muhekonomi4

1

Mühendislik Ekonomisi

Doç. Dr. Turan PAKSOY

Mühendislik Ekonomisi

Doç. Dr. Turan PAKSOY

T.C.SELÇUK ÜNİVERSİTESİ

MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ

4. Bölümİçindekilerİçindekiler

Sürekli Faiz Hesapları1

Nominal ve Efektif Faiz Oranı2

Düzgün Seri Formülleri3

Sermaye Geri Dönüş Faktörü4

Amortisman Sandığı Faktörü5

4. BölümSürekli Faiz HesaplarıSürekli Faiz Hesapları

Günümüzde çoğu iş sahasında parasal işlemlergünlük ve ya saatlik olarak yapılır hale gelmiştir.Böylesi durumlarda faiz hesaplama işlemleri deoldukça sık yapılır ve şimdiye kadar açıklananyöntemlere göre kısmen farklılık gösterir.

Yıl içinde hesaplama veya faiz periyot sayısınınoldukça fazla yani sınırsız olduğu durumlarda“sürekli faiz hesaplamaları” olarak tanımlananfaiz hesapları tercih edilir.


Eğer ; r=yıllık faiz oranı (nominal faiz oranı),

m= her yıldaki faiz dönem sayısı ise

n yıldaki faiz dönem sayısı n.m

i=r/m bir faiz dönemi için faiz oranıdır.

Tek ödemeli (iskontolama) formülü F=P(1+r/m)n.m

Eğer dönem sayısını sonsuza götürürsek;

Resim şu anda görüntülenemiyor.

2


Sürekli İskontalama

Soru: Sürekli olarak %6 bileşik faiz oranındafaiz ödeyen bir fona 2000 lira yatırılırsa 5 yılsonra fonda birikecek yığılmalı toplam paramiktarı ne olur?

F=2000x (2,718282)0,06x5 =2699,80 Lira


Soru: Bir banka 10 yıl sonra 500.000 Liraödemek üzere bir tasarruf sertifikası satmayıöneriyor. Eğer faiz oranı sürekli iskontolama ile%6 ise sertifikanın bugünkü değeri nedir?

P=500000x (2,718282)-0,06x10 =274400 Lira

4. Bölüm Nominal ve Efektif Faiz Oranları

Nominal ve Efektif Faiz Oranları

Tek ödeme formülleri hesaplanırken basit vebirleşik faiz oranlarına ilişkin esaslar ile alacakve ya ödemelerin bir yıllık periyotlarda yapılmasıdurumundaki nakit akışları göz önüne alınır.

Ancak mühendislik ekonomisi hesaplarında biryıllık faiz periyotlarının yanında bir yıldan dahakısa faiz periyotları ile de karşı karşıyakalınmaktadır.



Diğer bir deyişle bütün faiz oranları yıllık bileşikfaiz oranları şeklinde ortaya çıkmamaktadır.Örneğin faiz oranları yıllık %6 bileşik faiz oranıyerine çeyrek yıllık %6 faiz oranı şeklindedikkate alınırsa faiz periyodu 3 aylık birperiyottur ve faiz oranı faiz periyodu başına %1,5 olur.

Bu durumda çeyrek yıllık %6 bileşik faiz oranıyla1000 PB borç para alınırsa 5 yıllık bir süre için20 adet faiz dönemi söz konusu olur.

3



Yıllık ve çeyrek yıllık % 6 faiz oranında olmaküzere borç alınan 1000 Pb’nin 5 yıl sonra geriödenecek miktarı birbirinden farklıdır. Yıllık %6 faiz oranıyla borçlanmada;

• F=P.(F/P; %6; 5)

• F=1000.(1,3382)=1338,2 Pb

Çeyrek yıllık %6 faiz oranıyla borçlanmada• F=P.(F/P; %1,5; 20)

• F=1000.(1,3469)=1346,9 Pb



İki farklı hesaplama yönteminde görüldüğü gibiaynı borçlanma süresinde geri ödenecek veyaalınacak toplam para miktarı faiz periyodusayısına bağlı olarak değişim göstermektedir.

