1

Măsurarea impedanţelor

Reprezentări

• forma carteziană:• forma polară:

unde:

• caracteristici ale impedanţelor:– natura, dată de semnul componentei imaginare:

X > 0 natură inductivă, X < 0 natură capacitivă, X = 0 natură rezistivă ; în general, o piesă dată are predominant natura de un fel sau altul (de ex, este un condensator) dar are și o mică valoare parazită pt elemente de altă natură (rezistență parazită, inductanță parazită).

– modelul: serie sau paralel ; este doar un model matematic, o formă de reprezentare, nu are neapărat legătură cu realitatea fizică

jZ R X= +j ZZ Z eϕ=

2 2Z R X= +

Z arctgX

Rϕ =

1

2

2

Modele• Modelul serie: se preferă reprezentarea impedanței Z:

• Modelul paralel: se preferă reprezentarea admitanței Y:

• Rezistența R: ohm [Ω ]• Conductanța G=1/R: ohm-1 notat și mho (mai rar, Siemens [S] )• X=reactanța, B=1/X=susceptanța

Foarte important: modelul este o formă matematică de reprezentare, ca și în alte domenii ale fizicii; se elaborează un model care să se comporte la fel ca obiectul real; de ex. dpdv al studiului masei – practic, etalonarea unui cîntar, un obiect de 1Kg de formă cubică este un model care corespunde la fel de bine unei legături de legume (de formă mult mai complexă) avînd aceeași masă.În cazul nostru, un grup serie sau paralel reprezintă modele care se comportă la fel într-un circuit fizic, ca și componenta pe care o modelăm, chiar dacă componenta respectivă are o structură diferită, mai complexă (de exemplu, e formată din mai mult de un R și mai mult de un C)

j1j YY G B Y e

Z

ϕ= = + =

jZ R X= + R sjXs

R p

jXp

Modele

• Unde am mai întîlnit modele pînă acum?• De exemplu, la canalul Y al osciloscopului• Am echivalat structura complexă a canalului Y, format dintr-un

mare număr de componente (inclusiv circuite integrate care pot avea milioane de componente interne) cu un model R,C paralelformat dintr-un simplu circuit R și C – doar 2 componente

• Evident structura foarte complexă a canalului Y este necesară pt a îndeplini funcția (a amplifica semnalul și a-l pregăti ptafișarea pe verticală)

• Dar dpdv al impedanței de intrare, această funcție este nerelevantă; ne interesa un model, doar pt a vedea cum se comportă acest etaj cînd este cuplat la alte etaje, cum are efect de filtru FTJ, cum trebuie compensat (relația RaCa=RiCi) etc

R p

jXp

3

4

3

Conversii între modele

• Ambele modele s/p (serie sau paralel) “modelează” la fel de corect impedanţa; nu putem spune că „un model e mai corect decît celălalt”→ valoarea Z este aceeaşi deci scriem Y=1/Z

pt paralel, respectiv serie serie Yp= Ys

• separînd real și imaginar, obținem relaţiile de echivalenţă:

• Concluzie: cunoscînd elementele unui model (s/p) se pot determina elementele celuilalt model (p/s)

p p s s

1 1 1

j jR X R X+ =

+

s s

2 2

p p s s

1 1 jj

R X

R X R X

−− =

+

2 2

s sp

s

R XR

R

+=

2 2

s sp

s

R XX

X

+=

R sjXs

R p

jXp

Factorul de calitate

• Pe baza puterilor activă/reactivă disipate în impedanţă definim:

• Q mare: efect predominant reactiv (inductiv/capacitiv); o componentă ideală are Q infinit pt că are rezistența (parazită) 0 și deci nu se disipă putere activă (rezistivă) în ea. În practică, Q mare înseamnă rez. parazită cît mai mică.

