mp2 mathematiques annales d’oral ann ees 2006-2007...
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MP2
MATHEMATIQUES
ANNALES D’ORAL
Annees 2006-2007-2008-2009-2010
Mai-Juin 2011 Sylvie Massonnet 1
1. http ://perso.orange.fr/Sylvie.Massonnet
1
Table des matieres
1 INTRODUCTION 3
2 ANALYSE 42.1 CCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 CENTRALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 TPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 MINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5 DIVERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 ALGEBRE 493.1 CCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 CENTRALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3 TPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4 MINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.5 DIVERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 GEOMETRIE 894.1 CCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 CENTRALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3 TPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.4 MINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 QUESTIONS DE COURS 93
6 CORRIGES 94
2
1 MP2 ORAL DE MATHEMATIQUES 2010-2011
Deroulement des epreuves
CCP, CENTRALE, TPE
20 a 30 mn de preparation et 30 mn de passage au tableau. Ces durees peuvent etre reduites. Plusieurs exercicesportant sur deux sujets (algebre/analyse) ou (geometrie/analyse) sont abordes. Certains exercices sont donnes endirect au tableau. Frequentes questions de cours, en rapport ou non avec l’exercice.
Aux CCP, bareme souvent detaille (8+12)
A Centrale, Maple a disposition dans la salle pour l’une des epreuves. Usage : calculs d’integrales ; de deriveespartielles, simulation numerique, diagonalisation, etc
ENSEA
Environ 10 mn de preparation au tableau puis 20 a 30 mn de passage ou deux exercices de 15 mn chacun.
INT
Pas de preparation. 30 a 35 mn au tableau.
MINES
1 h d’oral au tableau. Parfois 10 mn de preparation au tableau ou sur feuille.
Les examinateurs
Lire les remarques des fiches d’oral pour mesurer la diversite des attitudes. Il faut savoir s’adapter. Etablir lecontact et le dialogue. Parler distinctement. Regarder l’examinateur. Organiser les calculs. Presenter les idees. Citerles connaissances mises en oeuvre avec precision par exemple les theoremes. Ne pas se demonter a la moindre questionou remarque. Bannir les mouvements d’humeur. Ne pas jouer la montre.
Il ne s’agit pas tant de resoudre les exercices poses que d’ etre actif et reactif en proposant des idees et enmontrant ses connaissances.
Suivre la preparation a l’oral.
⋆ Pour reviser les contenus, methodes et exercices classiques, et developper les capacites de re-cherche.
⋆⋆ Pour travailler sur la forme, le dialogue, l’adaptation a une situation.
Les exercices d’une meme planche sont archives separement. Les fiches envoyees par les etudiants des anneesanterieures vous donnent des exemples de regroupements.
Site : http ://perso.orange.fr/Sylvie.Massonnet
Certains corriges d’exercices et les rectificatifs eventuels d’enonces seront sur le site apres la fin des cours.
3
2 ANALYSE
2.1 Concours communs polytechniques
Annee 2010
CCP 1 8 points
a- Soit une suite (an)n∈N une suite bornee telle que∑an diverge. Quel est le rayon de convergence de
∑anz
n
b- Calculer le rayon de convergence de cos(nπ2 )zn
CCP 2 8 pointsSoient (an)n∈N et (bn)n∈N deux suites complexes .
a- Montrer que si |an| ∼ |bn| alors∑n>0
anzn et
∑n>0
bnzn ont le meme rayon de convergence.
b- Calculer le rayon de convergence de∑n>0
n2
n2+1zn
CCP 3 8 points∑n>1
(−1)nSnxn avec Sn =
n∑k=1
1k
a- Rayon de convergence ?
b- Somme ?
CCP 4
1- Soit vn = (−1)n
na ou a ∈ R. Nature de∑vn ?
2- Soit un = 1lnn+(−1)nna
a- (un)n est-elle alternee ?
b- Comportement de∑
(un − vn) ?
c- En deduire le comportement de∑un ?
CCP 5 8 points
a- Developpement en serie entiere de x 7→ arctanx
b- Montrer que la somme de cette serie entiere est continue sur [0, 1]
c- Calculer+∞∑n=0
(−1)n
2n+1
CCP 6 12 points Soit f : x 7→+∞∑n=1
1n2 arctan(nx)
a- Montrer que f est continue sur R et C1 sur R∗
4
b- Calculer le rayon de convergence et la somme de+∞∑n=0
cosh(n)x3n+1
CCP 7 8 points
a- Integrabilite de x 7→ ln x1+x2 sur ]0,+∞[
b- Integrabilite de x 7→ e−x√x−1
sur ]1,+∞[
CCP 8 Soit t ∈ [0, π4 ]. Integrale curviligne le long de la courbe (γ)(cos t−→i + sin t
−→j + t
−→k de
−→V (x, y, z) = (z + y)
−→i + (x+
z)−→j + (x+ y)
−→k
a- Calcul direct
b- Calcul en introduisant une fonction scalaire U(x, y, z)
CCP 9Soit f de [a, b] dans K de classe C1 avec 0 < a < 1 < b telle que f(1) = 0. On definit fn(x) = f(x)
1+xn
a- In =∫abfn(x)dx Calculer la limite de In quand n tend vers +∞.
b- Montrer que∫ 1
axnfn(x)dx ∼+∞
f(1) ln 2n
CCP 10Calculer
∫ ∫D
(xy − 1)dxdy avec D = (x, y) ∈ R2, x > 0, y > 0, x+ y − 1 6 0
CCP 11 12 points f(x) =∫ 2x
xe−t2dt
1- Etudier f et donner un equivalent de f en +∞2- Developper f en serie entiere au voisinage de 0
3- Calculer I =∫ +∞0
f(x)dx
CCP 12 8 points. Deux fois Soit la suite de fonctions (fn)n definie par : fn(x) = cos( nn+1x)
a- Convergence simple
b- Convergence uniforme sur [−a, a] avec a > 0
c- Montrer qu’il n’y a pas CV uniforme sur R
CCP 13Soit
∑x e−nx
nα avec x ∈ [0, 1] et α ∈ Ra- Convergence simple de cette serie de fonctions ?
b- Convergence normale ?
c- Convergence uniforme ?
CCP 14 12 pointsSoit r ∈]0, 1[ et f(x) = rn cos(nx)
5
a- Montrer que∑fn converge normalement. calculer sa somme S
b- Montrer que∫ x
0sin(t2)dt a une limite notee I
c- Montrer que 1−r2
1+r2−2r cos(x) = 1 + 2+∞∑n=1
rn cos(nx)
d- En deduire∫ 2π
0cos(nx)
1+r2−2r cos(x)dx
CCP 15 8 points. Deux fois Soit la suite de fonctions (fn)n definie par : fn(x) = cos( nn+1x)
a- Convergence simple
b- Convergence uniforme sur [−a, a] avec a > 0
c- Montrer qu’il n’y a pas CV uniforme sur R
Annee 2009
CCP 16 8 points
a- Montrer que si (un)n∈N et (vn)n∈N sont deux suites positives telles que un ∼ vn alors∑un et
∑vn ont meme
nature.
b- En deduire la convergence absolue de la serie de terme general un =(1+i) sin( 1
n )√n
CCP 17 8 pointsRayon de convergence de
a-∑nαzn
b-∑
cos( 2nπ3 )zn
CCP 18 8 pointsy′ + 2x
x2−1y = xResoudre sur ]1,+∞[
CCP 19 8 pointsResoudre y′ − x
x2−1y = 2x sur ]1,+∞[
CCP 20an(θ) = cos(nθ)
a- Lorsque c’est possible calculer+∞∑n=0
cos(nθ)
b- Si θ = 0(2π) montrer que la suite (an(θ))n n’a pas de limite
c- Calculer le rayon de convergence R de∑an(θ)xn et lim
x→R−
+∞∑n=0
cos(nθ)xn
CCP 21 un(x) = (1)ne−x√
n
n F (x) =+∞∑n=1
un(x)
a- Domaine de definition de F et continuite ?
6
b- Derivabilite de F ?
c- Limite de F en +∞ ?
CCP 22Exercice 8 points
a- Soient une suite d’applications (fn)n et une application f definies sur A verifiant :∃(αn)n suite de limite nulletelle que
∀x ∈ A, |fn(x) − f(x)| 6 αn
Montrer que (fn)n converge uniformement vers f .
b- La suite de fonctions complexes (z 7→ zn)n converge-t-elle uniformement sur D(0, 12 ) ? Sur D(0, 1)
CCP 23 12 points Soit α > 0. pour tout n > 0, un =(
1.3.....(2n−1)2.4.....(2n)
)α
a- ∀k > 2, vk = ln(1 − 12k ) − 1
2 ln(1 − 1k ). Montrer que
∑vk converge
b- Montrer que ∀n ∈ N, ln(un) = α[n∑
k=2
vk − ln(2) − 12 ln(n)]
c- CNS sur α pour que∑un converge.
CCP 24
a- Resoudre x(1 − x)y′′ − xy′ + y = 0
b- Trouver les fonctions continues sur [0, 1] telles que∫ x
1−xf(t)t dt = f(x)
CCP 25 12 pointsf paire telle que pour x ∈ [0, π], f(x) =
√x
a- Representer f . Calculer la serie de Fourier de f ( Calcul de a0, laisser an sous forme integrale)
b- Montrer que∫ x
0sin(t2)dt a une limite notee I
c- Trouver A tel que an ∼ A
n32
d- En deduire la convergence de la serie de Fourier de f . A-ton f = S ? ( S somme de la s de Fourier)
CCP 26 8 points. Deux fois Soit la suite de fonctions (fn)n definie par : fn(x) = cos( nn+1x)
a- Convergence simple
b- Convergence uniforme sur [−a, a] avec a > 0
c- Montrer qu’il n’y a pas CV uniforme sur R
CCP 27 8 points
a- Montrer que ∀n ∈ N, t 7→ 11+t2+tne−t est integrable sur [0,+∞[
b- On pose un =∫ +∞0
dt1+t2+tne−t . Calculer la limite de un quand n tend vers +∞
CCP 28 12 points
f(x) =∫ x
0e−t2dt, g(x) =
∫ π4
0e−
x2
cos2 θ dθ
7
1- Montrer que f2 + g = cste
2- Calcul de∫∞0e−t2dt
3- Pour x ∈ R, h(x) =∫ +∞?
0e−θ2− x2
cos2 θ dθ Sachant que h′(x) = −2h(x) sur R∗+. Trouver une expression simple de
h(x) sur R∗+ puis sur R
Annee 2008
CCP 29
un =1
n(lnn)α
a- Montrer que si α 6 0 la serie de terme general un diverge
b- Lorsque α > 0 etudier la convergence de la serie
CCP 30 8 points. 2 fois
1- Soit (fn)n∈N une suite d’applications continues convergeant uniformement vers f sur [a, b]. Montrer que∫ b
afn(x)dx
converge vers∫ b
af(x)dx
2- Montrer que∫ 1
2
0
+∞∑n=0
xndx =+∞∑n=0
1(n+1)2n+1
CCP 31 2 fois
1- Enoncer le theoreme de derivabilite de l’integrale a parametres.
2- Montrer que f : x 7→∫ +∞0
e−t2 cos(tx)dt est C1 sur R3- Trouver une equation differentielle verifiee par f et la resoudre.
CCP 32 8 points. Exercice de cours
f(x) =1
−x2 + x+ 2
a. Developpement en serie entiere de f au voisinage de 0.
b. Developpement limite de f en 0 a l’ordre 3. Justifier le lien entre DSE et DVL
CCP 33 8 points
1- Montrer que ∀z ∈ C,∑
zn
n! est absolument convergente. On pose f(z) =+∞∑n=0
zn
n! .
2- Montrer que ∀(z, z′) ∈ C2, f(z + z′) = f(z).f(z′)
3- En deduire que ∀z ∈ C, f(z) = 0 et f(−z) = 1f(z)
CCP 34 8 points
f(x, y) =
0 si (x, y) = (0, 0)
xy√(x2+y2)
sinon
8
a- Montrer que f est continue sur R2
b- Montrer que f admet des derivees partielles en tout point de R2. Dire si f est C1
CCP 35 Pour X ∈ R+, C(X) = (x, y) ∈ (R+)2, x2 + y2 < X2.
F (X) =∫X
0e−t2dt
a- Montrer que∫ ∫
C(X)e−(x2+y2)dxdy 6 (F (X))2 6
∫ ∫C(X
√2)e−(x2+y2)dxdy
b- En deduire∫ +∞0
e−t2dt
CCP 36 8 pointsCalculer
limn→+∞
∫ +∞
0
dt
1 + t2 + tne−t
CCP 37
Γ(x) =
∫ +∞
0
tx−1e−tdt
a- Domaine de definition de Γ
b- Calculer In,p(x) =∫ n
0tx−1(1 − t
n )pdt
c- Justifier que (1 − tn )n etnd vers e−t et en deduire Γ(x) =
CCP 38 12 points
Montrer que∫ 1
0dt
1+t4 =+∞∑k=0
(−1)k
4k+1
CCP 39f(x, y) = x2y + ln(1 + y2)
1- Verifier que le theoreme des fonctions implicites ne s’applique pas a l’origine
2- Soit Γ = (x, y)/ f(x, y) = 0. Montrer que tout point proche de l’origine est l’intersection de l’axe des abscisseset d’une courbe dont on precisera la tangente a l’origine
3- Combien existe-t-il de fonctions y 7→ g(y) telles que le graphe de g soit inclus dans Γ ?
4- Determiner les extrema locaux de f .
CCP 40 12 pointsOn definit f 2π periodique et paire par ∀x ∈ [0, π], f(x) = x2.
1- Type de convergence de la serie de Fourier ?
2- Calcul des coefficients
3- Calcul de+∞∑n=1
(−1)n
n2 puis+∞∑n=1
1n2
CCP 41 12 pointsSoit la suite de fonctions fn(x) = n2x(x− 1)n + arcsin(x− 1) definie de [0, 2] dans R
9
a- Domaine de convergence simple ?
b- Y-a-t-il convergence uniforme sur [α, 2 − α] ? Sur [0, 1] ?
CCP 42 12 pointsSoit f ∈ C0([0, T ],R)
a- Montrer que
∀t ∈ [0, T ],
∫ t
0
f(u)du = limx→+∞
+∞∑k=1
(−1)k−1
k!
∫ T
0
ekx(t−u)f(u)du
b- Soit g telle que ∀n ∈ N,∫ T
0enug(u)du = 0. Montrer que g est nulle.
CCP 4312 ptsOn note ℓ1 = (an)n∈N/
∑|an| converge
a- Soit∑anx
n de rayon de convergence R. A-t-on (an)n∈N ∈ ℓ1 ?
b- Soit f : x 7→ 1(2−x)(3−x) A-t-on ( f(n)(0)
n! )n∈N ∈ ℓ1 ?
c- Soit ℓ2 = (an)n∈N/∑
|an|2 converge . A-t-on ℓ1 ⊂ ℓ2 ?
CCP 44
(E) xy′ + 2y =1
1 + x
1- Trouver les solutions de (E) sur ]0,+∞[ qui admettent une limite finie en 0.
2- Trouver les solutions de (E) developpables en serie entiere au voisinage de 0.
Annee 2007
CCP 45Developpement en serie entiere au voisinage de 0 de f(x) = ex. cosx
CCP 46fn(x) = xn + xn−1 + . . .+ x− 1 definie sur R+
a. Montrer qu’il existe an tel que fn(an) = 0
b. Montrer que an+1n = 2an − 1 et en deduire la limite de an
c. Limite et equivalent en +∞ de 2nann
CCP 47(E) xy” + y′ + xy = 0
a. Montrer l’exitence d’une solution DSE telle que f(0) = 1
b. Comparer f avec g : x 7→ 1π
∫ π
0cos(x cos t)dt et en deduire
∫ π
0(cos(t))2ndt
CCP 48 12 points On considere la serie de fonctions∑
xe−nx
nα
10
a. Etudier sa convergence simple
b. Etudier la convergence uniforme selon α
c. Etudier la convergence normale selon α
CCP 49 2 points Soit f definie sur (R+)2
f(x, t) =e−tx2
1 + x2
a. Montrer que x 7→ f(x, t) est integrable sur R+. On pose
F (t) =
∫ +∞
0
f(x, t)dx
b. Montrer que F est C0 sur R+ et C1 sur R∗+
c. Exprimer f en utilisant la fonction θ(t) = 2√t
∫ t
0e−v2
dv
CCP 50 8 points
a. Demontrer la formule de Leibniz
b. Calculer la derivee n-ieme de f(x) = e2x
1+x
CCP 51 8 points
a. Montrer que ∀n, t 7→ 11+t2+tne−t est integrable sur [0,+∞[
b. un =∫ +∞0
11+t2+tne−t dt Calculer la limite de (un)n.
CCP 52 12 points
f(x) =
∫ +∞
0
e−xt sin t
tdt
a. Montrer que f est definie sur [0,+∞[ et calculer limx→+∞
f(x)
b. Montrer que f est continue et derivable sur ]0,+∞[
c. Calculer f ′(x) et en deduire f(x)
d. En admettant que f est continue en 0 calculer
I =
∫ +∞
0
sin t
tdt
CCP 53Soit la suite de fonctions un(x) =
(x cos( x
n ))n
a. Montrer que ∀x ∈ [−1, 1], limn→+∞
(cos( x
n ))n
= 1
b. Etudier la convergence simple de la suite (un)n∈N sur ] − 1, 1] et montrer que cette suite ne convege pas uni-formement.
c. Montrer que (un)n est decroissantea partir d’un certain rang.
11
CCP 54Pour n ∈ N∗ \ 1, 2 on pose In = [1 − 1
n , 1[.
a. Soit p ∈ R. integrabilite de x 7→ (ln x)p√1+x2
sur In en fonction de p
b. Meme question pour x 7→ | ln x|p√1+xp
c. Etudier la serie de terme general un =∫In
|(ln x|p√1+x2
dx
CCP 55 12 points
1. Soient f et g continues positives sur [α,+∞[telles que f(t) ∼t→+∞ g(t)
Montrer que si f est integrable alors g aussi et∫ +∞
x
f(t)dt ∼x→+∞
∫ +∞
x
g(t)dt
2. Soit (a, b, c, d) ∈ R4 avec a > 0. Montrer que pour n assez grand,∫ +∞n
1at2+bt+cdt existe. Nature de la serie de terme general un = d
n +∫ +∞n
1at2+bt+cdt
CCP 56
a. Montrer que la convergence normale implique la convergence uniforme
b. Montrer que la serie de fonctions∑n>0
n2
n! zn converge uniformement sur tout disque de rayon r > 0
CCP 57
f(x) =1
1 − 2λ cos(x) + λ2, avec |λ| < 1
a. Trouver une relation entre les coefficients de Fourier an(f) de la forme αan+2 + βan+1 + γan = 0
b. En deduire que f est developpable en serie de Fourier et preciser le type de convergence.
CCP 58 Soit f : X −→ C
1. Soit f : X −→ C et (fn)n∈N avec fn : X −→ C.
On suppose qu’il existe (αn)n ∈ (R)N telle que limn→+∞
αn = 0 et
∀x ∈ X, |f(x) − fn(x)| 6 αn
Montrer que (fn)n∈N converge uniformement sur X
2. Est-ce que (zn)n converge uniformement sur D(0, 12 ? Sur D(0, 1) ?
CCP 59 8 points
f(x, y) =√
1 − x2 − y2
a. Etude des extrema par methode analytique
b. Idem par methode geometrique
12
CCP 60 12 points
Montrer que∫ 1
0ln t. ln(1 − t)dt = 2 − π2
6 . ( On pourra utiliser+∞∑n=1
1n2 = π2
6 )
CCP 61Soit u une application de classe Ck sur R.
Lu : Ck(R) → Ck−1(R)y 7→ Lu(y) = y′ + uy
a. Montrer que Lu est lineaire
b. Soit une equation differentielle de la forme
y” + a(x)y′ + b(x)y
Conditions sur a et b pour qu’elle puisse s’ecrire (Lu Lu)(y) = 0
c. Resoudrey′′ + 2 tanhxy′ + y = 0
Annee 2006
CCP 62 12 points
Soit (an)n∈N une suite reelle positive decroissante convergeant vers 0.
On definit pour x ∈ [0, 1], un(x) = anxn(1 − x).
Etudier les differents types de convergences de la serie de fonctions de terme general un.
CCP 63
(E)xy” + 3y′ − 4x.3y = 0
a. Montrer qu’il y a une unique serie entiere solution telle que f(0) = 1.
b. Exprimer f a l’aide de fonctions usuelles.
CCP 64 8 points.
Resoudre sur ]1,+∞[, l’equation differentielle suivante :
y′ − x
x2 − 1y = 2x
CCP 65 12 points
Soit α ∈ R. pour n > 1 on definit
un =1
n∑k=1
kα
Etudier la nature de la serie de terme general un selon α.
13
CCP 66 8 points. Exercice de cours
a. Si an ∼ bn est-ce que les series de terme generaux correspondants ont meme nature ?
b. Nature de la serie de terme general (1 + i).√n+ 2. sin( 1
n2 )
CCP 67 12 points
∀x > 0, ∀n ∈ N, un(x) =(−1)n
n!(n+ x)
a. Etudier la convergence simple puis la convergence normale de∑un.
b. Montrer que la somme S est continue puis C1 sur R∗+.
En deduire les variations de S.
c. Trouver une relation entre S(x+ 1) et S(x).
d. Trouver un equivalent de S en 0 et en +∞
CCP 68 Exercice regroupe avec le suivant =12 pointsSoit λ > 0 et
fn : R → Rx 7→ x
1+λn.x2
a. Discuter la convergence simple ( suite ou serie :a voir )de fonctions selon λ
b. Etudier la convergence uniforme sur R
CCP 69
gn(x) =ln(1 + 2n.x2)
2n+1, et G(x) =
∑n>0
gn(x)
Domaine de definition, de continuite et de derivabilite de G ?
CCP 70 8 points. CoursSoit une serie entiere
∑n>0
anzn de rayon R > 0.
a. Montrer que la serie converge uniformement sur B(0, r) pour r < R.
b. Montrer que la somme est continue sur la boule ouverte B(0, R).
CCP 71 8 points
Resoudre y” − y = tanhx
CCP 72Montrer en utilisant la formule de Stirling que
limn→+∞
n∏k=1
(2k − 1)(2k + 1)
(2k)2=
2
π
14
CCP 73 Enonce faux
un(x) = ln(1 +x2
n(x2 + 1))
Montrer que la serie de fonctions de terme general un converge uniformement sur R.
CCP 74 12 points
un(x) =(−1)n
nα.xn
a. Etude de la convergence simple.
b. Montrer que la somme est continue sur le domaine de convergence simple.
CCP 75 8 points. Cours avec resultats a demontrer
a. Etude de∑zn
b. Etude de∑e−x2n
CCP 76 12 points
un = (−1)n∫ π/2
0
(cosx)n dx
a. Etablir la convergence de la serie de terme general un.
b. Calculer sa somme.
CCP 77 12 pointsMontrer que ∫ 1
0
exp(−t ln t) dt =+∞∑n=1
1
nn
CCP 78 12 pointsSoit
S(x) =
+∞∑n=1
1
nx
a. Montrer que S est de classe C∞ sur son domaine de definition.
b. Montrer que S a une limite quand x tend vers +∞.
c. Montrer que S(x) ∼1+1
x−1
CCP 79 Soit f : R→ R, 2π− periodique telle que
∀x ∈]0, 2π[, f(x) = (2π − x).x et f(0) = π
Etudier la convergence de la serie de Fourier de f et calculer cette serie.
