mÉtodos geom Étricos de alta frecuencia · 2010. 4. 22. · propagación, radiación y...

Propagación, radiación y dispersión de Ondas Electromagnéticas

Curso 2009-2010

1

1Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR

MMÉÉTODOS GEOMTODOS GEOMÉÉTRICOS DE ALTA TRICOS DE ALTA FRECUENCIAFRECUENCIA

ÓÓPTICA GEOMPTICA GEOMÉÉTRICA (GO)TRICA (GO)TEORTEORÍÍA GEOMA GEOMÉÉTRICA DE LA DIFRACCITRICA DE LA DIFRACCIÓÓN (GTD)N (GTD)TEORTEORÍÍA UNIFORME DE LA DIFRACCIA UNIFORME DE LA DIFRACCIÓÓN (UTD)N (UTD)


BIBLIOGRAFBIBLIOGRAFÍÍAA

1. D. A. McNamara, C.W. I. Pistorius and J.A.G. Malherbe, “lntroducrion to the Uniform

Geometrical Theory of Diffraction”. Artech House, Notwood, MA, 1990

2. C.A. Balanis,”Advanced Engineering Electromagnetics”, John Wiley & Sons. 1989.

Cap 5 y 13.

3. J. B. Keller, "The geometrical theory of diffraction“, Proceedings of the Symposium on

Microwave Optics, Eaton Electronics Research Laboratory, McGill University,

Montreal, Canada (June, 1953).

4. J. B. Keller, “Geometrical Theory of Diffraction”. Journal of the Optical Society of

America, Vol 52, nº2., Feb 1962, pp 116-130.

5. R. G. Kouyoumjian, P. H. Pathak, ”A uniform geometrical theory of diffraction for an

edge in a perfectly conducting surface”. IEEE, Proceedings, vol. 62, Nov. 1974, p.

1448-1461.


Curso 2009-2010

2


MMÉÉTODOS GEOMTODOS GEOMÉÉTRICOS DE ALTA TRICOS DE ALTA FRECUENCIAFRECUENCIA

1.1.-- INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN

2.2.-- ÓÓPTICA GEOMPTICA GEOMÉÉTRICA (GO)TRICA (GO)

3.3.-- TEORTEORÍÍA GEOMA GEOMÉÉTRICA DE LA DIFRACCITRICA DE LA DIFRACCIÓÓN (GTD)N (GTD)

4.4.-- TEORTEORÍÍA UNIFORME DE LA DIFRACCIA UNIFORME DE LA DIFRACCIÓÓN (UTD)N (UTD)

5.5.-- APLICACIAPLICACIÓÓN A RADIACIN A RADIACIÓÓN Y DISPERSIN Y DISPERSIÓÓNN


1.1.-- INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN

•Aplicables cuando

•En alta frecuencia, reflexión y difracción son fenómenos locales.

•La propagación de los campos se modela mediante rayos, introduciendo

las correcciones de amplitud, fase y polarización oportunas.

•Los campos reflejados y difractados son función únicamente de la

geometría local del problema en el punto de reflexión o difracción y del

campo incidente.

•La amplitud de los campos reflejados y difractados se calcula con

ayuda de coeficientes de reflexión y difracción, obtenidos para

problemas canónicos.

β → ∞


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3


2.2.-- ÓÓPTICA GEOMPTICA GEOMÉÉTRICATRICA

•Incluye campo incidente, reflejado y transmitido.

•No predice correctamente el campo.

•La ecuación eikonal (frente de fase) y la dirección de los rayos(perpendiculares al frente de fase) se obtienen aplicando las ecuaciones de Maxwell.

•Corrección de amplitud: Se basa en la conservación de la energía en un tubo de rayos.

•Problema canónico (R,T) : incidencia sobre una superficie plana indefinida.

•La polarización correcta de los campos reflejado y transmitido se obtiene modelando R y T como diádicos.