• Q mic: efect predominant rezistiv (pierderi mari). O bobină cu Q mic, de exemplu, are rezistența sîrmei R preponderentă față de reactanța X=ωL

• Reciproc: definim factorul de pierderi:

• sau: unghiul de pierderi:

r

a

PQ

P=

1arctg arctg D

Qδ = =

1D

Q=

5

6

4

Factorul de calitate (cont’d)

• Modelul serie: curentul I prin Rs şi Xs este acelaşi:

• Modelul paralel: U la bornele Rp şi Xp este aceeaşi:

R sjXs

2

r s

1

2P X I=

s

s

s

XQ

R=

2

a s

1

2P R I=

R p

jXp

2

r

p

1

2

UP

X=

p

p

p

RQ

X=

2

a

p

1

2

UP

R=

Factorul de calitate (cont’d)

La bobine:X=ωL QS= ωL/R QP=R/ ωL

La condensatoare:X= 1/ ωC QS = 1/ ωCR QP = ωCR

s

s

s

XQ

R=

p

p

p

RQ

X=

7

8

5

Factorul de calitate (cont’d)

OBS: Dpdv practic întotdeauna Q e mai mare la condensatoare decît la bobine. Q uzuale la cond. sînt de ordinul zecilor sau chiar sutelor. Condensatoarele stiroflex (din fig.) au Q cele mai mari(dar capacitate mică raportată la dimensiuni)

La condensatoare, rezistența de izolație a dielectricului dintre plăci nu este infinită, dar e f. mare a.î. Q să fie mare.

La bobine însă, cele fără miez au Q de ordinul unităților, iar cele mici chiar subunitar, din cauză că sîrma foarte subțire are rez. mare. Doar la bobinele cu miez (cu L mare) se pot obține Q de ordinul zecilor, iar Q>100 la bobine e extrem de greu (și scump) de obținut (construcții speciale, sîrmă din argint, etc)

Factorul de calitate (cont’d)

• Relaţia Qs ↔ Qp ?• Rescriem relaţiile de echivalenţă:

• Obs că Rp/Xp = Xs/Rs

→ Qp = Qs

• Q: rezultat aşteptat ?• A: este vorba de 2 modele diferite ale aceleiaşi componente,

deci e normal să ne dea aceeași valoare Q.• Q este o mărime cu semnificaţie fizică (vezi. def), nu poate să

ne dea Q diferit așa cum nu poate să ne dea masa diferită cîndcîntărim prin 2 metode diferite !

• Qs = Qp = Q (putem renunța la indice).

2 2

s sp

s

R XR

R

+=

2 2

s sp

s

R XX

X

+=

9

10

6

Conversii între modele (revisited)

• relaţiile de echivalenţă:

• pe baza def. Q înlocuim și obținem relațiile de legătură:

Unde X = ωL la bobină sau X=1/ωC la condensator. Acestea sînt cele mai importante relații dpdv practic și ne permit să calculăm valorile unui model în funcție de celălalt (știind Q). Dintre toate formulele prezentate, acestea sînt cele pe care le folosiți efectiv cînd e vorba de modele s/p !

2 2

s sp

s

R XR

R

+=

2 2

s sp

s

R XX

X

+=

( )2

p s

p s 2

1

11

R R Q

X XQ

= +

= +

Conversii – cazuri particulare• pt. Q mare (suficient Q > 10) înlocuim în rel. precedente și

aproximăm 1/Q2 ≈0, 1+Q2 ≈ Q2

→ se conservă reactanţa X între modele; corespunde cazului așteptat de utilizator: un condensator de 10nF are 10nF indiferent că e model serie sau paralel! (nu scrie pe corpul său ce model s-a folosit tocmai pt că nu contează! )

• pt Q mic:

→ se conservă rezistenţa R între modele; nu corespunde, de obicei, componentelor fizice (uzuale), cu unele excepții la bobinele cu Q mic.

2

p s

p s

R R Q

X X

≅

≅

2

p s

sp

R R

XX

Q

≅

≅

11

12

7

Modele (revisited)• Modelul s/p poate fi fizic sau echivalent

• Modelul fizic: valorile R, X corespund unor mărimi fizice realeEx: bobină reală = bobină ideală + rezistenţa sîrmei

Xs corespunde ωL, Rs corespunde rez. sîrmeiZ = Rs+jωL

• Avantaj folosire model fizic:valorile numerice corespund valorilor aşteptateEx: Rs= rezistenţa sîrmei = rezistenţă mică ceea ce corespunde relațiilor de legătură precedente,

din care se obs. că Rp este mare și RS este mic.

