passando por PQ , onde sua inclinação dá a


de a até a + h

f(a + h) - f(a)

Figura 6.6 Taxa de variação média de f(x) para o intervalo de a até a + h

como inclinação da reta PQ .

l (a t h]

• Na Figura 6.7, tomamos h cada vez menores, de tal modo que a + hse aproxima de a. O ponto Q assume novas posições na curva e, con-

seqiientemente, a reta secante PQ também assume novas posições.

• Notamos, na Figura 6.7, que, quando b -* O, o ponto Q "tende" auma posição limite. Tal posição limite é representada pelo ponto P, ouseja, Q -» P.

• Assim, percebemos que à medida que h -* O, a reta secante PQ tam-bém "tende" para uma posição limite. Tal posição limite é represen-tada pela reta tangente à curva no ponto P, ou seja,

Reta secante PQ -* Reta tangente à curva no ponto P

• Logo, os valores das inclinações das retas secantes ( PQ ) tendem parao valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P, ou seja,

Inclinação da reta secante -» Inclinação da reta tangente à curva no ponto P

165


Numericamente,

[Taxa de variação média de f(x) j [Taxa de variação instantânea]l para o intervalo de a até a + h\e f(x) em x = a

Figura 6.7 Derivada f (a) como inclinação dareta tangente à curva no ponto P.

= f (a)

Vale aqui observar que, para a função produção f(x) = x2, ao analisarsua derivada em x = 3, estamos analisando o comportamento local da pro-dução no instante 3:00 horas. Em x = 3, temos f(3) = 32 = 9, ou seja, parax = 3 a produção é P = 9 ton. Relembrando que f (3) = 6 ton/h, ou seja, o

166


valor da derivada nesse ponto é 6, podemos compreender melhor o signifi-cado desse valor se representarmos graficamente a inclinação da reta tan-gente no ponto conforme a Figura 6.8.

Figura 6.8 Representação gráfica de f'(3) = 6.

c ='-'

= = 6 =* AP = 6•Ax

Notamos então que uma pequena variação em x próximo d e x = 3 acar-reta uma variação 6 vezes maior em P, próximo deV = 9.

Numericamente, confirmamos isso pois, para um acréscimo no tempode l milésimo próximo de x = 3, temos um acréscimo na produção deaproximadamente 6 milésimos próximo de P = 9.

Em outras palavras, fazendo Ax = 0,001, passamos de x - 3 para x = 3,001e, consequentemente, de f(3) = 9 para f(3,OOÍ) = 9,006001 - 9,006.

Ou, ainda, se àx = 0,001, temos

AP = 9,006001 - 9AP = 0,006001

AP * 0,006

Reta Tangente à Curva em um Ponto

Para a representação gráfica da derivada em um ponto, estamos sempre nosreferindo à reta tangente à curva nesse ponto. Para a função produção,temos um esboço de tal curva conforme a Figura 6.5. É possível determi-nar a equação dessa reta.

167


Conforme o estudado no Capítulo 2, a equação de uma reta é dada pory = m • x + b, onde m dá a inclinação da reta e í» o ponto em que a retacorta o eixo y.

Para a reta tangente à curva em um ponto, sua inclinação é dada peladerivada da função nesse ponto; assim, se o ponto é x = a, a inclinação serám = f (a).

Dessa forma, em nosso exemplo, a inclinação da reta tangente será dadapor

m = f (3) = 6

Sabendo que m = 6, na equação da reta tangente podemos escrevery = 6x + b. Falta então determinar o coeficiente b, que pode ser encontra-do a partir do ponto em que a reta é tangente à curva. Para a produção, oponto por onde passa a reta é dado por P = (3; f(3)) = (3; 9); assim, substi-tuindo as coordenadas de (3; 9) em y = 6x + b, temos:

9 = 6 - 3 + b

Assim, a equação da reta tangente à curva da produção é dada por

y = 6x - 9

Tal reta, nas proximidades de x = 3, "se confunde com a curva", poden-do "de certa forma" substituí-la. Veja a Figura 6.9, onde realizamos zoompróximo ao ponto de tangência.

Figura 6.9 Reta tangente "se confundindo" com acurva no ponto de tangência.

A equação de tal reta é usada nos estudos de "linearidade local" de umafunção, e tais aspectos, além de sua utilização, poderão ser estudados emdetalhes no Tópico Especial no final deste capítulo.

168


Diferentes Derivadas para Diferentes Pontose a Função Derivada

Para a função produção, se tomarmos diferentes pontos na curva, teremosdiferentes retas tangentes, com diferentes inclinações e, como cada incli-nação representa a derivada, tais inclinações representam diferentesderivadas. Em termos numéricos, para cada instante teremos diferentestaxas de variação instantânea da produção. Vamos calcular algumasderivadas para os pontos.

Vamos calcular a derivada dessa função para o instante 4:00 horas, ouseja, vamos calcular

h ~* ° h

Para tanto, vamos montar uma tabela onde verificaremos o comporta-

mento dos limites laterais, analisando o valor de — - —— quan-h

do h -> 0+ e quando h -» 0~.

Tabela 6.1 Cálculo dos limites laterais para lim /H + h) - f(4)

hi

hi0+

'-0,01

-0,001

01 /

0,01

0,001

(4-0,1) -/( 4) f ( 3 , 9 ) - f ( 4 )

-0,1 -0,1

... = 7,99

... = 7,999

'(4+0,1) - f(4) /( 4,1) - f(4)

0,1 0,1

... = 8,01

... = 8,001

3,92 - 42

-0,1

4,12 - 42

0,1

-79 f ( 4 + h )

h

l

8

81 f(4 + h)hi

8

- f(4)

- f(4)

Pelos resultados na tabela, assumiremos que os limites laterais valeme então podemos concluir que

169


Assim, no instante x = 4, a produção está variando a uma taxa def (4) = 8 ton/h ou, em outras palavras, a inclinação da reta tangente nesseponto é m = 8. De modo análogo ao realizado para f (4) = 8, podemos cal-cular numericamente outras derivadas para a função produção. A Tabela6.2 resume os valores das derivadas para os pontos l, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Tabela 6.2 Valores de f (a) para f(x) = x2

a 1

2

2

4

3

6

4

8

5

10

6

12

7

14

Dessa forma, podemos estabelecer uma relação de associação de cadainstante para um único valor de derivada correspondente. Podemos entãopensar em uma função que dá a derivada para cada ponto x. Ou seja,podemos escrever a derivada como uma função de x, e tal função será sim-bolizada por f (x).

Como também estamos simbolizando a função produção como funçãode x, isto é, P = f(x), temos a função derivada da produção também sim-bolizada por P' ou P' = f (x).

Para a função produção são sugestivos os resultados das derivadas obti-das conforme a Tabela 6.2, pois cada resultado de f'(a) é o dobro do valordo instante x = a. Para esse caso, parece plausível que f'(x) = 2x ou P' = 2x.

Função Derivada

Na verdade, representando a taxa de variação da função f(x) comrespeito à variável x, definimos a derivada de f(x) em relação a x por

f (x) = j™f(x+h)-f(x)

Para a função f(x) = x2, especulamos, a partir dos resultados obtidos naTabela 6.2, que a função derivada é dada por f (x) = 2x.

A partir da definição de função derivada, vamos verificar se tal funçãoir . i lmnitc representa a derivada da produção ou, em outras palavras,\ s calcular algebricamente a derivada de f(x) = x2:

170


Pela definição

f(x) = Hm f ( x + h ) - f ( x )

Aplicando a função em (x + h) e em x

- l im~

Colocando h em evidência e cancelando-o

Em tal limite, quando h -* O, temos (2x +h) -» 2x, então

Concluímos que, de fato, f (x) = 2x.Vamos agora recordar cada um dos conceitos discutidos durante este

capítulo resolvendo os itens do problema proposto a seguir:

Problema: Na comercialização de um componente químico líquido, uti-lizado na fabricação de sabão e detergente, a receita R para a venda daquantidade q é dada por R(q) = 4<?2, onde a receita é dada em reais (R$) ea quantidade é dada em litros (/).

a) Determine a taxa de variação média da receita para o intervalo4 s q -s 6. Qual é o seu significado gráfico?

c i - T j • - - i- variação em R ARsolução: lemos que taxa de variação media = = ouvariação em q Aq

ainda

Taxa de variação média R ( 6 )_ R(4) 5 . 62 _ $ . 42de R(q) para o intervalo = -

de 4 até 6 6-4180-80 100

= _=50R$//

171

1 . 1 l m itii i A| ,h, . , l i i Administrai , » > . l . OnOmia n ' ont.ihilul.iclc

Graficamente, representa a inclinação da reta secante AB, ondeA = (4; R(4)) = (4; 80) e B = (6; R(6)) = (6; 180).

\R = 1(10

b) Determine, numericamente, a taxa de variação instantânea da receitapara q = 1.

Solução: A taxa de variação instantânea para q = l é dada por

Taxa de variação instantânea _ jim R(l + h) - R( l )de R(q) em q = l h - o ~ ^

Para calcular tal taxa, vamos estimar os limites laterais de acordo coma tabela a seguir. Observação: Optamos por utilizar b = ±0,1, b = ±0,01 eh = ±0,001, mas poderíamos utilizar outros valores desde que h -» 0.

h

io-

hi

Ri

-0,01

_0,001

0,01

0,001

(1-0,1) -R(l) R(0,9)-R(1) 5-0,92-5.12

-0,1 -0,1 -0,1

... = 9,95

... = 9,995

(1 + 0,1)- R(l) R(1,1)-R(1) 5-l,l2-5.12

0,1 0,1 0,1

... = 10,05

... = 10,005

R(l + í> ) -R( l )

hi10

RU + M - R U )h

4-10

172


Pelos resultados na tabela, assumiremos que os limites laterais valem 10e então podemos concluir que

Taxa de variação instantânea _ jjm R(l + h) - R( l )de R(q) em <j = l ~ h->0~ ~~h

c) Determine a derivada da receita em q = í. Qual a unidade de medidadessa derivada?

Solução: Queremos R'(l) e, como a derivada da receita em q = l é a mesmaque a taxa de variação instantânea de R(q) em q = l, já calculada no itemanterior, então temos R'(l) = 10. Sua unidade de medida é R$11, que é amesma unidade da taxa de variação média, ou da taxa de variação instan-tânea, que têm em seus cálculos a divisão de AR por Ag, ou seja,

~ = ,rea'S = ̂ -. Podemos então escrever R'(l) = 10 R$//.Ag litros í

d) Qual o significado numérico c gráfico de tal valor?

Solução: Tal valor indica a taxa com que varia a receita quando a quanti-dade comercializada é l/. Também podemos dizer que uma pequena varia-ção em q, próximo de q = l, acarreta uma variação 10 vezes maior em R,próximo a R = 5. Graficamente representa a inclinação da reta tangente àcurva da receita no ponto P = (1; R(l» = (1; 5).

e) Determine a equação da reta tangente à curva para q = 1. Faça tambéma representação gráfica.

Solução: Sabemos que tal reta passa pelo ponto P = (1; 5) e, em suaequação y = m • x + b, o coeficiente m representa sua inclinação. Tal incli-nação é dada pela derivada no ponto q = 1:

m = R'(l) = 10

Substituindo tal valor na equação da reta, temos

y = 10* + b

Nessa equação, para encontrar o valor de b, basta substituir em x e y ascoordenadas do ponto P = (1; 5) por onde passa a reta:

5 = 10-1 + 6b = -5

Assim, a equação da reta tangente à curva da produção é dada por

y = Wx - 5

173

Apncaaa a Administração, bconomla e Contabilidade

Representando graficamente, temos

R

f) Encontre, algebricamente, a função derivada de R em relação a q.\: Pela definição f (x) = [im_ Q /'(*+*') ~ /W ; a derivada R'(^)

será

Aplicando a função em (g + fe) e em

h2)-5q2

_ |im< W -

Colocando fc em evidência e cancelando-o

>/

174


O, temos 5h -» O, de modo quoEm tal limite, quando h(Wq + S h) -> Wq, então

Concluímos que R'(q) = Wq.

B Exercícios

1. Em uma indústria química, considerou-se a produção de detergentecomo função do capital investido em equipamentos e estabeleceu-seP(q) = 3q2, onde a produção P é dada em milhares de litros e o capi-tal investido q é dado em milhares de reais.

a) Determine a taxa de variação média da produção para o intervalo3 s q s 5. Qual é o seu significado gráfico?

b) Estime, numericamente, a taxa de variação instantânea da pro-dução para q = 1. (Utilize para as estimativas do limite h = ±0,1;h = ±0,01 e h = ±0,001.)

c) Estime a derivada da produção em q = l, ou seja, P'(l). Qual aunidade de medida dessa derivada?

d) Qual o significado numérico e gráfico da derivada encontrada noitem anterior?

e) Determine a equação da reta tangente à curva para q=\. Faça tam-bém a representação gráfica.

f) Encontre, algebricamente, a derivada de P em q = 1.g) Encontre, algebricamente, a função derivada de P em relação a q,

ou seja, P'(q).

2. O custo C para se beneficiar uma quantidade q de trigo é dado porC(q) = q2 + 400, onde C é dado em reais (R$) e q é dado em toneladas(ton).

a) Determine a taxa de variação média do custo para o intervalol s q s 5. Qual é o seu significado gráfico?

b) Estime, numericamente, a taxa de variação instantânea do custopara q = 2. (Utilize para as estimativas do limite h = ±0,1; h - ±0,01eh = ±0,001.)

c) Estime a derivada do custo em q = 2, ou seja, C'(2). Qual a unidadede medida dessa derivada?

d) Qual o significado numérico e gráfico da derivada encontrada noitem anterior?

175

M,M i- . Aplii , . i , , Administrai ío, B onomla i ' ontibllld idi

e) Determine a equação da reta tangente à curva para q = 2. Faça tam-bém a representação gráfica.

f) Encontre, algebricamente, C'(2).g) Encontre, algebricamente, a função derivada de C em relação a q,

ou seja, C'(q).

3. O custo C para a produção de uma quantidade q de componenteseletrônicos é representado pela função C = f(q). O custo é dado emreais (R$) e a quantidade é dada em milhares de unidades.

a) Qual o significado e a unidade de medida da derivada f ( q ) lb) Em termos práticos, o que significa dizer que f (10) = 5?c) Em uma produção industrial, o que você espera que seja maior,

f (W) o u f f l O O ) ?

4. O montante M de uma aplicação financeira a juros compostos éescrito como função do tempo x que o capital fica aplicado, ou seja,M = f (x). O montante é dado em reais (R$) e o tempo é dado emmeses.

a) Qual o significado e a unidade de medida da derivada f'(q)?b) Em termos práticos, o que significa dizer que f (6) = 10?c) Graficamente, o que significa dizer que f (6) = 10? Faça uma repre-

sentação gráfica.d) Ao longo do tempo, o que você espera que seja maior, f (6) ou

A12)?

5. Uma ação é negociada na bolsa de valores e seu valor V é dado deacordo com o número t de dias de "pregão" transcorridos após a dataem que tal ação começa a ser negociada (t = 0). O gráfico a seguir trazalguns valores, em reais (R$), de tal ação no decorrer do tempo.

21 22 23 25 «


a) Qual a taxa de variação do valor da ação para o intervalo O s í s 6?E para 21 s í s 23? Para tais intervalos, a função é crescente oudecrescente? Compare a resposta com as taxas encontradas.

b) Qual a taxa de variação do valor da ação para o intervalo 6 s f s 10?E para 10 s t ^ 16? Para tais intervalos, a função é crescente oudecrescente? Compare a resposta com as taxas encontradas.

c) Qual a taxa de variação do valor da ação para o intervalo 6<.t <, 22?Qual o significado gráfico de tal taxa de variação?

d) Qual o significado da derivada V'(?)? Qual a sua unidade de medida?e) Represente graficamente, com retas tangentes sobre o gráfico dado,

aproximações para as derivadas V'(6), V'(10), V(16), V(21),V'(23) e V'(25). Para cada reta traçada, diga se V'(í) > O, V'(í) < O

ou V'(í) = 0.

6. Podemos enunciar a lei da demanda de um produto em relação aopreço da seguinte forma: "A demanda ou procura por um produtopelos consumidores no mercado geralmente aumenta quando o preçocai e diminui quando o preço aumenta". Assim, estabelecendo ademanda q como função do preço p, ou seja, q = f (p), e considerandoq dado em unidades e p dado em reais (R$), responda:

a) Qual o significado e a unidade de medida da derivada f (2)1b) Você espera que f (2) seja negativa ou positiva? Justifique.

7. Para um produto, a receita R, em reais (R$), ao se comercializar aquantidade q, em unidades, é dada pela função R = -2q2 + Í.OOOq.

a) Esboce o gráfico de R ressaltando os principais pontos.b) Determine a taxa de variação média da receita para os intervalos

100 s q s. 200; 200 <. q s 300 e 300 s q <. 400. Quais os seus sig-

nificados gráficos?c) Estime, numericamente, a taxa de variação instantânea da receita

para q = 100. (Utilize para as estimativas do limite h = ±0,1; h - ±0,01

eh = ±0,001.)d) Estime a derivada da receita em q = 100, ou seja, R'(100). Qual a

unidade de medida dessa derivada?e) Qual o significado numérico e gráfico da derivada encontrada no

item anterior?f) Determine a equação da reta tangente à curva para q = 100. Faça

também a representação gráfica.

177

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capítulo 6 - O Conceito de Derivada

g) Encontre, algebricamente, £'(100).h) Encontre, algebricamente, a função derivada de R em relação a q,

ou seja, R'(q).i) Utilizando a função R'(q) encontrada no item anterior, obtenha

R'(100), R'(2SO), R'(300) e represente sobre o gráfico do item (a) asretas tangentes relativas a essas derivadas,

j) Comente os sinais de R'(100), R'(250), R'(300) e sua relação com ocomportamento da função R(<j).

8. O montante, em reais (R$), de uma aplicação financeira no decorrerdos anos é dado por M(x) = 50.000 • 1,08*, onde x representa o anoapós a aplicação e x = O o momento em que foi realizada a aplicação.

a) Esboce o gráfico de M(x).b) Determine a taxa de variação média do montante para o intervalo

2 s x s 6. Qual o seu significado gráfico?c) Estime, numericamente, a taxa de variação instantânea do montante

para x = 3. (Utilize para as estimativas do limite h = ±0,1; h = ±0,001e h = ±0,00001. Observação: Para tais cálculos, considere todas ascasas decimais de sua calculadora.)

d) Estime a derivada do montante em x = 3, ou seja, M'(3). Qual aunidade de medida dessa derivada?

e) Qual o significado numérico e gráfico da derivada encontrada noitem anterior?

f) Determine a equação da reta tangente à curva para x = 3. Faça tam-bém a representação gráfica.

9. Em uma linha de produção, o número P de aparelhos eletrônicosmontados por um grupo de funcionários depende do número q dehoras trabalhadas em P(q) = l.OOOg3'4, onde P é medida em unidadesmontadas, aproximadamente, por dia.a) Estime, numericamente, a derivada da produção para q-\. Qual

a unidade de medida dessa derivada? (Utilize para as estimativas dolimite h = ±0,1; h = ±0,01 e h = ±0,001. Observação: Para tais cál-culos, considere todas as casas decimais de sua calculadora.)

b) Qual o significado numérico e gráfico da derivada encontrada noitem anterior?

c) Determine a equação da reta tangente à curva para q = \ Faça tam-bém a representação gráfica.

d) Entre P'(l) e P'(10), qual valor você espera que seja maior?Justifique.

10. Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo creceita dadas respectivamente por C = !>q + 90 e R = 5q, onde q é aquantidade comercializada que se supõe ser a mesma para custo ereceita.

a) Encontre numericamente o valor de C'(l) e C'(5) e compare taisvalores. O que você pode concluir a respeito de tais derivadas?Justifique.

b) Encontre algebricamente a função derivada R'(q). Na prática, qualo significado de tal função?

11. A produção de um funcionário, quando relacionada ao número dehoras trabalhadas, leva à função P = -2í2 + 24f + 128.

a) Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos.b) Encontre, algebricamente, a função derivada P'(í).c) Em que momento a produção é máxima? Utilizando P'(í), encon-

trada no item anterior, calcule o valor da derivada para esse ponto.Represente graficamente a reta tangente nesse ponto.

d) Utilizando P'(t), encontrada no item (b), calcule o valor de P'(8) ecomente seu significado numérico.

e) Comente o sinal de P'(8) e sua relação com o comportamento dafunção P(í).

f) Encontre a equação da reta tangente à curva em t = 8 e represente-asobre o gráfico esboçado no item (a).

12. Em uma safra, a quantidade q demandada pelos consumidores e opreço p de uma fruta estão relacionados de acordo com q = 150.000p~2,onde a demanda é dada em quilos e o preço em reais por quilo (R$/kg).a) Construa uma tabela que dê a demanda para os preços de 0,50;

1,00; 1,50; 2,00; 2,50; 5,00 e 10,00 R$/kg para tal fruta e, a partirde tal tabela, esboce o gráfico de q.

b) Estime, numericamente, a derivada da demanda para p = 2,00.Qual a unidade de medida dessa derivada? (Utilize para as estima-tivas do limite h = ±0,1; h = ±0,01 e h = ±0,001. Observação: Paratais cálculos, considere todas as casas decimais de sua calculadora.)

c) Determine a equação da reta tangente à curva para p = 3. Faça tam-bém a representação gráfica.

d) Qual o significado em termos práticos de p -»oo? Observando osresultados e o gráfico do item (a), que valor se espera para lim q ?

p —* cc

Justifique.

178 179

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilldndu

e) Observando os resultados e o gráfico do item (a), que valor seespera para Hm g'? Justifique.

p—> °°

f) Obtenha algebricamente a função derivada q'(p).

13. O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo com a funçãop = 0,25í2 - 2,St + 60 para um período de um ano, onde t = O repre-senta o momento inicial de análise, t = l após l mês; í = 2 após 2meses, etc.

a) Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos.b) Encontre, algebricamente, a função derivada p'(t).c) Em que momento o preço é mínimo? Utilizando p'(t), encontrada

no item anterior, calcule o valor da derivada para esse ponto. Re-presente graficamente a reta tangente nesse ponto.

d) Utilizando p'(t), encontrada no item (b), calcule o valor de p'(7) ecomente seu significado numérico.

e) Comente o sinal de p'(7) e sua relação com o comportamento dafunção p'(t).

f) Encontre a equação da reta tangente à curva em t = 7 e represente-asobre o gráfico esboçado no item (a).

14. Para cada função dada a seguir, determine algebricamente o valor daderivada no ponto x = l, seu significado numérico e gráfico, suaunidade de medida e a função derivada.

a) V(x) = 5x -* V é o valor de uma compra (RS); x a quantidade decarne comprada (kg).

b) q(x) = -ICbc + 50 •* q é a demanda (unidades); x é o preço do pro-duto (R$).

c) i(x) = 10 •+ / é o índice percentual (%) de reajuste do salário; x é osalário de um indivíduo de uma classe de trabalhadores (R$).

d) P(x) = x3 -* P é a produção (unidades); x é o capital (R$) aplicadoem equipamentos.

e) q (x) = — -» q é a demanda (milhares de unidades); x é o preço do

produto (R$).

• TÓPICO ESPECIAL - Linearidade Local

Nos Tópicos Especiais dos capítulos anteriores, desenvolvemos modelosmatemáticos que permitiram estudar alguns fenómenos cotidianos, e uma

180

Capítulo ó - O Conceito de Derivada

característica comum a esses modelos é a sua utilização no cálculo de rsiimativas das variáveis envolvidas nos fenómenos estudados. O cálculo deestimativas é muito utilizado nas áreas de administração, economia e con-tabilidade. Muitas vezes, temos funções cujas relações matemáticas que asdescrevem se mostram complexas, e a realização dos cálculos de estimati-vas ou dos valores da variável dependente se mostra bastante trabalhosa.Nessas situações, em que a função f(x) com a qual estamos lidando é com-plicada, para se calcular valores de y, usamos a reta tangente como umaforma mais simplificada para estabelecer estimativas de y, o que podemoschamar de linearidade local.

A ideia central deste tópico é a aproximação linear que podemosrealizar para uma função f(x) utilizando a reta tangente à curva em umponto. A aproximação linear será utilizada para um pequeno intervalo dex próximo ao ponto. Utilizaremos a reta tangente à curva f(x) paia calcu-lar estimativas da variável y para valores da variável x próximos do pontoque originou a reta tangente.

Com o intuito de exemplificar tal procedimento, construiremos a curvade custos em função das quantidades produzidas e destacando a reta tan-gente a essa curva em um ponto (q, C).

Tabela 6.3 Construção da função custo representada pela equação:C = 2q3 - 20q2 + 80q + 100; O s q * l

Quantidade Produzida ( q ) O 1 2 3 4 5 6

Custo Fixo (CF) 100 100 100 100 100 100 100 100

Custo Variável (CV) O 62 96 114 128 150 192 266

Custo (C) 100 162 196 214 228 250 292 366

Olhando atentamente para o ponto A da Figura 6.10, notamos que, emuma vizinhança muito próxima ao ponto, o gráfico da curva de custos seaproxima muito da reta tangente, cuja inclinação é a derivada da

C(q + h)-C(q)função custo no ponto q, onde C (q) = lim .

h^O h

Verifica-se que, nas proximidades do ponto A(q, C), o gráfico de (C) separece muito com a reta tangente à curva no ponto.

A determinação da reta tangente no ponto (q, C) se dará pela equaçãoy = m • x + b, onde m = C'(q) ê a inclinação da curva de custos no pontoconsiderado.

181


Figura 6.10 Função custo e tangente em um ponto (q, C).

Custo C ' •

CF = 100

C = CF + CV -

A(q,C)

Reta Tangente

Quantidade Produzida

Naturalmente, obteremos estimativas de y para uma curva y = f(x)subestimadas, quando a reta tangente se posicionar abaixo da curva, e esti-mativas de y superestimadas, para uma reta tangente se posicionandoacima da curva y = f (x). Tais situações são expostas na Figura 6.11, ondetemos uma reta tangente abaixo da curva, passando pelo pontoe uma reta tangente acima da curva, passando pelo ponto

Figura 6.11 Tangentes para valores superestimados esubestimados do custo.

CV

c;

x Tangente

Cabe ressaltar que, à medida que nos afastamos de q^ e q2, as estimati-vas apresentarão um grau de erro mais elevado, erro este calculado peladiferença entre o valor real e o valor estimado.

Exemplo l

Vamos estudar nesse exemplo a linearidade local da função y = x2 nas vizi-nhanças do ponto x = 2.

182


De acordo com os cálculos realizados durante este capítulo, salwmosque a derivada da função y = x2 é dada por f (x) = 2x. Assim, o valor i l . iderivada no ponto x = 2 será dado por f (2) = 2 - 2 = 4.

Como a derivada da função no ponto graficamente representa a incli-nação da reta tangente à curva, temos que f'(2) = 4 é a inclinação da retatangente à curva y = x2 em x = 2.

AyPodemos estimar também a inclinação em x = 2 usando m = f (x) s ̂

por meio dos dados da Tabela 6.4, onde temos valores aproximados dafunção y = x1.

Tabela 6.4 Valores para f (x) = x2

x y = x^"próximo" de 2) (valores aproximados)

2,001 4,0040

2,002

2,003

2,004

4,0080

4,0120

4,0160

Ay 4^160-^0120Ax 2,004 - 2,003

Ay = 4,0120-4,0080 =

Ax 2,003 - 2,002

Verifica-se, pelas variações calculadas, que a inclinação é 4 próximo dex = 2, e tais aproximações traduzem um dos significados de f (2) = 4. NaFigura 6.12 podemos visualizar uma aproximação da "inclinação" dacurva y = x*- próximo a x = 2.

Para determinar a equação da reta tangente, sabemos que y = m • x + b,onde m = f (2) = 4, e tal reta passa pelo ponto x = 2, e tal valor em y = x2

leva a f(2) = (2)2 = 4. Logo, a reta tangente passa por (2; 4).Em y = m • x + b, substituindo m = f'(2) = 4 e o ponto (x; y) = (2; 4),

temos

4 = 4 - (2) + bb = -4

183


Figura 6.12 Curva y = x2 próximo do ponto (2; 4).

f(2) = 4

Assim, y = 4x - 4 é a equação da reta tangente à curva y = x2 em (2; 4).Na Figura 6.13, temos a representação gráfica de tal reta e da curva y = x2.

Figura 6.13 Gráfico de y = x2 e reta tangente no ponto (2; 4).

y - 4x - 4

Para a linearização de y = x2 em x = 2, consideramos a reta tangentey = 4x - 4 e fazemos

y = /(*) a (equação da reta tangente)

Então, a aproximação linear correspondente é

f(x) = x2*4x -4

ou

x2 2 4x - 4

A Tabela 6.5 traz valores da função calculados na expressão original(y = x2), valores da função estimados por meio da equação da reta tangente(y = 4x - 4) e o erro dado pela diferença entre o valor real e o valor esti-mado, próximos a x = 2.

184


Tabela 6.5 Comparação entre cálculos dos valores reais ecálculos das estimativas para y = x2

x

1,10

1,82

1,90

1,95

1,98

2,15

2,23

2,30

2,35

2,40

2,90

Curva Reta Tangente Erro =Valores em y = x2 Valores em y = 4x- 4 | Valor Real - Valor Estimado |

(valores reais) (valores estimados) E = | VR - VÊ |

y = (1,1)2 = 1,21 y = 4 - (1 ,1 ) -4 = 0,4 0,810000

3,312400

3,610000

3,802500

3,920400

4,622500

4,972900

5,290000

5,522500

5,760000

8,410000

3,280000

3,600000

3,800000

3,920000

4,600000

4,920000

5,200000

5,400000

5,600000

7,600000

0,032400

0,010000

0,002500

0,000400

0,022500

0,052900

0,090000

0,122500

0,160000

0,810000

Nota-se facilmente, na coluna erro, que, para valores próximos dex = 2, as estimativas efetuadas pela reta tangente geram boas aproxi-mações, enquanto que, para valores de x mais "distantes" de x = 2, temosestimativas com erros cada vez maiores e subestimados.

Exemplo 2

Seja a função y = V x + 10 , definida pelas variáveis: y = consumo

(unidades) e x = renda (u.m.). Iremos encontrar a linearização em x = 6(u.m.) e construir uma tabela de estimativas para alguns valores de x ecomparar as estimativas obtidas com seus valores reais.

Para o cálculo da derivada no ponto x - 6, construiremos uma tabela

estimando os limites laterais de f ( 6 ) = lim - — .i->0 h


Tabela

h f(

+01 ̂A

i +0,01

0+ +0,001

+0,0001

-0,1h -0,010_ -0,001-0,0001

,. /('r />-»0

a+h)-f(a) f(6 + h)-f(6)

h h

6 + 0,1) + 10- Vô + 10

0,1

= 0,124980

s 0,124998

a 0,125000

^ 0,125196

s 0,125020

s 0,125002

= 0,125000

6 + />)-f(6)

h

.. f(6+h)-h-^o h

f(6+h)-

hl

-f(6)

f(6)

0,125000

f(6 + h) -

hl

0,12500

m

0

Pelos cálculos realizados conforme mostra a Tabela 6.6, é razoável

assumir que f ( 6 ) = Um f(6 + h,] ~ f(6) = 0,125 *, então f (6) = 0,125,h—>0 n ç

tal valor é a inclinação da reta tangente em x = 6.A reta tangente y = m • x + b tem m = /'(6) = 0,125 e passa pelo ponto

(6; f(6)) = (6; v 6 + 10) = (6; 4) 5 o que permite encontrar o parâmetro b:

y = m • x + b4 = 0,125 -6 + b

b = 3,25

* Pode-se provar que, de fato, f (6) = 0,125. Tal verificação poderá ser feita após odesenvolvimento do próximo capítulo, em que estudaremos as técnicas de derivação.

186


Assim, y = 0,125* + 3,25 é a equação da reta tangente à c u n . i

y = V * + 1 0 no ponto (6; 4).

Para linearizar a curva em x = 6, fazemos y = f(x) s (equação da retatangente); então, a aproximação linear correspondente é

0,125x+ 3,25

V*+10 s 0,125^+3,25

A Figura 6.14 mostra claramente tal aproximação linear, onde a retatangente passa pelo ponto de tangência (6; 4), revelando boas aproxi-mações superestimadas (reta acima da curva), quando x está próximo de 6.

Figura 6.14 Função y = v x + 10 e reta tangente.

(unidades)5

4

— "TT^^ 21

y = 0,125* + 3,25

_ „ 1 k

5 -10 -5 0 5 6 10 'Renda (u.m.)

Na Tabela 6.7 temos estimativas para alguns valores de x calculados emy = 0,125x + 3,25 e a comparação das estimativas obtidas com seus valores

reais calculados em y = V x + 10 _

Tabela 6.7 Comparação entre cálculos dos valores reais e cálculosdas estimativas para y = Vx+10

x Curva Reta Tangente Erro =

y = Vx+ 10 Valores em y = 0,125x + 3,25 | Valor Real -Valor Estimado |

(valores reais) (estimativas de consumo)

5,0y = V 5 + 10 « 3,872?83y = 0,125 . 5,0 + 3,25 = 3,87500

E = | VR - VÊ |

0,00202

187

M.iti-iiMiii i Aplii ni.i i Administração, Economia < • Oiiii.ihilnl ide

H

5,5

5,7

5,8

5,9

6,1

6,2

6,3

6,5

7,0

8,0

Curva

y = V x + 10

(valores reais)

« 3,937004

« 3,962323

« 3,974921

- 3,987480

a 4,01 2481

= 4,024922

• 4,037326

= 4,062019

= 4,123106

= 4,242641

Tabela 6.7 Continuação

Reta Tangente

Valores em y = 0,1 25x + 3,25 | Valor Real

(estimativas de consumo) E =

. 3,937500

= 3,962500

= 3,975000

• 3,987500

«4,012500

* 4,025000

« 4,037500

« 4,062500

«4,125000

= 4,250000

Erro =

-Valor Estimado |

| VR - VÊ |

0,0005

0,00018

0,00008

0,00002

0,00002

0,00008

0,00017

0,00048

0,00189

0,00736

Verificamos, por meio dos cálculos, a existência de uma boa aproxi-mação gerada pelas estimativas da reta tangente (y = 0,125* + 3,25); noentanto, quando atribuímos valores para x, não tão próximos de x = 6, ograu de erro demonstra um certo crescimento. Fica evidenciado o fato deque as estimativas geradas serão superestimadas, uma vez que a reta tan-

gente (y = 0,125% + 3,25) está acima da curva y = V*+ 10 em x = 6.

Exemplo 3

Um agricultor está investindo efetivamente na produção de soja, devido àgrande rentabilidade financeira, dadas as exportações de grande volume domomento atual. Aproveitando as oportunidades de mercado, ele decidiucontratar mais trabalhadores (mão-de-obra) e adquirir máquinas agrícolas,com o intuito de aumentar consideravelmente o volume de sua produção.O volume de produção de soja em sacas/ano e o número de trabalhado-res/ano estão configurados na tabela, caracterizando a função de produçãoP = -q3 + 81g; q a O, onde P = produção total de soja (sacas/ano) e q =unidades de mão-de-obra efetivamente empregadas na produção de grãos,permanecendo fixos outros fatores de produção.

188


Tabela 6.8 Produção de soja (sacas/ano) e número de trabalhadores

contratados ao longo do período (n)

n (n° de anos)

q (mão-de-obra emunidadescontratadas/ano)

P (produção de sojasacas/ano)

0

0

0

1

1

80

2

2

154

3

3

216

4

4

260

5

5

280

6

6

270

7

7

224

8

8

136

Com base nas informações apresentadas, encontraremos a linearizaçãoda função produção em q = 2 e q = 6, utilizando-as para estimar valorespróximos a q = 2 e q = 6.

Linearização em q = 2

Se P = -q3 + 8lq, então sua derivada em q = 2 será dada por P'(2), onde:

P'(2) = limh->0

f ( 2 + h ) - f ( 2 )69

Assim, P'(2) = 69. (As estimativas para tal limite e para o limite quan-do q = 6, dado adiante, podem ser obtidas construindo uma tabela deaproximação e valores de h de modo análogo ao realizado nos exemplosanteriores. Deixamos tais cálculos a cargo do leitor.)

Como P(2) = -23 + 81 • 2 = 154, temos o ponto (2; P(2)) = (2; 154) eainda m = P'(2) = 69. Substituindo tais valores na equação da reta tangente,temos:

P = m • q + b154 = 69-2 +b

b = 16

Logo, P = 69 • q + 16 é a linearização de P = f(q) em q = 2,

Linearização em q = 6A derivada em q = 6 é dada por P'(6) = lim

-h)-f(6)

= -27.

Como P(6) = -63 + 81 • 6 = 270, temos o ponto (6; P(6)) = (6; 270) eainda m = P'(6) = -27. Substituindo tais valores na equação da reta tan-gente, temos:

189


P = m • q + b270 = -27-6 + b

b = 432

Logo, P = -27 • q + 432 é a linearização de P = f(q) em q-d.De modo análogo ao realizado no exemplo anterior, temos na Figura

6.15 a curva da produção e as retas tangentes utilizadas na linearização detais curvas. Temos também nas Tabelas 6.9 e 6.10 valores "reais" calcula-dos na própria função produção e as comparações com valores calculadospor meio das linearizações dadas pelas retas tangentes.

Figura 6.15 Gráfico produção e número de trabalhadores.

Produção Total(soja)

n° de trabalhadores

Tabela 6.9 Estimativas para a função produção P = -q3 + 81 qnas vizinhanças de q = 2

q

1,8

1,9

2,1

2,2

Valor Real

(P = -q3 + 81q)

139,968

147,041

160,839

167,552

Estimativas

(P = 69q+ 16)

140,2

147,1

160,9

167,8

Erro

0,232

0,059

0,061

0,248


Tabela 6.10 Estimativas para a função produção P = -q3 + 81 q

nas vizinhanças de q = 6

q Valor Real Estimativas

(P-

5,7

5,9

6,1

6,3

Erro= -q3 + 81q) (P = -27q + 432)

276,507

272,521

267,119

260,253

278,1

272,7

267,3

261,9

1,593

0,179

0,181

1,647

Na comparação efetuada entre os valores reais e suas respectivas esti-mativas, verificamos, através da coluna erro, que as aproximações linearesobtidas pelas retas tangentes em q = 2 e q = 6 apresentam pequena margemde erro para valores "q" próximos aq = 2eq = 6.

•Í Problemas1. Encontre a linearização da função y = -vx + 1 em x = 3 e estime os

valores para x = 3,2; x = 3,3; x = 3,4; x = 3,5; x = 2,5; x = 2,7; x = 2,8.Construa uma tabela para os valores reais e estimados, calculando oerro para cada valor de x. (Veja Exemplos l, 2 e 3.)

2. A função P - q3 é uma função que fornece a quantidade produzida (P)de um determinado produto em função da quantidade (q) de mão-de-obra. Encontre a linearização para q = l, preenchendo a tabela aseguir com estimativas em torno de q = 1.

(Lembre que /"(l) = lim ^ + h] ~ ̂ = 3 e m = f ( 1 ) = 3 parai->0 *

y - m • x + b.)

1,000

1,000

1,001

1,003

1,002

1,006

1,003

7

1,004

9

1,005 1,006

3. Encontre a equação da reta tangente à curva de custos definida porC(q) = 2í/3 - 20<y2 + 80q + 100, em q = S unidades; em seguida, calculeas estimativas para q = 3,8; q = 4; q = 4,5; q = 5,5; q = 6 e q = 6,3.

191

1.1 l 1 1 . li i A | , ln . , , l . i . , AJniiniftrai Io, l ' ontimi.i •• ' uni il > , l i < l.n l< •

Sugestão: Monte uma tabela com valores reais, estimativas e cálculos deerro, inferindo sobre as aproximações calculadas; em seguida, construa ográfico da curva de custos e sua reta tangente em q = 5 unidades.

4. Dada a tabela de dados que relaciona as variáveis anos e custos deprodução de um produto, estime os custos para os dois anos seguintes,aproximando linearmente.

x = Anos

y = Custos

Produção ($)

1997

500

1998

780

1999

1.100

2000

1.350

2002

1.520

5. A receita gerada pela venda de "g" unidades em uma empresa é dadapor R(q) = -2q2 + WOOq.a) Linearize a função em q = 350 unidades, efetuando estimativas

para q = 355 unidades e q = 342 unidades.b) Construa o gráfico de R(q) e a tangente em q = 350 unidades.

6. Considerando a função C = 10 + 0,7% + 0,4v x , sendo C = consumo

em unidades e x = renda disponível ($), pede-se:a) O gráfico da função Consumo e Renda Disponível.b) Encontre a reta tangente à curva em x = 4 ($).c) O gráfico da função Consumo e da reta tangente em x = 4 ($).d) Faça as estimativas para x = 4,3 ($) e x = 4,5 ($), calculando o Erro.

Erro = | Valor Real - Valor Estimado |

7. A tabela de dados está relacionando a produção (P) em unidades/mêse o número de trabalhadores (q) em homens/mês em uma certa fábri-ca de embalagens de médio porte.

(q) n" de trabalhadores/mês

na produção de embalagens

(P) produção em unidades/mês

O 2 4 6 8 10

O 40 128 216 256 200

Com base nos dados tabelados, pede-se:a) Construa o sistema de dispersão para P = f(q).b) Estabeleça a regressão potência conforme o Tópico Especial do

Capítulo 5, fazendo y = produção sobre x = número de trabalha-dores/mês.

192


c) Construa, em um mesmo sistema de eixos, a dispersão e a tinr.ipotência ajustada no item (b).

d) Utilizando a função da regressão potência obtida em (b), faça umaestimativa da derivada da produção em relação ao número de tra-balhadores/mês para q = 4 (ou x = 4) e obtenha a equação da retatangente à curva P = f(q) no ponto q = 4.

e) Faça uso da equação da reta tangente estimada do item anterior,estabelecendo estimativas para q = 7, q = 9 e q = I I .

f) O que você poderia dizer a respeito das estimativas calculadas noitem (e) em termos de confiabilidade?

ca pitu Io 7

Técnicas de Derivação

• Objetivo do CapítuloNesse capítulo, você estudará os procedimentos que permitem encontrar demaneira prática as funções derivadas, ou seja, dada uma função, você apli-cará as técnicas de derivação para obter sua derivada. Trata-se de um capí-tulo em que o objetivo principal é obter de modo rápido a derivada de umafunção dada, portanto é importante que você treine cada técnica apresen-tada. No Tópico Especial você complementará o estudo das técnicas dederivação trabalhando a técnica da derivação implícita.

Matemática Aplicada á Administração, Economia e Contabilidade

• Regras de Derivação

No capítulo anterior, para algumas funções onde era dada a expressãoalgébrica que a definia, obtivemos a função derivada a partir da definição.Por exemplo, dada f(x) = x2 obtivemos a função derivada f (x) = 2x a

partir da determinação do limite f (x) = lim ") ~ /(*)

Notamos que, muitas vezes, o processo de determinação da função deri-vada é trabalhoso e, por isso, é interessante trabalhar com técnicas que per-mitam a determinação rápida da derivada. Nesta seção, estudaremos asprincipais regras de derivação necessárias para a obtenção das derivadas demaneira rápida e simplificada. Abordaremos apenas as regras necessáriaspara a derivação das funções abordadas em nosso curso.

Salientamos que nossa preocupação principal é apresentar as regras demaneira simplificada, deixando de lado as demonstrações e justificativas davalidade de tais regras. Sugerimos ao leitor interessado nas demonstraçõesde tais regras a consulta de livros de cálculo indicados na bibliografia, emespecial Cálculo — Volume l, de James Stewart, onde constam as demons-trações de todas as regras apresentadas a seguir.

Entre os exemplos de aplicação para cada regra apresentada, procura-mos utilizar funções já desenvolvidas nos capítulos anteriores.

Função ConstanteSeja a função

f(x) = k

onde k é uma constante; então, sua derivada será

f (x) = O

De modo simplificado

y = k =>y' = O (k é constante)

Exemplo: Derive

a) y = 7 b) i(x) = 10

Solução:a ) y = 7=>y ' = O b) i(x) = 10 => ;'(*) = O

196

Capítulo 7 - Técnicas de Derivação

Função do 1- Grau

Seja a função do 1a grau

Então, sua derivada será


f(x) = m • x + b

f (x) = m

Exemplo: Derive

a) f(x) = 3* + 5 b)q = -

Solução:

a) f(x) = 3* + 5 => f (x) = 3

c) / = 500« => /' = 500

c) J = SOOn d) y = x

b) q = -2p + 10 => q' = -2

d ) y = *=>}< '= l

Constante Multiplicando Função

Seja a função f(x) obtida pela multiplicação da função u(x) pela constante k

f(x) = k • u(x)

Sendo u(x) derivável, então a derivada de f(x) será

f (x) = k • u'(x)


y = k • u => y' = k • u' (k é constante)

Na função y = k • u para a obtenção de y', a constante k "espera" adeterminação de «'.

Podemos dizer que a "derivada de uma 'constante vezes uma função'"é a "constante vezes a 'derivada da função'".

Exemplo: Dada f(x) = 7 • u(x), onde u(x) = 3x + 5, obtenha f (x).

197


Solução:Se f(x) = 7 • u(x), então f (x) = 7 • u'(x).Para u(x) = 3x +5, temos u'(x) = 3, assim

f (x) = 7 • u'(x) = 7-3 = 21

Logo, f (x) = 21.Podemos confirmar a validade do resultado realizando primeiramente a

multiplicação indicada para obter f(x) e, em seguida, derivar tal função:

f(x) = 7 • u(x) => f(x) = 7 • (3x + 5) => f(x) = 2íx + 35 => f (x) = 21

Soma ou Diferença de Funções

Seja a função f(x) obtida pela soma das funções u(x) e v(x)

f(x) = u(x) + v(x)

sendo u(x) e v(x) deriváveis então a derivada de f(x) será

f'(x) = u (x) + v'(x)


y = u + v => y' = u' + v'

Procedemos de modo análogo para a diferença das funções u(x) e v(x)

f(x) = u(x) - v(x)

Sendo u(x) e v (x) deriváveis, então a derivada de f(x) será

f (x) = u'(x) - v'(x)


y = u - v =t- y' = u' - v'

Podemos dizer que a "derivada de uma 'soma/diferença de funções'" éa "soma/diferença das 'derivadas das funções'".

Exemplo: Dada f(x) = u(x) + v (x), onde u(x) = 3x + 5 e v (x) = 7x + 15, obte-nha f (x).

198


Solução:Se f(x) = u(x) + f (x), então f'(x) = u'(x) + v'(x).

Se u(x) = 3x + 5, então u'(x) = 3 e, se v(x) - 7x + 15, então v'(x) = 7,assim

f'(x) = u'(x) + v'(x) = 3 + 7=10

Logo, f (x) = 10.Podemos confirmar a validade do resultado realizando primeiramente a

soma indicada para obter f(x) e, em seguida, derivar tal função:

f(x) = u(x) + v(x) => f(x) = 3x + 5 + 7x + 15 =* f(x) = 10* + 20 => f (x) = 10

Potência de x

Seja a função

f(x) = x"

onde n é um número real, então sua derivada será

f (x) = nx»'1


y = x" => y' = nx"~^ (n é real)

Exemplo: Derive

a) f(x) = x3 b) y = 15x2 c) y = x'1

5-000-000d) P = 1.000 V e) y =1'5

-6t2 +9í + 10

Solução:

a) f(x) = x3 => f(x) = 3X3-1 =* f (x) = 3x2

b) Em y = 15x2, temos a constante 15 multiplicando x2. Lembrando a regra

> = & • « = > y' = & • M'

Em y = ISx2, derivamos x2 enquanto a constante 15 "espera", e a mul -tiplicação é realizada ao final:


y = 15x2 =s> y' = 15 • (2x2-3) =* y' = 15 • (2*1) =* y' = 15 • 2x => y' = 30x

c) y = x~l => y' = -lx~l~l => y' = -X"2

l 3d) Em P =1.000-g 4 , temos a constante 1.000 multiplicando q4.

3Procedendo de maneira análoga ao item (b), derivamos <?4 enquanto a

constante 1.000 "espera", e a multiplicação é realizada ao final.

3P =1.000 V =* P' =1.000- -

í

3 -iP'= 1.000- -q4 => P'=

4

e) Para derivar - 5-000-000envar y ^ , p

uma potência de x

5.000.000i/ — •, v ç nnn

i 4-1 3 |-4--04 =., p>= 1.000- -q4 4

1 4

3 -^ -I1.000--44 =* P '=750^ 4

4

rimeiramente devemos escrevê-la

^ •1

•

1como j^l

•

•1 H^^linn . — ̂ «i ç nnn nnn • v-i,5 l^H

onde a é um número real


Exemplo: Derivea) f(x) = 2*

Solução:a) f(x) = 2X => f (x) =

r (x) = (In 2) • 2*.,1,5 ,1,5

e, para derivar y = 5.000.000 • x~i'5, vamos proceder de modo parecido aodos itens (b) e (d)

y = 5.000.000 • x-1'5 =* y' = 5.000.000 • (-1,5*-1>5-1) => y' = 5.000.000 •(-l,5x-2>5) => y' = 5.000.000 • (-l,5)*-2>5 => y' = -7.500.000 • *-2'5

A função original foi dada na forma hiperbólica, então também escre-veremos a derivada na forma hiperbólica:

y = 7.500.000 • x-2'5 => y = -7.500.000-— => ,= _7-500-000X2,5 ^2,5

f) Para derivar o polinómio p(í) = t^ — 6í2 + 9í + 10, associamos várias dasregras mencionadas, chamando a atenção para o fato de que podemosconsiderar o polinómio como a soma/subtração de várias funções"menores" í3, 6t2, 9t e 10:

200


p(f) = í3 - 6í2 + 9í + 10

p'(t) = 3f3-l _ 6 • (2í2-l) + 9 + 0p '(í) = 3í2 - 6 • 2í + 9

Função Exponencial

Seja a função exponencial

f(x) =

(a > O e a

b) AÍ(JC) = 10.000 • 1,05*

b) AÍ(JC) = 10.000 • 1,05* => M'(x) = 10.000 • (1,05* • In 1,05), que tambémpode ser escrita como M'(x) = 10.000 - (In 1,05) • 1,05*.