GO.GO.-- ESPECIFICACIESPECIFICACIÓÓN DEL RAYON DEL RAYO

•Expresión del campo monocromático de Luneberg-Kline (IL sin cargas)::

•Aplicando las ecuaciones de Maxwell, para alta frecuencia con

y la ecuación de onda:

queda:

( ))(

0

)()( rjk

m

mm ej

rErE

rrr

rr Ψ−∞

=∑≈

ω

( )( ) 0)(

0)(

0)(,

0)(,

0 =⋅∇

=⋅∇

=+×∇

=−×∇

rH

rE

rHjrE

rEjrHrr

rr

rrrr

rrrr

ωµω

ωεω

( ) εµωω 0222 0)(, ==+∆ krEkrE

rrrr

tje ω

( )( ) 0

0

0

0

00

00

=⋅Ψ∇

=⋅Ψ∇

−=×Ψ∇

=×Ψ∇

H

E

EHZ

HEYr

r

rr

rr

( ) ( ) 1000 =Ψ∇⇒=Ψ∇⋅Ψ∇−Ψ∇⋅Ψ∇ EEErrr

( ) ( ) 02 02

0 =Ψ∇+∇⋅Ψ∇ EErr

( ) 02

0 =Ψ∇⋅∇ Er

[ ] ( )Ψ∇=× ∗ 2

0Re EYHErrr


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4


GO.GO.-- ECUACIECUACIÓÓN EIKONAL: N EIKONAL: L(rL(r))

• Los campos de GO:

• La ecuación eikonal (frente de onda) :

• La dirección de los rayos (ortogonales a L) :

• La distancia óptica a lo largo del rayo :

r r r r r

E r E r e j L r( ) ( ) ( )= −0

β

∇ ⋅∇ = =L r L r n r r( ) ( )r r 2 µ ε

$( )

sL r

n=

∇r

L P L P ndsP

P

( ) ( )2 1

1

2

− = ∫$s

dr

ds=

r

Estacionaria

)()( rkrLrr Ψ=β

O

$srr s( ) r

r s s( )+ δ

rdrrr +r

r

02

2

=ds

rdr

8

GO.GO.-- CONSERVACICONSERVACIÓÓN DE LA ENERGN DE LA ENERGÍÍAA

• La energía se conserva en un tubo de rayos:

• y son los radios de curvatura principales del frente de onda

Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR

0)̂(2

0 =⋅∇ sEr

E dS E dS1

2

1 2

2

2=

E

E

dS

dS

d d

s d s d s s

2

2

1

21

2

1 2

1 2

1 2

1 2

= =+ +

=+ +

ρ θρ φρ θ ρ φ

ρ ρρ ρ( ) ( ) ( )( )

E s Es s2 11 2

1 2

0( ) ( )( )( )

=+ +

ρ ρρ ρ

ρ1 ρ2

ρ1

ρ20=s

dφdθ

$s

ρss =

2ρ−=s

1ρ−=s ρ1

ρ20=s

dφdθ

$s

ρss =

2ρ−=s

1ρ−=s


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GO.GO.-- RADIOS DE CURVATURA DEL FRENTE DE ONDARADIOS DE CURVATURA DEL FRENTE DE ONDA

• Método de Deschamps

•Frente de fase en P0 :

•Frente de fase en P’0 :

•Radios:

•Frente esférico:

•Frente cilíndrico:

•Frente plano:

s a a'= − +

1

2

1 1

112

222

ρ ρ

ssa

sa'

( ) ( )= −

++

+

1

2

1 1

112

222

ρ ρ

s a QaT

a'=−1

2

Q la

s

s

( )( )

( )=

+

+

1

1

1

2

0

0

ρ

ρ

s b QbT

b'=−1

2a Gb=

ρ ρ1 2= = R

ρ ρ1 2= = ∞R

ρ ρ1 2= ∞ = ∞

( ) ( )1 1

24

1211 22 11 22

2

122

ρ ,= + ± − +

Q Q Q Q Q


GO.GO.-- CORRECCICORRECCIÓÓN DE FASEN DE FASE

• El campo de GO es:

•El frente de fase se puede modelar como:

•Asi:

r rE s E s e j L s( ) ( ) ( )= −

0β

L s L s( ) ( )= +0

( )( )sjLj e

sseEsE ββ

ρρρρ −−

++=

21

21)0(0 )0()(rr

0

ρ1

ρ20=s

dφdθ

$s

ρss =

2ρ−=s

1ρ−=s ρ1

ρ20=s

dφdθ

$s

ρss =

2ρ−=s

1ρ−=s


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GO.GO.-- REFLEXIREFLEXIÓÓN Y TRANSMISIN Y TRANSMISIÓÓN. N. R y TR y T