15
CCP 80 12 pointsSoit g impaire, 2π− periodique telle que
∀x ∈ [0, π[, g(x) = x2 et g(π) = 0
a. Nature de la serie de Fourier de g
b. Calcul des coefficients de Fourier.
c. Calcul de∑n=0
+∞ (−1)n
(2n+1)3 ( avec∑n=0
+∞ (−1)n
2n+1 = π4 donne)
CCP 81
f(x) =1
λ2 − 2λ cos(x) + 1
a. Trouver une relation de recurrence entre les coefficients trigonometriques de f .
b. En deduire leur expression.
c. Resultats de convergence de la serie de Fourier de f ?
CCP 82 8 points
(E)∂2z
∂x2− ∂2z
∂y2=
1
x2Φ(x
y)
a. Montrer que (E) admet des solutions de la forme z(x, y) = f( yx ).
b. Donner l’ensemble des solutions de (E).
CCP 83 8 points
f(x, y) =xy√x2 + y2
, f(0, 0) = 0
a. Montrer que f est continue sur R2.
b. Montrer que f admet des derivees partielles en tout point.
CCP 84 8 points
f(x, y) =√
9 − x2 − y2
a. Par les methodes du cours, etudier les maxima locaux de f sur son domaine de definition.
b. Par une methode geometrique, retrouver les resultats.
CCP 85 12 points
Soit f continue ( + hypoth genre f integrable ) sur R+ et
F (x) =
∫ +∞
0
(sin(xy)
y)2f(y) dy
a. Calculer la limite de F (x)x en +∞
16
b. Montrer que ∫ +∞
0
(sinu
u)2 du =
∫ +∞
0
sinu
udu
c.
G(x) =
∫ +∞
0
(sin t
t)e−2xt dt
Montrer que G est C1. Calculer G et G(0).
2.2 CENTRALE
Annee 2010
CENTRALE 1u0 = u1 = 3
2 et un+1 = 1 +√unun−1
1- Avec Maple calculer les 20 premiers termes de la suite, ainsi que un − un−1 et un+1 − 12 (un + un−1)
2- Etudier la convergence de (un)n
3- Montrer que 0 6 un − un−1 6 1 en utilisant la fonction auxiliaire f(x) = 1 +√x(1 + x) − x
4- Etc ?
CENTRALE 2 2 foisSur ] −∞, 1[, pour = 0, f(x) = x
ln(1−x)
1- Montrer que f admet un DL a tout ordre en 0. Avec Maple calculer les 20 premiers termes du DL
2- Montrer que f est developpable en serie entiere de la forme f(x) =+∞∑n=0
anxn. On admet que ∀n > 1, an > 0
En utilisant g(x) = 1f(x) trouver une relation de recurrence qui relie an a (a0, a1, . . . , an−1)
3- Justifier l’existence de I =∫ 1
01x + 1
ln(1−x)dx
4- Montrer la convergence de∑n>1
an
n et montrer que I =∑n=1
an
n
CENTRALE 3Soit f ∈ C0([a, b],C) ou a < b telle que |
∫ b
af(x)dx| =
∫ b
a|f(x)|dx. Montrer que f est d’argument constant.
CENTRALE 4 Couple avec le precedent
1- Resoudre x3y′′ − 2xy + 3 = 0
2- Existe-t-il une solution definie sur R ?
CENTRALE 5Soit f continue sur [0, 1]
1- limn→+∞
n∫ 1
0xnf(x)dx ?
2- En deduire limn→+∞
∫ 10xnf(x)dx∫ 1
0xnex2dx
3- On pose Fn(x) = 2π∫ x
0
√n sin2n(2πt)dt. Calculer lim
n→+∞Fn(x) avec x ∈]0, 14 [ puis pour x = 1
4 et enfin pour tout
x reel. ( Indication : utiliser In =∫ π
2
0sin2n(t)dt)
17
4- Montrer la convergence de∑n>1
an
n et montrer que I =∑n=1
an
n
CENTRALE 6
1- Montrer que x 7→∫ x
0sin tt dt a une limite finie quand x tend vers +∞. La determiner avec Maple.
2- Soit a > 0. Montrer que x 7→∫ x
acos tt dt a une limite finie quand x tend vers +∞.
3- Resoudre sur ]0,+∞[, y” + y = 1x avec Maple.
4- Les solutions admettent-elles des limites en 0 ? Sont-elles bornees ?
Quelles sont celles qui ont une limite en +∞ ?
5- Question suppl au tableau Soit x 7→∫ +∞0
sin tt+xdt. Montrer que cette fonction existe et qu’elle est solution de
y” + y = 1x .
CENTRALE 7
1- Montrer que∑n>1
ζ(2n)n(2n+1)22n converge. En utilisant Maple donner une valeur approchee de sa limite ℓ et de eℓ+1
2- Soit la serie entiere∑
x2n
2n(2n+1)
a- Calculer son rayon R et sa somme S(x) pour x ∈] −R,R[. Verifier avec Maple
b- CalculerN∑
n=1S( 1
2n )
c- Retrouver les resultats sur ℓ
CENTRALE 8Soit n > 2.
fn :
R+ × R+ → R
(x, t) 7→ tn−1e−xt sinn(x)
1- gn :
R+ → Rx 7→ sinn(x)
xn
. Montrer que gn est integrable sur [0,+∞[
2- Montrer que fn est integrables sur R+ × R+ et trouver une relation entre∫ ∫
R+×R+fn(x, t)dxdt et In =∫ +∞
0gn(x)dx
3- Avec maple calculer I2, . . . , I10
4- Montrer que∫ ∫
R+×R+fn(x, t)dxdt =
∫ +∞0
(∫ +∞0
fn(x, t)dx)dt et trouver un moyen de calculer∫ +∞0
fn(x, t)dt
Annee 2009
CENTRALE 9 Soit (un)n telle que ∀n > 1 un+1 = un + un−1
n+1
1- Avec Maple u0 = u1 = 1 calculer un pour n 6 20. Montrer que le rayon de convergence de∑unx
n est strictementpositif.
2- Trouver l’equation differentielle verifiee par+∞∑n=0
unxn pour x ∈] − R,R[. en deduire R en resolvant l’equation
differentielle avec Maple
3- Etudier la suite |un|n2 ainsi que la serie de meme terme.
CENTRALE 10 Etudier la convergence normale et uniforme de∑un avec un(x) = (−1)nx
(1+x2)n
18
CENTRALE 11 Soit f ∈ C0([0, 1],R). On pose fn : t 7→ tnf(t)
1- Montrer que∑fn converge unformement sur [0, 1] si et seulement si f est derivable en 1 et f(1) = f ′(1) = 0
2- On suppose f C2 sur [0, 1] et f(1) = f ′(1) = 0 et f ′′(1) = 0. Montrer que∑fn converge normalement sur [0, 1]
CENTRALE 12Domaine de def de f(x) =
∫ +∞1
(ln t)x
t(t+1)dt
CENTRALE 13
1- Resoudren∑
k=1
cos(kθ) = 0
2- Soit αn le plus grand des zeros trouves. Etudier limk→+∞
sin(kαk)k ( A verifier)
CENTRALE 14 In =∫ π
2
0cosn(t)dt
1- Etude de la suite (In)n
2- Montrer que ((n+ 1)In+1In)n est constante ( preciser la cste)
3- Equivalent de In ?
4- En deduire∫ +∞0
e−t2dt
CENTRALE 15
1- Montrer qu’il existe une unique fonction f sur R telle que ∀x ∈ [0, π2 ], f(c) = cos(x), ∀x ∈]π2 ], f(x) = 0
et f est paire et 2π- periodique
2- Calculer les coefficients de Fourier de f et indiquer quel type de convergence on a pour la serie de Fourier.
3- Resoudre sur [−π, π],y′′ + y = f
4- CNS sur les coefficients de Fourier de f pour qu’il existe g somme de serie trigonometrique telle que g′′ + ag = favec a fixe ( ...)
Maple utilisable pour coefs de Fourier et eq dif...
CENTRALE 16
1- Soit f continue sur R derivable en 0 et (n, p) ∈ N∗2. calculer limn→0
np∑k=0
f( kn2 )
2- A rechercher...
CENTRALE 17
1- a- Soit f une fonction positive continue sur [a,+∞[ avec a > 0. On suppose que f est integrable sur [a,+∞[.Montrer que xf(x) tend vers 0 quand x tend vers +∞.
b- Montrer que pour une fonction positive continue sur [a,+∞[ la condition xf(x) tend vers 0 quand x tendvers +∞ ne suffit pas pour avoir f integrable.
2- a- Soit f une fonction positive uniformement continue sur [a,+∞[. Montrer que si f est integrable sur [a,+∞[alors f(x) tend vers 0 en +∞.
19
b- Donner un exemple de fonction uniformement continue positive decroissante sur [a,+∞[ non integrable.
CENTRALE 18 Pour x ∈]0,+∞[, fn(x) = xn
(sinh(x))n et un =∫ +∞0
fn(x)dx
1- Existence de (un)n∈N
2- Montrer que (un)n converge et calculer sa limite
3- DSE de 1(1−x)n+1
4- Montrer que fn(x) =∑
2nxn(n+p−1
p
)e−(n+2p)x
5- En deduire un
6- Calculer u1, u2
7- Par decomposition en elements simples calculer u10
CENTRALE 19
1- (E, ∥ ∥) un R- espace vectoriel ( je suppose de dim finie) et F un sev de E. Φ une forme lineaire sur F qui verifie
∀x ∈ F, |Φ(x)| 6 ∥x∥
On se propos de montrer que Φ est prolongeable sur E
a- Soit a ∈ E\F . Montrer que ∀(x, x′) ∈ F 2, Φ(x) − ∥x+ a∥ 6 ∥x′ − a∥ − ϕ(x′).
En deduire qu’il existe λ ∈ R tel que : ∀(x, x′) ∈ F 2, Φ(x) − ∥x+ a∥ 6 ∥λ 6 x′ − a∥ − ϕ(x′)
b- Montrer qu’alors on peut prolonger Φ a F ⊕ V ect(a) en une forme Φ telle que
∀x ∈ F ⊕ V ect(a), |Φ(x)| 6 ∥x∥c- En deduire par recurrence que Φ est prolongeable sur E.
2- On fixe E = Rn. On definit sur Mn(R), |∥A∥| = max∥X∥=1
∥AX∥ = max∥X∥=1=0
∥AX∥∥X∥ . Soir enfin u ∈ E de norme 1. (
On ” confond” colonnes et n-uplets)
a- Montrer qu’il existe un supplementaire de V ect(u) tel que
∀(x, s) ∈ R× S, |x| 6 ∥xu+ s∥
En deduire qu’il existe P ∈ Mn(R) telle que Pu = 0 et |∥A− P∥| = ∥Au∥b- Dans cette question A ∈ GLn(R). Montrer que d(A,Mn(R\GLn(R)) = 1
|∥A−1∥
Annee 2008
CENTRALE 20
S1(x) =+∞∑n=1
1
sinh(nx)
S2(x) =+∞∑n=1
1
(sinh(nx))2
1- Calculer S1(10−2) et S1(10−3) avec Maple a 10−3 pres
2- calculer les equivalents en 0 de S1 et de S2
CENTRALE 21
1- f(x, y) =√x2 + (y − a)2 +
√y2 + (x− a)2 Calcul des extrema de f sur R× R
2- g(x, y, z) = xln(x) + yln(y) + zln(z) Ensemble de definition et calcul des extrema
20
3- x4 + y4 − 2(x− y)2 Calcul des extrema de f sur R× R
CENTRALE 22 Exercice couple avec le suivantResoudre
(1 + x2)y′′ + 2xy′ +1
1 + x2y = 1
Indication : poser x = tan(t)
CENTRALE 23 Exercice couple avec le precedentMontrer que ∫ 1
0
ln(x). ln(1 − x)
xdx =
+∞∑n=1
1
n3
CENTRALE 24 Exercice couple avec le suivantxy′′ + 2xy′ + xy = 0
( verif signe)
1- Trouver les solutions DSE0
2- Resoudre en posant y(x) = φ(x) sin(x)x
CENTRALE 25 Exercice couple avec le precedent
Etudier la onvergence de la serie de terme general un(x) = (∫ 1
0(1 − t)ndt)xn
CENTRALE 26
an =
∫ 1
0
tn√1 − t3
dt
1- Existence des an
2- nature de la serie∑anx
n ?
3- A-t-on an v an+1 ?
4- Trouver un equivalent de an en +∞
CENTRALE 27 Pour n ∈ N∗ on pose un =∫ +∞0
xcoshn(x)dx
1- Justifier l’existence de (un)n∈N∗
2- Etudier la convergence de la suite et preciser eventuellement sa limite.
3- Calculer u2 sous forme de somme de series
4- a- Calculer un pour n ∈ [|2; 20|] a l’aide de Maple.
b- trouver une relation de recurrence entre un et un−2
5- n = 2p et p > 2. On pose Qp =p∏
k=2
2k−12k−2
Calculer Qpu2p −Qp−1u2p−2
6- En deduire que (Qpu2p)p>2 est convergente
21
7- Etudier la nature de∑un
CENTRALE 28 Soit f ∈ C0(R,R), 2π - periodique. on pose
N(f) =1
2π
∫ 2π
0
f2(t)dt et Fn(x) =1
n
∫ n
0
f(t+ x)f(t)dt
1- Limite simple de (Fn)n ?
2- Y-a-t-il convergence uniforme ?
3- Comparer N(f) et ∥f∥∞ ?
CENTRALE 29 Questions independantes
1- (un)n∈N avec u1 = u2 = 1 et un+2 = ln(n+ 1)un+1 + ln(n)un. Que dire du rayon de convergence de∑unx
n
2- Soit (un)n suite reelle a tremes strictement positfs. Pour n ∈ N∗ on ose
αn =1
n2
n∑k=1
k2
uk
a- Montrer que n(n+1)2 6
√n2αn
n∑k=1
uk
b- Montrer que nn∑
k=1
uk
6 2(αn − αn+1 + 1un+1
)
c- En deduire que si∑
1uk
converge alors∑
nn∑
k=1
uk
converge.
CENTRALE 30 Avec des questions de cours concernant les sommations des relations de comparaison0 < a < 1. Soient deux suites (un)n et (vn)n positives telles que
∀n > 1, vn+1 = avn + (1 − a)√un + v2n
1- Calculer les premiers termes de la suite vn dans les cas suivants : un = 1 un = 1n+1 un = 1
(n+1)2
2- On suppoqe que la suite (vn)n converge. Que peut-on dire de la suite (un)n ?
3- Etudier alors la serie de terme general un
4- On suppose que la suite (vn)n diverge. Que dire de∑un ?
CENTRALE 31
f(x) =
∫ +∞
0
arctan(xt)
t(t+ 1)dt
Domaine de definition, continuite, derivabilite, calcul de f ′ limites et equivalents simples de f en 0 et en +∞
CENTRALE 32
1- (E) y′′ + α(t)y′ + β(t)y = 0 avec α et β continues sur un intervalle ouvert I. Monterr que la resolution de (E)revient a celle de (F) y′′ + q(t)y = 0
2- Soit p continue de R dans R∗+ et soit
(G) y′′ + p(t)y = 0
Montrer que si y est solution de (G) alors y s’annule au moins une fois sur R
22
3-(H) y′′ − p(t)y = 0
Montrer que y s’annule au plus une fois sur R. on pourra poser z = yy′′ − p(t)y2
CENTRALE 33
1- (E) y′′+α(t)y′+β(t)y = 0 avec α de classe C1 et β continue sur I. CNS sur a et b pour qu’on ait deux solutionsy1 et y2 tells que y1 n’est pas la fonction nulle et ∀x ∈ I, y2(x) = xy1(x)
2- Trouver alors la solution generale.
3- Application
(a) y′′ + tan(t)y′ + 14 (2 + 3(tan(t))2)y = 0
(b) y′′ + 2ty′ + (t2 + 1)y = te−t2
2
CENTRALE 34Soit (un)n telle que u0 > 0, u1 > 0 et
∀n > 1, un+1 = un +2un−1
n+ 1
1- La suite converge-t-elle ?
2- Montrer que la suite (un
n2 )n>1 converge
3- La suite (un
n )n>1 converge-t-elle ?
CENTRALE 35
∀n ∈ N, un =
∫ a
0
(tan(t))ndt avec a ∈]0,π
2[
1- Limite de un selon a
On pose vn = unxn
2- Nature de∑vn selon x
3- Expression de∑
n vn a l’aide de fonctions usuelles.
CENTRALE 36 Donner trois methodes differentes pour approcher π en precisant l’erreur pour chacune. On pourra utilisqer despolynomes pour une methode geometrique.
CENTRALE 37 Soit (xn)n definie par x0 ∈ R et xn+1 =∫ +∞0
arctan(txn)e−tdt
1- a- Montrer que la suite est bien definie
b- Calculer avec Maple les cinquante premiers termes de la suite. Faire une conjecture.
2- f : x 7→∫ +∞0
arctan(tx)e−tdt. Montrer que f est C3 sur R. Tracer la courbe entre −10 et 10 avec Maple.
3- Etudier la suite (xn)n
4- On choisit x0 > 0
a- Determiner un reel α tel que xαn+1 − xαn converge vers un reel non nul.
b- En deduire un equivalent de xn
23
CENTRALE 38 Soit K un compact d’un espace vectoriel norme et f : K → K continue. Montrer qu’il existe une partie non videG de K telle que f(G) = G
CENTRALE 39 E et F designent deux evn. Soit K un compact et une application continue
f : E ×K → F(λ, x) 7→ y
1- Soit y ∈ F et Ey = λ ∈ E/ ∃x ∈ K; f(λ, x) = y. Montrer que Ey est ferme.
2- On suppose que ∀λ ∈ Ey il existe un unique x tel que f(λ, x) = y. On definit φ qui a λ associe cet x. Montrerque φ est continue.
3- Si K est seulement ferme qu’en est-il des questions precedentes ?
Annee 2007
CENTRALE 40 Soit a ∈]0, 1[. Resoudre dans C0(R,R) et en utilisant le logiciel de calcul formel ( Maple)
f(x) =
∫ ax
0
f(t)dt
CENTRALE 41 Montrer que ∀p ∈ N,∑
np
n! converge en utilisant le logiciel de calcul formel ( Maple) Indication : calcul pourp = 0, 1, 2, 3, . . .
CENTRALE 42 Pour x > 0 on definit :
I(x) =
∫ +∞
0
exp(−√xt2) cos(
t3
3)dt
1. Montrer que I est C1 sur R∗+ et que
I ′(x) = −∫ +∞
0
texp(−√xt2) sin(
t3
3)dt
2. Montrer que I est C2 et solution de
y′′ − 2√xy′ − 1
2√xy
3. On rappelle que∫ +∞0
eu2
du =√π2 .
Montrer que
∫ +∞
0
eu2
u2ndu =
√π
2.
n−1∏k=0
(k +1
2)
4. Equivalent de I(x) en +∞ etc....
CENTRALE 43Determiner le plus petit λ tel que
∀P ∈ Rn(X),
∫R
(P ′(x))2e−x2
2 dx 6 λ
∫R
(P (x))2e−x2
2 dx
24
CENTRALE 44Pn(x) = xn + x− 1
1. Montrer que Pn(x) a une racine > 0 unique. On la note αn
2. Expliciter les αn
3. Calculer la limite de la suite (αn)n. On la note ℓ
4. Trouver un equivalent de αn − ℓ
CENTRALE 45
1. Extrema def : R2 −→ R
(x, y) 7−→ ℜe((x+ iy)10)
2. Soit S un compact de R2. Montrer que supSf = sup
Fr(S)
f
3. Generalisation avec n ∈ Nfn : R2 −→ R
(x, y) 7−→ ℜe((x+ iy)n)
CENTRALE 46 Sn =n∑
k=1
1kα et S =
+∞∑k=1
1kα Etudier la serie de terme general
un = SSn − SSn
Maple a disposition
Annee 2006
CENTRALE 47 On definit (un)n∈N par u0 ∈ R∗+, u1 ∈ R∗
+ et pour n > 0, un+2 = un+1.un. Donner la forme explicite de un.
CENTRALE 48 On definit (un)n∈N par u0, u1 et pour n > 0, un+2 = (n+ 2)un+1 − (n+ 1)un.
a. Calculer u2 etc jusqu’a u10 pour (u0, u1) = (1,−1) puis (u0, u1) = (1,−2) ( maple a disposition)
b. Soit f(z) =∑n>0
unzn. Trouver une equation differentielle verifiee par f .
CENTRALE 49 On definit (un)n>1 par
un =
np∑k=0
1
n+ k
avec p > 1 fixe.
. Montrer que (un)n>1 converge. sa limite est notee ℓ ( On ne demande pas de la calculer)
b. Soit f : R+ → C f de classe C1 et f(0) = 0 et
vn =
np∑k=0
f(1
n+ k)
Montrer que (vn)n>1 converge et donner sa limite en fonction de ℓ
c. f(x) = ln(1 + x). A l’aide des questions precedentes, calculer ℓ.
d. Trouver f continue et f(0) = 0 telle que (vn)n>1 diverge
25
CENTRALE 50Soit E = R[X] et a et b tels que a < b.Soit
Na,b :
E → RP 7→ sup
t∈[a,b]
|P (t)|
a. Montrer que Na,b est une norme sur E .
b. Soit φc : E → RP 7→ φc(P ) = P (c)
Etudier la continuite de φc en fonction de a, b et c.
c. Montrer que Na,b et Na′,b′ sont equivalentes si et seulement si a = a′ et b = b′
CENTRALE 51
N :
R[X] → R
P 7→ supt∈[−1,1]
|P (t)|
a. Montrer que N est une norme.
b. Pour n ∈ N on noteFn = P ∈ R[X]/ deg(P ) 6 n et P unitaire
Montrer qu’il existe an > 0 tel que ∀P ∈ Fn, N(P ) > an
c. Montrer que an tend vers 0 quand n tend vers +∞.
CENTRALE 52
f(c) =
∫ 1
0
1√(1 − t)(1 + xt)
dt
a. Domaine de definition de f ?
b. Montrer que f est C1 sur ce domaine et etudier les variations de f
c. Expression de f a l’aide de fonctions usuelles. ( Indication donnee : poser u =√
1+xt1−t )
d. f est-elle de classe C∞ ?
CENTRALE 53
bp = (−1)p(p!)2
2p.(2p+ 1)!
a. Etablir la convergence de la serie de terme general bp
b. Calculer la somme de cette serie ( Indication : utiliser un : x 7→ xn(1 − x)n)
c. Utiliser Maple pour calculer une valeur approchee de ln 2 a 10−50 pres.
CENTRALE 54Soit f continue et 2 − π periodique de R dans R. Soit n ∈ N∗.
g(x) =
∫ +∞
−∞e−
t2
n2 f(x− t) dt
a. Montrer que g est developpable en serie de Fourier.
b. Calculer les coefficients de Fourier de g
26
CENTRALE 55On definit la suite (an)n avec an =
∫ +∞0
1(cosh t)n dt
a. existence de an et limite eventuelle de la suite (an)n.
b. Rayon de convergence de la serie entiere de variable reelle x :∑
n anxn et expression de sa somme.
c. Trouver une relation de recurrence entre an et an−2. En deduire a2n+1 et a2n
d. Calculer anan−1 et en deduire un equivalent de an quand n tend vers +∞
CENTRALE 56
a > 0, f(x) =
+∞∑n=−∞
1
a2 + (x+ nπ)2
a. Montrer que f est definie et paire.
b. Montrer que f est developpable en serie de Fourier.
c. Calculer avec maple∫ +∞0
cos xa2+x2 dx
d. En deduire les coefficients de Fourier de f .
e. Exprimer f a l’aide de fonctions usuelles.
CENTRALE 57
I =
∫ ∫∆
(x2 − y2) cos(xy)dxdy
∆ = (x, y)/ 2a 6 x+ y 6 4a xy > a2, x 6 y
Poser u = x+ y et v = xy et calculer I par changement de variable.
