multiparametarska optimizacija kinetike bioprocesa · analitičko-instrumentalne metode u radu su...

69

Advanced technologies

MULTIPARAMETARSKA OPTIMIZACIJA KINETIKE BIOPROCESA

Stanko A. Žerajić1*, Jelenka B. Savković-Stevanović2 1Tehnološki fakultet Leskovac, Univerzitet u Nišu, Leskovac, Srbija2Tehnološko-metalurški fakultet, Univerzitet u Beogradu, Beograd, Srbija

Eskplicitna forma eksperimentalnih podataka i implicitna forma matematičkog modela, otežava zadatak određivanja nepoznatih parametara kinetičkog modela procesa u realnom vremenu. Predmet rada je komparativna analiza efikas-nosti dva pristupa parametarskoj optimizaciji s aspekta konvergentnosti i računarskog vremena. Cilj rada je ispitivanje efektivnosti metoda ocene para-metara složenih nelinearnih kinetičkih modela, koje zadovoljavaju rigorozne statističke testove adekvatnosti modela. U radu su ispitane iterativne gradi-jentne metode optimizacije: metoda konjugovanih gradijenata, kvazi-Njutnova i Levenberg-Markartova metoda. Određeni su uslovi u kojima izabrani pristupi omogućavaju konvergentnost. Potvrđeno je da najpouzdanije konvergira me-toda konjugovanih gradijenata, a metoda Levenberg-Markart je računarski najbrža. Metode parametarske optimizacije primenjene su i u proučavanju i potvrđivanju mehanizma reakcije, primenom metode eliminacije irelevantnih mehanizama složenih procesa. Potvrđena je mogućnost primene metode parametarske optimizacije u proučavanju mehanizma reakcije. Baza podataka formirana kumuliranjem ocenjenih parametara s hronološkim vremenom postaje baza znanja, koja se može koristiti u kontroli i upravljanju procesa.

Ključne reči: multiparametarska optimizacija, baza podataka parametara, baza znanja, di-jagnostika, kontrola procesa

Uvod

Optimizacijom procesa rešava se kompromisni za-datak poboljšanja više kvantitativnih karakteristika, koje različito utiču na stanje procesa, najčešće delujući jedna nasuprot drugoj. Tipičan primer su stepen konverzije i produktivnost procesa. Problem formulacije je najkritičniji korak u rešavanju problema koji uključuju optimizaciju. Model i funkcija cilja su glavni problemi formulacije.

Prvi korak optimizacije je izbor kriterijuma optimalnos-ti. Najčešći kriterijumi su tehnološki ili tehno-ekonomski. Optimizacija se znatno otežava uključivanjem ekonom-skih kriterijuma, kako zbog njihovog velikog broja, tako i zbog mogućnosti nekontrolisanog i ograničeno kontrolis-anog delovanja tržišta. Projektovani vremenski period je takođe važan faktor efekata optimizacije, a informacije ključan element procene.

Na bazi izabranog kriterijuma optimizacije definiše se funkcija cilja. Funkcija cilja uključuje kriterijum optimizaci-je, model procesa i eventualna ograničenja. Zadatak op-timizacije svodi se na pronalaženje ekstremne vrednosti funkcije cilja. Pri tome je izvođenje optimalnog modela procesa zadatak statičke optimizacije. Zadatak otimalnog vođenja procesa rešava dinamička optimizacija.

Pri izboru metode optimizacije potrebno je predvideti složenost metode, opseg računanja, složenost modela, varijabilnost procesa, i druge faktore koji su od značaja posebno kada se upravljaju u realnom vremenu [1].

Metode optimizacije omogućavaju parametarsku, kompleksnu i globalnu optimizaciju. Parametarska op-timizacija je minimizaciona metoda za određivanje op-timalnih vrednosti parametara modela procesa. Kom-pleksna optimizacija je metoda direktnog traženja optimalnog puta. Globalna optimizacija se bavi izborom najpovoljnije sirovine za sintezu konkretnog proizvoda, a prema globalnim kriterijumima [2].

U fazi razvoja modela minimizacione metode za određivanje optimalnih vrednosti parametara modela procesa su od posebnog značaja. Nezavisno od toga da li su modeli deterministički ili stohastički, empirijski ili mehanicistički, ili izvedeni primenom principa popula-cionih bilansa, ocena parametara modela mora biti ne-pristrasna.

S obzirom na visok stepen složenosti modela i poseb-no visoke nelinearnosti, problem se svodi na zadatak nelinearne ocene parametara. Optimizacione metode

( ORIGINALAN NAUČNI RAD)UDK 66.011:004.451

*Adresa autora: Stanko A. Žerajić, Tehnološki fakultet, Bulevar Oslobođenja 124, 16000 Leskovac, Srbija E-mail: [email protected] primljen: 20. juna 2013. godineRad prihvaćen: 27. juna 2013. godine

2(1) (2013), 69-81

70


ocene parametara mogu se realizovati kao metode sa izvodima ili metode bez izvoda. Kod metoda sa izvodima, u procesu traženja minimuma funkcije cilja izračunavaju se parcijalni izvodi po parametrima [3].

Od metoda sa izvodima mogu se izdvojiti gradijentne metode, metoda Gaus-Njutna, metoda Njutn-Rapsona, Levenbrg-Markartova i Pauelova metoda. U radu su posebno detaljno analizirani algoritmi metoda konjugo-vanih gradijenata, kvazi-Njutnova metoda i Levenberg-Markartova metoda. Algoritmi izdvojenih metoda su opšte iterativne optimizacione procedure sa funkcijom cilja koja se može adaptirati prema posebnim zahtevima zadatka.