• Problema canónico: Onda plana incidiendo en interfaz plano infinito

Polarización E: E al plano de incidencia (normal+d. propagación)r r

E E e yi

j ri= −0

$

$β

r r

E E R e yr

e j rr= −0

$

$β

r r

E E T e yt

e j rt= −0

$

$β

R e i t

i t

=−+

η θ η θη θ η θ2 1

2 1

cos cos

cos cos

θ θi r=

β θ β θ1 2sin sini t=

T e i

i t

=+

2 2

2 1

η θη θ η θ

cos

cos cos

rHi

rEr

rEi

rEt

rHt

rHr

$βt

$βr

$βi

θi

θr θtµ ε1 1

µ ε2 2

$x

$y

$z


GO.GO.-- PROBLEMA CANPROBLEMA CANÓÓNICO. R y TNICO. R y T

Polarización H: H al plano de incidencia (normal+d. propagación)

Rm i t

t i

=−+

η θ η θη θ η θ1 2

2 1

cos cos

cos cos

θ θi r=

β θ β θ1 2sin sini t=

it

imTθηθη

θηcoscos

cos2

12

2

+=

( )r r

H E e yi

j ri= −0 1η β$

$

( )r r

H E T e yt

m j rt= −0 2η β$

$

( )r r

H E R e yr

m j rr= −0 1η β$

$

rEr

rEi r

Hi

rEt

rHt

rHr

$βt

$βr

$βi

θt

µ ε1 1

µ ε2 2

$x

$y $zθi

θr


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GO.GO.-- POLARIZACIPOLARIZACIÓÓN. DIN. DIÁÁDICOS DE TRANSMISIDICOS DE TRANSMISIÓÓN Y N Y REFLEXIREFLEXIÓÓNN

•Conductor perfecto:

•Los campos se pueden poner como:

R

R

e

m

= −

=

1

1

r rE REr i=

r rE TEt i=

$p

( )rE i t pi

$, $, $ ( )rE r t qr

$, $, $ ( )rE u t ot

$, $, $

E

E

R

R

E

E

r

t

r

q

e

m

i

t

i

p

=

0

0

( )$ $ $ $ $r i n i n= − ⋅2

$q

$t

$o

$u

$r

$i

θt

µ ε1 1

µ ε2 2

$x

$y

$z

$t

$t

θi

θr

rnin

rnin

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

×=×

⋅−=⋅


GO.GO.-- CAMPOS INCIDENTE Y REFLEJADOCAMPOS INCIDENTE Y REFLEJADO

•Campo incidente:

•Campo reflejado:

•Problema localmente plano en Qr

•Se usan los diádicos R y T

•Los radios de curvatura del frente

reflejado dependen de los radios de

curvatura del frente incidente y de

la superficie S en Qr.

( )( )r rE s E

s se ei

i

i

i i

i i i i

j s j n mi

( ) ( )( )

=+ +

− −

01 2

1 2

20ρ ρ

ρ ρβ

π

( )( )r rE s E Q R

s ser

r

i r

r r

r r r r

j sr

( ) ( )=+ +

−ρ ρρ ρ

β1 2

1 2


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GO.GO.-- RADIOS DE CURVATURA DEL FRENTE REFLEJADORADIOS DE CURVATURA DEL FRENTE REFLEJADO

• Se representan los puntos de S en el sistema como:

•La matriz que representa la forma cuadrática del frente reflejado será:

donde los términos en Q, representan la curvatura

del frente incidente.

( )$ , $ , $d d n1 2

[ ]rd d d d d d d

C C

C C

d

dn= + −

1 1 2 2 1 2

11 12

21 22

1

2

1

2$ $ $

QC Q C Q

C Q C Qr =+ −

− +

2 2

2 211 11 12 12

12 12 22 22

cos

sec

θθ

θi θr

$i$r

$n

$d1$d2


GO.GO.-- RADIOS DE CURVATURA DEL FRENTE REFLEJADORADIOS DE CURVATURA DEL FRENTE REFLEJADO

• Caso 2D:

•Caso 3D:

Frente incidente esférico:

