Apuntes de Electrometria

Capítulo 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES1.1 Definiciones1.2 Símbolos de Instrumentos de Medición

Capítulo 2. Errores en las mediciones2.1. Exactitud y Precisión2.2. Cifras significativas2.3 Tipos de errores2.4 Errores Sistemáticos2.5 Errores Aleatorios2.6 Análisis Estadístico2.6.1. Media Aritmética2.6.1. Media Aritmética2.6.3. Desviación Promedio2.6.4. Desviación Estándar2.6.5. Probabilidad de Error2.6.6. Error Probable2.7. Errores Límite

Capítulo 3. Galvanómetros3.1 Galvanómetro de Bobina móvil e Imán permanente3.1.1 Comportamiento dinámico3.1.2. Mecanismos de amortiguamiento3.2. Mecanismos de bobina móvil e imán permanente3.3. Amperímetros de CD3.3.1. Resistor de derivación3.3.2. Derivación de Ayrton3.4. Voltímetros de CD3.4.1. Resistencia multiplicadora3.4.2. Voltímetro de rango múltiple3.5. Sensibilidad del voltímetro3.5.1. Régimen Ohm por Volt3.6. Efecto de carga3.7. Ohmetro tipo serie3.7.1. Ohmetro Tipo derivación3.8. Multímetro (VOM)3.9 Instrumentos Indicadores de CA3.9.1. Instrumentos tipo rectificador3.9.2. Circuitos típicos de multímetro

Capítulo 4. Instrumentos para Medición de Potencia4.1 Wattímetros monofásicos

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4.2. Wattímetros trifásicos4.3. Wattímetros electrónicos4.4. Watthorímetro4.5. Medidores de Factor de Potencia

Capítulo 5. Transformadores de Instrumento5.1. Transformadores de Corriente 5.2. Transformadores de Potencial

Capítulo 6. Mediciones con Puentes6.1 Puente de Wheatstone6.1.1. Operación básica6.1.2. Errores de medición6.2. Puentes de CA y Aplicaciones6.2.1. Condiciones para el equilibrio del puente6.2.2. Aplicación6.3. Puente de Maxwell6.4. Puente de Schering6.5. Puente de Wien

Capítulo 1

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

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1.1 Definiciones

InstrumentoDispositivo para medir la magnitud de una variableExactitudAproximación con la cual la lectura de un instrumento se acerca al valor real de la variable medidaPrecisiónMedida de la reproducibilidad de las mediciones, o sea, la medida del grado con el cual las mediciones sucesivas difieren unas de otras.SensibilidadRelación de la señal de salida o respuesta del instrumento respecto al cambio de la entrada o variable medidaResoluciónCambio más pequeño en el valor medido al cual responde el instrumentoErrorDesviación a partir del valor real de la variable medida

1.2 Símbolos de Instrumentos de Medición

Actividad. El alumno estudiará la terminología y simbología básica de las mediciones en el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, practicará la lectura de diagramas, y participará en los foros.

Capítulo 2. Errores en las mediciones

Introducción

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Para minimizar los errores pueden realizarse varios ensayos en vez de confiar en una sola observación. Alternar métodos de medición con varios instrumentos en el mismo experimento es una buena medida para aumentar la exactitud. Estas técnicas aumentan la precisión de las mediciones al reducir los errores ambientales, pero no evitan el error instrumental.

2.1. Exactitud y PrecisiónLa exactitud se refiere al grado de aproximación al valor real de la cantidad medida. La precisión es el grado de concordancia dentro de un grupo de mediciones o instrumentos.Comparemos 2 voltímetros de aguja de la misma marca y modelo. Ambos tienen escalas con espejos para evitar errores de paralaje y escalas calibradas exactas, por lo que se pueden leer con la misma precisión. Pero si una resistencia en serie de uno cambia, la lectura puede tener un error elevado, resultando en que la lectura sea muy diferente.La precisión se compone de 2 características: Conformidad y número de cifras significativas. Por ejemplo, una resistencia cuyo valor real es de 1 384 572 , en un óhmetro se lee 1.4 M, aunque el observador no puede leer esto en su escala.

2.2. Cifras significativasProporcionan información real relativa a la magnitud y precisión de las lecturas. Una lectura de 68 y una de 68.0 expresa que la 2da es más precisa que la primera.

Cuando un número de mediciones independientes se toman para obtener la mejor respuesta posible (la más cercana al valor real), el resultado suele expresarse con la media aritmética de las lecturas, con el posible intervalo de error, como la mayor desviación de lo obtenido, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Cuatro observadores efectuaron varias mediciones de voltaje, registradas así: 117.02V, 117.11V, 117.08V, y 117.03. Calcular a) voltaje promedio; b) rango de error

A) Eprom = E1 + E2 + E3 + E4

N

117.02 + 117.11 + 117.08 + 117.03 = 117.064

b) Rango = Emax-Emin = 117.11-117.06 = 0.05 V

Eprom – Emin = 117.06 – 117.02 = 0.04 V

El rango promedio de error equivale a

0.05 + 0.04 = 0.045 V 2Cuando se suman 2 o más mediciones con diferentes grados de exactitud, el resultado es tan exacto como la medición menos exacta.

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2.3 Tipos de erroresEs importante conocer como se generan los errores mediante un estudio de errores. Provienen de varias fuentes, y se clasifican en las 3 siguientes categorías:

Errores Graves. Son de origen humano, como mala lectura de los instrumentos, ajustes incorrectos, aplicación inadecuada, equivocaciones en los cálculos.Errores Sistemáticos. Se deben a fallas en los instrumentos y efectos ambientales.Errores Aleatorios. Como las causas son aleatorias, no se pueden establecer directamente.

Un ejemplo es cuando un voltímetro bien calibrado puede dar una lectura errónea al conectarse a través de 2 puntos en un circuito de alta resistencia, como se ve en el siguiente ejemplo. El mismo dispositivo conectad o en un circuito de baja resistencia puede dar una lectura más confiable. En estros casos, el voltímetro adquiere un efecto de carga en el circuito, lo cual altera el estado original al medir.