CENTRALE 58
f(x) =
∫ +∞
0
arctan(xt)
1 + t2dt
a. Domaine de definition de f
b. Montrer que f est C1 et calculer f ′ sur R∗
c. Existence de∫ 1
0ln t1−t2 dt
d. En deduire+∞∑n=0
12n+12 et
+∞∑n=0
1n2
CENTRALE 59
F (x) =
∫ π2
0
(sin t)x. dt
a. Domaine de definition de F ?
b. Montrer que F est C∞
c. Calculer F (n) en fonction de F (n−2), montrer que nF (n).F (n−1) est constant. Equivalent de F (n) ? equivalentde F (x) quand x tend vers +∞ ?
d. Equivalent de F (x) quand x tend vers −1− ?
27
CENTRALE 60C = [0, 1]2 et D = C\(1, 1)
f : D → R
(x, y) 7→ x(1−x)y(1−y)1−xy
a. Montrer que f est prolongeable en une fonction continue sur C ( ?)
b. Existence et valeur du sup de f sur C
CENTRALE 61Soit E un espace prehilbertien reel et N la norme sur E. Soit p un projecteur ( continu ? ) non nul.
a. Montrer que ker p et Imp sont des parties fermees.
b. Montrer que N(p) > 1
c. Quand a-t-on N(p) = 1 ?
d. Montrer que si la serie de fonctions de terme general pn avec pn projecteur orthogonal, converge simplement versp, montrrer que p est un projecteur orthogonal.
e. Trouver une suite de projecteurs orthogonaux pn non nuls convergeant vers 0
2.3 TPE
Annee 2010
TPE 1
1. Soit f positive continue definie sur [0, π] Montrer que limn→+∞
∫ π
0f(t)| sin(nt)|dt = 2
π
∫ π
0f(t)dt
2. Soit f de classe C1 sur [0, π]. Calculer limn→+∞
∫ π
0f(t) sin(nt)dt
TPE 2
1. Soit E l’ensemble des fonctions continues de [0, 1] dans R. C’est un evn , muni de ∥ ∥∞.
Soit λ ∈ R∗ et K[0, 1]2 → R tel que |λ|∥K∥∞ < 1 et soit g ∈ E
On definit (fn)n suite de fonctions par f0 = h et fn+1 = Φ(fn) avec Φ(f) : x 7→ g(x) − λ∫ 1
0K(x, y)f(y)dy
a. Montrer que (fn)n converge
b. En deduire ∃!f ∈ E, ∀x ∈ [0, 1], g(x) = f(x) + λ∫ 1
0K(x, y)f(y)dy
c. Montrer que Φ est continue.
2. Soit f : R → R derivable a derivee bornee tell que f(n) → +∞ quand n ∈ N tend vers +∞. Montrer que f(x)tend vers +∞ quand x tend vers +∞
TPE 3
1. f(x) = 113+12 cos x
a. Calcul de la serie de Fourier etc
b. En deduire In =∫ π
0cos(nt)
13+12 cos tdt
2. Soient a et b deux reels strictement positifs. On definit
x0 = a
xn+1 =√xnyn
et
y0 = b
yn+1 = xn+yn
2
Montrer que ces deux suites convergent vers la meme limite.
28
TPE 4
1. ℓ∞ = (an)n∈N, suite complexe bornee muni de ∥(an)n∈N∥∞ = sup |an|, ℓ1 = (an)n∈N, serie ACV muni
de ∥(an)n∈N∥1 =∞∑
n=0|an| et ℓ0 l’ensemble des suites a support fini.
Trouver l’adherence de ℓ0 dans ℓ∞ puis dans ℓ1
2. I =∫ 1
0cos x√
1+cos x. sin xdx et J =
∫ 1
0sin x√
1+cos x. sin xdx
a- Montrer que I = J
b- Calculer I
TPE 5
1. a- Etude de la serie de Fourier de f definie par ∀t ∈ [0, π], f(t) = t(π − t) f impaire et 2π− periodique.
b- En deduire+∞∑p=0
1(2p+1)3 et
+∞∑n=1
1n6
2. Equivalent lorsque x tend vers +∞ de∫ x2
x3et
sin(t)dt
TPE 6
1. Soit f : R+ → R continue. Detreminer parmi les proposition suivantes celles qui sont vraies ( resp fausses ) enjustifiant
a-∫ +∞0
f(t)dt converge ⇒ f(x) → 0 quand x→ +∞
b- (∫ +∞0
f(t)dt converge et f(x) → ℓ) ⇒ ℓ = 0
c- (∫ +∞0
f(t)dt converge et f(x) > 0 et f decroıt ) ⇒ xf(x) → 0 quand x→ +∞
2. Nature de∑n>1
sin(lnn)n ?
TPE 7
1. a- Montrer que O(n) est compact.
b- Montrer que si G est un sous-groupe compact de GLn(R) alors ∀A ∈ O(n), detA ∈ −1, 1
2. Soit Sn =2n∑k=n
e√k
a- Equivalent de Sn ?
b- Etude de Sn − n Indication ∀x > 0, x 6 ex − 1 6 xex
TPE 8
Soit Sn =n∑
k=0
1k! . Calculer le rayon de convergence et la somme de
∑n>0
Snzn
TPE 9Soit f continue de R dans R. Montrer qu’il existe une seule solution bornee sur R de y” − a2y = f
TPE 10f(x, y) = x3 + 3xy2 − 15x− 12y.
29
1- Etude des extrema de f sur R2
2- Etude des extrema globaux de f sur K = (x, y) ∈ R2 0 6 x 6 3, 0 6 y 6 x
TPE 11Soit f definie sur R2 par f(x, y) = x4 + y4 − 2(x− y)2. Etude des extrema de f ?
Annee 2009
TPE 12
Est-il vrai que∫ 1
0dttt =
+∞∑n=1
1nn ?
TPE 13 Γ(x) =∫ +∞0
e−ttx−1dt
1. Montrer que Γ(x) ∼01x
2. Montrer que ln(Γ) est convexe.
TPE 14 Soit (an)n∈N la suite definie par an = le nombre de couples (x, y) ∈ N2 tels que 3x+ 2y = n
1. Calculer le rayon de convergence de la serie entiere∑anx
n
2. Calculer f(x) =+∞∑n=0
anxn et en deduire (an)n∈N.
TPE 15 Soit r ∈]0, 1[
a. Pour x ∈ R calculer k(x) = 1 ++∞∑p=1
2rp cos(px)
b. Pour f continue sur [0, 2π) et t ∈ R on pose
T (f)(t) =1
2π
∫ 2π
0
k(x− t)f(x)dx
Montrer que T (f) est 2π periodique et que T est un endomorphisme de C0([0, 2π])
c. Exprimer les coefficients de Fourier reels de T (f) en fonction de ceux d ef .
TPE 16
Calculer+∞∑n=1
(−1)n
n+1
TPE 17On definit f sur l’ensemble P des (x, y, z) ∈ R3 tels que x + y + z = 1 par f(x, y, z) = x2 + 2y2 + z2. Etudier les
extrema de f sur P
Annee 2008
TPE 18 Soit Φ :S(C) → S(C)
(εn)n 7→ (n∑
k=1
εkk )n
30
a. Que peut-on dire de Φ((1)) puis de Φ((−1)n)et de Φ((jn))
b. On suppose que (εn)n est periodique. Montrer que la suite Φ((εn)n) converge si et seulement si la moyenne dela suite (εn)n est nulle
TPE 19
f(x) =
∫ 1
0
1 − (1 − t)x
tdt
a. Domaine de definition ?
b. Continuite ? Derivabilite ?
TPE 20 Montrer que pour tout (x, y) ∈ R× R∗+ ∫ 1
0
txty
dt =+∞∑n=0
(−1)nxn
(1 + ny)n+1
TPE 21(a, b) ∈ (R∗
+)2 x0 = a
xn+1 =√xnyn
y0 = b
yn+1 = xn+yn
2
Montrer que (xn)n et (yn)n ont la meme limite.
TPE 22 y2 + (y′)2 + 2y′ = 0 Etudier l’ensemble des solutions definies sur R entier.
TPE 23 Resoudre sur R∗ × Rx∂f
∂x+ y
∂f
∂y=
√x2 + y2
TPE 24 Soit H un hyperplan de E evn. Existe-t-il une norme telle que H soit ferme ?
TPE 25 Resoudre 2x′ + y′ − 3x − y = tx′ + y′ − 4x − y = et
TPE 26 Determiner les fonctions continues sur R telles que ∀x ∈ R, f(−f(x)) = x
TPE 27
a. f, 2π− periodique definie par f(t) = |t| si t ∈ [−π, π]. Etude de la serie de Fourier de f et calcul de∑
1n4
b. f(x) =∑ sin(nx)√
n. Montrer qu’il n’y a pas CVU en utilisant les SdFourier.
31
TPE 28
a. Soit (fn)n suite d’applications de I dans J et soit g uniformement continue de J dans R. On suppose que (fn)nconverge uniformement vers f . montrer que (g fn)n CVU vers g f
b. ( application de 1 voir aussi feuille d’exos gn = fn1+f2
n)
TPE 29
(S)
x′(t) = x(t) + y(t) − 3y′(t) = −2x(t) + 3y(t) + 1x(0) = y(0)
a. Justifier l’existence d’une solution
b. Trouver A et B tels que X ′ = AX +B equivaut au systeme ci-dessus
c. Resoudre
Annee 2007
TPE 30DSE0 de ln(1 + x
1+x2 )
TPE 31
F (x) = (
∫ x
0
e−t2dt)2
G(x) =
∫ 1
0
e−x2(1+t2)
1 + t2dt
1. Montrer que F et G sont derivables sur R+ et que F ′ +G′ = 0
2. Montrer que F +G = π4 et en deduire
∫ +∞0
e−t2dt
TPE 32
1.
φ(x) =
∫ 1
0
et
t+ xdt
Domaine de definition de φ et limites aux bornes du domaine
2. Calculer∑
n>21
(n2−1)2n
TPE 33 Soit f une fonction continue de R dans R, derivable en 0 et telle que f(0) = 0. Etudier
un =
n∑k=0
f(1
n+ kp)
avec p ∈ N∗
TPE 34 Resoudref ′′(x) + f(−x) = x
sur R
32
TPE 35 Soit f une fonction continue de R dans R, et bornee. Montrer que l’equation differentielle
y′′ − w2y = f(x)
possede une unique solution bornee.
TPE 36 Soit f(x, y) = x4 + y4 − (x− y)2 Chercher les extrema de f
y′′ − w2y = f(x)
possede une unique solution bornee.
TPE 37
a. Soit f continue sur R+ telle que t 7→ f(t)t soit integrable sur [1,+∞[. Soit a < 0 < b
Montrer que∫ +∞0
f(at)−f(bt)t dt = f(0) ln( b
a )
b. Application : calculer∫ +∞0
sin2 tt2 dt
Annee 2006
TPE 38 Existence et valeur de+∞∑n=2
xn
1 − n2
TPE 39 Existence et valeur de l’integrale ∫ +∞
0
cos(nt)
1 + t2dt
TPE 40Existence et calcul de ∫ π
2
0
1
1 + tan2006 tdt
TPE 41 Determiner l’adherence, l’interieur et la frontiere du groupe special lineaire SLn(R) ( ens des matrices dedeterminant 1).
TPE 42
Ix =
∫ π
0
ln(1 − 2x cos θ + x2) d θ
a. Determiner les valeurs de x pour lesquelles Ix est definie.
b. Calculer Ix al’aide d’une somme de Riemann.
c. Calculer I1
33
TPE 43E = f ∈ C1([0, 1])/ f(0) = 0
On definit N1(f) = supx∈[0,1] |f(x)| et N0(f) = supx∈[0,1] |f ′(x)|.
On note E1 = E muni de N1 et E0 pour E muni de N0. On note Id1 l’identite de E1 dans E1 et Id0 l’identite deE0 dans E0.
Etudier la continuite de ces deux applications. Indication donnee : on pourra utiliser fn(x) = xn
n
TPE 44
Kn =n∑
k=1
(−1)k−1
k(nk )
a. Montrer que limn→+∞Kn = +∞b. Etudier la limite de Kn − lnn. Indication donne : utiliser fn(t) = 1−(1−t)n
t
TPE 45
f(x) =cos(2x)
sinx+ sin(3x)
a. Domaine de defintion de f ?
b. Primitives de f ?
TPE 46CNS sur α pour que
∑xe−nx
nα converge uniformement sur R+.
TPE 47
F (x) =
∫R+
e−xt2
1 + t2dt
a. Domaine de definition, de continuite et caractere C1 de F ?
b. Trouver une equation differentielle verifiee par F
c. Calculer F (0) et la limite de F en +∞d. Lien entre F et
I =
∫R+
e−u2
du
et calcul de I.
TPE 48
fn(x) =x(1 + cos2 x)
1 + n2x2
Domaine de convergence simple ? Etude de la continuite de la somme et de sa limite en +∞.
TPE 49
un : R+ → Rx 7→ xe−nx
lnn
34
Etudier la convergence normale et la convergence uniforme de la serie de fonctions de terme general un.
TPE 50
a. Montrer que Q est denombrable.
b. Soit A ⊂ R, partie infinie telle que ∀x ∈ A, ∃εx > 0/ A∩
]x− εx, x+ εx[= x.
Montrer que A est denombrable.
TPE 51f : [0,+∞[ → R
x 7→∫ +∞0
1−e−tx
t e−tdt
a. Montrer que f est continue et derivable.
b. Calculer f
c. En deduire l’existence et la valeur de∫∞0
e−t−e−2t
t dt et∫ 1
0t2−1ln t dt.
TPE 52 Soit la suite definie par u0 ∈]0, 1[ et un+1 = u2nE( 1un
)
a. Montrer que (un)n converge.
b. Montrer que sa limite est nulle ou bien elle est stationnaire.
c. Determiner u0 tel que la limte soit 12
TPE 53 Calculer la limte de 1n ( (2n)!
n! )1n
TPE 54 Soit E un espace vectoriel norme. Que peut-on dire de l’interieur d’un sous-espace vectoriel F de E ?
TPE 55 Soit E et F deux evns et f une application de E dans F . On suppose que f est bornee sur la boule unite de E etque :∀(x, y) ∈ E2, f(x+ y) = f(x) + f(y).
Montrer que f est lineaire et continue.
TPE 56 Soit E et F deux evns et u une application lineaire de E dans F . On suppose que ∀(xn)n ∈ En si (xn)n convergevers 0E alors (u(xn))n est bornee.
1. Montrer que u est continue.
2. Etudier la reciproque
TPE 57 Soit a0 > 0 et an+1 = ln(1 + an)
a. Calculer le rayon de convergence de∑anx
n
b. Montrer qu’il y a convergence pour x = −1
c. Calculer la limite de 1an+1
− 1an
d. En deduire la limite de nan
35
TPE 58Resoudre pour a > 0
x∂z
∂x+ y
∂z
∂y= a
√x2 + y2
en choisissant un changement de variables approprie.
TPE 59
E : x(t) = x(t) sin(x(t))
Montrer que les solutions maximales sont monotones, bornees et definies sur R.
2.4 MINES
Annee 2010
MINES 1
1.∑n>1
xn
n∑k=1
k2Rayon de convergence ? Somme ?
2. En deduire∑n>1
1n∑
k=1
k2
MINES 2
1. Bn designe le nombre de partitions possibles d’un ensemble de cardinal n.
Montrer que Bn+1 =n∑
k=0
(nk
)Bk
2. B(t) =∑n>0
Bntn
n! Trouver une equation differentielle du premier ordre verifiee par B et la resoudre.
MINES 3
(E) xn = x+ n
1. Montrer que ∃xn ∈ R+ unique, solution de (E)
2. Montrer que la suite (xn)n ainsi definie converge vers une limite ℓ
3. Trouver un equivalent de xn − ℓ
MINES 4 Soit f une fonction derivable sur R telle que
∀(x, y) ∈ R2,
1 + f(x).f(y) = 0
f(x+ y) = f(x)+f(y)1+f(x).f(y)
1. On suppose f constante. La determiner.
2. Cas ou f n’est pas constante ?
MINES 5
36
a.∫ +∞0
e−x2
dx = limn→+∞
∫√n
0(1 − x2
n )ndx
b.∫ +∞0
e−x2
dx = limn→+∞
(√n∫ π
2
0cos2n+1(t)dt)
c. In =∫ π
2
0cosn(t)dt Montrer que ∀niN∗, nInIn−1 = π
2
d. Calculer∫ +∞0
e−x2
dx
Annee 2009
MINES 6Soient (an)n∈N suite reelle decroissaante et qui tend vers 0. On pose bn = n(an−1 − an).Montrer que
∑an et
∑bn ont meme nature.
MINES 7
Convergence et calcul de la somme+∞∑n=0
ln(n3−1n3+1 )
MINES 8Convergence de
∫ +∞0
sin(t2)dt
MINES 9Soit la serie entiere
∑anx
n avec an = 2n si n ≡ 1[3], an = 0 si n ≡ 2[3] et an = 13n si n ≡ 0[3].
Calcul du rayon de convergence R et nature pour le cas |z| = R
MINES 10Soit (λn)n∈N une suite de reels ( non nuls ? ) et soit f : x 7→
∑+∞n=1
eiλnx
n2 Determiner limT→+∞
∫ T
−Tf(x)dx
MINES 11 Soit I = [nπ, nπ + π2 ] et (E) tanx = 1
x
1. Montrer qu’il existe un unique xn de I verifiant (E)
2. Conditions sur α et β pour que∑
n(xn + αn+ βn ) converge
MINES 12 Soit E un espace euclidien et f ∈ C0(E,R) On suppose que f(x) → 0 quand ∥x∥ → +∞.
1. Montrer que f a un minimum
2. Soit f : x 7→ ∥x∥4 − ⟨x, v⟩ avec v ∈ E\0E. existence et calcul du minimum de f
Anne 2008
MINES 13
f(x) =
+∞∑n=1
1 − xn
n2
1. Domaine de definition de f
2. Derivabilite de f ?
37
3. Equivalent de f en 1
MINES 14
f(x) =+∞∑n=1
1 − xn
n2
1. Domaine de definition de f
2. Derivabilite de f ?
3. Equivalent de f en 1
MINES 15 E est un R− evn et F un espace de Banach.f ∈ C0(E,F ) verifie
∃M, ∀(x, y) ∈ E2, ∥f(x+ y) − f(x) − f(y)∥ 6M
On pose pour n ∈ N et x ∈ E , un(x) = f(2nx)2n
1. Montrer que la suite de fonctions (un)n converge uniformement vers une fonction L(f)
2. Montrer que L(f) est lineaire et continue et que L(f) − f est bornee
3. Montrer que L(f) est l’unique application lineaire telle que ∥L(f) − f∥ 6M
MINES 16 Enonce incompletExiste-t-il des normes sur Mn(R) telles que
∀A ∈ Mn(R),∀P ∈ GLn(R), N(PA) = N(AP )
MINES 17
f(x) =+∞∑n=1
(−1)n sin(1
nx2)
1. Montrer que f est C1 sur R∗+
2. Calculer limx→+∞
f(x) et un equivalent simple de f en +∞
MINES 18 ∑n>0
4n(n!)2
(2n+ 1)!x2n+1
1. Rayon de convergence de la serie entiere.
2. On note f la somme. Montrer que f est solution de
(1 − x2)y′(x) − xy(x) = 1
3. En deduire l’expression explicite de f .
MINES 19 Soit f ∈ C0([0, 1],R) telle que f(1) = 0 et fn(x) = xnf(x) ( je pense qu’on doit supposer que f est C1
1. Montrer que (fn)n et∑fn convergent uniformement sur tout [0, a] tel que 0 < a < 1
2. Montrer que (fn)n converge uniformement sur [0, 1]
38
3. Montrer que converge uniformement sur [0, 1] si et seulement si f ′(1) = 0
MINES 20
1. Etude de la fonction x 7→∫ x2
xdt
ln(t)
2. Rayon de cv de∑ √
nn+1x
n
MINES 21 f(x, y) = sin(xy)|x|+|y| si (x, y) = (0, 0) et f(0, 0) = 0
1. f est-elle continue ?
2. Montrer que f est C1 sur (R∗+)2
3. f est-elle C1 sur R2
MINES 22
Soit f derivable en 0 et f(0) = 0. Calculer la limite den∑
k=1
f( kn2 ) quand n tend vers +∞
MINES 23Soit a ∈] − 1, 1[.
g : x 7→ 1 − a cos(x)
1 − 2a cos(x) + a2
Soit λ ∈ R et soit f : R→ C. Determiner les f telles que f est 2π− periodique continue et
f(x) = λ
∫ 2π
0
g(x− t)f(t)dt++∞∑n=1
cos(nx)
n2
MINES 24 (a, b) ∈ (R∗+)2
1. Montrer que
∫ 1
0
ta−1
1 + tbdt =
+∞∑n=0
(−1)n
a+ nb
2. Calculer+∞∑n=0
(−1)n
1+3n
MINES 25 Soient E et F deux espaces vectoriels normes et f continue de E dans F .Montrer que f continue si et seulement si ∀A ⊂ E on a f(A) ⊂ f(A)
Annee 2007
MINES 26
39
1. Soit (ai)i∈[|1...n|] ∈ (R∗+)n
Montrer que
(n∏
i=1
ai)1n 6 1
n(
n∑i=1
ai)
2. Pour n ∈ N∗ on pose
un =
∫ 1
0
xn
1 + x+ . . .+ xndx
Etudier la suite (un)n
3. Etudier la serie de terme general un.
MINES 27
f(x, y) =+∞∑n=1
e−n(x2+y2)
n2
Montrer que f est C1 et calculer ses derivees ( partielles)
MINES 28un = 1 − tanh(nθ) avec θ ∈ R et n ∈ N
a. Nature ( ? ) de la convergence de la serie ?
b. Equivalent ( ? de la somme ) quand θ tend vers +∞c. Equivalent ( de la somme ) quand θ tend vers 0
MINES 29 Etude de la convergence de∑
ln(1 + (−1)n
6√n
). Etude de la convergence de∫ +∞1
(ln t)3
t32dt
MINES 30
1. (1 + x)y′′(x) − 2y′(x) + (1 − x)y(x) = 0. Resoudre .
Indication : poser z(x) = e−xy(x)
2. Sur [0, 1] on definit q0(x) = 1 et ∀n ∈ N, qn+1(x) =∫ x
0qn(t− t2)dt. Montrer que
∑n qn converge normalement
MINES 31
f(x) =
∫ +∞
0
tx−1
1 + tdt
a. Domaine de definition
b. Montrer que f est de classe C1 et
f ′(x) =
∫ +∞
1
ln t
t+ 1(tx−1 − t−x)dt
c. Signe de f ′
d. Limite de f en 0
e. Montrer que x = 12 est axe de symetrie
40
Annee 2006
MINES 32
limx→0+
∫ +∞
0
√t2 + 1 − 1
(t2 + 1)√t2 + x)
dt
MINES 33 Soit f ∈ C1([0, π])/ f(0) = f(π) = 0 et∫ π
0(f ′(t))2dt = 1
Montrer qu’il existe (an)n>1/∑+∞
n=1 a2n = 2
π et ∀x ∈ [0, π] f(x) =∑+∞
n=1an
n sin(nt)
MINES 34 a0 = 1 et an+1 = 2n+12n+4an. f(x) =
+∞∑n=0
anxn
a. Rayon de convergence
b. f est-elle definie en R ou −R ? Est-elle continue en ces points ?
c. Valeur de f(R) ?