( ) ( ) ( )1 1 2

0ρ ρ θr

r

i

r r iQ Q a Q= +

cos

1 1 1

1 1 1ρ ρr i f= +

1 1 1

2 2 2ρ ρr i f= +

ρ ρ1 2i i is= = f

sin

a

sin

a

sin

a

sin

a a ai i

12

22

1

21

22

22

1

21

2

2

1 2

1 1 4, cos cos= +

± +

−

θθ θ

θθ θ

$ cos $ cos cos $ $X sin U U sin ni

i i i1 1 2= − + +θ α θ α θ$ cos $ $X U sin Ui

2 1 2= +α α

sin sin

sin sin

i

21

2 2 2

22

2 2 2

θ α α θ

θ α α θ

= +

= +

cos cos

cos cos


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GO.GO.-- CORRIENTES SUPERFICIALES DE CORRIENTES SUPERFICIALES DE GOGO

•La densidad de corriente superficial en Qr (S) es:

•La contribución de los campos de GO es:

•Por la continuidad de los campos en la interfaz:

•Como en GO las ondas localmente son TEM ( , ):

•Por lo tanto:

r rJ Q n HQs r r( ) $ ( )= ×

[ ]r r rJ Q n H Q H Qgo r i r r r( ) $ ( ) ( )= × +

[ ]$ ( ) ( )n H Q H Qi r r r⋅ + =r r

0

[ ]$ ( ) ( )n E Q E Qi r r r× + =r r

0

r rE H ii i⊥ ⊥ $

r rE H rr r⊥ ⊥ $

( ) ( )$ $ ( ) $ $ ( )n i H Q n r H Qi r r r× × = − × ×r r

$ ( ) $ ( )n H Q n H Qi r r r× = ×r r

r rJ Q n H Qgo r i r( ) $ ( )= ×2

( )( ) rr

ii

EHrZ

EHiZrr

rr

−=×

−=×

ˆ

ˆ

rnin

rnin

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

×=×

⋅−=⋅


GO.GO.-- DISCONTINUIDADESDISCONTINUIDADES

•Campo incidente:

•Cáusticas•Fronteras de sombra de Ei (ISB)•Ausencia de Jgo tras ISB

•Campo reflejado:•Cáusticas. Tubo astigmático•Fronteras de sombra de Er (RSB)


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GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. EiEi

FUENTE LINEAL ELÉCTRICA Y MAGNÉTICA

•Campo incidente cilíndrico. Campo de GO (sólo términos en m=0)

•Campo dual en la fuente magnética

( ) ( )( )Ek I

H kz

e

ρωε

ρ=− 2

02

4

( )( )ρ

πρρπ jk

j eekkH

−

≈ 420 /2

( )E ZIke

ez

e jjk

ρπ ρ

π ρ

=−

84

y



DIPOLO CORTO. Campo incidente lejano esférico y de GO.

•Campo cercano óptico.

•Comparación con serie de potencias

( ) ( )E A e

j r j rr

jkr= +

−0 2

2

2 3

2 2νω

ν

ωθcos

( ) ( )E A e

r j r j rsinjkr

θ

νω

ν

ωθ= + +

−0 2

2

2 3

1

E φ = 0

L r r( $) =rE A

rr A

sin

r1 0 2 0 2

2= +

ν θ ν θθ

cos$ $

rE A

rr A

sin

r2 0

2

3 0

2

2

2= +

ν θ ν θθ

cos$ $

rE

A

rsin0

0= θθ$


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BOCINA CÓNICA LISA. Campo incidente lejano esférico y de GO.

•Campo cercano óptico.

•Comparación con serie de potencias

( ) ( )[ ]rE r A sin B

e

r

jkr

( , , ) $ cos $θ φ θ φθ θ φφ= +−

( ) ( )[ ]rE A sin B

r0

1= +θ φθ θ φφ$ cos $

L r r( , , )θ φ =

BOCINA PIRAMIDALES ( ) ( )A Bθ φ θ φ, ; ,

BOCINAS POTTER

BOCINAS CORRUGADAS

( ) ( )A Bθ θ=

( ) ( )A Bθ θ=


GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 2DEN 2D

• Modo TM (soft polarization):

• Modo TE (hard polarization):

rE n ii⊥ ( $ , $)

( )r rE P E Q s ez

r

z

i

r

r r r jksr( ) ( ) /= − + −ρ ρrH n ii⊥ ( $ , $)

( )r rH P H Q s ez

r

z

i

r

r r r jksr( ) ( ) /= + −ρ ρ

( ) ( ) ( )1 1 2

0ρ ρ θr

r

i

r r iQ Q a Q= +

cos

Ie

Im

$z

$y$x

$z

$y$x


Curso 2009-2010

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CILINDRO CIRCULAR CONDUCTOR (TE). CAMPO LEJANO

$ $ $ cos $ $s s s x sin yr= = = +0 φ φ( ) )ˆsinˆ(cos yxar rr γγγ +=r

( ) yaxar rr ˆcosˆsin' γγγ +−=r

( ) ( )( ) yx

r

rt rr ˆcosˆsin

''