R sjXs

2

p s

p s

R R Q

X X

≅

≅

Modele (cont’d)• Modelul echivalent: nu corespunde unor mărimi fizice reale

Ex. Bobină reală modelată prin:

scriem admitanța Y=1/Z = 1/Rp –j/ωL• Q: De ce se foloseşte acest model ?• A:

– structura fizică nu e întotdeauna cunoscută la unele componente (“cutie neagră”)

– modelul echivalent “modelează” la fel de bine componenta fizică

• Dezavantaj: valorile numerice nu corespund valorilor fizice aşteptate (dacă acestea se cunosc). De ex. din relațiile precedente, se obține un Rp care e mult mai mare decît. rezistența unei sîrme

R p

jXp

13

14

8

Modele (cont’d)• Ex: folosirea modelului echivalent (paralel) la bobină:

calc. Rp = Rs(1 + Q2) pe baza Rs şi Q reale• Rs (fizic) mic – rezistenţa sîrmei• Q mare → Rp (echivalent) mare → nu corespunde cu

realitatea• (realitatea = măsurarea rezistenţei bobinei la ohmetru,

care ne va da ohmi... sute de ohmi)Observaţii: • modelul e în continuare corect matematic• unele impedanţe (combinaţii multiple serie-paralel) nu corespund

unui anumit model fizic simplu s sau p → oricare model e la fel de bun

R p

jXp

Modele (cont’d)• Puntea automată de măsură

din laborator, numită și LCR-metru, permite măsurarea componentelor după oricare model

• din meniul CIRCUIT se poate selecta modelul SERIE sau PARALEL

• oricare model va da un rezultat corect

• tipul componentei se alege din meniul MODE. Poate fi L/Q, C/D sau R/Q. Deci nu se poate afișa direct C și Q, dar se poate afișa D și se va calcula manual Q=1/D

• atenție că dacă alegeți L cîndmăsurați un C sau invers, veți primi valori negative !

15

16

9

Impedanţe parazite

• apar pe lîngă impedanţa “reală” necunoscută• nu sînt constante – depind de forma, poziţia şi modul de

conectare al impedanţei în circuit• ex: apropierea mîinii operatorului, strîngerea unor borne

cu şurub etc.

Clasificare:• impedanţe parazite mici:

– model: serie cu impedanţa necunoscută– uzual: rezistenţe de contact, rezistenţele terminalelor,

rezistenţele cablurilor de măsura

• impedanţe parazite mari:– model: paralel cu impedanța necunoscută– uzual: rezistenţe de izolaţie, de scurgere, de pierderi, capacităţi

parazite

Impedanţe paraziteCîteva observații cu aspect practic, ingineresc• am spus că pt o componentă nu contează dpdv al corectitudinii

matematice dacă alegem modelul s sau p• dar contează dpdv al corespondenței fizice dc. alegem

modelul greșit obținem, ca în exemplul anterior, rezistență mare în cazul sîrmei ceea ce nu are sens fizic.

• De aceea, în cazul modelării impedanțelor parazite este important să se aleagă modelul corect, pt că tb. să aibă semnificație fizică !

• dacă alegeți incorect, o sa obțineți, de exemplu, rezistența de contact de KiloOhmi în loc de << 1 ohm ceea ce nu are nici un sens și ar fi greșit!

• Ca ingineri tb. să înțelegeți atît semnificația fizică, cît și ordinul de mărime al acestor mărimi parazite ! Aceasta pt că, după cum se va vedea, eliminarea efectului acestor impedanțe parazite se face, foarte important, ținînd seama de dimensiunea lor !

17

18

10

Măsurarea impedanţelor mici• Zx / Rx mici: • impedanţele parazite mici (serie) nu sînt neglijabile• putem neglija impedanţele parazite mari (paralel)

• Aplicaţie: măsurarea indirectă a R prin injectare de curent

• Ix = I căci Rv →∞ deci aproape că nu trece curent prin voltmetru• Rx = Ux /Ix

Măsurarea impedanţelor mici (cont’d)• Rx mică

• schema reală include r1, r2 rezistenţele terminalelor + contactelor

• doar două borne de conectare la Rx → nu se pot separa; userulvede o rezistență totală r1+Rx+r2

→ Ux = Ix(r1+Rx+r2)Q: Să se calculeze eroarea sistematică comisă la această

măsurătoare

19

20

11

Măsurarea impedanţelor mici (cont’d)A: ε=(Rmăs-R)/R = (r1+Rx+r2-RX) /RX= (r1+r2)/RX

= 2r/RX considerînd că cele 2 rez parazite sînt aprox. egale cu r

OBS: eroarea scade pe măsură ce RX crește

ceea ce era de așteptat: rezistențele parazite sînt mici și afectează măsurarea rezistențelor tot mici. Dacă RX=1MΩ, o rez. parazită de un Ω nu va conta decît de 10-6 ori !