MINES 35 Soit z ∈ C Calculer∫ +∞0
e−t2 cos(zt) dt
MINES 36 Montrer que ∫ +∞
0
√t
et − 1dt =
√π
2
+∞∑n=1
1
n√n
MINES 37 Trouver une suite reelle positive non decroissante tendant vers 0
MINES 38
a. Donner le DL de
x 7→ 1−x2
x2−2x cosα+1ou α ∈]0, π[
b. En deduire le developpement de Fourier de
x 7→ 11− 1
2 cos x
MINES 39Soit f : [0, 1] → R continue. Etudier un =
∫ 1
0f(tn) dt
MINES 40 Etudier la serie de terme general un = (−1)nn−1∑k=1
1k(n−k)
MINES 41
41
Soit f 2π periodique telle que∀x ∈ [−π, π], f(x) = cos(αx)
a. Calculer la serie de Fourier de f .
b. Montrer que απsin(απ) = 1 + 2α2
+∞∑n=0
(−1)n−1
n2α2
c. Montrer que∫ +∞0
tα−1
t+1 dt = απsin(απ)
MINES 42
limn→+∞
∫ +∞
0
e−nt
√t
dt
2.5 DIVERS
Annee 2010
Divers 1 ICNA
1- DSE de ln(1+x)x . Rayon de convergence ? Etude de la CV normale.
2- Soient f1(x) = ln(x)1+x et f2(x) = ln(1+x)
x
a- Integrabilite de f1 et f2 sur ]0, 1[ ?
b- Relation entre∫ 1
0f1(x)dx et
∫ 1
0f2(x)dx
c- Calculer∫ 1
0f1(x)dx sachant que
+∞∑n=1
1n2 = π2
6
Divers 2 ENSEA/ENSIIESoient (a, b) ∈ R2 et E = C0([a, b],R). Sur E on definit les normes ∥ ∥1, ∥ ∥2 et ∥ ∥∞ usuelles
1- Montrer que ∀f ∈ E, ∥f∥1 6√b− a∥f∥2 et ∥f∥2 6
√b− a∥f∥∞
2- Pour n ∈ N on pose fn : x 7→ xn. Calculer ∥fn∥1, ∥fn∥2 et ∥fn∥∞3- Montrer que ces normes ne sont pas deux a deux equivalentes.
Divers 3 ENSEA/ENSIIESoient (E) xy′ − 2y = 0
1- Montrer que l’ensemble des solutions sur R est un plan vectoriel
2- Base de l’ev des solutions ?
3- Solutions C∞ sur R
Divers 4TELECOM SUD PARIS15 mn couple avec ALG 15 mn
Soient f : x 7→ sin xxa+sin x . Convergence de
∫ +∞A
f(x)dx
Annee 2009
42
Divers 5Telecom Sud Paris ex INT
(x+ y)∂f
∂x+ (x− y)
∂f
∂y= 0
Resoudre en posant v = y et u = −x2 + 2xy + y2
Divers 6ENSIIE Deux fois α ∈ R, Iα =
∫ π2
0| ln(sin(x))|α
1- Existence de Iα selon les valeurs de α
2- un = 2π
∫ π2
0(sin(x))
1n dx. Calculer la limite de un notee l
3- Donner un equivalent de un − l en fonction de I1. Calculer I1.
Divers 7Petites Mines
Resoudre
x′ = −2x + 4y + 2zy′ = −4x + 8y + 4zz′ = 5x + −10y −5z
et
x(0) = 0y(0) = 1z(0) 1
Divers 8ENSTIM Calcul de lim
n→+∞n∫ +∞0
ln(1+ xn )
x(1+x2)dx
Divers 9Petites MinesPour n ∈ N∗ on pose fn(x) = ln(x+ 1
n )
1- Etude de la convergence simple de la suite (fn)n
2- Etude de la convergnec uniforme sur [1,+∞[
Divers 10
ENSIIE f(x) =+∞∑n=1
(i1)n e−nx√n
a- Etude du domaine de definition de f
b- Etude de la continuite, la derivabilite et les limites aux bornes du domaine de definition de f .
Divers 11ENSEA F : x 7→ 1
x2−1
a- Calcul des f (n) ( derivees successives de f)
b- Calculer les zeros de la derivee n-ieme de f dans C
Divers 12 Magistere RennesTrouver une fonction v continue sur [0, 1] et a ∈ R tels que
∀t ∈ [0, 1],
∫ t
0
v′(s)√ea − ev(t)
ds = te−a2
43
a- Montrer que v est croissante et majoree par a
b- Resoudre le probl‘eme en posant u = v(s) et w2 = eaeu
Annee 2008
Divers 13ENSIIE
S(x) =
+∞∑n=1
1
n− 1
n+ x
1. Montrer que S est definie sur R+, k lipschitzienne et trouver k. Calculer S(0) et S(1)
2. Montrer que S est C∞
3. Equivalent de S en +∞4. Representation graphique de S
5. Mq S(x) − ln(x) a une limite finie en +∞
Divers 14Petites Mines
1.
Ip =
∫ e
1
x2(ln(x))pdx
Trouver une relation entre Ip et Ip+1. Etdudier la cv de∑Ip
2.
un =xn
1 + 12 + . . .+ 1
n
Convergence de∑un
Divers 15ENSTIM
Ia =
∫ +∞
0
xa ln(x+ eax)dx
Etudier selon les valeurs de a la convergence de Ia
Divers 16AIR
f(x) =
∫ +∞
0
e−xt cos(t)
tdt
Montrer que f est C1 ; trouver une equation differentielle verifiee par f puis en deduire∫ +∞0
e−t2dt
Divers 17St Cyr
a. Montrer que la serie de tg 1n.n! converge. On note S sa somme
b. Soit I =∫ ∫
[0,1]2xyexydxdy. Exprimer I en fonction de S. Montrer que S = −
∫ 1
0ex ln(x)dx
44
Divers 18St Cyr
a. Etudier la cv des series un = 1n − (1 + 1
2n ) ln(1 + 1n ), vn = 1 − (n+ 1
2 ) ln(1 + 1n ).
b. wn = enn!
nn+12
Montrer que la suite wn converge en etudiant ln(wn+1) − ln(wn)
Divers 19ENSIIE
1. f(x) = ex√
32 cos(x
2 ). calculer le DSE de f en 0
2. fn(x) == (−1)n
n!(x+n)
a. Montrer que la serie de fonctions cv simplement sur x ∈ R, −x /∈ N. Sa somme ets notee S.
b. Montrer que S(1) = e−1e
c. Montrer que ϕ : x 7→ xS(x) − S(x+ 1) est constante.
d. Etudier la continuite de S
Divers 20INT
f(x) =+∞∑n=1
nxe−nx
a. Domaine de definition
b. Continuite de f
c. Limite de f en +∞
Annee 2007
Divers 21AIR
un = (−1)n∫ π
2
0
(cosx)ndx
Convergence de la serie et calcul de la somme.
Divers 22AIR
(E) x2y′′ + (x2 + x)y′ − y = 0
a. Trouver les solutions developpables en serie entiere et calculer leur rayon de convergence
b. Exprimer les solutions DSE a l’aide de fonctions usuelles
c. Comment trouver les ” autres ” solutions.
Divers 23NAVALE Exercice pose deux fois par un examinateur difficileSoit (εn)n ∈ (−1, 1)N et
an = ε0 +ε0.ε1
2+ . . .+
n∏i=0
εi
2n
45
1. Montrer que la suite (an)n converge et tend vers ℓ ∈ [−2, 2]
2. Montrer que rout reel a ∈ [−2, 2] est limite d’une suite de cette forme.
3.
xn = ε0
√2 + ε1
√2 + . . .+ εn−1
√2 + εn
√2
yn = 2 sin(π
4.an)
Trouver un lien entre xn et yn . Etudier la suite (xn)n.
Divers 24ENSTIM
1. Montrer que la suiten∑
k=1
1n+k converge. On note ℓ sa limite. la calculer
2. Quelle est la limite de n(n∑
k=1
1n+k ℓ
) ?
Divers 25INTun = (cos( 1
n )nα
nature de la serie selon α
Divers 26INT
fn(x) =x
n(1 + nx2)
Etude de la serie de fonctions. Continute ? Derivabilite de la somme ?
Divers 27INT E et F deux ev euclidiens. Soit f : E → F , surjective, telle que f(0E) = 0F et
∀(x, y) ∈ E2, ∥f(x) − f(y)∥ = ∥x− y∥
Montrer que f conserve la norme, le produit scalaire, et est lineaire.
Divers 28INTDSE de e−
x2
2
∫ x
0e
t2
2 dt
Divers 29INTEnonce a verifierf(x, y) = x((lnx2) + y2) Etude des extrema locaux et absolus
Divers 30INT
P ∈ R[X], P (X) = λn∏
k=1
(X − ak)ωk avec a1 < a2 < . . . < an
46
Montrer que
∀(x, y) ∈]ai, ai+1[2, P (x+ y
2) ≥ (P (x)P (y))
12
Est-ce vrai pour ]an,+∞[ ? Pour ] −∞, a1[ ?
Divers 31IIE
E = g ∈ C0([0, 1],R),
∫ 1
0
g(t)dt =1
e
1. On definit pour n ∈ N∗, la fonction affine par morceaux gn sur [0, 1] par gn(0) = λn.n = gn( 1n et gn( 1
n + 1n2 ) =
0 = gn(1) en definissant λn de facon que gn ∈ E. Calculer limn
∫ 1
0etgn(t)dt
2. Etudier infg∈E
∫ 1
0et|g(t)|dt ( Existence et valeur)
Divers 32Petites Mines
x(x2 − 1)y′ + 2y = x
1. Resoudre
2. Structure de l’espace des solutions.
3. Existence de solutions maximales
Divers 33ENSEANature de la serie de terme general (−1)n√
n+(−1)n
Divers 34ENSEASoit A une partie non vide d’un espace vectoriel norme E. Montrer que
∀(x, y) ∈ E2, |d(x,A) − d(y,A)| 6 d(x, y)
Divers 35ENSEASoit E un evn complet et soit f : E −→ E telle qu’il existe k ∈]0, 12 [ verifiant :
∀(x, y) ∈ E2, ∥f(x) − f(y)∥ 6 k(∥f(x) − x∥ + ∥f(y) − y∥)
1. Montrer que f a au plus un point fixe
2. Soit (un)n∈N definie par
u0 ∈ E
un+1 = f(un)
a. Montrer que ∥un+1 − un∥ → 0
b. Montrer que (un)nconverge. On note ℓ sa limite.
c. Montrer que f possede un unique point fixe
47
Anne 2006
Divers 36IIESoit a ∈ [0, π]. Soit f impaire 2π periodique definie par
∀x ∈ [0, a], f(x) = (π − a)x, ∀x ∈]a, π], f(x) = (π − x)a
a. Calculer la serie de Fourier de f .
b. Calculer∑+∞
n=1sin2(na)
n2
c. Calculer∑+∞
n=1−1
(2n+1)2
Divers 37INT TELECOM
an =
∫ 1
0
tn
tn + t+ 1dt
Rayon de convergence de la serie entiere∑anx
n.
Divers 38 INT TELECOM
Soit (an)n suite a termes > 0, soit a > 0 et φ : N→ R tels que an
an+1φ(n) − φ(n+ 1) > a. Montrer que la serie de
terme general an converge.
Divers 39 INT TELECOM
Trouver les fonctions f : R→ R∗, de classe C2 telle que ∀x ∈ R∗, f ′(x) = f( 1x )
48
3 ALGEBRE
3.1 Concours communs polytechniques
Annee 2010
CCP 86 8 points. Cours !
a. Montrer que Tr(AB) = Tr(BA)
b. Montrer que si deux matrices representent le meme endomorphisme alors elles ont meme trace.
c. Montrer que si A et B sont semblables alors ∀n ∈ N, T r(An) = Tr(Bn)
CCP 87 Cours couple avec un ex d’analyse
1- Montrer que si (A,B) ∈ Mn(R)2, T r(AB) = Tr(BA)
2- En deduire qu’en dimension finie les matrices d’un meme endomorphisme ont la meme trace et que 2 matricessemblables ont meme trace.
CCP 88 8 pointsSoit E un K- espace vectoriel de dimension n. Soient f et g deux endomorphismes de E qui commutent et sont
diagonalisables.
a. Montrer que tout sous-espace propre de g est stable par f
b. En deduire qu’il existe une base commune de veteurs propres de f et g.
CCP 89
A =
2 0 a0 1 10 0 a
∈ M3(C)
1- Rang de A ? Est-elle inversible ?
2- A est-elle diagonalisable ?
CCP 908 pts
A =
[1 22 4
]et
f : M2(R) → M2(R)M 7→ AM
1- ker f?
2- f est-elle surjective ?
3- Bases de ker f et de Im(f)
CCP 918 pts
A =
0 0 11 0 00 1 0
∈ M3(C)
49
1- Valeurs propres et vecteurs propres ? A est-elle diagonalisable ?
2- Soit B = aI3 + bA+ cA2 avec (a, b, c) ∈ C3 Elements propres de B?
CCP 92Soit A ∈ Mn(R) non nulle.
f : Mn(R) → Mn(R)M 7→ Tr(A)M − Tr(M)A
1- Montrer que f est un endomorphisme
2- Expliciter ker f et Im(f)
3- Expliciter le spectre de f
4- f est-il diagonalisable ?
CCP 9312 ptsOn suppose n > 2
A =
12
(0)...
n− 11 2 . . . n− 1 n
1- Rang de A ?
2- Calculer tr(A2)
3- En deduire les valeurs propres de A
CCP 94 Soit A ∈ Mn(C) possedant n valeurs propres distinctes λ1, λ2, . . . , λn avec λn = 0
1- Rappeler pourquoi cA.A = AcA = det(A).In
2- Calculer det(A)
3- Que representent les vecteurs propres de A pour cA
4- Minorer dim(Ker(cA))
5- Montrer que cA a deux valeurs propres distinctes.
CCP 9512 pts
On suppose n > 1 et on note det(A) = Dn avec A =
2 −1 (0)
−1. . .
. . .
. . .. . . −1
(0) −1 2
a. Montrer que Dn+2 = 2Dn+1 −Dn
b. Calculer Dn
c. A est-elle diagonalisable ? 0 est-elle valeur propre ?
CCP 96
50
Soit n > 1 et A ∈ Mn(R). M =
0 1 . . . 1
1. . .
. . ....
.... . .
. . . 11 . . . 1 0
a. Rang de M + In ?. En deduire une valeur propre de M
b. M est-elle diagonalisable ? Elements propres de M ?
CCP 978 points.
Soit F = [
a b−b a
](a, b) ∈ R2
1. Montrer que F est un espace vectoriel
2. Determiner une base orthobormee de F
3. Calculer p(J) ou p est le projecteur orthogonal sur F et J = [
1 11 1
]
CCP 9812 points
Soit A ∈ Mn(C) et B = [A 0A A
]∈ M2n(C)
a. Pour k ∈ N calculer Bk. Calculer pour P ∈ C[X], P (B).
b. Soit P ∈ C[X] scinde a racines simples. Montrer que P et P ′ n’ont aucune racine commune.
c. On suppose que B est diagonalisable. Que peut-on dire de A ?
CCP 99Exercice 12 pointsSoit (αi)i∈1,...,n une famille de reels de [0, π] On note p =
∏16i<j6n
(cos(αj) − cos(αi))
1. Combien p contient-il de termes ? Soit M = (mi,j)(i,j) avec mi,j = cos((j − 1)αi)
2. a. Ecrire la matrice M
b. Pourquoi mi,j est-il un polynome en cos(αi)
3. a. Calculer detM en fonction de p
b. Montrer que |detM | 6 512 ( modif : trouver n pour avoir . . .)
CCP 1008 pointsE ev prehilbertien et F sev de dim finie n
a. Montrer que ∀x ∈ E, ∃y0 unique tq x− y0 ∈ F⊥. Montrer que d(x, F ) = ∥x− y0∥b. Soit E = M2(R) muni du produit scalaire canonique ( Schur). Soit F l’ev des matrices triangulaires superieures.
Soit A =
[2 0−1 1
]. Calculer d(A,F )
CCP 101 Exercice 12 points
51
1. Montrer que ⟨P/Q⟩ = P (0)Q(0) +∫ 1
0P ′(x)Q′(x)dx definit un produit scalaire sur R2[X]
2. Soit H = P ∈ R2[X], P (0) +P (1) = 0. Montrer que c’est un sous-espace vectoriel de R2[X] et en donner unebase.
3. Calculer la distance de 1 a H.
Annee 2009
CCP 102 A =
[3 −22 −2
]1- A est-elle diagonalisable ?
2- Calculer An
3- Montrer que les coefficients de An sont divisibles par 3
CCP 103 Soit E un ev de dimension n et f ∈ L(E). On suppose que f a n valeurs propres distinctes.Soit F = g ∈ L(E), g f = f g
1- Montrer que idE , f, . . . , fn−1 est une famille libre
2- Soit g ∈ F . Montrer que toute valeur propre de f est une valeur propre de g
3- En deduire que g est diagonalisable.
4- Montrer que g s’exprime comme un polynome en f, de degre 6 n− 1
CCP 104 Soient E et F deux C-espaces vectoriels de dimensions finies. Soient f : E → F et g : F → E deux applicationslineaires telles que g f = idF
a. Montrer que ker f = ker g fb. Montrer que Img = Img fc. Montrer que E = ker f
⊕Img
CCP 105
1- 8 points
Mq ⟨f, g⟩ =∫ b
af(x)g(x)dx est un produit scalaire sur C0([a, b],R en redemontrant le th d’int qui sert pour ”
defini”.
Majorer∫ 1
0
√xe−xdx
2- 12 points
Soient E et F deux C-espaces vectoriels de dimensions finies. Soient φ : E → F et ψ : E → F deux applicationslineaires. Montrer que
(rg(φ+ ψ) = rg(φ) + rg(ψ) ⇔ (Im(φ)∩Im(ψ)) = 0E et E = kerφ+ kerψ)
CCP 10612 points
1- Mq ⟨f, g⟩ =∫ b
af(x)g(x)dx est un produit scalaire sur E = C0([a, b],R . Ecrire Cauchy-Schwarz.
2- On pose Φ : f 7→∫ b
af(x)dx.
∫ b
a1
f(x)dx
a- En choisissant une suite de fonctions appropriee montrer que Φ(E) n’est pas majoree.
52
b- Montrer que Φ(E) est minoree.
c- Determiner l’ensemble des g ∈ E telles que Φ(g) = inff∈E
Φ(f).
CCP 107 12 points Soit E un espaces vectoriels et p et q deux projecteurs de E
a. Montrer que p q + q p = 0L(E) ⇒ p q = q p = 0L(E)
b. Trouver une condition necessaire et suffisante pour que p+ q soit un projecteur de E
c. On suppose la CNS realisee. Trouver ker(p+ q) et Im(p+ q)
CCP 108 8 points. Deux fois
Soit n > 1 et A ∈ Mn(R). Dn = det(A) A =
2 −1
−1. . .
. . . (0). . .
. . .
(0). . .
. . . −1−1 2
a. Relation entre Dn, Dn+1 et Dn+2
b. En deduire l’expression de Dn.
c. Justifier A diagonalisable. 0 est-il valeur propre ?
CCP 109 12 points Soit E un ev euclidien de dimen,sion 4 et B = (e1, . . . , e4) une base orthonormale.On pose a = e1 + e2 + e3 + e4 et b = 2e2 + 3e3 et F = vect(a, b).Ecrire la matrice du prtojecteur orthogonal sur F dans la base B
CCP 110 8 points. Cours ! Soit u un endomorphisme d’un ev euclidien conservant le produit scalaire.
a. Montrer que u est bijectif
b. Montrer que l’ensemble des endomorphismes qui conservent le produit scalaire est un groupe pour
CCP 111 12 points E un espace euclidien, f un automorphisme orthogonal g = IdE − f
a. Montrer que ker g = (Img)⊥
b. Montrer que ∀x ∈ E, limn→+∞
1n∥x− fn(x)∥ = 0
c. Montrer que limn→+∞
1n
n−1∑k=0
f (k)(x) = p(x) avec p le projecteur orthogonal sur ker(g)
CCP 112 Exercice 12 pointsU et V sont deux vecteurs colonnnes. On pose M = In + U tV .
a. Montrer qu’il existe t ∈ K tel que M2 − (t+ 2)M + (t+ 1)In = 0
b. CNS pour que M soit inversible
CCP 113 Exercice 12 points Soit (A,B) ∈ (Mn(Z))2 tels que det(A) ∧ det(B) = 1
53
a. Montrer qu’il existe (U, V ) ∈ (Mn(Z))2 tel que UA+ V B = In Indication On pourra montrer que le polynomecaracteristique de A est de la forme XQA(X) + det(A)
b. Application avec n = 2...
CCP 114 12 points Soit (A,B) ∈ Mn(R)2 telles qu’il existe P ∈ GLn(C) telle que P−1AP = B
1- Montrer qu’il existe R et I dans Mn(R) telles que P = R+ i I
2- Montrer qu’il existe x0 reel tel que det(R+ x0 I) = 0
3- Montrer qu’il existe Q ∈ GLn(R) telle que Q−1AQ = B
4- En deduire que A =
[1 −11 0
]et B =
[−1 1−3 2
]sont semblables dans R
Annee 2008
CCP 115 Soit E un C- espace vectoriel de dimension n
a. Montrer que p est un projecteur de E si et seulement si IdE − p est un projecteur de E
b. Soit p un projecteur. Montrer que ker(p) = Im(IdE − p), que Im(p) = ker(IdE − p) et que E = ker(p)⊕Im(p)
c. Soit f ∈ LC(E).
Montrer que f p = p f si et seulement si ker(f) et Im(f) sont stables par p
CCP 116 8 points, 2 foisSoit E un espace prehilbertien reel et F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E
a. Montrer que ∀x ∈ E il existe un unique y0 ∈ F tel que x− y0 ∈ F⊥
b. Montrer que d(x, F ) = ∥x− y0∥c. Application : soit A ∈ E = M2(R). E est muni du produit scalaire :⟨A, B⟩ =
∑(i,j) ai,jbi,j Soit F l’ev des
matrice triangulaires superieures.
A =
[1 0−1 2
]Exprimer d(A,F )
CCP 1178 points
Sur M2(R) ×M2(R) on definit φ(A,B) = Tr(tAB) et F = [
a b−b a
], (a, b) ∈ R2
a. Montrer que φ est un produit scalaire
b. Montrer que F est un sous-espace vectoriel
c. Trouver une base orthonormale de F⊥
d. Determiner le projete orthogonal de
[1 11 1
]sur F⊥
CCP 1188 points 1 1 a
0 2 00 1 a
avec a ∈ R
54
a. rg(A) ? A est-elle inversible ?
b. A est-elle diagonalisable ?
CCP 119 12 points E espace et f ∈ LR(E). On suppose que f∗ = −fa. Montrer que ∀x ∈ E, ⟨f(x), x⟩ = 0. En deduire que idE − f et idE + f ∈ GL(E)
b. Montrer que (idE − f)−1 et idE + f commutent.
c. Montrer que (idE − f)−1 (idE + f) ∈ SO(E)
CCP 120
E = [
a b−b a
], (a, b) ∈ R2
a. Montrer que E est sev et sous-anneau de M2(R) et calculer dim(E)
b. Soit
φ :C −→ E
a+ ib 7−→[
a b−b a
]Montrer que φ est un isomorphisme d’ev et d’anneaux.