ˆ γγγγ

γ +−== r

r

( ) yxn rr ˆsinˆcosˆ γγγ +=

( )( ) ( )

$co s $ $

co ss

a b x a sin y

a b a s in

i r r

r r

=− +

− +

γ γ

γ γ2 2

$ $co s

c o sn s

a b

a b a b

i r

r

⋅ =−

+ −

γ

γ2 2 2

( )$ $ c o sn s r r⋅ = −φ γ

$ $ $ $n s n si r⋅ = − ⋅

•Geometría: Punto especular Qr:



•Cáustica en reflexión:

•Campo directo en el pto de observación P:

•Campo incidente en Qr:

•Campo reflejado en P:

( ) ( ) ( )1 1 2

0ρ ρ θr

r

i

r r iQ Q a Q= +

cos

( )ρ γi

r

i

rQ s a b a b= = + −2 2 2 c o s c o s c o s ( )θ φ γi r= −( )a Q ar0 =

s s b0 = − cosφ ( )s s ar

r= − −cos φ γ1 10s s

≈ ( )U s U ee

sz

i jk b

jk s

, c o sφ φ=−

0

( )U Q Ue

sz

i

r

jk s

i

i

=−

0

( )U s R Ue

se

sz

r

s h

jk s

i

j k s

r

r r

i

r

, ,φρ

ρ=

+

−−

0

( ) ( )U s R U

se e

e

sz

r

s h

r

i

jks jka

jksi

r, ,cosφ

ρ φ γ= − −−

0


Curso 2009-2010

13



•Fronteras de sombra:

•Campo total:

•Resultados:

$ $ cos cosn s aa

ba

a

bi

g g⋅ = ⇒ =

⇒ = +

02

γ φπ

( ) ( ) ( )U s

U s U s

restoz

t z

i

z

r

g,, ,

φφ φ φ φ

=+ <

0

Iluminación con fuente lineal eléctrica a=λ y b=2 λ

Iluminación con fuente lineal magnética a=λ y b=2 λ



TIRA µSTRIP CON FUENTE LINEAL. CAMPO CERCANO

•Geometría: Punto especular Qr:$ $ $s x x y y0

0 0= +

( )rr y

x d

y w=

=

≤ / 2

( ) ( )( )

yyr

yryt ˆ

'

'ˆ == r

r

( )$ $n y x= −

$$ $

sd x y y

d y

i r

r

=+

+2 2$ $n s

d

d y

i

r

⋅ =−

+2 2

( )( ) ( )

$ $n sx d

x d y y

r

r

⋅ =− −

− + −

0

0

2

0

2

$ $ $ $n s n si r⋅ = − ⋅

$ $ $s dx y yi

r= + ( ) ( )( ) ( )

$$ $

sx d x y y y

x d y y

r r

r

=− + −

− + −

0 0

0

2

0

2

( ) ( )x wdx y d y y d yr r02

02 2

02022 0− + − =


Curso 2009-2010

14








( ) ( ) ( )1 1 2

0ρ ρ θr

r

i

r r iQ Q a Q= +

cos

( )ρ i

r

i

rQ s d y= = +2 2 ( )a Q r0 = ∞

s x y002

02= +

( )U P Ue

sz

i

j k s

=−

0 0

0

( )U Q Ue

sz

i

r

jk s

i

i

=−

0

( )( )

U s R Ue

s sz

r

s h

jk s s

i r

i r

, ,φ =+

− +

0

( ) ( )s x d y yr

r= − + −0

2

0

2

s d yi

r= +2 2

( )( )

ISB atan w d

RSB

ISB ISB

ISB

: /

:

φ φ φφ π φ

≤ =

≤ −

2



•Campo total:

•Resultados:

( )( )