Função Exponencial na Base e

Seja a função exponencial

f(x) = e*

onde e s 2,71828, então sua derivada será

f ( x ) = é-


y = e* => y' = ex

Exemplo: Derivea) /"(x) = 5e* b) y = -2ex + xe + 3e

201


Solução:a) f(x) = Se* => f (x) = 5ex

b) y = -2ex + x" + 3e => y' = ~-2ex + ex"'1 + O =s> y' = -2e* +

Note que a derivada de xe é obtida pela regra da potência de x e que a deri-vada de 3e é zero, pois trata-se de uma constante.

Logaritmo NaturalSeja a função obtida pelo logaritmo do módulo* de x

f(x)'= ln\x\, sua derivada será


y = \n\x\> y = -

Exemplo: Derivea)/(x) = 5 m | x |

Solução:

a) f(x) =51n|x|

b) x = 20,4959 • In M - 188,7745

f (x) = 5 -

l 20,4959b) x = 20,4959 -In M -188,7745 => x' = 20,4959 --- O =>*•= —

M M

Nesse item, note que, ao escrevermos simplesmente InM, estamos supondoque tal logaritmo existe, isto é, M > O e, nessas condições, x = InM é equi-valente a x = In | M ] .

Definimos módulo de x por Ixl = J , assim 121 = 2, pois 2 a O| -x se x < O

1-21 = - (-2) = 2, pois -2 < 0.

202


Produto de FunçõesSeja a função f(x) obtida pelo produto das funções u(x) e v(x)

f(x) = u(x) • v(x)

Sendo u(x) e v(x) deriváveis, então a derivada de f(x) será

f (x) = u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x)


y = uv => y' = u'v + uv'

Exemplo: Derivea)/|x) = (5x + 10)(;t4-10x2) b)y = x2 • 3*

a) Considerando /(x) = u(x) • v(x), então f'(x) = u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x).Em f(x) = (5x + 10) (x4 - 20), considerando u(x) = 5x + 10, então«'(x) = 5 e, se v(x) = x" - 20, então v'(x) = 4x3; assim

/"(x) = u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x) = 5 • (x4 - 20) + (5x + 10) • (4x3)

Logo, f (x) = 5 -(x4- 20) + (5x + 10) • (4»3).Realizando os produtos indicados em f (x), obtemos

/' (x) = 5 • (x4 - 20) + (5x + 10) • (4*3)/' (x) = 5x* - 100 + 2Qx* + 40x3

f (x) = 25x4 + 40x3 - 100

Podemos confirmar a validade do resultado realizando primeiramente amultiplicação das funções originais para obter f(x) e, em seguida, deri-var tal função:

f(x) = (5x + 10) (x4 - 20)f(x) = 5x5 - IQOx + 10x4 - 200f (x) = 5 x5 + 10x4 - 100* - 200

f (x) = 5 • (5x4) + 10 • (4x3) - 100 - Of (x) = 25x4 + 40x3 - 100

b) Considerando y = uv, então y' = u'v + uv'.Em y = x*- • 3X, considerando u = x^-, então «' = 2x e, se v = 3X, entãov' - 3X • In 3 ou v' = (In 3) • 3*; assim

203


y' = tSv + uv' = 2x • 3* + x2 • (In 3) • 3*

Logo, y' = 2x • 3* + x2 • (In 3) • 3*.Podemos ainda colocar 3* em evidência e reorganizar os termos de y'assim:

y' = 3* • L(ln 3) x2 + 2%J

Quociente de FunçõesSeja a função /(%) obtida pelo quociente das funções u(x) e v(x)

t,.*. «Mf(*)

Sendo «(x) e f (x) deriváveis, então a derivada de f(x) será

,,, . «'(*)• f (x) - «W • !;'(%)/ (x) =


Exemplo: Derive

100%+300

u'v - uv'

a) /?*) =x +10

b) y =5.000.000

/l*)=-rr , então f(*) =

100%+300Em f(x) + , considerando u(x) = 100% + 300, então

x + 10

u'(x) = 100 e, se f(%) = % + 10, então f'(%) = 1; assim

n%) =-í^

f'W =(x + W)2

204


r w =100%+1.000-100%-300

%2 + 2 - % . 1 0 + 102

700

x2 + 20% +100

b) Considerando y = —, então y =

5.000.000Em y = , considerando u = 5.000.000, então «' = O e, se

xl,s

v = x1'5, então v' = 1,5%°>5; assim

y = -U'V - M?

~V~2

O -x1 '5- 5.000.000-1,5 %°-5y =

0-7.500.000%°.5

y = 1%3

/ = -7.500.000%°'5-3

y = -7.500.000%-2'5

y = -7.500.000 l

y' = -

X2,5

7.500.000

w

• - u - u - j j • j j 5.000.000Note que já havíamos obtido a derivada de y = no item (e)1'5

do exemplo da regra da potência.

Função Composta - Regra da Cadeia

Seja a função f(x) obtida pelo composição das funções v(u) e u(x)

f(x) = v[u(x)]

205


Sendo v(u) e u(x) deriváveis, então a derivada de f(x) será

f (x) = v'[u (x)} • u'(x)


y = v(u) (sendo u uma função de x) => y' = v'(u) • «'

Para a memorização de tal regra, conhecida como a Regra da Cadeia, aseguir temos um procedimento que lhe pode ser útil:

• Identificamos na composição das funções uma função externa e outrainterna, sendo a função externa calculada na função interna:

FunçãoExterna

f(x) = v [«(*)]

1 Então, pela Regra da Cadeia, a derivada da função composta é "a deri-vada da função externa calculada na função interna vezes a derivada dafunção interna":

derivada dafunção externa...

... calculada nafunção interna

f ' ( x ) = v' [ u(x) ]

Exemplo: Derive f(x) = (2x + 5)3

1a Solução:Primeiramente identificamos a composição das funções em f(x) = (2x + 5)3,sendo u(x) = 2x + S e v(u) = w3, de tal forma que f(x) = v[u(x)], então

f (x) = v'[u(x)] • u'(x)

206


Calculando ^'[«(x)], ou seja, obtendo v'(u) a partir de v(u) = «3, temos

v'(u) = 3«2

Lembrando que u(x) = 2x + 5, escrevemos f'(«) em função de x

v'[u(x)] = 3-(2x + 5)2

Devemos calcular u'(x) paia. completar a Regra da Cadeia

u'(x) = 2

Assim, em f ' ( x ) = v' [u(x)] • u'(x), temos

f^(x) = 3 • (2x + 5)2 • 2f (x) = 6 • (2x + S)2

Observação 1: Vale lembrar que, em f(x) = (2x + 5)3, a função externa"manda" "elevar ao cubo" e o resultado v'[u(x)} = 3 • (2x + S)2 é "a deri-vada da função externa calculada na função interna". Já a função internaí representada por u(x) = 2x + 5, cuja derivada é u'(x) = 2.

Assim,

derivada dafunção externa...

3 • (2* + 5)2

A... calculada nafunção interna

derivada dafunção interna

2" Solução:Nessa solução, usaremos a notação simplificada, ou seja,

y = v(u) (sendo u uma função de x) y' = v'(u) • u'

Primeiramente, identificamos a composição das funções em y = (2x + 5)3,sendo u = 2x + 5 e v(u) = «3, de tal forma que y = v(u), ou seja,

y = «3

207


Calculamos então v'(u) e «'

v(u) = w3 => v'(u) = 3«2 e u = 2x + 5 => «' = 2

Escrevemos a derivada de acordo com a regra da cadeia

y' = v'(u) • u'y' = 3«2 • 2

y' = 6«2

Como u = 2x + 5, voltamos à variável inicial, x, escrevendo finalmente aresposta

y' = 6 • (2x + 5)2

Observação 2: Para exemplificar a regra da cadeia, escolhemos uma fun-ção bastante simples. Na verdade, a derivada de y = (2x + 5)3 pode ser obti-da sem a utilização da regra da cadeia. Dessa forma, tal função e sua deri-vada são convenientes para uma verificação rápida da regra da cadeia:

y = (2x + 5)3

y = (2x)3 + 3 • (2x)2 • 5 + 3 • 2x • S2 + 53

y =. 8x3 + 60x2 + 150x + 125y' = 8 • 3*3-1 + 60 • 2*2-1 + 150 + 0

y' = 24x2 + 120* + 150

que coincide com y' = 6 • (2x + 5)2 pois, ao desenvolvê-la, obtemos

y' = 6 • (2x + 5)2

y' = 6 • (4x2 + 20* + 25)y' = 24x2 + 120x + 150

Exemplo: Derive f (x) = 23; •-7

íâ Solução:Primeiramente, identificamos a composição das funções em f(x) = 23*~7,sendo u(x) = 3x - 7 e v(u) = 2", de tal forma que f(x) = v[u(x)]; então

f (x) = v'[u(x)] • u'(x)

Calculando v'[u(x)], ou seja, obtendo v'(u) a partir de v(u) = 2", temos

v'(u) = 2" • In2

Lembrando que «(x) = 3x - 7, escrevemos t/'(«) em função de x

v'[u(x)] = 23*-7-ln2

Capitulo 7 - Técnicas de Derivação

Devemos calcular u'(x) paia completar a regra da cadeia

u'(x) = 3

Assim, em f (x) = v'[u(x}\ tf (x), temos

f (x) = (23*-7 • In 2) • 3f ' ( x ) = 3 • (In 2) • 23*-7

2<< Solução:Nessa solução, usaremos a notação simplificada, ou seja,

y = v(u) (sendo u uma função de x) y' = v'(u) • u'

Primeiramente, identificamos a composição das funções em y = 23* 7,sendo u = 3x - 7 e v(u) = 2", de tal forma que y - v(u), ou seja,

y = 2"

Calculamos então v'(u) e u1

v(u) = 2" => v'(u) = 2" • In 2 e u = 3x - 7 => u' = 3

Escrevemos a derivada de acordo com a regra da cadeia

y' = v'(u) • u'y' = (2" • In 2) • 3y' = 3 • (In 2) • 2«

Como u = 3x - 7, voltamos à variável inicial, x, escrevendo finalmente aresposta

y' = 3 • (In 2) • 23*-7

A Notação de Leibniz

Para representar a derivada de y = f (x), utilizamos até o momento a nota-ção y' ou f ' ( x ) . Apresentaremos agora outra notação, que foi desenvolvidaprimeiramente pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e que, por esse motivo, é conhecida como notação de Leibniz.

A derivada de y em relação a x será representada por

dy_dx

208 209


Devemos entender —i como um único símbolo e não como a divisãodx

de dy por dx. Por ora, em tal símbolo, dy e dx não devem ter significadose escritos isoladamente'1.

O símbolo — é sugestivo, pois "lembra" a divisão de uma "pequena"

variação em y por uma "pequena" variação em x:

Ay— "lembra"dx Ax

(com Av> e Ax "pequenos")

Na verdade, na derivada f (x) = j,™f(x+h)- f (x)

h-, ao conside-

rarmos Ay = f(x + h) - f(x) e Ax = h, reescrevemos f (x) por

Hm ^y_A*-O A%

A notação de Leibniz é útil pois, de certa forma, lembra que a derivadaé obtida pela divisão de uma variação de y associada a uma variação em xquando a variação em x tende a zero!

Exemplo: Considere o custo (C) como função da quantidade produzida (q),ou seja, C = f(q), onde o custo é dado em reais (R$) e a quantidade é dadaem unidades. Usando a notação de Leibniz, represente a derivada do custoem relação à quantidade produzida. Obtenha também a unidade de medida.

Solução: A derivada do custo será obtida pelo limite do quociente da varia-ção do custo (AC) pela variação na quantidade (Ag) quando Ag -» O,

que, pela notação de Leibniz, será escrita como "^ , sendo a unidade dedq

n itt-

medida obtida pela divisão de "reais" por "unidade", ou seja,unidade

* Na verdade, veremos mais adiante o significado de dy ao definirmos o conceito dafunção diferencial.

210


Observação 1: Se queremos escrever a derivada de uma função com a pri-meira notação estudada, é necessário explicitar separadamente f(x) paradepois representar a derivada f (x), por exemplo:

f(x) = x3 + 5x2 - 7, então f (x) = 3x2 + Wx

Nesse caso, a notação de Leibniz é mais sintética, pois podemos escre-ver diretamente

dx5x2 - 7) = 3x2 + 10x

Observação 2: Para escrever a derivada de uma função y = f(x) num ponto

(x = 3, por exemplo), pela notação de Leibniz, escrevemos

caso, a primeira notação estudada é mais sintética, pois escrevemos apenas

dydx

. Nesse

Regra da Cadeia com a Notação de Leibniz

Podemos escrever a regra da cadeia usando a notação de Leibniz. Lem-brando que a função a ser derivada é obtida pela composição das funçõesv (u) e u(x), ou seja,

f(x) = v[u(x)]

ou, de maneira simplificada,

y = f («) (sendo u uma função de x)

Para usarmos a notação de Leibniz, devemos estar atentos a:• A função original a ser derivada é uma função de x:

y = f(x) = v[u(x)]

ou, tão-somente,

y = fc)Assim, procuramos a derivada de y em relação a x, o que será simboli-

zado por

, _ dy_

dx

211


• Ao denotarmos de modo simplificado

y = v(u) (sendo u uma função de x)

passamos a ler y como função de u, sendo possível obter a derivada de yem relação a u, o que será simbolizado por

dy_

du

• u é uma função de x, então a derivada de u em relação a x será simboli-zada por

dudx

A partir da notação simplificada, podemos estruturar a regra da cadeia

y' = v'(u) • «'

com a notação de Leibniz, por

dy _ dy du

dx du dx

Em tal notação, — representa a derivada da função externa calcula-du

da na função interna, ou seja,

du

e — representa a derivada da função interna, ou seja,dx

— = u'dx

Logo, comparando as duas notações, temos

y = v(u) • ̂

\dy _ dy dudx du dx

212


Exemplo: Derive y = g*2+2* .

Solução: Para encontrar —, derivada de y em relação a x, precisamos

encontrar —, derivada de y em relação a M, e —, derivada de u em rela-du dx

cão a x. Na função composta y = ex +5x , fazendo « = x2 + 5x, escrevemos

y em função de u, ou seja, y = eu; assim:

dy dy 7 ,• y = e» => —— = e" => = gx-^+Sxdu du

• u = x2 + 5x => — = 2x + 5dx

dy dy duPela regra da cadeia, -— = , obtemos

dx du dx

dx. (2x+5)

Exemplo: Derive y = VlOx+ 6

dySolução: Para encontrar —r-, derivada de y em relação a x, precisamos

encontrar —, derivada de y em relação a u, e —, derivada de u em rela-du dx

cão a x. Na função composta y = V10^+ 6 , fazendo u = IQx + 6, escre-

vemos y em função de u, ou seja, y = *Ju ; assim:

• y = V« (a derivada de tal função é obtida pela regra da potência, então

devemos escrever -Ju como potência de u)

213


u =Wx+6 => — = 10

, .Pela regra da cadeia, — = — , obtemos

dx du dx

dy_

dxr-10

Derivada Segunda e Derivadas de Ordem Superior

Dada uma função f(x), obtemos a função derivada f'(x) e tal função repre-senta a taxa de variação de f(x). A derivada segunda de f(x) é obtida sim-plesmente derivando-se a derivada f (x) ou, em outras palavras, a derivadasegunda de f(x) é a derivada da derivada de f(x), ou ainda a derivadasegunda de f(x) representa a taxa de variação da taxa de variação de f(x).Alguns dos símbolos usados para representar a derivada segunda são

Observação:* f '(x) também é conhecida como derivada primeira, ou derivada de pri-

meira ordem de f (x).* f"(x) também é conhecida como derivada segunda, ou derivada de segun-

da ordem de f(x).

* De modo parecido ao realizado para a derivada segunda, temos a deriva-da terceira, ou derivada de terceira ordem de f(x). Obtemos a derivada

d3 y—

_terceira, y'" = f "(x) = derivando a derivada segunda, ou seja,

derivando "três vezes" a função f (x).Cíeneralizando tal procedimento, temos a derivada n-ésima, ou derivadaile n-ésima ordem, ou ainda derivada de ordem n de f(x). Obtemos a

214


d" yderivada n-ésima, y(") = /!")(%) = ——, derivando "n vezes" a fun-dx"

cão f (x).

Exemplo: Dada f(x) = x5 obtenha sua derivada terceira.

Solução: Devemos derivar f(x) = x5 três vezes, ou seja, vamos obter emsequência as derivadas primeira, segunda e terceira de f(x):

• f(x) = Xs =* f ' ( x ) = 5x-ç-l => f>(x) = 5x4

• f'(x) = 5x4 => f "(x) = 5 • (4x4-i) =* f" (x) = 20*3

• f "(x) = 20*3 => f ^(X) = 20 • (3*3-i) => /"'"(*) = 60*2

Diferencia/

Na notação de Leibniz, dada uma função derivável y = f(x), temos

T = f'(x)dx

c se considerarmos dy e dx como variáveis, podemos então escrever

dy = f (x) • dx

Assim, dy é uma função que depende de f (x) e da variável independentedx (o que faz de dx um número real qualquer); em outras palavras, a dife-rencial dy é uma função obtida pela multiplicação da derivada f (x) peladiferencial dx. Tal função é conhecida como função diferencial de y = f (x).

Os processos de linearização local, análogos ao realizado no TópicoEspecial do capítulo anterior, e os métodos de obtenção das funções inte-urais que serão discutidos no Capítulo 11 são exemplos de algumas dasaplicações das diferenciais.

Kxcmplo: Dada a função y = IO*4, obtenha a função diferencial num certo *.

Solução: Para escrever a função diferencial dy = f (x) • dx, basta obter f (x):

f (x) = 10 • (4*4-i) ^> f (x) = 40*3

Assim, a diferencial dy é dada por dy = 40x3 dx.

l.xemplo: Dada a função P = 0,01g3 - q, obtenha a função diferencial numivrto q.

215


Solução: Para escrever a função diferencial dP = P'(q) • dq, basta obter P'(q):

P' (q) = 0,01 • (3^-1) _ l => f' (q) = 0,03^2 - l

Assim, a diferencial dP é dada por áP = (0,Q3q2 - l) dq.

B Exercícios

1. Para cada função a seguir, encontre a derivada:

a) y =15b) «(*) = 1,5c) f(x) = 12x-35d) q = -3p + 15e) / = 250nf) y = -xg) /W = *4

h) y = 20x3

i) y = x'2Í) y = -IO*-1

k) P = 2.400 • q5'6

800.000D y = — —

X1'7

m) p(t) = St3 + 10f2 -15í+ 30n) f(x) = 5*o) M(x) = 2.500-1,03*p) f(x) = 2e*q) y = 5ex + x5" + V5er) =-5\ns) x = 15,3458 - In M -234,6491t) f(x) = (3%-20)(% 3 -50x 2 )u) y = .r5 • 8*

25%+400v) f(x) =

x + 2 0

w) f(x) = ( 3 % + I O ) 3

x) f(x) = IO5*-20

y) y = g*2-*

?.) y = V4x+10

216


2. Para cada função a seguir, encontre a derivada, escreva a notação deLeibniz que a represente e a unidade de medida.a) p = 0,0676t + 6,6104 -» p é o preço (R$) e í é o tempo (meses)b) # = -2p + 10 -> g é a demanda (unidades) e p é o preço (R$)c) P = -3g2 + 90g + 525 ^ P é a produção medida (kg) e q é a quanti-

dade de fertilizante (g/m2)d) p = -q2 + 8q + 9 - > p é a produção (unidades) e q é a quantidade

de insumo (kg)e) v = -0,7í72 +5,6q + 6,3 ^ é a venda (unidades) e q é a quantidade

de insumo (kg)

f)240

(unidades)

g) v =250

l + 500 • 0,5'tempo (meses)

í2 _ 6í + 12

t2 -6t + 10h) f =

(dia)

I ) c , ,=^°+ io

CM é o custo unitário (R$) e tjf é a quantidade

f é a venda (milhares de unidades) e í é o

•* f é o valor de uma ação (R$) e í é o tempo

é o custo unitário (R$) e q é a quantidade

(unidades)j) M = 5.000 • 1,03" -» M é o montante (Rf) e n é o período (mês)k) y = 763.797 • 1,02X -> y é a população (habitantes) e x é o tempo

(ano)

3. Para cada função a seguir, obtenha a derivada segunda:

a) P = 0,05g3

b) L = -242 +160^-1.400c) E= t2 -St +210

e) V = 35.000-0,875'10

f) y= —xò

g) y = ax2 + bx+ c

217


4. Para cada função a seguir, obtenha a função diferencial num certo xou q:

a) y = x3/2

b) C = 3q + 60c) R = -2q2 + 200qd ) P = -3q2 = 90q + 525e ) P = l.OOOí?3'4

5. Para cada função a seguir, encontre a derivada, utilizando a regra dacadeia com a notação de Leibniz

a) y = (5x2 + 2x)4 b) y = e5x

l . 1.200.000d) q =

5 + lOpe)

-300)1'3

c) M = 240e-°'5t

f) y--^-(x-r)b

• TÓPICO ESPECIAL - Derivação Implícita

Até agora escrevemos a maior parte das funções por meio da notação y = f (x),ou seja, expressando a variável y explicitamente em função da variável x,como, por exemplo:

y = WOx2+ 10 x; y = 4x3-10x2 + 30x+50; y = 3.500 • 1,04* e y =x2

Contamos às vezes com situações em que a relação entre as variáveis xe y é definida implicitamente, por exemplo:

50x2 - lOy = 30; -10* + 2y = 4 e x2 + y1 = 4

Nesses exemplos, em que a função é dada na forma implícita, dizemosque y é uma função implícita de x e, para cada caso anterior, podemos expli-citar a variável y em função de x simplesmente "isolando" a variável y:

30 -50 x2

-104 + 10*

y = -3 + 5x2

y = 2 + 5x

218


• x2 + y2 = 4 => y2 = 4- x2 => y = ± V 4 - x2 . Nesse c.iso,

para que y represente uma função em relação a x, expressamos

y = ± v 4 - x2 separadamente em dois subcasos, y = + V 4 - x2 c

y = - V 4 - x 2 , e o s analisamos separadamente.

Para y = + V 4 - x2 ; temos y como função de x, que graficamente é

representada por um semicírculo centrado na origem cujo raio é 2, compontos localizados no eixo x e acima dele, considerando -2 s x ^ 2, con-forme a Figura 7.1a.

Para y = + V 4 - x2 , temos y como função de x, que graficamente é

representada por um semicírculo centrado na origem cujo raio é 2, compontos localizados no eixo x e abaixo dele, considerando -2 <. x <.2, con-forme a Figura 7. l b.

Figura 7.1a Semicírculo superior

/4 -

Figura 7.1 b Semicírculo inferior

y = - V4 - x2 .

-2

2 i

Quando uma função tem y e % escritos de forma explícita, obtemos aderivada usando técnicas de derivação, a exemplo do que foi feito duranteeste capítulo. Entretanto, existem funções expressas na forma implícita, cujadeterminação da forma explícita é muito complicada como, por exemplo:

• x2 y + xy2 = íOx

•2y5 + 2x2y2 + 20x4 = 25

Para tais relações, se desejamos obter suas derivadas, devemos usar atécnica de derivação implícita. Exemplificaremos tal técnica a seguir, rés-

219

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capítulo 7 - Técnicas de Derivação

saltando a utilização de regras já estudadas, como a regra do produto e ireera da cadeia:regra da cadeia:

Exemplo l - Determine a derivada dey3 = x.

Solução: Buscamos y', ou seja, -L . Primeiramente, obtemos a derivadadx

com respeito a x nos dois lados da expressão y3 = x.

y3 = x ~ (y3) = ~(x)dx dx

Como y é uma função (implícita) de x,ctd

, temos que y3 é uma função com-posta.

Para derivar y3, utilizamos a regra da cadeia, ou seja,

dx dx dx

aonde 3y2 representa a "derivada da função de fora" e —(y) representa

dx •a "derivada da função de dentro".

Assim, para — (y3) = — (x), obtemosdx dx

dy l

dx dx ' 3 y2

dyExemplo 2 - Determine -j- para a equação xy2 + y2 = 50. Em seguida,

obtenha o valor de tal derivada no ponto (-2; 1).

Solução: Derivando ambos os membros da equação com relação a x,temos:

d , d , d— ( x y 2 ) + — (y2) = —(50)dx dx dx

Para obter —— (xy2), utilizamos a regra do produto (y = uv =*• y' = u'v + uv"),

dii seja, — (x) • y2 + x • — (y 2 ) . Para obter — (y2), utilizamos a regra il.idx dx dx

i .ulcia, ou seja, —(y2) = 2y— (y) = 2y , onde 2y é derivada dadx dx dx

11 meão de fora e — (y) é a derivada da função de dentro. Para obterdx

- (50) usamos a derivada da função constante, ou seja, ~~~~ (50) = 0.dx dx

Assim, -~(xy2) + —-(y2) = —(50) resulta:dx dx dx

— (X).y2+x.~(y2)+^(y2) = 0dx dx dx

1 2 T dy T dy nl • yz + x • 2 y H 2 y • = Odx dx

Colocando 2 y • -j— em evidência e isolando — :—dx

dyyy2 + 2 y - — (x + 1) = O

dx

y —dx

dy -y2

-y

dx 2y(x+l)

Para o cálculo da derivada no ponto (-2; 1), basta fazer x = -2 e y = l

n^ :dx

dy dy -l dy _ l

dx 2-1- (-2 + 1) dx -2 dx 2

220 221

' > ' ' i i • ' - M li' ida à A Im nl trai li l • < > n l i l > i l i l , l

Exemplo 3 - Dada a equação x2 + y2 = 100, pede-se:dy

a) Encontre — por derivação implícita.

Solução: Derivando em relação a x ambos os membros da equaçãox2 + y2 = 100

— (x2 + y2) = —(100)dx dx

~(x2) + - -dx dy

Utilizando novamente a regra da cadeia para ( y 2 ) ,dx

2x+ 2y-— = Odx

Resolvendo a equação para -—-, ao isolá-lo, obtemos

dy _ -2 x

dx 2 y

dy

dx

b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = Vi 00 - x2

no ponto (6; 8).

Solução: Note que y = Vi 00 - x2 é a parte positiva de y quando expli-

citamos y em função de x na expressão x2 + y2 = 100.Primeiramente, encontramos a inclinação da reta tangente y = mx + b

à curva y = VlOO - x2 no ponto (6; 8), substituindo x = 6 e > > = 8 n a

dy _ xderivadadx

dym = -0,75

dx 8

Substituindo x = 6, y = 8 e m = -0,75 em y = mx + b, obtemos b:

8 = -0,75 • 6 + b => b= 12,5

222


Assim, a equação da reta tangente é y = —0,75x + 12,5.

i ) Monte uma tabela de valores de x e de estimativas de y para a

y = V100 - x2 , considerando como os valores de x: 5,8; 5,9; 6,0; 6,1; e 6,2.

Solução: Baseado no conceito de linearidade local, faremos uso da equaçãoihi reta tangente com o objetivo de calcular valores aproximados de y.

x 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2

8,1500 8,0750 8,0000 7,9250 7,8500

8,1462 8,0740 8,0000 7,9240 7,8460

y (estimativas) y = -0,75x + 12,5

y (reais) y = v1! 00 - x2

| Erro | = | estimativa - valor real | 0,0038 0,0010 0,0000 0,0010 0,0040

d) Construa o gráfico da função e da reta tangente no ponto (6, 8).

Solução:

y-ty = 12,5 - 0,75*

10 x

• Problemasdy

1. Encontre -j- para cada item a seguir:

a) y4 = x b) x2 + y2 = 16 c) x2 - y2 = l

d) Vx + *Jy = 8 e) ^/x2 + y2 + x2 = 20

2. Dada a equação y3 - xy = 3, pede-se: t •

a) Encontre por derivação implícita ~T~ • -\•••••, s

223


b) Encontre a equação da reta tangente a y3 - xy = 3 no ponto (8, 3).c) Construa uma tabela com estimativas de y, conforme Exemplo 3

(c), utilizando os seguintes valores de x: 7,7; 7,8; 7,9; 8,0; 8,2; 8,4.

3. Dada a função Demanda p + q2 = 64, onde p é o preço (em R$) e q éa quantidade demandada (em unidades), determine:

,*-a)_

dq

b) Para q = 6 (unidades) e p = 28 (R$), calcule e interprete ~T~ e ~j~.

4. A empresa Cris produz dois modelos A e B de cintos de segurança,destinados aos automóveis de luxo, utilizando os mesmos recursosde produção em A e B. As quantidades a serem produzidas de A e Bserão dadas por XÁ e yg, respectivamente, onde a equação quecaracteriza a Curva de Possibilidade de Produção (C.P.P.) é dada porX2A + yB = 1.600, se XA a O e yB 2 0. Pede-se:a) Explicite y em função de x,b) Faça o esboço gráfico da C.P.P.c) Qual a quantidade máxima de produção de A?d) Qual a quantidade máxima de produção de B?e) Se A atingir o nível de produção XA = 20 unidades, quanto produ-

ziríamos para B?f) Se B atingir o nível de produção yB = 700 unidades, quanto produ-

ziríamos para A?

g) Encontre — para a equação x2A + yB = 1.600. Obtenha tambémdx

—Z. para XA = 30 unidades e yB = 700 unidades, interpretando odx

resultado obtido.

5. Uma empresa recuperadora de cartuchos de tinta para impressorastem, como seus principais produtos, os tipos A e B, utilizando os mes-mos recursos de produção nas quantidades x e y, respectivamente,para A e B. A função representativa da Curva de Possibilidade deProdução (C.P.P.) é caracterizada pela equação x2 + y2 = 10.000, ondex e y representam as quantidades a serem produzidas de A e B, respec-tivamente. Com base nas informações prestadas, pede-se:

! Capítulo 7 - Técnicas de Derivação

;i) Explicite y em função de x, sabendo que x 2 O e y 2 0.h) Construa o gráfico da Curva de Possibilidade de Produção (C.l1.!1.)c) Quais as quantidades máximas de cada produto que poderão MT

fabricadas?d) Na hipótese de fabricarmos 60 unidades do tipo A, qual a quanti-

dade a ser fabricada para o tipo B?e) Se fabricarmos 20 unidades do tipo B, qual a quantidade a ser fabri-

cada do tipo A?

f) Encontre — para a Curva de Possibilidade de Produçãodx

x2 + y2 = 10.000.

g) Encontre a equação da reta tangente da função y = + VlO.OOO - x2

em x = 50 unidades e estime os valores para as quantidades x = 48;x = 49; x = 50 e x = 55.

h) Construa uma tabela para os valores reais e estimados, calculandoo erro para cada valor de x do item anterior. Ver Exemplo 3 (c).

224 225

capítulo 8

Aplicações das Derivadas noEstudo das Funções

• Objetivo do CapítuloNeste capítulo, você utilizará a derivada para estudar detalhadamente ocomportamento das funções, determinando seus principais valores e pon-tos para a análise numérica e gráfica. Você perceberá como as derivadasprimeira e segunda são úteis para determinar intervalos de crescimen-lo/decrescimento; pontos de máximo/mínimo; diferentes taxas de cresci-mcnto/decrescimento e pontos de inflexão de uma função. No Tópico Es-pecial você explorará em detalhes o significado dos pontos de inflexão deuma função, ressaltando suas aplicações práticas.


• Máximos e MínimosNo estudo de situações práticas ou fenómenos económicos, administrativose contábeis, é muito comum surgirem perguntas como: Qual quantidadedevo comercializar para que o lucro seja máximo? Qual quantidade devoarmazenar em estoque para que o custo de estoque seja mínimo? Quantodevo aplicar em propaganda para que a receita seja máxima? Qual a quan-tidade de insumo a ser usada para que a produção seja máxima? Em quemomentos, em um curto intervalo de tempo, devo comprar e vender as"ações" de uma empresa para que o lucro na operação seja máximo?...Nos fenómenos citados, se o lucro, custo, receita, produção... são expres-sos por funções, então as respostas a tais perguntas envolvem pontos espe-ciais, como os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão.

Nesta seção e no decorrer do capítulo, estudaremos como a derivada deuma função é útil na análise de intervalos de crescimento - ou decrescimen-to -, assim como na determinação de pontos de máximo e de mínimo. Paratanto, estabeleceremos primeiramente a distinção entre o conceito de máxi-mo/mínimo local e o conceito de máximo/mínimo global; em seguida,salientaremos situações em que a derivada não existe.

Máximo e Mínimo LocaisPara uma função f(x), dizemos que o ponto c é ponto de máximo local (oumáximo relativo) se o valor f(c) for o maior valor que a função assumepara x numa vizinhança* de c.

Para uma função f(x), dizemos que o ponto c é ponto de mínimo local(ou mínimo relativo) se o valor f(c) for o menor valor que a função assu-me para x numa vizinhança de c.

As Figuras 8.1a e 8.l b representam, respectivamente, o ponto c comoponto de máximo local e mínimo local. Em outras palavras, se c é máximolocal, então f(c) 2 f(x) para todo x na vizinhança de c. De modo análogo, sec é mínimo local, então f(c) z f(x) para todo x na vizinhança de c.

Capítulo 8 - Aplicações das Derivadas no Estudo das Funções

Figura 8.1a c como pontode máximo.

/«'i/(.v)

Figura 8.1 b c como pontode mínimo.

/(.v)

Máximo e Mínimo Globais

l 'ara uma função f (x), dizemos que o ponto c é ponto de máximo global(ou máximo absoluto) se o valor f(c) for o maior valor que a função assu-me para todo x do domínio da função. De modo análogo, para uma fun-\.M f(x), dizemos que o ponto c é ponto de mínimo global (ou mínimoabsoluto) se o valor f(c) for o menor valor que a função assume para todo.v do domínio da função.

A Figura 8.2 traz o gráfico de uma função f(x) cujo domínio é o inter-valo fechado [2; 23], onde podemos perceber as diferenças entre os pontosile máximo e mínimo locais e máximo e mínimo globais.

Figura 8.2 Máximos e mínimos locais e/ou globaispara f(x) de domínio [2; 23].

130

i H)9575

IS 2 í

* Entenderemos que um ponto x está numa vizinhançailo ponto c se x pertencer ao intervalo aberto ]a; b[ aoqual c também pertence.

Ç x _ .a \ r b

vizinhança de c

Primeiramente, salientamos que os pontos x = 9 e x = 1 8 são mínimoslocais, pois na vizinhança de x = 9 o valor da função, f(9) = 30, é o menorpossível e, do mesmo modo, na vizinhança de x = 18, o valor da função,/ ' (18) = 95, também é o menor possível. O ponto x = 9 também é mínimoglobal, pois f(9) = 30 é o menor valor da função em todo o seu domínio.

228 229


Os pontos x = S e x = 15 são máximos locais, pois na vizinhança dex = 5 o valor da função, f(5) = 75, é o maior possível e, do mesmo modo,na vizinhança de x = 15, o valor da função, f (í 5) = 110, também é omaior possível.

O ponto x = 23 é máximo global, pois f(23) = 130 é o maior valor dafunção em todo o seu domínio. Nos pontos que limitam o intervalo, x = 2e x = 23, não é possível dizer se são mínimo ou máximo locais, pois não épossível estabelecer a vizinhança para análise do comportamento da função.

Pontos onde a Derivada Não ExisteAnalisados Graficamente

Para um estudo mais completo de pontos de máximo e mínimo e pontoscríticos3', é interessante notar situações onde a derivada não existe - emoutras palavras, funções que apresentam em seu domínio pontos onde afunção não é derivável.

Lembramos que a derivada de uma função f(x) em um ponto x = a édada por

f',a] - lim fo + fe)-ft»)- -

e tal limite só existe, ou seja, a derivada no ponto só existe se os limites late-rais resultarem em um mesmo número. Dentre os casos onde a derivada nãoexiste, citaremos como exemplos situações onde os limites laterais resultamem números diferentes e situações em que o limite resulta em +°° ou — °°.

Graficamente, é comum observar um "bico" no gráfico de uma funçãoquando estamos em um ponto onde os limites laterais resultam em núme-ros diferentes e, por consequência, a derivada não existe. Analisando aFigura 8.3a no "bico" onde x = 5, não é possível visualizar qual seria a retatangente à curva nesse ponto.

Situações em que o limite resulta em +<*> podem indicar graficamentereta "vertical" tangente à curva no ponto onde está sendo calculado tallimite. Analisando a Figura 8.3b no ponto x = 7, temos uma reta verticaltangente à curva, o que indica que a derivada nesse ponto não existe.

(K [tontos críticos serão discutidos mais adiante.

230


Figura 8.3a Não existef (5) ("bico").

\ Tangente?

Figura 8.3b Não existef'(7) ("tangente vertical").

A função f(x) = x \o é derivável no ponto x = O, pois o limite lateral

, hm f(0+h)- f(0)A-xr h

,\a él

^ = -l , enquanto o limite lateral à

- f(0)= l , sendo que há um "bico" no gráfico

• "i v = 0. (Ver Figura 8.4a.) A função f (x) = V* não é derivável no pontoX * O, pois resulta em +°° o limite que denotaria a derivada em x = O, isto

hm f(0+h)- f(0)' • h > Q — — — - = +°° . Nesse exemplo, percebemos uma tangente

u - i i i c a l no gráfico em x = 0. (Ver Figura 8.4b.)

Figura 8.4a Não existe f (0)("bico").

Figura 8.4b Não existe f (0)("tangente vertical").

RetaTangenteVertical

231


Derivada e Crescimento/Decrescimento de uma Função

Uma propriedade muito importante que utilizaremos para a análise dasfunções e construção de seus gráficos relaciona o sinal da derivada de umafunção e o comportamento de tal função em um intervalo. Sabemos que aderivada em um ponto dá a taxa de variação da função no ponto, bemcomo a inclinação da reta tangente no ponto. Por exemplo, se para umafunção f(x) a derivada no ponto x = 2 resultar f (2) = 5, sabemos que é 5 ataxa de variação de f(x) em x = 2, ou seja, um pequeno aumento em x pró-ximo de x = 2 acarreta um aumento S vezes maior em f(x). Em outras pala-vras, a função é crescente no ponto x = 2, pois sua taxa de variação é posi-tiva nesse ponto. Na verdade, estendemos tal conclusão para um intervalode x; assim, se a derivada de uma função é positiva em um intervalo, entãoa função é crescente nesse intervalo.

De modo análogo, se a derivada de uma função é negativa em um inter-valo, então a função é decrescente nesse intervalo.

Lembramos ainda que é zero a derivada de uma função constante, entãoé razoável assumir que, se a derivada de uma função é zero em um inter-valo, então a função é constante nesse intervalo.

Resumindo tais observações, temos:

• Se f (x) > O em um intervalo, então f(x) é crescente nesse intervalo.• Se f (x) < O em um intervalo, então f(x) é decrescente nesse intervalo.• Se f'(x) = O em um intervalo, então f(x) é constante nesse intervalo.

Graficamente, a Figura 8.5a representa um caso onde f (x) > O e, con-seqúentemente, f(x) é crescente; note que traçamos à curva uma reta tan-gente cuja inclinação é positiva. Na Figura 8.5b, temos um caso onde f (x)< O e, conseqiientemente, f(x) é decrescente; note que traçamos à curva umareta tangente cuja inclinação é negativa. Já a Figura 8.5c traz um caso ondef'(x) - O e, conseqiientemente, f(x) ê constante; note que a reta tangente àcurva é representada pela própria reta do gráfico e sua inclinação é zero.

Figura 8.5a f(x) > 0. Figura 8.5b f (x) < 0.y-

f(x) crescente

Figura 8.5c f (x) = 0.

M

f(x) decrescente

232

f(x) constante

Capítulo 8 - Aplicações das Derivadas no Estudo das Funcoos

Pontos Críticos

Notamos que os pontos de máximo ou mínimo ocorrem em pontos espe-i i .ns chamados de pontos críticos. Os pontos críticos não são apenas aque-les onde ocorre o máximo ou mínimo de uma função, logo seu conceito émais amplo:

Um ponto c é chamado ponto crítico se f'(c) = O ou se f (c) não existir.*

Assim, para encontrarmos pontos críticos, devemos procurar pontos nodomínio onde a derivada vale zero ou onde a derivada não existe.

Na Figura 8.6, temos a representação de três pontos críticos onde/ ' ( < ' ) = 0. Note que na Figura 8.6a temos o ponto crítico c como ponto demáximo; na Figura 8.6b, temos o ponto crítico c como ponto de mínimo e,n.i Figura 8.6c, temos o ponto crítico c não sendo máximo nem mínimo,pois a função continua crescente à esquerda e à direita de c. Nesses casos,irmos inclinação zero para a reta tangente à curva no ponto crítico.

Figura 8.6acê máximo.

Figura 8.6bc é mínimo.

Figura 8.6c c não émáximo nem mínimo.

V t

Na Figura 8.7, temos a representação de três pontos críticos onde f'(c)n. io existe. Note que na Figura 8.7a temos o ponto crítico c como ponto demáximo; na Figura 8.7b temos o ponto crítico c como ponto de mínimo enu Figura 8.7c temos o ponto crítico c não sendo máximo nem mínimo, pois.1 l unção continua decrescente à esquerda e à direita de c. Nos dois primei-

* í) ponto c é um número do domínio de f (x] e também é conhecido como número crí-Inn. O valor da função calculada em c é conhecido como valor crítico, f(c). O ponto,lo unifico de coordenadas (c; f(c)) também é chamado de ponto crítico; entretanto, emnosso texto, quando nos referirmos aos pontos críticos de uma função, estaremos inte-irss.idos nos pontos do domínio onde f'(x] = O ou onde f'(x] não existe.

233


ros casos, não é possível traçar retas tangentes à curva no ponto crítico e,no último caso, temos uma reta vertical tangente à curva no ponto crítico.

Figura 8.7ac é máximo.



y-r

Teste da Derivada Primeira

É interessante notar que, nos pontos críticos representados anteriormenteem quatro casos (Figuras 8.6a, 8.6b, 8.7a e 8.7b), temos pontos de máxi-mo local e pontos de mínimo local. Na verdade, é grande a ligação entrepontos críticos e pontos de máximo local ou mínimo local, e devemos estaratentos à seguinte propriedade:

"Para uma função contínua, se em seu domínio existirem pontos demáximo local ou mínimo local, tais pontos serão pontos críticos."

Em outras palavras, em um ponto de máximo local ou mínimo local, aderivada da função é zero ou a derivada não existe.

Tal propriedade auxilia na elaboração do teste da derivada primeira,que permite classificar se um ponto crítico é ou não ponto de máximo localou mínimo local.

O teste consiste em encontrar os pontos críticos da função; tais pontossão "candidatos" a máximo ou mínimo local. Em seguida, calculando ovalor da derivada primeira para pontos à esquerda e à direita dos pontoscríticos, verificamos se a função é crescente ou decrescente entre tais pon-tos e, de acordo com o comportamento da função, concluímos se o pontocrítico é ou não máximo ou mínimo local.

Observando detalhadamente os pontos críticos dos itens (a), (b) e (c)das Figuras 8.6 e 8.7 redesenhados nas Figuras 8.8 e 8.9, percebemos queum ponto é máximo local se à esquerda dele a derivada é positiva e àdireita dele a derivada é negativa (a função passou de crescente (f'(x) > 0)para decrescente (f'(x) < 0)). Ver Figuras 8.8a e 8.9a.

234


l >c modo análogo, nas Figuras 8.8b e 8.9b percebemos que um ponto émínimo local se à esquerda dele a derivada é negativa e à direita dele aderivada é positiva (a função passou de decrescente (f '(x) < 0) para crés-

Na Figura 8.8c o ponto c não é máximo nem mínimo local, pois a deri-^ .ula é positiva em ambos os lados do ponto crítico c (a função é semprei ifscente (f (x) > 0)). Na Figura 8.9c o ponto c não é máximo nem míni-mo local, pois a derivada é negativa em ambos os lados do ponto crítico c( .1 lunção é sempre decrescente (f'(x) < 0)).

Figura 8.8ac é máximo.

Cff >o

Figura 8.8b Figura 8.8c c nãocê mínimo. é máximo nem mínimo.

y-

\\

r<o

)/

r>o

f>0

/í_j/

r>o

Figura 8.9a

f'<o


f'<o f>o


Podemos resumir o teste da derivada primeira nos seguintes passos:

/" Passo: Determine os pontos críticos de f (x) — resolvendo a equação/ ' ( x ) = O ou encontrando os pontos onde f ' ( x ) não existe.

2° Passo: Marque os pontos críticos em uma reta numérica. Nos diferen-ics intervalos obtidos, escolha pontos para teste à direita e à esquerda dei .ula ponto crítico. Calcule a derivada primeira nos diferentes pontos deleste, determinando seu sinal (f > 0) ou (f < 0). Nos pontos de teste onde/ ' ( . v ) > O, temos f(x) crescente (71) e, nos pontos de teste onde f (x) < Oirmos f(x) decrescente (il).

235


• 3a Passo: Analisando o crescimento (71) ou decrescimento (il) de f (x) àesquerda e à direita de cada ponto crítico, concluímos que o ponto é:

-> Máximo Local — se nele a função passa de crescente para decrescenteà medida que x aumenta. Ou seja, caminhando na reta numérica, daesquerda para a direita, temos a derivada mudando de positiva paranegativa. (71 il)

-» Mínimo Local - se nele a função passa de decrescente para crescenteà medida que x aumenta. Ou seja, caminhando na reta numérica, daesquerda para a direita, temos a derivada mudando de negativa parapositiva. (Íl 71)

~t Nem Máximo, nem Mínimo Local - se antes e depois dele a funçãopermanece crescente ou decrescente. Ou seja, caminhando na reta numé-rica, temos a derivada com o mesmo sinal, positiva ou negativa, antes edepois do ponto crítico. (71 71 ou il ÍÉ)

Como exemplo de uma interpretação para o teste da derivada primeira,temos na Figura 8.10 o esboço do gráfico de uma função que dá o "valorde uma 'ação'" negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias x. Nográfico, os pontos de teste e o sinal da derivada primeira para cada umdeles estão assinalados acima dos pontos críticos. Nesse exemplo, temoscomo pontos de máximo x - 2 e x = 13; como ponto de mínimo x = 7; eos pontos x = 10 e x = 20 não são pontos de máximo nem de mínimo. Nográfico, as retas tangentes horizontais indicam que nesses pontos críticosf (x) = O e a reta tangente vertical indica que f'(x) não existe em x = 10.

Figura 8.10 Pontos críticos e analisados segundo o testeda derivada primeira.

i f(23)<0

Pontos Críticos20

236


A seguir, usaremos o teste da derivada primeira para esboçar o gral içoilc uma função polinomial. O gráfico de tal função foi esboçado no('.ipítulo 5 por meio da construção de uma tabela e, naquele momento,li/.cmos afirmações sobre os pontos de máximo e mínimo, mesmo sem terA confirmação da validade de tais afirmações. Agora, com o uso do teste daderivada primeira, confirmaremos a validade das afirmações a respeito dosprincipais pontos encontrados casualmente naquela exposição.

Problema: O preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses econstatou-se que pode ser aproximado pela função p(t) = í3 - 6t2 + 9t + 10,onde t representa o número do mês a partir do mês í = O, que marca o iní-cio das análises. Esboce o gráfico da função para os cinco primeiros meses,\r do início das análises, indicando, se existirem, pontos de máximoou mínimo (locais e globais) para o preço do produto.

Solução: Para usarmos o teste da derivada primeira na busca de máximos oumínimos de p(t) = í3 - 6t2 + 9t + 10, devemos primeiramente encontrar p'(t):

p(t) = f3 - 6t2 + 9í + 10p'(t) = 3;3-1 - 6 • 2f2-J + 9 + 0

p'(t) = 3t2 - 12í + 9

Seguindo os passos do teste da derivada primeira:

• 1° Passo: Determinamos os pontos críticos de p(t) - resolvendo a equa-ção p'(t) = O ou encontrando os pontos onde p'(t) não existe. Como aderivada p'(t) = 3í2 - 12í + 9 existe para todo í real, os pontos críticosserão encontrados a partir de:

P'(t) = O3t2 - 12í + 9 = O

í = l ou í = 3(resolvendo por Báskara)

Logo, t = l e í = 3 são os pontos críticos - "candidatos" a máximo oumínimo.• 2" Passo: Marcamos os pontos críticos í = l e t = 3 em uma reta numéri-

ca. Nos diferentes intervalos obtidos, escolhemos pontos para teste àdireita e à esquerda de í = l e t = 3.

Pontos Críticos

VPontos para Teste da Derivada

Í237


Escolhemos para teste na derivada os pontos f = 0 , í = 2 e í = 5, pois estãoà esquerda e à direita dos pontos críticos e representam números de fácil subs-tituição e cálculo em p'(í). São inúmeras as escolhas possíveis, sendo í = 0,5,t = 2,5 e t = 4 uma delas.

Determinando o sinal da derivada em cada ponto de teste, temos:

t = 0: p'(Q) = 3 - O 2 - 1 2 - 0 + 9^ p'(0) = 9 => p'(0) > O => p(t) crescente emt=0t = 2: p'(2) = 3 • 22 - 12 • 2 + 9 ̂ p'(2) = -3 => p'(2) < O =s> p(f) decrescente emí = 2í = 5: p'(S) = 3 - 5 2 - 1 2 - 5 + 9=* p'(5) = 24 => p'(5) > O => p(/) crescenteem í = 5

Dos resultados obtidos, indicamos nos diferentes intervalos, acima dospontos de teste, setas para o crescimento (7P) ou decrescimento (Íl) de p(t)no intervalo.

Dos resultados obtidos, indicamos acima dos pontos de teste setas parao crescimento (31) ou decrescimento (») de p(í) nos diferentes intervalos.