CCP 121 12 pointsSoit (A,B) ∈ Mn(C)2 sans valeur propre commune.
a. Montrer que χA(B) est inversible
b. Montrer que ∀X ∈ Mn(C), (AX = XB ⇔ X = 0)
c. Montrer que ∀M ∈ Mn(C),∃X ∈ Mn(C), unique / AX −XB = M
CCP 122 12 pointsE euclidien et u endomorphisme de E tel que u u∗ = u∗ u
1. Montrer que keru = keru∗ et que u et u∗ ont les memes valeurs propres et les memes vecteurs propres
2. Montrer que deux vecteurs propres associes a deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux
3. Soit λ valeur propre de u. Montrer que u et u∗ stabilisent E⊥λ
4. Montrer que si u est diagonalisable alors il est orthodiagonalisable
CCP 123 12 points
A =
[3 31 5
]1. Diagonaliser A
2. (E) M2 +M = A
a. Montrer que siM est solution de (E) alorsM est diagonalisable et ses valeurs propres sont parmi −2, 1, 2,−3b. Resoudre (E)
CCP 124 12 points Soit u ∈ L(R3) non nul tel que u3 + u = 0L(R3)
1. Montrer que u n’est pas injectif
55
2. Montrer que E = keru⊕Im(u)
3. Montrer quie ker(u2 + IdE) = Im(u)
4. Montrer que rg(u) = 2
5. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de u est
0 0 00 0 −10 1 0
.
CCP 125 8 points
M =
1 0 0 20 1 1 00 1 1 02 0 0 4
a. Sans calcul, dire si M est inversible ? Diagonalisables ?
b. Valeurs propres et vecteurs propres des matrices suivantes :
A =
[1 11 1
]et B =
[1 22 4
]c. Dans R4 muni de sa base canonique (e1, e2, e3, e4) on pose F = vect(e1, e4) et G = vect(e3, e2). On note
f l’endomorphisme represente par M dans la base canonique. Montrer qu’il existe une base dans laquelle lamatrice de f est diagonale et la calculer.
CCP 126 8 points
A =
−2 −2 1−2 1 −21 −2 −2
a. Montrer que A est diagonalisables ?
b. Trouver P orthogonale et D diagonale telles que D =t PAP
CCP 127 12 points
On definit pour k ∈ [0 . . . , n− 1], ωk = e2iπn et Xk =
1ωk
...ωn−1k
a. Montrer que B = (X0, X1, . . . , Xn−1) est une base de Mn,1(C)
b.
A =
a1 a2 . . . an
an. . .
. . ....
.... . .
. . . ana2 . . . an a1
Montrer que B est une base de vecteurs propres de A
CCP 128 12 points
56
1. Soit (A,B) ∈ (Mn(R))2 et (X,Y ) ∈ (Mn,1(R))2 et soit (λ, µ) ∈ R2 tels que
AX = λX, tBY = µY
Calculer pour C = XtY, AC + CB
2. Application
A =
[3 22 3
]B =
[1 −21 4
]Resoudre AM +MB = M ′ avec M application de classe C1 de R dans M2(R)
La solution passant par A a t = 0 passe-t-elle aussi par B ?
CCP 129 12 pointsSoit E un espace vectoriel ( de dimension finie) et f et g dans L(E) telles u’il existe α verifiant
g f − f g = αf
1. Exprimer g fk − fk g en fonction de α, k et f
2. Montrer que f est nilpotent. (Indication : utiliser
Φ :L(E) → L(E)
h 7→ g h− h g
CCP 130 8 pointsn > 1, P (X) = X2n − 2Xn cos(na) + 1
Factoriser en produit de polynomes irreductibles dans C[X] puis dans R[X]
Annee 2007
CCP 131 [4 2−1 1
]Calculer An
CCP 132 Soit E un ev de dimension finie et f un endomorphisme de E
a. Montrer que E = Imf + ker f ⇒ Imf = Imf2
b. Montrer que Imf = Imf2 ⇒ ker f = ker f2
c. Etude des reciproques
CCP 133 Soit E = Mn(R)
a. Soit (A,B) ∈ E2 Montrer que Tr(AB) = Tr(BA)
b. Soit u ∈ LK(E). Montrer que toutes les matrices qui representent u ont la meme trace
c. Soit (A,B) ∈ E2. Montrer ∀k ∈ N, T r((AB)k) = Tr((BA)k).
d. En deduire que AB et BA ont le meme polynome caracteristique.
57
CCP 134 Soit u un endomorphisme de R2 de matrice A dans le base canonique
A =
[−1 −41 3
]a. Montrer que A n’est pas diagonalisable
b. Trigonaliser u
c. Resoudre le systeme x′ = −x− 4yy′ = x+ 3y
CCP 135
a ∈ R et A =
1 1 a0 2 00 0 a
a. Rang (A) ? Pour quelles valeurs de a , A est-elle inversible ?
b. Pour quelles valeurs de a, A est-elle diagonalisable ?
CCP 136
M =
1 0 0 20 1 1 00 1 1 02 0 0 4
a. Montrer que M n’est pas inversible. Montrer qu’elle est diagonalisable sans calculs
b.
A =
[1 11 1
]et B =
[1 22 4
]Valeurs propres et vecteurs propres de A et de B
c. Soit f l’endomorphisme de R4 canoniquement associe a M . Determiner une base dans laquelle la matrice de fest diagonale. Diagonaliser M .
CCP 137
A =
−2 1 0 . . . . . . 0
1. . .
. . .. . .
...
0. . .
. . .. . .
. . ....
.... . .
. . .. . .
. . . 0...
. . .. . .
. . . 10 . . . . . . 0 1 −2
Determiner les valeurs propres de A ( par recurrence)
CCP 138 Soit a ∈ R∗ et soit A la matrice de terme general ai,j = a
a. Dire sans calcul si A est inversible ? Diagonalisable ?
b. Calculer An ? Calculer le polynome caracteristique de A
58
c. Trouver deux polynomes annulateurs de A
CCP 139Soit A ∈ Mn(C)
B =
[A 4AA A
]a. Etude de M =
[1 41 1
]b. Montrer que B est semblable a
[−A 00 3A
]c. Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable
CCP 140 Soit E un espace vectoriel euclidien et F un sev
a. Montrer que E = F⊕F⊥
b. Montrer que (F⊥)⊥ = F
CCP 141 8 pointsSoit E un ev euclidien ( dimension finie) et F , G DEUX sev
a. Montrer que (F∩G)⊥ = F⊥ +G⊥
b. Montrer que (F +G)⊥ = F⊥ ∩G⊥
CCP 142 8 pointsSoit E un R espace vectoriel de dimension 3 , e = (e1, e2, e3) une base de E. Soit v = xe1 + ye2 + ze3. On pose
q(v) = x2 + 2y2 − z2 + 2xy + 4xz − 2yz
a. Matrice A de q dans e
b. Calcul du polynome caracteristique
c. Trouver e′ base de E telle que , les coordonnees d ev etant notees (X,Y, Z) on ait q(v) = αX2 + βY 2 + γZ2
CCP 143 Dans Mn(C) on pose ∥A∥ = supi,j
|ai,j |
a. Montrer que ∀(A,B), ∥A.B∥ 6 n∥A∥∥B∥ puis que ∀p ∈ N, ∀A, ∥Ap∥ 6 np−1∥A∥p
b. Montrer que∑
Ap
p! converge absolument puis converge
CCP 1448 points
⟨f, g⟩ =1
2π
∫ 2π
0
f(t)g(t)dt
a. Montrer que c’est un produit scalaire ( Fonctions continues 2π periodiques
b. Soit F engendre par f : x 7→ cosx et g : x 7→ cos(2x). Determiner les projete orthogonal de u : 7→ sinx et dev : x 7→ sin(2x) sur F
59
CCP 145 8 points
a. Soit h positive continue sur [a, b]. Montrer que si∫ b
ah(t)dt = 0 alors h est la fonction nulle.
b. Soit E = C0([a, b],R]) et ⟨f, g⟩ =∫ b
af(t)g(t)dt. Montrer que c’est un produit scalaire sur E
c. Majorer∫ 1
0
√xe−xdx en utilisant l’inegalite de Cauchy-Schwarz
CCP 146 Soit E euclidien et u un endomorphisme antisymetrique de E c’est-a-dire
∀(x, y) ∈ E2, ⟨u(x)/y⟩ = −⟨x/u(y)⟩
a. Montrer que u a une seule valeur propre reelle et la preciser
b. u est-il diagonalisable ? Montrer que u u est symetrique
c. On choisit une base orthonormale B de E et on note A la matrice de u. Montrer que les valeurs propres complexesnon nulles de A sont imaginaires pures
CCP 14712 points
Soient A =
a1a2...an
et B =
b1b2...bn
deux vecteurs colonnes independants. On definit M = (aibj + ajbi)16i,j6n
a. Exprimer M en fonction de A et B. Exprimer pour X vecteur colonne, MX en utilisant le produit scalaire canonique
b. En deduire les elements propres de M
c. On suppose que A et B sont orthogonaux. Elements propres de P = (aiaj + bibj)i,j
CCP 148 A est l’ensemble des endomorphismes d’un espace euclidien tels que f∗ f f∗ = f∗
a. Montrer que f ∈ A si et seulement si f∗ f est un projecteur orthogonal
b. Montrer que O(E) = A∩det−1(R∗) et en deduire que O(E) est un ouvert relatif de A
Annee 2006
CCP 149 12 pointsSoit M ∈ Mp(C) ou p ∈ N∗. On suppose qu’il existe deux reels distincts λ et µ ainsi que (A,B) ∈ Mp(C) distincteset non nulles tels que : Ip = A + B
M = λA + µBM2 = λ2A + µ2B
1. Calculer (M − λIp)(M − µIp). En deduire que M est diagonalisable.
2. Montrer que A et B sont des projecteurs.
3. Montrer que ∀n ∈ Z, Mn = λnA+ µnB.
4. Quel est le spectre de M ?
CCP 150 12 points
60
Soit E le sous-espace vectoriel de C0(R) engendre par x 7→ 1, x 7→ x, x 7→ ex.
On pose (f/g) =∫ 1
0f(t)g(t) dt .
1. Montrer que c’est un produit scalaire sur E.
2. Trouver deux reels a et b tels que la distance de x 7→ ex a x 7→ ax+ b soit minimale
CCP 151 Soit f l’endomorphisme de R2 dont la matrice dans la base canonique est[1 22 4
]a. Noyau de f ?
b. Montrer que f n’est pas surjective
c. Donner une base de ker f et une base de Imf
CCP 152 12 points
Soit A fixe dans Mn(K) et φ :
Mn(K) → Mn(K)
M 7→ Tr(M)A− Tr(A)MEtudier la reduction de φ
CCP 153 8 points. Pose deux fois.E designe un espace euclidien de dimension n et B une base orthonormale, u un endomorphisme de E de matrice Adans B.
Montrre que u est un automorphisme orthogonal si et seulement si tA.A = In si et seulement si A est inversibled’inverse tA.
CCP 154 8 points.
a. (E, ⟨|⟩) designe un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On suppose que ∀(x, y) ∈ E2, ⟨u(x)|u(y)⟩ =⟨x|y⟩⟩.Montrer que u est bijectif.
b. Montrer que l’ensemble des automorphismes orthogonaux de E muni de la loi est un groupe
CCP 155 E = R3. Soit u ∈ E/ ∥u∥ = 1 et soit D = vect(u). On fixe a ∈ R∗ et on definit fa(x) = x+ a⟨x|u⟩u.
1. Montrer que fa est un endomorphisme.
2 a. existence et unicite de a′ etl que∀x ∈ E, ∥x∥ = ∥fa′(x)∥
2 b. Montrer que E = ker(fa′ + IdE) ⊕ ker(fa′ − IdE). Que peut-on dire de fa′ ?
3 a. Soit a quelconque non nul. Montrer que fa est un endomorphisme symetrique.
3 b. Donner les elements propres de fa.
CCP 156 E = C considere comme R espace vectoriel ( Base (1, i)). Soit f ∈ LR(E).
61
a. Montrer qu’il existe α et β tels que ∀z ∈ E, f(z) = αz + βz
b. Condition necessaire et suffisante sur α et β pour que f soit inversible ?
c. Condition necessaire et suffisante sur α et β pour que f soit autoadjoint ?
CCP 157 f(P ) = P − P ′. Antecedent P de Q fixe ?
CCP 158 8 points. Cours. Plusieurs foisDemontrer :
a. h continue positive sur [a, b] d’integrale nulle implique h nulle.
b. Sur C0([a, b]), ⟨f, g⟩ =∫ b
af(t)g(t) dt est un produit scalaire.
CCP 159
E = M/∃(a, b) ∈ R2/
[a b−b a
]
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de M2(R)
2. Soit φ : C → E telle que φ(a + ib) = M(a, b). Montrer que φ est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Est-ceun isomorphisme d’anneaux ?
CCP 160 Soit A ∈ Mn(C). On note PA le polynome caracteristique de A et MA son polynome minimal.
a. Montrer que ∀λ /∈ Spec(A), T r(λIn −A)−1 =P ′
A(λ)PA(λ)
b. Montrer qu’il existe un polynome unitaire Q tel que ∀λ /∈ Spec(A), (λIn −A)−1 = Q(A)mA(λ)
CCP 161 Resolution de M2 = A avec A matrice 3 × 3 ayant deux vp .
CCP 162Tres classique
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie n et soit p ∈ L(E).
1. Montrer que p est un projecteur si et seulement si IdE − p est un projecteur.
2. Soit p un projecteur.
a. Montrer que ker(p) = Im(IdE − p) et que ker(IdE − p) = Im(p)
b. Montrer que E = ker(p)⊕Im(p)
3. Soit f ∈ L(E). montrer que p f = f p⇔ ker(p) et IM(p) sont stables par f .
3.2 CENTRALE
Annee 2010
CENTRALE 62
62
1. Soit E un R− espace vectoriel de dimension 3n, f ∈ LR(E) tel que rg(f) = 2n et f3 = 0LR(E). Montrer que
ker f = Imf2 et trouver une base de E dans laquelle la matrice de f est
0 0 0In 0 00 In 0
2. Trouver une condition necessaire et suffisante sur les affixes de trois points pour que ces points forment un
triangle equilateral.
CENTRALE 63
1. Soit E un R− espace vectoriel de dimension n, f ∈ LR(E) . Trouver c tel que si α ∈]c,+∞[ et f3 = f + αIdEalors det(f) > 0.
2. CNS pour que les deux matrices suivantes soient semblables :
1 1 (0)
. . .. . .
. . . 1(0) 1
et
a1,1 . . . . . . a1,n
. . ....
(0). . .
...an,n
CENTRALE 64
1. On munit M2(R) du produit scalaire canonique et de la norme associee notee ∥ ∥. Soit M =
[0 34
−10 −1
]et
X =
[xy
]∈ M2,1(R)
A l’aide du logiciel Maple montrer que les valeurs propres de M sont de partie reelle < 0 et calculer F (X) =∫ +∞0
∥exp(tM)X∥2dt. Toujours avec le logiciel montrer que f est une forme quadratique dont la forme polaireest un produit scalaire.
2. Soit M ∈ Mn(R) et A ∈ Sn(R) et les valeurs propres de A > 0 et telles que ∀X ∈ Mn,1(R), ⟨AMX, X⟩ < 0.Montrer que toute valeur propre de M est de partie reelle negative.
3. Reciproquement soitM ∈ Mn(R) dont les vap sont de partie reelle negative. On admet ∃(C,K) ∈ R∗+, ∥exp(tM)∥ 6
Ce−Kt. Montrer que F (X) =∫ +∞0
∥exp(tM)X∥2dt existe ( J’imagine qu’il fallait aussi montrer que c’est une fqassociee a un prod scalaire)
CENTRALE 65 Pour n > 1 on suppose qu’il existe P ∈ R[X] et λ ∈ R tels que
(P (X))2 −X(X + 1)(X + 2) . . . (X + 2n− 1) = λ2
1. Etudier les cas n = 1 et n = 2
2. Cas n > 3. Supposons qu’il existe (P, λ) qui convient tel que P (0) = λ. Que peut-on dire des racines de P − λet P + λ ?
3. On ordonne les racines de P − λ : a0 = 0 > a1 > . . ..
Soient a et b deux racines consecutives de P − λ. Montrer que b = a+ 1 ou b = a+ 3
CENTRALE 66
1.(E) x2 − 4x+ 3 = 0
a. Resoudre (E) dans Z/11Z et dans Z/143Z avec Maple
b. faire le calcul a la main
2. Soit M ∈ M2(Z/11Z) et(E) M2 − 4M + 3I2 = 0M2(R)
63
a. Si Tr(M) = 4 resoudre (E)
b. Essayer les matrices de trace ( ? ) 4
c. Conclure
CENTRALE 67 Soit E = Mn(C) et φ : E → E M 7→ AM +MB
1. Soit X un vecteur propre de A associe a α et Y un vecteur propre de tB associe a β. Montrer que XtY est unvecteur propre de φ. Donner la vap associee
2. Soit M un vecteur propre de φ associe a λ et P ∈ C[X]. Montrer que P (A)M = MP (λIn −B).
En deduire le spectre de φ en fonction de ceux de A et B
3. Si A et B sont diagonalisables, montrer que φ est diagonalisable.
CENTRALE 68
1. Soit E = Mn(R) . Montrer que
∀f ∈ E∗ ∃!X ∈ Mn(R), ∀M ∈ Mn(R) f(M) = Tr(XM)
2. Soit G l’ensemble des rotations de O3(R) laissant invariant le dernier vecteur de la base canonique.
Trouver f ∈ L(M3(R),R) telle que
∀A ∈ M3(R), ∀B ∈ G, f(B−1AB) = f(A)
3. Trouver f ∈ L(Mn(R),R) telle que
∀A ∈ Mn(R), ∀B ∈ O+n (R), f(B−1AB) = f(A)
CENTRALE 69Grand classiqueSoit E un K− espace vectoriel de dimension n. Soit f un endomorphisme de E et C(f) = g ∈ L(E), gf = f g
1. Montrer que tout spus-espace propre de f est stable par g
2. On suppose f diagonalisable. Determiner C(f) et donner sa dimension.
3. Si f a n valeurs propres distinctes montrer que C(f) est l’ensemble des polynomes en f . ( Je rajoute : donnerune base de C(f))
CENTRALE 70Soit n ∈ N et Φn ∈ Mn(R) la matrice de terme general Φn[i, j] = i+ j si i = j et i sinon
1. En utilisant Maple calculer le polynome caracterisrique de Φ2, Φ3, Φ4 et Φ10. Que remarque-t-on au sujet desvap
2. Montrer que toutes les valeurs propres de Φn sont racines d’une fraction rationnelle
Exercice bizarre : peut-etre qu’il fallait montrer que ce sont des nombres rationnels..)
3. On forme la suite (λn)n avec λn plus grande vap de Φn. Montrer que cette suite converge.
CENTRALE 71
Soit M ∈ M2(R) avec M =
[a bc d
]Soit A ∈ Mn(R). On definit le produit de Kronecker de M par A :
M ⊗A =
[aA bAcA dA
]
64
1. Montrer que ∀(M1,M2) ∈ M2(R)2, ∀(A1, A2) ∈ Mn(R)2, (M1 ⊗A1)(M2 ⊗A2) = (M1M2) ⊗ (A1.A2)
2. Soit M inversible, que peut-on dire de M ⊗ In ?
3. Soit M diagonale non nulle. Montrer que A est diagonalisable si et seulement si M ⊗A est diagonalisable.
4. Si M et A sont diagonalisables que peut-on dire de M ⊗A ?
5. Soit M =
[1 01 1
]Soit B = M ⊗A Calculer B2k pour k ∈ N puis P (B) avec P polynome.
6. Soit M =
[0 1−1 0
]Montrer que si A est antisymetrique alors B est diagonalisable
Annee 2009
CENTRALE 72 ∥ ∥ designe la norme infinie sur Rn.
∥|A|∥ = sup∥X∥=1
∥AX∥ = supX =0
∥AX∥∥X∥
Pour i ∈ [|1, . . . n|], Li(A) =n∑
j=1
|ai,j |
1. Exprimer ∥|A|∥ en fonction des Li(A)
2. Montrer que si ∀X, ∥AX∥ = ∥X∥ alors A est le produit d’une matrice de permutation avec une matricediagonale dont les termes diagonaux sont des 1 ou des −1
3. Soit A ∈ Gln(R. Montrer que min∥X∥=1
∥AX∥ > 0 on le note µ. Montrer que µ = 1∥|A|∥−1
4. Montrer que d(A,Mn(R)\GLn(R) > µ
5 Montrer que d(A,Mn(R)\GLn(R) = µ
CENTRALE 73 Soit (e1, . . . , en) la base canonique de Rn et An = fσ, σ ∈ Sn avec fσ definie par ∀i, fσ(ei) = eσ(i)
1. Montrer que An est une algebre
2. Soit Bn ⊂ An tel Bn est l’ensemble des fσ de l’un des types suivants
- σ = id
- σ = (1, i) ( transposition (1, i))
- σ = (1, j, k) ou (1, k, j) avec 2 6 j < k 6 n
Donner les matrices de ces fσ et la dimension de B3 dans le cas n = 3
3. Montrer que dim(An) > 1 + (n− 1)2
CENTRALE 74
A =
1 + x2 x . . . x
x. . . (x)
...... (x)
. . . xx . . . x 1 + x2
a. Sans calculs, valeurs propres de A. En deduire det(A)
b. Soit P (X) = X2 −X + 1 Matrice de M3(C) ( resp M3(R), M2(R), M4(R)) dont P est le polynome minimal ?
CENTRALE 75 (Fn)n∈N, F0 = 0 F1 = 1 ∀n > 0, Fn+2 = Fn+1 + Fn
1. Soit m ∈ N. Que peut-on dire du couple (Fn, Fn+1) dans Z/mZ. En deduire ∃T / Fn+T ≡ Fn[m]
2. Avec Maple donner T pour m = 2 et m = 5. En deduire T pour m = 10
65
CENTRALE 76 (Fn)n∈N, F0 = 0 F1 = 1 ∀n > 0, Fn+2 = Fn+1 + Fn
1. Soit p un nombre premier.
a. Montrer que ∀x ∈ Z, xp ≡ x[p]
b. Montrer que ∀k ∈ 0, . . . , p− 1,(pk
)est divisible par p
c. Soit P un polynome a coefficients dans Z/pZ. Montrer que P a au plus p racines.
2. a. Avec Maple determiner le reste de Fn+2 − 3Fn+1 + 1 par n pour n de 2 a 30. Remarques ?
b. Determiner les nombres inferieurs a 1000 tels que ce reste soit nul.
3. On suppose qu’il existe d ∈ Z\pZ tel que d2 = 5
a. Montrer que x2 − x− 1 = 0a a deux solutions α et β distinctes.
b. Montrer que Fn = (αn − βn)(α− β)−1
c. En deduire que Fp+2 − 3Fp+1 + 1 = 0
CENTRALE 77
1. Resoudre x2 = x+ 1 dans Z/41Z2. Soit p un nombre premier impair. Montrer que :
∃u ∈ Z, ∀x ∈ Z, (x2 ≡ x+ 1[p]) ⇐⇒ ((x− u)2 ≡ 2xu+ 1[p])
CENTRALE 78
1. Soit A ∈ Mn(R) telle que Spec(AtA−t AA) ⊂ R+. Montrer que A et tA commutent
2. Soit H un hyperplan de Mn(R). Montrer que H∩GLn(R) = ∅
CENTRALE 79
1. Soit a > 0 et
u0 = 1
un+1 = 13 (2un + a
u2n
)Etudier la convergence et calculer la limite de cette suite.
2. Soit A ∈ Sn(R). Montrer qu’il existe B ∈ Sn(R), B3 = A. Montrer ou admettre selon efficacite qu’elle est
unique. On la note A13
3. Soit
A =
9 1 1 11 9 1 11 1 9 11 1 1 9
Trouver A
13 .
4.
Annee 2008
CENTRALE 80 Apparu deux foisSoit E un K− ev de dimension finie n et (f, g) ∈ (L(E))2.
1. Montrer que n = dim(ker f) + rg(f)
2. Montrer que rg(f) + rg(g) − n 6 rg(f g) 6 inf(rg(f), rg(g))
3. Montrer que rg(fn) = rg(fn+1)
4. Montrer que pour 0 6 k 6 n− 1, 2rg(fk) 6 rg(fk+1) + rg(fk−1)
66
CENTRALE 81 Soit E un K− ev de dimension finie n et p un projecteur de E.