Bu durumda yıl içinde faiz veya ödeme periyodusayısı arttıkça borçlanma süresi sonunda geriödenecek para miktarı da artmaktadır.

Bu iki faiz oranından ilkine “nominal” ikincisine“efektif faiz oranı” adı verilir.



Nominal kelime olarak sözde, okunan veyagörünendir.

Buna karşın efektifin kelime anlamı ise etkili,etkin, gerçektir.

Nominal faiz oranı uygulamasında basit faizhesabına benzer şekilde paranın zaman değerigöz ardı edilmektedir.



Dönemlik faiz oranlarından hareketle yıllık faizoranının hesaplanmasında bileşik faiz oranındaolduğu gibi paranın zaman değeri dikkatealınırsa elde edilen yıllık faiz oranı efektif faizoranı olarak adlandırılır.

Nominal faiz oranı periyot başına faiz oranı (i) ileperiyot sayısı (m)’nin çarpımına (r=ixm) eşittir.

Nominal faiz oranında yıl içinde oluşan faize faizuygulanmadığı için elde edilecek değer efektiffaiz oranından daha düşük olacaktır.

4



Daha önce türettiğimiz formüller bileşik faizoranını esas aldıklarından bu eşitliklerde faizoranı yerine efektif faiz oranı (ie) konularak aynıeşitlikler efektif faiz hesabı içinde kullanılabilir. ie = (1+i)m-1=(1+r/m)m-1

i= faiz periyodu başına faiz oranı

r= yıllık nominal faiz oranı

m= yıl içindeki faiz periyodu sayısı

ie= yıllık efektif faiz oranı.

F=P(1+ie)n



Soru: Bir banka her 3 aylık tasarruf için %1,5faiz öderse yıllık efektif ve nominal faiz oranlarıne olur?

Çözüm:Nominal faiz oranı: r=ixm

r=%1,5x4=%6

Efektif faiz oranı: ie=(1+i)m-1

ie=(1+0,015)4-1=%6,1



Soru: Bir önceki banka faiz oranına sürekliiskonto uygulanırsa nominal ve efektif faiz oranıne olur?

Çözüm:Nominal faiz oranı; sürekli iskontolama iledeğişmez %6 olarak kalır.

Efektif faiz oranı sürekli iskontalanırsa;ie=ern-1 n=1 r=%6

ie=e0,06-1=0,062=%6,2



Soru: Borç alınan 100 lira 2 yıl sonra geriödenecektir. %10 yıllık nominal faiz oranındayarı yıllık, çeyrek yıllık, aylık, haftalık, günlük vesürekli hesaplama koşullarında geri ödenecektoplam para miktarını ve bu koşullardaki efektiffaiz oranını hesaplayınız.P=100 Lira

n=2 yıl

5



Çözüm:Yarı yıllık m=2 n=2



Çeyrek yıllık m=4 n=2

Aylık m=12 n=2



Haftalık m=52 n=2

Günlük m=365 n=2



Sürekli İskontolama

ya da

6



Soru: Vadeli satışlarda aylık % 1,5 oranında faizuygulayan bir mağaza için efektif faiz oranı nekadardır?

Çözüm:



Soru: Yıllık faiz oranı %12,231 ise aylık faizoranı ve efektif faiz oranını hesaplayınız.

Çözüm:

Aylık faiz oranı= %12,231/12=%1,019



Soru: 2,5 yıl sonunda 6 milyon Pb sağlayacakbir projeden sürekli bileşik %12 verim oranıisterseniz, şimdi ne kadar bir yatırım yapmayarazı olurdunuz?

Çözüm:P=Fxe-rn=6000000xe-(0,12).(2,5)

=4.444.800 Pb



Soru: Ne kadarlık bir aylık faiz oranı, %18’lik efektif faiz oranına eşdeğerdir?

Çözüm:

7



Ödev: Borç alınan 1000 Pb 4,5 yıl sonra birmiktar faiz ile birlikte geri ödenecektir. Geriödenen miktar 1250 Pb’dir. Faiz periyodu 6 ayise bu borç alma ödeme olayında yıllık efektiffaiz oranı ne olur?