Većina optimizacionih metoda nastala je na bazi ideja i algoritama nastalih u prošlom veku. Sa razvojem računara i softvera razvijaju se i poboljšavaju i optimi-zacioni algoritmi. Sada su to klase algoritama koje su zadržale imena prvih autora i pored značajnih promena. Najsavremenije verzije algoritama nalaze se ugrađene u programske pakete, specijalizovane simulatore, opti-mizatore i ekspertske sisteme. Pri tome se optimizacioni algoritmi kompajliraju i ugrađuju u softverske sisteme u formi modula, što omogućava delimičnu zaštitu. Opti-mizacioni algoritmi sada postaju scenariji ili protokoli, i mogu se proučavati samo na osnovu površnog softver-skog ''helpa''.

Ubrzani razvoj merno-instrumentalne tehnike takođe je doprineo osavremenjivanju softveskih optimizacionih algoritama. Problem nedostatka eksperimentalnih poda-taka, koji je rešavan metodama numeričke interpolacije i ekstrapolacije, zamenjen je problemom prevelikog broja eksperimentalnih podataka, koji se nastoji rešiti redukci-jom i kompresijom podataka. Povezivanje računara i pro-cesa omogućava akviziciju eksperimentalnih podataka u realnom vremenu. Ovo je posebno važno jer se od parametarske optimizacije zahteva rešenje u realnom vremenu.

PARAMETARSKA OPTIMIZACIJA

Eksperimentalni podaci predstavljaju promenu me-rene veličine stanja u vremenu, dok su modeli sistem diferencijalnih jednačina. Zato, fazi ocene parametara prethodi dodatna obrada eksperimentalnih podataka ili adaptiranje sistema diferencijalnih jednačina u formu po-godnu za numeričku proceduru ocene parametara. Me-todologija obrade eksperimentalnih podataka realizuje se kao diferencijalna ili integralna metoda [4].

Kod diferencijalne metode eksperimentalni podaci se numerički diferenciraju, i prevode u formu pogodnu za ocenu parametara, tj. direktno prilagođavanje mode-la koji je u formi sistema diferencijalnih jednačina. Kod integralne metode sistem diferencijalnih jednačina se transformiše u matričnu formu pogodnu za simultano rešavanje i prilagođavanje eksperimentalnim podacima. Metoda ocene parametara se zasniva na prilagođavanju rešenja modela (simuliranih podataka) eksperimental-nim podacima.

Nedostatak diferencijalne metode je u delimičnoj nepreciznosti metode numeričkog diferenciranja, ali je njena primena moguća bez obzira na stepen složenosti sistema diferencialnih jednačina tj. modela.

Integralna metoda eliminiše nedostatak diferencijalne, ali je ograničena u slučaju nemogućnosti da se sistem diferencijalnih jednačina transformiše u pogodnu formu, kao i u slučaju kada numerička procedura prilagođavanja otkazuje zbog nedostataka matričnih algoritama.

Modifikacijom standardne procedure za ocenu para-metara, pouzdanost diferencijalne metode se može povećati. Standardna metoda ocene parametara podra-zumeva metodološko prilagođavanje, u prvoj fazi, i metodološku ocenu odstupanja modela od numerički diferenciranih eksperimentalnih podataka u drugoj fazi. Modifikacija metode se sastoji u uvođenju još jedne faze za ocenu adekvatnosti. Posle faze prilagođavanja, ocenjeni parametari se uključuju u model, i proces se simulira na takvom modelu, a simulirani rezultati, porede sa eksperi-mentalno merenim.

Na taj način se eliminiše eventuelna greška u numeričkoj proceduri diferenciranja eksperimentalnih po-dataka, kao i eventuelna greška u proceduri numeričkog rešavanja modela. Metoda uključuje i modul za inter-polaciju u slučaju da, zbog nedovoljnog broja merenih podataka ili neadekvatnog koraka, numeričke procedure ne konvergiraju.

Metodologija obrade eksperimentalnih podataka pri identifikaciji kinetičkog mehanizma bioprocesa [4] prikazana je na Slici 1. U fazi struktuiranja kinetičkog modela parcijalno se razvijaju modeli rasta ćelija, nesta-janja supstrata i nastajanja proizvoda, kao i kinetički model koji predstavlja simultani sistem prethodna tri modela. Ocenom parametara parcijalnih modela i uku-pnog kinetičkog modela stvaraju se uslovi za kompara-tivnu analizu parametara. Parametri parcijalnih modela porede se sa odgovarajućim parametrima kompletnog kinetičkog modela. Velika odstupanja u vrednostima parametara, ukazuju da su neki od parcijalnih modela iz-vedeni sa pogrešnim pretpostavkama. Proverom adekvat-nosti parcijalnih modela i kompletnog kinetičkog modela, modeli se potvrđuju ili se vrši njihova modifikacija.

2(1) (2013), 69-81

71


Slika 1. Metodologija obrade eksperimentalnih podataka pri modelovanju i identifikaciji ki-netike i mehanizma bioprocesa.Figure 1. The methodology of eksperimental data processing at modeling and identification of the bioprocess kinetic and mechanism.

Na Slici 2 je prikazan detaljan algoritam ocene adek-vatnosti modela zasnovan na diferencijalnoj metodi obrade eksperimentalnih podataka i dvostrukoj proveri adekvatnosti modela.

U prvoj fazi eksperimentalni podaci se numerički in-terpoliraju i diferenciraju. Ako pri oceni parametara model ne zadovolji kriterijum adekvatnosti, modifikuju se eks-

perimentalni podaci promenom koraka interpolacije. Ako se i tada ne postigne adekvatnost modifikuje se model.

U drugoj fazi ocenjuje se adekvatnost modela iz iz-vornih eksperimentalnih podataka i podataka simuliranih na modelu (metode Runge-Kutta, Adams, Radu i dr.).

2(1) (2013), 69-81

72


Slika 2. Detaljan algoritam ocene adekvatnosti modela zasnovan na diferencijalnoj metodi obrade eksperimentalnih podataka i dvostrukoj proveri adekvatnosti modela.Figure 2. Detailed algoritham of esimation the model adecvacy established on diferential method of esperimental data processing.