En un voltímetro con sensibilidad de 1000 /V se lee 100 V en su escala 150 V conectado a través de una resistencia desconocida en serie con un miliamperímetro. Al marcar este 5mA, calcular a) el valor de la resistencia aparente desconocida; b) el valor de la resistencia real desconocida; c) el error debido al efecto de carga del voltímetro.

a) Rt = VT = 100 V = 20 k It 5 mA

Despreciando la resistencia del miliamperímetro, el valor de la resistencia desconocida será Rx = 20 k.

b) La resistencia del voltímetro equivale a

Rv = 1000 x 150 V = 150 k V

Debido a que el voltímetro está en paralelo con la resistencia desconocida

Rx = Rt x Rv = 20 x 150 x 23.05 k Rv-Rt 130

c) % de error = real – aparente x 100% = 23.05-20 x 100% = 13.23%

Los errores por efecto de carga se evitan usándolo correctamente: Un voltímetro de baja resistencia no debe usarse para medir voltajes en un amplificador de tubos al vacío. En este caso se requiere un voltímetro de alta impedancia.Algunos casos de lecturas mal hechas son cuando un medidor de escalas análogas múltiples se lee en la escala equivocada. Otro error es cuando el instrumento no está ajustado a cero antes de medir.

2.4 Errores Sistemáticos

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Se subdividen en a) Errores instrumentales, debido a defectos de los instrumentos; b) Errores ambientales.En el primer caso, un ejemplo es la estructura mecánica. El galvanómetro D’Arsonval, la fricción de los cojinetes de los componentes móviles puede causar lecturas incorrectas; la tensión irregular en los resortes o los errores de calibración.Estos errores pueden evitarse: 1. Seleccionando el instrumento adecuado a la medición a realizar; 2. Aplicar factores de corrección después de definir la cantidad del error instrumental; 3. Calibrar el instrumento con un patrón.Los Errores ambientales se deben a cambios de temperatura, humedad, presión barométrica, campos magnéticos y electrostáticos.

2.5 Errores AleatoriosOcurren por causas desconocidas. La única forma de compensarlos es incrementar el número de lecturas y utilizar medios estadísticos para obtener la mejor aproximación al valor real.

2.6 Análisis EstadísticoEl resultado de un proceso de medición se puede predecir en base al muestreo de datos sin tener el detalle de todos los factores de perturbación. Para aplicar estadística se requiere de muchas mediciones.También los errores sistemáticos deben ser pequeños en comparación con los errores residuales o aleatorios, pues el análisis estadístico de datos no puede eliminar tendencias fijas contenidas en las mediciones.A continuación se estudian las Técnicas Estadísticas más comunes.

2.6.1. Media AritméticaEl valor más probable de una variable medida es la media aritmética del número de lecturas tomado. A mayor número, mayor aproximación.

2.6.1. Media AritméticaDesviación es el alejamiento de una lectura dada de la media aritmética. Se expresan con la letra dn y se expresan como:

dn = x1 – x

La desviación de la media puede tener un valor positivo o negativo y que la suma algebraica de todas las desviaciones debe ser cero. Se muestra el cálculo de las desviaciones.6 Observadores tomaron un conjunto de mediciones independientes de corriente y los registraron como 12.8 mA, 12.2 mA, 12.5 mA, 13.1 mA, 12.9 mA, y 12.4 mA. Calcular a) media aritmética, b) desviación de la media.

X = 12.8 + 12.2 + 12.5 + 13.1 + 12.9 + 12.4 = 12.65 mA6

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d1 = 12.8 – 12.65 = 0.15 mAd2 = 12.2. – 12.65 = -0.45 mAd3 = 12.5 – 12.65 = -0.15 mAd4 = 13.1 – 12.65 = 0.45 mAd5 = 12.9 – 12.65 = 0.25 mAd6 = 12.4 – 12.65 = -0.25 mA

2.6.3. Desviación PromedioIndica la precisión de los instrumentos utilizados en las mediciones. Es la suma de los valores absolutos de todas las desviaciones entre el número de lecturas, y se expresa como.

D = ¡ d 1! + ¡ d 2! + ¡ d n! = ¡ d ! n n

Calcular la D para los datos del problema anterior

D = 015 + 0.45 + 0.15 + 0.45 + 0.25 + 0.25 = 0.283 mA6

2.6.4. Desviación EstándarLa desviación estándar de un conjunto de datos es la raíz cuadrada de la suma de todas las desviaciones cuadradas individuales dividida entre el número de lecturas. Es decir

= ( d 2 1 + d 2 2 + d 2 n) ½ = ( d 2 j) 1/2 (n)1/2 (n –1)1/2

Un ejemplo se mostrará a continuación.Otra expresión importante es la varianza o desviación cuadrática media, la cual es semejante a la desviación estándar, excepto que no se le saca raíz cuadrada.

Varianza (V) = desviación cuadrática media = 2

2.6.5. Probabilidad de ErrorActividad. El alumno tomará lecturas de voltaje tomadas a pequeños intervalos de 0.1 volts, construirá las curvas probabilísticas, y participará en los foros.

tiempo en que se registraron los más cercanos a 0.1V. El valor nominal de las mediciones fue 100.0 V.

La figura mostrará que el mayor número de lecturas, 19, coincide con el valor central de 100.0V, mientras que las otras son más o menos simétricas a uno u otro lado del valor central. La figura construida por el alumno debe ser una curva gaussiana.La ley normal de error o gaussiana es la base de los efectos aleatorios, y las siguientes proposiciones cualitativas se basan en la ley de distribución normal.