1 3° Passo: Analisando o crescimento (7P) ou decrescimento (il) de p(t) àesquerda e à direita de cada ponto crítico, concluímos que:

-> o ponto í = l é máximo local, pois nele a função passa de crescentepara decrescente à medida que t aumenta. Ou seja, caminhando na retanumérica, da esquerda para a direita, temos a derivada mudando depositiva para negativa. (71 il)

-> o ponto í = 3 é mínimo local, pois nele a função passa de decrescentepara crescente à medida que t aumenta. Ou seja, caminhando na retanumérica, da esquerda para a direita, temos a derivada mudando denegativa para. positiva, (il 71)Para esboçarmos o gráfico de p(t), conforme solicitado, vamos determi-nar ainda o valor de mínimo local e o valor de máximo local, bem comoos valores de p(t) para os extremos do intervalo.

^ O valor de máximo local é encontrado substituindo o ponto de máxi-mo local na função original, ou seja, f = l em p(t):

p ( l ) = 13-6 • l2 + 9 - l + 10= 14

este é o maior preço do produto para o tempo nas vizinhanças do mês í = l .

238

Capitulo 8 - Aplicações das Derivadas no Estudo das Funções

•* O valor de mínimo local é encontrado substituindo o ponto de n u mmo local na função original, ou seja, t = 3 em p(t):

p(3) = 33-6 • 32 + 9 • 3 + 10p(3) = 10

este é o menor preço do produto para o tempo nas vizinhanças do mês t = 3.-> O valor do preço no extremo esquerdo do intervalo é encontradosubstituindo o mês que marca o início das análises na função original, ouseja, t = O em p (t):

p(0) = 0 3 -6 -0 2 + 9 - 0 + 10p(0) = 10

este é o preço do produto no início das análises, ou seja, para o mês t = 0.

•» O valor do preço no extremo direito do intervalo é encontrado subs-tituindo o mês que marca o final do período de interesse na função ori-ginal, ou seja, t = 5 em p(t):

p(5) = 5 3 - 6 - 5 2 + 9 - 5 + 10p(5) = 30

este é o preço do produto no final do período de interesse, ou seja, para omês í = 5.

A partir das informações reunidas, esboçamos o gráfico do preço:

Figura 8.11 Preço p(t) = t3 - 6t2 + 9t + 10 de um produtono decorrer dos meses t.

O l 5 /

239

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capitulo 8 - Aplicações das Derivadas no Estudo das Funções

Vale notar que, para o intervalo O ̂ ts 5,o ponto í = 5 é ponto de máxi-mo global, pois o preço não ultrapassa o valor p(5) = 30; o ponto í = O émínimo global, pois p(0) = 10 é o menor preço do produto para esse inter-valo. Notamos ainda que í = 3, além de ser mínimo local, também é míni-mo global, já que p(3) = 10.

Nesse problema, observamos que os preços são crescentes no intervalodo mês t = O ao mês t = l, bem como do mês t = 3 ao mês t = 5 (p'(t) > 0).De modo análogo, observamos que os preços são decrescentes no interva-lo do mês t = l ao mês t = 3 (p'(t) < 0). É interessante notar que nesse últi-mo intervalo temos um momento em que a concavidade do gráfico muda.Entre o mês í = l e o mês í = 3, a concavidade que estava voltada parabaixo passa a estar voltada para cima. O ponto em que a mudança de con-cavidade ocorre é importante geométrica, numérica e algebricamente e estáassociado à derivada segunda, como discutiremos a partir daqui.

• Derivada Segunda e Concavidadede um Gráfico

Lembramos que, dada uma função f(x), após obtermos a função derivadaf ' ( x ) , podemos obter a derivada segunda de f(x) simplesmente derivando aderivada f ' ( x ) ou, em outras palavras, a derivada segunda de f(x) é a deri-vada da derivada de f(x). A derivada segunda de f(x) é simbolizada porf " ( x ) .

Exemplificando, se f(x) = x5, sua derivada segunda é f " ( x ) = 20*3, pois

• f(x) = x5^ f (x) = 5xs~l => f (x) = 5x4

• f (x) = Sx4 => f "(x) = S • (4*4-1) ̂ f "(X) = 2Qx3

Derivada Segunda e Comportamentoda Derivada Primeira

Lembrando a propriedade que relaciona uma função e sua derivada:

• Se f (x) > O em um intervalo, então f(x) é crescente nesse intervalo.• Se f'(x) < O em um intervalo, então f(x) é decrescente nesse intervalo.

Como a derivada segunda é a derivada da função derivada, ou seja,f "(x) é a derivada de f (x), podemos reescrever a propriedade acima rela-cionando a derivada segunda e o crescimento ou decrescimento da deriva-da primeira.

• Sr f "(x) > O em um intervalo, então f (x) é crescente nesse intervalo.• Sc f "(x) < O em um intervalo, então f (x) é decrescente nesse intervalo.

A partir da primeira linha dessa propriedade, se procurarmos uma fun-(,,!<) f(x) que graficamente apresente f (x) crescente, podemos estabeleceruma conexão gráfica entre a derivada segunda (f (x)) e a função f(x) ini-• u l . l'rocurar uma função f (x) que graficamente apresente f ' ( x ) crescente^Kiiifica procurar uma curva com retas tangentes cujas inclinações aumen-1,1111 à medida que x aumenta.

Exemplos de tais curvas são esboçados na Figura 8.12.

Figura 8.12 Retas tangentes com inclinações aumentandoà medida que x aumenta.

A partir da segunda linha da propriedade anterior, se procurarmos umalimção f(x) que graficamente apresente f (x) decrescente, podemos estabe-lecer uma conexão gráfica entre a derivada segunda (f (x)) e a função f(x)inicial . Procurar uma função f(x) que graficamente apresente f ' ( x ) decres-i i-nte significa procurar uma curva com retas tangentes cujas inclinaçõesdiminuam à medida que x aumenta.

Exemplos de tais curvas são esboçados na Figura 8.13.

Figura 8.13 Retas tangentes com inclinações diminuindoà medida que x aumenta.

Para fazer os três esboços da Figura 8.12, partimos do fato de que/"(.v) > O e notamos que, nos três casos, a concavidade de f(x) está volta-. l . i fiara cima. Para fazer os três esboços da Figura 8.13, partimos do fatoi l c i|ue f "(x) < O e notamos que, nos três casos, a concavidade de f(x) estávo l t ada para baixo.

240 241

Matemática Aplicada à Administração, Economia e ContabilidadeCapitulo 8 - Aplicações das Derivadas no Estudo das Funçôei

Em resumo:

Se f"(x) > O em um intervalo, então f(x) tem concavidade voltada paracima nesse intervalo. USe f"(x) < O em um intervalo, então f(x) tem concavidade voltada parabaixo nesse intervalo, n

Derivada Segunda e Taxas deCrescimento/Decrescimento

Lembre que, "se f " ( x ) > O em um intervalo, então f ' ( x ) é crescente nesseintervalo e, de modo análogo, se f " ( x ) < O em um intervalo, então f ' ( x ) édecrescente nesse intervalo". Como f (x) representa a taxa de variação def(x), então reescrevemos a afirmação anterior do seguinte modo:

* Se f "(x) > O em um intervalo, então a taxa de variação de f(x) é crescentenesse intervalo

* Se f"(x) < O em um intervalo, então a taxa de variação de f(x) é decres-cente nesse intervalo

Em termos práticos, se associamos o sinal da derivada primeira com osinal da derivada segunda, podemos determinar o comportamento das dife-rentes taxas de crescimento (ou decrescimento) de uma função. Em outraspalavras, f ' ( x ) determina "se" f(x) cresce ou decresce, enquanto f " ( x ) de-termina "conto" f(x) cresce ou decresce.

Fazendo as combinações dos sinais das derivadas primeira e segunda,obtemos o comportamento da função f(x).

* Se f (x) > O e f (x) > O, então f(x) é crescente a taxas crescentes

* Se f (x) > O e f (x) < O, então f(x) é crescente a taxas decrescentes /^~

* Se f (x) < O e f " ( x ) > O, então f(x) é decrescente a taxas crescentes \ Se f (x) < O e f(x) < O, então f(x) é decrescente a taxas decrescentes ~~\ O número P de aparelhos eletrônicos montados por um grupo de

funcionários depende do número q de horas trabalhadas, e foi estabelecida3

a função dessa produção como P = 1.000 g4 , onde P é medida em unida-

des montadas, aproximadamente, por dia. Analisar o crescimento/decresci-mento e as respectivas taxas para tal produção.

242

\tilncao: Determinando primeiramente as derivadas primeira e segunda d,iprodução:

r i.ooo-<?4=>p'=i.ooo

~4=>P"=750- l -í-1

=>P'= 1.000

=>P"=750-

, 3_41*4 4

l 4

=>P'=750<? 4

»P"=-187,5g

_ -irinos, então, P'= 750q 4 e P"= -187,5q 4 . Considerando o domínio

,/ • O (número positivo de horas trabalhadas), temos que q > 0 e q r 4 > 0 , o

i|iii' resulta em

_1 -lP'= 750q 4 > O e P"= -187,5q 4 < O

Na tabela, confirmamos os sinais das derivadas P' > O e P" < 0:

"chute"-»

/" = 750cH«

P" = -187,5q-5"

1 10 10.000

750,000 421,756 75,000

-187,500 -10,544 -0,002

Sinal

P > O

P" < O

Assim, considerando apenas q > O (número positivo de horas), temos/'' > O e P" < O, o que permite concluir:

• P' > O, então a função P é crescente. (71)• P" < O, então a função P tem concavidade para baixo i• /'' > O e P" < O denotam que a produção P ê crescente a taxas decrescentes.

Tal exemplo também é discutido no( . ipítulo 5, onde o crescimento a taxasdecrescentes para a produção é verificadonumérica e graficamente. Um esboço dalonna gráfica da produção é notado aolado.

243


Teste da Derivada Segunda

A derivada segunda também pode ser utilizada para verificar se um pontocrítico obtido a partir de f '(x) = O é ponto de máximo ou mínimo local.

A ideia básica consiste em notar que, graficamente, um ponto ondef (x) = O e que tem nele a concavidade voltada para baixo é um ponto demáximo local (ver Figura 8.14a). De modo análogo, um ponto onde f (x) = Oe que tem nele a concavidade voltada para cima é um ponto de mínimolocal (ver Figura 8.14b).

Figura 8.14a c máximo(f'(c) = O e f"(c) < 0).

Figura 8.14b c mínimo(í'(c) = O e f "(c) > 0).

Para detectar pontos de máximo ou mínimo local com auxílio da deri-vada segunda, utilizamos os passos do teste da derivada segunda:

* P Passo: Determine os pontos críticos x = c do tipo f (c) = O resolvendoa equação f (x) = 0.

• 2" Passo: Marque os pontos críticos em uma reta numérica e:^ Calculando a derivada segunda em um ponto crítico, se f(c)" < O, indi-ca que f(x) tem concavidade para baixo em x - c, que assim é ponto demáximo local.

-» Calculando a derivada segunda em um ponto crítico, se f(c)" > O, indi-ca que f(x) tem concavidade para cima em x - c, que assim é ponto demínimo local.

~t Se não existir a derivada segunda em um ponto crítico, ou se calculan-do a derivada segunda em um ponto crítico se obtiver f (c) = O, nãopodemos concluir se o ponto é de máximo, mínimo local ou se existe ummáximo ou mínimo local nesse ponto crítico.

Nessa última observação do teste da derivada segunda, se não podemostirar uma conclusão a respeito do ponto crítico, convém utilizar o teste daderivada primeira.

Capítulo 8 - Aplicações das Derivadas no Estudo das Funçõej

Ponto de Inflexão

Nd primeiro problema resolvido neste capítulo, onde o preço para um pro-i l u i i i i; dado porp(í) = í3 - 6t2 + 9t + 10, o gráfico esboçado na Figura 8.11i u n .1 mudança de concavidade em um ponto no intervalo do mês í = l aon u . / = 3. Esse ponto é chamado ponto de inflexão. No Tópico Especialdi .ir capítulo, serão exploradas propriedades e aplicações práticas doI H H I I O de inflexão. A seguir, temos a definição e o modo como obter oI M I I I K » de inflexão.

• 1'imto de inflexão é aquele onde há mudança de concavidade no gráficoi Ir uma função.

Supondo que um ponto x = c é ponto de inflexão de f(x), sabemos quei . oncavidade muda em tal ponto, ou seja, quando passamos pelo ponto,

c ' '.mal da derivada segunda muda de negativo para positivo (f"(x) < O para/ " ( v ) > 0) ou de positivo para negativo (f (x) > O para f"(x) < 0), o que.MI'.iTC que, no ponto, a derivada segunda vale zero ou não existe no ponto

' K inflexão (f (c) = 0) ou f (c) não existe). A Figura 8.15 traz exemplosc n u l i - .v = c representa pontos de inflexão.

Figura 8.15 Mudança de concavidade indicandoponto de inflexão em x = c.

r»ot/ f"(c)não

Como Encontrar um Ponto de Inflexão

( c i m o observamos anteriormente:

• / m um ponto de inflexão, além de ocorrer mudança de concavidade, ailt'in'cida segunda vale zero ou não existe.

l Isamos tal propriedade para encontrar um ponto de inflexão e, nessaC .1, estruturamos os passos:

244 245


• l" Passo: Determine os pontos que são "candidatos" a inflexão de f(x),resolvendo a equação f "(x) = O ou encontrando os pontos onde f" (x) nãoexiste.

• 2" Passo: Marque tais pontos em uma reta numérica. Nos diferentesintervalos obtidos, escolha pontos para teste à esquerda e à direita decada ponto. Calcule a derivada segunda nos diferentes pontos de teste,determinando seu sinal (f" > 0) ou (f < 0). Nos pontos de teste ondef "(x) > O, a concavidade de f(x) é voltada para cima (^ ) e, nos pontos deteste onde f " ( x ) < O, a concavidade de f(x) é voltada para baixo (J*).

• 3° Passo: Concluímos que o ponto é de inflexão se houver mudança dasconcavidades analisadas à esquerda e à direita do ponto. (t"b ou 4^^ )

Exploraremos, no problema seguinte, algumas das propriedades relativasà derivada segunda. Note que se trata do primeiro problema deste capítulo,cuja função teve o gráfico esboçado com auxílio exclusivo da derivadaprimeira. Na solução que propomos agora, serão discutidos aspectoscomplementares e será determinado o ponto de inflexão de tal gráfico.

Problema: O preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses econstatou-se que pode ser aproximado pela função p(t) = t3 - 6t2 + 9t + 10,onde t representa o número do mês a partir do mês t = O, que marca o iní-cio das análises. Esboce o gráfico da função para os cinco primeiros mesesa partir do início das análises, indicando, se existirem, pontos de máximoou mínimo (locais e globais), além de pontos de inflexão para o preço doproduto.

Solução: Para localizar pontos de inflexão, além de usar o teste da deriva-da segunda na busca de máximos ou mínimos de p (t) = t3 - 6t2 + 9t + 10,devemos primeiramente encontrar p' (t) e p" (t):

p(t) = í3 - 6í2 + 9t + 10p' (t) = 3t3~l - 6 • 2f2-i + 9 + 0

p' (t) = 3t2 - I2t + 9p" (t) = 3 • 2;2-1 -12 + 0

Seguindo os passos do teste da derivada segunda:

246


• í" Passo: Determinamos os pontos críticos de p (t) resolvendo a/>'( / ) = O*. Como a derivada p'(t) = 3f2 - 12í + 9 existe para todo í real,os pontos críticos serão encontrados a partir de:

p'(t) = O3í2 - 12f + 9 = O (resolvendo por Báskara)

t = l ou t = 3Logo, t = l e í = 3 são os pontos críticos — "candidatos" a máximo ou

mínimo.• 2" Passo: Marcamos os pontos críticos em uma reta numérica e calcula-

mos a derivada segunda em cada ponto crítico determinando a concavi-dade de p(t):

i I : p"(l) = 6 - 1 - 1 2 =>p"(l) = -6 =>p"( l ) < O =>p(í) é côncava paral>,ii\i> em t = lt = 3: p"(3) = 6 • 3 - 12 => p"(3) = 6 => p"(3) > O => p(t) é côncava para

i cm t = 3

l 3

De acordo com cada concavidade, concluímos que-» o ponto í = l é máximo local, pois nele a função tem concavidadepara baixo.

-> o ponto t = 3 é mínimo local, pois nele a função tem concavidadepara cima.

Para determinar pontos de inflexão, seguimos os passos indicados naleoria:

• í" Passo: Determinamos os pontos que são "candidatos" a inflexão del>(t) resolvendo a equação p"(í) = O ou encontrando os pontos onde p"(í)não existe:

6í-12 = 0f = 2

Logo, t = 2 é o ponto "candidato" a ponto de inflexão.

' Nesse teste, interessa-nos apenas pontos do tipo p'(t) = 0. Caso existam pontos críti-I I P S onde ;>'(í) não existe, ou pontos onde o teste da derivada segunda não é comlus i\ < > , devemos usar o teste da derivada primeira.

247


1 2- Passo: Marcamos í = 2 em uma reta numérica e escolhemos pontospara teste à sua esquerda e à sua direita. Calculamos então a derivadasegunda em cada ponto de teste. Nesse caso, convém escolher para testeos pontos í = l e í = 3 j á usados no teste da derivada segunda, pois jásabemos os sinais da derivada segunda (e as respectivas concavidades)para tais pontos.

í = l => p"(l) = - 6 => p"(l) < O => p(t) é côncava para baixo em t = l (^).t = 3 => p"(3) = 6 => p"(3) > O =* p(t) é côncava para cima em í = 3 (^ ).

1 3° Passo: Concluímos que t = 2 é ponto de inflexão, pois houve mudan-ça das concavidades analisadas à sua esquerda e à sua direita (>H*).Para esboçarmos o gráfico de p(í) conforme solicitado, vamos determinarainda o valor de mínimo local, o valor de máximo local, o valor na infle-xão, bem como os valores de p(t) para os extremos do intervalo.

•* O valor de máximo local é encontrado substituindo o ponto de máxi-mo local na função original, ou seja, t = l em p(t):

p( l ) = l3 -6 • l2 + 9 • l + 10= 14

este é o maior preço do, produto para o tempo nas vizinhanças do mês í = 1.

•> O valor de mínimo local é encontrado substituindo o ponto de míni-mo local na função original, ou seja, t = 3 em p(t):

p(3) = 33-6 -32 + 9 - 3 + 10P(3) = 10

este é o menor preço do produto para o tempo nas vizinhanças do mês t = 3.

-> O valor na inflexão é encontrado substituindo o ponto de inflexão nafunção original, ou seja, t = 2 em p(t):

p(2) = 2^ - 6 • 22 + 9 • 2 + 10p(2) = 12

-* O valor do preço no extremo esquerdo do intervalo é encontrado subs-tituindo o mês que marca o início das análises na função original, ou seja,t = O, emp(í):

248

Capítulo 8 - Aplicações das Derivadas no Estudo das Funçõe»

p(0) = O3 - 6 • O2 + 9 • O + 10 =:> p(0) = 10

este é o preço do produto no início das análises, ou seja, para o mês í = 0.

^ O valor do preço no extremo direito do intervalo é encontrado subs-tituindo o mês que marca o final do período de interesse na função ori-ginal, ou seja, í = 5, em p(í):

p(5) = 53 - 6 • 52 + 9 • 5 + 10 => p(5) = 30

este é o preço do produto no final do período de interesse, ou seja, para omês í = 5.

A partir das informações reunidas, esboçamos o gráfico do preço:

Figura 8.16 Preço pft) = t3 - 6t2 + 9í + 10 de um produto nodecorrer dos meses t.

P

30

Vale notar que, para o intervalo O s í s 5, o ponto t = 5 é ponto de máxi-mo global, o ponto í = O é mínimo global e í = 3 é mínimo local e global.

Nesse problema, observamos para os diferentes intervalos que os preçossão:

-» crescentes a taxas decrescentes do mês t = O ao mês í = l, pois /^p' > O e p" < O (p cresce com concavidade para baixo).

-» decrescentes a taxas decrescentes do mês í = l ao mês t = 2, pois —..p' < O e p" < O (p decresce com concavidade para baixo).

249


•* decrescentes a taxas crescentes do mês t = 2 ao mês t = 3, pois p' < Oe p" > O (p decresce com concavidade para cima).

•* crescentes a taxas crescentes do mês í = 3 ao mês t = 5, pois p' > O ep" > O (p cresce com concavidade para cima).

Observações Gerais

Observação 1: Vale ressaltar que "nem íoáo ponto onde a derivada primei-ra é zero é ponto de máximo ou mínimo local" (ver Figura 8.8c). No testeda derivada primeira, podemos encontrar pontos críticos da forma f'(c) = O,tais que, no estudo numérico dos sinais da derivada primeira à esquerda eà direita x = c, temos a função permanecendo crescente ou decrescente. Ouseja, caminhando na reta numérica, temos a derivada com o mesmo sinal,positiva ou negativa, antes e após x - c (7171 ou ilili. Nesses casos, temosum ponto de inflexão em x = c.

Na Figura 8.17, temos o esboço do gráfico de f(x) - x3 + l, sendo críti-co o ponto x = 0. Notamos que a derivada f'(x) = 3x2 va]e Zero em x = O,é positiva à esquerda e à direita de x = O, indicando jjue f(x) é crescenteantes e após x = O ao caminharmos na reta numérica (7P7I). Nesse exem-plo, x - O não representa ponto de máximo nem de mínimo, e sim pontode inflexão.

Testando a derivada f (x) = 3x2 em:

•x = -!:/•'(-!) = 3 -(-1)2 = 3f ' ( - í ) > O => f (x) é crescente em x = -í

• x = 0: /'(O) = 3 • O2 = O (ponto crítico)• x = l : f ( l ) = 3 - 1 2 = 3

/"'(l) > O => /j[jt) é crescente em % = l

Figura 8.17 Gráfico de f(x) = x3 + 1.

-i

250


< >l>servação 2: Vale ressaltar que "nem todo ponto onde a derivada segun-ild c zero é ponto de inflexão". Procurando pontos de inflexão, partimosi Ir pontos x = c tais que f "(c) = O, e tais pontos são de inflexão somente seneles houver mudança de concavidade. (1* ̂ ou ̂ ^ )

Na Figura 8.18, temos o esboço do gráfico de f(x) = x4, sendo candida-In ,1 inflexão o ponto x = O, pois a derivada segunda f"(x) = \2x^ vale zerocm x = O e é positiva à esquerda e à direita de x = O, indicando que f(x) temi nncavidade voltada para cima antes e após x = O ao caminharmos na retanumérica (^ ̂ ). Nesse exemplo, x = Q não representa ponto de inflexão.

Testando a derivada em:

• . K = -!:/'"(-!) = 12 - ( - l ) 2 = 12/'"(-l) > O => f(x) é côncava para cima (t1)

• v = 0: f "(Q) = 12 • O2 = O "possível" inflexão•* = 1:^"(1) = 12- 12 = 12

f " ( 1 ) > O => f(x) é côncava para cima (^ )

Figura 8.18 Gráfico de f (x) = x4.

n

• Exercícios1. O gráfico traz o valor em reais (R$) da moeda norte-americana no

decorrer dos dias t.

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capitulo 8 - Aplicações das Derivadas no Estudo das Funções

A partir dos valores do dólar observados no gráfico, responda:a) Quais os pontos de máximo/mínimo local e global (se existirem)?

Justifique cada resposta.b) Quais os intervalos de crescimento do valor do dólar? Indique o

sinal da derivada primeira nesses intervalos.c) Quais os intervalos de decrescimento do valor do dólar? Indique o

sinal da derivada primeira nesses intervalos.d) Supondo que t = 7, t = 13 e t = 20 são pontos de inflexão, deter-

mine os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e ondeé voltada para baixo, indicando o sinal da derivada segunda nes-ses intervalos.

e) Associando os resultados dos itens anteriores, estabeleça os interva-los de crescimento/decrescimento com as diferentes taxas de cresci-mento/decrescimento indicando o sinal das derivadas primeira esegunda para cada intervalo.

Em cada exercício a seguir, é dada uma função cujo domínio é o conjun-to dos números reais. Para cada um deles, esboce o gráfico utilizando ape-nas o teste da derivada primeira e indicando: pontos de máximo e mínimo(local e/ou global), se existirem, bem como os valores da função nesses pon-tos; ponto onde a curva cruza o eixo y; intervalos de crescimento/decresci-mento da função, bem como o sinal da derivada primeira nesses intervalos.

2. f(x) = x3- 9x2 + 15x + 503. f(x) = -x3+ 3x2 + 24x + 1004. f(x) = x2-6x + 20

5. f(x) = x4 -18*2+ 1006. f(x) = IO*5

Em cada exercício a seguir, é dada uma função cujo domínio é o con-junto dos números reais. Para cada um deles, esboce o gráfico utilizando oteste da derivada segunda e indicando: pontos de máximo e mínimo (locale/ou global) e inflexão, se existirem, bem como os valores da função nessespontos; ponto onde a curva cruza o eixo y; intervalos de crescimen-to/decrescimento e as taxas de crescimento/decrescimento da função, bemcomo o sinal da derivada primeira e segunda nesses intervalos.

7. f(x) =x3- 12x2 + 36x + 108. f(x)=-x3 + ISx2

9. f(x)=-x2 + 10x + 24

10. f(x) = 2x4 - 8*3 + 100

Em cada exercício a seguir, é dada uma função associada a uma situa-ção prática. Para cada um deles, realize os itens:

a) Esboce o gráfico utilizando o teste da derivada primeira e indican-do: os pontos de máximo ou mínimo local e/ou global, se existirem;os valores de máximo ou mínimo local e/ou global, se existirem,interpretando seus significados práticos; os pontos extremos dosintervalos onde as funções são definidas.

b) Verifique quais os intervalos de crescimento/decrescimento da fun-ção, indicando o sinal da derivada primeira nesses intervalos.

11. L(x) = x3 - 30x2 + 300x - 400 (Lucro L para quantidade x vendida;

12. P(t) = -í3 + 12í2 (Produção P de um operário no decorrer das t horas;O s is 12)

13. N(t) = t2 - 20í + 150 (Unidades N vendidas no decorrer dos t dias;O s í s S O )

14. L(q) = —q^ + 8q2 — 7 (Lucro L para quantidade q vendida; O ̂ q s 5)

15. P(q] = 9.000g3 (Produção P para a quantidade q de insumo; q a 0)

Em cada exercício a seguir, é dada uma função associada a uma situa-ção prática. Para cada um deles, realize os itens:

a) Esboce o gráfico utilizando o teste da derivada segunda e indican-do: os pontos de máximo ou mínimo local e/ou global, se existirem;os valores de máximo ou mínimo local e/ou global, se existirem,interpretando seus significados práticos; os pontos extremos dosintervalos onde as funções são definidas.

b) Verifique quais os intervalos de crescimento/decrescimento da fun-ção, indicando o sinal da derivada primeira nesses intervalos.

c) Encontre, se existir(em), ponto(s) de inflexão e verifique os interva-los onde a concavidade é voltada para cima e onde é voltada parabaixo, indicando o sinal da derivada segunda nesses intervalos.

d) Associando os resultados dos itens anteriores, estabeleça os inter-valos de crescimento/decrescimento com as diferentes taxas de cres-cimento/decrescimento, indicando o sinal das derivadas primeira esegunda para cada intervalo.

253


17.

18.

16. q(t) = í3 - 18í2 + 60í + 300 (Demanda q no decorrer dos meses í;O s í s 18)

= -g3 + 30q2 (Receita R para quantidade q vendida; O s q ^ 30)

= -q2 + 20q - 84 (Lucro L para quantidade q vendida; O s q s 15)

19. V(í) s i 4 - 20í3 + lOOf2 + 50 (Vendas V no decorrer dos meses í;O s í s 12)

20. Aí(x) = 5.000 • 1,03* (Montante M no decorrer dos meses x; x a 0)

W TÓPICO ESPECIAL - Ponto de Inflexão eseu Significado Prático

Veremos a seguir o significado prático do ponto de inflexão e como tal sig-nificado pode ser explorado em problemas das áreas económica e adminis-trativa.

Convém lembrar que, para uma função:

• Em um ponto de inflexão, além de ocorrer mudança de concavidade, aderivada segunda vale zero ou não existe.

Ao analisar as inclinações das retas tangentes à curva que representauma função, notamos que, no ponto de inflexão, a inclinação da reta é amaior ou menor possível, quando comparada com inclinações próximas aoponto de inflexão, conforme notamos na Figura 8.19.

Figura 8.19 Ponto de inflexão: onde ocorre a maior/menorinclinação da reta tangente.

menosnclinada

Como a inclinação da reta tangente à curva é a representação gráfica daderivada, no ponto de inflexão, onde a inclinação é maior ou menor, dize-mos que:

254

Capitulo 8 - Aplicações das Derivadas no Estudo das Funções

• / l,i o maior valor da derivada primeira ou o maior valor da taxa devariação.

• l lii o menor valor da derivada primeira ou o menor valor da taxa devariação.

Assim, no ponto de inflexão, há o maior (ou menor) valor da taxa dev.mação ou, em outras palavras, há a maior (ou menor) "velocidade" de• irscimento/decrescimento de uma função. A seguir, temos exemplos de. n ino tal informação pode ser útil:•+ Se P(x) representa a produção para uma quantidade x de insumo e, assu-

mindo que a produção é crescente, o ponto de inflexão de P(x) dá a quan-tidade de insumo em que a produtividade (ou rendimento ou ainda a taxade variação da produção) é máxima (ou mínima). (Ver Figura 8.20.)

-t Seja V(x) o valor de uma "ação" negociada na bolsa de valores no decor-rer dos dias x. Se os valores estiverem crescendo, o ponto de inflexãorepresenta o momento em que os valores estão crescendo mais rapida-mente (ou mais lentamente). Logo, na compra seguida da venda de umaação em um curto intervalo de tempo, o ponto de inflexão representa omomento de maior (ou menor) rentabilidade. (Veja a Figura 8.20.)

^ Seja R(x) a receita obtida a partir da aplicação de uma quantia x em pro-paganda. Assumindo que a receita é crescente, o ponto de inflexãorepresenta o nível de aplicação em propaganda que proporciona o "maisrápido" (ou "mais lento") crescimento da receita. (Ver Figura 8.20.)

Figura 8.20 Inflexão em uma função crescente: maior ou menorcrescimento da função.

maiorcrescimento

menorcrescimento

• Problemas

1. Em uma plantação, analisou-se a produção P de grãos em relação àquantidade x de fertilizante utilizada. Sendo a produção medida em

255


toneladas e o fertilizante medido em g/m2, estabeleceu-se queP(x) = -2x3 + 60x2 + 10.000.a) Esboce o gráfico de P(x) indicando o ponto de inflexão, bem como

os pontos de máximo/mínimo, se existirem.b) Analisando o traçado gráfico de P(x), determine qual o significado

do ponto de inflexão.c) Qual a taxa de variação de P(x) no ponto de inflexão? Compare-a

com as taxas de variação para as quantidades de fertilizante umaunidade inferior e uma unidade superior à do ponto de inflexão.

2. O custo C (em milhares de R$) para a produção x (em milhares deunidades) de um produto é dado por C(x) = x3 - I2x2 + 68x + 200.

a) Esboce o gráfico de C(x) indicando o ponto de inflexão, bem comoos pontos de máximo/mínimo, se existirem.

b) Analisando o traçado gráfico de C(x), determine qual o significadodo ponto de inflexão.

c) Qual a taxa de variação de C(x) no ponto de inflexão? Compare-acom as taxas de variação para as quantidades produzidas mil uni-dades inferior e mil unidades superior à do ponto de inflexão.

3. A produção P de um funcionário é dada por P(t) = -t3 + 12í2, onde Pé dada em unidades e í é dado em horas, com O s t ^ 12.

a) Determine o ponto de inflexão para P(í).b) Analisando o crescimento/decrescimento e as concavidades de P(f)

em relação à inflexão, interprete o significado de tal ponto.

4. Para um produto, a receita R (em R$) foi associada à quantidade qinvestida em propaganda (em milhares de R$), e tal associação éexpressa por R(q) = -q^ + 150^2 + 50.000, onde O s q s 110.

a) Esboce o gráfico de R(q) indicando o ponto de inflexão, bem comoos pontos de máximo/mínimo, se existirem.

b) Analisando o traçado gráfico de R(q), determine qual o significadodo ponto de inflexão.

c) Qual a taxa de variação de R(q) no ponto de inflexão? Compare-acom as taxas de variação para as quantias aplicadas mil unidadesinferior e mil unidades superior à do ponto de inflexão.

capítulo 9

Aplicações das Derivadasnas Áreas Económica e

Administrativa

• Objetivo do CapítuloNesse capítulo, você analisará alguns dos usos mais importantes dasderivadas em economia e administração. Você estudará o significado. . oiiômico da marginalidade avaliando o custo marginal, custo médio mar-v.nul, receita marginal e lucro marginal. Outra aplicação das derivadasi nvolve o conceito de elasticidade associada ao preço e à demanda de uml>r«duto e sua relação com a receita, bem como a elasticidade associada àit-nJa e à demanda. Será também discutida a propensão marginal a con-sumir e a poupar a partir das derivadas. No Tópico Especial será discutidoo Modelo de Lote Económico, enfatizando a importância da determinaçãodo lote económico de compra de um produto.


H Funções Marginais

Nesta seção, estudaremos algumas funções marginais como, por exemplo,o custo marginal, a receita marginal, o lucro marginal e o custo médio mar-ginal. Em outra seção, mais adiante, analisaremos a propensão marginal aconsumir e a propensão marginal a poupar. Em todas as análises, seránecessário ter a clareza do significado económico da palavra marginal. Osignificado da palavra marginal pode ser estendido a outras funções, sendonatural pensar em produção marginal e produção média marginal demaneira análoga a que discutiremos no custo marginal, custo médio mar-ginal etc.

O Custo Marginal na Produção de Eletroeletrônicos

Para entender o significado económico do termo "marginal", vamos anali-sar a seguinte situação:

"Em uma indústria de eletroeletrônicos, na produção de q unidades deum certo tipo de aparelho, o custo C em reais (R$) foi estudado e pôde-seestabelecer que C = O, l q* - 18q2 + 1.500g + 10.000. Nessas condições,vamos responder e relacionar as respostas das perguntas: Qual o custoquando são produzidos 50 aparelhos') Qual o custo na produção do SPaparelhai Qual a taxa de variação do custo em relação à quantidade quan-do q = 50?"

• Para determinar o custo quando são produzidos 50 aparelhos, bastasubstituir q = 50 na função custo:

q = 50 => C(50) = 0,1 • 503 _ 18 . 502 + j 500 . 50 + 10 000 = 52 500

C(50) = 52.500

Então, para a fabricação de 50 aparelhos, o custo é de R$ 52.500,00.

• Para determinar o custo na produção do 51" aparelho, como já sabemosqual o custo para fabricar 50 aparelhos, basta calcular o custo para fabri-car 51 unidades

q = 51 => C(51) = 0,1 • 5P _ 18 . 512 + ! 500 . 51 + 10 000 = 52.947,10C(51) = 52.947,10

e calcular a diferença dos custos

C(51) - C(50) = 52.947,10 - 52.500,00 = 447,10

258

Capítulo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

Então, para a fabricação do 51a aparelho, o custo é de R$ 447,10. OuM - I . I , nesse caso, foram gastos R$ 447,10 por uma unidade.

l'a mbém podemos interpretar tal resultado de outra maneira; no níveldr produção de 50 unidades, o custo adicional para a produção de maisnina unidade é de R$ 447,10.

• l'nra determinar a taxa de variação do custo, em relação a q quando q = 50,Irmbramos que a taxa de variação no ponto q - 50 é sinónimo da deriva-da da função C no ponto q = 50, ou seja, devemos calcular C'(50).Portanto, calcularemos a função derivada do custo, C(q), e substituiremosi/ = 50 nessa função:

1.5004 + 10.000• 242-1 + 1.500 + O

1.50050 + 1.500 = 450

C(<7) = 0,lg3

C (q) = 0,1 • 3<?3-i _ 18 • 242

C (q) = 0,342 - 36g +q = 50 => C'(50) = 0,3 • 502 - 36 •

C'(50) = 450

Então, a taxa de variação do custo em q = 50 é C'(50) = 450 (R$/unidade).Lembrando que, para a fabricação do 51a aparelho, o custo encontrado

p;ira uma unidade é de R$ 447,10, notamos que tal valor "é próximo" dataxa de variação 450 (R$ / unidade) em q = 50.

Nossa intenção é mostrar que não é casual a proximidade entre os valores447,10 e 450 encontrados, ou seja, vamos mostrar a seguir o vínculo existen-te entre o custo na fabricação do 51° aparelho e a taxa de variação em q = 50.

Como obtivemos o valor R$ 447,10 fazendo C(51) - C(50), podemosreescrever essa diferença como C(50 + 1) - C(50). Se dividirmos essa dife-rença dos custos pela diferença das quantidades, que nesse caso é l unida-de, obtemos a taxa de variação média do custo em relação à quantidade nointervalo de 50 até 51, ou seja,

Taxa de variaçãomédia de C(q) para o =

intervalo de 50 até 5 0 + 1

C(51)-C(50) C(50+1)-C(51)l l

447,10

= (R$/unidade)

c nessa divisão, se representamos a variação de l unidade em q comoh = l, obtemos a taxa de variação média* para a função C(q) no intervaloilc 50 até 50 + h:

" Sugerimos que o leitor releia as definições de taxa de variação média, taxa de varia-i,,n> instantânea, derivada de uma função em um ponto e função derivada, expostas no( ' . ipí tulo 6.

259


Taxa de variação média de C(q) _ C(50 + h) - C(50)para o intervalo de 50 até 50 + h fo

Como a derivada da função Custo no ponto q = 50 é obtida ao calcu-i , . . , , . C(50+ h) - C(50) ,lar o limite da divisão para b -* O, temos

C(50-

h= 450 (R$/unidade)

então, percebemos que o valor de 447,10 (RJ / unidade) é uma aproxima-ção de tal limite em que se considerou apenas h = 1.*

Naturalmente, na situação prática que estamos discutindo, se conside-rarmos outros níveis de produção, obtemos outros valores de custos, deacréscimos de custo para acréscimos de l unidade produzida e, conseqúen-temente, de taxas de variação média e de derivada.

Em nosso exemplo, o acréscimo de custo para o acréscimo de l unida-de produzida, C(51) - C(50) = 447,10, é conhecido como custo marginal.Assim, R$ 447,10 é o custo marginal para produção quando esta é de 50eletroeletrônicos, ou seja, para o exemplo, o custo marginal representa ocusto adicional para a produção de mais l unidade quando já se produzi-ram 50 eletroeletrônicos.

Percebemos pelos cálculos que tal valor pode ser aproximado pelo cál-culo da derivada do custo, C'(q), no ponto q = 50, ou seja, C'(50). Comotal aproximação é bastante razoável e como o significado da derivada docusto em um ponto está intimamente ligado ao cálculo do custo marginal,além é claro, da rapidez e praticidade de calcular o custo marginal a partirda derivada do custo, os economistas costumam também considerar oCusto Marginal, em um nível de produção dado, como a derivada da fun-ção Custo em um ponto dado.

Assim, embora o cálculo da derivada do custo em q = 50 represente uma"aproximação do valor real" do acréscimo do custo para produzir a 51'unidade, consideraremos tal aproximação como o custo marginal na pro-

* Relembrando o significado gráíico de tais valores, temos que a taxa de variação médiado custo para o acréscimo de l unidade na quantidade produzida (447,10 (R$ / unida-de) em q = 50 representa a inclinação da reta secante à curva do custo pelos pontos (50;52.500) e (51; 52.947,10); enquanto a derivada C'(50) = 450 (R$ / unidade) represen-ta a inclinação da reta tangente ã curva do custo no ponto (50; 52.500).

260


ao nível q = 50. Em outras palavras, calcular o custo marginal noi n v i - l de produção q = 50 é equivalente a calcular C'(50):

Custo Marginal em q = 50 = C'(50)

(.onsiderando ainda a função Custo C = 0,1^ - \%q2 + \.500q + 10.000r sim derivada C"(q) = 0,3q2 - 36q + 1.500, montamos a Tabela 9.1, quen.i / para diferentes níveis de produção diferentes valores para o custo mar-r .n i . i l (calculados pela diferença C(a + 1) - C(a) e pela derivada C'(«) noi n \ i - l de produção q = a).

Tabela 9.1 Custo marginal calculado ora porC(a + 1)-C(a)eora por C (a)

QuantidadeProduzida

q = a

50

51

65

66

150

151

Custo CustoC(a) Marginal

52.500,00

52.947,00 447,10

58.912,50

59.341,60 429,10

167.500,00

170.377,10 2.877,10

CustoMarginal

) (C(a))

450,00

(***)

427,50

(***)

2.850,00

(***)

( • * * ) Observação: Embora seja simples a obtenção de C(51), C(66) e C(101), omiti-

nii is tais valores por questões didáticas.

IVla tabela, para o nível de produção q = 65 eletroeletrônicos, temos oi usio marginal C1 (65) = 427,50, que é uma boa aproximação para o custoir.il (429,10) na produção do 66° eletroeletrônico.

Função Custo Marginal e Outras Funções Marginaist c mio notamos, para cada nível de produção temos um custo marginal, oi |nc motiva a determinação da função Custo Marginal. Assim, em análises

261


económicas e administrativas, definimos a função Custo Marginal, simbo-lizada por Cmg, como a derivada da função Custo:

Cmg = Função Custo Marginal = C'(q)

Por exemplo, se o custo é dado por C = 0,l<j3 - Í8q2 + l.SOOq + 10.000,então a função Custo Marginal será Cmg = C'(q) = 0,3q2 — 36q + 1.500.

Em diversas análises, economistas e administradores têm o interesse emlidar com o custo marginal, pois é interessante saber como variam os cus-tos em determinados níveis de produção na medida em que ocorrem varia-ções nas quantidades produzidas ou, em outras palavras, além de conheceros custos envolvidos em um nível de produção, também é importante sabera que taxa tal custo está variando nesse nível de produção.

Analisar a variação de uma grandeza (por exemplo: o custo) em relaçãoao acréscimo de uma unidade na outra grandeza à qual está vinculada (porexemplo: a quantidade produzida) é útil no ramo económico/administrati-vo para tomada de decisões. Assim, é útil e comum estender para outrassituações práticas e análises os raciocínios desenvolvidos que nos levarama conceituar o Custo Marginal. Dessa forma, temos:

• A Receita Marginal nos dá a variação da receita correspondente aoaumento de uma unidade na venda de um produto. A função ReceitaMarginal é obtida pela derivada da Função Receita. Se a função Recei-ta é simbolizada por R(q), então:

Rmg = Função Receita Marginal = R'(q)

É comum analisar a receita vinculada ao custo, associando custo e recei-ta para uma mesma quantidade produzida/vendida. Sob esse aspecto,podemos calcular o lucro para um certo nível de produção/venda e, con-seqúentemente, estabelecer o Lucro Marginal.

• O Lucro Marginal nos dá a variação do lucro correspondente ao aumen-to de uma unidade na venda de um produto. A função Lucro Marginalé obtida pela derivada da função Lucro. Se a função lucro é simbolizadapor L(q), então:

Lmg = Função Lucro Marginal = L'(q)

262

i .i| ululo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

• ( ) t '.iisto Médio Marginal nos dá a variação do custo médio de um pro-duto* correspondente ao aumento de uma unidade na produção dele. A/unção Custo Médio Marginal é obtida pela derivada da função Custo\lfilia. Se a função custo médio é simbolizada por Cme (q), então:

Cmemg = Função Custo Médio Marginal = Cme (q)

• A Produção Marginal nos dá a variação da produção correspondente ao.iimiento de uma unidade na quantidade do insumo utilizado na produ-^'il<>**. A função Produção Marginal é obtida pela derivada da funçãorniilnção. Se a função produção é simbolizada por P (q), então:

Pmg = Função Produção Marginal = P' (q)

l >c maneira análoga, definem-se e estudam-se outras funções marginais,•nulo mais adiante discutidas também as funções Propensão Marginal ai i nisiimir e Propensão Marginal a Poupar. Como pudemos observar, nesses...... cxtos, o significado da palavra "marginal" é "a derivada de" e remete àIMiilise aproximada da variação de uma grandeza em relação ao acréscimoi /r nina unidade na outra grandeza à qual está vinculada.

A seguir, analisaremos alguns problemas e situações envolvendo algu-l i i . i s funções marginais.

Custo Marginal

1'itihli-ma: Em uma empresa de confecção têxtil, o custo, em reais, paral ' i . . , lu / . i r q calças é dado por C(q) = 0,001g3 - 0,3q2 + 45q + 5.000.,0 ( )btenha a função Custo Marginal.

íolucão: É necessário apenas derivar a função custo:

C g = C (q) = 0,001Cmg = 0,Q03q2 - 0,6q + 45

_ 0,3 • 2<72-' +45 + 0

l . nihrnmos que a função Custo Médio, Cme, é obtida dividindo-se a função Custo,

i i , / l . |«-l.i quantidade q produzida, ou seja, CmeC (q)

. Ver Exercícios 14 (Capítulo 5),

< .ipítulo 1).

t onsideramos, para simplificação das análises, um único fator de produção (oui i ip i l . i l , ou mão-de-obra, ou matéria-prima etc.) como o insumo utilizado na produção.Vrr (inpítulo 5.

263


b) Obtenha o custo marginal aos níveis 0 = 50, 0 = 100 e 0 = 200, expli-cando seus significados.

Solução: É necessário apenas substituir os valores q = 50, q = 100 e 0 = 200em Cma,

q = 50 => Cmg (50) = 0,003 • 502 - 0,6 • 50 + 45 => Cmg (50) = 22,50q = 100 => Cmg (100) = 0,003 • 1002 - 0,6 • 100 + 45 => Cmg (100) = 15,00q = 200 =* C (200) = 0,003 • 2002 - 0,6 • 200 + 45 => Cmg (200) = 45,00

Assim, R$ 22,50, R$ 15,00 e R$ 45,00 são os valores aproximados paraproduzir, respectivamente, a 51a, a 101a e a 201a calça,c) Calcule o valor real para produzir a 201* calça e compare o resultado

com o obtido no item anterior.

Solução: É necessário calcular a diferença dos custos C(201) - C(200)

C(201) = 0,001 • 2013 - 0,3 • 2012 + 45 . 201 + 5.000 = 10.045,301C(200) = 0,001 • 2003 - 0,3 • 2002 + 45 • 200 + 5.000 = 10.000,00Valor Real = Q201) - C(200) = 10.045,301 - 10.000,00 * 45,30

Notamos que o valor real, R$ 45,30, difere do valor encontrado no itemanterior, Cmg (200) = 45,00, em apenas R$ 0,30.

Receita Marginal

Vale relembrar que a receita na venda de um produto é dada por

onde p é o preço em função da quantidade demandada q. "'Lembramos que a Receita Marginal é obtida a partir da derivada da

Receita.

Problema: Em uma fábrica de pneus, o preço de um tipo de pneu é dado por

p = -0,40 + 400 (Osqs 1.000)

a) Obtenha a função Receita.

Solução: Como a receita é dada por R = p • q, temos

R(q) = (-0,40 + 400) • 0R(0) =-0,402 + 4000 ;, „ . .

264

Capítulo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativo

l ' i t tbtenha a função Receita Marginal.

S«i/iicão: É necessário apenas derivar a função Receita:

Rmg = R'(q) = -0,4 • 202-1 + 400

Rmg = -0,80 + 400

i l ( Mnenha a receita marginal aos níveis q = 400, 0 = 500 e q = 600, inter-pretando seus significados.

\nlncao: É necessário apenas substituir os valores 0 = 400, q = 500 e 0 = 600

' '" * mg-q = 400 => Rmg(400) = -0,8 • 400 + 400 => Rmg(400) = 80,00

0 = 500 => Rmg(500) = -0,8 • 500 + 400 => Rmg(500) = O0 = 600 => Rmg(600) = -0,8 • 600 + 400 => Rmg(600) = - 80,00

Assim, R$ 80,00 é o valor aproximado da receita na venda do 401" pneu.l m q = 500, obtemos receita marginal nula, ou seja, é zero o valor apro-

x i m a d o na venda do 501° pneu. Isso indica que, em 0 = 500, a receita én i . i x i m a e, para essa função, vendas em níveis superiores a 500 pneus resul-1.11,10 em receitas menores, pois o preço é decrescente de acordo com ai l rmai ida (p = -0,40 + 400). Na verdade, notamos que a receita também é. / < • < n-scente a partir de 0 = 500, pois a receita marginal é negativa em,/ (.00, Rmg (600) = -80,00. O valor -80,00 indica que, na venda do 601"pneu, haverá um decréscimo de R$ 80,00 na receita.

i l ) l sboce o gráfico da receita marginal e interprete seu crescimento oudi-crescimento e intervalos em que a receita marginal é positiva ou nega-tiva, relacionando tais resultados.

Solução: O gráfico de Rmg = -0,80 + 400 é uma reta.

• (lorta o eixo Rmg quando 0 = 0: Rmg = -0,8 • O + 400 => Rmg = 400.• l nrta o eixo 0 quando Rmg = 0: O = -0,8 • 0 + 400 =* 0 = 500.• < ' valor limite de Rmg no intervalo Q ̂ q <• 1.000 é

0 = 1.000 => R (1.000) = -0,8 • 1.000 + 400 => R (1.000) = -400

""t400, >

< O

-400

1.000 .

265


• Rmg é decrescente, ou seja, a taxa de variação da receita é decrescente.Isso indica que, à medida que as vendas crescem, ou seja, à medida queq cresce, as variações da receita diminuem.

• Rmg é positiva em O & q < 500, ou seja, a taxa de variação da receita é posi-tiva nesse intervalo. Logo, as variações da receita são positivas, indicandoreceita crescente.

' Rmg é negativa em 500 < q <. 1.000, ou seja, a taxa de variação da receita énegativa nesse intervalo. Logo, as variações da receita são negativas, indican-do receita decrescente.

D

e) Esboce o gráfico da receita.

