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Sociedad Mexicana de

Ingeniería Geotécnica, A.C.

XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos

e Ingeniería Geotécnica Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C..

Método para la generación de mallas tridimensionales a partir de información topográfica

Method for the generation of tridimensional meshes from topographic information.

Daniel H. PALENCIA, Eduardo BOTERO , Miguel P. ROMO, Cristino OROPEZA y Saúl PONCE

Instituto de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México

RESUMEN: Se presenta un método para agilizar la generación de mallas tridimensionales de terrenos para análisis de elemento finito o de diferencias finitas, a partir del cual se pueden reproducir con gran detalle las características geométricas de los terrenos a estudiar. El proceso de discretización del área se basa en el trazado en un programa de dibujo CAD de la superficie del terreno mediante elementos triangulares tridimensionales a partir de curvas de nivel y, mediante un algoritmo fácilmente automatizable, se generan todos los elementos tridimensionales por debajo de la superficie. Es posible mediante este algoritmo trazar con mayor detalle las áreas que requieran más atención o posean una forma más intrincada y generar elementos más grandes en las áreas que requieran menos atención con el fin de aligerar la carga de procesamiento del modelo. También se puede alterar la densidad de la malla en dirección de la profundidad para que los elementos más pequeños, que brindan más detalle, estén en la superficie y en el fondo se encuentren elementos más grandes.

ABSTRACT: A method for speeding up the generation of tridimensional meshes of terrains for finite element or finite difference analysis, from which the geometric features of the study terrain can be reproduced with great detail. The process of surface drawing is based in plotting the terrain’s surface with tridimensional triangular elements from the contour lines in a CAD drawing software and, with an easily atomatable algorithm the tridimensional elements beneath the surface are generated. It is possible with this algorithm to draw with more detail the areas that require more attention or that possess a more capricious shape that is wanted to be reproduced and to generate elements much more bigger elements in the areas that require less attention to lighten the processing load of the model. The mesh density in direction of the deepness can be altered in order to make the smaller elements that bring more detail, to be in the surface and bigger elements to be in the bottom.

1 INTRODUCCIÓN

Una de las actividades que consumen más tiempo y recursos humanos al momento de trabajar con modelos de elemento finito, diferencias finitas y otros sistemas basados en la discretización de los modelos en elementos volumétricos, es la modelación geométrica de dichos elementos a través del espacio tridimensional. Es necesario utilizar métodos que agilicen la definición de la malla sin que éstos aumenten el riesgo de pérdida de similitud geométrica entre el modelo digital de elementos finitos realizado y la geometría real del proyecto a modelar.

Cuando se hacen análisis numéricos modelando topografías reales, es necesario llegar a un nivel de detalle suficiente como para descartar o al menos disminuir errores debidos a las simplificaciones geométricas inherentes al paso de la información topográfica a partir del terreno original con diversos niveles de exactitud dependiendo de la técnica

utilizada (p.e. imágenes satelitales,aéreas, levantamientos con teodolito, etcétera), la digitalización de la información y, finalmente, la transformación de la información recaudada en un modelo tridimensional que represente a la topografía real de la manera más fiel posible.

El método propuesto de discretización de terrenos pretende ser un primer acercamiento a una generación automatizada modelos de elemento finito, diferencias finitas, elemento discreto o similares.

El procedimiento consiste en la discretización de la superficie del terreno en triángulos que serán posteriormente utilizados como guías para su extrusión hacia el interior del modelo en dirección de la cota negativa.

2 Método para la generación de mallas tridimensionales a partir de información topográfica

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2 REQUERIMIENTOS DEL MÉTODO Y PREPROCESO DE LA INFORMACIÓN

La información topográfica que es necesaria para poder generar la malla del modelo invariablemente debe tener ciertas características . Para la generación de curvas de nivel a partir de archivos de nubes de puntos es posible usar Surfer (Golden Software Inc, 2012), de Golden Software, o algún paquete informático similar. Hoy en día (año 2012) es posible, mediante el software Rhinoceros 3D (Robert McNeel & Associates, 2012) y Google Earth (Google Inc, 2012), la obtención de información topográfica en forma de nubes de puntos a partir de información satelital.