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a. Todas las observaciones incluyen pequeños efectos de distorsión, llamados errores aleatorios

b. Los errores aleatorios pueden ser positivos o negativosc. Hay igual probabilidad de errores aleatorios positivos o negativos

Así, las posibilidades de distribución de error pueden establecerse de la siguiente manera:

a. Son más probables los errores pequeños que los grandesb. Los errores grandes son muy improbablesc. Hay igual probabilidad de que ocurran errores positivos que negativos

2.6.6. Error ProbableEl área bajo la curva de probabilidad de Gauss de la figura 1.2 entre los límites + y - representa el número entero de observaciones. El área bajo la curva entre los límites + y - representa los caos en que se difiere de la media por no más que la desviación estándar. La integración del área bajo la curva dentro de los límites +- da el número total de casos bajo estos límites. Para datos distribuidos normalmente, alrededor del 68% de todos los casos queda entre los límites de + y - de la media.

También se indica que la mitad de los casos se incluyen en los límites de desviación de +- 0.6745. La cantidad r se llama error probable y se define como

Error probable r = +- 0.6754

El siguiente ejemplo lo ilustra10 mediciones de una resistencia dan 101.2, 101.7, 101.3, 101.0, 101.5, 101.3, 101.2, 101.4, 101.3, y 101.1. Asumir que solo hay errores aleatorios. Calcular a) media aritmética; b) desviación estándar; c) error probable

a) media x = x = 1,013.0 = 101.3 n 10

b) desviación estándar = ( d 2 ) 1/2 = (0.36/9)1/2 = 0.2 (n-1)1/2

c) Error probable r = 0.6574 = 0.6754 x 0.2 = 0.1349

2.7. Errores LímiteEn la mayoría de los instrumentos de medición, la exactitud está garantizada por un cierto porcentaje de la lectura a plena escala; los componentes de un circuito están garantizados dentro de cierto porcentaje de su valor nominal. Los límites de las desviaciones de valores especificados se conocen como errores límite o errores de garantía. Por ejemplo, si una resistencia dice 500 +- 10%, el fabricante garantiza que la resistencia queda dentro de los límites de 450 a 550. No se especifican ni error probable ni desviación estándar, pero promete que el error no será mayor que los límites establecidos. Se muestra un ejemplo.

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Un voltímetro de 0-150V tiene una exactitud garantizada de 1% de lectura a plena escala. El voltaje medido por él es de 83V. Calcular el error límite en porcentaje.

0.01 x 150 V = 1.5 V

El % de error en la indicación de 83V es

1.5 x 100% = 1.81% 83

Si este medidor está garantizado para 1% de exactitud a plena escala, debemos darnos cuenta que cuando el medidor lee 83 V el de error límite se incrementa a 1.81%. Si se mide un voltaje más pequeño, el de error límite aumenta. Si el medidor indica 60V, el % de error límite es de 1.5/60 x 100 = 2.5%; si el medidor lee 30V, el de error límite es 1.5/30 x 100 = 5%. El incremento en % de errores límite en voltajes pequeños se debe a que su magnitud se fija en una cantidad basada en la lectura de deflexión a plena escala del medidor. Este ejemplo resalta la importancia de hacer mediciones tan cercanas a la deflexión total como sea posible.

Capítulo 3. Galvanómetros

3.1 Galvanómetro de Bobina móvil e Imán permanenteActividad. El alumno estudiará la estructura interna del galvanómetro en el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, conocerá sus partes, y participará en los foros.

La bobina está suspendida en el campo magnético de un imán permanente en forma de herradura. La bobina está suspendida de manera que pueda girar libremente en el campo magnético. Cuando la corriente fluye por la bobina, se desarrolla un par electromagnético y

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la bobina gira. El par es contrarrestado por el par mecánico de los resortes de control sujetos a la bobina móvil. Cuando los pares se equilibran, la posición angular de la bobina móvil es indicada por una aguja con respecto a una referencia fija llamada escala.La ecuación del par desarrollado que se deriva de las leyes básicas para el par es

T = B x A x I x NDondeT = Par en newton metroB = Densidad del flujo en el entrehierro en weber/m2

A = Area efectiva de la bobina en m2

I = Corriente en la bobina móvilN = Número de vueltas de alambre en la bobina

3.1.1 Comportamiento dinámicoComprende la velocidad de respuesta y el amortiguamiento. Es importante cuando se aplica CA a un galvanómetro registrador, pues el registro gráfico producido por el movimiento de la bobina móvil incluye las características de respuesta del elemento móvil.

3.1.2. Mecanismos de amortiguamientoSe logra por medios mecánicos y electromagnéticos. El primero se produce por el movimiento de la bobina a través del aire que la rodea, la fricción del movimiento en sus cojinetes y la flexión en los resortes de suspensión causada por la bobina giratoria.El segundo se produce por los efectos inducidos en la bobina móvil conforme gira en el campo magnético, pues la bobina forma parte de un circuito magnético cerrado.

3.2. Mecanismos de bobina móvil e imán permanenteEl Movimiento D’ArsonvalEl mecanismo de la figura 4.1 se llama D’Arsonval en honor a su inventor. El sistema móvil completo está en equilibrio estático para todas las posiciones de deflexión mediante 3 contrapesos de balance, como se muestra en la siguiente figura

Los resortes, pivotes y agujas están ensamblados en la estructura de al bobina mediante las bases de los pivotes, y el elemento de la bobina móvil es sostenido por asientos tipo “joya”.

Las marcas de la escala del instrumento suelen separarse linealmente porque el par, y por tanto la deflexión de la aguja, son directamente proporcionales a la corriente de la bobina para el par desarrollado. La potencia requerida para moverlo es muy poca: 25 a 200 μW y su exactitud es del 2 al 5% a plena escala.Si se aplica CA de baja frecuencia a la bobina, la deflexión de la aguja sube durante el medio ciclo de la onda de entrada, y baja en dirección opuesta en el otro medio ciclo. A 60 hz, la aguja no podría seguir los cambios y vibraría alrededor de cero, por ello no pueden medir CA a menos de que se rectifique.

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3.3. Amperímetros de CD

3.3.1. Resistor de derivaciónComo el devanado de la bobina del movimiento básico es pequeño y ligero, solo puede conducir corrientes muy pequeñas. Para medir corrientes elevadas es necesario desviar la mayor parte de la corriente por una resistencia por medio de una resistencia de derivación o shunt.Actividad. El alumno estudiará la estructura interna del amperímetro con resistencia en derivación en el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, identificará sus partes, y participará en los foros.