Solução: Reunindo as informações dositens anteriores e calculando a receita nosvalores extremos e no ponto de máximo,obtemos o gráfico ao lado.

soo 1.000 1Lucro Marginal

Vale relembrar que o lucro é dado subtraindo-se da receita o valor do custo:

L = R-C

Lembramos que o Lucro Marginal é obtido a partir da derivada do Lucro.Na análise do lucro na comercialização de um produto, é interessante

avaliar a quantidade a ser comercializada para obter o lucro máximo. Nocapítulo anterior, vimos que os pontos de máximo ocorrem em pontos crí-ticos especiais e que é muito comum encontrar o ponto máximo de umafunção f(x) onde f (x) = O com f "(x) < O, ou seja, é comum encontrar pontode máximo onde a derivada primeira é nula e a derivada segunda é negati-va. De modo análogo, para a função Lucro, o lucro máximo costuma ocor-rer onde L'(q) = O e L"(q) < 0. A Figura 9.1 ilustra tal situação.

Figura 9.1 Lucro máximo com L'(q) = O e L"(q) < 0.

L' = O (reta tangentehorizontal)

L" < O (concavidadepara baixo)

266

Cnpltulo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Admlnlitr«tlv«

N. i prática, fazemos lucro marginal nulo e, para os valores encontrados,• 1 1 1 u .unos se L" < O nesses pontos.

1'itihlrma: Uma empresa de pneus tem a receita na venda de um tipo dei . . . i . dada p o r

R(q) = -0,4<?2 + 400<j (O s q * 1.000)

uniforme o problema anterior. Suponha que o custo para a produção dos| ' i i r u s c dado por

C(q) = 80^ + 28.000

1 1 i Ibtenha a função Lucro.

Sn/;if<»o: Obtemos a função Lucro fazendo

L(q) = R(q) - C(q)L(q) = -0,4q2 + 400q - (80q + 28.000)

L(q) = -0,4q2 + 320q - 28.000

l») Obtenha a função Lucro Marginal.

\<iln<;ão: É necessário apenas derivar a função Lucro:

Lmg = U (q) = -0,4 • 2,72-1 + 3 2 0 - 0Lmg = -0,8 + 320

. ) t ibtenha o lucro marginal aos níveis q = 300 e q - 600 interpretando osresultados.

Si>///(-íío: É necessário apenas substituir os valores q = 300 e q = 600 em Lmg.

q = 300 =* L (300) = -0,8 • 300 + 320 => Lmg (300) = 80,00</ = 600 => Lmg (600) = -0,8 • 600 + 320 => Lmg (600) = -160,00

Assim, R$ 80,00 é o valor aproximado do lucro na venda do 301" pneu.O valor -160,00 indica que, na venda do 601a pneu, haverá um decrés-

. mm de R$ 160,00 no lucro, pois o lucro marginal é negativo, o que indi-

. i l uc ro decrescente.

. 1 ) ( )btenha a quantidade que dá lucro máximo a partir das derivadas do

Solução: Igualamos lucro marginal a zero e verificamos se o ponto encon-Ir.ido faz com que L" < O, o que indicará ponto de máximo.

267


Lmg = L'(q) = O-0,8<7 + 320 = O

q = 400

Obtendo a derivada segunda do lucro:

U (q) = -0,8<? + 320L" (q) = -0,8

Notamos que L"(q) < O para qualquer valor de q, ou seja, L"(400) < Oou para qualquer outro q, o que indica que q = 400 é a quantidade que dálucro máximo.

Custo Médio Marginal

Lembramos que o Custo Médio, ou Custo Unitário, é dado por

r C(q)\-Jma —

Por exemplo, se para um certo produto o custo para produzir q = 20unidades é C(20) = 500 (R$), o custo médio, ou custo para produzir cadauma das 20 unidades, em média, será

C (20) 500 -cme = 20 = ~2Q (RtAinidade)

Lembramos que o Custo Médio Marginal é obtido pela derivada doCusto Médio.

Podemos obter o custo médio mínimo usando sua derivada. Basta fazertal derivada valer zero, ou seja, fazemos o custo médio marginal igual azero encontrando o ponto crítico que, nesse caso, é mínimo *.

Analisando atentamente a derivada do custo médio, temos

C(q)\e modo geral, à medida que a produção cresce, C"me(q) > 0.

.,_ u'v —u v'Para essa derivada, usamos a regra do quociente: y = — =$ v' = ^v v1

268

(.npítulo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

C.

c.

, C'(q)-q-C(q)-\

'memg ~?2

cndo o custo médio marginal valer zero, Cmemg = O, temos

Q _ C'(q).q-C(q)

í2

Tal divisão é zero somente se o numerador for zero, ou seja,

C (q) • q - C(q) = O

fllCHsa equação, isolando C'(q), temos

C ' ( q ) - q =

domo C" (q) representa o custo marginal e _ l£i representa o custo1

iiii'ilio, concluímos que:

1 i i nsto médio mínimo ocorre em um ponto em que o custo marginal éit-iiiil ao custo médio:

C -C^mg - ^me

1'roblema: Em uma fábrica de móveis, o custo ao produzir q unidades deu n i sofá é

C(q) = 5ql + 200<7 + 500

- i i i 'htenha as funções Custo Marginal Cmg, Custo Médio Cme e Custo MédioMarginal Cmemg.

ão: o custo marginal é obtido derivando a função custo:

Cmg = C(q) = 5 200 + OCmg =Wq + 200

269


O custo médio é obtido dividindo-se a função custo por q:

C ( q ) _ Sq2 +200g + 500 _ Sq2 200^ 500

Cme =54 + 200 500

O custo médio marginal é obtido derivando a função Custo Médio.

Reescrevendo Cme =5q + 200 + —~ como Cme = 5q + 200 + 500^-!

e derivando

= Cmemg =5+0 + 500- (-l)«r'-i = 5 -

=5-~ ™

b) Obtenha o custo médio mínimo.

Solução: o custo médio mínimo pode ser obtido fazendo a derivada docusto médio (custo médio marginal) valer zero e testando o valor encontra-do na derivada segunda do custo médio:

r - r -Om ^

5 =0=>5 =<?2 <72

Devemos testar q = 10 na derivada segunda do custo médio.

500Reescrevendo \Cme} = 5 - —y- como Cme\ 5 - 500q~2, temos

,n•í!íi

•ii'Kl

Cme\ O - 500 • (-2)<?-2-1 = 1.000<r3

1.000^ - 'M

270

( (ipítulo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

1A ,„ \ 1.000 1.000o = 10=» CL., = = = 1:

IO3 1.000> o

Assim, o ponto q = 10 representa o valor onde o custo médio é mínimo.1'ndcríamos ter encontrado tal valor lembrando que o custo médio mínimo• i < i>rre cm um ponto onde o custo marginal é igual ao custo médio, ou seja,

l ()q + 200 = 5q + 200 + -— => Wq - 5q + 200 - 200 = O =>1 1

\q O => 5q = => 5q2 = 500 => q2 = 100 => q = ±10 => q = 10q q

Assim, o custo médio mínimo ocorre quando são produzidos 10 sofás e será

Cme(lO) = S-10 +200 + — = 300 (R$/unidade)

i ) lísboce o gráfico do custo médio.

Sulução: Como já analisamos o comportamento das derivadas primeira e•.remida do custo médio em q = 10, concluindo que é ponto de mínimo,vi i l c ainda observar:

• Na função Cme =5q + 200 + , não podemos ter q - O e, para uma

produção positiva de sofás (q > 0), investigamos o que ocorre com Cme

sr «, — Q+:

A+ c n 50° íl ara q —* O , temos 5q —» O e > +°°, o que raz com que

500(,'/m, = Sq + 200 H > +°°, originando uma curva assíntota ao eixo

vertical.

• Sc q —* +00, analisando apenas 5C)0 ^ temos -*OC) ) Q e a curva de

' 'm,- = -V + 200 H -- tenderá como uma assíntota para a reta

i „, > 5q + 200 + 0 ou Cme 200.

271


Reunindo tais informações, traçamos o gráficoc

O l 10 q

d) Esboce sobrepostos os gráficos do custo médio e do custo marginal.

Solução: ao esboçarmos a reta do custo marginal Cmg = l Qq + 200 sobre-posto ao gráfico de Cme, observamos o encontro dos gráficos no pontoq = 10, que dá o custo médio mínimo.

• Elasticidade

Elastícidade-Preço da Demanda

Sabemos que, em relação aos consumidores, a demanda de um produtopode ser associada a seu preço. Em geral, se o preço aumenta, a demandadiminui.

Para produtos diferentes, existem diferentes comportamentos demudança da demanda em relação às variações de preços. Por exemplo, sehouver um considerável aumento no preço do sal, a demanda dos consu-midores praticamente não se altera, uma vez que tal produto é indispensá-vel e tem pouco peso no orçamento doméstico; entretanto, se houver umconsiderável aumento no preço da carne bovina, a demanda se alterará,

272

(..ipitulo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

u,i vez que tal produto pode ser substituído por outros tipos de carnes,i i l rm de ter grande peso no orçamento doméstico.

Assim, de maneiras diferenciadas, a demanda por um produto é "sensí-i i l " ,1 mudança dos preços. Avaliaremos a "sensibilidade" da demanda emn l.ii , ,10 às mudanças de preços com o auxílio do conceito de elasticidade-lm\» da demanda. Nesse contexto, medir a "elasticidade" da demanda, i | ' . i i i l i ca medir a "sensibilidade" da demanda em relação à variação do•reco.

Tara nossos cálculos, se ocorrer a variação na demanda, então a varia-{>!<> percentual da demanda q em relação à demanda anterior será

variação na quantidadeVariação Percentual da Demanda = 100-

quantidade anterior

Se usarmos a notação funcional, q(p) é a demanda como função do|ni\ p ou, simplesmente, q é a demanda para um certo preço p e Ag é a\ , i nação da quantidade ou variação da demanda. Então, temos:

Variação Percentual em q = 1001

Lembrando que a derivada* de f(x) também é escrita como

f ' ( x ) = f" Q —

rrescrita com os símbolos para a função q(p), temos

lim ^qq '(p) =Ap —> O Ap

Podemos dizer que, de maneira aproximada, a derivada é dada por

Ap

t|ue permite escrever a variação Ag como o produto de q'(p) por Ap:

Ag s g'(p) • Ap

\ i I I M I . H , . ! " i lc Leihniz, no Capítulo 7.

273


Reescrevendo àq na variação percentual, teremos, de modo aproximado,

<3"( p)ApVariação Percentual em q s 100 —•

ou ainda, pela notação de Leibniz, escrevemos q ' ( p ) = —, obtendo nadp

expressão anterior

Variação Percentual em q s 100

dq

dpA/,

Tal expressão pode ser usada para avaliar a elasticidade da demanda emrelação ao preço. Entretanto, os economistas costumam avaliar a variaçãoda demanda em relação ao aumento de l % no preço, o que dá uma varia-ção de preço Ap = 0,0 Ip, logo

Variação Percentual em q s 100

^-0,01 pdp

Variação Percentual em q

Em resumo,

100. . 0,01 p í . pdp dp dq p

q q ~ dp q

Variação Percentual em q & ---dp q

O lado direito da aproximação da variação percentual em q é conhecidocomo elasticidade-preço da demanda. Denotando a elasticidade da deman-da pela letra £, temos

E = - . .dp q

e tal medida dá aproximadamente a variação percentual da demanda median-te o aumento de 1% no preço.

274

(.npltulo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

Pmhletna: A demanda para um certo produto é dada por q = 100 — 5p,i M I , I r o preço varia no intervalo O s p <, 20.

i 1 < 'litenha a função que dá a elasticidade-preço da demanda para cadapreço.

dq p\iiln<;iio: A elasticidade-preço da demanda será E = — assim calcu-

dp q

a derivada - - e substituiremos q = 100 - 5p na expressão £:dp

E = —(100- 5p) -dp 100 - 5p

E = (0 -5) = -5-100 -Sp 100 -Sp

E = --100 - Sp

Io (>btenha a elasticidade para os preços p = 5, p = 10 e p = 15 e interpre-ic as respostas.

o: Basta substituir p = 5, p = 10 e p = 15 na função E = -5p

100 - Sp

• l> = 5 = > £ = --5-5

. /. ! ( )=>£ = -

. /. 15 => E = -

100-5-55-10

100-5-105-15

100-5-15

• E =-0,3333... => E =-0,33

= > £ = -!

=> E = -3

Para p = 5, temos a elasticidade E a -0,33, o que indica que, se ocorreru n i aumento de 1% para o preço p = 5, a demanda diminuirá 0,33%, apro-smudamente. Já para o preço p = 10, a elasticidade é E = —l, indicandoi | i n - , sc ocorrer um aumento de 1% no preço, a demanda cairá 1%, apro-Kimadamente. Para o preço p = 15, a elasticidade é £ = -3, indicando que,

orrer um aumento de 1% no preço, a demanda cairá 3%, aproxima-damente.

275

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidadeu!'i V Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

Classificação da Elasticidade-Preço da Demanda

No problema anterior, notamos que, para o preço p = 5, a elasticidadeE s -0,33 indica uma diminuição em percentual (0,33%) na demandamenor que l % de aumento no preço. Nessa situação, classificamos a de-manda como sendo inelástica em relação ao preço; em outras palavras, ademanda é pouco "sensível" à variação do preço em um determinado nível.Para o mesmo problema, em outro nível de preço, temos p - 15 com elas-ticidade E = -3, indicando uma diminuição em percentual (3%) na deman-da maior que 1% de aumento no preço. Nessa situação, classificamos ademanda como sendo elástica em relação ao preço; em outras palavras,a demanda é bastante "sensível" à variação do preço em um determinadonível. Existem níveis de preços, como em p = 10 no problema anterior, emque um aumento de 1% no preço acarreta uma diminuição de 1% nademanda; nessa situação, dizemos que a demanda tem elasticidade unitáriaem relação ao preço.

Como em geral a elasticidade-preço da demanda é negativa, para clas-sificar a demanda, calculamos o módulo de £ e o comparamos a l, querepresenta 1%:

E s -0,33 => \E\ |-0,33| = 0,33 => |E| < l => Demanda InelásticaE = -3 => |E| = -31 = 3 =*> |E| > l =* Demanda Elástica

E = -l => |£| = -l | = l => |E| = l => Demanda de Elasticidade Unitária

Em resumo, a classificação da elasticidade-preço da demanda:

• Se |E| < l, então a demanda é inelástica em relação ao preço.• Se |E| > l, então a demanda é elástica em relação ao preço.• Se |E| = l, então a demanda tem elasticidade unitária em relação ao preço, l

Elasticidade-Renda da Demanda

Podemos também analisar a variação da demanda e, consequentemente, ísua elasticidade em relação a outros fatores como, por exemplo, produção,custos, oferta e renda. Como exemplo e de maneira análoga à realizadapara a demanda em função do preço, podemos definir a elasticidade-rendada demanda, que mede a sensibilidade da demanda mediante o aumentoem l % na renda do consumidor. Se a demanda q é uma função da renda r, \o a elasticidade-renda da demanda será dada por

276

E = -.~dr q

r n i , i maioria dos produtos, a demanda aumenta quando a rendai n i . i , assim consideraremos apenas a elasticidade positiva, que pode

iliissificada do seguinte modo:

i' l • l , então a demanda é inelástica em relação à renda,'u / • l , então a demanda é elástica em relação à renda.

/', = l , então a demanda tem elasticidade unitária em relação à renda.

fação entre Receita e Elasticidade-Preço da Demanda

I M H I I da elasticidade, podemos tirar conclusões a respeito do aumentod.i diminuição da receita. Vamos estabelecer a receita como função do

l\i> c obter a derivada em relação ao preço:

R(p) = p-R'(p) = (p •

i i cura do produto

R'(p) = p' • q + p • q'R'(p) = l • q + p • q'

R'(p) = q + p • q'

Multiplicando o lado direito da expressão por —

(P) = q+ 4-^-< olnumdo q em evidência

277

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade- Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativ.i

Nessa expressão, usando a notação de Leibniz representando a deriva-

da de R em relação ao preço por e a derivada da demanda em rela-dp

dqçao ao preço por ——, temos

dp

d R a . . p d q= q l H • —

dp q dp

E como a elasticidade é dada por E = , podemos escreverdp q

^ =,(! + £}dp

Podemos usar tal relação para estabelecer o comportamento da receitaa partir dos valores da elasticidade, conforme o exemplo a seguir:

Exemplo: No problema anterior, para um certo produto, a demanda é dadapor q = 100 — 5p, onde o preço varia no intervalo O s p s 20. Com base nes-ses dados, conseguimos concluir que p = 5 => E s -0,33; p = 10 =*• E = -le p = 15 => E = -3. Sabendo que a receita em função do preço é dada porR(p) = p • q, analisar o comportamento da receita a partir da elasticidade-preço da demanda.

Solução: A derivada da receita em relação ao preço pode ser expressa por

= q(l+E) . Calculando as quantidades para cada nível de preço, temosdp

• p = 10 => q = 100 - 5 • 10 => q = 50• p = 15 => q = 100 - 5 • 15 => q = 25

Então, para cada nível de preço, teremos:

dR „ _-£-.50,25 =

( i uno a derivada é positiva, a receita é crescente, ou seja, um aumento de.,11 cm p = 5 proporciona um aumento na receita. Observe que |E| < 1.

• /. l ( > ; < ? = 50 e E =-l => 4^-= 50(1-1)= O => -̂ = °dp dp

(lorno a derivada é nula, a receita é constante, ou seja, um aumento de\ em p = 10 não altera a receita. Observe que |E| = 1.

l f> * 15; q = 25 e E = -3 - = 25(1-3) =-50 => - =-50 =* < Odp dp dp

(lomo a derivada é negativa, a receita é decrescente, ou seja, um aumen-ln ilo preço em p = 15 proporciona queda na receita. Observe que |E[ > 1.

Tal exemplo ilustra o fato de o comportamento da receita em função do|ni\ depender da elasticidade-preço da demanda no nível de preço estu-J.iilo, uma vez que em

dR ,. „,

r. quantidades q são sempre positivas e o sinal de depende do valor de E.dp

l i i i resumo:

1 onsiderando a receita como função do preço e E a elasticidade-preço da. l i manda, ocorrendo um pequeno aumento no preço:

• Sc E < l, a receita aumenta.• Sc |E| > l, a receita diminui.• Sc |E| = l, a receita permanece constante.

l'n>blema: Para um certo produto, a demanda q e o preço p são relaciona-ilos por q = 200 -2p (Q s.p <. 100).

, i j Obtenha os intervalos de preço para os quais a demanda é inelástica,elástica e tem elasticidade unitária.

dq pSolução: A elasticidade-preço da demanda é E = ; assim, calculan-

dp q

ilo a derivada —2- e substituindo q = 200 — 2p na expressão E:dp

278 279


E =--(2QO-2p)dp '

Ê = ( 0 - 2 )

£•=-

200 -2p 200 -2p2p

(p* 100)200 - 2p

> A demanda terá elasticidade unitária quando |£| = 1:

2p= l : = l

200 - 2p

Como O ̂ p s 100 e p * 100, temos que 200 - 2p > O, o que significa

que - 2p200 - 2p

< O , então 2p200 -

2p

200 - 2p200 - 2p

De um modo geral, nesse tipo de problema, para a resolução do módulo,simplesmente mudaremos o sinal da expressão interna.

2p200 - 2p

2p200 -

- = l =» 2p = 200 -2p => 4p = 200 => p = 50

Assim, a demanda tem elasticidade unitária para p - 50.

A demanda será inelástica quando l£l < 1:

2p200 - 2p

• l 2p200 - 2p

< l 200 - p < 50

Assim, a demanda é elástica para p < 50, mais precisamente paraO s p < 50.

A demanda será elástica quando [£| > 1:

2p200 - 2p

> l200 - 2p

> l => 2p > 200 - 2p => p > 50

Assim, a demanda é elástica para p > 50, mais precisamente para50<p< 100.

280

.| ululo 9 - Aplicações dai Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

|i| A ( i . i r i i r dos resultados obtidos no item (a), descreva o comportamento

i l . i i recita.i «iisiderando a receita como função do preço e £ a elasticidade-preço

ti i i l i -n ianda , sabemos que para um pequeno aumento no preço:

• r n . i O s p < 50, ternos |£| < l, o que indica que a receita aumenta nesseIhtrrvalo.

• r i i .1 SO < p < 100, temos |£| > l, indicando que a receita diminui nesseIntervalo.

• Para /> = 50, temos |£| = l, assim a receita permanece constante nesse nívelilr preço. Associando às duas conclusões anteriores, temos, para p = 50,

i ii'1'cita máxima.

i ) (Ibtenha a receita como função do preço e esboce os gráficos da deman-i l . i i; receita. Indique no gráfico da demanda os intervalos corresponden-tes às diferentes elasticidades. Indique no gráfico da receita os intervalosilc crescimento e decrescimento, bem como o ponto de máximo, associa-dos à elasticidade.

\<ilni;ão: A função Receita será dada por R(p) = p • q e, como q = 200 - 2p,li I I I C I S

R = p • (200 - 2p)R = 200p - 2p2

Tal gráfico será uma parábola com concavidade voltada para baixo,Cru/ando o eixo p quando R = O, ou seja,

200p - 2p2 = O => p = O ou p = 100

• i iri/cita será máxima para p = 50, ou seja,

R(50) = 200 • 50 - 2 • 50^ = 5.000 => R(50) = 5.000

() gráfico da demanda q = 200 - 2p será uma reta que cruza:

• o eixo p, quando q = 0: q = O =* 200 - 2p = O => p = 100• n eixo q, quando p = 0:p = 0=>(? = 200 - 2 • O = 200 => q = 200

281


|E|<1 50 |E|Tl 10°

H Propensão Marginal a Consumir e a Poupar

Ao analisar o comportamento da economia em um mercado, percebe-seque a renda das famílias é o fator que mais influencia no consumo e napoupança dessas famílias. Nesse sentido, para nossas análises, iremossupor o consumo c como função da renda y, c = f(y), e a poupança s comofunção da renda y, s = f (y). Tais funções são crescentes, pois se supõe queo aumento da renda resulte em aumentos no consumo e na poupança.

De modo simplificado, podemos dizer que, para as famílias, o consumosomado à poupança se iguala à renda, ou seja,

'«MRenda = Consumo + Poupança

y = c + s

Naturalmente, temos que a poupança das famílias é dada pela diferen-ça entre renda e consumo, ou seja,

Poupança = Renda - Consumo

Como o consumo c é função da renda y, é comum analisar a variaçãono consumo correspondente à variação da renda; em outras palavras, ataxa de variação do consumo em relação à renda; de modo prático, a deri-vada do consumo em relação à renda. Tal derivada também é conhecidacomo Propensão Marginal a Consumir, que mede em quanto aumenta o

282

.ipiUilo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

j quando há o aumento de uma unidade na renda. Simbolizando. f (y), temos algumas maneiras de simbolizar a Propensão Marginal a

deí'linsnmir: c = c ' ( y ) = — .

5 dy

l >r modo análogo, a poupança s é função da renda y e é comum anali-nli n variação na poupança correspondente à variação da renda; em outraspttlnvras, a taxa de variação da poupança em relação à renda; de modo prá-tli o, a derivada da poupança em relação à renda. Tal taxa também é conhe-llcl.i como Propensão Marginal a Poupar, que mede em quanto aumenta apoupança quando há o aumento de uma unidade na renda. Simbolizandol - f (y), temos algumas maneiras de simbolizar a Propensão Marginal a

1'tnilhir: s = s '(y) = — .* dy

Vimos que y = c + s e, nessa expressão, derivando em relação a y, temosd de ds

(y) = +dy dy dy

dy dy

nu seja, a soma da Propensão Marginal a Consumir com a PropensãoM. urinai a Poupar resulta em 1:

( ;omo as funções c ê s são crescentes, as derivadas indicadas são positi-dc ds de ds

vás, assim temos 0< — <1 e 0< — < l, com - - oudy dy dy dy

<ts de. = 1 -- , ou se] a,

i /v dy

' ,„.,; = l - smg ou s(onde O < cmg < l e O < smg < 1)

De um modo geral, costumamos utilizar funções de primeiro grau paraexpressar as funções do consumo e da poupança.

1'ioblema: Para uma certa população, a função do consumo é dada pori - o^jy + 210, onde y é a renda dos consumidores.

l283

' Matemática Aplicada à Administração, Economia • Contabilidade

a) Determine a função poupança s. n

Solução: Como Poupança = Renda - Consumo, ou seja, s = y - c, temos

s = y~(0,7y + 210)s = y-0,7y-210 ,(

s = 0,3y-210 .,

b) Determine a Propensão Marginal a Consumir e a Propensão Marginal .1Poupar e interprete os resultados.

Solução: A Propensão Marginal a Consumir será dada pela derivada

cmf, = c'(y) = 0,7 '!íe a Propensão Marginal a Poupar será dada por '

'ísmg = i (y) = 0,3 ,-i

Como cmg = 0,7, temos que o aumento de uma unidade na renda yacarreta um aumento de 0,7 no consumo. De modo análogo, smg = 0,3indica que o aumento de uma unidade na renda y acarreta um aumentode 0,3 na poupança.

Vale notar que cmg + smg = 0,7 + 0,3 = 1. ;

c) Esboce o gráfico da função c = y. O que tal gráfico representa?

Solução: Esboçando o gráfico, temos uma reta cque passa pela origem e que divide o primeiroquadrante ao meio. Tal gráfico indica níveis emque o consumo é igual à renda, ou seja, toda arenda é dirigida para o consumo; assim, porexemplo, se a renda é y = 100, o consumo serác = y = 100.

d) Esboce, sobrepostos, os gráficos das funções consumo, poupança ec - y, interpretando o ponto em que o gráfico do consumo encontra areta c = y.

Solução: O consumo c = 0,7y + 210 é representado pela reta cuja inclina-ção é 0,7 (propensão marginal a consumir) e que corta

'•i

284

Cupltulo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

• n eixo y, quando c = 0: c = O => 0,7y + 210 = O => y = -300l* o rixo c, quando y = 0:y = 0 = > c = 0 , 7 - 0 + 210 => c = 210

A (Miurunça s = 0,3y - 210 é representada pela reta cuja inclinação é 0,3| | ' M I | I C I I S ; Í < ) Marginal a Poupar) e que corta

• o r ixo y, quando s = 0: s = O =*• 0,3y - 210 = O => y = 700• i i i - i x o s, quando y = 0:y = 0 = > s = 0,3 • O - 210 => s = -210

Notamos ainda que o gráfico c = y encontra o consumo c = 0,7y + 210

y = Q,7y + 210 =s» y - 0,7y = 210 => 0,3y = 210 =*> y = 700

T.sboços sobrepostos, temos

CS*

IVlo gráfico, notamos que y = 700 representa o nível de renda em que ocnnsumo é igual à renda, ou seja, onde a poupança é nula (poupança cru-/ .nu lo o eixo y). Pata níveis de renda inferiores a y = 700, os consumido-rc-N estão consumindo mais do que dispõem em renda, ou seja, a poupançai negativa (os consumidores estão gastando recursos poupados). Parai i u n s de renda superiores a y = 700, temos poupança positiva, indicandoi | i i r r poupado o excedente da renda, em relação ao consumo.

• Exercícios

l . Na fabricação de um produto, o custo, em reais, para produzir q uni-dades é dado por C(q) = 0,1</3 - 3<?2 + 36<? + 100.:\) Obtenha a função Custo Marginal.

285


b) Obtenha o custo marginal aos níveis q = 5, q = 10 e q = 15, expli-cando seus significados.

c) Calcule o valor real para produzir a l i" unidade e compare o resul-tado com o obtido no item anterior.

2. Em uma empresa, o custo, em reais, para produzir q unidades de tele-visores é dado por C(q) = 0,02q3 - 6q2 + 900q + 10.000.

a) Obtenha a função Custo Marginal.b) Obtenha o custo marginal aos níveis q = 50, q = 100 e q = 150,

explicando seus significados.c) Calcule o valor real para produzir a 101^ unidade e compare o

resultado com o obtido no item anterior.

3. Em uma fábrica de ventiladores, o preço de um tipo de ventilador édado por p = -2q + 800, onde O s q s 400.

a) Obtenha a função Receita.b) Obtenha a função Receita Marginal.c) Obtenha a receita marginal aos níveis q = 100, q = 200 e q = 300,

interpretando seus significados.d) Esboce o gráfico da receita marginal e interprete seu crescimento ou

decrescimento e intervalos em que a receita marginal é positiva ounegativa, relacionando tais resultados.


4. Em uma indústria têxtil, o preço de um tipo de toalha é dado porp = 0,001<7 + 10, onde O s q s 10.000.

a) Obtenha a função Receita.b) Obtenha a função Receita Marginal.c) Obtenha a receita marginal aos níveis q = 4.000, q = 5.000 e

q = 6.000, interpretando seus significados.d) Esboce o gráfico da receita marginal e interprete seu crescimento ou

decrescimento e intervalos em que a receita marginal é positiva ounegativa, relacionando tais resultados.


5. Em uma fábrica de ventiladores, a receita na venda de um tipo de ven-tilador é dada por R(q) = -2q2 + SOOq, onde O s q s 400, conforme oProblema 3. Suponha que o custo para a produção dos ventiladoresseja dado por C(q) = 200q + 25.000.

286

Capitulo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

:\) Obtenha a função Lucro.b) Obtenha a função Lucro Marginal.c) Obtenha o lucro marginal aos níveis q = 100 e q = 200, interpretan-

do os resultados.d) Obtenha a quantidade que dá o lucro máximo a partir das deriva-

das do lucro.

Km uma indústria têxtil, a receita na venda de um tipo de toalha édada por R(q) = -0,001<j2 + Wq, onde O s q s 10.000, conforme oProblema 4. Suponha que o custo para a produção das toalhas sejadado por C(q) = 2q + 12.000.

a) Obtenha a função Lucro.b) Obtenha a função Lucro Marginal.c) Obtenha o lucro marginal aos níveis q = 3.000 e q = 5.000, inter-

pretando os resultados.d) Obtenha a quantidade que dá o lucro máximo a partir das deriva-

das do lucro.

Em uma fábrica de portões eletrônicos, o custo ao se produzir q uni-dades de um tipo de portão é C = 5q2 + SOq + 125.

a) Obtenha as funções Custo Marginal Cmg, Custo Médio Cme e CustoMédio Marginal Cmemg.

b) Obtenha o número de portões produzidos que dá o custo médiomínimo. Obtenha também o custo médio mínimo.

c) Esboce o gráfico do custo médio.d) Esboce, sobrepostos, os gráficos do custo médio e do custo marginal.

Na construção civil, o custo C para construir um prédio depende donúmero q de andares que são construídos. Para um certo tipo de pré-dio, não considerando a parte de acabamento, constatou-se que ocusto, em milhares de reais, ao construir q andares é dado porC = 6q2 + 2q + 96.a) Obtenha as funções Custo Marginal Cmg, Custo Médio Cme e Custo

Médio Marginal Cmemg.b) Obtenha o número de andares a serem construídos que dá o custo

médio mínimo. Obtenha também o custo médio mínimo por andarconstruído.

c) Esboce o gráfico do custo médio.d) Esboce, sobrepostos, os gráficos do custo médio e do custo marginal.

287

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade 1 >| ululo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

9. A demanda para um certo produto é dada por q = 300 - lOp, onde opreço varia no intervalo O s p s 30.

a) Obtenha a função que dá a elasticidade-preço da demanda paracada preço.

b) Obtenha a elasticidade para os preços p = 10, p = 15 e p = 20 einterprete as respostas.

10. Considere a demanda para um certo produto, conforme o problemaanterior, ou seja, q = 300 - lOp, com O s p s 30. Sabendo que a recei-ta em função do preço é dada por R(p) = p • q, analise o comporta-mento da receita a partir da elasticidade-preço da demanda para ospreços p = 10, p = 15 e p = 20.

11. A demanda para um certo produto é dada por q = 1.000 - 20p, ondeo preço varia no intervalo O s p s 50.

a) Obtenha a função que dá a elasticidade-preço da demanda paracada preço.

b) Obtenha a elasticidade para os preços p = 20, p = 25 e p = 30 einterprete as respostas.

12. Considere a demanda para um certo produto, conforme o problemaanterior, ou seja, q = 1.000 - 20p, com O s. p ^ 50. Sabendo que areceita em função do preço é dada por R (p) = p • q, analise o compor-tamento da receita a partir da elasticidade-preço da demanda para ospreços p = 20, p = 25 e p = 30.

13. A demanda para um certo produto é dada por q = r2 + 160.000, onder é a renda do consumidor.

a) Obtenha a função que dá a elasticidade-renda da demanda paracada renda.

b) Obtenha a elasticidade para as rendas r = 300, r = 400 e r = 600 eclassifique a demanda conforme as elasticidades obtidas interpre-tando os resultados.

14. Para um certo produto, a demanda q e o preço p são relacionados porq = 600 - 3p, com O s p s 200.

a) Obtenha os intervalos de preço para os quais a demanda é inelásti-ca, elástica e tem elasticidade unitária.

b) A partir dos resultados obtidos no item (a), descreva o comporta-mento da receita.

288

> ) ()btenha a receita como função do preço e esboce os gráficos dademanda e receita. Indique no gráfico da demanda os intervaloscorrespondentes às diferentes elasticidades. Indique no gráfico dareceita os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como oponto de máximo, associados à elasticidade.

I V 1'ara um certo produto, a demanda q e o preço p são relacionados port] = 50 - p, com O s p s 50.A) Obtenha os intervalos de preço para os quais a demanda é inelásti-

ca, elástica e tem elasticidade unitária.b) A partir dos resultados obtidos no item (a), descreva o comporta-

mento da receita.c) Obtenha a receita como função do preço e esboce os gráficos da

demanda e receita. Indique no gráfico da demanda os intervaloscorrespondentes às diferentes elasticidades. Indique no gráfico dareceita os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como oponto de máximo, associados à elasticidade.

l h. Para uma certa população, a função do consumo é dada por c - 0,8y + 320,onde y é a. renda dos consumidores.

a) Determine a função poupança s.b) Determine a Propensão Marginal a Consumir e a Propensão Mar-

ginal a Poupar e interprete os resultados.c) Esboce o gráfico da função c = y. O que tal gráfico representa?d) Esboce, sobrepostos, os gráficos das funções consumo, poupança e

c - y, interpretando o ponto em que o gráfico do consumo encon-

tra a reta c = y.

17. Para uma certa população, a função do consumo é dada por c = 0,6y + 240,onde y é a renda dos consumidores.

a) Determine a função poupança s.b) Determine a Propensão Marginal a Consumir e a Propensão Mar-

ginal a Poupar e interprete os resultados.c) Esboce o gráfico da função c = y. O que tal gráfico representa?d) Esboce, sobrepostos, os gráficos das funções consumo, poupança e

c = y, interpretando o ponto em que o gráfico do consumo encon-

tra a reta c = y.


•TÓPICO ESPECIAL - Modelo de LoteEconómico

• Lote Económico de Compra

O objetivo principal de se calcular o Lote Económico de Compra (LEC) óa determinação da quantidade ideal a ser comprada correspondente a umcusto total mínimo para um período de tempo (í), que, na maioria dasvezes, é adotado anualmente.

Esse sistema (LEC) tem a missão de gerir a compra de materiais ou insu-mos destinados à própria empresa, procurando reduzir o custo total, que éformado pelos custos de pedidos ou custos de aquisição e pelo custo deestocar ou armazenar. Portanto, o Lote Económico de Compra se traduznumericamente no valor correspondente à quantidade que implica umcusto total mínimo (CT(mMmo)).

É lógico que o custo total está intimamente ligado em função de váriasgrandezas a serem definidas, tais como:

• D: demanda anual de mercadorias ou materiais em unidades, representa-da pela expectativa anual de unidades a serem vendidas ou consumidasno período de tempo (í) por seus clientes, ressaltando que a taxa de con-sumo é constante ao longo do tempo, consumindo quantidades iguais porunidade de períodos.

• Cp: custos do pedido ou de aquisição levam aos custos de preparação einspeção durante a entrega, mais custos de transportes, que incluem taxase fretes.

• G£: custo associado à existência de estoque ou custo unitário de manu-tenção, ou ainda custo de estocagem.

Nesse caso, a empresa conta com um problema latente originado pelovolume de compras e pela expectativa da demanda de seus clientes, geran-do a necessidade de sempre possuir um estoque satisfatório, de modo aatender os níveis de demanda de seus clientes. Vale lembrar que o custo deestoque (Cg) aumenta linearmente à medida que as quantidades estocadasaumentam, incidindo sobre ele custos de armazenagem, depreciação, opor-tunidade de capital, seguros e obsolescência.

290


, , / > : é o estoque médio de materiais ou mercadorias ao longo de um

período de tempo (í) dado por — , que identifica a quantidade média de

enfoque de materiais ao longo do tempo ou período (í). Deve-se ressaltar

i j i i c :\e em estoque -^ é definida de forma intuitiva, para efeito

ilc cálculo, já que ocorrem estoques diferentes a cada instante considerado.

A hipótese definida para uma taxa da demanda constante ao longo doi. inpo e para que o tempo de espera entre o pedido e a entrega seja tam-I" i n constante determina uma forma de gráfico de evolução do nível deminque chamado de "gráfico dente de serra", conforme a Figura 9.2, e res-I " . uva exemplificação numérica.

QFigura 9.2 — = QMED = 1-125 é o estoque médio e

Q = 2.250 é o nível de estoque máximo.

Q (estoque]

2.250

Período (t)

• ^): é igual à quantidade a ser comprada ou, mais precisamente, igualao lote económico de compras (LEC). Portanto, podemos escrever que<J = LEC.

Como foi comentado anteriormente, podemos definir o custo totalComo sendo a soma dos custos de pedidos com os custos de estocagem.Assim temos

CT = Cp + C£, sendo que:

• (,'j, = (custos de pedidos) x (número de pedidos anuais)• (,'/, = (custo de estocar ou de armazenar uma unidade/ano) x (número

médio de unidades no estoque)

291


Vale elucidar que o número de pedidos anuais (N) pode ser escrito n*

forma N = — , onde D é a demanda anual e Q é a quantidade a ser com-

prada; logo, o custo de pedido anual é denotado por:

c - -P ' Q ~ Plantai)

O custo de estocagem anual representa o custo relativo à estocagem do

estoque médio, sendo escrito por CE(anual) = — • C£ , de onde se conclui

que o custo total anual é dado pela soma de CE^amal} + Cp(muafl:

OQ2

O gráfico da Figura 9.3 identifica separadamente o comportamento decada componente de custo, estocar e pedir, pertencente à fórmula de custototal (Cf-) para uma dada quantidade"Q a ser adquirida em um instante (().

Na figura, a dá os custos de estocagem; b dá os custos de pedidos e. CT ocusto total.

Figura 9.3 Curva de custo total anual em estoque (CT = a + b); curva decustos de pedidos (b) e a reta de custos de estocagem (a).

Custo

CT (mínimo)

(Quantidades iguais)-----'•'• _ l

Q (Quantidade a ser adquirkj , ! )

Na Figura 9.3, percebemos facilmente quando as curvas de custos deestocagem (a) e de pedidos (b) se cruzam, determinando, por consequência.

292

• . |<i i i i lo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Adminlstrnllvíi

. | iMi i t idade Q a ser comprada ou adquirida a um custo total mínimo

i - i m te dessa observação para um valor de Q a ser comprado (LEC) a'•> Custo Total (CT) apresenta um ponto de mínimo (CT(mínímo)).

dCTi esse ponto poderá ser obtido fazendo = O . Logo, da função

dQ

M ir.m.il, temos que: CT = CP • + C£ • — , onde Cp, D e C£ são cons-

Q

i mies. 1'odemos ainda escrever CT = CP • D • Q-1 + -j- • Q , portanto:

dC C p - D , CEdQ Q2 2

• uno = O no ponto de mínimo, temos - -Q-

| M > | . i n d o Q, obtemosCE CP -D

- e finalmente

( (imo Q = LEC, então LEC =

CE= U .

F . Concluímos que Q = LEC

i i l à quantidade ótima a ser comprada a um custo total mínimo

j ( l 'Y(mlmim>))-

| '«riii|>ln l - Uma distribuidora de ração para animais estima que a deman-i . M ' | . I dc- 10.000 unidades (sacos de 15 kg) para o próximo ano, sendo

Vnulul . is a uma taxa uniforme ao longo do período. Os custos de estoca-

293

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade ( .ipitulo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

gem anual são da ordem de 500$ por unidade, dado que o custo para sefazer um pedido (encomenda) ao fabricante está computado em 1.000$.

a) Determine o LEC, isto é, a quantidade ótima que minimiza o custo totalanual.

Solução: As variáveis do problema são D = 10.000 unidades; CP = 1.000$e C£ = 500$;

2-CP-D 2-1.000-10.000logo, LEC = J = J- - = 200 unidades.

CE V 500

. i ' (instrua, em um mesmo sistema de eixos (Q x custos associados aosestoques), as funções de CT(anual), CP(anual} e CE{mual}, identificandot >„,„„„ = LEC e CT(mímmo anua!}, em seguida, mostre algebricamente que

dCT( ,' = C e - = O (ponto mínimo da função custo total).

S(i/»<-íío: Determinando separadamente as funções de custos associados aos•toques:

„ „ D 1 nnn 10.000Como o custo de pedido anual e escrito por ̂ p (anual) - up ' "Q - 1 • uu Q

Portanto, LEC = Qótíma = 200 unidades compradas a cada vez.

b) Calcule o custo total mínimo anual

c í r r D n LECSolução: Como CT = Cp • + C£ • — - — , temos

CT(mín,mo) = l .000 . ~ + 500 • =» CT(mímmo) = 100.000$

c) Qual o número de pedidos (encomendas) que a distribuidora deve fazerao longo do ano a fim de minimizar os custos de encomenda e estoque?

Solução: Como N(n, pedidos) = ~— , temos N = 10-000 = 50 pedidosFátima 200

por ano; na prática, a distribuidora efetuará 50 pedidos por ano, cada umcom 200 unidades de sacos de 15 kg.

d) Para o caso de a distribuidora adquirir um lote de 400 unidades(Q = 400 unidades), qual a estimativa de custo total anual?

Solução: Para Q = 400 unidades, tem-se CT = 1.000 • 10'00° + 500 - —400 2 '

o que resulta

CT(400) = 125.000$

294

10.000.000 , , .e a função de custo de pedidos anuais.Q

- CE ' ~T~ = ^00 • -^- ,o custo de estocagem anual é escrito por ^E(

1 1 ta o

250Q é a função de estocagem anual.

Sabemos que a função Custo Total anual é a soma das funções de cus-

10.000.000ns de estocagem e pedidos, resultando CTfama^ = ---- 1- 250Q.

Na tabela, os valores de Q utilizados no cálculo de CP, CE e CT auxi-n in na construção gráfica:

Q

0

50

100

150

200

250

300

350

400

CP

200.000,00

100.000,00

66.666,67

50.000,00

40.000,00

33.333,33

28.571,43

25.000,00

CE0,00

12.500,00

25.000,00

37.500,00

50.000,00

62.500,00

75.000,00

87.500,00

100.000,00

CT

212.500,00

125.000,00

104.166,67

100.000,00

102.500,00

108.333,33

116.071,43

125.000,00

295


Modelo de Lote Económico de Compras

Custo

200 300 ÍO(T O

O ponto Qótimo = LEC = 200 unidades também pode ser obtido alge-

10.000.000bncamente igualando-se as funções CP = -- - e C = 250Q:

10.000.000

Q 2500^=10.000.000 =* Q =250

Logo, Q = 200 unidades e substituindo em qualquer uma das funçõesanteriores:

10.000.000CF = 250 • (200) = 50.000$ ou CP = --- = 50.000$ ; logo, con-

P = 50.000$

cluímos:

LEC = 200 e CE = C

Nota: Veja o gráfico de custos de estoque.

O custo total mínimo anual será obtido por meio da derivadadCT

= O, definida anteriormente para determinar o LEC.dQ

10.000.000Sendo CT = (- 250Q , encontraremos por meio da deriva-

da o mínimo absoluto da função Custo Total no intervalo O < Q s 10.000.

Cnpítulo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administrativa

C ,bmo C'T = -l • 10.000.000 . Q'2 + 250, temos C^ = -

i igualando a função derivada a zero (C'j = 0):

10-0°0-000 + 250

10.000.000-+250 = O

10.000.000

Q2 Q2

Multiplicando por (-1) e reagrupando, teremos

= -250

(10.000.000 , ,Q2 = +,/ = 200 unidades.

11 250

logo, Q = 200 unidades = LEC, que, substituído em CT, leva a

10.000.000Cr = -+ 250 • (200) =» CT(mínimo) = 100.000$ (custo total

200mínimo)

Nota: No próximo exemplo, procuraremos adaptar o Lote Económico de(iompra (LEC), com o objetivo de calcular o Lote Económico de Fabri-cação (LEF)* para uma empresa que fabrica um determinado produto.Para essa aplicação, o sistema de produção a ser considerado é o sistemaile produção intermitente por lotes. Vale lembrar ainda que LEF = Qónma

,\r fabricada.

|2 • Cprep • DLEF=.- ^ ,onde:CE

» Cprep = custo unitário de preparação de máquinas anualmente• Cp = p • (a + i), sendo CE igual ao custo de estocagem por unidade por

ano (onde p é o custo unitário médio de fabricação e (a + i) é a taxa quecompreende juros e estocagem)

Kxemplo 2 — Um fabricante de cozinhas planejadas estima, para o próximoano, que a demanda de mercado para modelos planejados a fim de atingir

* Para mais detalhes, consultar: Moreira, D. A. Administração da Produção e(Iterações. São Paulo: Pioneira, 1996.

296297


a faixa A de renda da população possui expectativas de consumo em tornode 1.000 unidades. O custo gerado para preparação de máquinas está esti-mado por volta de 10.000 u.m., sendo o custo unitário médio de fabrica-ção avaliado em 3.000 u.m., incidindo sobre ele uma taxa total de 40%que inclui estocagem e juros. Calcule:

a) O número de cozinhas planejadas para atingir a faixa A de renda da popu-lação (LEF).

Solução: Determinando as variáveis do problema, temos D = 1.000 unida-des por ano; Cprep = 10.000 u.m.; CE = p • (a + i) = 3.000 • (0,4) = 1.200u.m. por unidade e por ano.

LEF =1.200

= 129 unidades.

Assim, LEF = Qótima = 129 unidades a serem fabricadas.

b) O custo total anual em estoque.

Solução: O custo total anual será dado por CT= Cprep • + CE • — - — ;

logo

CT = 10.000 -^-^-H 1.200 •— => CT = 154.919,4 u.m.129 2

• Problemas

1. Uma pequena indústria de conservas está planejando fabricar geléiasde morango em recipientes de 500 g. Para isso, realizou uma pesqui-sa de mercado determinando uma demanda anual em torno de 60.000unidades com crescimento uniforme. O custo de encomenda de cadapedido de recipientes junto ao fornecedor é de 300$, dado que o custoanual de estoque de cada recipiente vazio é de 0,6$.

a) Qual a quantidade ótima a ser pedida em unidades por vez (LEC)?b) Quantos pedidos devem ser realizados ao longo de um ano para

efeito de planejamento?

298

Capítulo 9 - Aplicações das Derivadas nas Áreas Económica e Administnitiv.i

c) Qual deveria ser a estimativa de custo anual do projeto?d) Expresse a função Custo Total anual em função da variável Q e cal-

ldCT- = 0cule o custo mínimo anual. Lembre-se de que

2. A retífica de motores Retmotor utiliza 15.000 anéis por ano em sualinha de montagem de motores a gasolina. O custo anual de armaze-nagem é de 2.800 u.m. e para colocar um pedido ao fornecedor sãogastos cerca de 16.000 u.m. anualmente.

a) Calcule o Lote Económico de Compras.b) Calcule o custo total anual em estoque.c) Qual o custo total anual para a compra de 520 unidades e 350 uni-

dades?d) Qual deveria ser o novo Lote Económico de Compras para esse

componente, caso a empresa passe a utilizar 20.000 anéis por anoem sua linha de montagem, permanecendo iguais as outras quanti-dades?

e) Faça um esboço gráfico das curvas de CT, Cp e CE, para essa novasituação do item (d), identificando graficamente a quantidadeótima a ser comprada de cada vez e o custo total anual mínimo.

3. O gerente de um restaurante fast food estima que a demanda de umitem para o próximo mês (30 dias) comercializado atinja os níveis devendas em torno de 1.600 unidades a uma taxa constante. Diante doscálculos realizados por essa gerência, verificou-se que o custo de cadapedido para reposição de estoques espaçados uniformemente duranteo mês era da ordem de 20$, e o custo de estoque, 0,4$/mês.

a) Qual a quantidade ótima (LEC) a ser pedida em unidades por vez?b) Quantos pedidos devem ser feitos ao longo do mês?c) Qual o custo total mensal mínimo?d) Expresse as funções de CT(mmsal}, CP(mensal) e CE(mensal) em função

da quantidade Q.e) Aproveitando as funções obtidas no item anterior, gere uma tabela

para valores de Q iguais a 100, 200, 300, 400, 500 e 600; em segui-da, calcule para cada valor atribuído de Q os valores correspon-dentes às funções: custo de pedido (mensal), custo de estocagem(mensal) e custo total (mensal). Sugestão: Procure seguir o modeloda tabela a seguir, o qual facilitará a construção gráfica do próximo

299


item. A tabela e o gráfico poderão ser construídos utilizando a pla-nilha de dados e o assistente gráfico do Excel.

Quantidadede Compra

Custo de

PedidoCusto de

Estocagem

r- Q

Custo

Total

capítulo 10

O Conceito de Integral

100

f) Construa o gráfico das curvas de custos (CT, CP e CE) em unimesmo sistema de eixos, identificando graficamente os pontosQ = LEC e Cf^m;nímo mensai).

4. A Microtex fabrica placas de CPU, modelo AZX para microcomputa-dores, e estima que a demanda anual estará em torno de 80.000 uni-dades para o próximo ano. O custo unitário médio de fabricação estácomputado em 28.000 u.m., incidindo sobre ele uma taxa de 30% queengloba armazenagem e juros. O custo de preparação de máquinasestá avaliado em 18.500 u.m.

a) Quantas placas do modelo AZX deverão ser produzidas?b) Qual o custo anual (CT(ími(a/))?