Na Slici 3 je prikazan detaljan algoritam ocene adek-vatnosti modela zasnovan na integralnoj metodi obrade eksperimentalnih podataka. Iterativne metode parametarske optimizacije u startu koriste bazni vektor vrednosti para-metara kinetičkog modela. Ako se ne postigne kriteri-jum adekvatnosti, poboljšanim vrednostima parametara modifikuje se prethodni bazni vektor vrednosti parametara.

U sledećoj fazi vrši se modifikacija kinetičkog modela.

2(1) (2013), 69-81

73


Slika 3. Detaljan algoritam ocene adekvatnosti modela zasnovan na integralnoj metodi obrade eksperimentalnih podataka. Figure 3. Detailed algoritham of model adecvacy esimation established on integral method of esperimental data processing.

KINETIČKI MODEL PROCESA

Kinetički model procesa predstavlja formalizovano znanje o mehanizmu i brzini odvijanja reakcije. Izvodi se na bazi pretpostavljenih mehanizama biološkog i biohemijaskog delovanja, i odgovarajuće stehiometri-je. Ovi modeli uključuju i parametre koji odslikavaju efekte inhibitornog delovanja supstrata i proizvoda. S obzirom da su izvedeni na bazi pretpostavljenog me-hanizma, numeričke vrednosti parametara poprimaju

odgovarajuće fizičko značenje u tumačenju mehanizma. Eksprimentalno se potvrđuju u kinetičkom području

koje je određeno uslovima u kojima fenomeni prenosa ne utiču ili ne limitiraju brzinu reakcije. Mogu se modifiko-vati empirijskim članovima kada se određeni fenomeni ne poznaju dovoljno ili se ne pokoravaju poznatim fizičko-hemijskim i biohemiskim zakonima.

U strukturi kinetičkog modela mikrobne populacije od posebnog je značaja član koji opisuje mehanizam nesta-janja supstrata i formiranja proizvoda. Ovaj mehanizam

2(1) (2013), 69-81

74


(putanja) primarno zavisi od biološke predispozicije mik-robne ćelije. Pri tome je mehanizam nestajanja supstrata korelirajuća komponenta između rasta ćelija, uključujući i održanje, i formiranja proizvoda.

Mehanizam formiranja proizvoda je mnogo složeniji. Proizvod se može formirati po modelu formiranja pridruženog rastu ćelija (engl. growth associated). Pri tome bi trebalo imati u obzir, da multienzimski sistem biohemijski deluje i kada je rast ćelija zaustavljen, pa i kada su ćelije biološki denaturisane, ali je multienzimski sistem i dalje aktivan.Nasuprot tome, rastu ćelija nepridruženo formiranje proizvoda (eng. non-growth associated), je metabolički neuparen proces (eng. uncoupling). Mehanizam je čisto biohemijski, a konverzija supstrata u proizvod se može opisati kao enzimski katalizovan proces. Indirektna veza s rastom ćelija postoji, jer brzina procesa formiran-ja proizvoda zavisi od koncentracije enzima, odnosno ćelija kao njihovih nosioca.

Struktuiranje kinetičkog modela bioprocesa u obliku sistema diferencijalnih jednačina, koje se pri simulaciji simultano rešavaju, omogućava analizu i modelovanje bioprocesa uključujući različite aspekte mehanizma formiranja proizvoda.

Kinetički model slobodnih sistema

Modelovanje kinetike bioprocesa detaljno je pri-kazana na primeru modela slobodnih sistema struk-tuiranih pomoću modela rasta biomase koji uključuje nekonkurentnu inhibiciju supstratom i proizvodom, i me-hanizme formiranja proizvoda: rastu pridružen (MODEL-1) i rastu ne-pridružen mehanizam (MODEL-2).

MODEL-1. Model formiranja proizvoda pridružen rastu biomase (Growth associated) koji uključuje model rasta biomase uz nekonkurentnu inhibiciju supstratom i proizvodom,

......................(1)

......................(2)

..........................(3)

MODEL-2. Model formiranja proizvoda nepridružen rastu biomase, koji je metabolički nesparen (Non-Growth associated), i uključuje model formiranja biomase uz ne-konkurentnu inhibiciju supstratom i proizvodom,

.....................(4)

............................................(5)

.................................................(6)

Polu-empirijski kinetički model procesa

Model formiranja proizvoda pridružen rastu biomase (Growth associated) koji uključuje model rasta biomase kao kombinaciju doprinosa nekonkurentne inhibicije supstratom i linearne inhibicije proizvodom (MODEL-3), prikazan je sistemom jednačina (7-9),

......................(7)

.......................(8)

.........................(9)

Parametri modela Pm i Pmm predstavljaju odgovarajuće koncentracije etanola koje zaustavljaju rast ćelija i sin-tezu etanola. Određuju se u nezavisnom eksperimentu za svaku kulturu.

EKSPERIMENTALNI DEO

Analitičko-instrumentalne metode

U radu su korišćeni literaturni eksperimentalni po-daci za anaerobnu etanolnu fermentaciju sa slobodnim ćelijama Saccharomyces cerevisiae [4]. Sastav hran-ljivog medijuma je optimizovan [5] u funkciji cilja maksi-malne brzine ćelijskog rasta. Kinetički podaci za slobod-no suspendovane ćelije dobijeni su u izotermnin uslovima i dobro mešanom šaržnom bioreaktoru sa početnim koncen-tracijama supstrata cS0=50-250 g/dm3 i inokuluma cX0=0.75 g/dm3. Izabrani kinetički podaci dobijeni su u kinetičkom području, u kome je uticaj fenomena prenosa na kinetiku eliminisan pogodnim izborom eksperimentalnih uslova.

2(1) (2013), 69-81

75


Eksperimentalni podaci aerobne izotermne šaržne fermentacije saharoze pomoću S. cerevisiae i S. ovi-formis korišćeni su iz rada [6]. Korišćeni podaci su neek-vidistantni u vremenskom domenu. U referisanom radu specificirane su korišćene analitičke metode i sastav hranljivog medijuma.