Esta resistencia se calcula mediante una análisis convencional de circuitos donde

Rm = Resistencia interna de la bobinaRs = Resistencia de derivaciónIm = Corriente de deflexión a plena escala del movimientoIs = Corriente de derivaciónI = Corriente a plena escala del amperímetro incluyendo la de derivación

Como la resistencia de derivación está en paralelo con el movimiento del medidor, el voltaje a través de la resistencia y el movimiento deben ser iguales, por lo tanto se puede escribir

Vderivacion = Vmovimiento

Como Is = I-Im, se puede escribir

Rs = Im Rm

I - Im

Para cada valor de corriente necesaria a escala completa del medidor, se puede calcular el valor de la resistencia de derivación shunt requerida.

Un galvanómetro de 1mA con una resistencia interna de 100Ω va a usarse como amperímetro de 0-100 mA. Calcular el valor de la resistencia de derivación necesaria.

Is = I – Im = 100 – 1 = 99 mA

Rs = Im Rm = 1mA x 100 Ω = 1.01 Ω Is 99 mA

3.3.2. Derivación de AyrtonLa escala de corriente del amperímetro CD puede extenderse mediante varias resistencias de derivación seleccionadas por un interruptor de rango. Este amperímetro se llama multirango. Tiene 4 derivaciones Ra, Rb, Rc y Rd, que se pueden poner en paralelo con el movimiento para dar 4 escalas de corriente diferentes. El interruptor S es multiposición, del

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tipo que hace conexión antes de desconectar, de manera que el movimiento no se vea afectado cuando el circuito se queda sin protección, sin derivación al cambiar de rango.Actividad. El alumno estudiará la estructura interna del amperímetro con resistencia en derivación de Ayrton en el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, diseñará uno porque este es parte de la lista de proyectos, y participará en los foros.

La derivación de Ayrton es un ejemplo práctico de la teoría de los circuitos básicos a prácticos.

Los amperímetros comerciales suelen tener escalas de 20 μA a 50 A a plena escala. Cuando se usan en trabajos de medición se deberán tener los siguientes cuidados

a. No conectar un amperímetro a través de una fuente de fem, ya que por su baja resistencia circularía una muy alta corriente dañina que destruiría al movimiento. Siempre se conecta en serie con la carga.

b. Observe la polaridad correcta. Invertirla causará que el medidor se deflexione contra el mecanismo de tope, dañando la aguja.

c. Al usar medidores multirango, usar primero la escala más alta; luego se disminuye la escala hasta obtener la deflexión adecuada. Para incrementar la exactitud, utilizar una escala que de una lectura tan cercana a la escala completa como sea posible.

3.4. Voltímetros de CD

3.4.1. Resistencia multiplicadoraAñadir una resistencia en serie o multiplicadora convierte al D’Arsonval en un voltímetro de CD.Actividad. El alumno estudiará la estructura interna del voltímetro con resistencia en derivación en el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, diseñará uno porque este es parte de la lista de proyectos, y participará en los foros.

La resistencia limita la corriente a través del movimiento de forma que no exceda el valor de la corriente de deflexión a plena escala. Un voltímetro de CD mide la diferencia de potencial entre 2 puntos en un circuito de CD, por lo cual se debe conectar a través de una fuente de fem o de un componente del circuito. Las terminales del medidor generalmente están marcadas con “pos” y “neg”, ya que se debe respetarse la polaridad.El valor de la resistencia multiplicadora necesaria para la escala de voltaje se calcula en base a la siguiente figuraActividad. El alumno aprenderá a calcular el valor de la resistencia multiplicadora diseñando un voltímetro estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, diseñará uno porque este es parte de la lista de proyectos, y participará en los foros.

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DondeIm = Corriente de deflexión del movimiento a plena escalaRm = Resistencia Interna el movimientoRs = Resistencia multiplicadoraV = Voltaje a plena escala del instrumento

V = Im (Rs + Rm)

Rs = V – ImRm = V - Rm Im Im

Generalmente la escala multiplicadora viene dentro del voltímetro para escalas hasta 500V.

3.4.2. Voltímetro de rango múltiple

La suma de varias resistencias multiplicadoras y un interruptor de rango proveen al instrumento de varias escalas de trabajo. La siguiente figura muestra un voltímetro multirango con un interruptor de 4 posiciones y 4 resistencias multiplicadoras R1, R2, R3, y R4 para las escalas de voltaje V1, V2, V3 y V4 respectivamente. Los valores de las resistencias multiplicadoras se calculan con el ya expuesto método de sensibilidad, que se muestra más adelante.Actividad. El alumno aprenderá a calcular el valor de las resistencias multiplicadoras diseñando un voltímetro de escala múltiples estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, diseñará uno porque este es parte de la lista de proyectos, y participará en los foros.

Una variación práctica del circuito anterior es donde las resistencias multiplicadoras están conectadas en serie con el movimiento. Así, todas las resistencias multiplicadoras, excepto la primera, tienen resistencias normalizadas y se pueden obtener comercialmente con tolerancias de precisión. Solo la resistencia de la escala baja, R4, debe elaborarse para que cumpla con los requisitos del circuito. En el ejemplo anterior, solo R4 no tiene un valor normalizado.

3.5. Sensibilidad del voltímetro

3.5.1. Régimen Ohm por VoltYa se mostró que todas las escalas de voltaje alcanzan la corriente de deflexión a plena escala Isd cuando se aplica el voltaje de rango correspondiente. Como se vió en el ejemplo anterior, se obtiene una corriente de 1mA para los voltajes de 10, 50, 250 y 500V a través de las terminales del medidor.Para cada escala de voltaje, el cociente de la resistencia total del circuito R t y el voltaje de escala es siempre 1000 /V. Esta figura se llama sensibilidad o régimen ohms por volt del voltímetro, y es el recíproco de la corriente de deflexión a plena escala del movimiento o:

S = 1

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Ifsd V

La sensibilidad S de un voltímetro es una ventaja al aplicar el método de sensibilidad para calcular la resistencia multiplicadora en un voltímetro de cd. En el circuito de la figura anterior

S = SensibilidadV = Escala de voltaje seleccionadaRm = Resistencia interna del movimiento (más la del rango en serie)Rs = Resistencia multiplicadoraPara el circuito de la figura anterior

Rt = S x VRs = (S x V) - Rm

La aplicación del método de sensibilidad se muestra en el siguiente ejemploActividad. El alumno aprenderá a calcular el valor de la sensibilidad de un voltímetro estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, diseñará uno porque este es parte de la lista de proyectos, y participará en los foros.