Soru: İki tasarruf bankası, bir caddede karşıkarşıyadır. A bankası penceresinde “Günlükbileşik %6,5 ödüyoruz” yazılı bir reklamasılmıştır. Bunun üzerine B bankası,penceresine “Sürekli bileşik %6,5 ödüyoruz ”yazılı ilan asmıştır. Vahit Varyemez’in bankayabir yıl süreyle yatıracağı 1 milyon Pb vardır.Varyemez’in parasını B bankasına yatırmakla Abankasına göre alacağı ilave faiz miktarı neolacaktır?



Çözüm:A Bankası:

B Bankası:

Fark 6 Pb’dir

4. BölümDüzgün Seri FormülleriDüzgün Seri Formülleri

Düzgün serilerde çoğu kez günlük yaşamdaçeşitli eşit ödemelerle, yani taksitlerle bazışeyler aldığımızda rastlarız. Örneğin, eşittaksitlerle satın aldığımız bir arabanın bonoödemeleri bir düzgün seri oluşturur.

Her yıl eşit miktarlarda ödenen veya taahhütedilen A değerindeki seri paraların gelecekteki Fveya bugünkü P değeri ile nasıl bir bağıntısıolacaktır? Tabi ki bu bağıntıda yıllık faiz oranıönemli bir yer işgal etmektedir.

8


Her dönemin sonunda gerçekleşen 4 düzgünpara girişi veya taahhüdü söz konusu olsundaha önce açıkladığımız tek ödemeli formülegöre bu değerleri 4 yıl sonuna indirgeyebiliriz.

A AAA

F

31 42


F=A(1+i)3+A(1+i)2+A(1+i)+A genelleştirirsek, F=A(1+i)n-1+…+A(1+i)2+A(1+i)+A ifadesini elde

ederiz.

Her iki tarafı (1+i) ile çarparsak, (1+i)F=A(1+i)n+…+A(1+i)3+A(1+i)2+A(1+i)

F=A((1+i)n-1)/i ifadesini buluruz.

Tablolarda (F/A ; %i; n)şeklinde bakılır. Not: Xn-1=(X-1)(Xn-1+ Xn-2+…+X+1)


Soru: Bir kişi her yıl bir bankaya 50.000 Pbyatırmaktadır. Faiz oranı %5 kabul edildiğindebu kişinin 5 yıl sonunda alacağı para nekadardır?

Çözüm:


Soru: Bir kişi gazetede dönümünü 100.000Pb’den alabileceği bir arazi ilanı okuyor ve heray bir miktar para biriktirmeye karar veriyor.Bunu bir bankaya aylık biriktirmeli olmak üzere%5 faiz üzerinden yatırarak gerçekleştiriyor. Bukişinin bir yıl sonra bu arazinin 1 dönümünüalabilmesi için, bankaya ayda ne kadar parayatırması gerekir?

9


Çözüm:

F=100.000 n=12 i=%5 A=?

4. Bölüm Sermaye Geri Dönüş Faktörü (Capital- Recovery Factor)

Sermaye Geri Dönüş Faktörü (Capital- Recovery Factor)

Eşitlikte köşeli parantezler içinde ki ifade,düzgün serilerde sermayenin yeniden eldeedilmesi faktörü (capital-recovery factor) denir vekısaca (A/P; %i; n ) ile gösterilir.

4. Bölüm Amortisman Sandığı Faktörü (Sinking- fund Factor)

Amortisman Sandığı Faktörü (Sinking- fund Factor)

eşitliğinde köşeli parantez içindeki ifade veya (A/F; i; n) ifadesi, Amortisman Sandığı Faktörü (sinking-fund factor) olarak isimlendirilmektedir.

Bu faktör gelecekte ulaşılmak istenen yığılmalı miktar için, bir fonda (veya sandıkta) toplanacak tasarrufun tek bir ödemesinin belirlenmesi için kullanılır.



Soru: Bir kişi banka kredi hesabına 1 Ocak’ta500.000 Pb yatırıyor. Bu hesaba %6 faiz ve yıllıkiskonto uygulanıyor. İlk yılın Aralık 31 günündenbaşlayarak yıl sonlarında 5 eşit taksitle, nekadar para çeker?