• Objetivo do CapítuloNesse capítulo, será estudado, com abordagens práticas, o conceito de inte-âttll. Com tal conceito, você verá, por exemplo, que é possível obter a

[Viciação total da produção em um intervalo a partir da taxa de variaçãoil.i produção. Você obterá estimativas numéricas para a integral definida eHMii l i sa rá a interpretação gráfica definida a partir do conceito de área. Você

. Vcrii como a integral definida pode ser útil na determinação do valor médioilr unia função. Você aprenderá como calcular a área entre duas curvas em u dos significados do Teorema Fundamental do Cálculo, assuntos neces-Mlrios em aplicações práticas expostas mais adiante, no Capítulo 12. NoTópico Especial, será apresentada a Regra de Simpson, como uma técnicam i l nas estimativas numéricas das integrais definidas.

300

Matemática Aplicada à Administração, Economia e ContabilidadeCapítulo 10 - O Conceito de Integral

• Integral Definida a partir de Somas

Variação da Produção a partir da Taxa de Variação

No Capítulo 6, estudamos a derivada relacionada à taxa de variação dafunção. No caso da produção P, dependendo do tempo x, estabelecemos afunção produção, representada por P(x), e de maneira simplificada pode-mos escrever a taxa de variação média da produção em relação a um inter-valo de tempo Ax como

„ . , . . , variação em P APTaxa de variação media da produção = =variação em x Ax

ou simplesmente

_ , , . APl axa media

Ax

É fácil notar que na relação Taxa média = , se conhecemos AP e Ax,Ax

encontramos a taxa. De modo análogo, se conhecemos a taxa média e Ax,encontramos AP, ou seja, conhecendo a taxa média e a variação do tempo,encontramos a variação média da produção, fazendo

AP = Taxa x Ax

Na análise seguinte, vamos utilizar a mesma função do Capítulo 6, ouseja, consideraremos a produção dada por P(x) = x2 e conseqúentementesua derivada P'(x) = 2x. Lembramos que a derivada P'(x) = 2x representaa taxa de variação instantânea da produção em relação ao tempo.

Estamos interessados em encontrar a variação da produção, AP, a partir da taxa, P'(x) = 2x, e da variação do tempo, Ax. A variação da producão será analisada em um intervalo de tempo específico, que, para nossoscálculos, será 2 z x s 7.

A Figura 10.1 apresenta o gráfico da taxa de variação da produçãoP'(x) = 2x, onde ressaltamos o intervalo de tempo 2 s x s 7.

Para a taxa dada pela função P'(x) = 2x, é possível calcular de maneirarápida a variação AP, pois a taxa é representada por uma função do l"grau; entretanto desenvolveremos alguns raciocínios e passos que serão

(U para o cálculo da variação AP a partir de taxas representadas por fun-i mais sofisticadas.

Figura 10.1 P(x) = 2x: taxa de variação da produçãopara o intervalo 2 s x s 7.

F-M = 2*

A ideia central a ser desenvolvida no cálculo de AP consiste em estimar,i i\ nação média da produção AP = Taxa x Ax considerando a "taxa cons-t.in/f" para pequenos subintervalos de tempo dentro do intervalo de tempottitiior, que nesse caso é 2 s x s 7.

Primeiramente, dividimos 2 s x z 7 em 5 subintervalos de mesmo tama-i i l i n , obtendo os subintervalos 2 s x s 3 , 3 s x z 4, 4 s x s 5, 5 s x s 6 e<• •- v s 7. Em cada subintervalo tomamos os respectivos pontos médios2,S; 3,5; 4,5; 5,5 e 6,5. Em seguida, assumimos que a taxa de variação da1' i .u l i icão é constante em cada subintervalo. A estimativa para cada taxa

sinnte será calculada pelo valor da taxa no ponto médio de cada subin-i n \ . i l o , conforme a Figura 10.2.

Figura 10.2 Subintervalos, pontos médios ea taxa constante nesses subintervalos.

Pontos Médios/ \ 2,5 3 3,5 \5 5...'

Subintervalos

9

7

5

01

/ i,/

//

/ l : | ,2 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7 i

302303

Capitulo 10 - O Conceito de Integral

Assim, no subintervalo 2 s x á 3, consideramos que a taxa permam. < i iconstante e seu valor será dado por P'(x) calculada no ponto médio x = 2,,f, jou seja, P'(2,5) = 2 • 2,5 = 5. Na Tabela 10.1 temos os valores para a taxa jem cada subintervalo, calculada nos respectivos pontos médios.

Tabela 10.1 P(x) a partir dos pontos médios dos subintervalos

Pontos Médios (x)

Taxa (F(x))

2,5

5

3,5

7

4,5

9

5,5

11

6,5

13

Fazendo uma estimativa para a variação da produção AP usando a fór-mula AP = Taxa x Ax no subintervalo 2 s x s 3, temos Taxa = P'(2,5) = Seâ* = 3-2 = 1.

AP = 5 x l = 5

3 cLogo, a estimativa da variação da produção no subintervalo 2 s xAP = 5.

De maneira análoga à realizada para o subintervalo 2 s x z 3, podemosobter estimativas da variação da produção para os outros subintervalos cobtemos a estimativa da variação total da produção no intervalo 2 ç x s 7,pela soma de cada estimativa:

AP = 5x1 + 7 x 1 + 9 x 1 + 11 xl + 13 xl= 45

Logo, AP = 45 é uma estimativa da variação da produção no intervalo2 s x s 7.

Podemos interpretar graficamente cada variação da produção nossubintervalos. Notamos que no subintervalo 2 s x ^ 3, graficamente,AP = 5 x l = 5 representa a área do retângulo de base Áx = l e alturaP'(2,5) = 5. Da mesma forma, no subintervalo 3 s x <, 4, graficamente,AP = 7 x l = 7 representa a área do retângulo de base àx = l e alturaP'(3,5) = 7. A variação total AP = 45 foi obtida somando as áreas dosretângulos representados na Figura 10.3.

304

Figura 10.3 Variação da produção como soma das áreas

dos retângulos nos subintervalos.

r W <

1 1

0

//

/*

_

,/*^

?

.//^

*

.//"

'

/

7

Lembramos que a taxa de variação da produção P'(x) = 2x foi obtida al -da função produção P(x) = x1 e, uma vez que temos tal função, a varia-yilo total da produção para 2sxs7 poderia ter sido obtida fazendo apenas

P(7) - P(2) = 72 - 22 = 49 - 4 = 45

1'udemos verificar que, de fato, AP = 45, pois já conhecíamos a funçãoorininal P(x) = x2, mas nem sempre conhecemos tal função, ou seja, mui-his \s conhecemos apenas a taxa de variação P' sem conhecer a funçãon i i V . i i i a l P. No Capítulo 11 serão trabalhados métodos para determinaril r . i bricamente a função P a partir de P'.

No exemplo anterior, notamos que o procedimento utilizado para esti-l l i . i r AP em um intervalo a partir de subintervalos e o cálculo de P' nos pon-tos médios dos subintervalos resultou no valor exato AP = 45, conformeverificado por P(7) - P(2) = 45. O método utilizado deu o valor exato, poisli . l .unos com uma função de 1° grau para P'; entretanto, se P' apresentarmu função cujo gráfico é uma curva, tal procedimento dará uma estima-

m.i do valor real de AP.A seguir será tratado tal procedimento de estimar AP para uma função

/•' cujo gráfico será uma curva diferente da reta que representa a função do• l" grau, embora os passos a serem seguidos sejam os mesmos usados nol txnnplo anterior.

Estimativa para a Variação da Produçãot partir da Taxa de Variação

l .1 unos interessados em obter a variação de P em um intervalo que vai de a até

ti partir de sua taxa de variação P' = f(x). Para tanto, seguiremos os passos:

305

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capitulo 10 - O Conceito de Integral

1 1a Passo: Dividir o intervalo a s x <, b em "« subintervalos". O tamanhode Ax de cada subintervalo será dado por:

Ax = b-a

1 2" Passo: Tomar os pontos médios de cada subintervalo, que serão sim-bolizados por x i, x2, x3, ... , xn.

..Subintervalos-

4,

Pontos Médios.

1 3a Passo: Calcular o valor da função para cada ponto médio: f(X]), f(x2),f(x3), ..., f(xn). Tais valores representam a taxa constante em cada subin-tervalo.

a x, x2 x3 Xn f ,

• 4" Passo: Obter o valor da variação total de P por meio da soma:

Variação Total de P = f(x-i) • Ax + f(x2) • Ax + f(x3) • Áx + ... + f(xn) • Ax

Assim, temos uma estimativa da variação total de P em um intervalo dea até b calculada a partir de sua taxa de variação P' = f(x).

Graficamente, a estimativa da variação total é dada por uma estimati-va da área entre a curva de P' e o eixo x. Essa estimativa gráfica é dadapela soma das áreas dos retângulos abaixo da curva.

306

Figura 10.4 Variação total de P(x) como área aproximadaabaixo da curva P'(x) = fí,x).

r •

f(x }

f(x?\x.} -

-""'"

a X*(

^^,•^*

x->

/^

Xi

//

/

x*.

/P = f(x)

l* X

\» i.içao da Produção e Integral Definida

HVrtlainos de uma estimativa. E se quiséssemos melhorar a estimativa ouul i l r r o valor exato da variação total de P? Isso é possível com o auxílio daIfiirí.i dos limites. Para tanto, primeiramente observamos que é possívelMH I l iorar o valor da estimativa e o preenchimento da área entre o eixo x el mrva, se diminuirmos a largura dos subintervalos (largura dos retângu-I I I K ) conforme a Figura 10.5.

Figura 10.5 Melhor preenchimento abaixo da curvacom número maior de retângulos.

hirão, o ideal é fazer com que o número de subintervalos (ou de retân-r.ulos) "cresça tanto quanto se queira" ou, em outras palavras, o ideal é

307


fazer com que o número de subintervalos (ou de retângulos) "tenda a infi-nito". Assim, o tamanho Ax de cada subintervalo (ou a largura de cadaretângulo) "tende a zero".

Podemos escrever tal ideia com notação de limites, obtendo assim avariação total, e exata, da produção

Variação total de P nointervalo de a até b

lim (f(Xl) . Ax + f(x2)- Ax + f(x3) • Ax + ...+ f(xn) • Ax)•»

com b-a

O segundo termo dessa expressão é uma soma infinita. Tal soma tam-bém é conhecida como integral definida de f(x) no intervalo de a até b e

é simbolizada por l f(x)dx .

Assim, temos

\j(x}dx = f(x2) • Ax + f(x3) • A* • Ax)

onde Ax =b-a

e x\, x2, , xn são pontos* dos n subintervalos do

intervalo [a; b].

Naturalmente, é difícil realizar cálculos numéricos para a obtenção deuma soma infinita. O limite que expressa a integral definida nos dá a ideiado processo para obter de maneira exata a variação total de uma função apartir da taxa de variação de tal função. Logo, para nossos exemplos eexercícios neste capítulo, estaremos interessados na obtenção de estimati-vas para a integral definida. Assim, em vez de tomar n -* °°, faremos os cál-culos para um número finito de subdivisões (retângulos).

* Escolhemos para nossos cálculos Xj , X2, . . . como pontos médios de cada subinterva-lo, mas tais pontos não precisam ser necessariamente os pontos médios. É necessárioapenas que Xj, x2, . . . sejam pontos dos subintervalos.

i.\i'inplo: Dada a função R'(q) = q3 que mede a taxa de variação da recei-i i 1 1 M I seja, receita marginal), obtenha uma estimativa para a variação totalil.i receita no intervalo de q = 4 até q = 24.

Solução: Chamando R'(q) = f(q) = /f estamos interessados em obter uma esti-

i n . i i i v a para integral definida J. f(q)dq. Para uma estimativa do limite

jf f(q)dq = ) • Aq + f(q2) • Aq + f(q3) • Aq + ... + f(qn) • Aq)

tomaremos 10 subdivisões para o intervalo 4sqs 24, ou seja, faremos n = 10.Para obter tal estimativa, procederemos seguindo os mesmos passos uti-

li/,idos na determinação da variação total da produção.

• l" Passo: Dividimos o intervalo 4 s q s 24 em n - 10 subintervalos. Otamanho Aq de cada subintervalo será dado por:

Aq =24-4 20

Aq = — — = — = 2 => Aq = 210 10

• 2° Passo: Tomar os pontos médios de cada subintervalo, que serão sim-bolizados por <7i, q2, q3, ... , qw.

V 2 A« = 2

<J = 4 ?! 6 <J2 í

1Pontos l i

Médios ' 5 7

A,= 2

! 93 10 •19

A, = 2

• 22 Í10 24 = fc 9

1i23

1 .?" Passo: Calcular o valor da função para cada ponto médio: f(q\), f(q2),f(q3),..., f(q\oí- Tais valores representam a taxa constante em cada subin-tervalo.

308309

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capítulo 10 - O Conceito de Integral

2324 q

• 4a Passo: Obter o valor da variação total de R por meio da soma:

Variação Média de R = f(q{) • àq + f(q2) ' bq + f(qj) • Ag + ... + f(q\o) • AijVariação Média de R = f(5) • 2 + f(7) • 2 + f(9) • 2 + ... + f(23) • 2Variação Média de R = 53 • 2 + 7^ • 2 + 9^ • 2 + ... + 233 • 2Variação Média de R = 125 • 2 + 343 • 2 + 729 • 2 + ... + 12.167 • 2Variação Média de R = 250 + 686 + 1.458 + ... + 24.334Variação Média de R = 82.600

Assim, temos uma estimativa da variação total de R em um intervalo de1

q = 4 até q = 24 calculada a partir de sua taxa de variação R'(q) = f(q) = < / ' .Graficamente, a estimativa da variação total é dada por uma estimativa

da área entre a curva de R' e o eixo q. Essa estimativa gráfica é dada pelasoma das áreas dos retângulos abaixo da curva.

Figura 10.6 Variação total de R(q) como área aproximadaabaixo da curva R'(q) = f(q).

12.167

L 25

•

' 9 11 13 15 17 19 21 2324 1

310

( muliiímos que AR = 82.600 é uma estimativa da variação total da1 1 i i . i K no intervalo de q = 4 até q = 24. Tal estimativa foi calculada an i n i l r sua taxa de variação, ou receita marginal, R'(q) = q^.

l Integral Definida como Área

|nlogra/ Definida para f(x) Positiva

Nus rxcMnplos anteriores, a soma f (x i) • Ax + f(x2) • Ax + ... + f(xn) • Aoc

i|in i l r l i n i a a integral J f(x)dx teve como interpretação gráfica a soma de

•llAiiHiilos, cuja base é Ax e cuja altura é o valor da função nos pontosIm^i l ioN dos subintervalos f(x{), f(x2), •••, f(xn). Quando o número de retân-•llloK tende a infinito, tais "retângulos" de "bases infinitamente pequenas"• Aluíra como o valor da função em cada x do intervalo permitem preen-llhrr perfeitamente a área entre a curva de f(x) e o eixo x.

l . 1 1 fato sugere que:

Área abaixo do gráfico de f (x) e acima do eixo x _ \f(x)dx

no intervalo de a até b "

l puni f(x) positiva e a < b.A l;igura 10.7 traz a integral definida de uma função positiva como a

lérrii entre a curva, que representa a função, e o eixo x.

Figura 10.7 Integral definida como área entre a curva e o eixo x.

y t

.....r.~: Sendo P'(x) = 2x a função que dá a taxa de variação da produção,(tenha graficamente a variação total da produção no intervalo 2 s x s 7.

311


Solução: Observe que tal função é a mesma utilizada no início deste capi-tulo. Queremos obter a variação total da produção a partir de sua taxa dovariação em um intervalo, ou seja, chamando P'(x) = f(x) = 2x estnni" ,

interessados em obter o valor da integral \f(x)dx ou ^2xdx. Como foi

solicitada a obtenção da integral por meio de gráficos, lembramos que talintegral é representada graficamente pela área entre o gráfico de f(x) = 2xe o eixo x no intervalo 2 s x z 7.

y-14

fM = 2X y_/ 1 A

---^* 14

/^^

-"/f \lf(x)dx Base4^^_± : ^ Menor

x

'

fíx) = l*/

.//

". r^''"' U )

\^ j

^.BaseMaior

— >TC

2 Altura = 5 7

Notando nesse caso que J2 2xdx = (Área do Trapézio), devemos lem-

brar que

, . (Base Maior + Base Menor) x AlturaÁrea do Trapézio =

para a função f(x) = 2x, com o auxílio da figura:

• Base Maior será f(7) = 2 • l = 14• Base Menor será f(2) = 2 • 2 = 4• Altura será a largura do intervalo, ou seja, 7-2 = 5

Calculando a área:

Á A T - - (14 + 4 ) x 5 18x5Área do Trapézio = = = 452 2

obtemos o valor da integral definida, ou seja, J22xá% = 45, o que indica

t|f|rt, la l resultado confirma a validade das estimativas feitas anteriormen-te, seguindo outros procedimentos de cálculo.

I n i « - i / r a í Definida para f(x) Negativa

exemplos anteriores, a integral foi calculada em intervalos em que af(x) era positiva, ou seja, no gráfico de f (x), estava acima do eixo x.

comum aparecerem situações em que o gráfico de f(x) está abaixo doi MI \o intervalo. Nesses casos, é negativo o valor da integral definida.

ll.ista notar na Figura 10.8 que o cálculo dos valores de f(x) nos pontosliirilios resultam em números negativos, enquanto Ax permanece positivoM soma que compõe a definição da integral definida. Ou seja, temos/i 1 1 1 • &x + f(x2) • Ax + ... + f(xn) • Ax < O, pois cada parcela f(x{) • Ax,l( < , > • A%, ... é negativa, já que f(x\) < O, f(x2) < O, ... e Ax > 0.

P.ira funções cujos gráficos apresentam curvas que ficam tanto abaixo."i i u i acima do eixo x, podemos interpretar a integral definida como a«mu e a subtração de várias áreas.entre a curva e o eixo, conforme o caso.

Figura 10.8 Integral definida negativa para curvade fí,x) abaixo do eixo x.

}f

(+)0

(-)

foi)negativo

.. f.Ax positivo

_« r*T: b 0

^^~~~~-U-

! X

yfo)//

/

í b. »X

fj(X)dX < 0 \/f(x)

/

^^~~—^

/

que, no intervalo 2 s x s 7, a variação total da produção é 45. Note quefoi possível calcular a área exata entre a reta e o eixo x no intervalo, ou

Na Figura 10.9, a integral definida é dada como a soma das áreas Aj eA i subtraindo-se a área A2.

312 313


y t

o

H

Figura 10.9 Integral como soma e subtração de ,

/f(x)

l\A-l-A2+A-.

b x

Problema: Em uma empresa, na comercialização de um certo produto, ataxa de variação da receita, ou seja, a receita marginal, é dada segundo ográfico a seguir:

80 q

Obtenha a variação da receita conforme cada integral solicitada:

Solução:

• A integral J K(q)dq é representada pela área Aj:

Base x Altura (20 -10) x 20 10x20A, = Área do I riangulo = - = - = - =2 2 2

Assim, a variação da receita no intervalo 10 s g s 20 será J R'(q)dq = 100.

100

A integral y R\q)dq é representada pela área A2 com sinal negativo:

, , _ .„ , Base x Altura (40 - 20) x 20 2 0 x 2 0 „„„\l • Área do Triângulo = = = = 200

tMim, a variação da receita no intervalo 20 ^ q s 40 será J R\q)dq = -200.

• A integral í80' R'(q)dq é representada pela área A3:

, (Base Maior + Base Menor) x AlturaA, = Área do Trapézio =

[(80-40) + (80'-45)]x 10 (40 + 35)xlO 75x10Ai = = = = 3/5

2 2 2

Ansim, a variação da receita no intervalo 40 s q s 80 será J R\q)dq = 375.

Tal integral é obtida pela soma das integrais:

J lO

r40} R\q)dq = 100 - 200 = -100

Do mesmo modo que o item anterior

J10+ A

j80 R'(q)dq = 100 - 200 + 375 = 275

.314 315

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capítulo 10 - O Conceito de Integral

Cálculo da Área entre Curvas

Como veremos em aplicações práticas nos capítulos seguintes, é útil callar a área compreendida entre duas curvas que representam funções.

Para desenvolver tal cálculo, vamos supor duas funções f(x) e g(nsendo f(x) z g(x) em um intervalo a s x s b, ou seja, graficamente a eu:de f(x) está acima da curva de g(x) na região delimitada pelas retas vê,cais x = a e x = b, conforme a Figura 10.10.

Notamos que, para obter a área entre as curvas de f(x) e g(x), basta sutrair da área maior a área menor, sendo a área maior dada entre f(x) eeixo x e a área menor dada entre g(x) e o eixo x.

Como subtraímos duas áreas, podemos interpretar tal operação por mi

de uma subtração de integrais. A área maior é dada por J f(x)dx

a área menor é dada por J g(x)dx ; então a área entre as curvas f(x) e j

no intervalo a <. x s, b será:

Área entre Curvas = J f(x)dx - J g(x)dx

Área entre Curvas = £ (f(x) - g(x))dx.

Figura 10.10 Área entre curvas como J* (f(x) - g(x))dx.

b x

l'n>lilcma: Estime a área compreendida entre as curvas f(x) = 4x e g(x) = x'HM ini iTvalo O < x < 2 e faça uma representação gráfica.

\iiliH'iio 1: Sabemos que a estimativa da área será dada por

Área entre Curvas = \ - J g(x)dx

Área entre Curvas = J0 4xdx - JQ x3dx

Estimando numericamente as integrais, realizamos os cálculos com

M = 10 subdivisões do intervalo O < x < 2 e obtemos J0 4xdx = 8,00 e

|M \'\ix = 3,98; assim

Área entre Curvas = 8,00 - 3,98 = 4,02

Solução 2: Sabemos que a estimativa da área também pode ser escrita..mio

Área entre Curvas = \ (f(x) - g(x))dx

Área entre Curvas = J (4* - x^)dx

lístimando numericamente tal integral, realizamos os cálculos com

W = 10 subdivisões do intervalo O < x < 2 e obtemos J, (4a: - x3) dx = 4,02;

.issim

Área entre Curvas = 4,02

Graficamente, note que no intervaloO < x < 2 a função f(x) = 4x tem a curvacom traçado acima da curva g(x) = x3.Nos próximos capítulos, realizaremos oc. i lculo exato de tais integrais, dispen-vindo, assim, as aproximações.

316 L 317


Valor Médio e Integral DefinidaUma das aplicações da integral definida está em calcular o valor médio deuma função. Os raciocínios descritos a seguir nos mostrarão como isso épossível.

Vamos considerar para nossos cálculos o valor V de uma ação no decor-rer dos dias t. Se temos os valores dados dia a dia, discretamente, conformea Tabela 10.2, relembramos que é fácil obter o valor médio pelo cálculo damédia aritmética simples:

Valor Médio =V(í2) + V(í3) +. . .+ V(tn)

42,50+44,00+ 47,00+ ...+ 51,00Valor Médio = - — = 46,40

10

Tabela 10,2 Valores de uma ação negociada na bolsa de valores

Tempo (t)

Dias

V (t)

Valor

t, (2 t3 t, ts t6 t-, t8 t, t,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

V(t,) V(t2) V(t3) V(t4) V(t5) V(t6) V(t7) V(t8) V(t9) V(t10)

42,50 44,00 47,00 46,50 45,00 47,50 47,00 45,50 48,0051,00

Entretanto, se tivermos uma função relacionando o valor V com o tempo

t, podemos relacionar a integral definida J V(t)dt com o valor médio da

função V(t) em um intervalo de tempo a s t z b.Primeiramente, lembramos que tal integral definida é dada por

\a V(t)dt = ̂ ̂ (V(íj) • Aí + V(í2) • Aí + V(í3) • Aí +...+ V(íJ • Aí)

Onde Aí = — - — , ou seja, podemos escrever « = . .

Como Valor Médio =Vfíj) + V ( í 2 ) + V ( f 3 ) + ...+V(íJ

vamos supor

que tal valor médio é calculado para um intervalo de tempo idêntico ao da inte-

318

Capítulo 10 - O Conceito de Integral

> l . mi seja, a <, t <, b e os diferentes instantes íj, í̂ , (3, ... , tn são obtidos nos

l ml 'intervalos de tamanho Aí = — - — . Assim, substituindo n = — — , no

li >i médio acima, obtemos:

+V(í2) +V(í3) +... + V(tn); com algumas passagens

Aí

ty,,r Médio = ÍV(t}) + V(Í2) + V(Í3) + ... + V(íJ] •

l

Aí

,1/or Médio =b- a

b-a

i) + V(t2) + V(í3) + ... + V(íB)] • Aí

\',il,ir Médio = [V(ti) • Aí + V(f2) • Aí + V(f3) • Aí + ... + V(tn) • Aí]b-a

Notamos que, na parte entre colchetes, temos a soma que dá origem àimcgral definida; assim, se tomarmos um n -» oo podemos escrever

1 Lv(ít) • Aí + V(í2) • Aí + V(í3) • Aí + ... + V(tB) • Aí J\\ilor _ 1

Mfdio b-a

i | i ic, expresso em termos de integrais, pode ser escrito como

Valor Médio =b- a

• f V(t)dt

Assim, podemos encontrar o valor médio de uma função f(x) em um

intervalo a s x s b pela fórmula

Valor Médio = J* f(x)dxb- a

Problema: A receita, em reais, na venda de um produto é dada por R(x) = 2%,niulc x representa a quantidade comercializada. Determine o valor médio dai n ci ta para a comercialização de x = 2 até x = l .

Solução: O valor médio da receita no intervalo 2 s x a 7 será

319


Valor Médio = —— • %R(x)dx

Valor Médio = — • J

Em exemplos anteriores, já calculamos a integral, obtendo \\lxdx = 45;

assim

Valor Médio = - • 45 = 95

ou seja, o valor médio da receita no intervalo x = 2 até x = 7 é de R$ 9,00.

H Primitivas e Teorema Fundamentaldo Cálculo

Primitivas

No início do capítulo, foram dadas a função produção P(x) = x2 e sua deri-vada P'(x) = 2x. A função P(x) = x^ também é conhecida como uma primi-tiva da função P'(x) = 2x. De um modo geral, a primitiva (ou antideriva-da) de f(x) é uma função que, quando derivada, resulta em f (x). Assim,F(x) é uma primitiva de f(x) se F'(x) = f(x).

• Uma função F(x) é uma primitiva de f(x) em um intervalo se F'(x) = f(x)pata todo x do intervalo.

x4Exemplo: Verifique que F(x) = ~r~ é uma primitiva de f(x) = x3.

Solução: Queremos verificar que F'(x) = f (x), então vamos obter a deriva-da de F(x):

F(x) = ^ 4 derivando j.

7


Assim, temos que F(x) é uma primitiva de f(x).l ' , na o exemplo anterior, é interessante notar que a primitiva de f(x) = x'

X4 X4Ililn é única. Na verdade, as funções H(x) = -— +l e /(*) = ~2~ + 10

li i i i i lwm. representam primitivas de f(x) = x3 pois, ao derivá-las, obtemos/ i »

1'crcebemos que H(x) e 7(x) são diferentes de F(x) apenas pelas constan-Ics l e 10, que foram somadas a F(x), respectivamente. Isso permite dizer(|iif, se F(x) é uma primitiva de f (x), então F(x) + C também será uma pri-iniliva de f(x), onde C é uma constante qualquer.

Teorema Fundamental do Cálculo

No início do capítulo, foram dadas a função produção P(x) = x2 e sua deri-v . u l . i , ou taxa de variação, f(x) = P'(x) = 2x, e estimamos a variação totalil . i produção AP para o intervalo 2<,x<,l por meio da soma das variações

< l . i produção AP para os n subintervalos de tempo A#, onde Ax = —

i l . i o tamanho de cada subintervalo:

Variação Total de P = f (x i) • Ax + f(x2) • &x + f(x3) • Ax + ... + f(xn) • àx

Sabemos que, no intervalo 2 s x z 7, se o número de subdivisões aumen-i . i r indefinidamente, n -» oo, podemos escrever a variação total da produ-ção por meio da integral

Variação Total de P = J2 ftx)dx

Como f(x) = P'(x) = 2x, a variação total da produção P(x) = x2 seráJ.ida por

Variação Total de P = J7 2xdx

321


Ressaltamos que a variação total da produção em um intervalo é dadapela integral da taxa de variação da produção no intervalo.

A integral descrita já foi calculada e obtivemos J2 2xdx = 45; assim

Variação Total de P = 45

Vale ressaltar que, até agora, todos os cálculos foram realizados a par-tir da taxa de variação da produção, ou seja, a partir de f(x) = P'(x) = 2x.Entretanto, se notamos que a produção é dada por P(x) = x2, podemos cal-cular facilmente tal variação, fazendo a subtração entre a produção final ea produção inicial, calculadas em x = 7 e x = 2, respectivamente:

Variação Total de P = P(7) - P(2) = 72 - 22 = 49 - 4 = 45

Na verdade, nos cálculos apresentados na integral e nessa última linha,lidamos com a taxa de variação da produção f(x) = 2x e uma primitivaP(x) = x2. Isso sugere que

Variação Total de P = \l2xdx = P(7) - P(2)

Variação Total de P = J2 2xdx = 72 - 22 = 4 5

ou, em outras palavras, o cálculo da integral definida de uma função emum intervalo é obtido calculando a diferença dos valores de uma primitivanos extremos do intervalo.

Costumamos generalizar tal resultado, conhecido como TeoremaFundamental do Cálculo, da seguinte forma:

Dada uma função f (x) contínua em um intervalo a s x s b, então

onde F(x) é uma primitiva de f (x), ou seja, F' (x) = f (x).

Assim, conhecendo uma função F(x) que, quando derivada, resulta emf(x), podemos calcular a integral definida de f(x) em um intervalo a s x -a bfazendo a subtração de F (x) calculada no limite superior e no limite infe-rior do intervalo.

322


F.ntendendo f(x) como a taxa de variação de uma função F(x), podemosili/.iT que a integral definida da taxa de variação de uma função em umintervalo dá a variação total da função no intervalo.

Observamos que, com tal teorema, para o cálculo da integral definidade uma função, se conhecemos uma primitiva da função, não é mais neces-•. . i r io realizar as somas como no início do capítulo. No próximo capítulo,• '.melaremos técnicas que permitem encontrar as primitivas das funções.

l \cmplo: Dada a função R' (q) = q3 que mede a taxa de variação da recei-i . i (ou seja, receita marginal), obtenha a variação total da receita no inter-\ . i l o de q = 4 até q = 24.

Solução: Chamando R' (q) = f(q) = q3, a variação total da receita será

Para utilizarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, precisamos deuma primitiva de f(q) = q3. Pelo exemplo anterior de primitivas, sabemos

q4i|ue F(q) = -- é uma primitiva de f(q) = q3.

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, J* f(x)dx = F(b) - F(a); então

J244f(q)dq = F(24) - F (4) = ̂ ~- - ̂ - = 82.944 - 64 = 82.880

Assim, a variação total da receita é 82.880.

Problema: O custo, em reais, para a fabricação de x unidades de um pro-duto é dado por C(x) = 3x2 + 100. Obtenha o valor médio do custo quan-do são produzidos de x = 10 a x = 30 unidades.

Solução: Sabemos que o valor médio de uma função em um intervalo</ < x < b é

Valor Médio = - - • \b - a "

Então, o valor médio do custo no intervalo 10 < x < 30 será

Valor Médio -30-10

323


Para calcular J1Q C(x)dx pelo Teorema Fundamental do Cálculo, preci-

samos de uma primitiva de C(x) = 3x2 + 100. A função F(x) = x3 + WOx éuma primitiva, pois

F(x) = *3 + WOx derivando = 3%3-l + 100 + 100

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, \ = F(b) - F(a); então

ll°C(x)dx = F(30)-F(10) = (303 + 100 -30)-(IO3 + 100 -10) =30.000-2.000 = 28.000

Logo, J10 C(x)dx = 28.000 que> na fórmula do valor médio, resulta em

Valor Médio = —- —• • £°C(x)dx =--• 28.000 = 1.400

Assim, o valor médio do custo é R$ 1.400,00.

• Exercícios

1. Para um produto, a taxa de variação da produção em relação à quan-tidade de insumo x é dada por P'(x) = x2.

a) Obtenha uma estimativa da variação total da produção no interva-lo de x = 4 até x = 14, considerando para seus cálculos n = S sub-divisões (retângulos).

b) Faça uma representação gráfica da estimativa da variação total daprodução obtida no item anterior.

2. Na comercialização de um produto, a taxa de variação da receita emrelação à quantidade x comercializada, ou seja, a receita marginal, édada por R'(x) = 3x2.

a) Obtenha uma estimativa da variação total da receita quando sãocomercializados de x = 10 até x = 20, considerando para seus cál-culos n = 5 subdivisões (retângulos).

b) Faça uma representação gráfica da estimativa da variação total dareceita obtida no item anterior.


7.

Na fabricação de um produto, a taxa de variação do custo em relaçãoà quantidade q produzida, ou seja, o custo marginal, é dada porC,'(q) = q2 + 100. Obtenha uma estimativa da variação total do custoquando são produzidos de q = l até q = 5, considerando para seus cál-culos n = 10 subdivisões (retângulos).

Na comercialização de um produto, a taxa de variação do lucro emrelação à quantidade q comercializada, ou seja, o lucro marginal, édada por L'(q) = -q2 + 8q - 7. Obtenha uma estimativa da variaçãototal do lucro quando são comercializados de q = 2 até q = 7, consi-derando para seus cálculos n = 10 subdivisões (retângulos).

Obtenha o valor da integral J2 Sxdx geometricamente a partir do grá-

fico de f(x) = 5x.Obtenha o valor da integral \ (2x + 4)dx geometricamente a partir

do gráfico de f(x) = 2x + 4.

Em uma empresa, na comercialização de um certo produto, a taxa devariação da receita, ou seja, a receita marginal, é dada segundo o grá-fico a seguir:

O 10 30 40 50 60 q

Obtenha a variação da receita conforme cada integral solicitada:

8. Em uma empresa, na comercialização de um certo produto, a taxa devariação do lucro, ou seja, o lucro marginal, é dada segundo o gráfi-co a seguir:

324 325

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidadeibilidade

85 q

Obtenha a variação do lucro conforme cada integral solicitada:

9. Determine a área compreendida entre as curvas f(x) - 12x e g(x) = 3*2

no intervalo O s x s 4, sabendo que í \2xdx =96 e J I2xdx = 96.

Faça também uma representação gráfica.

10. Determine a área compreendida entre as retas f(x) = 2x + 12 e g(x) = 5xno intervalo l s x s 4 e faça uma representação gráfica. Sugestão: parao cálculo das integrais, esboce primeiramente os gráficos separados def(x) e g(x).

11. O valor da "ação" de uma empresa negociada na bolsa de valores nodecorrer dos dias x é dado por V(x) = x + 10. Qual o valor médio daação no intervalo de dias de x = 10 até x = 15? Sugestão: obtenha geo-metricamente o valor da integral.

12. O preço de um produto no decorrer dos meses x é dado por p = x2 + 100.Obtenha uma estimativa do preço médio do produto no intervalo demeses de x = 5 até x = 10. Observação: Obtenha a estimativa do valorda integral usando n = 10 subdivisões.

13. Para cada item, dadas as funções, verifique que F (x) é uma primitivade f(x):

326


a) F(x) = — e f(x) = x4 b) F(x) = x3 + 5x2 - l e f(x) = 3x2 + 10*

14. Para cada item, são dadas as funções G(x), H(x) e f(x). Verifique seG (x) e/ou H(x) representam ou não primitivas da função f(x).

a) G(x) = x6, H(x) = 3x2 e f(x) = 6xb) G(x) = x4 + l, H(x) = x4 - 15 e f(x) = 4x3

c) G (x) = Sx2 + l, H(x) = 5x2 + 2x e f(x) = íOx + l

15. Sabendo que F(x) = x3 é uma primitiva da função f(x) = 3x2, obtenha

16. Sabendo que F (x) = x2 + x é uma primitiva da função f(x) = 2x + l,

obtenha \f(x)dx.

17. Sabendo que F(x) = 2x* + 5x é uma primitiva da função f(x) = 6x2 + 5,

obtenha J (6x2 + 5)dx.

18. Em um grande magazine, as vendas V, em unidades, de um produto nodecorrer dos dias x podem ser expressas pela função V (x) = 6x + 120.Determine o número médio de unidades vendidas do dia x = 5 até odia x = 10. Sugestão: resolva graficamente a integral envolvida ou useo fato de que F(x) = 3x2 + 120% representa uma primitiva da funçãoV(x).

M TÓPICO ESPECIAL - Regra de Simpson(Integração Numérica)

Para algumas integrais definidas apresentadas neste capítulo, obtivemosaproximações numéricas de seu valor utilizando subintervalos e os pontosmédios desses subintervalos. Existem outros métodos que permitem esti-mar numericamente o valor de uma integral definida, e a Regra de Simpsoné um desses métodos. A integração numérica é muito utilizada quando nosdopáramos com funções cujas primitivas são complexas ou ainda quandoas funções que estamos trabalhando foram geradas por situações empíricasou experimentais.

í*27


Com o intuito de minimizar tais dificuldades, faremos uso da Regra deSimpson para calcular as integrais definidas, obtendo, na maioria doscasos, uma boa aproximação.

A seguir, temos a regra para a obtenção da integração numérica em umintervalo [a; b] com f(x) a O, sendo n um número par de subintervalos de[a; b]:

Regra de Simpson

fcftodx -4f [f(x0) + 4/1*,) + 2/1*2) + 4/(*3) + 2/l*4) +...+ 4f(xn_J + f(xn)]

onde: Ax = —-— ; n é. par e x0, *i, %2, —, *n-i> *« sã° os extremos dos

subintervalos.

O padrão dos coeficientes de f(x) será sempre: l, 4, 2, 4, 2, 4, 2, ... , 4, 2,4,1.

Exemplo: Obtenha uma aproximação de J2 ̂ xdx utilizando a Regra de

Simpson com n = 10 subdivisões.

Solução: De acordo com a fórmula dada, a = 2 e & = 3; então:

portanto, teremos n = 10 subintervalos de comprimento Ax = 0,1; logo,os extremos dos subintervalos são XQ = 2, x{ = 2,1, #2 = 2,2, x3 = 2,3,#4 = 2,4, ... , x9 = 2,9 e x10 = 3

= £? lf(2) + 4/124) + 2/(2,2) + 4/|23) + 2/J2.4) + 4/(2,5) + 2/(2,6) +

+ 4/(2,7) + 2/12,8) + 4/12,9) + /(3)]

f2Jxdx= — [1,41 + 5,80 + 2,97+6,07 + 3,10+6,32+3,22+6,57+3,35 +

+ 6,81 + 1,73] =

= J2 Víííx= y [47,35], o que indica que £ -Jxdx • 1,58.

328


) • \cinplo: Um órgão de pesquisas económicas do governo está utilizandoum índice económico para medir as taxas de inflação i(t) em um períodomensal de janeiro a setembro. Utilize a Regra de Simpson para calcular av.unção total de inflação no período (í).

Muses

(D

Tnxas de inflação /'(t)

(% por mês)

Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2,0 2,5 3,0 1,5 2,7 2,3 2,1 1,0 3,0

Solução: Se i(t) representa a inflação e f(t) sua taxa, a integral J. i'(t)dt nos

lornece o valor estimado da variação total da inflação de t = l a t = 9.Resolvendo tal integral pela Regra de Simpson, é conveniente escolher n =

S subintervalos,

b- a 9-1 8n = 8 => A í = — — = — — = — = l => A í = l

n 8 8

l-.ntão, os extremos dos subintervalos são í0 = l, t\ 2, Í2 = 3, ... , «7 = 8 e

/„ = 9.

,0) + 4(l,5) +2(2,7) + 4(2,

\^f(t)dt » 0,33[2,0+ 10,0 + 6,0 + 6,0 + 5,4 + 9,2 + 4,2 + 4,0 + 3,0] * 16,43

16,43

Assim, a variação total da inflação no período de janeiro a setembro éaproximadamente 16,43%.

• Problemasl . Utilize a Regra de Simpson para aproximar

subdivisões.

—dx com n = 6


2. Para os itens a seguir, calcule Simpson com n = 4 subdivisões (use oarredondamento com quatro casas decimais).

a) b) c) d)

capítulo 11

Técnicas de Integração

3. Uma corretora detém uma carteira de títulos, tendo apresentado ren-dimento médio mensal de acordo com as taxas dadas na tabela emedidas em porcentagem por mês. Estime através da Regra deSimpson a porcentagem total de aumento da carteira ao longo de umperíodo quadrimestral.

(t)/'(t)

16,5

2

4,8

3

8,2

4

10,5

5

5,4

4. Use a Regra de Simpson para estimar a área sob o gráfico de y = f(x).

8 9 W x

5. O nível de consumo é dado pela função C = -J x + 100 , onde x repre-senta a variação de tempo em anos e C o consumo em unidades.

a) Esboce, com o auxílio de uma tabela, o gráfico da função consumopara os cinco primeiros anos.

b) Obtenha uma aproximação de / Vx + 100 • dx utilizando a

Regra de Simpson para estimar o consumo médio no período decinco anos. (Use n = 10 subdivisões.)

330

• Objetivo do CapítuloNesse capítulo, você estudará os procedimentos que permitem encontrar aintegral indefinida de uma função, ou seja, dada uma função, você aplica-rá as técnicas de integração para obter sua integral indefinida. Trata-se deum capítulo em que o objetivo principal é obter de modo rápido a primiti-va, ou integral indefinida de uma função dada, portanto é importante quevocê treine cada técnica apresentada. Você treinará também uma maneiraili- obter a integral definida de uma função a partir de sua integral indefi-nida e do Teorema Fundamental do Cálculo. No Tópico Especial, vocêcomplementará o estudo das técnicas de integração trabalhando a técnicai| i ie permite obter algumas integrais impróprias.


• Integral Indefinida

No capítulo anterior, utilizamos a integral definida em muitas situatõc»práticas e vimos uma maneira de calcular a integral definida utilizam!»o Teorema Fundamental do Cálculo, que pode ser enunciado assim"Dada uma função f(x) contínua em um intervalo a <. x s b, então

\ f ( x ) d x = F (b) - F(a), onde F(x) é uma primitiva de f(x), ou seja,

F(x)=f(x)".Logo, notamos que é importante conhecer uma função primitiva da fun

cão f (x). Neste capítulo, estudaremos técnicas que permitem encontrar asprimitivas de algumas funções. Tais técnicas são chamadas de técnicas d»integração. Como no Capítulo 7 ("Técnicas de derivação"), serão apresen-tadas as técnicas de integração necessárias para a obtenção das primitivas,de maneira rápida e simplificada. Nesse contexto, chamaremos de integra-ção o processo de obtenção das primitivas. Abordaremos apenas as regrasnecessárias para a integração das funções utilizadas em nosso curso.

Salientamos que nossa preocupação principal é apresentar as regras demaneira simplificada, deixando de lado as demonstrações e justificativas davalidade de tais regras. Sugerimos ao leitor interessado nas demonstraçõesde tais regras a consulta de livros de cálculo indicados na bibliografia, emespecial o livro Cálculo - Volume l, de James Stewart, onde constam asdemonstrações das regras apresentadas a seguir.

Para cada técnica apresentada, procuramos, sempre que possível, exem-plificá-la com funções já desenvolvidas nos capítulos anteriores.

Primitivas e Integral Indefinida

Lembramos que uma função F(x) é uma primitiva de f(x) em um intervalose F (x) = f(x) para todo x do intervalo. Por exemplo, F(x) = x2 é uma pri-mitiva de f(x) = 2x, pois F (x) = 2x2~l = 2x, para todo x no conjunto R <números reais.

Vale lembrar também que, se F(x) é uma primitiva de f (x), então F(x) + ̂também será uma primitiva de f (x), onde C é uma constante qualquer. Porexemplo, F(x) = x2 não é a única primitiva de f(x) = 2x, pois funções comoG(x) = x2 + \ H(x) = x2 + 10 também representam primitivas de f(x) = 2x,já que G'(x) = 2X2'1 + O = 2x e H'(x) = 2*2'1 + O = 2x.

Quando encontramos uma função primitiva F(x), de uma função f(x),costumamos simbolizar tal fato representando

332

Capítulo 11 - Técnicas de Integração

íf(x)dx = F(x)

»i i , i Ir forma equivalente, F (x) - f (x).i ustumanios dizer que }f(x) dx é a integral indefinida de f (x). Na inte-

HI,I! indefinida f f (x) dx = F (x), dizemos que f (x) é o integrando e, na escri-i i i l . i primitiva F(x), escrevemos a constante C, também chamada de cons-i.niií' de integração.

l \rmplo: Sabemos que F(x) = x2 + C é uma primitiva de f(x) = 2x; então,i M icvemos a integral indefinida de f(x) = 2x como

J2xdx = x2 + C

m u l o f(x) = 2x é o integrando. Tal integrando pode ser obtido pela deriva-

i l . i ck x2 + C:

F (x) = O => F (x) = 2x

Salientamos que o objetivo deste capítulo é apresentar técnicas paraencontrar as primitivas e, conseqiientemente, as integrais indefinidas denina função, assim como calcular as integrais definidas com o auxílio doTeorema Fundamental do Cálculo.

• Regras Básicas de IntegraçãoA seguir serão apresentadas as regras básicas de integração.

Função Constante

V|.i a função

f(x) = k

i nu lo k é uma constante; então, sua integral indefinida será

fkdx = kx + C (è é constante)

Exemplo: Calcule cada uma das integrais indefinidas:,\){7dx b)ídx

Solução:.1) {7dx = 7x + C b) fdx = fldx = lx + C = x + C

333

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidadu Capitulo 11 - Técnicas de Integração

Sugestão: Verifique a validade de cada regra calculando a derivada das fun-ções primitivas encontradas. Lembrando que ff(x) dx = F(x) significa c|iicF (x) = f (x) (ou seja, derivando a primitiva, encontramos o integrando f(x)),podemos verificar que a regra fkdx = kx + C está correta, pois derivando iprimitiva F(x) = kx + C

F (x) = À: + O = & => F (x) = k

encontramos o integrando f(x) = k.Para o exemplo:

• f7dx = 7x + C, derivando a primitiva F(x) = 7x + C

F (x) = 7 + 0 = 7=? F (x) = 7

encontramos o integrando f(x) = 7.

• fdx = fídx = x + C, derivando a primitiva F(x) = x + C

F (x) = 1 + 0 = 1=* F (x) - l

encontramos o integrando f (x) = 1.

Potência de xSeja a função

f(x) = x»

onde n é, um número real diferente de —1; então, sua integral indefinida

\x"dx = C (w é real e n * -1)

Exemplo: Calcule cada uma das integrais indefinidas:

e) \fdq i) \J-2

Solução:

c = + c = + c

v,/.v= C = -+ C = -+ C

v-3+l

•/• ' àq =

4 4 4

1 4 -f' da = -Jfl4 + C

- + C =-l

Constante Multiplicando FunçãoSi'|,i a função /J|A:) obtida pela multiplicação da função u(x) pela constante k

f(x) = k • u(x)

limão, a integral indefinida de /(jc) será

f k • u(x) dx = k - fu(x) dx

l H- modo simplificado

fk • u dx = k • fu dx (k é contante)

Na função y = k • w, para a obtenção da integral de y, a constante k' . |>cra" a determinação da integral de u.

Podemos dizer que a "integral de uma 'constante vezes uma função'" é.1 "i «instante vezes a 'integral da função'".

/ \cinjuo: Calcule a integral indefinida/5x3 dx.

334 335


Solução:

= 5v-3+l

13 + 1J -+c

Soma ou Diferença de Funções

Seja a função f(x) obtida pela soma das funções u(x) e v(x)

f(x) = u(x) + v(x)

Então, a integral indefinida de f(x) será

$[u(x) + v (x)]dx = fu(x)dx + fv(x)dx


f(u + v)dx = fu dx + ff dx

Procedemos de modo análogo para a diferença das funções u(x) e v (x)

f(x) = u(x) - v(x)

Então, a integral indefinida de f(x) será

f[u(x) - v(x)}dx = Su(x)dx - $v(x)dx


/(« - v)dx = fu dx - fv dx

Podemos dizer que a "integral de uma 'soma/diferença de funções'" é a"soma/diferença das 'integrais das funções'".

Exemplo: Calcule cada uma das integrais indefinidas:&)í(xl-x}dx

Solução 1: Denotando separadamente as integrais de x2 e de x para, emseguida, aplicar a regra da potência de x, temos

- x)dx = v-1 + 1

Solução 2: De modo abreviado, também é comum aplicar a regra da potên-cia de x em x2 e em x sem indicar separadamente as integrais:

336

Capitulo 11 - Técnicas de Integração

) f(7x3 - ÍQx + 5)dx

1: Denotando separadamente as integrais, temos

-10* + 5)dx = I7x3dx -{10* dx + J5 dx = 7\x*dx -

i+1 rl+l r4 r2 7r4' •'- in_—-i. s v-t r - 7-—m —+<;v.t-r = -^—.! + !

rl+l

'ITT-

Assim,7 r4

5x + C.

x +

Solução 2: De modo abreviado, também é comum aplicar as regras dapoiôncia de x, da constante que multiplica a função e da função constante,innforme o caso, sem indicar separadamente as integrais:

l(7x3~Wx+5)dx= 7^--lO^~ - 5x2 + 5x+ C

Função

A primitiva da função f(x) = — é F(x) = ln\x\o natural do módu-

lo de %), o que permite escrever a integral

\-^dx = \n\x +C

Exemplo: Calcule a integral indefinida s^dx.