3.6. Efecto de cargaLa sensibilidad de un voltímetro de cd es un factor importante al seleccionar el medidor para determinadas mediciones. Un medidor puede dar lecturas correctas cuando se usa para mediciones en circuitos de baja resistencia, pero producirá errores en circuitos de alta resistencia, ya que actúa como derivadora para esa parte del circuito, reduciéndole la resistencia equivalente, indicando un voltaje menor al que existía antes de conectar el medidor. Esto se llama efecto de carga, y es causado principalmente por aparatos de baja sensibilidad, como se muestra en el ejemplo siguiente.Actividad. El alumno estudiará el concepto de efecto de carga en las mediciones, desarrollará ejemplos matemáticos estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, y participará en los foros.

3.7. Ohmetro tipo serieConsta de un galvanómetro en serie con una resistencia y una batería, con una par de terminales a los cuales se conecta la resistencia desconocida. La corriente que circula en el galvanómetro depende de la resistencia desconocida, y si se calibró debidamente, la lectura será proporcional al valor. Actividad. El alumno aprenderá a diseñar un ohmetro tipo serie estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, diseñará uno porque este es parte de la lista de proyectos, y participará en los foros.

R1 = Resistencia limitadora de corrienteR2 = Resistencia de ajuste a cero

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E = Batería internaRm = Resistencia Interna del galvanómetroRx = Resistencia desconocida

Cuando Rx = 0 (terminales en corto), circula una corriente máxima en el circuito. Así, la resistencia de derivación R2 se ajusta hasta que el galvanómetro indique la corriente a escala completa Isd. La aguja marcará 0. Por tanto, cuando Rx = ∞ (terminales A y B abiertas) l corriente en el circuito es 0 y el galvanómetro indica 0 corriente, marcándose 0 en la escala. Marcas repetitivas indicarán valores conocidos. La exactitud de las marcas depende de la exactitud repetitiva del galvanómetro y de la tolerancia de las resistencias de calibración. El ajuste de R2 una solución al problema del agotamiento de la batería, ya que el equivalente en paralelo de R2 y Rm siempre es bajo comparado con R1.

Para el diseño de un óhmetro convencional se definen las siguientes variables:Rx que causa media deflexión en el medidorRh es la resistencia a media escala ente las terminales A y BIsd es la corriente a escala completaRm es la resistencia del galvanómetroE es el valor de la bateríaR1 y R2 pueden calcularse

R1 = Rh - IsdRmRh

E

3.7.1. Ohmetro Tipo derivaciónActividad. El alumno estudiará la estructura interna de un ohmetro tipo serie estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, diseñará uno porque este es parte de la lista de proyectos, y participará en los foros.

Consiste en una batería en serie con una resistencia de ajuste R1 y un galvanómetro. La resistencia desconocida se conecta a través de las terminales Ay B en paralelo con el medidor. Para este circuito se necesita un interruptor que desconecte la batería cuando no se usa el instrumento. Cuando la resistencia desconocida Rx = 0 (A y B están en corto), la corriente es 0. Si Rx = ∞ (Ay B están abiertas), la corriente circulará solo por el medidor; con la adecuada selección de R1 se puede hacer que la aguja marque escala completa. Así, el óhmetro tiene la marca “0” en el lado izquierdo de la escala (no circula corriente) y la marca “∞” del lado derecho de la escala (corriente de deflexión a plena escala)Este óhmetro es adecuado para medir bajos valores de resistencia. El análisis del circuito es similar al del óhmetro tipo serie y las ecuaciones se muestran a continuación.

Isd = Corriente a plena escala del medidorE = Voltaje de la batería interna

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R1 = Resistencia limitadora de corrienteRm = Resistencia interna del galvanómetro

EI sd = ________

R1 + Rm

Rρ = R1_ Rm

R1 + Rm

Rx _____

S = Rx + Rρ

El análisis muestra que la resistencia limitadora R1 está determinada por la resistencia del medidor Rm y por la corriente de deflexión a plena escala Isd.

3.8. Multímetro (VOM)El voltímetro, el amperímetro y el óhmetro utilizan el galvanómetro. La diferencia es el circuito utilizado. Por tanto, se puede diseñar un instrumento para realizar las 3 funciones mediante un interruptor de función que selecciona el circuito apropiado, por lo cual se denomina multímetro, como el mostrado en la figura siguiente Este instrumento es una combinación de miliamperímetro, voltímetro de cd, óhmetro de escalas múltiples, un voltímetro de ca, y una salida del medidor. El diagrama de construcción se muestra en la siguiente figuraActividad. El alumno estudiará la estructura interna de multímetro tipo Simpson estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, diseñará uno porque este es parte de la lista de proyectos, y participará en los foros.

3.9 Instrumentos Indicadores de CAEl galvanómetro D’arsonval responde al valor promedio o de cd de la corriente que circula por la bobina. Si el galvanómetro conduce ca, los ciclos positivos y negativos provocarán deflexión de la aguja hacia delante y atrás a baja frecuencia; al alta, oscilará alrededor del cero.Para medir ca con un galvanómetro D’Arsonval, se deben diseñar medios para obtener un par unidireccional. Un método es rectificar la ca, otro es utilizar un electrodinamómetro.Se utiliza en voltímetros y amperímetros de ca muy exactos tanto para señales de alta como de baja frecuencia. Con algunas modificaciones puede servir de wáttmetro, medidor de VAR, de F.P. o frecuencímetro.