Softverske metode

U radu su primenjene metode akvizicije i uzorko-vanja eksperimentanih podataka, koje omogućavaju validnu statističku obradu. Metode numeričke interpolacije i numeričkog diferenciranja koriste se kao primarne metode obrade podataka i formiranja reprezentativnog uzorka, posebno u slučaju kada metode parametar-ske optimizacije otežano konvergiraju. Od metoda numeričke simulacije procesa koriste se standardne metode za simultano rešavanje sistema normalnih difer-emcijalnih jednačina. Posebno je testirana primenljivost metoda Runge-Kutta, Adams, BDF i Radu, sa fiksnim ili adaptibilnim korakom.

Pri parametarskoj optimizaciji modela korise se iterativne numeričke metode optimalnog prilagođavanja modela: metoda konjugovanih gradijenata, kvazi-Njutnova i Leven-berg-Markartova metoda. Adekvatnosti modela i značajnost parametara ocenjeni su odgovarajućim Fišerovim i Stu-dentovim testom. Za numeričku simulaciju i optimizaciju korišćeni su scenariji i programski blokovi generisani iz baze modula programskog paketa Mathcad [7].

Metoda konjugovanih gradijenataU kategoriji konjugovano gradijentnih algoritama,

izdvajaju se Flečer-Rivsov (Fletcher-Reeves) algoritam i Polak-Ribierov (Polak-Ribiere) algoritam. Polak-Ribierov algoritam je u prednosti nad Flečer-Rivsovim algoritmom iz sledećih razloga: (a) kod algoritma Polak-Ribier hi → 0 kada i → ∞ , što nije slučaj kod Flečer-Rivsovog algo-ritma, i (b) kod algoritma Polak-Ribier, vektor hi ostaje fiksan u okolini , dok kod Flečer-Rivsovog algoritma raste sa porastom vrednost i. Vreme za iteracije je u suštini isto, ali prethodni razlozi čine implementaciju al-goritma Polak-Ribier numerički stabilnijom, jer je manje osetljiv na akumulaciju greške [8].

Kvazi-Njutnova metodaU kategoriji kvazi-Njutnovih (quasi-Newton) metoda,

nalaze se algoritam Polak, algoritam Goldštajn (Gold-stein), i algoritam Araminjo, koji uključuju inverzni Hesi-jan u funkciju cilja , a takođe i Newton-Raphson-ova metoda. Algoritam Araminjo je u prednosti u odnosu na algoritme Goldštajn i Njutn-Rapson, zbog veće brzine konvergencije. Problematična je samo pro-cena da li Polakov algoritam, koji koristi inverzni Hesi-jan, ima veću brzinu konvergencije od Njutn-Rapsonove metode. Analizom literaturnih numeričkih eksperimenta, procena je da se mogu preporučiti optimalne vrednosti parametara izabranog algoritma α = 0,5 , [8].

Levenberg-Markartova metodaLevenberg (1944) i Marquardt (1963), su razvili algo-

ritam u kome se Hesijan matrica od ƒ(x) modifikuje u svakoj fazi traženja prema potrebi, osiguravajući da tako modifikovana H(x), u obliku , bude pozitivno definisana i dobro uslovljena [1], [9,10]. Procedura dodaje elemente dijagonalnim elementima Hesijana H(x) ,

.....................................................(10)

gde je β pozitivna konstanta dovoljno velika da pozi-tivno definiše, kada je H(x) negativan. Takođe se može koristiti

................................................(11)

gde je γ skalarna vrednost dovoljna za istu svrhu. Utvrđene vrednosti za β koje se koriste, mogu se proceniti premalim (jako negativne) sopstvene vrednosti H(x) i za-dati β >−min{α1}, gde je α1 vector sopstvenih vrednosti za H(x). Oprezno sa značajno velikim β, jer βI može prekoračiti H(x) i onemogućiti minimizacioni pristup me-todi strmog spusta.

Algoritam Levenberg-MarkartKorak1. Izabrati x⁰ za početnu tačku. Postaviti ε =kriteri-jum konvergencije.

Korak 2. Postaviti k = 0. Neka je β⁰ = 10³ .

Korak 3. Izarčunati .

Korak 4. Ako je ǁ , ǁ< ε, STOP. Ako nije, idi na korak 5.

Korak 5. Izračunati .

Korak 6. Izračunati .

Korak 7. Ako je idi na korak 8. Ako nije, idi na korak 9.

Korak 8. Postaviti i . Idi na korak 3.

Korak 9. Postaviti . Idi na korak 5.

Primena iterativnih optimizacionih algoritama u prilagođavanju modela metodom najmanjih kvadra-ta

Postoje različiti kriterijumi koji se mogu koristiti u oceni parametara modela iz eksperimentalnih poda-taka. Pri tome se mogu javiti dva pristupa u merenju greške ili distance između tačaka opaženih podataka i povšine odziva prediktivnog modela. Kod normalne me-tode najmanjih kvadrata (eng. ordinary least squares - OLS), minimizuje se suma kvadrata normalnih distanci u pravcu y-ose. Kod metode totalnih najmanjih kvadrata (eng. total least squares - TLS) minimizuje se suma

( )ixf 0∇

( ) ( )( ) 12021 −− ∂∂= xxfxH

( )8.0,5.0∈β

)(~ xH

[ ]IxHxH )()(~ β+=)(~ xH

[ ] [ ]IxHxH 1- )()(~ 1γ+=

−

( )kf x∇

( )kf x∇

[ ] ( )kkkk f xIHs ∇+=−1

β

kkkk sxx λ+=+1

( ) ( )kk ff xx <+1

kk ββ411 =+ 1+= kk

kk ββ 2=

2(1) (2013), 69-81

76


kvadrata ortogonalnih distanci.Koristeći klasični Gausov kriterijum sume kvadrata

greške i optimizacione algoritme, problem prilagođavanja modela metodom najmanjih kvadrata, setu od n parova poznatih podataka nezavisno i zavisno promenljivih, (xi,yi), postaje zadatak optimizacije vektora parametara b parametrizovanog modela ƒ(xi,b), tako da suma kvadrata devijacija (greške ε ) postane minimalna.