( ) ( ) ( )U s

U s

U s U s

resto

z

t

z

i

ISB

z

i

z

r

ISB,

,

, ,φ

φ φ φ

φ φ φ π φ=

≥

+ ≥ −

0

Iluminación con fuente lineal eléctrica d=λ, w=3λ y s=5 λ


Curso 2009-2010

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CILINDRO PARABÓLICO CON FUENTE LINEAL. CAMPO CERCANO

•Geometría: Punto especular Qr:$ $ $s x x y ya a

0 = +

( )rr x y x

y

f, : =

2

4

( ) ( ) ( )$ cos / $ / $n Q x sin yr r r= − +φ φ2 2

( )$ $s Qi

r= τ ( )$ $ c o s /n s i r⋅ = − φ 2

( )$ $ $s f x x y yi

r r= − +( )$ $ $ $ $ c o s $ $ $s s n n s s in xr i i

r r= − ⋅ = − + =2 φ τ φ φ

φ ISB af

w= 2

4cot

( ) ( )$

$ $s

x x x y y y

s

r a r a r

r=− + −

( ) ( )

y y x y f

f x y ff

r a r a

r r r r r

r

= =

= − + = =

−

2

2 2 2 1

1 2

4

2 2

/

sec / secτ φ φτ








( ) ( ) ( )1 1 2

0ρ ρ θr

r

i

r r iQ Q a Q= +

cos

( )ρ τ φi

r r rQ f= = sec ( / )2 2

( )s x f ya a

0 2 2= − +

( )U P Ue

sz

i

j k s

=−

0 0

0

( )( )

( )U Q Ue

sU

e

fz

i

r

jk s

i

j k f

r

ir

= =− −

0 0

22

2

s e c /

s e c /

φ

φ

s f xr

r= −

ISB

RSB ywISB:

:

φ φ≤

>2

( )( )

a Qf

r

r

0 3 2

4 2

1=

−

+ cosφ( )cos cos /θ φi r= 2

( )ρ r

rQ → ∞

( )( ) ( )

( )U x y R Ue e

fz

i

a a s h

j k f j k x x

r

r a r

,s e c /,

s e c /

=− − −

0

22

2

φ

φ

( )s f x yi

r r= − +2 2


Curso 2009-2010

16



•Campo total:

•Resultados:

•Fase uniforme del campo en la apertura

•Taper del centro al borde

( )( )

( ) ( )U s

U s

U s U s yw

resto

z

t

z

i

ISB

z

i

z

r,

,

, ,φ

φ φ φ

φ φ=

≥

+ ≤

20

( ) ( )U y w U yfw

z

t

a z

t

a= = ∝/ /2 01



Er HIPERBOLOIDE (SUBR. CASSEGRAIN). FUENTE SIMETRÍA AXIAL

•Geometría: Punto especular Qr:rr x sin y c

a

bb z= + − + +

ρ φ ρ φ ρcos $ $ $2 2

( )$ $ $ $n Q n x n y n zr x y z= + +$sr

ri =

r

r

( )$ $ $ $ $s s n n sr i i= − ⋅2

$ cos $ $ cos $s sin x sin sin y zr= + +α φ α φ α

( )n

a

b b ax =

+ +

ρ φ

ρ ρ

cos2 2 2 2 2

( )n

a sin

b b ay =

+ +

ρ φ

ρ ρ2 2 2 2 2

( )n

b b

b b az =

+

+ +

ρ

ρ ρ

2 2

2 2 2 2 2


Curso 2009-2010

17







( )ρ ρ12 2r

rQ ac

bb d= − + + =

( ) ( )[ ]rE Q

e

sA s ini

r

j k s

i

i

= +−

Ψ Ψφ φ φ$ c o s $

ISB atanD

c

RSB asinD

d

:

:

θ π

θ

≤ −

≤

4

1

( ) ( )ρ ρ2 1r

r

r

rQ Q=

( ) ( ) ( )[ ]r r rE Q E Q n E Q nr

r

i

r

i

r= − + ⋅2 $ $

( ) ( ) ( )( )r rE P E Q

s se

r r

r

r r

r r r r

j k s r=+ +

−ρ ρ

ρ ρ1 2

1 2

( ) ( ) ( )r rE P E Q

d

d ser r

r r

j k sr

=+

−


GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. Et EN 3DEt EN 3D

•Campo total: ( )( )

( ) ( )U s

U s

U s U s

resto

z

t

z

i

ISB RSB

z

i

z

r

RSB,

,

, ,θθ θ θ θ

θ θ θ θ=

≤ ≤

+ ≤

0

mÉtodos geom Étricos de alta frecuencia · 2010. 4. 22. · propagación, radiación y...

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