Çözüm:P=500.000 Pb n=5 i=%6 A=?

A=P(A/P; %6; 5)A=500.000(0,234)A=118.700 Pb

10



Soru: Bir yatırımcı bazı tezgahlar satın almak amacıylasatıcıya bir öneri sunuyor. Öneride 5 yıl için her aysonunda 14.000 Pb ödeme öngörülüyor. Makinelerbugün 680.000 Pb peşin para ile satıldığına göre veaylık ödemeler %1 aylık faizle değerlendirildiğine göresatıcının yanıtı ne olmalıdır?

Çözüm:P=A(P/A; %i; n)=14000(P/A; %1; 60)

P=14000(44,955)=629.376 Pb

Makine bugün 680.000 Pb ettiğine göre satıcı bu öneriyireddedecektir.

4. Bölüm

Soru: Yıllık %7 faiz oranıyla bir tasarrufhesabına yatırılan toplam para; yıllık eşitmiktarlarda olmak üzere, 5 yıllık süre boyuncaher defasında 2000 Pb olarak geri çekilmekistenmektedir. İlk para çekilmesi, hesaba parayatırıldıktan 1 yıl sonra olacağı dikkatealındığında , tasarruf hesabına yatırılmasıgereken para miktarı ne olmalıdır?

4. Bölüm

Çözüm:

P, ilk A’dan 1 yıl önce oluşuyor.

P=A(P/A; %7; 5)

P=2000.[(1+0,07)5-1/(0,07(1,07)5))

P=2000.(4,10002)

P=8200,40 Pb

A=2000

i=%7

P=?

31 420 5

4. Bölüm

Çözüm:

Yani, yıllık %7 bileşik faiz ödemesi yapan birfona veya tasarruf hesabına toplam 8200.40 PByatırılırsa, bu para daha sonra yılda 2000 PBolmak üzere eşit miktarlı 5 ödeme ile gerialınabilir.

11

4. Bölüm

Soru: Bir önceki örnekte sözü edilen ilk geripara çekmenin, para yatırıldıktan 3 yıl sonrabaşlayacağı düşünülürse, hesaba yatırılmasıgereken toplam para miktarı ne olmalıdır?

Çözüm:

0 1 32 4 65 7

A=2000

i=%7

P=?

4. Bölüm

Çözüm:

veya…

P=A(P/A; %7; 5)(P/F; %7; 2)

P=2000(4,1002)(0,8744)

P=7162.23 PB

Görüldüğü gibi ilk geri çekmenin 2 yıl geciktirilmesi, hesaba yatırılması gereken tasarruf miktarını 8200.40-7162.23=1038.17 azaltmaktadır

0 1 32 4 65 7

8200.40

4. Bölüm

Soru: Yıllık %7 oranında bileşik faiz ödeyen bir hesaba 10000 PB para yatırmıştır. Para yatırıldıktan 1 yıl sonra başlamak üzere, yıllık eşit miktarlarda 10 defada paranın geri çekilmesi istenirse, her yıl ne kadar para çekilebileceğini hesaplayınız.

Çözüm:A=P(A/P; %i; n)

A=10000[0,07.(1,07)10]/[(1,07)10-1]

A=1424PB

4. Bölüm

Soru: Bir tasarruf hesabında, 30 yıl süre ile yıllık1000 PB tasarruf yapılırsa, yıllık %8 faizkoşullarında, son tasarruf yatırıldıktan hemensonra sandıkta ne kadar para birikmiş olacaktır?

Çözüm:F= A(F/A; %8; 30)

F=1000(113,283)

F=113.283 PB

12

4. Bölüm

Soru: 35 yıllık süre içinde 150000 PB biriktirmek istenirse, yıllık %8 faiz ödemesi yapan bir fonda, yapılan son tasarruftan hemen sonra, amaçlanan miktarı sağlamak için gerekli yıllık tasarruf miktarı ne olacaktır?