................................(12)

Prilagođavanje nelinearnih modela metodom na-jmanjih kvadrata ilustrovaće se primenom minimiza-cionog iterativnog Levenberg–Markartovog algoritma. Na startu minimizacije zadaju se početne vrednosti vek-tora parametara b. U mnogim slučajevima, standardna procena vrednosti kao bT=(1,1,...,1) daje dobre rezultate. U drugim slučajevima, algoritam konvergira samo ako su početne vrednosti parametara blizu završnom rešenju.

U svakom koraku iteracije, vektor parametara b, se zamenjuje novom ocenom vrednosti, b + δ. Da bi se odredio priraštaj δ , funkcije ƒ(xi, b + δ) se aproksimira-ju njihovim linearizacijama,

..........................................(13)

gde je,

..............................................................(14)

gradijent u odnosu na b.Minimum sume kvadrata S(x,b) se postiže, kada se

gradijent od S u odnosu na δ izjednači sa nulom. Pomoću aproksimacije prvog reda funkcije ƒ(xi, b + δ) dobija se,

..................................(15)

Ili u vektorskoj notaciji,

.........................................(16)

Derivacijom u odnosu na δ i izjednačavanjem sa nu-lom, dobija se:

...................................................(17)

gde je Jakobijeva matrica čiji je i-ti red jednak Ji, i gde su f i y odgovarajući vektori i-te komponente ƒ(xi,b) i yi. Ovo je set liearnih jednačina koji se može rešiti po δ .

Levenbergov doprinos je zamena jednačine (17) pomoću “prigušene verzije”,

.........................................(18)

gde je I matrica identiteta. Levenbergov algoritam ima nedostatak jer pri velikim vrednostima faktora prigušenja λ, inverzija (JTJ+λI) nije uvek moguća.

Markart je pokazao kako se može skalirati svaka komponenta gradijenta u skladu sa zakrivljenošću, tako da postoji veća verovatnoća kretanje u smerovima gde je gradijent manji. Ovim se postupkom izbegava usporena konvergencija prema malom gradijentu. Zato je Markart zamenio matricu identiteta, I, s dijagonalnom matricom od JTJ, što je ključni rezultat Levenberg–Markartovog al-goritma:

............................(19)

REZULTATI I DISKUSIJA

Parametarska optimizacija kinetičkih modela slo-bodnih sistema

MODEL-1 i MODEL-2 optimalno su prilagođavani eksperimentalnim podacima, za anaerobni bioproces sa slobodno suspendovanim ćelijama, pri različitim početnim koncentracijama supstrata, metodama konju-govanih gradijenata (KG), kvazi-Njutnovom (KN) i meto-dom Levenberg-Markart (LM).

Validnost modela ocenjena je Fišerovim testom adek-vatnosti za izabrani nivo značajnosti α =0.05, odnosno verovatnoću pF0 =0.95. Rezultati testa prikazani su za

svaku pojedinačnu promenljivu stanja ( XracF , S

racF , PracF )

i kompletan model ( totracF ), zajedno sa linearnim korela-

cionim koeficijentom ( corr ) kao preliminarnom ocenom. Značajnost koeficijenata (parametara modela) ocenjena je Studentovim testom. Parametri modela koji ne zado-volje Studentov test značajnosti prikazuju se u tabeli numeričkom vrednošću nula.

Vrednosti ocenjenih parametara modela, i rezultati Fišerovog i Studentovog testa, za bioproces sa slobod-nim ćelijama, prikazani su u Tabeli 1 za model formiranja proizvoda pridružen rastu biomase, i Tabeli 2 za model formiranja proizvoda nepridružen rastu biomase.

Analize pokazuju da MODEL-1 ne zadovoljava Fišerov test adekvatnosti. Nasuprot tome, MODEL-2 se može oceniti validnim jer zadovoljava Fišerov test adekvatnosti. Parcijalne analize pokazuju da, računate vrednosti Fišerovog testa prate trend rasta početnih kon-centracija supstrata, ali ostaju u granicama kriterijuma adekvatnosti za izabrani nivo poverenja. Ova pravilnost važi kako za pojedine analize adekvatnosti parcijalnih kinetičkih modela biomase, supstarta i proizvoda, tako i za analizu ukupnog kinetičkog modela.

Parametarska optimizacija se može koristiti i pri elim-inaciji irelevantnih mehanizama. Fišerov test adekvat-nosti potvrđuje da MODEL-1 nije validan. To je potvrda poznate činjenice da se anaerobna etanolna ferment-

( ) ( )[ ] min,,1

2 →−=∑=

n

iii xfyxS bb

( )b

b∂

∂=

,ii

xfJ

2(1) (2013), 69-81

77


acija ne odvija prema rastu - pridruženom mehanizmu formiranju proizvoda.

Tabela 1. Ocenjeni parametri kinetičkog MODELA-1 i Fišerov test validnosti, za bioproces sa slobodnim ćelijama (cS0=50-250 g/dm3, cX0=0.75 g/dm3, m=0.02, α=0.05, pF0=0.95)Table 1. The parameter estimation of kinetic Model-1 and Fischer’s validity test, for bioprocess wih free cells (cS0=50-250 g/dm3, cX0=0.75 g/dm3, m=0.02, α=0.05, pF0=0.95)

Tabela 2. Ocenjeni parametri MODELA-2 i Fišerov test validnosti, za bioproces sa slobodnim ćelijama (cS0=50-250 g/dm3, cX0=0.75 g/dm3, m=0.02, α=0.05, pF0=0.95)Table 2. The parameter estimation of kinetic Model-2 and Fischer’s validity test, for bioprocess wih free cells (cS0=50-250 g/dm3, cX0=0.75 g/dm3, m=0.02, α=0.05, pF0=0.95)