Iată deci că e esențial să știm că rez. parazite serie sînt mici !

Conexiunea cuadripolară (4T)

• Vrem să eliminăm efectul rez parazite r . Idee: separarea celor 2 borne de curent de cele 2 borne de tensiune (voltmetrul)

• venim la RX cu 2+2 =4 fire separate nu cu 2 ca pînă acum• Regulă: punem în evidenţă rezistenţa de contact/rezistenţa

terminalului în serie cu fiecare bornă care ne conectează la Rx(include toate impedanţele parazite serie din acel punct)

• Contacte ascuţite: contacte “cuţit” (lord Kelvin)• Redesenaţi schema cu cele 4 rezistenţe !

21

22

12

Conexiunea cuadripolară (4T) (cont’d)

A: 4 borne de conectare la RX config. cuadripolară sau 4T

• Idea eliminării efectelor ri : punerea ri în serie cu alte impedanţemai mari decît ele a.î. să devină neglijabile

• r1,2 << RV r1,2 serie RV

• r3,4 << Rsursă curent r3,4 serie Rsursă curent

• căderea de tensiune pe r3,4 există dar nu intervine (nu există voltmetru acolo)→ Ux = RxIx eroare sistematică: 0

Conexiunea cuadripolară (4T) (cont’d)

Concluzii:• cele 4 rez parazite ri există încă în circuit• deci nu au fost eliminate, ascunse• ideea a fost să le facem să nu mai conteze, pornind de la faptul

că sînt de valori mici

• valorile mici devin neglijabile în serie cu valori mari

• deci am identificat alte rez. mari (rez. voltmetrului și a sursei de curent) care existau deja în circuit și am făcut ca ri să ajungă în serie cu acestea și efectul lor să fie eliminat.

• pe schema inițială cu numai 2 rez parazite ri, ele veneau în serie cu RX care e tot mică; o val. mică în serie cu altă val. mică nu mai e neglijabilă !

23

24

13

Aplicaţie: punte de măsură 4T• vezi puntea din laborator• în c.a. → LCR-metru (măs. Zx)• 4 borne notate astfel:

– Hc = High Current– Hp = High Potential (Voltage)– Lp = Low Potential (Voltage)– Lc = Low Current

• Hc, Lc injectează curent în Zx

• Hp, Lp măsoară tensiunea pe Zx

• Schema de detaliu : va fi studiată în curs IEM an 3

• în c.c. elimină ef. rserie ale firelor de măsură, contacte

• în c.a. elimină şi ef. inductanţei

firelor de măsură (o inductanță mică L produce o reactanță ωL mică, deci același principiu)

xZ E V

A

cH

pH

pL

cL

Pe această schemă se obs că:- 2 dintre imped. parazite sînt în serie

cu voltmetrul de imped. mare nu contează

- celelalte 2 sînt în serie cu A și E; ele nu contează căci curentul e măsurat corect de A, indiferent de cît e Ztotal

Măsurarea impedanţelor mari• cazul Zx / Rx mari: • impedanţele parazite mari în paralel pe RX nu se pot neglija• se pot neglija impedanţele parazite mici (serie)

• RS || Rx între bornele A,B; indicele „s” = rez. de scurgere, numite și rez. de izolație

• RS = zeci...sute MΩ ... GΩ

• Q: să se calculeze eroarea sistematică la măsurarea Rx

• A: ε=(Rmăs-R)/R = (Rmăs||Rx – RX )/RX

se calc. și se obs. că eroarea crește pe măsură ce crește RX adică invers față de cazul precedent.