Solução: Com o auxílio da regra f k - u d x = k - f u dx, fazemos

C =» J-áx=31n|*| + C

337

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capitulo 11 - Técnicas de Integração

Função ExponencialSeja a função exponencial

f(x) = a-

onde a é um número real tal que a > O e a n* 1; então, sua integral indcfinida será

f a1

* dx = f -In a

+C (a > O e a * l )

Exemplo: Calcule cada uma das integrais indefinidas:a) /2* dx b) /10.000 • 1,05* dx

Solução:

2X 2Xa)Í2xdx = -- 2X+C = -- +C => \2X dx = -- +C

In 2 In 2 In 2

ib) f lO. 000 •l,OSxdx = 10.000 f 1,05* dx = 10.000— — 1,05* + C

In 1,051,05- + C

In 1,05

Assim, / 10.000 • 1,05* dx = 10-000 i,Q5* + CIn 1,05

Função Exponencial na Base eSeja a função exponencial

f(x) = e*

onde e s 2,71828; então, sua integral indefinida será

fé" dx = ex + C

Exemplo: Calcule cada uma das integrais indefinidas:a) f5exdx b) f(-2ex + xe + 3e)dx

Solução:

a) \5ex dx = 5\ex dx = 5ex + C => \Sex dx = 5ex + C

l \(-2ex + xe +3e)dx = -2\e* dx + \xedx + \3e dx =

xe+l-2ex + ̂ — +3ex + C

-i^)!,

Assim, \(-2ex + xe + 3e)dx = -2e*e + l

3ex

Nesse item, lembre que e s 2,71828 é constante, portanto temos, noKimdo termo, x "elevado à constante e" (usamos, portanto, a regra da

al de uma potência de x) e, no terceiro termo, temos a integral de 3e,• r constante (usamos, portanto, a regra da integral de uma constante).

Integração por Substituição

Exemplo do Método da Integração por Substituição

lo estudado até o momento, procurar a integral indefinida de uma função/ ( * l significa procurar uma função cuja derivada resulta no integrando f(x).

Para as integrais indefinidas obtidas até aqui, podemos calcular suas• l ' nx.idas de maneira simples obtendo os respectivos integrandos, usando,l 1 n .1 ranto, as regras básicas de derivação. Estudaremos a seguir o método• Li integração por substituição, o qual permite encontrar integrais indefini-il.r. mais elaboradas. Para tais integrais indefinidas, se quisermos obter oIntegrando a partir de suas derivadas, necessitamos da regra da cadeia noprocesso de derivação. Assim, costumamos dizer que o método de integra-t ' A < > por substituição está diretamente relacionado com a regra da cadeial > . i i . i derivadas.

No exemplo a seguir, utilizamos o método da substituição para obter aIntegral indefinida.

/ \rmplo: Calcule a integral indefinida f2x • (x2 - í)4dx:

Solução: Estamos interessados em encontrar uma função cuja derivadaicsn l t a em 2x • (x2- - l)4. Observando que 2x pode ser entendido como aderivada de x2 - l, fazemos a substituição da expressão x2 - í por umaimv.i variável «, u = x2 — 1. Lembrando que, se u = f(x), podemos escrever

338 339

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capítulo 11 -Técnicas de Integração

a diferencial como du = u' (x) • dx. Nesse exemplo, temos du = 2x <l.\, «que permite rearranjar os termos do integrando e reescrever a integral inde-finida a partir da nova variável u por meio de substituições convenientes;

2xdx = \u*

du

Com tais substituições, transformamos a integral /2x • (x2 - l)4 dx naintegral J«4 du, que é obtida pela regra da potência.

Como nosso integrando original é uma função que depende de x, I n / rmós novamente a substituição u = x2 - 1 e obtemos a integral indefinidídesejada

J2x- (x2 - C

+ C .Assim, J2* • (x* - \Ydx =

(x2 -l)5Observamos novamente que, para derivar - — + C e obter

2x • (x2 - l)4, é necessária a utilização da regra da cadeia. Deixamos talverificação a cargo do leitor.

Passos para Aplicar o Método da Substituição

Podemos formalizar o método da substituição ao observar que, no exenpio anterior, temos no integrando uma função composta f(u) multiplicac

du* Na notação de Leibniz, dada uma função derivável w = f (x), temos =^- = u ' ( x ) r,dx

se considerarmos du e dx como variáveis, podemos então escrever du = u'(x) • dx. P . I I . Idetalhes sobre a diferencial, rever o Capítulo 7, "Técnicas de derivação".

I . I derivada da função interna, u'(x). A derivada surge escrita na forma,l i diferencial du - u'(x) dx. Ou seja, reescrevendo em

J2x • (x* - l)4 dx = /(x2 - l)4 2x dx

H função composta f(u) = u4, com a função interna u = x2 - l e a diferen-i i i l du = 2x dx, que é du = u'(x) dx, obtemos

J(x2 - l)4 2x dx=fu4 du =//•(«) du = Sf(u(x)) • u'(x) dx

i . dessa igualdade, interessa-nos os dois últimos termos ff(u) du =| / ( / < ( x ) ) • u'(x) dx, que nos indicam como sistematizar o método da inte-r. i . ição por substituição:

"Se em um intervalo a função u(x) é diferenciável e a função com-posta f(u) é contínua, então

}f(u(x))-u'(x)dx=ff(u)dunesse intervalo."

Para melhor organizar o método da integração por substituição, pode-mos fazê-lo seguindo estes passos:

• í" Passo: Procurar identificar a "função interna" u(x) na composta/'(«(x)) presente na integral ff(u(x)) • u'(x)dx.

• 2" Passo: Calcular a diferencial du = «'(x) • dx.

• J" Passo: Substituir por u a função «(x) e por du o termo «'(x) dx na inte-graljy(«(x)) • u'(x)dx, obtendo assim a integral//(M) du.

• 4" Passo: Calcular a integral J/(M) du.

• .í" Passo: Substituir pela função «(x) a variável u expressa no resultadodtffíu) du, paia obter finalmente a integral desejada, em função de x.

()bservação: Após o 2" Passo, às vezes é necessário realizar "ajustes" nar\pressao envolvendo as diferenciais, para que seja possível a substituiçãono 3" Passo e a execução dos demais passos com pequenas variações nanoi.ição, como veremos no segundo exemplo dos expostos a seguir.

/ \cmplo: Calcule a integral indefinida/(x3 - 7)5 3x2 dx.

Solução: Seguindo os passos indicados, temos:

340 341


• 1a Passo: Identificamos a "função interna" u(x) = x3 - 7 na compf(u(x)) presente na integral ff(u(x)) • u'(x) dx.

• 2- Passo: Calculando a diferencial du = u'(x) • dx, temos du = 3x2 dx.

• 3- Passo: Substituindo por u a função u(x) = x^ — 7 e por du o termo 3x2 <na integral /(x3 - 7)5 3x2 dx, obtemos a integral /«5 du:

J(*3-7)5 3x2dx = ju$du

u du

• 4" Passo: Calculando a integral f u5 du, temos

5 + 1.

6

• 5° Passo: Substituindo pela função u(x) = x3 - 7 a variável u expressa no

resultado de í«5 du = — + C , obtemos a integral desejada, em função6de x.

' - 7 ) «+ C

Logo, J(*3 -

Exemplo: Obtenha a integral indefinida J e*

Solução: Seguindo os passos indicados, temos:

• l" Passo: Identificamos a "função interna" u(x) = x2 na composta f(u(x)).

* 2" Passo: Calculando a diferencial du = u'(x) • dx, temos du = 2xdx.

Notamos, nesse caso, que em \ex x dx não aparece o termo 2xdx, mas

sim o termo xdx. Isso não impedirá o cálculo da integral pois, se isolarmosxdx em du - 2xdx, temos

342

Capítulo 11 - Técnicas de Integração

xdx= -r- ou xdx- —du

o que indica que substituiremos xdx por — du na integral je* xdx,

".ijustando" assim a escolha de u e du.

' .?" Passo: Substituindo por u a função u(x) = x2 e por —du o termo xdx

na integral \éx xdx, obtemos a integral \e"

u —du

J^ 2

•*2 x<& = j> l-| c

' 4° Passo: Faia o cálculo da integral J e" , consideramos -~ multi-

plicando a função f(u) = e", o que permite escrever:

\cu \du\udu = \\eudu = \ + C => \e«

' S" Passo: Substituindo pela função u(x) = x2 a variável u expressa no

resultado de \eu —du

l unção de x.

= -^e" +C, obtemos a integra] desejada, em

dx = \eu

Logo, lê*1

±d,2

+ C.

C = ÍÊ

• Integração por Partesl ' interessante notar que, nas duas primeiras integrais indefinidas trabalha-das pelo método da integração por substituição, os integrandos aprcsnila

343


ram funções que podiam ser lidas como produtos entre uma função com-posta e a derivada da "função interna". No último exemplo, a função apre-sentada no integrando também pôde ser trabalhada pelo método da subs-tituição, bastando fazer um pequeno "ajuste", pois os fatores do produtoapresentado pelo integrando em muito se "aproximavam" de uma funçãocomposta e da derivada da função interna.

Entretanto, existem integrais cujos integrandos apresentam produtosque não podem ser lidos, ou "ajustados", como produtos entre uma fimcão composta e a derivada da "função interna". Logo, existem integrais emque o integrando apresenta o produto de duas funções, cuja integração nãopode ser obtida pelo método da integração por substituição. Nesses casos,é interessante dispor de outros métodos de integração que permitam calcu-lar a integral em que o integrando apresenta um produto entre duas fun-ções. Um desses métodos é dado pela integração por partes, que apresenta-remos nesta seção.

O método de integração por substituição está baseado na regra dacadeia da derivação; de modo análogo, a integração por partes está basea-da na derivação pela regra do produto.

Convém relembrar a regra do produto: seja a função h(x) = f(x) • g(x)obtida pelo produto das funções deriváveis f(x) e g(x); então, a derivada dt'h(x) será

h'(x) = f (x) • g(x) + f(x) • g' (x)

que também pode ser escrita como

[f(x) • g(*)]' = f (x) • g(x) + f(x) • g'(x)

No início do capítulo, vimos que, quando encontramos uma função pri-mitiva F(x), de uma função f (x), costumamos simbolizar tal fato represen-tando

ff(x) dx = F(x)

ou seja, F' (x) = f (x).Já que F (x) = f (x), podemos, nessa integral, substituir o integrando f(x)

por F'(x), o que nos permite afirmar que

f F (x) dx = F(x)

sendo tal fato útil na obtenção do método da integração por partes, comoveremos logo a seguir.

344


Na expressão da derivada de um produto de funções

[f(x) • g(x)Y = f (x) • g(x) + f(x) • g'(x)

• i K ulamos a integral indefinida, em ambos os lados da igualdade, obtendo

J[f(x) • S(x)}' dx =/[f(*) ' g(x) + f(x) • g'(x)] dx

No lado esquerdo da igualdade, fazemos

|,\e é válido fazer fp'(x)dx = F(x), enquanto, no lado direito da igualda-i l r , calculamos a integral de cada parcela da soma das funções:

S[f'(x) • g(x) + f(x) • g'(x)]dx =//» ' g(x) d x + í f ( x ) • g'(x) dx

I.ogo, podemos reescrever a igualdade

JI/{x) • g(x)]' dx =j[f>(x) • g(x) + f(x) • g'(x)] dx

tomo

f(x) • g(x) =ff(x) • g(x) dx + JY(%) • g' (x) dx

Isolando o termo ff(x) • g'(x) dx, temos

Sf(x) • g'(x) dx = f(x) • g(x) -ff(x) • g(x) dx

i | in- , quando se inverte a ordem de f'(x) e g(x), na integral do lado direito»la igualdade, resulta na fórmula da integração por partes:

ff(x) • g'(x) dx = f(x) • g(x) -fg(x) • f '(x) dx

Podemos denotar tal fórmula de modo simplificado ao fazer u = f(x) ei' = g(x), pois obtemos as diferenciais du = f'(x) dx e dv = g'(x) dx.Substituindo tais variáveis na fórmula anterior, temos

fu dv = uv - Jf du

1 1 m- será a fórmula utilizada para o cálculo das integrais nos dois exemplosa seguir.

A constante de integração C será incorporada no último passo do processo.

345

Matemática Aplicada à Administração, Economia e ContabilidadeCapitulo 11 - Técnicas de Integração

Note que, para o cálculo da integral indefinida por meio da fórmuln d.iintegração por partes, é fundamental escolher corretamente os termos n cdv na integral fu dv, pois a partir deles é que obteremos os outros dois icimós v e du presentes no lado direito da fórmula, ou seja, em uv -fv du.

É importante frisar que o cálculo de f u dv remete ao cálculo de oun.iintegral,/!' du, e para que obtenhamos sucesso no cálculo de f u dv, é nci.cssário que a escolha de u e dv seja tal que a outra integral, fv du, apresente,para cálculo, grau de dificuldade inferior ou igual ao grau de dificuldadede fu dv.

Exemplo: Calcule a integral indefinida fxex dx.

Solução: Usando a fórmula fu dv = uv - fv du, convém chamar u = x tdv = ex dx. Primeiramente, devemos encontrar os outros dois termos du ev presentes na fórmula.

Se M = x, então du = dx.

Sendo dv = ex dx, temos também que dv = v'(x) dx; então, v'(x) = e", ique significa que v será uma primitiva de ex. Logo, v = ex. Em resumo:

u = x =» du = dx 'dv = ex dx => v = ex

Substituindo tais termos conforme a fórmula

J u dv = u v - j v du temos

T Y Y Y Y y

J x ex dx = x ex — j ex dx

Basta então obter a integral fxex dx = xex —fex dx - xex — ex + CAssim, fxex dx = xex - ex + C.

Observação: No início do cálculo de fxex dx, fizemos a escolha u = x edv = ex dx; porém, se a integral tivesse sido apresentada como fex xdx, aescolha deveria ser a mesma pois, invertendo a escolha, nos depararíamoscom a seguinte situação:

Usando a fórmula fu dv = uv - fv du e chamando u = ex e dv = xdx,encontramos os outros dois termos du e v:

• Se u = ex, então du = ex dx.

* Sendo dv = xdx, temos também que dv = v'(x)dx; então, v'(x) = x, o1 + 1

que significa que v será uma primitiva de x. Logo, v = —

l m resumo: u = ex => du = ex dx

dv = xdx


J u dv = u v — \ du

Y Y Y Y Y V.2

temos

J ex xdx = ex ^— - j -ex dx

Tal expressão é correia! Entretanto, a integral j ^— exdx é mais com-

plicada quefxex dx, o que indica que a escolha inicial de u = x e dv = ex dxnão é conveniente.

Exemplo: Calcule a integral indefinida fx In x dx.

Solução: Para o cálculo de tal integral, é conveniente fazer a troca de ordemdos fatores do integrando (tente a outra ordem e veja o que acontece!), de talforma que consideraremos/(In x) xdx para usar a fórmula fu dv = uv -fv du.(louvem chamar u = In x e dv = xdx. Primeiramente, devemos encontrar osi nitros dois termos du e v presentes na fórmula.

Se u = In x, então du = — dx.

Sendo dv = xdx, temos também que dv = v'(x)dx; então, v'(x) = x, o que

v.l+1 X2lignifica que v será uma primitiva de x. Logo, v = => v = -=-. Em

resumo:

u = In x -

dv = xdx

du = ±

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capítulo 11 - Técnicas de Integração

leniu.


J « dv - u v — l v du

Y Y Y Y Y Y

J(ki x) xdx = \nx~ - J4~- dx

A integral Jvdu que surgiu pode ser simplificada e calculada facilmente:

í^dx = ^xdx^íxdx^ 1 + 1

Basta, então, obter a integral J(ln x)xdx= In x J dx2 2 x

x2 In x-^+C

L 4

Assim, lx[nxdx= ** '" * - ^~ + C.

Note que optamos por incluir a constante de integração C apenas naresposta final, deixando de denotá-la em outras etapas do processo.

Integral do Logaritmo Natural

Seja a função do logaritmo natural

f (x) = In x

com x > 0; então, sua integral indefinida, como podemos provar, será

/ In x dx = x In x — x + C (x > 0)

Exemplo: Calcule Jln x dx utilizando a fórmula de integração por partes.

Solução: Para usar a fórmula fu dv = uv -fv du, convém escrever In x naforma do produto (In x ) ( \ ) , escrever a integral como/(In x)(l) dx e chamaru = In x e dv = Idx. Primeiramente, devemos encontrar os outros dois ter-mos du e v presentes na fórmula.

Se u = In x, então du = —dx.

temos

l

Sc-ndo dv = Idx, temos também que dv = v'(x) dx, então v'(x) = l, o que»iK,mfica que v será uma primitiva da constante 1. Logo, v = \ = x. Emicsumo:

u = In x => du = —dx

dv = Idx => v = x


J u dv = u v — l v du

Y Y Y Y Y Y

J In x • Idx = (Inx) x - ] x — dx

Obtendo a integral

Jln x • Idx = (In x) x - J $ — dx = x In x - J Idx = xlnx- x+ C

Concluímos que Jln xdx = x In x - x + C.

• Integrais Definidas

lloa parte das aplicações das integrais nos fenómenos da economia e da.ulministração envolvem as integrais definidas. Encontraremos os valoresilas integrais definidas a partir do cálculo das integrais indefinidas e doTeorema Fundamental do Cálculo. Por exemplo, se for solicitado o valor

i l . i integral definida J 250.000e~°>lx dx, primeiramente nos preocupare-

mos em determinar a integral indefinida/250.000e"°'lx dx correspondentepara, em seguida, utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo, obtendo ovalor da integral definida.

Nesse sentido, vale relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo:"Dada uma função f (x) contínua em um intervalo a s x s b, então

r'f(x)dx = F (b) - F(a), onde F(x) é uma primitiva de f (x), ou seja,

348 349

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capítulo 11 - Técnicas de Integração

No cálculo de uma integral definida í b f ( x ) d x , procederemos da seguin-^a

te maneira: primeiramente, calcularemos a primitiva F(x) resultante daintegral indefinida correspondente para, em seguida, fazer F(b) - F(ii)(ou seja, calcular a primitiva nos extremos de integração b e a e efetuar adiferença).

Exemplo: Calcule o valor de J3(5x2 +7x-2)dx.

Solução: Primeiramente, vamos calcular a integral indefinida correspondc-im

1(5 x2 + 7x-2)dx.

2x+C

Logo,

2 + 1 1 + 1

Assim,

Note que, para o cálculo da primitiva nos extremos de integração, nãoc necessário escrever a constante de integração C, pois ela seria canceladac m seguida ao ser feita a subtração.

Exemplo: Calcule o valor de J43.000 . l,02xdx .

Solução: Primeiramente, vamos calcular a integral indefinida correspondente

/3.000-1,02* áx.

J3.000 -1,02* dx = 3.000 Jl,02* dx = 3.000 * 1,02* + C =

3.000In 1,02

1,02* + C

O cálculo da primitiva nos extremos de integração 3 e 2 seguido da sub-ção é indicado por J f(x)dx = F{3) - F(2) ou, mais simplesmente,

r S 3 f l x ) f Í Y - rpírll3 r

J2^•v-2 _L 7 v 7 \ -

5-2 3 . 7 -22 „ „3 ' 2

... 63 ,*15 l 6

. ,1''- 3 + 2 ^\

5.33 7.32 , ,3 ' 2 2 '3

j/

_ 5-27 7 - 9 T ,3 ' 2 ^3

4° + 14-43

5-3

90 + 63-122

[

1i

8 . 7 - 4+ 2 2 '2

40 + 42-123

'

141 70 423-140 283

Logo, J10.000 • 1,05* dx = ,3'"^ 1,02* + C .In 1,02

Calculando a primitiva nos extremos de integração e efetuando a sub-tração:

J410.000.1,05M* =J

- , = , - ,1,02 In 1,02 In 1,02

= 163.983,11 - 154.524,95 = 9.458,16

Assim, |410. 000-1,05* áx -9.458,16.

Lxemplo: Calcule o valor de f250.QOQe-°<lx dx .

Solução: Primeiramente, vamos calcular a integral indefinida correspon-dente

350


/250.000e-<W* dx = 250.000 ftr0*^ dx

Para tal cálculo, utilizaremos o método da integração por substituição

• l" Passo: Identificamos a "função interna" u(x) = -Q,\x na compostn/W*)).

• 2" Passo: Calculando a diferencial du = u'(x) • dx, temos du = —Q,ldx.Notamos, nesse caso, que em fe~°'lx dx não aparece o termo -0,1 dx,

mas apenas o termo dx. Isolando dx em du = — 0,1 dx, temos

-~ = ---du => dx=-\0du

Então, substituiremos dx por -lOdu na integral/e"0'1* dx "ajustando" a esco-lha de u e du.

' 3" Passo: Substituindo por u a função u(x) = -0,lx e por -Wdu o termodx no cálculo de 250.000 /«HM* dx, obtemos 250.000 feu(-10du).

• 4" Passo: Para o cálculo de 250.000 feu(-Wdu), consideramos -10 multi-plicando a função f(u) = e", o que permite escrever:

250.000 fe"(-Wdu) = 250.000 /(-l 0)e" du = 250.000 • (-10) fé» du == -2.500.000e" + C =>

=> 250.000 fe"(- Wdu) = - 2.500.000e« + C

• 5" Passo: Substituindo pela função u(x) = — 0,1.x a variável u expressa noresultado de 250.000 Je"(-10á«) = -2.500.000e" + C, obtemos a integraldesejada, em função de x.

/250.000e-o,i* dx = 250.000 fe«(-Wdu) = -2.500.000e» + C == -2.500.000e-0'1* + C

Logo,/250.000e-<).^ dx = -2.500.000e-0'1* + C.Calculando a primitiva nos extremos de integração e efetuando a sub-

tração:

^ = -2.500.000e-0'1'5-

- (-2.500.000e-0'1'0) s - 1.516.326,65 + 2.500.000,00 = 983.673,35

Assim, f5250.000e-°'lx dx * 983.673,35.'O

352


í vcwpío: Calcule o valor de j xex dx .

Solução: No primeiro exemplo da integração por partes, já obtivemos aii i iogral indefinida correspondente:

fxex dx = xex - ex + C

Calculando a primitiva nos extremos de integração e efetuando a sub-ira cão:

= le'~ el-(0e°- e°) = O - (O - 1) = -(-!)= l

Assim, J xexdx = l .

Finalmente, cabe salientar que foram trabalhadas as técnicas de integra-ção mais importantes; entretanto, os processos de integração são muitasvezes sofisticados. Caso o estudante se depare com integrais mais sofistica-il.is, aconselhamos a consulta dos livros de cálculo indicados na bibliogra-fia, em especial o livro Cálculo - Volume l, de James Stewart, para verificar.is tabelas de integração. A alternativa é realizar o cálculo aproximado dasintegrais definidas com um dos métodos de aproximação numérica, confor-me foi exposto no Capítulo 10 e em seu Tópico Especial.

• Exercícios1. Calcule cada uma das integrais indefinidas:

a)Í5dx b)l~3dx

g) k2

k) \J~xdx

J53.I


m)J2x4dx n)J-5x2dx o)j(x3 + x)dx

p)j(x2 + x-l)dx q ) J (3x+2)dx r)$(-5x+4)dx

s)j(2x2-8x)dx t)J(4x2 -7x+5)dx u) J

x3 x2

2 3~

dx

dx

2. Calcule cada uma das integrais indefinidas:

a)|5*dx b)JO,95*dx

d) J50.000 • 0,85* dx e)/2e*dx

c)j2.000.1,03xdx

f) J-f-áx

g) j(3e* + e3) dx h) j (- 7ex + 7* - 7e)dx

3. Utilizando a integração por substituição, calcule cada uma das inte-grais indefinidas:

a ) j 7 - ( 7 x + 5 ) 3 d x b )}2x- (x 2 +3) 5 dx c ) .

d)J-0,05e-°.°s*dx e) |3x2e*3dx

g) J .2* dx h ) j ( 7 x + 5 ) 3 d xx2 +1

•\ çv i i \ n i ij ) J eJXdx k) J e~^^xdx

f) 12,

5

4. Utilizando a integração por partes, calcule cada uma das integrais in-definidas:

a) $2xex dxd) /(x + l ) In x dx

b) f (x + l )e* dxe) JM In x dx

c) /2x In

5. Calcule J — — dx, utilizando ora integração por substituição, ora inte-

gração por partes.

354

Capítulo 11 -Técnicas de Integração

6. Calcule o valor de cada uma das integrais definidas:

a) c)J4(2x + l)dx

d)!3(-5x+4)dx f) j ( x 2 +3x-2)dx

h) J2 (4x3 - 3x2 + 2x - l)dx i) }2 2* dx

j)J21.500-l,03*dx k)|3 — dx2 V2

1)J

.10) f V0'5* dx n) f 1.000e-°'01*á* o) f x3 In x dx

J0 J0 Jl

l TÓPICO ESPECIAL - Integrais Impróprias

Nesse tópico, estudaremos certo tipo de integral denominada impró-pria. A notação é

£°f(*)dx

s tal modo que o limite de integração superior é infinito, o limite inferioré c z O e f(x) é contínua e positiva.

Veremos em seguida dois exemplos para calcular as integrais impróprias.

Exemplo l - Calcule a integral imprópria: f ^-dx.l x3

Solução: Para o cálculo dessa integral, primeiramente mudamos o limite deintegração +°° denotando-o por a e calculamos a integral para l s x s a,

ou seja, calculamos a integral com novos limites de integração,l x-3

No cálculo de tal integral, obteremos uma expressão em função de a e con-. lu imos o cálculo da integral imprópria obtendo para tal expressão o limi-li1 em que a — » +°°:


x-

-2 -2

Fazendo na sequência a -* +«, temos

,a llim \" —— dx = lim

a->+~ l *;> a-»+ = 2a2 2

pois, quando a -* +00, temos - —» O.2a2

r+°° lPortanto, dizemos que a integral J j "y^* converge para y.

A representação gráfica da área calculada para a função y = — pode

ser melhor visualizada observando a Figura 11.1 e a Figura 11.2, mostran-

do que a área calculada converge para -r-.

Figura 11.1 Área de"1 até infinito".

Figura 11.2 Área de "1 atéa" para a —» +°o.

Área = j" -L dx, quando a -

Exemplo 2 - Calcule a integral imprópria J —j^- dx.

Solução: Nossa intenção é obter a integral por meio do cálculo de

í —TO- • dx = lim f . • dx!l X1'3 ,2->+~ Jl X1/3 ::

356


Logo,

2/3 ]j 2 /3 2 /33a2" 3

2 2

l'.i/.cndo na sequência a tendendo a infinito (a -» +°°), temos pois, quando

lim j dx = lim l2 2

= +00 - — = +00

,i -» +00, temos ^~ > +00. Nesse caso, o limite que surgiu no cálculo

• inão resultou em um número, e assim dizemos que J —dx diverge.

x113

(iraficamente, conforme a Figura 11.3, temos que a área entre a curva e oeixo x à direita de x = l é infinita. Ou seja, a área calculada não é finita epode ser visualizada na Figura 11.3.

Figura 11.3

Área não finita dada pela integral = } ——, dx

À medida que x -» +°°, a área "A" se torna muito grande ou tende ainfinito, o que permite concluir que a integral acima diverge.

• Problemas

1. Calcule os valores das integrais nos itens a seguir, verificando se con-vergem ou divergem.

b) r~-M*J2 Vx

c) \°Jo

1357


,+~ i2. Verifique se J j ^——- dx converge ou diverge, construindo o grá-

V x +10

fico da função.

Sugestão: Fará calcular a integral acima, calcule antecipadamente a

integral f"—j==dx, verificando sua convergência e, em seguida, esta-v x

capítulo 12

Aplicações das Integrais

beleça uma comparação: f -dx < í dx

3. Dada a integral imprópria J j ~^^x, pede-se:

a) Gráfico da função e a área a ser calculada.b) Calcule o valor da integral, verificando se converge ou diverge.c) O que se pode concluir a partir do cálculo das áreas geradas por

cada integral dada a seguir?

10e-s*dx;

100 1.000 10.000dx; e'5* dx; e e^ dx

• Objetivo do CapítuloNesse capítulo, serão analisados alguns dos usos mais importantes das inte-grais em economia e administração. Você estudará como é possível utilizar.1 integral definida da taxa de variação para obter variação total da funçãomi situações práticas. Você analisará o significado económico do excedentedo consumidor, do excedente do produtor e dos valores futuro e presente deuni fluxo de renda em uma capitalização contínua. No Tópico Especial,serão discutidos o índice de Gini e a curva de Lorenz, enfatizando a impor-i.incia e o significado desses conceitos em análises económicas.


• Integrando Funções Marginais

Integral Definida da Taxa de Variaçãocomo a Variação Total da Função

No Capítulo 10, quando estudamos o conceito de integral, vimos que emum intervalo a integral definida da taxa de variação da produção resulta n<ivariação total da produção nesse intervalo. De um modo mais geral, peloTeorema Fundamental do Cálculo, "dada uma função f(x) contínua em um

intervalo a s x <, b, então \ f(x)dx = F(b) - F(a), onde F(x) é uma primi

tiva de f(x), ou seja, F (x) = f(x)".Assim, assumindo a função f(x) do integrando como a taxa de variação

de uma função F(x), podemos dizer que a integral definida da taxa de

variação de uma função em um intervalo, J f(x)dx, dá a variação total da

função no intervalo, F(b) — F(a).No Capítulo 9, abordamos a taxa de variação de algumas funções como

funções marginais. Por exemplo, a taxa de variação da receita, ou derivadada receita, foi chamada de receita marginal. No mesmo sentido, abordamoso custo marginal, o lucro marginal, a produção marginal, entre outros.Como estamos interessados em calcular a integral definida para funçõesexpressas como taxas de variação, ou ainda como funções marginais,escrevemos:

•+ integral da receita marginal em um intervalo como a variação total dei

receita nesse intervalo: J R'(q)dq = R(b) - R(a)

•* a integral do custo marginal em um intervalo como a variação total do

custo nesse intervalo: J C(q)dq - C(b) - C(a)

-i a integral do lucro marginal em um intervalo como a variação total do

lucro nesse intervalo: J L'(q)dq = L(b) - L(a)

Outro modo de interpretar a integral de uma taxa de variação, ou deuma função marginal, é analisar a integral indefinida de tais funções.

,36QI

Capitulo 12 - Aplicações das Integrais

No capítulo anterior, vimos que quando encontramos uma função pri-mi t i va F(x), de uma função f (x), costumamos simbolizar tal fato represen-ttndo

ff(x) dx = F(x)

r, uma vez que F'(x) = f (x), podemos, nessa integral, substituir o integran-do f(x) por F (x), o que nos permite afirmar que

fF(x}dx = F(x)

Assim, podemos escrever

$C(q)dq = C(q)jR'(q)dq = R(q) ou ainda jL'(q)dq = L(q)

Km outras palavras, a integral indefinida do custo marginal resulta em umaprimitiva que dá o custo, a integral indefinida da receita marginal resultacm uma primitiva que dá a receita ou ainda a integral indefinida do lucromarginal resulta em uma primitiva que dá o lucro.

As funções custo, receita e lucro obtidas representam a variação de taisgrandezas e, em cada integral obtida, temos uma constante de integraçãoque geralmente pode ser obtida a partir de uma informação adicional, comoveremos nos exemplos a seguir. Assim, quando fazemos JC'(q)dq = C(q),obtemos a função que dá o custo, porém expressa com uma constante deintegração. Tal constante, ao ser obtida a partir de uma informação extra,geralmente representa o custo fixo.

Convém ainda lembrar que L(q) = R(q) - C(q) e, se tomamos suas deri-vadas, obtemos o lucro marginal

L'(q) = R'(q) - C (q)

Integrando ambos os termos, podemos obter a função que dá o lucro

SV(q)dq=i(K(q)-C(q))dq

Problema: Na comercialização, em reais, de um certo produto, a receitamarginal é dada por R'(q) = -20q + 200 e o custo marginal é dado porC'(q) = 2Qq. Para o intervalo l s q s 5, obtenha:

a) A variação total da receita.

Solução: A variação total da receita no intervalo l ^ q ^ S será dada por

l'tR'(q)dq=R(S)-R(l), ou seja, devemos encontrar o valor de Jj(-20<7 + 200) dq.

361


Calculando primeiramente a integral indefinida correspondente f(-20q +• 200)</./,temos

= -Wq2 +200q

LogoJ(-20q + 200) dq = - Wq2 + 200q + C. Obtendo o valor da integraldefinida:

200)dq = -10^2 + 200^ = - 1 0 - 5 2 + 2 0 0 - 5 -

-(-10- 12+ 200- 1)

^(-20^ + 20Q)dq = 750 - 190 = 560

Assim, a variação da receita no intervalo é de R$ 560,00.

b) A variação total do custo.

Solução: A variação total do custo no intervalo l <. q s 5 será dada por

J C(q)dq = C(5) - C(l) , ou seja, devemos encontrar o valor de J 20qdq.

Calculando primeiramente a integral indefinida correspondente f20q dq,temos

120? dq = 20^- + C = 10q2 + C

Logo, /20íj dq = 10q2 + C. Obtendo o valor da integral definida:

dq = [lO<?2]j = 10-52 - 10 • l2 = 240 =* ^204 dq = 240

Assim, a variação do custo no intervalo é de R$ 240,00.

c) A variação total do lucro.

362

Capítulo 12 - Aplicações das Integrais

Solução: A variação total do lucro no intervalo \ q <. S será dada por

J' l'(q)dq = L(5) - L( l ) . Como L'(q) = R'(q) - C'(q), devemos encontrar

\\L'(q)dq = j;(R'(<?)-

Então, a integral procurada será

£(R'(q) - C(q))dq = £(-20q + 200 -20q)dq = J* (-40q + 200)^

Calculando primeiramente a integral indefinida correspondente/(- 40<j + 200)dq:

a2J(-40<? + 200) dq = -40 — + 200<? + C = -20<?2 + 200? + C

Logo,/(-40<j + 200)dq = - 20q2 + 200q + C. Obtendo o valor da inte-Ural definida:

l*(-4Qq + 200)dq = \-20q2 + 200q^5 = - 20 • 52 + 200 • 5 - (-20 • 12 + 200 • 1)

= 500-180 = 320

Assim, a variação do lucro no intervalo é de R$ 320,00.Note que tal valor também pode ser obtido fazendo a subtração da

variação da receita e da variação do custo obtidas nos itens anteriores:l<$ 560,00 - R$ 240,00 = R$ 320,00.

d) A interpretação gráfica da variação R'-c'±total do lucro obtida no item anterior. 200 j^ c> = 20<?

Solução: A interpretação gráfica é dadapela área entre a curva da receita margi-nal, R'(q) = -20q + 200, e a curva docusto marginal, C'(q) = 20q, no interva-lo l s q s 5.

R' = -200 + 200

-»10 </

363


Problema: Considerando as mesmas funções do problema anterior, ou seja,receita marginal R'(q) = -20q + 200 e custo marginal C'(q) = 20q, obtenhoas funções receita, custo e lucro, sabendo que a receita na comercializaçãode l unidade do produto é de R$ 190,00 e que o custo na produção de 5unidades é de R$ 350,00.

Solução: Sabemos quefR'(q)dq = R(q); então, usando a primitiva calcnl.ida no problema anterior, temos para a receita

R(q) =/(-20<? + 200) dq = -Wq2 + 200q + C =* R(q) = -Wq2 + 2QQq + (,'

Para encontrar a constante de integração, sabemos que R$ 190,00 é Areceita para l unidade comercializada, ou seja, R ( l ) = 190, logo:

R( l ) = -10 • l2 + 200 • l + C = 190 => 190 + C = 190 => C = O

Assim, a função receita será R(q) = -I0q2 + 200q + O ouR(q) = -Wq2 + 200<?.

Analogamente, encontramos a função custo. Como fC'(q)dq = C(q),utilizamos

C(q) ={20q dq = Wq2 + C => C(q) = Wq2 + C

Sabemos que R$ 350,00 é o custo para 5 unidades, ou seja, C(5) = 350,logo:

C(5) = 10 • 52 + C = 350 =* 250 + C = 350 ^ C = 100

Assim, a função custo será C(q) = 10q2 + 100.Para obter a função lucro, basta fazer L(q) = R(q) - C(q), logo

L(q) = -Wq2 + 200q - (Wq2 + 100) = -10^2 + 200^ - Wq2 - 100L(q) = -20q2 + 200q - 100

Assim, a função lucro será L(q) = -20q2 + 200q - 100.

• Excedente do Consumidor

Veremos agora que as integrais definidas podem ser utilizadas no conceitodo excedente do consumidor. Para entender tal conceito, vamos supor aseguinte situação: " Uma pessoa está disposta a comprar calças, e a quanti-dade a ser comprada dependerá do preço unitário das calças. Pela lei dedemanda, quanto menor o preço das calças, maior a quantidade a ser com-

364


jirada (demandada). Para nosso exemplo, consideramos que nosso consu-midor está disposto a comprar uma calça se o preço unitário for R$ 90,00;está disposto a comprar mais uma calça se o preço dessa segunda peça forR$ 80,00; está disposto a comprar mais uma calça se o preço dessa tercei-ra peça for R$ 70,00, e assim sucessivamente. Vamos considerar tambémque o preço de mercado * para a calça é R$ 60,00, ou seja, o preço de mer-cado é inferior ao preço que o consumidor está disposto a pagar para algu-mas quantidades de calças a serem compradas".

A quantia efetivamente gasta pelo consumidor será dada pela multipli-cação do preço de mercado pelo número de calças compradas:

(preço de mercado) x (quantidade comprada)

Diante dessa situação, se o consumidor comprar uma calça, o valorgasto será R$ 60,00 x l = Rf 60,00; entretanto, para a aquisição de umacalça, o consumidor estava disposto a gastar R$ 90,00. A diferença entre ovalor que o consumidor estava disposto a gastar e o valor efetivamentegasto é de 90,00 - 60,00 = R$ 30,00 e tal diferença é chamada de exceden-te do consumidor. Podemos, então, escrever

\Excedente do l Valor que os consumidores \ real gasto{consumidor j \ dispostos a gastar J \pelosconsumidores

Vamos calcular o excedente do consumidor se na situação descrita fos-sem compradas duas calças e três calças:

• se o consumidor comprar duas calças, o valor gasto será R$ 60,00 x 2 =R$ 120,00; entretanto, para a aquisição da primeira calça, ele estava dis-posto a gastar R$ 90,00 e, para a aquisição da segunda calça, estava dis-posto a gastar R$ 80,00:

Excedente do consumidor = (90 + 80) - 120 = 170 - 120 = R$ 50,00

• se o consumidor comprar três calças, o valor gasto será R$ 60,00 x 3 =R$ 180,00; entretanto, para a aquisição da primeira calça, ele estava dis-

* Na verdade, consideramos o preço de mercado como o preço de equilíbrio para oqual a quantidade demandada é igual à quantidade ofertada.

365

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capitulo 12 - Aplicações das Integrais

posto a gastar R$ 90,00, para a aquisição da segunda calça csi.u.idisposto a gastar R$ 80,00 e para a aquisição da terceira calça estava dis-posto a gastar R$ 70,00:

Excedente do consumidor = (90 + 80 + 70) - 180 = 240 - 180 = R$ 60,00

Considerando isoladamente cada calça, na compra da primeira peça aeconomia foi de 90,00 - 60,00 = R$ 30,00; na compra da segunda peça, .1economia foi de 80,00 - 60,00 = R$ 20,00 e, na compra da terceira peça,a economia foi de 70,00 - 60,00 = R$ 10,00.

Esses raciocínios elementares permitirão definir o excedente do consu-midor com auxílio de integrais e também realizar as representações gráfi-cas correspondentes.

De maneira mais formal, podemos dizer que o preço p que o consumi-dor está disposto a pagar é uma função da quantidade q a ser comprada,ou seja, p = f(q), e pela lei de demanda, quanto menor o preço, maior aquantidade a ser comprada (demandada).

Para nosso exemplo, utilizamos p(g) = 100 - 10g como a função que dáo preço de acordo com a demanda. Basta verificar que:

• para q = l, temos p(\) = 100 - 10 • l = 90• para q = 2, temos p(2) = 100 - 10 • 2 = 80• para q = 3, temos p(3) = 100 - 10 • 3 = 70

Consideramos também que o preço de mercado para a calça é R$ 60,00,e tal preço será simbolizado por p0, ou seja, pQ = 60. A quantidade deman-dada para tal preço será representada por g0 e podemos encontrá-la fazen-do p = 60 em p(q) = 100 - lOg:

60 = 100 - ÍOq => q = 4

Assim, q0 = 4 representa a quantidade demandada para o preço demercado.

A variação da quantidade será simbolizada por Ag; então, o acréscimoda quantidade em uma calça será Ag = 1.

Analisando o excedente do consumidor isoladamente para cada calça,de acordo com essa nova notação:

• na compra da primeira peça, a variação foi Ag = 1; o valor gasto foiP0 • Ag = R$ 60,00 x l = R$ 60,00; o valor que o consumidor estavadisposto a gastar foi de p(l) • Ag = R$ 90,00 x l = R$ 90,00 e o

( Excedente do l _ l Valor que os consumidores l Valor real gastoconsumidor ) ~ { estão dispostos a gastar \ consumidores

Excedente do consumidor = p(l) • Ag - p0 • Ag 90 - 60 = 30

• na compra da segunda peça, a variação foi Ag = 1; o valor gasto foipó ' Ag = R$ 60,00 x l = R$ 60,00; o valor que o consumidor estava dis-posto a gastar foi de p(2) • Ag = R$ 80,00 x l = R$ 80,00 e o

Excedente do consumidor = p(2) • Ag - p0 • Ag = 80 - 60 = 20

• na compra da terceira peça, a variação foi Ag = 1; o valor gasto foiPQ • Ag = R$ 60,00 x l = R$ 60,00; o valor que o consumidor estava dis-posto a gastar foi de p(3) • Ag = R$ 70,00 x l = R$ 70,00 e o

Excedente do consumidor = p(2) • Ag - p0 • Ag = 70 - 60 = 10

Considerando agora o excedente do consumidor para a compra das três

calças:

Excedente do consumidor = (p(l) • Ag + p(2) • Ag + p(3) • Ag) - 3 • p0 • AgExcedente do consumidor = (p(l) • Ag + p(2) • Ag + p(3) • Ag) - 3 • Ag • p0

Excedente do consumidor = (90 + 80 + 70) - 3 • 60 = 240 - 180 = 60

Note que, na penúltima passagem, foi escrito 3 • Ag, que indica a comer-cialização de 3 • l = 3 unidades.

Interpretando geometricamente os cálculos realizados, temos na Figura12.1 a reta que representa a demanda p(g) = 100 - lOg e abaixo dela osretângulos RJ, R2 e R3, cujas áreas representam a economia para a comprade cada calça. Percebemos que as áreas representam tais economias seobservarmos, por exemplo, para o retângulo R2:

• Ag = l é a base.• Po = R$ 60,00 é a altura do retângulo em branco (abaixo de R2).• p(2) = R$ 80,00 é altura de R2 mais a altura do retângulo em branco.• Po • Ag = R$ 60,00 x l = R$ 60,00 é a área do retângulo em branco.• p(2) • Ag = R$ 80,00 x l = R$ 80,00 é a área de R2 mais a área do retân-

gulo em branco.

Dessa última área, basta subtrair a área do retângulo em branco e obtemos

• Excedente do consumidor = Área de R2 = P(2) • Ag - p0 • Ag = 80 - 60 = 20

366 367


Figura 12.1 Excedente do consumidor como área.

10090

8070

P,, = 60 = 100-lOij

A<J <?0

Observando a Figura 12.1, o excedente do consumidor para a compradas três calças é dado pela soma das áreas dos retângulos R1; R2 e R3.

Na prática, costumamos calcular o excedente do consumidor para asquantidades comercializadas que variam de O até a quantidade que estabe-lece o preço de mercado, representada anteriormente por g0. Geome-tricamente, o cálculo preciso do excedente do consumidor é dado por"toda" a área abaixo da curva da demanda e acima da reta que represen-ta o preço de mercado para gn, em outras palavras, pela área abaixo dep(g) e acima de p0, o que compreende o intervalo O s g s g0.

Como o cálculo preciso do excedente do consumidor pode ser expressocomo área entre duas curvas (a curva p(q) e a reta p = PQ) em um interva-lo, podemos expressá-lo por uma integral definida. O desenvolvimento detal integral também pode ser obtido por meio da notação do limite de umasoma com infinitas parcelas.

Nesse sentido, vamos considerar agora a compra de um número g0 decalças.

Assim, estamos interessados na variação da quantidade de calças em umintervalo O s g s g0, de tal forma que dividimos tal intervalo em n subin-

tervalos de tamanho Ag = ou Ag = —, onde os subintervalos

serão representados por O s q s glt gj s q <, q2, g2 s Q s 1l-> ••• » <7re-l ^ '/*1n = <7o-

368


4n = «O «

Os valores que os consumidores estão dispostos a gastar, para cadavariação Ag na quantidade de calças a serem adquiridas, serão p(q\) • Ag,I>(q2> ' Ag, p(g3) • Ag, ..., p(qn) • Ag. Os valores que realmente são pagos acada variação Ag adquirida serão p(go) • Ag = p0 • Ag. Assim, somando osexcedentes do consumidor para cada variação Ag, temos o excedente doconsumidor total:

(p(g2)Ag-/?0Ag) + (p(g,)Ag-p0Ag) + ...

Rearranjando os termos:

P(«7i)Ag + p(g2)Ag + (P(g3)A<7 + - + íK^Ag- p0Ag - ... - p0Ag =

p(g2)Ag + (P(<73)Aí? + - + P(<ín)Ag -(p0Ag + p0Ag + p0Ag + ... + p0Ag)

Notando que a parcela pó • Ag aparece n vezes, podemos escrever

Excedente do Consumidor = p(gj)Ag + p(g2)Ag + p(g3)Ag + ...+ p(gJAg - n • p0Ag

Na expressão acima, a parcela n • p0 Ag pode ser reescrita como n • Ag • p0,<7o

o que é útil, pois, no intervalo Ag = — permite escrever a quantidade g0

como n • Ag = gg e substituí-la na parcela descrita:

Excedente do Consumidor = p(ql)Áq + p(g2)Ag + p(g3)Ag + ... + p(gn)Ag -

<7o 'Po

Finalmente, na soma plg^Ag + p(g2)Ag + p(g3)Ag + ... + p(gK)Ag,

lembrando que Ag = — —, se fizermos o número de subdivisões n —* °°,

podemos escrever tal soma como a integral definida no intervalo O s g s g0:

- p(g2)Ag + p(g3)Ag +...+ pígJAg = |0°p(g)ág

369


Assim, o excedente do consumidor será dado por

IQExcedente do Consumidor = J p(q}dq -

onde p(q) é a função demanda, pg é o preço de mercado e qg a respectivaquantidade vendida.

Graficamente, a Figura 12.2a apresenta vários retângulos com arouabaixo da curva da demanda e acima da reta que representa o preço ilcmercado. A área de cada retângulo RJ, R2, R3, ... , Rn representa sepanul.imente o excedente do consumidor para cada variação Ag adquirida do próduto nos vários subintervalos. Fazendo o número de subdivisões « -» °°, ;ilargura de cada retângulo Ag —> O, o que fará com que seja totalmentepreenchida a área entre a curva da demanda e a reta do preço de mercado,ou seja, a área que representa o excedente do consumidor (Figura 12.2b).

Figura 12.2a Excedente doconsumidor para cada Aq.

Figura 12.2b Excedente doconsumidor total.

Po

<72

Problema: Na compra de calças, a função demanda é dada porp(q) = 100- lOg.

a) Encontre o excedente do consumidor se o preço de mercado é R$ 60,00.

Solução: Primeiramente, devemos encontrar a quantidade g0 corresponden-te ao preço de mercado. Substituindo p0 - 60 em p(q) = 100 - lOg, temos:

60 = 100 - lOg => lOg = 40 => g = 4

Assim, a quantidade procurada é g0 = 4.Substituindo p(q) = 100 - lOg, g0 = 4 e p0 = 60 na expressão

370


Excedente do Consumidor = J p(q)dq - g0 p0

Excedente do Consumidor = t*(100 - 10q)dq - 4 - 6 0

Calculando a integral indefinida correspondente a J (100 — \Qq)dq,

1(100-I0q)dq = WOq - 10 — + C => J(100 - 10g)ág = lOOg -5q2 + C

Logo, J* (lOO-lOg)ág =[lOOg-5q2]^=100-4-5-42-(100-0-5-02) = 320.

Assim, Excedente do Consumidor = |^(100 -\0q)dq - 4 - 6 0 = 320 -

240 = 80, ou seja, o excedente do consumidor é de R$ 80,00.

b) Represente graficamente o excedente do consumidor encontrado no itemanterior.

"Solução: Graficamente, o excedente do moconsumidor será dado pela área entre acurva do preço, p(q) = 100 — 10g, e areta do preço de mercado p0 = 60 no =60

intervalo de q = O até a quantidade cor-respondente ao preço de mercado

<7o = 4-

Excedente do^* Consumidor = 80

t/>(<?) = 100-10.J

10 q

• Excedente do ProdutorVale lembrar que a oferta depende do preço e, quanto maior o preço, maioro interesse do produtor em vender seu produto. Entretanto, existe umpreço praticado no mercado e, se o produtor estiver disposto a vender seuproduto a um preço inferior ao de mercado, obterá um excedente casovenda o produto pelo preço de mercado. Tal excedente é conhecido comoExcedente do Produtor.

Na verdade, o Excedente do Produtor dá a diferença entre o "valor realobtido pelos produtores na oferta (venda) de um produto" e o "valor míni-

371


mo que os produtores estão dispostos a receber na oferta (venda) de unproduto".

l Excedente doprodutor

Valor real obtido na\yenda pelos produtores]

' Valor mínimo que osprodutores estão

dispostos a receberna venda

Com o auxílio de integrais definidas, podemos obter o Excedente doProdutor de modo parecido ao feito para o Excedente do Consumidor.

Chamando de p(q) a função oferta, p0 o preço de mercado e q0 a res-pectiva quantidade vendida, então o excedente do produtor será dado por

Excedente do Produtor = g 0 p 0 - J p(q)dq

onde p(q) é a função demanda, PQ é o preço de mercado e q0 a respectivaquantidade vendida.

Graficamente, temos na Figura 12.3 o excedente do produtor dado pelaárea entre a reta que representa o preço do mercado e a curva da oferta.

Figura 12.3 Excedente do produtor como área entre a reta

p = Po e a curva da oferta.

P ^ Excedentedo Produtor , p(q]

Problema: Na venda de calças, a função oferta é dada por p(q) = 2q + 40.

a) Encontre o excedente do produtor se o preço de mercado é R$ 50,00.