Tabela 3. Fišerov test ocene parametara i adekvatnosti kinetičkog MODELA-2, koji je prilagođavan eksperi-mentalnim podacima metodama Levenberg-Markart, konjugovanih gradijenata i kvazi-Njutnovom metodom (cX0=0.75-15.00 g/dm3, cS0=150 g/dm3)Table 3. The Fischer’s test of parameter estimation and adequacy of kinetic Model-2, wich is fiting to experi-mental data by Levenberg-Marquardt, conjugate gradient and quasi-Newton methods (cX0=0.75-15.00 g/dm3, cS0=150 g/dm3)

Komparativna analiza algoritama parametarske optimizacije

Prikazani rezultati komparativne analize odnose se na diferencijalnu metodu parametarske optimizacije mode-la. Rezultati testiranja optimizacionih metoda za ocenu parametara modela prikazani su u Tabeli 3. Komparativ-

no su testirane metode parametarske optimizacije: me-toda konjugovanih gradijenata, kvazi Njutnova metoda i Levenberg-Markartova metoda. Metode su tesirane s aspekta konvergentnosti i potrebnog računarskog vre-mena. Testiran je MODEL-2, na eksperimentalnim vred-nostima.

2(1) (2013), 69-81

Konvergentnost je testirana zadavanjem istih početnih vrednosti iterativne procedure za parametre modela. Bazni vektor vrednosti parametara postavljan je na vrednost 1. S aspekta pouzdanosti konvergencije na-jbolje rezultate postiže metoda konjugovanih gradijenata, pogotovu kod složenijih visoko nelinearnih modela.

Najveća brzina konvergencije, odnosno najmanje potrebno računarsko vreme τ za ocenu parametara

modela, postiže se metodom Levenberg-Markart, sledi kvazi-Njutnova metoda, a najsporija je metoda konjugo-vanih gradijenata ( τ LM, τ KN, τ KG ).

Najbolje rezultate u prilagođavanju modela daje metoda Levenberg-Markart, ali pod uslovom da su me-tode testirane u zoni lokalizovanog optimuma, za iste početne vrednosti parametara iterativne procedure, isti broj numeričkih eksperimentalnih podataka i toleranciju

78


Tabela 4. Optimalne vrednosti parametara kinetičkog modela slobodnog sistema, dobijene diferencijalnom me-todom parametarske optimizacije za jedinične vrednosti parametara baznog vektoraTabela 4. The optimalne values of the kinetic model parameters for free system, obtained by diferential method of the parameters optimization when parameters values of base vector is one

Testovi diferencijalne metode parametarske optimi-zacije, prikazani u Tabeli 4, potvrđuju konvergentnost metode za sva tri izabrana algoritma optimizacije (KG, LM i KN), i pri slučajnom izboru vrednosti baznog vek-tora. Model-1 ne zadovoljava Fišerov test adekvatnosti i ne može se oceniti validnim.

Potvrđena je validnost Modela-2, za sva tri korišćena algoritma parametarske optimizacije. Prema Fišerovom testu preliminarne parametarske optimizacije najbolje rezultate postiže metoda konjugovanih gradijenata. Ovo se ne može uzeti kao konačna ocena, s obzirom da se dobijene vrednosti parametara u ponovljenoj iterativnoj proceduri koriste kao novi bazni vektor.

S aspekta potrošnje računarskog vremena, metoda Levenberg-Markart je najbrža metoda, dok se metoda konjugovanih gradijenata može oceniti najsporijom.

Integralna metoda parametarske optimizacije ana-lizirana je na Modelu-2. Pri izboru jediničnih vrednosti baznog vektora parametara kinetičkog modela inte-

gralna metoda ne konvergira. Pogodnom manipulacijom koraka integracije može se postići konvergencija, ali su pri tome dobijene vrednosti van okvira realnih vrednosti parametara kinetičkog modela.

Zato su pri daljem ispitivanju metode, kao početne vred-nosti parametara kinetičkog modela korišćene vrednosti parametarske optimizacije iz Tabele 2 za cS0=150 g/dm3, koje su dobijene diferencijalnom metodom. Cilj ovog numeričkog eksperimenta je provera da li se optimalne vrednosti parametara kinetičkog modela, koje su dobi-jene diferencijalnom metodom, mogu poboljšati integral-nom metodom, koja će ih pri tome koristiti kao početne vrednosti iterativne procedure.

Vrednosti ocenjenih parametara Modela-2, i rezultati Fišerovog i Studentovog testa, za bioproces sa slobod-nim ćelijama, dobijeni primenom različitih algoritama parametarske optimizacije (KG, LM i KN algoritam) pri-kazani su u Tabeli 5.

2(1) (2013), 69-81

računanja 10-15. Analize upućuju na zaključak da je pri potpuno

slučajnom izboru početnih vrednosti parametara itera-tivne procedure, najpouzdanija metoda s aspekta kon-vergencije metoda konjugovanih gardijenata. U slučaju da za izabrane vrednosti baznog vektora iterativne pro-cedure sve metode konvergiraju, onda se matoda Lev-enberg-Markart može oceniti najefikasnijom sa aspekta potrošnje računarskog vremena.

Komparativna analiza diferencijalne i integralne metode parametarske optimizacije

Efikasnost diferencijalne metode dolazi do izražaja kod problema nedovoljnog broja podataka za uspešnu konvergenciju, kao i kod problema prevelikog broja po-dataka kada matrična algebra nema rešenje. Problem nedovoljnog broja podataka za uspešnu konvergenciju rešava se interpolacijom.