Mediante Rhinoceros 3D, combinado con Google Earth, se pueden obtener nubes de puntos tridimensionales a partir de la base de datos de imágenes satelitales que posee Google. Estos archivos de nubes de puntos pueden procesarse posteriormente con Surfer para poder obtener las curvas de nivel necesarias para la utilización del método presente. Existen otros métodos más exactos que consisten en procesa directamente las imágenes satelitales para obtener los datos topográficos, pero su explicación a detalle queda fuera de los alcances de este artículo.

La definición de la superficie del terreno debe estar dada por curvas de nivel que estén separadas a un intervalo de cotas constante. Esto es necesario ya que los elementos son generados en capas a lo largo de las cotas con un grosor zΔ constante.

También es recomendable suavizar las curvas de nivel para que posean el nivel de detalle final que se le quiera dar al modelo para facilitar su posterior manipulación.

No es necesario que las curvas de nivel sean cerradas, pero sí es recomendado el cortarlas en los límites de lo que será el modelo dentro de la información topográfica para poder así llegar más fácilmente a un modelo con paredes planas bien definidas.

En la Figura 1 se puede observar un ejemplo sencillo de la representación de un montículo mediante curvas de nivel. Se puede notar que todas las curvas son cerradas y que la curva de cota 0 coincide con los límites del modelo, estas dos características son específicas del modelo de ejemplo y no son necesarias para generar uno. Los límites del modelo no deben ser necesariamente una curva de nivel cerrada y, cómo en la mayoría de los casos prácticos que se pudieron encontrar, pueden ser definidos por curvas de nivel de distintas cotas cortadas por el límite del modelo.

También en el modelo de la Figura 1, se tomó cómo cúspide del montículo un punto, que equivale a una curva de nivel con longitud 0, pero con ubicación definida en el espacio.

3 TRAZADO DE LA SUPERFICIE

Una vez definido el diferencial de profundidad zΔ que se usará a lo largo del modelo, se puede

continuar con el trazo de los elementos triangulares superficiales. A partir de zΔ y del trazo de los elementos se definirán todas las características posteriores del modelo.

Se trazan elementos tridimensionales triangulares cuyos vértices estarán siempre colocados a lo largo de las curvas de nivel. Dichos triángulos deberán estar contenidos en un intervalo de cotas igual a 0 ó a zΔ , Así, ningún triángulo estará involucrado en más de dos cotas z .

Figura 1. Representación esquemática de la definición de un montículo mediante curvas de nivel.

Para el correcto funcionamiento de los métodos

de elemento finito usuales, es necesario que todos los vértices de los elementos constitutivos del modelo se conecten directamente con los vértices de sus elementos vecinos. Es importante prestar atención a no conectar vértices de elementos con aristas de otros y a que los vértices que deban coincidir realmente lo hagan, ya que, al trabajar en

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software CAD en la computadora, muchas veces la pantalla muestra dos vértices como coincidentes, mientras que, en realidad, si se accede a las características de los elementos que deben ser colindantes, están muy cerca, más no coinciden.

Aunque es común que existan funciones en los paquetes computacionales de análisis de esta clase de mallas en las que se corrigen este tipo de errores, lo ideal es evitarlos desde un inicio. Funciones cómo la osnap en AutoCAD (Autodesk Inc., 2012) y similares son útiles para solucionar y disminuir la ocurrencia de esos problemas.

En la Figura 2 se pude observar el mismo terreno de la Figura 1, esta vez representado por triángulos tridimensionales, en este caso son 84. Se puede notar que todos los triángulos de este ejemplo están conectados a dos curvas de nivel de dos maneras distintas, una en la que dos de sus vértices están arriba y uno abajo y otra en la que dos de sus vértices están abajo y el otro arriba. Hay un tercer caso, en el que las cotas de los tres vértices de un elemento triangular son iguales. En el siguiente apartado se explorarán las implicaciones de la pertenencia de cierto elemento a alguno de los tres casos antes descritos.