Solução: Primeiramente, devemos encontrar a quantidade q0 correspon-dente ao preço de mercado. Substituindo p0 = 50 em p(q) = 2q + 40, temos:

50 = 2q + 40 => 2q = 10 => q = 5

372


Assim, a quantidade procurada é q0 = 5.Substituindo p(q) = 2q + 40, q0 = 5 e pQ = 50 na expressão

,1oExcedente do Produtor = JQ p(q)dq - q0p0

Excedente do Produtor = 5 • 50 - fQ(lq + 40)dq

Calculando a integral indefinida correspondente a JQ(2<J + 40) dq ,

temos

= 2 — \(lq + = q1 + 40q + C

Logo, f0(2q + 40)dq = \q2 + 40q]5Q = S2 + 40 • 5 - (O2 + 40 • 0) = 225.

Assim, Excedente do Produtor = 5 • SO-fQ(2q + 40)dq = 250 - 225 = 25,

ou seja, o excedente do produtor é de R$ 25,00.

b) Represente graficamente o excedente doprodutor encontrado no item anterior.

Solução: Graficamente, o excedente do pro-dutor será dado pela área entre a reta dopreço de mercado p0 = 50 e a curva dopreço, p(q) = 2q + 40, no intervalo de q = Oaté a quantidade correspondente ao preçode mercado q0 = 5.

Problema: Na comercialização de um produto, a função demanda é[>(q) = -q2 + 900 e a função oferta é p(q) = q2 + 100. Sabendo que o preçode mercado é o preço de equilíbrio entre demanda e oferta:

a) Obtenha o excedente do consumidor.

Solução: Primeiramente, devemos encontrar a quantidade q0 correspon-dente ao preço de mercado. Tal quantidade será a quantidade de equilíbrio,já que o preço de mercado é o preço de equilíbrio. A quantidade de equilí-brio ocorre quando a demanda se iguala à oferta:

-q2 + 900 = q2 + 100 => -2q2 = -800 => q = ± A/400 =í> q = 20

< Í 0 = 5 q

373


Assim, a quantidade de equilíbrio ou a quantidade que dá o preço demercado é q0 = 20.

Com tal quantidade calculamos o preço de mercado utilizando uma d;isduas funções:

p(20) = -202 + 900 = 500 ==> p0 = 500

Substituindo a demanda p(q) = -q1- + 900, qQ = 20 e p0 = 500 naexpressão

Excedente do Consumidor = J p(q)dq -

Excedente do Consumidor = ^°(-q2 + 900)dq - 20 • 500

qApós o cálculo da integral indefinida \(-q2 + 900) dq= + 900í? + C,

temos

E 3 ~1 2° 3.Í1+900J = -^-+900- 20 -

Jo

O3+900-0

46.000

3

Assim, o excedente do consumidor (E.C.) será

E. C. = J0/UH/2 + 900)^-20-500 = ^^-10.000 = ̂ ^ . 5.333,33

ou seja, o excedente do consumidor é de R$ 5.333,33.

b) Obtenha o excedente do produtor.

Solução: Pelo item anterior, já sabemos que q$ = 20, p0 = 500 e juntamen-te com a função oferta p(q) = q2 + 100 na expressão


ynExcedente do Produtor = q0 p0 - JQ p(q)dq

•20,Excedente do Produtor = 20 • 500 - Jzu(g2 +100)^

q^Após o cálculo da integral indefinida \(q2+\QQ)dq = -—h 100<7 + C,

temos

100íj20'

+ 100-20- — + 1 0 0 - 014.000

Assim, o excedente do produtor (E.P.) será

E.P. = 20-500-JnV + 100)^ = 10.000-^f°= 1̂ s 5.333,33,

ou seja, para esse problema, o excedente do produtor também é deR$ 5.333,33.

c) Em um mesmo sistema de eixos, faça a representação gráfica dos exce-dentes encontrados anteriormente.

P400'

Solução: O excedente do consumidor édado graficamente pela área entre acurva da demanda e o preço de merca-do. Já o excedente do produtor é dadopela área entre o preço de mercado e acurva da oferta. Com as curvas da p<>=

demanda e da oferta no mesmo gráfico,a união dos excedentes é dada pela áreaentre tais curvas. Em todos os casos, o l

intervalo considerado vai de q = O atégo = 20 (quantidade que dá o preço demercado).

p = q1 + 100

p = -q2 + 900

= 20 30 q

375


Valor Futuro e Valor Presentede um Fluxo de Renda

Contínua

Capitulo 4, vimos que o montante M de uma aplicação inicial P no sisle capitalização a juros compostos a uma taxa i (escrita na forma

;imal) durante um período n ê dado por

M = P • (l + i)»

eescrevendo o período como n = x, temos

M = P • (l + /)*

'urante o período x quisermos realizar k capitalizações, obtemos' nova expressão para o montante:

M = P - í l + T -*

0^ quantia de R$ 2-000'00 foi aplicada a juros compostos a umaj ° ao ano. Obtenha as expressões para o montante quando são

adas l capitalização e 4 capitalizações durante o ano.Ç 1 _

çao: Quando é realizada apenas l capitalização ao ano, o montante é

obtido pela expressão M = P • (1 + if ou pela expressão M = P • [l + fl k

fazendo k = l, logo:

M = 2.000 • (l + 0,05)* => M = 2.000 • 1,05*

vuando são realizadas 4 capitalizações ao ano, o montante é obtid

expressão Aí = P . l + l , fazendo fe = 4, logo:' '

= 2.000- 1 +O 05

M = 2.000- |(1 + .0,0125)4

376


M = 2.000-(1,01254)* =* M s 2.000-1,050945*

Nessa segunda expressão, a base 1,050945 fornece a taxa efetíva de5,0945%, enquanto 5% representa a textf nominal para tal aplicação.

Percebemos que, no período de um ano, ao serem realizadas algumascapitalizações, alteramos o fator com o qual vai ser corrigido o montante,passando de 1,05 para 1,050945. Na verdade, podemos aumentar emmuito o número de capitalizações, fazendo, por exemplo, 100, 1.000 ou100.000 capitalizações no período, obtendo como fator de correção domontante, respectivamente, 1,051258, 1,051270 ou 1,051271.

Se fizermos o número de capitalizações crescer indefinidamente, ou seja,k -* », obtemos a chamada capitalização contínua, e o fator de correçãodo montante tenderá a um número limite. Como exemplo, tomando a taxanominal de 5%, obtemos para o montante:

M = P - 1 +0,05 k-x

M = P - 1 +0,05

Estimando numericamente 1 +0,05 quando k -* °°, observamos

que

1 +0,05 1,051271096... = e0-05

Assim, para capitalização contínua, o montante será

M = P - 1 +0,05 M = P-(e0 '05)x => M =p.eo,05*

De um modo geral, na capitalização contínua para uma aplicação emque o capital inicial é P, a taxa nominal anual é i e o período em anos é x,o montante M será

377

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capítulo 12 - Aplicações das Integrais

Valor Futuro de um Fluxo de Renda

A renda gerada em uma empresa não é calculada apenas ao final de umano, mês ou semana. A renda gerada pode ser calculada diariamente e emvários instantes; nesse sentido, podemos falar de um fluxo de renda, lcomum uma empresa, ao gerar uma renda, investi-la para obter juros, acu-mulando assim as rendas geradas e os juros obtidos no investimento de taisrendas; nesse sentido, podemos falar do valor futuro acumulado de umfluxo de renda.

Podemos utilizar a integral definida para calcular o valor futuro acumu-lado de um fluxo de renda, ou seja, calcular com a integral definida o valoracumulado por uma empresa quando a renda gerada é investida continua-mente e no processo de acumulação, os juros são obtidos por capitalizaçãocontínua.

Em vários instantes, a renda gerada compõe o fluxo de renda, mas porsimplicidade consideramos anual a taxa de geração de renda. Tal taxa serádada pela função R(x), onde x representa o tempo dado em anos.

Temos a expressão que dá o valor futuro acumulado de um fluxo derenda ou, simplesmente, valor futuro de um fluxo de renda, após N anos,onde R(x) é a taxa na qual a renda é gerada anualmente e z é a taxa de ju-ros compostos continuamente:

Valor Futuro = e'N • ^R(x)e~ixdx,

Problema: Para uma empresa, um determinado produto gera uma renda auma taxa de R$ 500.000,00 por ano. Ao ser obtida, tal renda é aplicadavárias vezes ao dia a uma taxa anual de 8% composta continuamente.Qual o valor futuro acumulado para esse fluxo de renda após 5 anos?

Solução: O valor futuro será dado por Valor Futuro = e'N • J R(x)e~'xdx ,

onde, segundo os dados, i = 0,08, N = 5 e R(x) = 500.000, então

Valor Futuro = e°.°8-5J soo.oooe~°>OSx dx

Rearranjando a integral, temos Valor Futuro = 500.000e0>4jV0'08*<£c.

Calculamos a integral indefinida correspondente fe~°>mxdx pelo métododa substituição:

u(x) = -0,08* => du = -0,08dx => dx = - du => dx = -U,5du-0,08

\e-°<°íxdx = }e" (-U,5du) = -\2,5\e«du = -12,5e" = - 12,5e-°.

Então, a integral definida será

= -12,

-8,379 + 12,500 = 4,121

Logo, obtemos o valor futuro do fluxo de renda

Valor Futuro = 500.000e°-4 = 500.000e°<4 • 4,121 = 3.073.904,79

Assim, o valor futuro acumulado é de R$ 3.073.904,79.

Valor Presente de um Fluxo de Renda

Existem situações em que é interessante conhecer o valor presente de umfluxo de renda, ou seja, para um certo período, qual o capital que deve seraplicado inicialmente para que, ao final desse período, o montante obtidoseja equivalente ao valor futuro de um fluxo de renda correspondente.

Considerando um fluxo de renda onde R(x) é a taxa na qual a renda égerada anualmente e z é a taxa de juros compostos continuamente, vimosque, após N anos, o valor futuro do fluxo de renda é dado por Valor

Futuro = e'N - J R(x)e~'xdx . Com a mesma taxa z de juros compostos con-

tinuamente, se aplicarmos um capital inicial P após N anos, obtemos ummontante M = P • e'N, e tal montante deve ser igual ao Valor Futuro doFluxo de Renda:

P. e<N = g'N . lNR(x)(rix ^

378379


Dividindo ambos os membros da igualdade por e'N, obtemos o capitalinicial (valor presente do fluxo de renda) que, aplicado inicialmente, igua-la o montante ao valor futuro do fluxo de renda:

P = l*R(x)e-ixdx

Assim, temos a expressão que dá o valor presente de um fluxo de renda,onde N é o número de anos, R(x) é a taxa na qual a renda é gerada anual-mente e i é a taxa de juros compostos continuamente:

Valor Presente = \R(x)e~'xdx

Problema: Em urna empresa, a produção de uma máquina é vendida e pro-porciona uma renda a uma taxa de R$ 25.000,00 por ano. Ao ser obtida,tal renda é aplicada várias vezes ao dia a uma taxa anual de 10% compos-ta continuamente. Qual o valor presente dessa máquina, considerando suavida útil de 15 anos e mantidas as mesmas taxas de renda e de juros nesseperíodo?

Solução: O valor presente da máquina será o valor presente do fluxo de

renda gerado por ela. Temos Valor Presente - \xdx e, substituin-

do N = 15, R(x) = 25.000 e i = 0,10 = 0,1, obtemos

Valor Presente = 25 . " dx

Rearranjando a integral, temos Valor Presente = 25.000 í e °<lxdx.

Calculamos a integral indefinida correspondente fe~°>lx dx pelo métododa substituição:

= -0,1* => du = -OAdx => dx = du dx = -lOdu-0,1

= -We" = -lOír0-1*

380


Então, a integral definida será

jV°.i*á;t = LiOe-O'1*]1^ -iQe-0,1-15 - (_ioe-<U-o

e -2,231 + 10 = 7,769

Logo, obtemos o valor presente do fluxo de renda

Valor Presente = 25.000 j^ 0-1* dx = 25.000 • 7,769 = 194.225,00

Assim, o valor presente da máquina é de R$ 194.225,00.

'!rl Exercícios

1. Na comercialização, em reais, de um certo produto, a receita margi-nal é dada por R'(q) = -ÍOq + 100 e o custo marginal é dado porC'(q) = 2,5q. Para o intervalo 2 s q s 8, obtenha:

a) A variação total da receita.b) A variação total do custo.c) A variação total do lucro.d) A interpretação gráfica da variação total do lucro obtida no item

anterior.

2. Considerando as mesmas funções do problema anterior, ou seja,receita marginal R'(q) = -\Qq + 100 e custo marginal C'(q) = 2,Sq,obtenha as funções receita, custo e lucro, sabendo que a receita nacomercialização de 2 unidades do produto é de R$ 180,00 e que ocusto na produção de 4 unidades é de R$ 70,00.

3. Na comercialização, em reais, de uma peça automotiva, a receita mar-ginal é dada por R'(q) = 3q2 e o custo marginal é dado por C'(q) = 27.Para o intervalo l s q s 3, obtenha:a) A variação total da receita.b) A variação total do custo.c) A variação total do lucro.d) A interpretação gráfica da variação total do lucro obtida no item

anterior.


4. Considerando as mesmas funções do problema anterior, ou seja, recei-ta marginal R'(q) = 3q2 e custo marginal C'(q) = 27, obtenha as fun-ções receita, custo e lucro sabendo que a receita na comercialização de2 peças é de R$ 8,00 e que o custo na produção de 10 peças é deR$ 300,00.

5. Para uma certa população, a propensão marginal a consumir é dadapor cmg = c'(y) = 0,7, sendo o consumo c uma função da renda y dosconsumidores.

a) Obtenha a variação total do consumo quando a renda variar nointervalo 1.000 s y s 1.500.

b) Obtenha a função consumo sabendo que, para uma renda deR$ 1.000,00, o consumo é de R$ 910,00.

6. Para uma certa população, a propensão marginal a poupar é dada porsmg = s'(y) = 0,3, sendo a poupança s uma função da renda y dos habi-tantes.

a) Obtenha a variação total da poupança quando a renda variar nointervalo 1.000 s. y s 1.500.

b) Obtenha a função poupança sabendo que, para uma renda deR$ 1.000,00, a poupança é de R$ 90,00.

7. Em uma empresa, a produção marginal de alimentos beneficiados édada por P' = q^, onde q representa o capital investido em equipamen-tos. A produção é dada em toneladas e o capital em milhares de reais.

a) Obtenha a variação total da produção quando o capital investidovaria de 2 até 5 milhares de reais.

b) Obtenha a função produção sabendo que, para 10 milhares de reaisinvestidos em equipamentos, resulta uma produção de 2.500 tone-ladas de alimentos.

8. Na compra de um modelo de TV, a função demanda é dada porp(q) = 1.000-2004.

a) Encontre o excedente do consumidor se o preço de mercado da TVé R$ 400,00.

b) Represente graficamente o excedente do consumidor encontradono item anterior.

9. Na venda de um modelo de TV, a função oferta é dada porp(q) = 50q + 250.

382


a) Encontre o excedente do produtor se o preço de mercado da TV éR$ 400,00.

b) Represente graficamente o excedente do produtor encontrado noitem anterior.

10. Na compra de sapatos, a função demanda é dada por p(q) = 108 - 3q2.

a) Encontre o excedente do consumidor se o preço de mercado éR$ 60,00.

b) Represente graficamente o excedente do consumidor encontradono item anterior.

11. Na venda de sapatos, a função oferta é dada por p(q) = 3q2 + 12.

a) Encontre o excedente do produtor se o preço de mercado éR$ 60,00.

b) Represente graficamente o excedente do produtor encontrado noitem anterior.

12. Na comercialização de calças, a função demanda é p(q) = -6q2 + 150e a função oferta é p(q) = 3q2 + 69. Sabendo que o preço de mercadoé o preço de equilíbrio entre demanda e oferta:

a) Obtenha o excedente do consumidor.b) Obtenha o excedente do produtor.c) Em um mesmo sistema de eixos, faça a representação gráfica dos

excedentes encontrados anteriormente.

13. Para uma empresa, um determinado produto gera uma renda a umataxa de R$ 200.000,00 por ano. Ao ser obtida, tal renda é aplicadavárias vezes ao dia a uma taxa anual de 10% composta continuamen-te. Qual o valor futuro acumulado para esse fluxo de renda após 4anos?

14. Em uma empresa, a produção de uma máquina é vendida e propor-ciona urna renda a uma taxa de R$ 40.000,00 por ano. Ao ser obti-da, tal renda é aplicada várias vezes ao dia a uma taxa anual de 12%composta continuamente. Qual o valor presente dessa máquina, con-siderando sua vida útil de 10 anos e mantidas as mesmas taxas derenda e de juros nesse período?

15. Os dirigentes de uma grande empresa no setor de tintas desejam com-prar uma outra empresa menor e concorrente. Estima-se que, após acompra, a empresa menor gerará uma renda de R$ 750.000,00 porano que será aplicada pela empresa maior continuamente a uma l . i x . i


anual de 9%, gerando um fluxo de renda durante 5 anos, quandoentão será realizada a fusão das duas empresas. Qual o valor futuroacumulado para esse fluxo de renda após os 5 anos?

16. Os dirigentes de uma grande empresa no setor de tintas desejam com-prar uma outra empresa menor e concorrente. Estima-se que, após acompra, a empresa menor gerará uma renda de Rf 750.000,00 porano que será aplicada pela empresa maior continuamente a uma taxaanual de 9%, gerando um fluxo de renda durante 5 anos, quandoentão será realizada a fusão das duas empresas. Para a compra, qualo valor presente da empresa menor, considerando apenas o fluxo derenda gerada por ela durante os 5 anos?

17. Em uma fábrica, o número y de peças produzidas por um operáriodepende do número x de horas trabalhadas a partir do início do turno(x = 0), e tal produção é dada por y = -x3 + 15x2, onde x é dado emhoras e y em unidades. Determine o número médio de peças produzi-das no intervalo de horas de x = l até x = 5. (Lembre-se: o valormédio de uma função f(x) em um intervalo a ^ x s b é dado por

Valor Médio = —^— • ff(x)dxb- a "

18. O preço P de um produto cresce no decorrer dos meses x de acordocom a função P = 40 • 1,05*, onde x = O representa o mês de março,quando teve início a análise de tais preços. Determine o preço médiodo produto no intervalo de maio a agosto.

19. Determine o valor futuro de um fluxo de renda, em que a renda égerada segundo uma taxa dada por R(x) = lOx + 200 (milhares deR$/ano), a capitalização contínua é feita a uma taxa anual de 10% eo período é de 4 anos. (Sugestão: Resolva a integral utilizando o méto-do da integração por partes.)


• TÓPICO ESPECIAL - O índice de Gini e aCurva de Lorenz

Uma das medidas usuais de mensuração do grau de concentração ou desi-gualdade da renda de uma população é o índice de Gini, cuja abreviaturaé denotada por G. Esse índice apresenta uma variação numérica dentro dointervalo O s G < l, determinando duas situações extremas à medida queG se aproxima de zero ou de um. Na primeira situação (G -» 0), podemosafirmar que está ocorrendo uma pequena dispersão ou pequena desigual-dade na renda de uma região ou população; porém, a segunda situação,quando (G -» 1), implica uma grande dispersão ou grande desigualdade narenda de uma dada população.

Ainda podemos utilizar o índice de Gini para medir o grau de concen-tração da renda em uma empresa, em uma cidade etc.

índice de Gini 0 s G < 1Intervalo de variação

G -» O pequenadesigualdade e dispersão

G -» l grandedesigualdade e dispersão

A Curva de Lorenz caracteriza a representação da proporção acumuladada população em porcentagem subdividida em estratos no eixo horizontal(x), com a proporção acumulada correspondente da renda em porcentagemacumulada dessa mesma população.

Como exemplo, construiremos a Curva de Lorenz e calcularemos oíndice de Gini, utilizando os dados hipotéticos da tabela que relaciona por-centagem acumulada da renda e porcentagem acumulada da população.


Estrato Fração daPopulação

0,20-

0,20

0,20

0,20_

0,20+

R, (%) P/tadMFração da População acumulada

Renda em (%)(valores acumulados)

Rendaacumulada em (

0,0350

0,0807

0,1381

0,2026

0,5435

0,200,400,600,801,00

1

Pj(ac) x RCurva de

0,0350

0 11570,2538

0,4564

1

(ac)(%)Lorenz

0000

1

O gráfico da Figura 12.4 representa a Curva de Lorenz (L) e a reta deigualdade de distribuição de renda (/) provenientes dos dados da tabelaanterior relacionando população acumulada (em %) e renda acumulada(em %).

Figura 12.4 Curva de Lorenz.

Porcentagem acumuladada renda -Ri<acl(%)

Porcentagem acumuladada população - Pí(ac) (%)

A reta de igualdade representada pela diagonal (1) caracteriza a comple-ta igualdade, onde todos recebem a mesma renda, significando que 40% dapopulação receberá 80% da renda etc. Essa mesma reta também poderá serchamada de reta de eqiiidistribuição, denotando uma perfeita distribuiçãoda renda.

Por outro lado, a Curva de Lorenz é obtida pela ligação dos valores dePt(ac) (%) corn R-i(ac) (%)> quando a proporção acumulada da renda variaem função da proporção acumulada da população.

Vale lembrar que, quanto maior o número de estratos da população,maior o número de pontos na Curva de Lorenz, propiciando cada vez mais

386


um traçado de caráter curvilíneo. Uma importante observação que pode-mos fazer é que, à medida que a Curva de Lorenz (L) vai se afastando dareta de igualdade (í), o grau de concentração, ou desigualdade da renda,aumenta. Portanto, quanto mais próxima a curva (L) estiver da reta (/),teremos um grau de concentração menor e uma distribuição de renda maisjusta (menor desigualdade).

Observando o gráfico da Figura 12.4, percebemos nitidamente que 40%da população participa com 11,57% da renda total, 60% com 25,38%,80% com 45,64% etc.

A seguir, iremos mostrar, através do gráfico da Figura 12.5, que o índi-ce de Gini é dado por G = 2A1; tomando como base os estratos P;_j e Pt dapopulação e suas respectivas rendas R, e R,_j.

Figura 12.5 Interpretação gráfica do índice de Gini.

f 1-1 b P,

Na Figura 12.5, Aj é a área formada pela reta (/) e pela curva (L), e A2

caracteriza o trapézio formado sob a Curva de Lorenz, cuja área é igual

a A =b)-h

. Como podemos ter n trapézios sob a curva, então:

•=l 2

Logo, A j + A2 = 0,5 e, como estamos interessados na área Aj, temos:

1=1

387


Multiplicando ambos os membros por (2), temos:

2 Aj = 1-2 [(R,. +R /_ 1 ) - (P i -PM )

portanto, 2A1 = G = s > G = 2A1. Logo, quanto maior a área AJ, maior seráo nível de desigualdade da renda de uma população em estudo.

Através da expressão G = 2A1; poderemos extrapolar o raciocínio parao cálculo de integrais utilizando áreas entre curvas, chamando a reta deigualdade de I(x) e a Curva de Lorenz de L(x), e considerando o domíniopara as funções por Osxsí.O gráfico da Figura 12.6 ilustra as duas fun-ções L(x) e I(x), determinando a área sombreada Aj.

Figura 12.6 Área entre acurva L e a reta /.

/(.v)

l t

Como G = 2Aj, tem-se: Al = |*[l(x) - L(x)] • dx , portanto:

Exemplo l - A tabela a seguir identifica a distribuição dos funcionários deempresas industriais do setor alimentício em função do nível salarial emum período anual. Com base nos dados, calcule o índice de Gini e cons-trua a Curva de Lorenz.

388


i

(Estrato)

i

2

3

45~ ~

Fração daPopulação

0,20-(mais pobres)

0,20

0,20

0,20

0,20+(mais ricos)

Fração daRenda

0,026

0,098

0,224

0,287

"0365

Pi(ac)(%) f

0,20

0,40

0,60

0,80

1 ,00

Curva de

? /o/ \) \'°'

0,026

0,124

0,348

0,635

1,000"

Lorenz

P, -PM

0,20

0,20

0,20

0,20

0,20"

R i - RM

0,0260

0,1500

0,4980

0,1330

1,6350

(PÍ-PM)'(R, + R,_i)

0,00520

0,03000

0,00996

0,02660

0,32700

Z

= 0,3982

1 índice de Gini

G =1-1 (R, +R M ) - (P j - Pj_!l

G = l - [0,3922] => G = 0,6018 =*• G a 0,6, se apresentando mais pró-ximo de l (G -» 1), indicando concentração e desigualdade na renda dosfuncionários do setor alimentício.

0,2 0,4

Exemplo 2 - Um órgão governamental, através dos resultados da PesquisaNacional por Amostra de Domicílios (PNAD), certificou-se de que a Curva deLorenz para a distribuição de renda de uma cidade é caracterizada pela fun-ção L(x) = 0,lx + Q,9x2 e pela reta de igualdade I(x) = x, O s x s 1. Pede-se:

389


a) O índice de Gini e sua interpretação quanto ao nível de concentração.

Solução: Calculando o índice de Gini:

G=2$10[I(x)-L(x)].dx => G = 2 fo[(x)-(0,\x+0,9x2)].dx =

Ul)2 0,1-(l)2 0,9-(l)30,lx2 0,9x31 = 2

= 2 [0,15] = 0,30

Logo, G = 0,30, o que indica um baixo grau de concentração ou peque-na desigualdade na renda dessa cidade.

b) A representação gráfica da Curva de Lorenz em decis (10%).

Solução: Gerando uma tabela para a construção gráfica, temos:

x (decis) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0em porcentagem

y(renda) 0,020 0,056 0,111 0,184 0,275 0,384 0,511 0,656 0,819 1,0

(%-Renda

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0(% - População)

c) Qual o nível de renda para os 10% mais pobres (0,10-) e para o quintodecil da população?

Solução: Se x = 0,1 (correspondente aos 10% mais pobres ou l2 decil),temos:

y«U) = °'9 ' (°.l)2 + O'1 ' (0.1) = 0,020, portanto os 0,10- (mais pobres)participam com 0,02 da renda ou 0,02 x 100 = 2% da renda total, parao quinto decil x = 0,5, temos:

y(0,5) = °.9 ' (O.5)2 + °'l ' (°,5) = 0,275 x 100 = 27,5%; logo, até o 5=decil a participação na renda total é de 27,5%.

390


Exemplo 3 - Um órgão de pesquisa em estatística e estudos socioeconômi-cos, a pedido de um sindicato de grande representação nacional, está estu-dando quatro empresas (A, B, C e D) quanto ao grau de concentração derenda. Com base nesse estudo, foram geradas para cada empresa quatrofunções de distribuição de renda:

y A = *2; = *1>7; y c = *1<5 e

Com base nas funções de distribuição de renda, pede-se:

a) Qual das empresas apresenta maior grau de concentração na renda?

Solução: Calculando o índice de Gini para cada uma das empresas:

x2 x3í—fLl ^ G a = 2

l2 l3

2 3

. GA = 2[0,1667]

= 2]J[{*)-(*''7)

GB = 2[0,1296j

• dx => GR = 2

=> Gc = 2[0,1000

G D =2!Ò

=> GD = 2[0,0652

= > G r = 2 — -

2,7

l2 l2-5

x2'3

2,5

l2 l2-3

-v'

Portanto, a empresa A apresenta o maior grau de concentração de rendaem virtude de o índice de Gini = 0,3333 ser o maior entre as empresas ana-lisadas.

391


b) Qual das empresas apresenta menor grau de concentração de renda?

Solução: A empresa D apresenta o menor grau de desigualdade pelo falode seu índice de Gini ser o menor entre todos GQ = 0,1304.

c) Faça um esboço gráfico das quatro Curvas de Lorenz.

Solução:

d) O que se pode concluir a respeito das curvas que representam as empre-sas yA e yD em relação à reta de igualdade da renda?

Solução: Como o grau de concentração é medido em função da área forma-da entre a Curva de Lorenz e a reta de igualdade, percebe-se facilmente quea curva da empresa A está mais afastada da reta de igualdade, determinan-do um maior grau de concentração da renda, ao passo que a empresa Dapresenta sua Curva de Lorenz mais próxima à reta de eqúidistribuição,confirmando assim um menor grau de concentração de renda.

H Problemas

1. O que podemos dizer com relação à área formada pela Curva deLorenz e a reta de equidistribuição de renda?

2. Quais as formas de cálculo do índice de Gini utilizado no texto?

3. Qual o significado da Curva de Lorenz e do índice de Gini?

4. É correto dizer que, quanto maior a área entre a reta de igualdade e aCurva de Lorenz, maior será o grau de concentração da renda?Justifique.

5. Em um estudo socioeconômico realizado para duas regiões R^ e R2,verificou-se que a região RJ apresentou distribuição de renda dadapela função y = x^<s e a região R2 Por y = *2- Pede-se:

392


a) O gráfico das duas curvas de distribuição em um mesmo sistema deeixos.

b) Analisando graficamente, qual delas apresenta menor grau de con-centração de renda?

c) Calcule o índice de Gini para RJ e R2 e interprete os resultadosobtidos.

6. Um grande banco está avaliando a performance de suas agências ban-cárias analisando o fluxo de depósitos contra o número de correntis-tas que efetivamente depositam seu dinheiro ao longo de um períodode 30 dias. Para melhor avaliação, os dados coletados foram conden-sados em uma tabela relacionando o número de correntistas (deposi-tantes) e o volume de dinheiro depositado, subdividido em classes noperíodo considerado.

Classes de vohjme

de depósitos no período

0 - 5.000

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

-. 10.000

— 15.000

-* 20.000

-» 25.000

-» 30.000

Depósitos efetivados

em (u. m.) por classe

(acumulado)

85.000

195.000

310.000

450.000

980.000

1.220.000

Na de correntistas que

efetuaram depósitos no

período (acumulado)

1.200

1.560

1.780

1.300

1.580

1.640

a) Calcule o índice de Gini e construa a Curva de Lorenz.b) Com base nos cálculos e no gráfico, quais os níveis de percentual

dos depósitos e percentual dos correntistas acumulados correspon-dentes a 2.760 depositantes acumulados?

As distribuições de renda dos funcionários de duas empresas fabrican-tes de cerâmicas Q e C2 são representadas pelas funções L^(x) = x1'85

e L2 (x) - 0,íx2 + 0,9x, respectivamente. Pede-se:a) Qual das empresas apresenta maior grau e menor grau de concen-

tração de renda?b) Construa em um mesmo sistema de eixos as curvas de distribuição

de renda para Q e C2 e a reta de igualdade.

393

apêndice

Atividades para Revisão

• Objetivo do CapítuloA seguir você tem quatro grupos de exercícios compostos de seis atividadescada (A, B - Revisão Numérica; C, D - Revisão Algébrica; E, F - RevisãoGráfica). Você deve realizar por completo as seis atividades do Grupo l, naordem em que foram propostas, para só então realizar, da mesma forma,as atividades dos outros grupos. Ao final, complementando sua revisão,são apresentadas atividades com porcentagem e alguns problemas.


• GRUPO 1Assunto: Potências de números in-teiros

Atividade A - Calcule:

1.2°2.213.234.2"5. (-2)06. (-2)17. (-2)28. (-2)39.12

10. 1311. (-1)0

12. (-1)113. (-1)214. (-1)315. li'16. 12817. (-!)«18. (-1)142

19. 10°20. IO2

21. IO4

22. (-10)623. (-10)9

24. (-3)225. -3226. (-4)227.^2

Assunto: Expressões numéricasAtividade B - Calcule as expressões:

28.-3-(13-20)29. -2 + (5 - 20) - (-4 + 2)

30. -l + 5 • (-4)31. -2 - 5 • (-2) - 3 • H)32. -2 - 5 • (-4 + 2 . 3) - 5 •

.[2-3 •(-!)]33. 36 -=- (-2)2 - [-3 + H) . 2]234. (-3) (-2) (-1) + (-3) (-2)2 •

• (-D3

35. (-3)0 - (-2)2 • (-1)5 - (-3)3 •. 50 _ 23

36. 2 -3 + 2 ' 3 - 52 • 3 - 8 í 237. (22)3-(30)2-52-i2

Assunto: Expressões algébricasAtividade C - Reduza os termossemelhantes:

38. 5a + 3b - 2a + 2b39. 3a + Sb - 3c + 7b - 5c + 2a40. 3x2 + 2x2 + 5x + 2x41. 5x2 + 3x - 5x + x2

42. 3x2 + 3x - 3 + x2 - 5x + l43. 6x2 - Sy + 6x - 7y + 2x - l + x2

44. ab + xy + 2ab - 3xy45.(2x-3) + (3x-8)46. (2x -3) + 2x- (3x - 8)47. (2x - 3) + (5x - 8) - (-7x + 8)48. (x2 -2x + 3)- (-5x2 + 2* - 8)49. 5(x + 2y)50. -2(x - 3y)51. x2(x + 2)52. x(xy + x2)53. 3(x2 + 2x - y)54. 3x(x2 + 2x-y)55. 3x(x2 + xy + y)56. x^(x - xy + x2)57. (x + 1) (x+ 2)58. (x + 1) (x + 2)59. (x2 + 2) (2x - y)60. (x + 1) (x + 2y-xy)

396

Apêndice

61.(x-2)(x*-2x-y+ 1)62. (x + y) (x2 - xy + y - 3)

63.4*-2+^2x x

82. A = (-3; l ) B = (0; -2) C = (-1; -3)D = (-1; 0) E = (3; 2) F = (0; 3)

2x2

6S

3x 2x 2x

Assunto: Fator comum /AgrupamentoAtividade D - Fatore colocando osfatores comuns em evidência e,quando possível, simplifique aindamais, usando o agrupamento:

66. 2x + 2y67. 3xy + 3ab68. ax + ay69. 2x + 470. 2ax + 2ay71. x2 + x72. x3 + x

73. x3 + x2

74. 6x3 + 4%2 + 2x75. x2y + x2 + x76. x2 y2 + xy2

77. a(x + y) + b(x + y)78. x(a -b) + y(a - b)79. a2 + ab + ac + bc80. ax - bx + ay - by

Assunto: Plano cartesianoAtividade E - Para cada exercício(grupo de pares ordenados), cons-trua os eixos cartesianos e repre-sente os pontos indicados:

81. A = (1; 2) B = (3; 4) C = (-2; 3)D = (-1.113; -1) E = (3; -2)F = (4;0)G = (0;4)H=(-4;0)

83. A = (0; 2) B = (0; -3) C = (-2; 0)D = (0;2,5)E = (-4;0)F = (0;-1)

84. A = (-3; 9) B = (-2; 6) C =(-1; 3)D = (0;0)E = (l;-3)F = (2;-6)

85. A = (2; -3) B = (2; -2) C = (2; -l )D = (2; 0) E = (2; 1) F = (2; 2)

86. A = (-3; 2) B = (-2; 2) C = (-1; 2)D = (0;2)E = (1;2)F = (2;2)

Assunto: Função constante

Atividade F - Represente grafica-mente as funções constantes:

87. y = 388. y = -289. y = 7590. y = -100

• GRUPO 2Assunto: Substituição numérica

Atividade A - Para cada exercício,calcule o valor das expressões subs-tituindo as variáveis conforme esti-pulado:

91. x2 + 4x - 5 para a) x = 2;b)x = -í

92. 2x2 - 3x + l para a) x = -1;b )x = 0

93. xy + x2y - xy2 para x = 2 ey = -l

94. xy - V%y + (xy)2 para x = 4 ey = 9

95. a * b + ah - ba para a = 4 eb = 2

397

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Apêndice

96.

97. ma -

2a

a \2arn2m a + m

a = 1;b = 4e 111.

112. i.-+-.ia = 4 e 3 5 2 4

ParaC==26 H3.2-!.!-!3 2 2

98. -x3 + 4x - 3x2 + 5 para x = -2 114 5 3_1. 5 _ 4 l'2'4 3 ~ 2 JV

Assunto: Frações 5 \e B - Calcule, expressando 2 3

ao final a resposta em forma de i ig !_=.! 3fração, simplificando-a sempre q u e 7 4 2possível: n-r 2 4 . 1

J.1/. ! !

3 5 7

99.! + ! 118 5-12 3 ' 5

100. - +2

119.!-^+ -I3 4 3

101-rB102.1-

103. | +

3

2 ~ ^

+ f 121'

sr 122-

_ 3 2

4_ 9 2

7

_M 2

10«>4.1-I+f-3 123.(|)3

105.4- -2 + l_ I + ! 1243 4 8 5 1Z4'

106. Í + 2--'3 5 ,

107.!-2

53

7>--H+i 125-r i l26-

108.2.8 127

3 5

109.!- 12 128.

no.!.3-.!. 1294 5 11

2\J

1-122-13

2

-f!"1~3

130.Í-2l 3

131.

132.

133.

134.

.,

~ 3 ~ +

2

3_ 1

212

—2

f)"'

5 -3

3

2 13

-2

l-2

3

+ 2 ~ 1 - 1lr23 ' 31

Assunto: Trinômio quadrado per-feito

Atividade C — Desenvolva:

135. (a + b)2

136. 2 - ( a + b)2

137. (a - b)2

138. 3(a-b)2

139. (x - 3)2

140. (x + l)2

141. (2x + 3)2

142. (3x - 4)2

143. 3 • (2x - 5)2

144.-2-(3x-l)2

145. (-x - 2)2

146. (x2 - 3)2

147. (x3 + l)2

148. (x2 + y)2

149. -5 • (ab - x2)2

Assunto: Diferença de dois quadra-dosAtividade D — Desenvolva ou fato-re, conforme o caso:

150. (a + b) (a-b)151. ( x - y ) ( x + y)152. (x + 2) (x- 2)153. (fl + 3) (a -3)

154. (3% + 2) (3% - 2)155. (4x -5) (4x + 5)156. (xy- 3) (xy + 3)157. (y2-10) (y2 + 10)158. x2 - 4159. x2 - 25160. a2 - 10.000

161. y2-l

162. 9x2 - 4163. 4x2 - 25y2

164. ̂ -i-100 x2

Assunto: Função do 1a grau

Atividade E - Esboce o gráfico dasfunções do l- grau, construindoprimeiramente uma tabela com ospontos correspondentes aos valoressugeridos para a variável indepen-dente em cada item:

165. y = x + l x =* -3; -2; -1; 0; l166. y = 2x + 2 x => -3; -2; -1; 0; l167. y = 3x + 6 x => -4; -2; 0; 2; 4168. y = x - l x => -2; -1; 0; 1; 2169. y = 2x - 2 x => -2; -1; 0; 1; 2170. y = 2x - 6 x =* -2; 0; 2; 3; 5171. y = 4x - 8 % =s> -2; 0; 2; 4; 6172. y = x x =s> -2; -1; 0; 1; 2173. y = 2x x ̂ -2; -1; 0; 1; 2

174. y = -**=>-2;-1;0; 1; 2

175. y =-3* x =*-2;-1; 0; 1; 2176. y = -x + 2 x =* -2; 0; 2; 4; 6

177. y =-x + 3 % =>-2; 0; 2; 4; 6178. y = -x - 2 x => -4; -2; 0; 2; 4179. y = -x - 3 x => -4; -2; 0; 2; 4

399


Assunto: Função do 2° grau

Atividade F - Esboce o gráfico dasfunções do 2- grau, construindo pri-meiramente uma tabela com ospontos correspondentes aos valoressugeridos para a variável indepen-dente em cada item:

180. y = x2 x = -2; -1; 0; 1; 2181. y = -x2 x = -2; -1; 0; 1; 2182. y = -2X1 x = -2; -1; 0; 1; 2183. y = x2 - 4x - 5 x = -1; 0; 1; 2; 3; 4184. y = -x2 - 2x + 3 x = -3; -2; -1; 0; l185. y = -x2 - 4x + 12 x = -3; -2; -1; 0; l186.y = x2-6x + 9x=0;l;2;3;4;5;6

= -L;0;l;2;3;4;5

189. y = -3x2 + 3x - 9 x = -2; -1; 0; 1; 2190. y = 3x2 - 12* x = -A; -2; 0; 2; 4; 6191. P = -5f2 + lOOí í = 0; 10; 20; 30; 40192. P = 10í2 + 200 í = 0; 2; 4; 6; 8; 10

% GRUPO 3

Assunto: Decimais

Atividade A - Calcule, expressandoao final a resposta na forma de nú-mero decimal:

193. 0,3 + 0,7194. 0,26 + 0,32195. 0,23 + 0,145196. 0,023 + 0,14197. 0,3 - 0,7198. 0,26 - 0,32199. 0,23 + (-0,145)200. 0,57 - (0,725)201. 0,623 - (-1,3)202. (-2,5) + (-0,21) -(-0,12)

203. j-(-0,7)

20, - - U + 5,4

205. 0,2 • 0,3206. 2 • 0,25207. 3 • (-0,75)208. 0,2 • (-0,25)209. 0,2 • 0,3 • 0,4210. (-0,1) • (-0,2)

211. (-0,1) • -j-

(-0.3)

212. (-0,2) - (-1,5) • -

213. (-0,1)2

214. (-0,1)3215. (-0,1)4

216. (-0,1)°217. (-0,!)-1

218. (-0,1)-2

219. (-0,1 H220. (-0,01 )2

221. (-0,01)3222. (-0,01H223. (-0,01 )2

224. (-0,01)3225. (-0,001)°226. (0,8) * 0,2227. 0,8 4- (-0,4)228. 0,08 í- (-0,2)229. (-6,4) + (-0,16)230. 0,64 -H (-1,6)231.0,12*3232. 1,2 - (-4)

233. 2,5 -r-i

234. (-2,5) H-

400

Apêndice

235. 1,024 * 1,28236. 10,24 4- (-25,6)237. 10,24 4 (-0,256)238. (-2,048) 4 25,6239. 0,0625 4 0,05240. (0,5)2 4 0,625241. (-0,2)4 4 (-0,2)3

242. (-0,25)-2 4 (-0,5H243. 2 • (-0,2)3

244. (-2) • (-0,2)4245. (1,2)2 4 4246. (0,12)2 4 0,3247. 2 • (-0,3)2 + 3 • (0,1 )4

248. 1 ,5 - (0 ,2 )4 -2 - (0 ,3 )3249.-3,4 • (0,2) -5 • (-0,1 )3 +

• (O,!)-1

250. 1,3 • (0,8)-i + 2,4 • (0,3)-!• (0,25)2

Assunto: Radicais

Atividade B - Extraia as raízes:

273. VÒ,0625274.^21275. ̂ M276. VÕ.0144277.278.279. - ̂280.fr281.^16282. tfTÔTÕÕÕ283. ;\í-r284.NÍ3

286. *P2Ã3287.^4

288:

295


330. 2x - 4 = 2331. 2x + 6 = 8332. -2x + 4 = l

,3,,-| = l

334. _3X -&-

335.1* = 3

336. — = -2

337.-—=-5

338.^ -2 = 0

339.-f,-|=0

340. 10 + x = 3 - 2x341. 12 + % = 7-4%

3x + 9 x- 5

1.000297. VI • VH298. VI-VI299. VI • VI7300. VI • VI301.V7-V7

Assunto: Cubo perfeitoAtividade C - Desenvolva:302. (x + y)3

303. (x - y)3

304. (x + 2)3

305. (x- 2)3

306. (2x + 3)3

307. (2x - 3)3

Assunto: Equações do 1a grauAtividade D - Resolva as seguintesequações:308. x + l = O309. x - l = O310. x -3 = 0311. 3 + x = O312. 0 = 3 -x313. -x-2 = 0314. -x + 5 = O315.2^-6 = 0316. 3x + 6 = O317. 2x + 15 = O318. 5x= 10319. -3x = 12320. -3x = -12321. 2 = -2x322. 14 = -lx323. 2x = 3324. 3x = 4325. -2x = -5326. -2x = 7327. x+ 2 = 3328. x - 3 = 4329. x + 5 = -8

Apêndice

342.

343.

344.

9 62x + 4 _ -2x - 4

10 ~ 25-3x + 6 _ 2x + 8

25 10345. 0,26* - 0,78 = O346. 0,18*-0,90 = O

347. 0,2*-A= Q

348. -0,6*+^= O

349. (l + 2x) - (2 -3x) - (-2 + 4x) = 3350 — l _ 2x 5

' 3 2 " 3 6351. 0,21% + 3,33 = 0,12% + 6,66

Assunto: Funções exponenciais ehiperbólicas

Atividade E - Esboce o gráfico dasfunções, construindo primeiramen-

te uma tabela com os pontos corres-pondentes aos valores sugeridospara a variável independente emcada item:

353. y = 3" x = -2; -1; 0; 1; 2354. y = 5 • 2* x = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3355. y = 10 • 2* x = -3; -2; -1; 0;

1;2;3

356. v = -

2; 3

357. y =

358. y = 10.(.ij**=-2;-l;0;l;2;

2; 4; 8

359. y =^x = -2; -1; - ^-A; 1; 2x 2 2

360.y = -i-* = -2;-l;-f -±;1;'.x 2 2

366. y367. y = -x368. y

361. y

x 2 2

-1 x- 2- -Í---Í--1-2- — x --/.,-!,- —;—, l, zx2 2 2

Assunto: Função de l" grau

Atividade F - Esboce o gráfico dasfunções, determinando o pontoonde a reta corta o eixo y e ondecorta o eixo x. Caso isso não sejapossível, determine alguns pontospara a construção dos gráficos:

362. y = x + l363. y = 2x + 2364. y = 3x + 6365. y = *-l

= 2x - 6= -x + 2= -x-3= --= -2x- 10

370. y = -3x + 12369. y

. = -371. V = lOf + 30372. V = -2í+ 10373. V = -3í - 45374. V = 3 f - 1 5375. y = 2x376. y = -3x377. y = x

— —i,^7^V T ~f^*J

380. y = -3,2x + 12,8

r — .A,

378. y = 2,4x + 7,2379. y = -1,5* + 4,5

• GRUPO 4

Assunto: Expressões numéricasAtividade A - Calcule, simplifican-do ao máximo:

381.

382...l

383-

384.:

+ V0,04

(II-2 -l

+^2430.04

+ O,02-V(0,5)4

386. V(Õ,5)3 - (0,25)2 x IO2 x

Assunto: Substituição numérica

Atividade B: Para cada exercício,calcule o valor das expressões subs-

402 403


tituindo as variáveis conformeestipulado:

387. 0,4Sx + 3,02 para a) x = 10;b) x = 2

388. 0,52* + 2,41 para a) x = 2;b) x = 1,5

389. 3,25% - 4,21 para a) x = 2;b)x = 3,2

390. 2x2 - 5x + 6 para a) x = -2;b)x = 0,5

391. 0,5* para a) x = 0; b) x = -1;c) x = 2

392. 2 • 0,25* para a) x = -2;b) x = 4

393. 10 • 0,95* para a) x = 0;b) x = 2

394.200 • 1,05* para a) x = 1;b) x = 2

395. P0 • a* para P0 = 100, a = 0,98e * = l

396. P0 • «** para P0 - 200, a = 0,9,k = 0,2 e x = 5

397. -b + Vb2"- 4ac /b2-4ac

para a = -2, b = 8, c = -10398. -2*3 + IO*2 + 4% - 20 para

x = -J

Assunto: Equações do 2a grau

Atividade C - Resolva as seguintesequações:

399. x2 = 4400. x2 = 2401. x2 - l = O402. x2 - 25 = O403. x2 + 4 = O

404.2x2-18 = 0405. 4*2 - 8 = O406. x2 + 2x = O407. x2 - 3x = O408. 2*2 - 10* = O409. 3x2 + 12* = O410. -x2 - x = O411. -2*2 + 7* = O412. x2 + 6x - 16 = O4í3.x2- 10* + 21 = O414. 2x2 + 14* + 20 = O415. -x2 - 5x - 4 = O416.-2*2 + 12*-10 = O417. *2 + 2* + l = O418. -2*2 + 20* - 50 = O419. x2- 4x + 5 = 0420. -x2 - 5x - 7 = O421. 0,5*2 - 3,5* + 5 = 0

Assunto: Sistemas lineares 2x2

Atividade D - Resolva os seguintessistemas:

* + y = 3x - y = l

423. f* + y =5

422.

424.

425.

U* + y = -l

Ix + y = ll* - y = -5í* + y = 312* - 2y = -2

426. p - y =213* + 2y = 11

427. 3* + y = 7l-* + 3y = -19

428. (2* + 3y = 13Í5* - 6y = -8

429. 0,5* + l,5y = 2,51,5* -5y = 2,5

404

Apêndice

431.

432.

433.

0,2* + 0,4y = 20,3* + l,2y = 4,8[* + y = 32* + 2y = 5'* + y = 33* + 3y = 9* = y - 3.y = * + 3

Assunto: Função do 2" grau

Atividade E - Esboce o gráfico decada função a seguir (sem construiruma tabela), determinando primeira-mente a concavidade, depois o pontoem que a parábola "corta" o eixo *(se existir), em seguida o ponto ondea parábola "corta" o eixo y, e final-mente o seu vértice:

434. y = *2 - 4* - 5435. y = -*2 - 2* + 3436. y = *2 - 8* + 16437. y = -*2 - 2* - l438. y = *2 + 3* + 4439. y = -x2 + 4x - 6440. y = 2*2 - 4* - 30441. y = -S*2 - 6* + 24442. y = -3*2-l 8*-27443. y = 2*2 + 4* + 8444. y = *2 + *445. y = -2*2 - 6*446. y = 5*2 - 20*

Assunto: Interpretação gráfica dasolução de um sistema linearAtividade F - Represente grafica-mente as retas que correspondem às

equações de cada sistema, deter-mine a solução dele e indique talsolução no gráfico:

447. I* = y = 3l* - y = l

448. j* + y = 5l—* + y = —lj* + y = 312* - 2y = -2(2x + 3y = -l13* + 4y = -2

451. (y = 0,2* - 0,4íy = 0,3* + 0,9|* - y = 6

449.

450.