Takođe, problem prevelikog broja eksperimentalnih podataka, koji se u mnogim oblastima primenjene statis-tike rešava kompresijom podataka, ovde je rešen izbo-rom pogodnog koraka interpolacije. Naprednija tehnika zasnovana je na adaptibilnom koraku, kojim se redukuje broj podataka prema određenom algoritmu. Metoda adaptibilnog koraka koristi princip povećanja koraka

uzorkovanja, odnosno smanjenja broja uzorkovanih po-dataka u zoni sporije promene analizirane promenljive stanja. Oba pristupa vode do pouzdanog uzorka koji omogućuje uspešnu konvergenciju. Pri tome se pouzda-nost Fišerovog testa ne ugrožava, jer se konačna statistička ocena dobija obradom svih izvornih eksperi-mentalnih podataka.

Integralna metoda je kompaktnija, ima manji broj al-goritamskih koraka, brže konvergira, ali nema alternativ-na rešenja za odsustvo konvergencije, osim interaktivno vođene promene vrednosti parametara baznog vektora.

Metode su testirane za početnu koncentraciju glu-koze od cS0=150 g/dm3 i inokuluma cX0=0.75 g/dm3, kada su prisutni efekti inhibicije i supstratom i proizvodom. Te-stirani su eksperimentalni podaci iz procesa sa slobod-nim ćelijama S. cerevisiae. Pri zadatim jediničnim vred-nostima kod svih parametara baznog vektora, testirane su diferencijalna i integralna metoda, za sva tri izabrana algoritma: konjugovano gradijentni (KG), kvazi-Njutnov (KN) i Levenberg-Markartov (LM). Ocene su nepris-trasne jer su donešene na osnovu sumarnog Fišerovog testa za sve promenljive procesa koje su uključene u kinetički model. Pri tome se korelacioni koeficijent koristi samo kao preliminarna ocena. Rezultati testiranja diferenci-jalne metode prikazani su u Tabeli 4.

79


Slika 4. Kinetika ćelijskog rasta, nestajanja supstrata i nastajanja prizvoda sa istim vrednostima parametara Pm=Pmm=84 g/dm3 (a) i sa različitim vrednostima parametara Pm=84 g/dm3 i Pmm=95 g/dm3 (b). Eksperimentalni podaci pri različitim početnim koncentracijama glukoze 50, 100, 150, 200 and 250 g/dm3 (x, +, �, ◊, ○) i odgovarajuće krive (─) dobijene simulacijom na MOD-ELU-3. Figure 4. Kinetics of cell growth, the consumption of the substrate and the formation of product with the same parameter values Pm=Pmm=84 g/dm3 (a) and with different parameters Pm=84 g/dm3 and Pmm=95 g/dm3 (b). The experimental data at different initial glucose concentrations 50, 100, 150, 200 and 250 g/dm3 (x, +, �, ◊, ○) and the corresponding curves (─) obtained by simulating at MODEL-3.

Tabela 5. Optimalne vrednosti parametara kinetičkog modela slobodnog sistema, dobijene integralnom me-todom iterativne parametarske optimizacije za početnu koncentraciju supstrata cS0=150 g/dm3 i odgovarajuće vrednosti parametara kinetičkog modela iz Tabele 2 Tabela 5. The optimalne values of the kinetic model parameters for free system, obtained by integral method of iterative parameters optimization for initial substrate concentration cS0=150 g/dm3 and corresponding parameters values of kinetic model from Table 2

Fišerov test adekvatnosti potvđuje validnost Modela-2 za sva tri algoritma optimizacije. Neznatno poboljšanje u odnosu na diferencijalnu metodu postiže se samo pri-menom kvazi-Njutnove metode. Opšti je zaključak da se kod integralne metode parametarske optimizacije početne vrednosti parametara moraju približno znati, ili se mora primeniti metoda probe i greške do postizanja konvergencije.

Integralna metoda je relativno zahtevna s aspekta računarskog vremena. Ovo se odnosi i na slučaj prika-zan u Tabeli 5, koji se može tretirati kao problem para-metarske optimizacije u zoni lokalizovanog optimuma, a može se objasniti smanjivanjem koraka pomeranja približavanjem optimumu.

Parametarska optimizacija kinetičkih modela u potvrđivanju mehanizma reakcije

Efekat biološke skretnice (engl. biological switching) analiziran je na semi-empirijskom modelu MODEL-3 i prikazan na Slici 4a i 4b. Takođe, i odgovarajući Fišerovi testovi pokazuju da je model sa različitim empirijskim vrednostima bioloških parametara Pm i Pmm adekvatniji, posebno u oblasti visokih koncentracija etanola.

Validnost ovog modela je potvrđena, imajući u obzir da ovaj model ipak nije determinističke prirode u delu biološke komponente.

2(1) (2013), 69-81

ZAKLJUČAK

Parametarska optimizacija je statička optimizacija koja rešava zadatak postavljanja optimalnog modela procesa. Kritični korak u rešavanju problema koji uključuju optimi-zaciju je problem formulacije. Funkcija cilja i model proce-sa su glavni elementi kocepta formulacije koji se formali-

zuju matematičkim aparatom. Funkcija cilja formuliše se iz kriterijuma optimizacije, kao minimalna suma kvadrata odstupanja eksperimentalnih podataka promene stanja procesa u vremenu od predskazujućih podataka dobi-jenih simulacijom na modelu.

Ako se problem proširi van koncepta određivanja samo optimalnih vrednosti parametara modela, i na

80


problem izbora modela, funkcija cilja dobija formu funk-cionala u kome su nepoznati i model i njegovi para-metri. Ovakav pristup se javlja kada cilj nije samo vali-dan model koji zadovoljava kriterijum adekvatnosti, već model na kome će se simulacijom istraživati proces u cilju razumevanja i potvrđivanja mehanizma, i posebno u cilju proučavanja fenomena procesa koji se postojećom analitičko-instrumentalnom tehnikom ne mogu meriti.

Primarna primena parametarske optimizacije je u nalaženju optimalnih parametara modela procesa. Indi-rektno, parametarska optimizacija se može primeniti za eliminaciju određenih mehanizama i preliminarnu potvr-du relevantnog mehanizma, što je u radu potvđeno.