Figura 2. Definición de un montículo mediante triángulos tridimensionales.

Si se observa en detalle, es notorio que se ha perdido algo de la suavidad que originalmente tenían las curvas de nivel elípticas. Para obtener algo más de detalle, simplemente se define la superficie usando triángulos más pequeños, sin perder de vista el objetivo de equilibrar una definición detallada del terreno con una cantidad mínima de elementos.

4 GENERACIÓN DE LOS ELEMENTOS VOLUMÉTRICOS

A continuación, se procede a extruir los elementos volumétricos de los que constará el modelo a partir de los elementos triangulares que componen su superficie.

4.1 Convención de nomenclatura de vértices Antes de continuar se define en la Figura 3 una convención de ordenamiento tridimensional de los puntos que componen los distintos elementos volumétricos usados en este método de mallado.

Cómo se puede ver, los vértices superficiales de los distintos elementos son llamados 1z , 2z y 3z , mientras que los vértices auxiliares son nombrados con 'z .

Figura 3. Convención de nomenclaturas de los vértices de los elementos volumétricos a utilizar.



4.2 Ecuaciones de generación de elementos volumétricos Por debajo de cada triángulo superficial se definirá una columna de elementos volumétricos que será generado a partir de las coordenadas inferiores de su elemento inmediatamente superior.

Los elementos inmediatamente debajo de la superficie pueden ser de tres tipos, Prismas, Pirámides cuadrangulares o tetraedros, dependiendo de sus coordenadas.

Los valores de sus coordenadas inferiores estarán definidos por la siguiente ecuación:

zzz ii Δ−=' (1)

Para definir qué tipo de elemento superior se generará, se usan las siguientes condiciones:

− Prisma triangular - Si todas sus coordenadas

tienen la misma cota ( 321 zzz == ). − Pirámide cuadrangular - Si dos de sus

coordenadas tienen una cota igual entre ellas ( 21 zz = ) y superior a la tercera ( 31 zz > ). En este caso:

33' zz = (2)

− Tetraedro - Si dos de sus coordenadas tienen

una cota igual entre ellas 31 zz = e inferior a la tercera 21 zz < . Para este caso:

11' zz = (3)

33' zz = (4)

Después de haber generado el primer elemento

(i), se utilizan sus coordenadas inferiores para definir el siguiente (j), que siempre será un prisma triangular:

ij zz '= (5)

Posteriormente, se utiliza la ecuación (1) para obtener las 'z .

El proceso debe continuarse hasta llegar a la profundidad deseada.

En la Figura 4 se puede ver esquemáticamente representado el proceso anteriormente descrito. Cómo se mencionó anteriormente, se puede notar que los elementos que se generarán debajo de los elementos superficiales serán siempre prismas triangulares.

Figura 4. Esquema de la generación de las columnas de elementos volumétricos.

Finalmente, en la Figura 5 se puede observar el

modelo de ejemplo definido hasta la cota -200 ya completado, compuesto por 528 elementos volumétricos.

Figura 5. Modelo de ejemplo ya definido por elementos volumétricos a partir de los triángulos superficiales antes trazados.

5 VARIACIÓN DEL DIFERENCIAL DE PROFUNDIDAD

Si se desea variar el diferencial de profundidad zΔ en un mismo modelo, será necesario tomar en

cuenta que, aunque puede modificarse a lo largo de la profundidad, en lo que respecta a su variación en las direcciones horizontales, éste no podrá transformarse.

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Una manera sencilla de disminuir el número total de elementos de un modelo sin afectar su exactitud geométrica es generar el modelo con un zΔ constante hasta llegar a la profundidad menor que tenga la superficie, y a partir de ahí se puede variar el diferencial de profundidad en cada paso sin tener mayor problema.