Φ : L(E) → L(E)f 7→ p f + f p
1. Montrer que Φ est un endomorphisme. Determiner son noyau ; en deduire son rang.
2. Calculer les valeurs propres de Φ. Est-ce que Φ est diagonalisable ? Quel est son polynome minimal ? Pour k ∈ Ndeterminer un polynome P tel que Φk = P (Φ)
3. Application A =
0 −1 −1−1 0 −11 1 2
Verifier que A est la matrice d’un projecteur p. Sous-espaces propres de p, puis de ϕ .
CENTRALE 82 Soit E un K− ev de dimension finie n.f endomorphisme de E est cyclique si et seulement si il existe x ∈ E tel que (x, f(x), f2(x), . . . , fn−1(x)) est libre.
1. Dans le cas ou f est nilpotent d’ordre n prouver que f est cyclique et preciser quels sont les x tels que(x, f(x), f2(x), . . . , fn−1(x)) est libre.
2. Un endomorphisme qui a n valeurs propres distinctes est-il cyclique ?
3. Meme question avec un endomorphisme qui a n valeurs propres dont deux au moins sont egales
4. Application a une dizaine de matrices 3 × 3 ( j’imagine avec Maple)
CENTRALE 83Exercice apparu aussi en 2007Soit E un espace vectoriel euclidien et u ∈ L(E)
a. On suppose qu’il existe (x, y) tels que x est vecteur propre de u associe a λ et y vecteur propre associe a µ. etque λµ 6 0.
Montrer qu’il existe z non nul z ∈ [x, y] tel que u(z) ⊥ z
b. On suppose que Tr(u) = 0. Montrer en traitant d’abord le cas ou u est autoadjoint que’il existe z de norme 1tel que u(z) ⊥ z.
c. Montrer que Tr(u) = 0 si et seulement si il existe une base orthonormale de E dans laquelle la matrice de u esta diagonale nulle.
CENTRALE 84 Sur Mn(C) on considere l’equation
(En) : M2 − tr(M).M + det(M).In = 0Mn(C)
1. Resoudre (E2)
2. Resoudre (E3)
3. Resoudre (En) pour n > 4
CENTRALE 85 Soit (a0, a1, . . . , an) ∈ Rn+1 tels que a0 < a1 < . . . < an
1. Montrer qu’il existe une unique famille (P0, P1, . . . , Pn) de Rn[X] constituee de polynomes unitaires telle que∀i = j, Pi(aj) = 0
2. Montrer que (P0, P1, . . . , Pn) est une base de Rn[X]
3. Caracteriser les polynomes de degre n unitaires Q de racines b1, . . . , bn telles que a0 < b1 < a1 < b2 < . . . <an−1 < bn < an
67
4. SoitR de degre n a coefficients entiers etm tel que ∀k ∈ [|0;n|],m diviseR(k). Montrer que ∀k ∈ Z, m divise R(k)
CENTRALE 86 Soit E = Rn et u ∈ LR(E)
1. Montrer l’equivalence de
(i) ∃v ∈ LR(E) tel que u v = 0 et u+ v ∈ GL(E)
(ii) E = keru⊕Im(u)
2. Trouver deux conditions equivalentes aux precedentes portant sur les noyaux et images de u et u2
3. Quels sont les resultats qui subsistent en dimension infinie ?
CENTRALE 87 E = Rn muni du produit scalaire canoniquee. Pour u endomorphisme de E on definit ∥|u|∥ = supx=0E
∥u(x)∥x
1. Montrer que ∥|u|∥ = sup⟨u(x)/y⟩, (x, y) ∈ E2, ∥x∥ 6 1, ∥y∥ 6 12. En deduire que ∥|u|∥ = ∥|u∗|∥3. Montrer que ker(Id− u) = (Im(Id− u∗))⊥
4. Determiner (ker(Id− u))⊥
CENTRALE 88 Soit E un C− ev de dimension n > 2. Soit A un sous ev de L(E) non reduit a 0L(E) stable par composition ettel que les seuls sous-espaces vectoriels de E stables par tout element de A soient E et 0E. Le but de l’exercice estde montrer que A contient un projecteur de rang 1.
1. Soit x ∈ E\0E, Ax = a(x)/ a ∈ A Montrer que Ax = 0E puis que Ax = E
2. Montrer qu’il existe a ∈ A, a = 0A de rang minimal r > 1. Soit f ∈ A tel que ker a ker f . Montrer quef = 0L(E)
3. Soit u ∈ E tel que a(u) = 0E . Montrer qu’il existe g ∈ A tel que g a(u) = u
4. Soit p = g a. Montrer que p est un projecteur de rang r
5. Montrer que pour f ∈ A il existe λf valeur propre de p f/Im(p). En deduire que p f p = λfp
6. Montrer que Au ⊂ ker(p) + vect(u) et conclure.
CENTRALE 89 Soit E = Cn. Soit u un endomorphisme de E.
1. Montrer que u est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace vectoriel de E stable par u possede unsupplementaire stable.
2. Est-ce vrai si E = Rn ?
3. Montrer que u est diagonalisable si et seulement si pour tout λ ∈ C, ker(u− λIdE) = ker(u− λIdE)2
4. Est-ce vrai si E = Rn ?
CENTRALE 90 (p, q, r) ∈ (R∗+)3 avec p+ q + r = 1
M =
p r qq p rr q p
1. A quelle condition M a-t-elle 3 valeurs propres reelles ?
2. A quelle condition M a-t-elle 1 valeurs propres reelles ?
3. Dans ce cas quelle est la projection sur cet espace parallelement aux autres esp propres ( ? ?)
68
CENTRALE 91 Soit E un espace euclidien. Soit t ∈ O(E). on pose s = t− idE
1. Montrer que ker s et Im(s) sont en somme directe.
2. Pour n ∈ N on pose tn = 1n
n−1∑k=0
tk. Convergence et limite de la suite (tn)n
CENTRALE 92
1.
A =
1 2 3 2 12 23 (0) 32 21 2 3 2 1
Diagonaliser A et polynome minimal de A ( avec Maple)
2. Soit An ∈ M2n−1(C)
An =
a1 . . . an−1 an an−1 . . . a1...
...an−1 an−1
an (0) anan−1 an−1
......
a1 . . . an−1 an an−1 . . . a1
Etudier la diagonalisation de An
CENTRALE 93
A =
1 0 0 00 −1 0 00 0 0 10 0 a 0
et B =
−1 0 0 0−1 1 1 −1−1 0 0 0−1 0 0 0
1. a. Avec Maple, χA et χB
b. A (resp B) est-elle diagonalisable ?
2. a. Avec Maple chercher les P telles que AP = PB
b. Chercher les P inversibles telles que P−1AP = B
Annee 2007
CENTRALE 94Soit F une R algebre integre commutative de dimension finie.
1. Soit x0 ∈ F \ R. Montrer que (1, x0) est libre et que (1, x0, x20) est liee.
2. a. Montrer qu’il existe y0 ∈ R+ Rx0 tel que y20 = −1
b. Montrer queθ : C → R+ Rx0
a+ ib 7→ a+ by0
est un isomorphisme d’algebres.
3. a. On suppose F = R+ Ry0. Soit z0 ∈ F \ R+ Ry0. Montrer qu’il existe t0 ∈ R+ Rz0 tel que t20 = −1
b. Montrer que R+ Rz0 = R+ Ry04. Conclure
69
CENTRALE 95 Soit P ∈ R[X]. On pose
Bn(P ) =∑k=0
nCknP (
k
nXk(1 −X)n−k
1. Calcul de B(1), B(X), B(X2)
2. Montrer que ∀P ∈ R[X], Bn(XP ) = XBn(P ) +X(1 −X)(Bn(P ))′. En deduire que deg(Bn(P ) ≤ deg(P )
3.Φ : R4[X] → R[X]
P 7→ Bn(P )
Montrer que ϕ est un endomorphisme diagonalisable. On note λn,0 > . . . > λn,4 les valeurs propres et Pn,0, . . . , Pn,4
les vecteurs propres associes choisis uunitaires.
4. Montrer que ∀k, (λn,k)n converge.
5. Montrer que ∀k, (Pn,k)n converge uniformement
CENTRALE 96n ∈ N∗. Soit Gn le sous-groupe de GLn(K) engendre par les A de Mn(C) telles que A2 = In
1. Si λ ∈ C∗, en etudiant
[0 1
µ
µ 0
]et
[0 µ1µ 0
]pour un µ correctemet choisi, montrer que
[1λ 00 λ
]∈ G2
2. En remarquant que ∀L ∈ Mn,1(C),
[1 00 −In
].
[1 L0 −In
]=
[1 L0 In
]montrer que
[1 L0 In
]∈ Gn+1
3. Montrer que Gn = A ∈ Mn(C)/ det(A) =+− 1
CENTRALE 97 Soit g ∈ GL2(C). On note g =
[a bc d
]1. Soit ug : P 7−→ (cX + d)n−1P (aX+b
cX+d ) Montrer que ug est un endomorphisme de Cn−1[X]
2. Montrer que∀(g1, g2) ∈ GL2(C)2, ug2g1 = ug1 ug2
3. Exprimer det(ug) en fonction de det(g)
4. Determiner les valeurs propres de ug
CENTRALE 98Soit la matrice
A =
1 1 11 1 01 0 0
1. Montrer que A est diagonalisable et possede trois valeurs propres α < β < γ
2. Montrer qu’il existe trois matrices U, V et W telles que ∀n ∈ Z, An = αnU + βnV + γnW
CENTRALE 99 Soit (G, ·) un groupe. H et K deux sous-groupes de G et HK = x ∈ G/ ∃(h, k) ∈ H ×K x = h · kMontrer que HK est un sous-groupe de G si et seulement si HK = KH
CENTRALE 100 Soit H un hyperplan de Mn(R) Montrer que H∩GLn(R) = ∅
Annee 2006
CENTRALE 101
70
1. Soit O ∈ On(R) et S ∈ Mn(R) symetrique reelle positive. Montrer que Tr(OS) 6 Tr(S).
Montrer qu’il y a egalite si et seulement si OS = S.
2. Calculer la distance de S aOn(R)
CENTRALE 102 Trouver M ∈ Mn(R) telle que
(1). M5 = M2
(2). Tr(M) = n
CENTRALE 103 On fixe (p, q) ∈]0, 1[, p+ q = 1. E = C∞(R,R) et u est l’endomorphisme de E defini par u(f) : x 7→ f(px+ q)
1. Etudier les suites (un)n telles que un+1 = p.un + q
2. Montrer que les valeurs propres de u sont dans ] − 1, 1]\03. Soit f un vecteur propre pour u. Montrer qu’il existe un entier naturel k tel que f (k) = 0E
4. Quelle est la forme des vecteurs propres de u ?
CENTRALE 104
a. Soient A et H deux matrices 2 × 2 symetriques reelles positives. On suppose de plus que A est definie.A-t-onAH +HA positive ?
b. Soient A et H deux matrices n× n symetriques reelles. On suppose de plus que A est positive et definie et queAH +HA est positive. Montrer que H est positive.
CENTRALE 105 Soit T application lineaire de L(R[X])definie par
T (P ) = (8 + 3X)P (X) − (5X −X2)P ′(X) + (X2 −X3)P”(X)
Etudier l’injectivite, la surjectivite de T .calcul des vecteurs et valeurs propres de T
CENTRALE 106 Enonce a revoir
Soit E un espace vectoriel sur un corps infini K. Soient L1 et L2 deux sous-espaces vectoriels de LK(E) tels queL1 + L2 = L(E) et ∀(f1, f2) ∈ L1 × L2, f1 f2 = f2 f1
1. Soient (f1, f2) ∈ L1 × L2 et x ∈ E \ 0E tel que ∃(λ, µ) ∈ R2/ f1(x) = λx et f2(x) = µx.
Montrer que ker(f1 − λIdE) + ker(f2 − µIdE) = E
2. montrer que s’il existe f1 ∈ L1 tel que f1 ait un sous-espace propre de dimension 1 alors L2 est constitued’homotheties.
CENTRALE 107
1. V et WW designent deux sev de Rn.
On suppose que dim(V ) + dim(W ) > n+ 1. Montrer que dim(V∩W ) > 1.
71
2. Soit S une matrice symetrique reelle d’ordre n. ( S ∈ Sn(R)). λ1 6 λ2 6 . . . 6 λn sont ses valeurs propres.
On note
S =
[A CtC a
]avec A ∈ Sn−1(R) et µ1 6 µ2 6 . . . 6 µn−1 les vp de A.
besoin de vp distinctes pour S et A ? ou bien interpreter la notation entermes de dimension des sep ?
a. Soit X ∈k∑
i=1
ker(A− µiIn−1 et soit X =
[X0
]∈ Mn,1(R).
Montrer quetXSX 6 ∥X∥2
b. Y ∈n∑
i=k
ker(S − λiIn−1. Montrer que
tY SY > ∥Y ∥2
. En deduire que λk 6 µk.
c. Montrer que λ1 6 µ1 6 λ2 . . . 6 µn−1 6 λn
3. q(x, y, z) = x2 + y2 − z2. Trouver (α, β, γ) tels que l’intersection du plan αx + βy + γz = 1 et de la quadriqueq(x, y, z) = 0 soit une parabole.
CENTRALE 108 Soit A un sous-anneau de Q et a ∈ A, a = pq avec p ∧ q = 1
a. Montrer que 1q ∈ A
b. Soit I un ideal de A. Montrer qu’il existe n ∈ N tel que I∩Z = nZ. En deduire que I = nA
c. Soit p ∈ N un nombre premier et
Zp = ab / (a, b) ∈ Z×N∗ et p ne divise pas b. Montrer que Zp est un sous-anneau de Q. Soit x ∈ Q∗. Montrer
que x ou x−1 appartient a Zp.
d. Soit A un sous-anneau de Q different de Q tel que ∀x ∈ Q, x ou x−1 ∈ A. Soit I l’ensemble des elements noninversibles de A. Montrer que c’est un ideal de A et que tout ideal de A different de A est inclus dans I. ( ?) Endeduire qu’il existe p tel que A = Zp. ( plutot : A est une intersection de certains Zp )
CENTRALE 109
a. Determiner P ∈ C[X]/ P (C) ⊂ Rb. Determiner P ∈ C[X]/ P (N) ⊂ Q
CENTRALE 110
a. Soit G un groupe multiplicatif tel que ∀g ∈ G, g2 = eG avec eG neutre pour la loi * de G.
Montrer que G est commutatif.
b. Soit E un sous-groupe de GLn(C) tel que ∀A ∈ E, A2 = In. Montrer qu’il existe P ∈ GLn(C) tel que∀A ∈ E, P−1AP soit diagonale.
Que peut-on dire de l’ordre de E ( ordre=cardinal)
c. Montrer que GLn(C) et GLm(C) ne sont pas isomorphes.
72
CENTRALE 111 E = C∞(R,R), p ∈] − 1, 1[\0, q = 1 − pSoit u : E → E f 7→ u(f) avec u(f) : x 7→ f(px+ q)
a. Montrer que u est un automorphisme
b. Montrer que si λ est valeur propre de u alors −1 < λ 6 1
c. Montrer que si f est un vecteur propre de u alors ∃k ∈ N tel que f (k) = 0
d. Quels sont les vecteurs propres de u ?
CENTRALE 112
a. Montrer que ∀k ∈ N si k est impair alors
∀a ∈ N∗, k2a−1
≡ 1[2a]
b. Montrer que n divisen−1∑k=1
kn si et seulement si n est impair.
3.3 TPE
Annee 2010
TPE 60 Soit n > 2. Determiner le nombre de sous-groupes de Z/nZ.
TPE 61 Resoudre dans Z/11Z x+ y + z = 6x2 + y2 + z2 = 3x3 + y3 + z3 = 3
TPE 62 Soit A ∈ Mn(C) et
B =
[A In0n A
]Calculer ΠB en fonction de ΠA
TPE 63
1- Soit A ∈ Mn(C). Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ 1, . . . , n Tr(Ak) = 0
2- Soit A ∈ Mn(R) telle que A4 + 5A2 + 4In = 0 . Montrer que tr(A) = 0
3- Rajoute apres que les autres aient etes finis
Montrer que ∀P ∈ K[X] P (X) −X divise P (P (X)) −X
TPE 64
1- Montrer que φ(A,B) = Tr(tB.A) est un produit scalaire sur Mn(R)
73
2- Trouver Ω ∈ Mn(R) telle que
f :
E → EM 7→ ΩM
soit orthogonale pour φ.
TPE 65Soit H un sous-ensemble ( je suppose de cardinal fini) de GLn(R) non vide stable par produit.
1- Soit M ∈ H fixee et φ :
Z → Hk 7→ Mk
Montrer que φ n’est pas injective.
2- Montrer que H est un sous-groupe de GLn(R).
3- Soit q le cardinal de H et P = 1q
∑M∈H
M montrer que si M ∈ H alors PM = MP puis que P 2 = P .
TPE 66Soit G un sous-groupe de GLA(R2) ( groupe des applications affines de R2 dans R2). G est suppose de cardinal n
impair.
1- m = 1n
∑g∈G
g((0, 0))
Montrer que ∀h ∈ G, h(m) = m
2- On pose φ(u, v) = 1n
∑g∈G
⟨g(u), g(v)⟩.
Montrer que φ est un produit scalaire sur R2
3- On suppose que G un sous-groupe de SO(R2). Montrer que G est isomorphe a Z/nZ
TPE 67Regroupement de 2 exercices plus un troisieme car 1 et 2 finis
1- Soit A ∈ Mn(K) avec A = (C1, C2, . . . , Cn) et soit B ∈ Mn(K) avec B = (D1, D2, . . . , Dn). et ∀j, Dj =∑k =j
Ck.
Exprimer detB en fonction de detA
2- Soit u ∈ LK(E) tel que u2 = 0. Montrer que ker(u+ u∗) = keru ∩ keru∗
3- Soit A ∈ Mn(R) et SA+tA2 .
Soit α la plus petite et β la plus grande vap de S. Montrer que ∀λ ∈ Spec(A), α 6 λ 6 β
TPE 68Couple avec un exercice d’analyse
1- Soit A ∈ S+n (R).
montrer qu’il existe M ∈ S+n (R) tel que M2 = A
2- Montrer que ∀(A,B) ∈ (S+n (R))2, T r(AB) > 0
TPE 69Couple avec un exercice d’analyseSoit f ∈ LR(E) donnee par f(x) = . . . avec α ∈ R∗ et a ∈ E\0E
1- Valeurs propres de f
74
2- CNS sur α et a pour que f soit une isometrie.
TPE 70
1- On admet que∫R e
−u2
du =√π
a- Montrer que A ∈ S+n (R) si et seulement si toute vap de A est positive.
b- Soit Soit A ∈ S+2 (R) et X =
[xy
].
calculer I =∫ ∫
R×R exp(−tXAX)dxdy
2- Trouver les entiers n tels que
∃a ∈ N∗, n2 =a∑
k=1
k!
Annee 2009
TPE 71
1- Pour tout entier naturel n montrer qu’il existe deux entiers an et bn tels que (1 +√
2)n = an + bn√
2
2- Montrer que pour tout n > 1, an et bn sont premiers entre eux.
3- Etudier la suite (an
bn)n.
TPE 72 Resoudre dans M3(R) le systeme d’inconnue MM4 = M
M3 −M =
3 −2 −13 −2 −11 −1 0
TPE 73 Soit A ∈ Mn(C). Montrer qu’il existe un polynome P tel que exp(A) = P (A)
TPE 74
1. Pour i ∈ [|1 . . . n|], xi > 0. Montrer que (n∑
i=1
xi)(n∑
i=1
1xi
) > n2
2. Soient A et B deux matrices symetriques reelles positives. montrer que tr(A.B) > 0
3. Soit A une matrice symetrique reelle. montrer que kerA = kertAA
4. Soient f et g deux endomorphismes de E ( dim finie). Montrer que dim(ker(g f) 6 dim(ker(f)) + dim(ker(g))
TPE 75 A = [ai,j ]16i,j6n ∈ Sn(R) telle que ∀i ∈ 1, . . . , n, ai,i > 1 et∑
(i,j)/i =j
a2i,j < 1
1. Montrer que ∀X ∈ Mn(R)\0Mn(R), tXAX > 0
2. En deduire que A est inversible.
75
TPE 76 Soit f un endomorphisme de R2 de matrice dans la base canonique A =
[1 −12 1
]. Existe-t-il un produits scalaire
sur R2 tel que f soit une rotation ?
TPE 77 Resoudre 15x2 − 7y2 = 9 dans Z2
2008
TPE 78 Soit A ∈ Mn(C) et M =
[A In0 A
]CNS sur A pour avoir M diagonalisable ?
TPE 79 Soit A ∈ Mn(C) etf : Mn(C) → Mn(C)
M 7→ AMMontrer que f est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.
TPE 80
A =
0 1 0 2−3 0 4 00 1 0 3−1 0 1 0
et B =
10 −10 0 10 0 0 −1
Ces matrices sont-elles semblables ?
TPE 81 a et b deux vecteurs non nuls de R3. Resoudre
a ∧ x = b
TPE 82 E ev euclidien. Determiner les endomorphismes f de E tels que
∀(x, y) ∈ E2, f(x ∧ x) = f(x) ∧ f(y)
TPE 83 E = K[X]f : E → E
P 7→ P ′ϕ : L(E) → L(E)
g 7→ f g − g f
Valeurs propres de ϕ ?
TPE 84 Montrer que deux matrices reelles semblables dans Mn(C) sont semblables dans Mn(R)
Annee 2007
TPE 85 Soit F l’ensemble des endomorphismes antisymetriques de R3. Montrer que c’est un ev et en trouver une base.
76
TPE 86ϕ : N∗ → N
1 7→ 0p premier 7→ 1
et telle que ∀(x, y) ∈ (N∗)2, ϕ(x.y) = ϕ(x) + ϕ(y) ceci est une modif de l’enonce initialement errone que je tentesans garantie de succes
a. Calcul de ϕ(n) pour n ∈ N∗
b. Determiner les n ∈ N∗ tels que ϕ(n) = n
TPE 87 Soit E de dimension n et u ∈ LK(E).
a. On suppose que Πu = XkQ(X) avec Q(0) = 0 et k ∈ N∗ Montrer que E = keruk⊕Imuk
b. Montrer que si E = keruk⊕Imuk alors u a un polynome annulateur de valuation k
TPE 88Soit (G, ·) un groupe commutatif et soit (a, b) ∈ G2. On suppose que a est d’ordre p et b d’ordre q et que p∧ q = 1.Montrer que l’ordre de a · b est pq
TPE 89 Resoudre l’equation M2 =
1 1 00 4 10 0 9
TPE 90
a. Soit A ∈ Mn(C).
Montrer que A est inversible si et seulement si l’application ϕ : M 7→ AM est un automorphisme de Mn(C)
b. Soit (E, ⋆) associatif de neutre e. Soit a ∈ E et f : x 7→ a ⋆ x. On suppose que a est inversible. Que peut-on direde f ?
TPE 91Soit A ∈ S+
n (R. Montrer queTr(A) = sup
U∈On(R)Tr(AU)
TPE 92 Soit λ une valeur propre de A ∈ Mn(C). Que peut-on dire des valeurs propres de B =t (comA) ?
Annee 2006
TPE 93 Soit E le R espace vectoriel des applications de classe C1 sur R telles que f(0) = 0.
T est l’application definie sur E par T (f) : x 7→ (T (f))(x) =∫ x
0f(t)t dt
a. Montrer que T est un endomorphisme
b. Determiner ses valeurs propres et la dimension de ses sous-espaces propres.