A BR x

R s

25

26

14

Măsurarea impedanţelor mari (cont’d)

• Soluţie: inel de gardă în jurul unei borne• Efect: Rs divizat în RsA+RsB

• pînă aici nimic nou; RsA+RsB în continuare || Rx

• 3 borne (A,B,G) → configuraţie tripolară (3T)

B

GR sA

R sB

A R x

Conexiunea tripolară (3T)

• memento: idee 4T:“punerea rcontact în serie cu alte impedanţe mari a.î. să devină

neglijabile”

• noua idee 3T: punerea RsA,B în paralel cu alte impedanţe mici a.î. să devină

neglijabile

B

GR sA

R sB

A R x

27

28

15

Conexiunea tripolară (3T) (cont’d)• Aplicaţie: măsurarea Rx (mari)• Borna G se leagă la masă face ca RSA,B să apară în || pe

imped. mai mici: RSA || sursa E, RSB || ampermetrul A

↔

• Rx << RsA,B → IA,B << Ix → I2 ≈ Ix• U2 ≈ 0 (Rampermetru ≈ 0) → E=Ux+U2 ≈ Ux

• Rx= -U1/I2 = -E/I2

• RsA || Rsursă tensiune dar RsA >> Rsursă tensiune

• RsB || Rampermetru dar RsB >> Rampermetru

→ efect RsA,B neglijabil prin punerea în || pe impedanţe mici

B

GR sA

R sB

A R x

Aplicaţie: punte de măsură 3T• rez. RS de pe schema

precedentă în c.a. este înlocuit de imped. Zs= capacitatea parazită Cp (de val. mică); capacitățile parazite în general se pun în paralel căci o cap. mică imped. mare

• Cp apare în || pe 2 puncte de potenţial egal (2 borne de masă) → efectul acestuia este eliminat

• fără ecran → Cp || Zx → nu mai e neglijabil la Zx mari

• deci ecranarea în c.a. are același efect ca garda în c.c.Efectul e ușor diferit dar rezultatul e același.

xZ E V

A

• Q: se văd 2 borne, unde e a 3-a ?• A: ecranul cablului coaxial ! sînt 2 ecrane,

dar fiind legate împreună la masă, a 3-a bornă comună e masa !

• În acest caz, garda din schema precedentă e înlocuită de ecranul cablurilor coaxiale

CP

29

30

16

Aplicaţie: punte de măsură 5T• Extinderea/combinarea celor 2 scheme precedente: 4+3 = 5 ???• Evident nu, dar.... 4T+3T = 5T (pentapolar)

• 4 cabluri ecranate, cele 4 ecrane comune formează a 5-a bornă = 5T– faptul că avem 4 cabluri e la fel cu principiul 4T prezentat anterior– faptul că sînt ecranate e la fel cu principiul 3T

• config. 4T măsoară precis imped. mici, config. 3T măsoară precis imped. mari, deci config. 5T măsoară precis toate impedanțele.

• folosirea mufelor BNC „trădează” faptul că sînt cabluri coaxiale (ecranate) căci o astfel de mufă are automat 2 borne: centrală și exterioară (ecran)

Aplicaţie: punte de măsură 5T• În laborator: puntea de măsură automată LCR-819• Folosește config. 5T (4 cabluri ecranate) sub forma unui adaptor de măsură

care se conectează la cele 4 mufe BNC (de cablu coaxial)

• două cîte două conexiuni se unesc la capătul dinspre ZX pe cîte un crocodil special, izolat, a.î. cele 2 „fălci” ale crocodililor se ating doar pe terminalul ZX

31

32

17

Măsurarea impedanţelor prin metoda punţii echilibrate(balanced bridge)

Cuprins:A. în c.c. → puntea WheatstoneB. în c.a. :

→ 8 tipuri de punţi bazate pe puntea Wheatstone→ punţi cu transformator

C. punţi active

De ce punţi ?

• puntea – cea mai sensibilă metodă de măsură• egalitatea Rx=Re (sau Zx=Ze) se determină la echilibrul punţii• rezoluţia = abilitatea de a detecta tensiuni de dezechilibru

oricît de mici• aplicaţii:

– punţi de măsură pentru R,L,C cu echilibrare manuală şi automată– senzori şi traductoare: multe aplicații de măsurare a forței, greutății

etc se bazează pe punți tensometrice în care unul sau 2 elemente sînt tenso-senzori: elemente a căror rezistență e sensibilă la forța mecanică. Acești senzori se pun în config. de punte pt. sensibilitate maximă.