Kod uspostavljenih modela metoda parametarske optimizacije može imati višestruki značaj. Kod procesa u realnom vremenu parametarska optimizacija može se koristiti u dijagnostičke svrhe, kao podška kontroli i vođenju procesa, i povećanju efikasnosti sistema za podšrku odlučivanju.

Kod uspostavljenih modela kinetički parametri imaju svoje fizičko značenje u procesu. Svaka njihova promena, može se koristiti kao simptom promene stanja procesa, koji je prethodno optimizovan sa uspostavljenim valid-nim modelom. Ove se promene vrednosti parametara najčešće javljaju kod kontinualnih procesa pri dugotra-jnoj eksploataciji. Kao rezultat promena dolazi do sman-jenja aktivnosti sistema, stepena konverzije ili produk-tivnosti procesa.

Zato se vrednosti optimalno ocenjenih parametara modela kumulirano skladište u bazi podataka. Pozna-vanjem funkcionalnih veza između veličina stanja pro-cesa i parametara kinetičkih modela, baza podataka prestaje da bude samo skup podataka i transformiše se u bazu znanja. Tako se računarska podrška koja je u analizi sistema zasnovana na informacijama pomera ka sistemima zasnovanim na znanju.

Komparativnom analizom projektovanih optimalnih vrednosti parametara i aktuelnih vrednosti parametara u realnom vremenu, može se povratnom spregom delo-vati na veličine vođenja, a u cilju očuvanja projektovanog optimalnog stanja procesa. Kod kontinualnih katalitičkih procesa, na primer, može se izvršiti periodična regeneraci-ja katalizatora i produžiti operaciona stabilnost procesa, uz očuvanje projektovanog optimalnog stanja procesa.

SPISAK SIMBOLA

cS mol/m3 molska koncentracija supstrata ScS0 mol/m3 početna molska kocentracija supstrata S cP mol/m3 molska koncentracija proizvoda P cX mol/m3 molska koncentracija biomase X

mSc kg/m3 masena koncentracija supstrata SmPc kg/m3 masena koncentracija proizvoda P mXc kg/m3 masena koncentracija biomase X

KIS mol/m3 konstanta inhibicije supstratom

KIP mol/m3 konstanta inhibicije proizvodomKS mol/m3 Michaelisova konstanta disocijacijeKM mol/m3 Monoova konstanta mikrobne kinetike rX kg/m3h masena brzina nastajanja biomaserS kg/m3h masena brzina nestajanja supstrata rP kg/m3h masena brzina nastajanja proizvoda μm 1/h maksimlna specifična brzina rasta ćelija ili populacijeνms kgS/kgXh maksimalna specifična masena brzina nestajanja mase supstrataνmp kgS/kgXh maksimalna specifična masena brzina nastajanja mase proizvoda

LITERATURA

[1] T.F. Edgard, D.M. Himmelblau, Optimization of chemical processes, McGraw-Hill, New York, Inc., 1988.

[2] J. Savković-Stevanović, Modelovanje i simulacija procesa, Tehnološko-metalurški fakultet, Beograd, 1995.

[3] V.V. Kafrov, Kibernetika u kemiji i kemijskoj tehnologiji, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971.

[4] S. Žerajić, Modelovanje i simulacija bioprocesnih sistema, Doktorska disertacija, TMF Beograd, 2008.

[5] J. Szczodrak, Z. Targonski, Selection of thermotolerant yeast strains for simultaneous saccharification and fermentation of cellulose, Biotechnology and Bioengineering, 31(4), 1988, 300-303.

[6] A. Converti, P. Perego. A.Lodi, F. Parisi, M. del Borhi, A kinetic study of Saccharomyces strains: Perfomance at high Sugar concentrations, Biotechnology and Bioengineering, 27(8), 1985, 1108-1114.

[7] http://www.mathsoft.com/mathcad. Pristup11.06.2013. [8] E. Polak, Computational methods in optimization,

Academic press, New York, 1971. [9] K. Levenberg, A Method for the Solution of Certain Non-

Linear Problems in Least Squares, The Quarterly of Applied Mathematics 2, 1944, 164-168.

[10] D. Marquardt, An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters, SIAM Journal on Applied Mathematics 11, 1963, 431-441. doi:10.1137/0111030.

2(1) (2013), 69-81

81


THE MULTIPARAMETRIC OPTIMIZATION OF THE BIOPROCESS KINETICS

Stanko A. Žerajić1, Jelenka B. Savković-Stevanović2

1Faculty of Technology Leskovac, University of Niš, Leskovac, Serbia2Faculty of Technology and Metallurgy, University of Belgrade, Belgrade, Serbia

The explicit form of experimental data and the implicit form of a mathematical model make the task of determining the unknown parameters of the kinetic model of the process in real time more difficult. The paper deals with a compara-tive analysis of the efficiency of two approaches to parametric optimization in terms of convergence and computing time. The aim is to test the effectiveness of the methods for parameters estimation of complex nonlinear kinetic mod-els that meet the rigorous statistical tests of the model adequacy. This paper investigated iterative gradient optimization methods: the method of conjugate gradients, quasi-Newton and Levenberg-Marquardt method. The conditions under which the chosen approaches provide convergence were determined. It was confirmed that the most reliable method converged conjugated gradient and the Levenberg-Marquardt method was computer fastest. Parametric op-timization methods were applied in the study and confirmation of the reaction mechanism using the method of elimination of irrelevant mechanisms of com-plex processes. The possibility of applying parametric optimization methods in the study of the mechanism of the reaction was confirmed. The data base that is formed by accumulation of estimated parameters with chronological time becomes the knowledge base which can be used to control and manage the process.

Keywords: multiparametric optimization, para-metric data base, knowledge base, diagnostic, process control

(ORIGINAL SCIENTIFIC PAPER)UDC66.011:004.451

Summary

2(1) (2013), 69-81

multiparametarska optimizacija kinetike bioprocesa · analitičko-instrumentalne metode u radu su...

Documents