77
TPE 94 E est un espace vectoriel euclidien. Soit f ∈ L(E)/ ∀x ∈ E, ∥f(x)∥ 6 ∥x∥ et soit D = vect(u). On fixe a ∈ R∗
et on definit fa(x) = x+ a⟨x|u⟩u.
1. Montrer que f(x) = x⇒ f∗(x) = x
2. Montrer que E = ker(f + IdE) ⊕ ker(f − IdE).
3. limN→+∞
N−1∑k=0
fk
TPE 95 Determiner les couples (a, b) ∈ N tels que a ∧ b = 50 et a ∨ b = 600
TPE 96 Soit A ∈ Mn(R). montrer qu’il existe U ∈ O(n) telle que tA.A = U−1AtAU
TPE 97 E evn de dimension n et f ∈ L(E) non nulle telle que
∀(x, y) ∈ E2, ⟨x|y⟩ = 0 ⇒ ⟨f(x)|f(y)⟩ = 0
a. Montrer qu’il existe a > 0 etl que ∀x ∈ E, ∥f(x)∥ = a∥x∥b. Montrer que f est la composee d’une homothetie et d’une isometrie.
TPE 98 Soient deux formes bilineaires symetriques sur R2 :
α(x, y) = x1y1 + x2y2 et β(x, y) =1
2(x1y2 + x2y1)
Soit φ une forme bilineair symetrique sur R2. Montrer qu’il existe un automorphisme g de R2 tel que l’on ait l’une destrois proprietes suivantes :
P1∀(x, y) ∈ R2, φ(g(x), g(y)) = α(x, y)
P2∀(x, y) ∈ R2, φ(g(x), g(y)) = −α(x, y)
P3∀(x, y) ∈ R2, φ(g(x), g(y)) = β(x, y)
TPE 99 Que peut-on dire des valeurs propres reelles d’une matrice antisymetrique reelle ?
TPE 100 Soit X ∈ Mn(R). Resoudre XtXX = In
TPE 101A = (xn)n∈N ∈ KN/ xn+5 = xn+4 + 5xn+3 − xn+2 − 8xn+1 − 4xn
Soit u l’endomorphisme de l’espace des suites tel que u((yn)n) = (yn+1)n.
a. Montrer que A = ker(u− id)3 ⊕ ker(u− 2Id)2.
b. En deduire une expression simple des elements de A
78
TPE 102 Soit A ∈ Mn(R) symetrique de valeurs propres (λ1, . . . , λn) a priori pas distinctes. Montrer que
n∑i=1
λ2i =∑i,j
a2i,j
TPE 103 Soit A symetrique reelle. Montrer que A+ iIn est inversible.
TPE 104 Soit n ∈ N et n > 2. Soit M ∈ Mn(C)
a. On suppose que toutes les valeurs propres de M sont simples. Combien de solutions l’equation Z2 = M a-t-elle ?
b. Donner un exemple de matrice M telle que lequation ait une infinite de solutions.
c.
M =
0 1 0 . . . 0
0. . .
. . ....
. . .. . . 0
(0). . . 1
0 . . . 0
.
Montrer que l’equation n’a aucune solution.
TPE 105Determiner les matrices A ∈ Mn(R) avec n > 3 telles que A =t (comA)
TPE 106 Soit E euclidien, (e1, . . . , en) et (f1, . . . , fn) deux bases orthonormees de E. et uinL(E). Calculern∑
i=1
n∑j=1
⟨u(ei)|fj |⟩
TPE 107 n > 2. Soit A un hyperplan de Mn(C). On suppose que A est stable pour la multiplication et In /∈ A.
a. Montrer que M2 ∈ A ⇒M ∈ Ab. En deduire que ∀i ∈ [1, n], Ei,i ∈ Ac ; En deduire une absurdite.
TPE 108
1. Soit (A,B) ∈ Mn(C)2. Montrer que
Spec(A)∩Spec(B) = ∅⇔ χA(B) ∈ Gln(C)
2. Soit (A,B, P ) ∈ Mn(C)3, P = 0Mn(C). On suppose que PA = BP . Montrer que A et B ont une valeur proprecommune.
TPE 109
f =
Mn(C) → Mn(C)
M 7→ tM
Calculer Tr(f)
79
TPE 110 Determiner l’ensemble des f ∈ L(Rn) telles que f(Zn) = Zn
TPE 111 Determiner l’ensemble des matrices semblables a diag(1, 2, . . . , n) et qui commutent avec elle.
3.4 MINES
Annee 2010
MINES 43Deux fois
Soit A =
a
(c). . . (b)
a
avec a ∈ C∗. Soit J = [(1)] ;
P (x) = det(A+ xJ)
a- Quel est le degre de P ?
b- Calculer det(A)
MINES 44Soit E un K− espace vectoriel, p un projecteur de E et f un endomorphisme de E.
1- Montrer que p f = f p si et seulement si Im(p) et ker p sont stables par f
2- Si f est un projecteur qui commute avec p montrer qu’il existe une base de vecteurs propres commune a p et f
3- f p ( resp f + p) sont-ils des projecteurs ? Valeurs propres de f + p ?
MINES 45
1- Quelles sont les valeurs propres reelles possibles d’une matrice antisymetrique ?
2- Quelles sont les vap complexes de A =
0
(−1). . . (1)
0
MINES 46Soit (A,B) ∈ Mn(R)2 deux matrices symetriques reelles positives. Etablir une relation entre det(A + B) et
det(A) + det(B). L’egalite est-elle possible ?
Annee 2009
MINES 47 Soient E,F,G trois R- espaces vectoriels. Soit f ∈ L(E,F ) et g ∈ L(F,G)
1- Montrer que rg(g f) + dim(ker g∩Imf) = rg(f)
2- E = F = G et dimE = n
Montrer que rg(f) + rg(g) − n 6 rg(g f) 6Min(rg(g), rg(f))
MINES 48 Soit p un nombre premier de la forme 4n+ 1. Montrer qu’il existe u ∈ Z tel que u2 + 1 ≡ 0[p].*En deduire que p est la somme de deux carres
80
MINES 49 Soit u un endomorphisme d’un ev E. Montrer que u est diagonalisable si et seulement si u/Im(u) est diagonalisableet Im(u)
∩keru = 0E
MINES 50
A =
a1 a2 . . . ana2... (0)an
A est-elle diagonalisable. Si oui, donner une base de vecteurs propres.
Annee 2008
MINES 51 E est un espace euclidien de dimension n et p et q sont deux projecteurs orthogonaux non triviaux.p q est-il diagonalisable ?
MINES 52
M =
0 1 10 1 01 0 0
Quels sont les sous-espaces vectoriels de R3 stables par M ?
MINES 53 Dans (R3, ⟨ , ⟩) soit r une rotation vectorielle et s une reflexion. Que peut-on dire de s r s ?
MINES 54Determiner tous les morphismes de groupe de Sn dans (−1, 1)
MINES 55 Soit E un ev de dimension n et H1, . . . , Hn des hyperplans de E tels quen∩
k=1
Hk = 0E. Soit f un endomorphisme
de E
1. Montrer que ∀k ∈ [|1;n|∥, dim(k∩
i=1
)Hi > n− k ( en fait =)
2. On suppose que H1, . . . ,Hn sont stables par f . Montrer que f est diagonalisable.
3. Etude de la reciproque de 2.
MINES 56 Soit Rn muni de son produit scalaire canonique w = (1, . . . , 1)
1. Matrice du projecteur orthogonal sur vect(w). En donner le polynome caracteristique, le polynome minimal, etles valeurs et vecteurs propres
2. Soit A = (ai,j)i,j telle que si i = j, ai,j = c et ai,i = b. Exprimer A en fonction de la matrice precedente. Endonner le polynome caracteristique, le polynome minimal, et les valeurs et vecteurs propres
MINES 57A ∈ Mn(K). Montrer que A est nilpotente si et seulement si tr(A) = tr(A2) = . . . = tr(An) = 0
81
MINES 58 Le juillet 2008 tombait un vendredi. Quel jour tombe le 11 juillet 2009 ?
MINES 59 Soit G un sous-groupe de GLn(K) verifiant ∀A ∈ G, A2 = In
1. Montrer que G est finie et a au plus 2n elements
2. Exo classique( centrale ?) a transcrire
MINES 60 Soit A ∈ Mn(C) telle que A2 est diagonalisable.Montrer que A est diagonalisable si et seulement si ker(A) = ker(A2)
MINES 61
M =
[A C
0Mp,n(K) B
]avec A ∈ Mn(K), B ∈ Mp(K), C ∈ Mn,p(K)
1. On suppose A et B diagonalisables de spectres disjoints. Montrer que M est diagonalisable
2. Etudier la reciproque
Anne 2007
MINES 62E ev de dimension n, F sev de E.K = u ∈ LK(E)/F ⊂ keru
a. Montrer que K est un ev
b. Dimension de K ?
MINES 63Soit F une application non constante sur Mn(R) telle que ∀(A,B) ∈ (Mn(R), F (AB) = F (A)F (B)Montrer que F (A) = 0 ⇔ A ∈ GLn(R)
MINES 64
X =
x1...xn
∈ Mn,1(R)
On suppose quen∑
i=1
x2i = 1
on pose A = X.tX
a. Valeurs propres et vecteurs propres de A ?
b. Nature de u de matrice A dans une BON de Rn ?
MINES 65Soit A ∈ Mn(R) telle que A3 +A2 +A = 0.Montrer que le rang de A est pair
82
MINES 66CNS sur α pour que la forme quadratique sur Rn
q(x) =n∑
i=1
x2i − α(n∑
i=1
xi)2
soit definie positive.
Annee 2006
MINES 67Resoudre dans Mn(R) et Mn(C) l’equation AtAA = In. Calculer eA. A est-elle diagonalisable ?
MINES 68 Soit M une matrice symetrique reelle telle que M12 = In. Que peut-on dire de M2 ?
MINES 69 SoitE = f ∈ C∞(R,R)/ f est 1-periodique
et soit
∆ : E → Ef 7→ f”
1. Determiner ker ∆2
2. Si g ∈ E montrer que
g ∈ Im(∆) ⇔∫ 1
0
g(t) dt = 0
3. Montrer que E = ker ∆ ⊕ Im(∆)
MINES 70 Soit P ∈ R[X]. montrer qu’il existe Q, unique tel que Q(X + 1) −Q(X) = P (X) et Q(0) = 0
MINES 71Z[√
5] = a+ b√
5, (a, b) ∈ Z2Est-ce un anneau isomorphe a Z ?
MINES 72A designe la matrice reelle antisymetrique telle que ∀i < j, ai,j = 1
a. Quelle est la seule valeur propre reelle possible de A ?
b. Determiner les valeurs propres complexes de A
c. Que peut-on dire de A3 ?
MINES 73 Soit A ∈ Mn(C) nilpotente. Comparer ker(A) et ker(exp(A) − In)
MINES 74 1 j j2
j j2 1j2 1 j
83
a. A est-elle diagonalisable ?
b. Calcul de exp(A).
MINES 75 Recherche des plans et droites stables par un endomorphisme represente par A matrice 3 × 3 avec 2 vp et pasdiagonalisable.
MINES 76 Condition necessaire et suffisante sur α pour que q((x1, . . . , xn)) =n∑
i=1
x2i − α(n∑
k=1
xi)2 soit definie positive.
MINES 77 Soit U ∈ On(R). Montrer que |∑
16i,j6n
ui,j | 6 n
3.5 DIVERS
Annee 2010
Divers 40 INTQuel est le dernier chiffre en numeration decimale de N = 77
7
Divers 41 ENSEA ENSIIEE euclidien et f ∈ L(E) telq eu
∀(u, v) ∈ E2, ⟨u, v⟩ = 0 ⇒ ⟨f(u), f(v)⟩ = 0
Montrer qu’il existe λ > 0 tel que ∀u ∈ E, ∥f(u)∥ = ∥u∥
Annee 2009
Divers 42ENSTIM( Petites Mines)
Soit A =
1 . . . 1... (0)
...1 . . . 1
.
Calculer ses valeurs propres et ses vecteurs propres. est-elle diagonalisable ?
Divers 43Magistere de Rennes
1- Donner un exemple d’endomorphisme Φ de noyau reduit a 0E et qui n’est pas inversible.
2- Soit N ∈ Mn(R) nilpotente st Φ : A 7→ AN −NA
a- Pour p ∈ N, calculer Φp(A)
b- Montrer que Φ est nilpotente.
Divers 44
84
ENSTIM (Petites Mines)
Ma,b = a.
1 1 − b 1 + b1 + b 1 1 − b1 − b 1 + b 1
a- CNS pour que ce soit la matrice d’une rotation vectorielle
b- Determination de la rotation
Divers 45Soit A ∈ M6(R) On suppose que A3 − 3A2 + 2A = 0 et det(A) = 0 et tr(A) 6 8. Calculer χA(X)
Divers 46Telecom Sud paris ex INTSoit E un R- espace vectoriel de dimension n et g et h deux endomorphismes de E. On suppose que g et h
commutent et que h est nilpotent. Montrer que g + h ∈ GLn(R) si et seulement si g ∈ GLn(R)
Annee 2008
Divers 47INTA ∈ Mn(K) etfA : Mn(K) → Mn(K), M 7→MA+AMCalculer la trace de fA
Divers 48 Petites Mines
a. Trouver les suites verifiant un+3 + un+2 + un+1 un = 0u0 = 1 u1 = 2 u2 = 0
b. Trouver les matrices A verifiant AtAA = In
Divers 49ENSTIM
A =
O O a0 0 ba b c
1. Calculer ker(A)
2. Calculer le polynome caracteristique de A
3. A est-elle diagonalisable ?
Divers 50INTTrouver les sev de R3 stables par u de matrice
A =
0 1 11 0 10 0 1
85
Divers 51St CyrSoit A ∈ Mn(R) telle que
A4 +A3 + 2A2 +A+ In = 0
Montrer que n est pair et que tr(A) est un entier negatif.
Divers 52INT
M =
b1 1 0 . . . 0... 0
. . . (0)...
.... . .
. . ....
.... . .
. . . 0bn 0 . . . . . . 0
Calculer χM et ΠM
Annee 2007
Divers 53INT(A,B) ∈ (S+
n (R))2
Montrer que det(A+B) ≥ det(A) + det(B)
Divers 54INT(A,B) ∈ (S+
n (R))2
Montrer que det(A+B) ≥ det(A) + det(B)
Divers 55 NAVALESoit (A,B) ∈ (Mn(K))2 avec rg(A) = rg(B) = 1Montrer que A et B sont semblables si et seulement si Tr(A) = Tr(B)
Divers 56INTSoit A ∈ Mn(R) telle que ∀O ∈ O(n), AO = OA
a. Montrer que A commute avec toutes les matrices de projecteurs
b. Montrer que A commute avec toutes les matrices symetriques
Divers 57IIESoient A,B,C et D quatre points quelconques de R3. Exprimer
−−→DA∧−−→
DB +−−→DC ∧−−→
DA+−−→DB ∧−−→
DC en fonction de−−→AB et
−→AC
Divers 58IIE
86
a. A ∈ GLn(R). Montrer qu’il existe Ω orthigonale et T triangulaire telles que A = ΩT et montrer l’unicite
b. A ∈ Mn(R) Montrer que
|detA| 6n∏
i=1
∥Ci∥
avec ∥Ci∥ la norme euclidienne du i-eme vecteur colonne de A
Divers 59 NAVALESoit (A,B) ∈ (Mn,1(R))2 tels que (A, b) libre. Etudier la diagonalisation de AtB +BtA
Divers 60 NAVALEE euclidien et u ∈ LK(E) tel que u u∗ = u− u∗
Que peut-on dire de u ?
Divers 61 AIRE de dimension finie. f ∈ LK(E). Montrer qu’il esiste p ∈ N tel que E = ker fp
⊕Imfp
Divers 62 INTSoit P ∈ R[X] scinde sur R
a. Montrre que P ′ est scinde sur Rb. Montrer que Q = P + P ′ est scinde sur R
Divers 63 INT Soit M ∈ GLn(C) telle que M2 soit diagonalisable. Montrer que M est diagonalisable.
Divers 64 ENSEAE de dimension n et f nilpotent d’ordre n.
a. Montrer qu’il existe e ∈ E tel que (e, f(e), . . . , fn−1(e)) est une base de E et donner la matrice de f dans cettebase
b. Montrer que ∀p ∈ 0, 1, . . . , n, dim(ker(fp)) = p
Divers 65 ENSEA
M(θ) =
[1 − θ cos( 2
θ ) −θ sin( 2θ )
−θ sin( 2θ ) 1 + θ cos( 2
θ )
]Trouver les valeurs propres de M(θ) et une base de vecteurs propres.
Divers 66 ENSEACalculer inf
a,b
∫R∗ e
−t(t− (at+ 2)(bt− 1))2dt
Divers 67
87
ST CYR
M =
0 a a21a 0 a1a2
1a 0
a. Calculer M2 en fonction de M et I3. en deduire que M est diagonalisable
b. Calcul des vp et diagonalisation
Divers 68 ST CYR
A =
−1 a a−1 −1 01 0 −1
a. Trouver V1 tel que AV1 = −V1 AV2 = V1 − V2 AV3 = V3 − V1
b. Calculer An pour n ∈ Nc. Calculer exp(xA
Annee 2006
Divers 69INT TELECOM
Determiner l’ensemble des X ∈ M3(R) verifiant X3 +X = 0.
Divers 70INT TELECOM Soit E un espace vectoriel de dimension finie . Soientu et v deux endomorphismes tels que
u v = v u et v nilpotent.
a. Montrer que u+ v est bijectif si et seulement si u est bijectif.
b. Montrer que det(u+ v) = det(u)
Divers 71INT TELECOM
Soit n ∈ N et n > 2. Quelles sont les matrices A ∈ Mn(R) telles que ∀M ∈ Mn(R), det(A+M) = det(A)+det(M)
Divers 72INT TELECOM
Soit P ∈ R[X]. Montrer que
∀a ∈ R, P (a) > 0 ⇔ ∃(S, T ) ∈ R[X]2/ P = S2 + T 2, avec Set T sans racine commune
88
TPE 111
4 GEOMETRIE
Annees 2010 et 2009Annee 2008
4.1 CCP
CCP 163 Etude et trace de x(u) = u2−1
u
y(u) = u2+1u+1
1- Allure de la courbe ?
2- Methode pour trouver les asymptotes et la position relative de la courbe par rapport aux asymptotes.
CCP 164 Etude, trace deρ(θ) = sin(θ) − 2 cos(θ)
Annee 2007
CCP 165ρ(θ) = 2
√cos(2θ)
a. Symetries de la courbe
b. Allure
c. Etude de la tangente en π4
Annee 2006
CCP 166 12 pointsDans le plan affine euclidien muni d’un rep‘ere orthonorme d’origine O on considere l’ellipse
E :
x(t) =
√5 cos t
y(t) = sin t
Soit M ∈ E et A le centre du cercle tangent a l’ellipse en M et passant par O. Donner les equations parametriques dela courbe decrite par A lorsque M decrit E . ( lieu de A)
CCP 16712 points
x(t) = cos2 t+ ln | sin t|y(t) = sin t. cos t
CCP 168 Etude et trace de x(u) = u−1
u
y(u) = u2
u+1
89
CCP 169 Dans le plan affine euclidien muni d’un repere orthonorme, soit la courbe d’equation x2 + 4x− 4y2 + 8y − 4 = 0
1. Tracer la courbe placer foyers et asymptotes
2. Equation de la tangente aux points d’intersection avec l’axe des x.
CCP 170 Dans le plan affine euclidien muni d’un repere orthonorme, soit la courbe d’equation x2 + +3y2 − 6y+ 4x− 2 = 0
1. Representer cette courbe
2. Pente de la tangente a la courbe en les points ou elle coupe l’axe des y.
CCP 171Dans le plan affine euclidien muni d’un repere orthonorme, soit la courbe d’equation x2 + 4y2 + 2x− 8y + 1 = 0
1. Tracer la courbe.
2. Equation de la tangente aux points d’intersection avec l’axe des y.
4.2 CENTRALE
Annee 2010
CENTRALE 113Soit un cercle de centre O rayon r et trois points A,B et C sur ce cercle.Comment faut-il les positionner pour avoir un triangle ABC d’aire maximale.Cas d’une ellipse ?
Annee 2009
CENTRALE 114 Avec Maple Soit P la parabole
x = t2
y = tM(t) designe un point de P et D la tangente a P en M(t).Soit (a, b) ∈ R2 tel que 1 < a < 2b et A(a, b). On appelle H(t) le projete orthogonal de A sur D
1- Determiner les coordonnees (X(t), Y (t)) de H(t).
2- Tracer le lieu des points H(t). Monterr que cet arc possede un point double unique.
3- Determiner la position des branches infinies par rapport aux asymptotes.
4- Montrer que l’arc rencontre la parabole en exactement 3 points.
Annee 2008
CENTRALE 115
x(t) =t− 1
t2 − 4y(t) =
t2 − 3
t+ 2
1- Conditions sur r, s et t pour que M(r),M(s) et M(t) soient alignes.
2- Points doubles de la courbe ?
3- Equation de la tangente en M(1)
CENTRALE 116Soit E ellipse de foyers F1 et F2. On note H1 et H2 les projetes orthogonaux de F1 resp F2 sur la tangente en un
point courant M de l’ellipse.
90
Calculer les coordonnes de H1 et H2 en utilisant Maple. ( sans doute une question manquante sur le lieu de cespoints).
Tracer dans le cas a = 2 et b = 1
Annee 2007
CENTRALE 117Trace de ρ = (cos(4θ) + 1)
CENTRALE 118Soit C1 le cercle de centre (a, 0) et de rayon a et C2 le cercle de centre (−b, 0) et de rayon b. Soient M1 ∈ C1 et
M2 ∈ C2. Determiner ces points de facon que l’aire deOM1M2 soit maximale
CENTRALE 119Soient A1, A2, . . . , An n points distincts de R2 d’affixes respectifs a1, . . . , an.Soit Σ l’ensemble des points M tels que
n∑i=1
−−−→MAi
MA2i
=−→0
Soit P (X) =n∏
i=1
(X − ai)
a. Montrer que M ∈ Σ si et seulement si P ′(z)P (z) = 0 ( avec z affixe de M)
b. Montrer que si card(Σ) = n− 1 l’isobarycentre de Σ est le meme que celui de (A1, . . . , An)
c. Si card(Σ) = n− 1 soient B1, . . . , B8n npoints tels que l’ensemble des points M tels quen∑
i=1
−−−→MAiMA2
i=
−→0 soit egal
a ’ensemble des points M tels quen∑
i=1
−−−→MBiMB2
i=
−→0
Montrer que A1, . . . , An et B1, . . . , Bn sont deux ensembles egaux ou bien disjoints.
CENTRALE 120 Soit (C) d’equation y = x3 − x2 + x+ 1. Montrer que les droites qui coupent (C) en trois points tels que l’un soitle milieu des deux autres passent par un point fixe.
CENTRALE 121 On considere le lieu des points
M(t) = (2 cos t
2 − sin(2t),
2 sin2 t
2 − sin(2t))
a. Equation cartesienne, trace, point double A
b. On suppose que M(s) et M(t) sont deux points de la courbe alignes avec O. Equation du cercle passant parM(s), M(t) et A
c. Aire de la boucle ( entre cercle et courbe j’imagine)
Annee 2006
CENTRALE 122 Exercice sur la cocyclicite a revoir
CENTRALE 123 Reduire et donner la nature de xy + xz + yz = 1
91
4.3 TPE
Annees 2010 et 2009Annee 2008
TPE 112Lieu du centre de courbure de la conique x2
a2 + y2
b2 = 1
Annee 2007
TPE 113 Etude des courbes parametrees d’equations ρ(θ) = 2√
7 cos(θ − α) et ρ(θ) = 4√3 sin θ−cos θ
TPE 114 Determiner les courbes planes dont le rayon de courbure est constant.