Çözüm:A= F(A/F; %8; 35)

A=150000[0,08/(1,0835-1)]

A=150000(0,0058)

A=870,48 PB

4. Bölüm

Soru: Bir mühendis, %8 faizle altı eşit yıl sonuödemesi yapmak koşulu altında bir bankadan30.000.000 PB borç alınmıştır. Banka, borçtamamen geri ödenmeden önce Türkiye’de kredifaiz oranları düşürülürse geri kalan borç üzerindekifaizi de düşürmek üzere anlaşma yapmıştır. Üç yılsonra, üçüncü ödeme zamanı geldiğinde, banka,kalan borç üzerindeki faiz oranını %8’den %7’yedüşürmeye karar vermiştir. İlk üç yılda yapılan eşityıl sonu ödemelerinin her biri ne kadardır?Son üçyılda eşit yıl sonu ödemelerinin her biri ne kadardır?

4. Bölüm

Çözüm:A=P(A/P; %8; 6)

A=30.000.000(0,2163)

A=6.849.000 PB ilk üç ödeme miktarı

0 1 32 4 65

P’= 3. ödemeden sonra kalan borç

4. Bölüm

Çözüm(devam):P'=6.489.000(P/A; %8; 3)

P'=6.489.000(2,577)

P'=16.722.200 PB

Son üç ödeme;A'=16.722.200(A/P; %7; 3)

A'=16.722.200(0,3811)

A'=6.372.800 PB

13

4. Bölüm

Soru: Genç bir mühendis 60 yaşına geldiğinde bir milyarder olmak istemektedir. Dikkatli bir yatırımla %15’lik verim oranı elde edebileceğine inanmaktadır. 20. doğum gününden 59.suna kadar yatırım programına her yıl eşit miktarda para ilave etmeyi planlamaktadır. Mühendis, bu projesi için her yıl ne kadar para ayırmalıdır?

…

20. 59.

F.

60. doğum günü1x109 PB

4. Bölüm

Çözüm: 59-20+1=40 yıllık yatırım sayısı

F=1.000.000.000(P/F; %15; 1)

F=1x109(0,8696)

F=869.600.000 PB

A=F(A/F; %15; 40)

A=869.600.000(0,0006)=521.760 PB

4. Bölüm

Soru: Bir memur, bir galeriden kullanılmış birotomobili satın aldı. Vergi ve sigortayı da içerentoplam fiyatı 15.0000.000 PB idi. Memur İlk ödemeyiderhal yapmak üzere (peşinat olarak) 12 eşit aylıktaksitle otomobilin borcunu ödeyecektir. Borçüzerindeki faiz oranı aylık bileşik %12’dir. Memur, 6ödeme yaptıktan sonra (peşinat+ 5 eşit aylıködeme), otomobili satmaya karar verdi. Otomobilisatın almak isteyen kişi 7. ödeme zaman geldiğindekalan borcun tamamını ödeyecek memura da5.000.000 PB verecektir. Otomobil yeni sahibine nekadara mal olacaktır?

4. Bölüm

Çözüm:

15.000.000=A+A(P/A; %1; 11)

15.000.000=A+A(10,368)=11,368 A

A=15.000.000/11,368

A=1.319.500 PB

Otomobil yani sahibine=5.000.000+1.319.500+1.319.500(P/A; %1;5)

12.723.000 Pb’ine mal olacktır.

21 3 4 5 76 8 9 10 11 12

A

15.000.000 Borç kapatma

14

4. Bölüm

Ödev: Bir kişi, oğluna üniversitede okumaimkanı tanımak istemektedir. Bunun için,oğlunun dördüncü yaş gününden başlamaküzere gelecek dört yıl boyunca her yıl 6.000.000Pb’lik yatırım yapacaktır. Oğlunun 18., 19., 20.,ve 21. doğum günlerinde , toplamı 60.000.000Pb edecek şekilde 15.000.000 (PB/yıl)olabilmesini istemektedir. %5 faiz ile, bir kişininoğlunun sekizince yaş gününden 17. yaşgününe kadar yapması gereken yıllık düzgünyatırımı hesaplayınız.

muhekonomi4

Documents