3.9.1. Instrumentos tipo rectificadorEn la siguiente figura se muestra el circuito del voltímetro de ca tipo rectificación de onda completa.

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Actividad. El alumno estudiará la estructura interna de un voltímetro con rectificación de CA y aprenderá a calcularlo estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, diseñará uno porque este es parte de la lista de proyectos, y participará en los foros.

Para medir ca se requiere rectificarla, pues los movimientos trabajan con cd. Suelen usarse diodos de silicio de baja corriente, 500 mA. Generalmente se utilizan puentes de 4 diodos para rectificación de onda completa como el mostrado en la figura anterior. La deflexión mostrada será el valor promedio de la corriente. Como la ca suele mostrarse en términos rms, la escala del medidor se calibra en valores rms de una onda senoidal.

3.9.2. Circuitos típicos de multímetroGeneralmente los voltímetros de ca utilizan el circuito de la siguiente figuraActividad. El alumno estudiará la estructura interna de un multímetro con rectificación de CA y aprenderá a calcularlo y dibujará su diagrama esquemático estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, diseñará uno porque este es parte de la lista de proyectos, y participará en los foros.

Este circuito emplea 2 diodos, formando un rectificador de onda completa con el galvanómetro conectado de forma que solo reciba la mitad de la corriente rectificada. El diodo D2 conduce la mitad del ciclo positivo de la señal de ca de entrada y hace que el medidor se deflexione de acuerdo con el valor promedio de esa mitad del ciclo. La bobina móvil del medidor tiene una resistencia Rsh en derivación para que circule más corriente por el diodo D1 y así mover su punto de operación dentro de la parte lineal de su curva característica. En el semiciclo negativo, D2 conduce completamente, y la corriente a través del circuito de medición. Ahora en dirección opuesta, no pasa por el movimiento del medidor.Como los componentes de cd de una onda medio rectificada son 0.45 veces el valor rms, se presenta el problema de obtener la misma deflexión en los respectivos intervalos de voltaje de ca y cd. Esto se soluciona disminuyendo proporcionalmente el multiplicador para el rango de CA.

Capítulo 4. Instrumentos para Medición de Potencia

IntroducciónLos instrumentos de medición de potencias industriales y comerciales pueden encontrarse en todo tipo de negocios, casas, industrias, etc. Sirven para medir el consumo de potencia en watss y otras variables como watts hora, f.p. Kva., kvahr y más. Las versiones más

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comunes son electromecánicas como las que aquí se ilustran, pero van ganando terreno las digitales.

4.1 Wattímetros monofásicosIndican tanto la potencia de ca como la de cd, ya que no se reducen a ondas senoidales. Tiene una bobina fija y una móvil conectadas en serie, reaccionando al efecto de la corriente al cuadrado.

Los wattímetros tienen una terminal de voltaje y una de corriente marcadas “+-“. Al conectarse en este orden, la aguja del medidor se moverá en sentido directo al conectarse con la carga. Si se mueve en sentido inverso, se deben invertir las conexiones de corriente, no las de voltaje.

En este circuito, la bobina de corriente consta de 2 devanados con el mismo número de vueltas. Uno está hecho de alambre grueso y conduce la corriente de carga, más la de la bobina de potencial. El otro se hace de alambre delgado y solo circula la corriente de la bobina de voltaje. Esta corriente va en dirección opuesta a la corriente en el devanado de alambre grueso, oponiéndose su flujo al principal. El efecto iρ se cancela y el wattímetro indicará la potencia correcta.

4.2. WatthorímetroLa figura siguiente muestra los elementos de un watthorímetro monofásicoActividad. El alumno estudiará la estructura interna de un watthorimetro monofásico e identificará sus partes estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, y participará en los foros.

La bobina de corriente se conecta en serie con la línea, y la salida de voltaje se conecta a través de la línea. Ambas bobinas son devanadas en un marco metálico, obteniéndose así 2 circuitos magnéticos. Un disco de aluminio ligero se suspende en el entrehierro del campo de la bobina de corriente, produciendo corrientes individuales que circulan en el disco. La reacción de las corrientes inducidas y el campo de la bobina de voltaje crean un par (motor) en el disco, haciendo que este gire. El par desarrollado es proporcional a la intensidad de campo dela bobina de voltaje y a las corrientes inducidas en el disco. El número de vueltas del disco es proporcional a la energía consumida por la carga en determinado tiempo y se mide en kilowatts hora, kwh. El eje que soporta al disco de aluminio se conecta mediante un sistema de engranes a un mecanismo de relojería situado junto a la carátula del medidor, proporcionando una lectura calibrada en forma decimal.

Dos pequeños imanes proporcionan amortiguamiento al disco, situándose en lados opuestos en su borde. Al girar el disco, los imanes inducen corrientes, que al inducirse en los campos magnéticos de los imanes amortiguan el movimiento del disco.Las mediciones de energía en sistemas trifásicos se realizan con watthorímetros polifásicos. Cada fase tiene un circuito magnético y su propio disco, estando todos montados sobre un eje común. El par desarrollado en cada disco se suma mecánicamente y el total de RPM del eje es proporcional a la energía trifásica consumida.

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4.3. Medidores de Factor de PotenciaF.P. es el coseno del ángulo de fase entre el voltaje y la corriente, por lo que la medición se realiza a partir de dicho ángulo de fase, lo cual se muestra en la operación del medidor de f.p. de bobinas cruzadas. La bobina de campo se conecta en serie con la línea y conduce la corriente de esta. Una de las bobinas móviles está conectada en serie con una resistencia a través de las líneas y recibe corriente de la diferencia de potencial aplicado. La segunda bobina del elemento móvil está conectada en serie con el inductor a través de las líneas.Actividad. El alumno estudiará la estructura interna de un medidor de factor de potencia electromecánico e identificará sus partes estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, y participará en los foros.

