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Capitulo 2 de modelamientoTRANSCRIPT
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METODOS NUMERICOSMETODOS NUMERICOS
SISTEMAS DE ECUACIONESSISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRAICAS NO LINEALESALGEBRAICAS NO LINEALES
M.S. MIGUELM.S. MIGUEL
ANGEL CARDENASANGEL CARDENAS
MALAGAMALAGA
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INTRODUCCIONINTRODUCCION
más difícil de resolver que lossistemas lineales– múltiples raíces
– dificultad de establecer buenos puntosiniciales
Antes de intentar resolver :reducir el número de ecuacionesdespejando una o más incógnitas yreemplazándolas en las otras ecuacionesen las otras ecuaciones
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METODO DE NEWTONMETODO DE NEWTON
SIS!"A A #!S$%&!#
'()*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1',)*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1
'-)*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1
'n)*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1
SIS!"A 2! !34A3I$5!S A%6!7#AI3AS 5$ %I5!A%!S
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SE OBTIENE UN SISTEMA LINEALSE OBTIENE UN SISTEMA LINEAL
( )n3211n
n
13
3
12
2
11
1
1 x,...x,x,xFhx
F.....h
x
Fh
x
Fh
x
F−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
( )n3212n
n
23
3
22
2
21
1
2 x,...x,x,xFhxF.....h
xFh
xFh
xF −=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
( )n3213nn
3
33
3
22
3
11
3
x,...x,x,xFhx
F
.....hx
F
hx
F
hx
F−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
( )n321nn
n
n3
3
n2
2
n1
1
n x,...x,x,xFh
x
F.....h
x
Fh
x
Fh
x
F−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
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h :h :
diferencia entre dosdiferencia entre dos
aproximaciones consecutivas deaproximaciones consecutivas de
una variableuna variable
h1 = x1(i+1) –x1(i) h2 = x2(i+1) –x2(i)
h3 = x3(i+1) –x3(i)
hn = xn(i+1) –xn(i)
!SAS !89#!SI$5!S SI#&!5
9A#A A34A%IA# &A%$#!S 2! 8
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EN FORMA MATRICIALEN FORMA MATRICIAL
( )n32111n
1
3
1
2
1
1
1 x,...x,x,xF h xF....
xF
xF
xF −
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
( )n32122
n
2
3
2
2
2
1
2 x,...x,x,xF h
x
F....
x
F
x
F
x
F −=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
( )n321nnn
n
3
n
2
n
1
n x,...x,x,xF h xF....
xF
xF
xF −
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
( )n32133
n
3
3
3
2
3
1
3x,...x,x,xF h
x
F....
x
F
x
F
x
F −
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
A% #!S$%&!# S! $7I!5!5 &A%$#!S 2! %AS ;
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ALGORITMO ALGORITMO
Asumir valores de xAsumir valores de x11, x, x22, x, x33,x,xnn
!ormular el sistema matricial de!ormular el sistema matricial deecuacionesecuaciones
"esolver el sistema matricial de"esolver el sistema matricial deecuaciones para hallar hecuaciones para hallar h11, h, h22, h, h33,h,hnn
Actuali#ar los valores de xActuali#ar los valores de x11, x, x22,,
xx33,x,xnn
"epetir hasta satisfacer criterios de"epetir hasta satisfacer criterios deconver$enciaconver$encia
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CONVERGENCIACONVERGENCIA
% & '% & '
2n
23
22
21 h....hhhD +++=
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METODO DE NEWTONMETODO DE NEWTON
MULTIVARIABLEMULTIVARIABLE
SIS!"A A #!S$%&!#
'()*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1
',)*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1
'-)*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1
'n)*(+ *,+ *-+...*n/ 0 1
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Aplicar la formula recursiva e Aplicar la formula recursiva e
Ne!"o# Rap$so# a caa fu#ci%#Ne!"o# Rap$so# a caa fu#ci%#
11
)i(n)i(3)i(2)i(11
)i(1)1i(1xF
x,...x,x,x(Fxx
∂∂+=+
22
)i(n)i(3)i(2)1i(12
)i(2)1i(2xF
x,...x,x,x(Fxx
∂∂+= +
+
33
)i(n)i(3)1i(2)1i(13
)i(3)1i(3
xF
x,...x,x,x(Fxx
∂∂
+= ++
+
n3
)i(n)1i(3)1i(2)1i(1n
)i(n)1i(n
xF
x,...x,x,x(Fxx
∂∂
+= +++
+
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CONVERGENCIACONVERGENCIA
% & '% & '
2n
23
22
21 h....hhhD +++=
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&UNTO FI'O MULTIVARIABLE&UNTO FI'O MULTIVARIABLE
xx11 =$=$11(x(x11, x, x22 ,x,x33,x,xnn))xx22 = $= $22(x(x11, x, x22,x,x33,x,xnn))
xx33 =$=$33(x(x11, x, x22, x, x33,x,xnn))
xxnn = $= $nn(x(x11, x, x22, x, x33,x,xnn))
2espejar una variable decada función
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Asumir valores iniciales para xAsumir valores iniciales para x11, x, x22,,xx33 *x*xnn
alcular xalcular x11(i+1), x(i+1), x22(i+1)etc(i+1)etc
tili#ar como criterio de conver$enciatili#ar como criterio de conver$encia
% & '% & '
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E'EM&LO(E'EM&LO(