Si se va a variar el diferencial de profundidad en el intervalo de cotas en el que intervienen las curvas de nivel, se debe recordar que, aunque un triángulo fue definido originalmente con un zΔ , al momento de llegar el proceso de la construcción de su columna inferior de prismas triangulares a una región de profundidades en la que se ha decidido variar el zΔ , también debe variar en su caso.

6 EFICIENCIA DEL MÉTODO

En la Figura 6 imagen se puede apreciar la aplicación del método sobre una superficie de terreno muy abrupta y compleja que la utilizada como ejemplo en las imágenes anteriores.

Figura 6. Comparación entre la superficie de un terreno y el mismo terreno compuesto por elementos volumétricos.

Para la generación de este modelo se trazaron

manualmente los triángulos de la superficie, lo que parece una tarea tediosa y tardada.

En efecto, no fue algo instantáneo de realizar, pero, analizando la cantidad final de elementos que contiene el modelo, podemos observar que se generó una cantidad de elementos volumétricos casi

18 veces mayor a la cantidad original de elementos triangulares, lo que demuestra la viabilidad de un método cómo este, aun cuando no esté totalmente automatizado.

7 OTROS DESARROLLOS POSIBLES

El método desarrollado a lo largo de la presente publicación puede ser fácilmente adaptado a coordenadas polares, para el modelado de partículas. En este caso se trazarían de la misma forma los triángulos, para luego generar los elementos volumétricos desde la superficie hasta un centro de la partícula a modelar, variando en este caso el radio, en vez de la cota.

Otra manera en la que se podría utilizar es adaptándolo para que, en vez de seguir el camino de alguno de los ejes coordenados, se siguiera una dirección en el espacio, definida por un vector director. En este caso se complicarían un poco más las ecuaciones que generarían los elementos volumétricos

8 CONCLUSIONES

A lo largo de la presente publicación se presentó un método de mallado que, apoyándose en herramientas de dibujo computarizado (CAD), necesita solo de restas para poder multiplicar la cantidad de elementos trazados mediante CAD.

Si se automatizan todos sus pasos, incluyendo el de la discretización de la superficie definida por curvas de nivel mediante triángulos, es posible obtener modelos de elemento finito y similares de una manera veloz y sin perder los detalles principales del modelo.

Si solamente se automatiza la generación de los elementos posterior a un trazo manual de los elementos superficiales se genera de cualquier forma un ahorro de trabajo. Cómo ya se vio en apartados anteriores, la diferencia entre el número de elementos triangulares trazados y los elementos volumétricos generados es, al menos de un orden de magnitud para modelos típicos.

Finalmente, es importante recalcar que uno de los puntos débiles de los programas de elemento finito y diferencias finitas es el preproceso de los datos, referente a la creación de las mallas. Los generadores comerciales son sencillos y limitados. Este tipo de desarrollos permiten lograr un mayor grado de detalle y abordar problemas de geometrías complejas.

Es importante involucrar a las nuevas generaciones como parte activa de los desarrollos tecnológicos. Además de su entusiasmo, traen ideas frescas y novedosas. De los cinco autores, tres son estudiantes de licenciatura de la Facultad de Ingeniería de la UNAM.



REFERENCIAS

Autodesk Inc., AutoCAD - Software de diseño CAD en 2D y 3D – Autodesk, Autodesk, Obtenido en Julio de 2012 de http://mexico.autodesk.com/adsk/servlet/pc/index?id=14611544&siteID=1002155

Golden Software Inc., Surfer 11, Golden Software, Obtenido en Julio de 2012, de http://www.goldensoftware.com/products/surfer/surfes.shtml

Google Inc., Google Earth, Google, Obtenido en Julio de 2012 de http://www.google.es/intl/es/earth/index.html

Robert McNeel & Associates, Modeling tolos for designers, Rhinoceros - NURBS Modeling for Windows, Obtenido en Julio de 2012 de http://www.rhino3d.com/

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