Capítulo 5. Transformadores de Instrumento

5.1. Transformadores de Corriente Sirven para la medir ca en plantas generadoras, subestaciones, y líneas de transmisión junto con los instrumentos diversos. Se clasifican según su aplicación como Transformadores de corriente (TC’s) y de potencial (TP’s) En la siguiente figura se muestra un transformador de potencial de alto voltaje.Actividad. El alumno estudiará las aplicaciones, tipos y carácterísticas de los trasnsformadores de corriente estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, y participará en los foros.

Estos dispositivos realizan 2 importantes funciones: Ampliar el rango de medición de un instrumento de medición de ca, y aislar los instrumentos de medición de las líneas de alto voltaje.Un TC permite ampliar el rango debido a su relación de transformación.El aislamiento del medidor protege al tablero de instrumentos del alto voltaje, del orden hasta de cientos de kilovolts. El transformador de instrumento permite llevar alambres de bajo voltaje del secundario al tablero de instrumentos, minimizando los problemas del aislamiento.

5.2. Transformadores de PotencialEl valor del voltaje del secundario de un tp suele ser de 120V. Los voltajes primarios están normalizados a 4.16, 7.2, 13.8, 23, 36, 44, 66, y 220 KV. La potencia que disipan suele ser 200 VA y operan a una frecuencia de 60 hz.Actividad. El alumno estudiará las aplicaciones, tipos y carácterísticas de los trasnsformadores de potencial estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y

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Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, y participará en los foros.

Incluye 2 wattímetros, 2 voltímetros y 2 amperímetros. Los tp’s están conectados a través de la las líneas A y B y C y B; los tc’s están en las líneas Ay D. Los devanados secundarios de los tp’s están conectados a las bobinas de los voltímetros y a las bobinas de potencial de los wattímetros; los secundarios de los tc’s se conectan a los amperímetros y a las bobinas de corriente de los wattímetros.Las marcas de polaridad en los trasformadores, indicados por punto en sus terminales, ayudan a efectuar las conexiones correctas de polaridad en los medidores.

Capítulo 6. Mediciones con Puentes

IntroducciónLas medidas de precisión de valores de componentes se han realizado con varios tipos de puentes, el más simple es para medir la resistencia y se llama Puente de Wheatstone, existiendo versiones para medir resistencias muy bajas y muy altas. Otros miden inductancia, capacitancia, admitancia, conductancia, e impedancia a diversas frecuencias.El circuito puente forma la parte principal y como interfase de transductores.

6.1 Puente de Wheatstone

6.1.1. Operación básicaEl diagrama se muestra en la siguiente figura. Tiene 4 ramas resistivas junto con una fuente de fem y un detector de cero.Actividad. El alumno estudiará las aplicaciones, tipos y carácterísticas del puente de Wheatstone y dibujará su diagrama estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, y participará en los foros.

La corriente a través del galvanómetro depende de la diferencia de potencial entre los puntos c y d. El puente está balanceado (o en equilibrio) cuando la diferencia de potencial a través del galvanómetro es 0V, no pasando corriente a través de él, lo cual se cumple cuando el voltaje del punto c al a es igual al del punto d al punto a. O cuando el voltaje entre c y b es igual al de d y b. Las ecuaciones para el equilibrio se muestran a continuación:

I1R1 = I2R2

I1 = I3 = E____ R1 + R3

I2 = I4 = E___ R2 + R4

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De dondeR1R4 = R2R3

Siendo esta última la expresión para el equilibrio del puente de Wheatstone. Si 3 resistencias son conocidas, la 4rta puede establecerse a partir de la ecuación

Rx = R3 R2

R1

R3 es la rama patrón del puente, y R1 y R2 son las ramas de relación.

Fotografia del PUENTE DE WHEATSTONE en el laboratorio de electricidad6.1.2. Errores de mediciónEl puente de Wheatstone se utiliza en mediciones de precisión de resistencias desde 1 hasta varios MΏ. La principal fuente de errores de medición se encuentra en los errores límites de las 3 resistencias conocidas, sí como también:

Insuficiente Sensibilidad en el detector de cero Cambios en la resistencia de las ramas del puente debido a calentamiento I2R. La

disipación de potencia debe calcularse previamente. Las fem térmicas en el circuito del puente o del galvanómetro causarán problemas

cuando se miden resistencias de valor bajo. Esto se evita con galvanómetros más sensibles con bobinas y sistemas de suspensión de cobre.

Errores debido a la resistencia de los contactos y terminales exteriores al circuito puente, lo cual se puede eliminar con el puente de Kelvin.

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6.2. Puentes de CA y Aplicaciones

6.2.1. Condiciones para el equilibrio del puenteEl puente de ca se deriva del de cd y consta de 4 ramas, una fuente de excitación, y un detector de cero. La fuente suministra voltaje de ca al puente con la frecuencia deseada. Para mediciones a bajas frecuencias, la línea de potencia sirve como fuente de excitación. A latas frecuencias, un oscilador suministra voltaje de excitación. El detector de cero debe responder a las corrientes de desequilibrio de ca y el dispositivo más efectivo consiste en un par de audífonos. En otras aplicaciones, el detector de cero consiste en un amplificador de ca con un medidor de salida o también un crt. Actividad. El alumno estudiará las aplicaciones, tipos y carácterísticas del puente de CA y dibujará su diagrama estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, y participará en los foros.

Las 4 ramas del puente Z1, Z2, Z3 y Z4 se indican como impedancias sin especificar y el detector se muestra como audífonos. El equilibrio se alcanza cuando la respuesta del detector es cero o indica corriente nula. El ajuste se hace variando una rama del puente.La ecuación general para el equilibrio se obtiene utilizando la notación compleja para las impedancias, pudiendo ser admitancias, impedancias, voltajes o corrientes. La condición de equilibrio requiere que la diferencia de potencial de A a C sea cero, lo cual sucede cuando la caída de voltaje entre B y A es igual a la de B y C tanto en magnitud como en fase, esto es:

EBA = EBC o I1Z1 = I2Z2

Para la condición de equilibrio E _______I1 = Z1 + Z3

E ______I2 = Z2 + Z4

Donde Z1Z4 = Z2Z3 o usando admitancias Y1Y4 = Y2Y3

Resumiendo, hay 2 condiciones a cumplir para lograr el equilibrio del puente

Que los productos de las magnitudes de las ramas opuestas deben ser iguales Que la suma de los ángulos de fase de las ramas opuestas deben ser iguales

6.2.2. AplicaciónAmbas condiciones de balance se pueden cumplir cuando las impedancias de las ramas del puente se dan en forma polar, con magnitud y ángulo de fase. Los valores de las componentes de las ramas del puente se dan en y el problema se soluciona escribiendo la ecuación de equilibrio en forma compleja.Actividad. El alumno estudiará a calcular las ramas del puente de CA y dibujará su diagrama estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, y participará en los foros.