33

34

18

A. Puntea Wheatstone de c.c.

• Principiul punţii echilibrate: U12 = Ud = 0 (d=dezechilibru)• Voltmetrul: indicator de nul; scopul e să ajustăm elementele

reglabile ale punții pînă cînd aducem acul voltmetrului la 0• remember galvanometrul magnetoelectric cu 0 la mijloc?

aceasta este o aplicație a sa!• Relaţia de echilibru: U1=U2 → R1R3 = R2R4

• Demonstraţie !

R4

R3 R2

R1

V, RV

E

Rg

[1] [2]

[4]

[3]

Rg → 0

RV → ∞

Puntea Wheatstone (cont’d)dem: divizoare: V[1]=ER2/(R1+R2), V[2]=ER3/(R4+R3)la echilibru Ud=V[1]-V[2]=0 egalăm și obținem rel. precedentă

R4= R1R3/R2

• notăm R4=R4x=Rx rez. necunoscută• putem nota şi: R3 = Re (etalon; reglaj precis, cu min. 2

zecimale, de obicei potențiometru multitură)•

(reglajul scării) →

• 10+/-n reglaj decadic → schimbă scara de măsură• Re reglaj continuu → valoarea în cadrul scării• Rotim reglajele disponibile pînă obținem 0 pe voltmetruQ: la echilibru, selectorul de scări e pe poziția „2” iar etalonul e pe poziția 0.473. Să se determine RX

A: RX = 102 ∙0.473 Ω = 47.3Ω

1

2

10nR

R

±=10 n

x eR R

±=

35

36

19

Puntea Wheatstone (cont’d)

• Aplicaţie 1: puntea Wheatstone în configuraţie 3T

a) să se calculeze eroarea sistematică dacă borna G rămîne în aer

b) să se determine modul optim de conectare al bornei GSe dau R1= 100K R2=10K R3=1MΩ Rs1,Rs2=100MΩ

Puntea Wheatstone (cont’d)• Aplicaţie 1: puntea Wheatstone în configuraţie 3T

Indicații: cînd G neconectat, R4 se înlocuiește cu R4’ = R4|| (Rs1+Rs2). Se calculează eroarea

ε=(R4’-R4)/R4

cînd G e conectat la A, se obs că R1’’ devine R1|| RS1 iar RS2 vine în || pe instrument, care e echipotențial la echilibru, deci RS2 nu contează. Se calculează val. R1’’ . Se calculează noul R4’’ = R1’’R3/R2 și vechiul R4=R1R3/R2 . Eroarea este ε=(R4’’-R4)/R4

cînd G e conectat la B, se obs că R3’’’ devine R3|| RS2 iar RS2 vine în || pe sursa de tensiune care fiind de imped. mică, RS1 nu mai contează. Se calc. val R3’’’ și noul R4’’’ = R1R3’’’ /R2. Eroarea este ε=(R4’’’-R4)/R4 în care se înlocuiesc R4 și R4’’’

37

38

20

Puntea Wheatstone (cont’d)

• Aplicaţie 2: puntea Wheatstone în configuraţie 4T

a) să se argumenteze poziţia şi efectul rezistenţelor de contactb) să se calculeze eroarea sistematică în conexiune 2Tc) să se calculeze eroarea sistematică în conexiune 4TSe dau: R1=100 Ω R2=1K R3=10Ω r1..r4= 0.1 Ω

Puntea Wheatstone (cont’d)• Aplicaţie 2: puntea Wheatstone în configuraţie 4T

Indicații:în cazul 2T R4’ = R4+r1+r2 = R4+2r, se calculează clasic eroarea față de R4

în cazul 4T, se obs că cele 4 rez r intervin astfel:- r1 și r3 nu contează fiind respectiv în serie cu sursa și instrumentul- R1’’ = R1 + r- R3’’ = R3 + rse calc R4’’=R1’’R3’’/R2 cu cele 2 val. R1’’și R3’’ precedente și se calc. eroarea față de R4=R1R3/R2

39

40

21

Bibliografie obligatorie

Materialul de curs unificat:http://ham.elcom.pub.ro/metc/doc.htm capitolul 4

• introducere, Q, relații echivalență: pag 1-4• măs. rez. mici, mari: pag 20-23

41