452.12* - 2y = 20

453. j* + y = 3Í3* + 3y = 9

m GRUPO ESPECIALAssunto: PorcentagemAtividade A - Calcule a porcenta-gem de:454. 32 sobre 100455. l sobre 10456. 2 sobre 10457. 250 sobre 100458. 300 sobre 100459. 12 sobre 10460. 20 sobre 10461. 40 sobre 200462. 30 sobre 50463. 3 sobre 5464. 20 sobre 15

Atividade B - Escreva sob a formade números decimais as seguintesporcentagens:

405


465. 15%466. 25%467. 5%468. 1%469. 99%470. 125%471. 250%472. 0,3%473. 0,25%474. 33,333...%

Atividade C - Escreva sob a formade porcentagens os seguintes núme-ros decimais:

475. 0,25476. 0,40477. 0,05478. 1,25479. 3,45480. 0,012481. 0,0035482. 0,3333...

Atividade D - Calcule:

483. 25% de 24484. 15% de 40485. 5% de 60486. 2% de 420487. 0,5% de 4.000488. 0,02% de 144489. 250% de 500490. 1,25% de 1.000

Assunto: Regra de três simples direta

Atividade E - Problemas:

491. José comprou 12 m de um canopor R$ 64,00. Quanto pagarápor 18 m do mesmo cano?

492. Sabendo que a quantidade de25 quilos de um compostoquímico custa R$ 32,00, quan-to custam 45 quilos do mesmocomposto?

493. O preço de 2,5 m2 de um pisoé R$ 84,00. Qual o preço de12 m2 do mesmo piso?

494. Com R$ 120,00, foi possívelcomprar 24 unidades de umproduto. Quantas unidades domesmo produto é possívelcomprar com R$ 200,00?

495. Um funcionário executa 12tarefas de um certo tipo em 8horas. Quantas tarefas domesmo tipo o funcionário exe-cutará em 12 horas?

Assunto: Regra de três simplesinversa

Atividade F - Problemas:

496. Urna pessoa digitando 120caracteres por minuto realiza adigitação de um trabalho em 4horas. Em quanto tempo apessoa realizará o mesmo tra-balho se digitar 150 caracterespor minuto?

497. Em um acampamento, o esto-que de alimentos é suficientepara alimentar 15 pessoas du-rante 8 dias. Quanto tempo du-ra o mesmo estoque se for 25 onúmero de pessoas?

498. Em uma viagem, um carro leva15 dias para percorrer um tra-jeto a uma velocidade média de

406

Apêndice

80 km/h. Quantos dias serãonecessários para percorrer omesmo trajeto se a velocidademédia for de 120 km/h?

499. Em uma obra, 4 pedreirosconstruíram um muro em 18horas. Quanto tempo levariam6 pedreiros para construir omesmo muro, trabalhandocom a mesma eficiência dosoutros pedreiros?

500. Abrindo completamente 5 tor-neiras idênticas, é possível en-cher uma caixa d'água em 120minutos. Quanto tempo leva-ria para encher a mesma caixad'água se apenas 2 das mes-mas torneiras fossem abertascompletamente?

respostas^

Exercícios Impares

3.

CAPÍTULO 1a) Fevereiro: R$ 4,00

Maio: R$ 4,50Agosto: R$ 2,00Novembro: R$ 3,00

b) Agosto, setembro e dezembroc) Maior valor (R$ 5,50) em março

Menor valor (R$ 1,00) em junhod) Valorização de R$ 1,50 de fevereiro a março e de junho a julho

Desvalorização de R$ 3,50 de maio a junhoe) V.M.A. = R$ 2,96

a) R(5) = R$ 10,00R(10) = R$20,00R(20) = R$ 40,00R(40) = R$ 80,00

b) q = 25 unidades

25 'q

d) A função é crescente porque, conforme aumenta a quantidade vendida,aumenta a receita.

e) Essa função não é limitada superiormente, porque não há um limite supe-rior.

5. a) C(0) = 60C(5) = 75C(10) = 90


C(15) = 105C(20) = 120

b) c120

c) O significado do valor de C = 60 quando q - O é custo que independe daprodução, também chamado de custo fixo.

d) Essa função é crescente porque, quanto maior a produção (q), maior é ocusto (C).

e) A função não é limitada superiormente porque, se continuar aumentando aprodução (q), o custo também irá aumentar.

7. a) Cu (10) = $ 30Cu (100) = $ 12Cu (1.000) = $ 10,2Cu (10.000) = $ 10,02

b) q = 50 unidades

c)

Kl 100 1.000 10.000 q

A função é decrescente pois à medida que a quantidade aumenta o custounitário diminui.

e) É limitada inferiormente e o limitante inferior é Cu = $ 10, também cha-mado de ínfimo.

CAPÍTULO 1 - TÓPICO ESPECIALProblema l

a) Zx2 = 154b) 2y2 = 103c) "íxy = 91d) -Lxy2 = 437

410

Respostas

e) Zx2y = 639f) 2x2y2 = 3.009g) £x4 = 10.978h) Zx3 = 1.224i) Z2x = 48j) 2x/2 = 12k) 2(x + y) = 431) Z(x - y) = 5

Problema 3

Gráfico de Dispersão - Tabela l

O 10 M 30 40 50 60

Gráfico de Dispersão - Tabela 2

y [milhares]8.000

7.000-

6.000

5.000

4.000

3.000

2.000

1.000

Ox [mês]

Problema 5

4SO4ÍIO350SOO25»100li»[00

Gráfico de Dispersão

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

411

Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Respostas

b) O sistema comporta-se de forma decrescente. E justifica-se porque, quan-do o preço unitário (x) aumenta, a demanda (y) diminui.

c) Os pontos do diagrama não apresentam comportamento linear, porque adisposição desses pontos descreve uma curva decrescente.

d) r = - 0,8804Através do coeficiente de correlação, pode-se afirmar que as variáveis depreço unitário (x) e demanda (y) apresentam uma correlação linear mode-rada e negativa, porque a disposição dos pontos descreve uma curvadecrescente.

• CAPÍTULO 21. a)V=l,Sq

b)75 -

3. a) S = 600 + Wxb)

5. a) V =20.000-1.250*b) x = 8 anos; portanto, o carro terá a metade do seu valor inicial em 8 anosc)

7. a) 3x + 4y = 24b) y = 6 kg

* = 8kg

1.360.000

9-

11. a) p = -l,5q + 47,5b) p = $ 32,50C) f. |S>"

47,50

L = 2q - 90, lucro negativo paraO s q < 45, lucro nulo para q = 45,lucro positivo para q > 45.

13. a) C = 4<j + 60, R = 7«j, L = 3q - 60

b) R i C I S I ^

bteak-even poittt

I > í i

I7T-»

Break-even point é o ponto de equilíbrio, ou seja, custo (C) e receita (R)são iguais, portanto o lucro é zero.

412 413


c) Para q entre O e 20 unidades (O s q < 20) há lucro negativo, e acima de 20unidades (q > 20) há lucro positivo.

d) Cme = $ 4,00 (limitante inferior)

Cm

10 100 1.000 10.000 q

Lme = $ 3,00 (limitante superior)

Lm + , 6 0

-10-20

-30-40

sn

, 10 V 20 100 1.000 10.000 100.000

15. a) p = 0,02<7 + 4,3b) A função é crescente

17. a) AA = 30 + 4dAB = 80 + 2J

414

Respostas

c) Para percorrer uma distância inferior a 25 km, a locadora A tem o melhorpreço, mas para percorrer uma distância superior a 25 km, a locadora Btem o melhor preço. Para percorrer 25 km as duas locadoras são equiva-lentes. Isso pode ser visualizado no gráfico do item (b).

19. a) mA = 13 - 0,5fmB = S- 0,3fEstarão vazios após 26 e 26,7 dias (aproximadamente)

b ) m ( k g ) t13

Funções decrescentes a taxa constante.c) Os botijões serão iguais após 25 dias.

CAPÍTULO 2 - TÓPICO ESPECIALProblema 1

Mesesjan.

fev.

mar.

abr.

maiojun.

,ul.

ago.

set.

out.

nov.

dez.

M123456789

101112

Cotações (y)1040,001071,201108,691086,521119,111169,471146,081134,621168,661192,041233,761264,60

415


b) y

1.4001.2001.000

SOO600400200

O

c) Sim. Existe esta possibilidade.d) y = 1.032,04 + 17,31*

Problema 3a) Analisando o gráfico de dispersão, pode-se afirmar que o sistema se com-

porta de forma aproximadamente linear.b) Os pontos apresentam comportamento linear decrescente.c) As variáveis de demanda e preço de mercado caminham, em termos de

evolução, em sentidos contrários.d) r = -0,94

As variáveis de demanda e preço de mercado apresentam uma correlaçãolinear forte e também negativa, ou seja, os pontos descritos por essas va-riáveis apresentam comportamento decrescente.

e) y = -27,80*+ 1.568,57

f)

O 2 4 6 8 10 12 14 16 !8 20 22 24 26 28 30 32 34 36(preço de vendai

x

40

50

Regressão

457

179

416

Respostas

• CAPÍTULO 3

1. a) Intervalo de crescimento ->deg = 0 a < j = 250Intervalo de decrescimento -» q > 250q = 250 gera a receita máximaReceita máxima R = 125.000

b) break-even points q = 50 e q = 350 são os pontos em que a receita é igual

Receita

+ Lucro Negativo

250 350 500 <J

d)L = -2q2 + 800<j - 35.000

Maior distância entreReceita e Custo

A quantidade que gera o lucro máximo é q - 200, e o lucro máximo éL = $ 45.000.

417


N = -í2 + 14í + 32

a) t

0

1

2

3

4567

8

9

10

N

32

45

56

65

72

77

808180

77

72

9.

b) O número máximo de apólices é de 81 e ocorre no mês em que í = 7.c) Para os cinco primeiros meses a média é 63 e para os dez primeiros meses

a média é 70,5 apólices. (Para os cálculos o mês inicial foi í = l com N =45.)

5. a) R = -2q2 + 400<j

b) A quantidade necessária de garrafas a ser vendida é 100 garrafas, paraobter a receita máxima, que é de $ 20.000.

c) A receita é crescente para O < q < 100 garrafas e decrescente para q > 100.

7. v = 0,5í2 - 8í + 45

b) O valor é mínimo após í = 8 dias, e o valor mínimo é de $ 13.c) É decrescente para O < f < 8 dias e crescente para í > 8 dias.d) V.P. = 88,89%

13.

b) A produção é máxima em í = 6h, com produção de 200.c) A produção é igual à inicial em t = 12h.d) O funcionário não consegue mais produzir em t = 16h.e) Intervalo de crescimento: O < t < 6h

Intervalo de crescimento: 6 < f < 16h

11. a) y = -x2 + 100b)

c) y = 36 camisetasd) x = 9 ternose) Não comprando ternos, pode-se comprar 100 camisetas.

Não comprando camisetas, pode-se comprar 10 ternos.f) Não ultrapassará o orçamento.

b) Quantidade de equilíbrio é q = 4Preço de equilíbrio é p = $ 65

418 419


CAPÍTULO 3 - TÓPICO ESPECIALProblema

a)

1--

1

10.000

8.000

6.000

4.000

2.000

0

Sistema de Dispersão

•

•

•

1 2 3 4 5 6 ?

Pela disposição dos pontos apresentados no sistema de dispersão, é pos-sível verificar que ele descreve uma curva parabólica.

b) r = 0,83Pelo coeficiente de correlação, pode-se notar que as variáveis trimestre (x)e demanda (y) apresentam correlação forte.

c) y = S66,96x2 - 2.725,89* + 6.875d) ^vértice = 2,4 (trimestre)

^vértice = 1.557,70 (demanda na curva)e) Intervalo de decrescimento para x < 2,40

Intervalo de crescimento de x > 2,40

''"T- —

7 15.575

8 21.353

g) x s 6,8879 trimestres.

Problema 3a\a de Dispersão

R [milhares R$]

60.000

50.000

40.000

30.000

20.000

10.000

O

O 2.000 4.000 6.000 8.000 10.00012.000q [milhares]

420

Respostas

b) Linha l => y = -0,002x2 + 20,648* - 10.084,887Linha 2 =• y = -O.OOlx2 + 11,699* + 9.199,450

Gráfico de Parábolas Ajustadas - Linhas l e 2

K [mi

50.000

40.000

30.000

20.000

10.000

0

hares RS]

""~^X •

/ \^ \f [milhares]

-10.000 O 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000

c) Pode-se verificar no gráfico do item (b) que o faturamento mais expressivoao longo do tempo é proporcionado pela linha 2.

d) Linha lxv - 5.162 unidades de demanda para receita máximaLinha 2xv = 5.849,5 unidades de demanda para receita máximaPelos resultados apresentados, para obter receita máxima há necessidade deuma saída maior de calçados na linha 2 que na linha 1.

^média

Çmédia =

5.083,33

4.983,33

Linha 1

Linha 2

A linha l tem uma saída (demanda) superior à da linha 2.f) A linha l supera em demanda a linha 2 no intervalo de 3.616 < x < 5.333.g) A linha 2 supera em demanda a linha l nos intervalos de x < 3.616 e

x > 5.333.

h)x

12.000

14.000

V(linha 1)

-50.308,9

(não existe)

-113.012,9

(não existe)

y(linha 2)

5.587,5

-23.014,6

(não existe)

421


• CAPÍTULO 4

1. a) 1,25b) 1,13c) 1,03d) 1,01e) 2f) 1,0432g) 0,65h) 0,82i) 0,96j) 0,98k) 0,93831) 0,995

3. a)

1

5

10

VÇx)

113.750,00

78.004,02

48.677,01

b) O valor na data de compra era de $ 125.000. E o valor de depreciação emum ano é de 9%.

140.000

120.000

100.000

80.000

60.000

40.000

20.000

O «l0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

d) x = 3,48 anos -» Aproximadamente, 3 anos e 6 meses.

5. a) V(x) = 68.500 • 0,885*

422

Respostas

b)x V(x)

J 60.622,50

5 37.188,35

10 20.189,39

70.000 <

60.000

50.000

40.000

30.000

20.000

10.000

\ . . • •— • r x lanusj

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

d) x = 5,67 anos -> Após, aproximadamente, 5 anos e 8 meses.

7. a) P(í) = 28,50 - 1,04'

b) t P{t)

1 29,64

5 34,67

10 42,19

P(t]45,000

40,000

35,000

30,000

25,000

20,000

15,000

10,000

5,00

(1.00

0 1 2 3 4 5 6 7-> x [meses]

423


d) Percentual = 160,10%, aumento percentual de 60,10%.e) Duplica em 17,67 meses, aproximadamente (18 meses, aproximadamente),

quadruplica em 35,34 meses, aproximadamente (36 meses, aproximada-mente).

9. a) y = 1.048.576 • 0,875*b) Percentual = 12,50%c) A quantidade de estanho presente na jazida quando ela foi descoberta era

de 1.048.576 toneladas.d) Após, aproximadamente, 5 anos.

11. É possível expressar o montante como função exponencial pois

M(8) = M(9) = M(10) a ljQ15 e tal expressão será M(x} = 450.000 • 1,015*M(7) M(8) M(9)

13. É possível expressar o número de ofertas de emprego como função exponen-

cial pois MD = MD = MÍ> a Oj95 e tal expressão será N(f) = 1.750 • 0,95(N(3) N(4) N(5)

CAPÍTULO 4 - TÓPICO ESPECIAL

a) Sistema de Dispersão das Variáveis x c y

O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

b) Sim.c) y = 43,30 • 1,09*A\o de Dispersão e Curva Exponencial Ajustada' ylunidadesl

a)Sistema de Dispersão das Variáveis x e y

y [Faturamento - R$]35.000

30.000

25.000

20.000

15.000

10.000

S. 01 il l

í )

b) y = 35.547,47 • 0,72*c)

Gráfico de Dispersão e CurvaExponencial Ajustada

> [Faturamento - R$]35.000

30.000

25.000

20.000

15.000

10.000

5.000

O

d) Meses (x) Faturamento (y)

8 2.567

9 1.848

J x [Meses]

« IMesesl

O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

424 425


• CAPÍTULO 5

1. a) q [un.]

0

1

2

3

4

5

Cv [R$]

0,00

10,00

80,00

270,00

640,00

1.250,00

Gráfico de Cv em função de q

Cv (R$1

1.400,00

1.200,00

1.000,00

800,00

600,00

400,00

200,00

0.00

//

/

/

^^

b) A taxa é crescente, pois para aumentos iguais em q, os aumentos em Cv

são cada vez maiores. O indicador da taxa crescente é a concavidade volta-da para cima, conforme gráfico anterior.

c) A quantidade produzida a um custo variável de R$ 5.120,00 é de 8unidades.

d) q = íl — fornece a quantidade q a partir do custo variável Cv.

3. a)q (horas) P (unidades)

0

1

2

3

4

5

0

200

348

482

606

725

Gráfico de P em função de qP [unidadesl

800

700600500400300200100

//*//S

/0 1 2 3 4 5 6

q [horas]

b) Na primeira hora, segunda hora e terceira hora foram produzidos 200,148 e134 unidades, respectivamente. A taxa é decrescente, pois para aumentosiguais em q, os aumentos em P são cada vez menores. O indicador da taxadecrescente é a concavidade voltada para baixo, conforme gráfico apresenta-do no item (a).

c) Devem se passar 32 horas desde o início do expediente para que sejam pro-duzidos 3.200 eletrodomésticos.

426

Respostas

d) q = (P/200)4 e fornece a quantidade q a partir da produção P.

5.

7.

P (R$/kg)

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

5,00

10,00

q (kg)

600.000

150.000

66.667

37.500

24.000

6.000

1.500

«[Kí]

700.000-

600.000 t

500.000 \0 \0

2110.000

100.000

0,00 1

Gráfico de g em função de p

f |R»g],00 1,00 2,00 3,00 4,005,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,0 l l,o"

b) A função é decrescente porque, à medida que o preço p aumenta, diminuia demanda q, calculada na tabela do item anterior. E por ter a concavidadevoltada para cima, vista no gráfico acima, a taxa é crescente.

c) O preço da fruta é de R$ 4,00/kg quando os consumidores estão dispostosa consumir 9.375 kg.

d) Essa função, p = (g/150.000)1, fornece o preço por quilo p da fruta quan-do os consumidores estão dispostos a consumir q quilos de frutas.

e) O significado, em termos práticos, é preço muito elevado. Se o preço estivermuito elevado, a saída, ou demanda, do produto será zero, pois Hm q - 0.

p -* cc

f) O significado, em termos práticos, é preço muito baixo. Se o preço estiver muito

baixo, a saída, ou demanda, do produto será muito alta, pois l™ <? = D0-

a) y = 10.000.000/x1-5

b)x (RS/dia)

5

10

20

30

40

50

100

y (indivíduos)

894.427

316.228

111.803

60.858

39.528

28 284

10.000

y [hi.ooo.ooo'

900.000800.000700.000600.000500.000400.000300.000200.000100.000

00

Gráfico de y em função de xh.|

L00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

427


c) 70.000 indivíduos têm renda entre 25 e 100 Rjf/dia.d) A função é decrescente porque, à medida que a renda x aumenta, diminui

o número de indivíduos com renda superior, calculada na tabela do itemb). E por ter a concavidade voltada para cima, vista no gráfico, a taxa écrescente.

e) A menor renda diária, das 640 pessoas que têm as rendas mais altas, é de625 R$/dia.

f) O significado é renda diária altíssima, que quase nenhuma pessoa tem, poislim y = 0.

9. a) Gráfico de produção em funçãode horas trabalhadas

y [prod. - unidades]

500

400

300

200

100

0 Xs

// '

/ ^/

il,,».,,,

2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

b)x (horas) y (unidades) Ay (produção

a cada hora)

O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

O

14

52

108

176

250

324

J92

448

486

500

14

38

56

68

74

74

68

56

38

14

Na primeira hora, foram produzidas 14 peças; na segunda hora, foramproduzidas 38 peças.

Respostas

l i .

c) A taxa é crescente no intervalo O < x < 5, pois para aumentos iguais em x,os aumentos em y são cada vez maiores. A taxa passa a ser decrescente nointervalo x > 5, pois para aumentos iguais em x, os aumentos em y sãocada vez menores.

d) A produção y é máxima em x = 10, e a produção máxima y é de 500 peças.e) O instante em que a produtividade é máxima é em t = 5. Graficamente, isso

significa que r = 5 é o ponto de inflexão.f) Concavidade positiva para O < x < 5 e concavidade negativa para x > 5.

b)

q [milh. unid] C[milh. R$]-- '-— Gráfico de Lucro em Função de Produção

0 20 r. lh ...C [milhares R$|

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Dg

1-0=1

2-1 = 1

3-2 = 1

4-3 = 1

5 - 4 = 1

96 «°

148 40°

182300

-2°4 250

..220 200

236 iso

258 10°

2920

344

420

/

y

// q [milhares

) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

DC Dq DC

96-20 = 76 6-5 = 1 236-220 = 16

148-96 = 52 7-6 = 1 258-236 = 22

182-148 = 34 8-7 = 1 292-258 = 34

204-182 = 22 9-8 = 1 344-292 = 52

220-204=16 10-9 = 1 420-344 = 76

A taxa é decrescente no intervalo O < q < 5, pois para aumentos iguais emq, os aumentos em C são cada vez menores, conforme tabela acima. Ataxa é crescente no intervalo q > 5,.pois para aumentos iguais em q, osaumentos em C são cada vez maiores, conforme tabela acima.

c) q - 5 apresenta a menor taxa de variação, portanto é o ponto de inflexãodo gráfico.

d) Concavidade positiva no intervalo q > 5 e negativa no intervalo de O <q < 5.

429


13. a) -í ítonrLul.1'

-2/0

b) q(0) = 100 toneladas; isso significa que, se o preço por quilo for zero, aquantidade ofertada é de 100 toneladas.

c) Isso significa que os consumidores estão dispostos a pagar um preço altíssimo.

d) O valor é de 200 toneladas. Isso significa que os produtores, a um preçoaltíssimo, podem oferecer muito próximo de 200 toneladas.

15. a) x - O,IS - 60 •> Essa função determina quantas horas extras o operáriotem de fazer para ter um salário S.

b) x = 12, 9936 In M - 140,5877 •* Essa função fornece o tempo x que deve-rá durar a aplicação para se obter o montante M.

c) x = -10,6033 In V + 124,4405 ̂ Essa função fornece o tempo x que levarápara um trator estar com um valor V.

d) x = (yiO.OOO.OOO)"1'1'5 ^ Essa função fornece a renda mínima x denúmero de indivíduos y.


1. a)Gráfico de Dispersão Volume de

Venda em Função de Tempo>[unid. 1.000]

25.000 -

20.000

15.000

10.000

5.000

0

••

•

*

•

430

Respostas

b) Sim.c) y = 5.055,56 • x1'07

d) Gráfico de Dispersão e Curvade Potência Ajustada

y [iinid. 130.000

25.000

20.000 •

15.000

10.000

5.000

0

.000]

••

•

••

t

•

e> Anos X y estimado

2008 6 34.386,75

2009 7 40.553,11

3. a) Será compatível.Gráfico de dispersão custo unitário

y [R*]80,00

70,00

60,00

•.0,00

40,00

30,00

ZO.OQ

10,00

0,00 K (unidades)

225 270 315

b} Cw = 50,67 + 243,63/0

CM[RI]80,00

70,00

60,00

50,00

40<OQ

10,00

20,00

10,00

n,oo

Gráfico de Dispersão e Curva deHipérbole Ajustada

* t •

q [unidades]

45 90 135 180 225 270 315

431


c) Diminuirão,

d) q Cu [R$]

5 99,40

320 51,43

e> CU[R$] qlunid.]

75,00 10

52,30 149

M CAPÍTULO 6

1. a) Taxa de variação média = 24 1/R$. Graficamente mede a inclinação da retasecante passando pelos pontos (3; 27) e (5; 75) na curva da produção.

b) Taxa de variação instantânea = 6,00 1/R$.c) F(l) = 6,00 1/Rfd) O valor indica a taxa com que varia a produção P quando o capital investi-

do é q - l (milhares de R$). Graficamente, representa a inclinação da retatangente à curva da produção no ponto (l, P(l)) = (l, 3).

e) y = 6x - 3Pt P /

f) P'(l) = 6 1/R$g) P'(q) = 6q

3. a) A derivada f'(q) indica a taxa com que varia o custo quando a quantidadede componentes eletrônicos ê q. A unidade é R$/milhares de unidades.

b) Significa que a taxa de variação do custo é de 5 R$/milhares de unidadesquando a quantidade produzida é de 10.000 unidades.

c) /'(IO) > /'(100) pois espera-se variações maiores do custo para níveis infe-riores de produção.

432

Respostas

s. a) A taxa para O s / s 6 é de 4?6 •• 6,67 R$/dia e para 21 s t s 23 é de 11,50

R$/dia. A função é crescente pois as taxas são positivas.b) A taxa para 6 <. t s 10 é de -3,75 R$/dia e para 10 s t s 16 é de -2,50

R$/dia. A função é decrescente pois as taxas são negativas.c) A taxa é de O R$/dia. Graficamente temos inclinação O para a reta secante

à curva V (t) nos pontos (6; 100) e (22; 100).d) A derivada V(í) mede a taxa de variação do valor da ação em relação ao

tempo, sua unidade de medida é R$/dia.

O 6 10 16 212223 25

V(6) = 0; V(10) < 0; V(16) = 0; V(21) > 0; V(23) > O e V(25) = O

e) R +

125.000

250 500

b) No intervalo de 100 a 200 unidades, a receita aumenta em médiaR$ 400,00 para cada unidade. O significado gráfico é a inclinação da retasecante que passa por q = 100 e q = 200. No intervalo de 200 a 300unidades, a receita pode ser considerada em média estável. Apresenta omesmo significado gráfico anterior, passando por q = 200 e q = 300. Nointervalo de 300 a 400 unidades, a receita diminui em média R$ 400,00

433


para cada unidade. Também tem o mesmo significado gráfico, mas pas-sando por q = 300 e q = 400.

c) Taxa de variação instantânea = 600 R$/unidaded) R'(100) = 600 Rf/unidadee) O valor indica a taxa com que varia a receita (R) quando é comercializada

a quantidade de q - 100 unidades. Graficamente, representa a inclinaçãoda reta tangente à curva da receita no ponto (100, R(100)) = (100; 80.000).

f) y = 600x + 20.000

20.000,

g) £'(100) = 600 R$/unidadeh) R'(q) =-4<j + 1.000i) R'(100) = 600; R'(250) = O e R'(300) = -200

K »

j) R'(100) tem sinal positivo porque está no intervalo crescente da função.R "(250) é nula porque está no ponto de máximo da função.R'(300) tem sinal negativo por estar no intervalo decrescente da função.

9. a) P'(l) = 750 unidades/dia.b) O valor indica a taxa de quanto varia a produção para uma hora traba-

lhada. Graficamente, representa a inclinação da reta tangente à curva deprodução no ponto (l, P(l» = (l, 1.000).

434

Respostas

c) y = 750x + 250

/' ^

1.000

250,

d) P'(l) > P'(10), pois esperam-se variações maiores da produção nas primeirashoras trabalhadas.

11. a)

b) P'(t) = -At + 24c) A produção é máxima para t = 6. P'(6) = 0. Ver representação no item a).d) P'(8) = -8 indica uma taxa de variação negativa da produção quando

í = 8, ou seja, um pequeno acréscimo em í, próximo de í = 8, acarreta umdecréscimo 8 vezes maior em P.

e) Com relação à função, P'(8) é negativa por estar no intervalo decrescenteda função (t > 6).

435


13. a)

. b)p'(t) = 0,5í-2,5c) O preço é mínimo para í = 5 p'(5) = 0. Ver reta no item a).

d) p'(7) = l representa a taxa de variação do preço em relação ao tempo para

í = 7. Uma pequena variação em í, próximo de í = 7, acarreta uma varia-

ção igual a p.

e) A p'(7) apresenta sinal positivo e í = 7 pertence ao intervalo crescente da

função p(t).

f) y = x + 47,75

r ..

60,

54,75

47,75

Respostas


1. y = 0,25x + 1,25

Valor Real

x y

2,5 1,8708

2,7 1,9235

2,8 1,9494

3,2 2,0494

3,3 2,0736

3,4 2,0976

3,5 2,1213

V. Estim.

reta tg. Erro

1,875 0,0042

1,925 0,0015

1 ,95 0,0006

2,05 0,0006

2,075 0,0014

2,1 0,0024

2,125 0,0037

3. y = 30<? + 100

Valor Real

q C(q)

3,8 224,94

4,0 228,00

4,5 237,25

5,0 250,00

5,5 267,75

6,0 292,00

6,3 310,29

V. Estim.

reta tg. Erro

214,00 10,94

220,00 8,00

235,00 2,25

250,00 0,00

265,00 2,75

280,00 12,00

289,00 21,29

Gráfico da curva C(q) e da retatangente à curva em 4 = 5

Qít"''

ijO.OO ^ ̂ r>

'150,00

'

f

•̂̂ "

q [unidades]0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0


5. a) y = - 400g + 245.000

342 108.200

355 103.000

b) Gráfico de R(q) e da rela

R

140.000

122.500

105.000

87.500

70.000

U.500

í S O i H )

17.500

( tangente à curva em 17 = 350

'

x ;% ,•

; [unidades]

7. a)

O 50 100 150 200250 300350 400450 500550

Gráfico de dispersão de P(x)

P [unid./mês]

1110

O 2 4 6 i 10 12 '["•«•^«•N

b) P(q) = 23,05 • x1'10

Respostas

Gráfico de dispersão de P(x) e dacura ijuindi para P(»)

P |unid./mês|

0 2 4 6

d) y = 29,13í/- 10,61Gráfico da curva ajustada para P(x) e da

P [umd./mès]

O 2 4 6

q Y7 193,3

9 251,6

11 309,8

11

Valor Real V. Estim.

q P(qJ reta tg.

7 196 193,3 '

9 258 251,6

322 309,8

Erro

2,71025

6,86688

12,43739

Nota-se que, quanto mais distante de q = 4, maior é o erro, portanto menorserá a confiabilidade com relação à estimativa.

439


• CAPITULO 7

1. a)y' = 0b) z" = O

c) f (x) = 12d) q- = -3e) /' = 250f) y' = -lg) f (x) = 4x3

h) y' = 60x2

i) y' = -2x-3

j) y' = 10x-2 _±

k) P' = 2.000q6

1.360.000

m)p ' ( t ) = 5í2 + 20í-15n) /'(x) = (In5) • 5*o) M'(x) = 2.500 • (In 1,03) • 1,03*p) f (x) = 2e*q) y' = 5ex

15,3458S) X — -

Mt) f (x) = 12*3 - 5Wx2 + 2.000*u) y' = 5x4'- 8* + 'x5 '• (In8) • 8*

100

t2 + 40* + 400

w) f (x) = 81x2 + 540x + 900 ou /'(x) = 9 (3x + IO)2

x) f (x) = 11,5129 • IO5*'20 ou f'(x) = 105*~20 • 5 • In 10

3. a) P" = 0,30<?b) L" = -Ac) E" = 2

400d) Cu"=-q-

e) V" = 35.000 • (In 0,875)2 • 0,875'

440

Respostas

r, »í) y" = 120

g) y" = 2a

5. a) ̂ = (dx. (40* + 8)

"' dt ~

d) aí.dp

10

1.560.000

(x-300)2 '3

ab


dx

3 a) — = > — = ~


b) - = - = -0,083 e -=-12dp 12 dq

Para q = 6. Aumentado-se o preço a demanda cai a uma taxa de -0,083unidades/R$ e aumentando-se a demanda o preço cai a uma taxa de -12,00R$/unidade.

S.

0,000.00 50,00 100,00

c) A quantidade máxima de A é de 100 unidades. A quantidade máxima deB também é de 100 unidades.

d) yg = 80 unidadese) XA = 98 unidades (aproximadamente).

g) y = -0,5774* + 115,47

y (aproximadamente)

h!

48

49

50

55

y = (10.000

y = -0,5774x +

IERROI

88

87

87

84

x = 48i

- x2)2 87,72685

115,47 87,7548

-0,02795

x = 49

87,17224

87,1774

0,00516

x = 50

86,6

86,6

0

x= 55

83,51647

83,713

0,1965

442

Respostas

CAPITULO 8

1. a) máximo local : x = 4, x = 17; maiores valores em suas vizinhanças,máximo global: x = 17; fornece o maior valor que a função assume,mínimo local: x = 9; x = 23; menores valores em suas vizinhanças,mínimo global: x = 0; fornece o menor valor que a função assume.

b) O < t < 4; 9 < í < 17 e 23 < t < 28.Nesses intervalos, v' > 0.

c) 4 < f < 9 e 17 < t < 23.Nesses intervalos v' < 0.

d) Concavidade para cima:7 < í < 13 e 20 < f < 28, com v" > 0.Concavidade para baixo:0< í < 7 e 13 < í < 20, com v" < 0.

e) Crescente a taxa crescente (v' > O e v" > 0): 9 < t < 13 e 23 < t < 28Crescente a taxa decrescente (f' > O e p" < 0): O < í < 4 e 13 < t < 17Decrescente a taxa crescente (v' < O e t/" > 0): 7 < í < 9 e 20 < t < 23Decrescente a taxa decrescente (p' < O e v" < 0): 4 < í < 7 e 17 < t < 20

3. *

\0 100,^^_^<

Min. Lqcal 50

• 0

/

,s

72

\o local em x - -2, máximo local em x = 4, crescente para -2 < x < 4

com f (x) > O, decrescente para x < -2 ou x > 4 com f (x) < 0.

Mínimo local e global em x = -3 e x = 3, máximo local em x = 0. Crescentepara - 3 < x < 0 o u x : > 3 com f'(x) > O, decrescente para x<-3ouO<x<3com f'(x) < 0.

443


7.

9.

Máximo local em x = 2; mínimo local em x = 6, inflexão em x - 4; crescentea taxa decrescente para x < 2 (f > O e f < 0); decrescente a taxa decrescentepara 2 < x < 4 (f < O e f < 0); decrescente a taxa crescente para 4 < x < 6(/"' < O e /"" > O ); crescente a taxa crescente para x > 6.

Máximo local e global em x = 5; crescente a taxa decrescente parax < 5 (f > O e f < 0), decrescente a taxa decrescente para x > 5 (f < O e /" < 0).

11. a)1.600

600

O

-400

Mínimo global em x = O (onde o lucro é mínimo), máximo global emx = 20 (onde o lucro é máximo), lucro mínimo de —400, lucro máximo de1.600.

b) Crescimento para O < x < 10 ou 10 < x < 20 (L' > 0).

444

Respostas

13. a) N t

450

15.

Mínimo local e global em x = 10 (onde é mínimo o número de unidadesvendidas), número mínimo de unidades vendidas é 50, máximo global emx = 30 (onde é máximo o número de unidades vendidas), número máximode unidades vendidas é 450.

b) Decrescimento para O < t < 10 (N' < 0), crescimento para 10 < í < 30(N' > 0).

a) P *

O q

Mínimo global q = O (onde é mínima a produção), produção mínima de 0.b) Crescimento para q > O (P' > 0).

17. a) 8

Mínimo global em q = O e q = 30 (onde a receita é mínima), máximolocal e global em q = 20 (onde a receita é máxima), receita mínima de O,receita máxima de 4.000.

445


19.

b) Crescimento para O < q < 20 (R' > 0), decrescimento para 20 < q < 30(R' < 0).

c) Inflexão em q = 10, concavidade para cima em O < q < 10 (R" > 0), con-cavidade para baixo em 10 < q < 30 (R" < 0).

d) Crescente a taxa crescente para O < q < 10 (R' > O e R" > 0), crescente ataxa decrescente para 10 < q < 20 (R' > O e R" < 0), decrescente a taxadecrescente para 20 < q < 30 (R' < O e R" < 0).

7,89

Mínimo global em t - O e t = 10, mínimo local em í = 10 (onde a venda émínima), máximo local e global em í = 5 (onde a venda é máxima), vendamínima de 50, venda máxima de 675.

b) Crescimento para O < í < 5 ou í > 10 (V > 0), decrescimento para5 < í < 10 (V < 0).

c) Inflexão em í s 2,11 e í a 7,89, concavidade para cima em O < t < 2,11 ou7,89 < í < 12 (V > 0), concavidade para baixo em 2,11 < í < 7,89 (V" < 0).

d) Crescente a taxa crescente para O < í < 2,11 ou 10 < í < 12 (V > O e V" > 0),crescente a taxa decrescente para 2,11 < t < 5 (V > O e V" < 0), decres-cente a taxa decrescente para 5 < f < 7,89 (V < O e V" < 0), decrescente ataxa crescente para 7,89 < í < 10 (V < O e V" > 0).

446

Respostas


PM20.000,00

1 8 000 0016.000,0014.000,00

12.000,0010.000,00 -

8.000,00

6.000,004.000,00

2.000,00

Máx. Global

S

7T

^-^Min. Local

Pt. Inflexão

\ \

0,00 • — -— — - *0,00 5,00 10,00 15,0020,0025,0030,0035,00

b) O ponto de inflexão dá a quantidade de fertilizante em que a produtivi-dade é máxima, ou seja, onde a produção tem o maior crescimento.

O x

9

10

11

594

600

594

Nota-se que, no ponto de inflexão (x = 10), a taxa de variação da produçãode grãos (produtividade) é máxima [P'(x) = 600].

a) í = 4 -> Ponto de inflexãob) O ponto de inflexão, nesse caso, representa o instante em que o funcionário

tem a maior produtividade.

t

3

4

5

F(t)

45

48

45

No ponto de inflexão (x = 4), a taxa de variação de produção [P'(í) = 48]do funcionário é a maior.

447


CAPITULO 9

1. a) Cmy = 0,3<72 - 6g + 36b) C (5) = 13,50 reais

CraJ10) = 6,00 reaisCmg(15) = 13,50 reaisAssim, R$ 13,50, R$ 6,00 e R$ 13,50 são os valores aproximados paraproduzir, respectivamente, a 6^, a 11a e a 16a unidade do produto.

c) Valor real = R$ 6,10Nota-se que o valor real, R$ 6,10, difere do valor encontrado no item ante-rior, Cmg = R$ 6,00, em apenas R$ 0,10.

3. a) R(q) = -2q2 -b) Rmg 800

c) R'(100) = 400, R'(200) = O, R'(300) = - 400Receitas aproximadas na venda das 101', 201* e 301" unidades, respectiva-mente. R'(200) = O indica que em q = 200 a receita é máxima. R' (300) =- 400 indica que a receita é decrescente.

d)

Rm, é decrescente, ou seja, a taxa de variação da receita é decrescente;Rmg > O em O * q < 200 com receita crescente; Rmg < O em 200 < q s 400com receita decrescente.

e)

200

Respostas

5. a) L(q) = -2q2 + 600q - 25.000b) Lmg(q) =-4q + 600c) L (100) = 200

Lm*(200) = -200

Assim, 200 e - 200 são os valores aproximados do lucro para a venda dolOlfl e 2012 ventilador, respectivamente.

d ) q = 150, pois L'(150) = O e L"(150) < 0.125 12J_

7. a) Cmg = Wq + 50; Cme = 5q + 50 + q e Cmemg = 5 - - 2

b) q =S e Cme(5) = 100

c> C_

9. a) £ = -

b)

LOp

300 -

1 0 - 0 , 5

15 -1,0

20 -2,0


11. a)b)

Para p = 10, tem-se a elasticidade E - - 0,5, o que indica que, se ocorrerum aumento de 1% para o preço, a demanda diminuirá 0,5%. Já parap = 15, a elasticidade é E = - 1,0, indicando que, se ocorrer um aumentode 1% no preço, a demanda cairá aproximadamente 1%. Para o preçop = 20, a elasticidade é E = - 2,0, indicando que, se ocorrer um aumentode 1% no preço, a demanda cairá aproximadamente 2%.

= -20p/(1.000-20p)

13.

b)

P20

25

30

E(p)

-0,67

-1,00

-1,50

Para p - 20, tem-se a elasticidade E = - 0,67, o que indica que, se ocorrerum aumento de 1% para o preço, a demanda diminuirá 0,67%. Já parap = 25, a elasticidade é E = - 1,0, indicando que, se ocorrer um aumentode 1% no preço, a demanda cairá aproximadamente 1%. Para o preçop = 30, a elasticidade é E = - 1,5, indicando que, se ocorrer um aumentode 1% no preço, a demanda cairá aproximadamente 1,5%.

E.-.r2 +160.000

r

300

400

600

0,72

1,00

1,38

Para r = 300, tem-se a elasticidade £ = 0,72, o que indica que, se ocorrerum aumento de 1% para a renda, a demanda deverá aumentar 0,72%. Jápara r = 400, a elasticidade é £ = 1,0, indicando que, para ocorrer umaumento de 1% na renda, a demanda deverá aumentar aproximadamente1%. Para a renda r = 600, a elasticidade é E = 1,38, indicando que, paraocorrer um aumento de 1% na renda, a demanda deverá aumentar apro-ximadamente 1,38%.

15. a) Inelástica para O s p < 25, elástica para 25 < p z 50; elasticidade unitáriapara p = 25

b) Para O s p < 25 a receita aumenta, para 25 < p s 50 a receita diminui epara p = 25 a receita permanece constante.

Respostas

IEI = l (Receita máxima)

50 p O '50 f>

17. a) S = 0,4y - 240b) Cmg = 0,6

Smg = 0,4Como Cmg = 0,6, tem-se que o aumento de uma unidade na renda y acar-reta um aumento de 0,6 no consumo. De forma análoga, Smg = 0,4 indicaque o aumento de uma unidade na renda y acarreta um aumento de 0,4 napoupança.

Representa níveis em que toda a renda é dirigida ao consumo.Esse gráfico indica que toda a renda está sendo dirigida para o consumo.

d) c, s t

600

600

Para y = 600 temos o nível de renda em que o consumo se iguala à renda.

451



1. a) LEC = 7.746 unidadesb) N = 8 pedidosc) CT = 4.647,58$ ==> Estimativa do custo anual do projeto.d) CTmín = 4.647,58$

3. a) LEC = 400 unidades por vez.b) N = 4 pedidosc) CTmín = 160$d) CT(mensa|) = (32.000/4) + 0,24; CP(mensal) = 32.000/4 e C£(mensal) = 0,24

e)_..._?. CP

100 320,00

200 160,00

300 107,00

400 80,00

500 64,00

600 53,00

c400,00

350,00

300,00

250,00

200,00

150,00

100,00

50,00

.

\

\«

•k ~*

\•

n nn <-

Q

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

•

LEC

CT340,00

200,00 _

167,00 _

160,00

164,00

173,00

.c*~« £

"• • cp

100 200 300 400 500 600

452

Respostas

CAPÍTULO 10

1. a) Variação total da produção = 890

b) »-t

169

121

81

25-

4 5 7 9 11 13 14 x

3. A estimativa de variação total do custo é 441,28.

5. I^Sxdx = 150

7. a) \°R\q)dq = 50, f°QR\q)dq = 200 e \ f Q R' (q )dq = 150

b)

c) .

= 350

9.

O 4

A área compreendida entre as curvas é 32.

11. Valor médio = 22,5

13. a) F(x) é a primitiva de f(x).b) F(x) é a primitiva de f(x).

453


15. \\f(x)dx = 26

17. 5)dx = 19


7g) l <72 dq = | x2 + C

- -h) | qs dq = ± q5 + C

1. ff(x)dx = 1,43

3. Percentual total = 23,73%ç > Gráfico da Função de Consumo para os Cinco

^ Primeiros Anos

MU i

10,20

H i . l i

10,10

10,05

10,0019,95

O 0,5 l 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

b) Percentual total = 50,62%

« CAPÍTULO 11

$x-l'5dx = -2x-°>5 + C

454

j) [J-x5

k)

p)

q)

J-4x4

+ ^ +C

- - +2x +C

5xr) J(-5x + 4)áA: = - -~- + 4x + C

s) I(2x2-8x)dx = ̂ --

4.̂ . ' 7^,t) l(4x2 -7x + 5)dx = - - + 5x + C

x3 x2--2\dx = — + - -2x + C

4 5 1 1 2 1 0

455


- + 8x2 3

x) J — dx = 2 In x\ C

z) \~dx = -71n|x| + C

3. a) ' " -

x4 x3 ,dx = — + 8x2 + C

8 9

b) J2x 3d*; « = xí + 3 du = 2x dx

c 5 *5+1 «6c dx = l u du = + C =5 + 1 6

c) J2e ^dx; « = 2 x du = 2dx

r 2x~. j r u , u .-, 2x ~\e 2dx = jedu=e+C = e + C

d) J- 0,05e-°-05xdx;u = -0,05^ du = -0,05dx

\-0,05x(_ 0,05)& =je"du = e" + C = e-°'05x

2 x 3 2e) ]3x e da:; u - x' du = 3x dx[ x i 2 j f W j M , ^ X ,-,Je ix dx = ] e du = e + L = e + C

f) j2*Vx 2 + Idx; « = x2 + l dw = 2xdx

, l

-+ l2

C =

« 2 nr 2 u u= — + c = — v« + c= - — + c =l 3 32

+ C

g) l2x

7T\ + l du = 2 xdx

l 2 xdx = j— du = ln|«| + C =

C

h) J(7 x + 5) dx;« = l x + 5 dw = 7dx — du = dxl

1 1 , 3 + 1 4c } r ^ l I r ^ í l w MJ ( 7 x + 5) dx = \u —du = — \ du = + C = + C =

7 7 7 3 + 1 28

-+ C28

i) f x ( x + 1) dx; u - x + l dw = 2xdx —d» = xdx

1 1 l M5 + 1 u6J(x 2+ l)5xdx = JM5-dw = — J«5dw = + C = — + C

2 ( 5 + 1 )

-+ C12

f ^X 1j) J i? Jx; w = 5x du = 5dx —du = dx

r 5x , f « j r « j e í̂ -J e tj^: = \ —du= — jedu = 1- C =

e5*= + C

5

k)le~°'2xdx; u = -0,2 x du =-0,2dx - ^du = dx

0,2+ C

_

456


í dx; u - 2x + S du = 2dx —du = dx2 * + 5 2

ix = \ -—du = — í—du = — In | w l +2x+5 u 2 2 u 2

l n | 2 x + 5 |

J—

r \nx (In5. J -—dx = — - + C

CAPÍTULO 11 - TÓPICO ESPECIAL1. a) J --dx = +00 => diverge

J\x

b) J . L_ dx = +00 => diverge2vx

00

c) j e~l0xdx = 0,1 =* converge

d) J — j- dx = +2 => converge1 x2

e) J — dx = +0° => diverge2

458

Respostas

co

b) J L_ t/x = — =» converge

c) À medida que x tende para o infinito, as áreas tendem a ser muito próxi-mas de 0,20.

M CAPÍTULO 12

1. a) J28(-10<7 + 100)^ = 300

b) = 75

c) \2L'dq = 225

d) A variação do lucro é dada pela área entre as curvas da receita marginale custo merginal no intervalo 2 s q s 8.

8 10 q

3. a)

b)

= 26

c) \\L~dq =-1%

459

IV " '<" " " ' l ' l ' > <V stl iç.io, Ec.oi i • <ml ilulnl i,l,

R', C'

/'

-*íl(R'(q)-C(q))dq = -29

d) A variação do lucro é dada pela área entre as curvas da receita marginale custo marginal no intervalo l <; q s 3.

5. a) A variação do consumo é de R$ 350,00

b) c(y) = 0,7y + 210

7. a) A variação da produção é de 152,25 toneladas

b) P(q) = -|-

9. a)EP = R$ 225F fb)

Í>0 = 400

= 50<j + 250

EP = 225

11. a) O excedente do produtor é de R$ 128,00

b) R '

12EP = 128

0 9o =

/ ?(<?) = 3

4 9

460

Respostas

13. VF = 983.709,21 reais.

15. VF = 4.735.933,85 reais.

17. VM =116 peças (número médio de peças produzidas).

19. VF = 1.075,47 reais.


1. Quanto maior for a área compreendida entre a curva de Lorenz e a reta deequidistribuição, maior será o nível de desigualdade de distribuição de rendade uma população em estudo.

3. O índice de Gini é uma das medidas usuais para mensuração do grau de con-centração ou desigualdade de uma população. A curva de Lorenz se carac-teriza pela representação da proporção acumulada da população em por-centagem subdividida em extratos no eixo horizontal (x), com a proporçãoacumulada correspondente à renda em porcentagem acumulada dessa mesmapopulação.

5.x

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

y = x1 -5 y = x2

0,00

0,09

0,25

0,46

0,72

1,00

0,00

0,04

0,16

0,36

0,64

1,00

y0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,00

i!. rio

0,400,20

b) RJ apresenta a menor concentração de renda

c)G-, = 0,20 ==>

= 0,33 ==>

Ri

R2

A região RI apresenta menor grau de concentração de renda em virtudede o índice de Gini = 0,20 ser o menor entre as regiões. A região #2 apre-senta maior grau de concentração de renda em virtude de o índice deGini = 0,33 ser o maior entre as regiões.

G! = 0,702 ==>

G2 = 0,967 ==>

x

0,00

"0,20

0,24

DÃO

~Õ,6Õ"

~Õ,8Õ

1 ,00

L,

0,00

0,05

0,07

0,18

0,39

0,66

1,00

í-20,00

0,18

0,22

0,38

0,58

0,78

1,00

y0,00

0,20

0,24

0,40

"0,60"

0,80

1,00

b) ,1)0

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

u,ia

0,10

0,000,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

Bibliografia

462

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463


M Regras de DerivaçãoSendo k, m, b, n e a números reais,e u e v funções de x.

fk-udx = k-fudxf (u ± v)dx = fudx± fv dx

y = x" => y' = nx" ~1

y = ax => y' = ax • In a(a > Q e a * í)

y = £* => y' = ex

y = uv => y' = u'v + uv'

• Regra da Cadeia• y = v(u) =>y' = v'(u) • u'

oudy _ dy_ dudx du dx

y Regras deIntegração

Sendo k, n, a e b números reais, eu e v funções de x.

• fkdx = kx + C

• faxdx = ,—a* + CIn a

(a > O e a * 1)

• fexdx = ex + C

• Jln xdx = xlnx-x + C( % > 0 )

• Método daSubstituição

• S f ( u ( x ) ) - u ' ( x ) d x = f f ( u ) d u

• Integração porPartes

• /« dv - uv — fv du

• Integrais Definidas

= F(b) - F(a)

onde F'(x) = f(x)

464

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murolo antonio carlos matemática aplicada à administração, economia e contabilidade 4 edição

Economy & Finance