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El problema se complica cuando los valores de los componentes de las ramas del puente se especifican, expresando las impedancias en forma compleja. En este caso, las reactancias solo se pueden calcular cuando la frecuencia del voltaje de excitación se conoce, como se ve en el ejemplo siguiente

6.3. Puente de MaxwellEl Puente de Maxwell de la siguiente figura se utiliza para medir una inductancia desconocida en términos de una capacitancia conocida. Actividad. El alumno estudiará a calcular las ramas del puente de Maxwell y dibujará su diagrama estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, y participará en los foros.

Una de las ramas de relación tiene una resistencia y una capacitancia en paralelo. La ecuación para el equilibrio del puente también se puede expresar así:

Zx = Z2Z3Y1

Donde Y1 es la admitancia en la rama 1. Analizando los componentes por separado:

Z2 = R2; Z3 = R3; Y1 = 1/R1 + jώC1

Zx = R2 + jώLx = R2R3(1/R1 + jώC1)Rx = R2R3

R1

Lx = R2R3C1

Donde las resistencias se dan en ohms, las inductancias en henrys y las capacitancias en farads.El puente de Maxwell se limita a bobinas de Q medio (1<Q<10) Las bobinas de alto Q se miden con el puente de Hay.Tampoco se usa para bobinas de Q muy bajo (Q<1) debido a los problemas de convergencia en equilibrio.El procedimiento usual para equilibrar el Puente de Maxwell es ajustar primero R3 para el equilibrio inductivo y luego R1 para el resistivo. El proceso se repite hasta que se logre una lenta convergencia hacia el equilibrio final. Para bobinas de Q medio, el efecto de la resistencia no es pronunciado y el equilibrio se logra pronto.

6.4. Puente de ScheringSe usa para medir capacitancia y propiedades de aislamiento como ángulos de fase cercanos a 90’. Actividad. El alumno estudiará a calcular las ramas del puente de Schering y dibujará su diagrama estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, y participará en los foros.

El capacitor patrón puede ser de mica para mediciones de trabajo usuales o en aire para mediciones de aislamiento. El de mica tiene pocas pérdidas por resistencia y por tanto un

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ángulo de fase de casi 90’; el de aire tiene un valor muy estable y un campo eléctrico muy pequeño.Las condiciones de equilibrio requieren que la suma de los ángulos de fase de las ramas 1 y 4 sea igual a la suma de los ángulos de fase de las ramas 2 y 3. Como el patrón está en la rama 3, la suma de los ángulos de fase de las ramas 2 y 3 será 0’ + 90’ = 90’. La suma de los ángulos de fase de las ramas 1 y 4 debe ser igual a 90’. Como en casi todas las mediciones la cantidad desconocida tiene un ángulo de fase menor a 90’, es necesario dar a la rama 1 un ángulo capacitivo pequeño conectando C1 en paralelo con R1, lo cual se consigue con un capacitor pequeño a través de R1, y las ecuaciones de equilibrio quedarán:

Zx = Z2Z3Y1

Rx – j/ώCx = R2 (-j/ώC3) (1/R1 + jώC1)

Rx = R2 C1/C3 Cx = C3 R1

R2

6.5. Puente de WienSe usa para medir frecuencias y en el análisis de distorsión armónica, donde trabaja como filtro pasabanda, el cual puede discriminar una frecuencia específica, así como en los osciladores de audio y HF como el elemento que determina la frecuencia.Actividad. El alumno estudiará a calcular las ramas del puente de Wien, dibujará su diagrama estudiando el libro Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, William D Cooper, Editorial Prentice Hall, 1992, y participará en los foros.

El puente de Wien combina RC en serie y RC en paralelo en la rama adjunta. La impedancia de la rama 1 es Z1 = R1 – jώC1. La admitancia de la rama 3 es Y3 = 1/R3 + jώC3. La ecuación básica para el balance es:

R2 = (R1 – j/ώC1) R4 (1/R1 + jώC3)

Al reducir los términos realesR2 = R1 + C3

R4 R3 C1

Y al igualar los términos imaginarios

ΏC3R3R4 = R4/ώC1R1

Donde ώ = 2Πf, y al resolver para f tenemos

F = 1/2Π(C1C3R1R3)1/2

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En la mayoría de los casos los componentes se seleccionan de modo que R 1 = R3 y C1 = C3, por lo tanto

F = 1/2ΠRC

En un puente práctico, C1 y C3 son fijos y R1 y R3 son variables.Debido a su sensibilidad, el puente de Wien puede ser difícil de equilibrar (a menos que la onda sea senoidal pura) Como el puente no se equilibra con cualquier armónica presente en el voltaje aplicado, estas producen voltajes de salida que distorsionan el equilibrio.

BIBLIOGRAFÍA

Bolton William, 1995, Mediciones y Pruebas Eléctricas y Electrónicas, Madrid, Marcombo Editores

Chacón, Federico, 1993, Medidas Eléctricas para Ingenieros, Madrid, Editorial Comillas

Cooper, D. William, 1992, Instrumentación Electrónica Moderna y Técnicas de Medición, México, Editorial Prentice Hall

Fink. Donald, 1996, Electrical Engineering Handbook, Boston, Editorial Mc Graw Hill

Wolf. Stanley, 1998, MEDICIONES ELECTRONICAS, INSTRUMENTACION Y PRACTICAS DE LABORATORIO, Chicago, Editorial Prentice Hall

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