4.4 MINES
Annee 2009
MINES 78 Soit l’arc gauche x(t) = cos t
sinh t
y(t) = sin tsinh t
z(t) = cosh tsinh t
Montrer que la tangente et le plan osculateur sont tangents a une sphere de centre O
Annee 2008
MINES 79 Reconnaıtre selon les valeurs de m
x2 + 2y2 + (m2 + 1)z2 + 2xy − 2yz + 2x− 4y + 4 +m2 = 0
Annee 2007
MINES 80 Petit exercice pose a la fin d’une plancheSoit un cercle C et une droite D qui est un diametre de C Soit un point A qui n’est pas sur le cercle. Placer le
projete orthogonal de A sur D en utilisant seulement une regle infinie.
4.5 Divers
Annee 2010
Divers 73 ENSEA/ENSIIE
Dans (0,−→i ,
−→j ,
−→k ) determiner analytiquement la rotation Rθ d’angle θ autour de (d) :
x = zy = 0
. On choisit
un vecteur directeur de (d) de premiere coordonnee positive.
Annees 2009 et 2008Annee 2007
Divers 74 ST CYRCalcul de l’aire delimitee par une ellipse en utilisant la formule de Green-Riemann
92
5 QUESTIONS DE COURS
ANALYSE
Proprietes des suites monotones. Theoreme des segments emboıtes.Enonce et demonstration du theoreme de Bolzano-Weierstrass.Enonce et demonstration du theoreme de Cesaro.Fonction reciproque de sinus hyperbolique ; son expression en logarithme.Theoreme des series alternees : enonce et demonstration.Montrer que si deux series positives ont leurs termes equivalents alors elles ont meme nature.Constante d’Euler.Trouver une serie numerique de terme general o(1/n) et qui diverge.Montrer que si une serie de complexes converge absolument alors elle converge.Types de convergences pour les suites de fonctions.Ecriture avec les ε.Types de convergences pour les series de fonctions. Montrer CVN ⇒ CVU.Inegalites et egalites de Taylor.Produit de Cauchy de deux series numeriques.Definition et caracterisation des diffeomorphismes de classe Ck. Lemme D’Abel : enonce et demonstration.Definition du rayon de convergence d’une serie entiere.Description des solutions d’un systeme differentiel : justification.Theoreme de Cauchy-Lipschitz pour les equations differentielles.Une limite uniforme d’une suite d’applications continues est continue.Integrales a parametres (theoreme de continuite)Definition des coefficients de Fourier et enonces des theoremes de Dirichlet.Definition d’un ouvert, d’un ferme. Proprietes relatives a leur
∩et leur
∪.
Lien entre compact et ferme/borne.L’image continue d’un compact est un compact.Un evn de dim finie est complet.La boule unite d’un evn de dim finie est convexe et compacte. (demos)Comparaison des moyennes arithmetique et geometrique.Methodes de calcul de π
ALGEBRE
Definition d’un anneau. Caracterisation des sous-anneaux. Des ideauxFormule du binome : enonce et demonstration.Ordre d’un element dans un groupe cyclique.Qu’est-ce que la signature d’une permutation ?Decomposition d’un polynome en facteurs irreductibles.Le polynome minimal d’un endomorphisme est-il toujours irreductible ?Interpolateur de LagrangeDecomposition en elements simples.Methodes de resolution de systemes lineairesTrace d’un endomorphisme. Pour un projecteur lien entre trace et rang.CNS diagonalisabiliteDemonstration de Cayley-Hamilton dans le cas diagonalisable. Dans le cas trigonalisable.La restriction d’un endomorphisme diagonalisable a un sev stable est diagonalisable.Demonstration de Cauchy-Schwarz et cas d’egaliteExistence de bases orthonormales dans un ev euclidienIsometries. Matrices orthogonales.Endomorphismes autoadjoints.Sous-espaces stables par un endomorphisme diagonalisable.Theoreme de D’Alembert.
GEOMETRIE
Expression du rayon de courbure en coordonnees parametriques avec demonstration.Plan tangent d’une nappe parametree.
93
6 CORRIGES
CCP 1
a- La suite∑an diverge donc 1 n’est pas dans le disque ouvert de convergence donc R 6 1. (an)n est bornee donc
1 n’est pas dans le complementaire du disque ferme de convergence. Donc 1 6 R. Donc R = 1
b- On applique a-. La suite (an)n∈N est bornee et comme a2n = (−1)n, la suite ne tend pas vers 0 donc la seriediverge. R = 1
CCP 2
a-
b-
CCP 3
a-
b-
CCP 4
1-
2- a-
b-
c-
CCP 5
a-
b-
c-
CCP 6
a-
b-
CCP 7
a-
b-
CCP 8
a-
b-
CCP 9
a-
b-
CCP 10
CCP 11
1-
2-
3-
CCP 12
a-
b-
94
c-
CCP 13
a-
b-
c-
CCP 14
a-
b-
c-
d-
CCP 15
a-
b-
c-
CCP 16
a-
b-
CCP 17
a-
b-
CCP 18
CCP 19
CCP 20
a-
b-
CCP 21
a-
b-
CCP 22
a-
b-
CCP 23
a-
b-
CCP 24
a-
b-
CCP 25
a-
b-
CCP 26
a-
b-
c-
95
CCP 27
a-
b-
CCP 28
1-
2-
3-
CCP 29
a-
b-
CCP 30
1-
2-
CCP 31
1-
2-
3-
CCP 32
a. Pour |x| < 1,
f(x) =1
3
+∞∑n=0
((−1)n +1
2n+1)xn
b. Le DL s’obtient par troncature a l’ordre 3 ( a expliquer).
CCP 33
1-
2-
3-
CCP 34
a-
b-
CCP 35
a-
b-
CCP 36
CCP 37
a-
b-
c-
CCP 38
CCP 39
1-
2-
3-
4-
CCP 40
96
1-
2-
3-
CCP 41
a-
b-
CCP 42
a-
b-
CCP 43
a-
b-
CCP 44
CCP 45
∀x ∈ R, f(x) = ℜ(e(1+i)x) =+∞∑n=0
(√
2)n cos(nπ4 )xn
n!
CCP 46
a. fn est croissante sur ]0,+∞[, fn(0) = −1 et fn(1) > 0 donc (TVI) an existe et est unique. De plus fn+1(an) =an+1n > 0 donc an decroıt. Minoree et decroissante, (an)n converge vers ℓ ∈ [0, 1[
b. fn(x) = x−xn+1
1−x − 1. Comme fn(an) = 0 on obtient la relation voulue. Comme an+1n tend vers 0( passer par la
limite du log). On a alors 2an − 1 tend vers 0 = 2ℓ− 1. D’ou ℓ = 12 .
c. 1
CCP 47
CCP 48
a.
b.
c.
CCP 49
a.
b. Theoremes
c. F ′(t) − F (t) = −√2
2√t
. On resout par variation de constante et on trouve F (t) = (−π2 θ(
√t) + C)et. la constante
C = F (0) = π2 . Finalement on a
F (t) =√πet
∫ +∞
√t
e−v2
dv
CCP 50
a. Recurrence et Pascal
b. f (n)(x) =n∑
k=0
. . . (−1)kk!(1+x)k+1 2n−k)e2x
CCP 51
a. fn(t) = 11+t2+tne−t est continue sur [0,+∞[. Pour ∀n, fn(t) ∼n→+∞
1t2 integrable sur [1,+∞[.
b. Sur [0, 1[la suite (fn)n CVS vers f : t 7→ 11+t2 qui est continue et f domine (fn)n. Par application du theoreme
de Lebesgue de convergence dominee on a :∫ 1
0fn(t)dt tend vers π
4 .
Sur ]1,+∞[la suite (fn)n CVS vers la fonction nulle et elle est dominee par f : t 7→ 11+t2 donc par le theoreme
de Lebesgue de convergence dominee on a :∫ +∞1
fn(t)dt tend vers 0 La limite de (un)n est donc π4 .
97
CCP 52
CCP 53
CCP 54
CCP 55
CCP 56
CCP 57
CCP 58
CCP 59
CCP 60
CCP 61
a. Lu est lineaire : le seul point est de reperer que la variable de Lu est une fonction : y
b. b(x) − (a(x))2
4 − a′(x)2 = 0
c. La relation 1 − (tanhx)2 = ddt (tanhx) est verifiee. Donc l’ensemble des solutions est ker(Lu)2
On calcule d’abors kerLu, soit encore on resout y′ + tanhxy = 0. On trouve y(x) = αcosh x .
Ensuite cherche les y telles que Lu(y) ∈ kerLu soit encore on resout y′ + tanhxy = αcosh x .
Les solutions sont
y(x) = (λx+ µ)1
coshx
avec (λ, µ) ∈ R2
CCP 62 La serie de fonctions converge absolument simplement sur [0, 1] car un(1) = 0 et la suite (an)n est bornee.
De plus il y a convergence normale sur tout segment [0, b] ou b ∈ [0, 1[.
Par etude fonctionnelle on trouve supx∈[0,1]
un(x) = un( nn+1 ).
Or un( nn+1 ) ∼ an
e.n . On va montrer qu’il n’y a pas de resultat general concernant la convergence normale sur [0, 1].
Avec an = 1n+1 on a CVN. Avec an = 1
ln(n+1) il n’y a pas convergence normale.
Etude de convergence uniforme : Rn(1) = 0 et pour x = 1, comme (an)n decroıt, 0 6 Rn(x) 6 an+1.xn+1 6 an+1.
Donc supx∈[0,1]
Rn(x) tend vers 0 quand n tend vers +∞. Il y a convergence uniforme de la serie de fonctions sur[0,1].
Remarque : comme supx∈[0,1]
un(x) tend vers 0, la condition necessaire de convergence uniforme de la serie de fonctions
etait a priori verifiee.
CCP 63
CCP 64y(x) = λ.
√x2 − 1) + 2(x2 − 1)
CCP 65 Si α < −1 la serie de terme general nα. On note Sα sa somme. Alors un tend vers 1Sα
. Donc la serie divergegrossierement.
Si α > −1 alors la suite un tend vers 0.
Si α = −1 alors un ∼ 1lnn donc la serie diverge.
Si α > −1 alors un ∼ α+1nα+1 . La serie converge si et seulement si α > 0.
Remarque : les equivalents utilises se calculent en utilisant la monotonie de x 7→ xα et les integrales.
CCP 66
a.
b.
CCP 67
a.
98
b.
c.
d.
CCP 68
a. solution du second
b.
CCP 69
a. solution du premier
b.
CCP 70
a.
b.
CCP 71
CCP 72
CCP 73
CCP 74
a.
b.
CCP 75
a.
b.
CCP 76
a.
b.
CCP 77
CCP 78
a. Voir dans le cours fonction dzeta
b. Il y a CVU sur [2,+∞[ et 1nx tend vers 0 donc par theoreme d’interversion de limites, S(x) tend vers 0
c. Introduire la fonction Φ(x) =+∞∑n=1
(−1)n
nx qui est continue sur ]0,+∞[. On a (1 − 12x )S(x) = Φ(x) et tend vers
− ln 2 en 1. Enfin calculer un equivalent de l’expression en 1.
CCP 79
CCP 80
a.
b.
c.
CCP 81
a.
b.
CCP 82
a. solution du second
b.
CCP 83
a. solution du second
b.
99
CCP 84
a. f est definie sur le disque ferme de centre 0 et rayon 3. Continue sur ce disque elle a des extrema atteints. Sur lebord elle est nulle et ailleurs positive. Donc minima absolus sur le bord. Point critisue l’interieur : 0. f(0, 0) = 3et c’est un majorant donc max relatif et absolu en 0
b. (f(x, y))2 = 9 −OM2
CCP 85
a.
b.
c.
CENTRALE 1
1-
2-
3-
4-
CENTRALE 2
1-
2-
3-
4-
CENTRALE 3
CENTRALE 4
1-
2-
CENTRALE 5
1-
2-
3-
4-
CENTRALE 6
1-
2-
3-
4-
CENTRALE 7
1-
2- a-
b-
c-
CENTRALE 8
1-
2-
3-
4-
CENTRALE 9
1-
2-
100
3-
CENTRALE 10
CENTRALE 11
1-
2-
CENTRALE 12
CENTRALE 13
1-
2-
CENTRALE 14
1-
2-
3-
4-
CENTRALE 15
1-
2-
3-
4-
CENTRALE 16
1-
2-
CENTRALE 17
1-
2-
CENTRALE 18
1-
2-
CENTRALE 19
1- a-
b-
c-
2- a-
b-
CENTRALE 20
1-
2-
CENTRALE 21
1-
2-
CENTRALE 22
CENTRALE 23
CENTRALE 24
1-
2-
101
CENTRALE 25
CENTRALE 26
1-
2-
3-
4-
CENTRALE 27
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
CENTRALE 28
1-
2-
3-
CENTRALE 29
1-
2-
CENTRALE 30
1-
2-
3-
4-
CENTRALE 31
CENTRALE 32
1-
2-
3-
CENTRALE 33
1-
2-
3-
CENTRALE 34
1- La suite (un)n est strictement croissante. Si elle converge, c’est vers ℓ > 0. On calculen∑
k=1
uk+1−uk = un+1−u1 =
2n∑
k=1
uk−1
k+1 . Cela tend vers ℓ− u1. Or uk−1
k+1 ∼ ℓk serie divergente. C’est absurde donc un diverge et tend vers +∞
2- Montrer que la suite proposecv
3- serie generatrice
CENTRALE 35
1-
2-
3-
102
CENTRALE 36
CENTRALE 37
1-
2-
3-
CENTRALE 38
CENTRALE 39
1-
2-
3-
CENTRALE 40
CENTRALE 41
CENTRALE 42
1. Calculer∫ 1
01√
1+x2+√1−x2
dx
2. Utiliser un developpement en serie pour evaluer∫ 1
01√
1+x3+√1−x3
dx
CENTRALE 43
CENTRALE 44
1.
2.
3.
4.
CENTRALE 45
1.
2.
CENTRALE 46
CENTRALE 47 La suite vn = ln(un) est definie et verifie une relation de recurrence lineaire d’ordre 2. Donc vn = λαn +µβn avec
α = 1−√5
2 et β = 1+√5
2
CENTRALE 48
CENTRALE 49
CENTRALE 50
a. Existence par continuite de P sur un segment. caractere defini car infinite de racines.
b. On remarque que φc est lineaire. Si c ∈ [a, b] alors φc est 1- lipschitzienne. Sinon prendre dans le cas ou a > b,Pn(X) = (X−a
b−a )n. On a |φc(Pn)| tend vers +∞ et (Na,b(Pn))n suite bornee.
c. Supposons que les deux normes sont equivalentes alors il existe α > 0 tel que α.Na,b 6 Na′,b′ .
Comme |φa| 6 Na,b on deduit de la question precedente que a ∈ [a′, b′]. En faisant le meme raisonnement poura′ on obtient a = a′ et de la meme facon b = b′
CENTRALE 51
a. ...
b. Sur Rn[X] la norme N et la norme ∥ ∥∞ sont equivalentes. Il existe en particulier an > 0 tel que ∀P ∈Fn, an∥P∥∞ 6 N(P ). Or pour P ∈ Fn, on a ∥P∥∞ > 1 car P est unitaire.
c. Le polynome Tn(X) = 12n−1 .Qn(X) ou Qn designe l’unique polynome tel que ∀θ ∈ R, Qn(cos θ) = cos(nθ) est
dans Fn et N(Tn) = 12n−1 . Donc an tend vers 0.
CENTRALE 52
a.
b.
103
CENTRALE 53
a. Theoreme des series alternees.
b. Par parties,∫ 1
0xn(1 − x)ndx = n
n+1
∫ 1
0xn+1(1 − x)n−1dx. On obtient finalement (n!)2
(2n+1)! .
On justifie l’interversion et on a∑0
+∞ (−1)n
2n
∫ 1
0xn(1−x)ndx =
∫ 1
0
∑0
+∞(x(x−1)2 )ndx =
∫ 1
02
−x2+x+2dx On peut
alors terminer le calcul.
CENTRALE 54
a.
b.
CENTRALE 55
a.
b.
CENTRALE 56
a.
b.
CENTRALE 57
a.
b.
CENTRALE 58
a.
b.
CENTRALE 59
a.
b.
CENTRALE 60
a.
b.
CENTRALE 61
a.
b.
TPE 1
1.
2.
TPE 2
1.
2.
TPE 3
1.
2.
TPE 4
1.
2.
TPE 5
1.
2.
104
TPE 6
1.
2.
TPE 7
1.
2.
TPE 8
TPE 9
TPE 10
TPE 11
TPE 12
TPE 13
1.
1.
TPE 14
1.
1.
TPE 15
a.
b.
c.
TPE 16
TPE 17
TPE 18
a.
b.
TPE 19
a.
b.
TPE 20
TPE 21
TPE 22
TPE 23
TPE 24
TPE 25
TPE 26
TPE 27
a.
b.
TPE 28
a.
b.
TPE 29
a.
b.
105
c.
TPE 30 ln(1 − x3) − ln(1 − x) − ln(1 + x2) et formulaire
TPE 31
1.
2.
TPE 32
1.
2.
TPE 33
TPE 34
TPE 35
TPE 36
TPE 37
TPE 38 Le rayon de convergence st 1. Calcul pour |x| < 1.
11−n2 = 1
2 ( 11−n + 1
1+n ). Puis faire apparaıtre des DSE de ln(1 − x).
On trouve1
2x((x2 − 1) ln(1 − x) − x− x2
2)
TPE 39
TPE 40
TPE 41 Fermed’interieur vide, donc egal a sa frontiere.
TPE 42
a. Si |x| = 1 la fonction de θ ne s’annule pas sur [0, π] et reste strictement positive. Si x = 1 ( resp x = −1) elles’annule en θ = 0 ( resp θ = π). Dans ces deux cas la fonction est integrable : ce sera detaille dans le c.
b. On suppose |x| = 1. En utilisant le theoreme de Riemann des fonctions continues :
Ix = limn→+∞
π
n
n−1∑k=0
ln(1 − 2x cos(kπ
n) + x2)
n−1∑k=0
ln(1 − 2x cos(kπ
n) + x2) = ln(
n∏k=0
(1 − 2x cos(kπ
n) + x2) = ln((1 − x)2.
n∏k=1
(x− eikπn )(x− e−i kπ
n ))
On obtient
(1 − x)2.
n∏k=1
(x− eikπn )(x− e−i kπ
n ) =(x2n − 1).(x− 1)
x+ 1
Si |x| < 1 on a donc Ix tend vers 0.
Si |x| > 1 on a
Ix = limn→+∞
π
nln(
(x2n − 1).(x− 1)
x+ 1)
On a ln( (x2n−1).(x−1)x+1 ) ∼ 2n ln(|x|) donc Ix = 2π ln(|x|).
c. I1 =∫ π
0ln(2(1 − cos(θ))). Or ln(2(1 − cos(θ))) = ln(4 sin2( θ
2 )).
Or ln(sin2( θ2 )) est negligeable devant
√θ au voisinage de 0 donc integrable.
I1 = 2π ln(2) + 4∫ π
2
0ln(sin(θ))dθ.
Puis posons J =∫ π
2
0ln(sin(θ))dθ =
∫ π2
0ln(cos(θ))dθ en posant ϕ = π
2 − θ.
On a alors 2J =∫ π
2
0ln(sin(θ))dθ +
∫ π2
0ln(cos(θ))dθ =
∫ π2
0ln( sin(2θ)
2 )dθ
Or en posant ϕ = 2θ on a∫ π2
0ln( sin(2θ)
2 )dθ = −π ln(2)2 + 1
2
∫ π
0ln(sin(θ))dθ.
Mais∫ π
0ln(sin(θ))dθ = 2J d’ou J = −π ln(2)
2
et en remplacant dans l’expression de I1 on obtient I1 = 0.
106
TPE 43
TPE 44
a.
b.
TPE 45
a.
b.
TPE 46
TPE 47
a.
b.
TPE 48
TPE 49
TPE 50
a.
b.
TPE 51
a.
b.
c.
TPE 52
a.
b.
TPE 53 Passer au logarithme.
TPE 54 Si F = E il est d’interieur vide.
TPE 55 On montre d’abord que pour x ∈ E et r ∈ Q on a f(rx) = rf(x). Ensuite prendre r > ∥x∥. On a f(x) = rf(xr ).
Or xr est dans la boule unite donc ∥f(x
r ∥ 6 K. Donc ∥f(x)∥ 6 rK On utilise la suite des approximations rationnellespar exces de ∥x∥ pour conclure que ∥f(x)∥ 6 K∥x∥.On obtient que f est continue en 0E , puis en tout y. Enfin on a f(λx) = λf(x) par densite de Q et continuite de f .
TPE 56
TPE 57
a. |an+1
an| tend vers 1 car (an)n d’ecroıt, est minore donc converge vers la seule valeur solution de ln(1 + x) = x qui
est 0. Donc (. . .) R = 1
b. Pour x = −1 le theoreme des series altern´es s’applique et donne la convergence de la serie.
c. On trouve 12 en utilisant un DL de ln(1 + an)
d. En utilisant la sommation des relations de comparaison et la somme t´lescopique on obtient la limite 2.
TPE 58
TPE 59 Equation differentielle non lineaire autonome de la forme x′ = F (x) = x sin(x). Comme F est C1 le th de Cauchy-Lipschitz s’applique : pour t0 fixe il existe une solution maximale telle que x(t0) = 0 ( resp telle que x(t0) = kπ) . Elleest definie sur un intervalle I ouvert. Donc c’est la solution nulle sur I = R ( resp la solution constante x(t) = kπ surR. En dehors de ces cas x′ ne s’annule pas sur I donc garde un signe constant. On obtient par separation de variablesque x(t) = Ke− cos(t). Ces solutions sont sur I = R et bornees.
MINES 1
MINES 2
MINES 3
1.
2.
107
3.
MINES 4
MINES 5
MINES 6
MINES 7
MINES 8
MINES 9
MINES 10
MINES 11
1.
2.
3.
MINES 12
1.
2.
MINES 13
1.
2.
3.
MINES 14
1.
2.
3.
MINES 15
1.
2.
3.
MINES 16
MINES 17
1.
2.
MINES 18
1.
2.
3.
MINES 19
1.
2.
3.
MINES 20
1.
2.
3.
MINES 21
1.
108
2.
3.
MINES 22
MINES 23
MINES 24
1.∫ 1
0ta−1
1+tbdt =
∫ 1
0
+∞∑n=0
un(x) avec un(x) = (−1)nta+nb−1 car pour t ∈ [0, 1[, 11+tb
=+∞∑n=0
(−1)ntnb.
Pour l’interversion on ne peut pas utiliser le th car∑N1(un) diverge.
On utilise le th de Lebesgue de convergence dominee applique a (Sn)n avec Sn(t) =n∑
k=0
uk(x).
∀n ∈ N, ∀t ∈ [0, 1[, |S − Sn(t)| = ta+(n+1)b−1
1+tb6 1 et la constante 1 est integrable sur [0, 1[. On a donc
|∫ 1
0
S(t) − Sn(t)dt| 6∫ 1
0
|S(t) − Sn(t)|dt
tend vers 0.
Enfin on calcule∫ 1
0(−1)nta+nb−1dt = (−1)n
a+nb
2. Avec a = 1 et b = 3 la somme est egale a∫ 1
01t3 dt. On a 1
1+t3 = 13(t+1) −
13(t2−t+1) . On trouve ln(2)
3 +√3π9
MINES 25
MINES 26
1. D’apres la caractere concave de la fonction ln
2. un 6∫ 1
0xndx = 1
n+1 donc tend vers 0
3. un =∫[0,1[
xn(1−x)1−xn+1 dx
MINES 27
MINES 28
MINES 29
MINES 30
1.
2.
MINES 31
a. R∗+
b. Hypothese de domination ” sur les compacts ” pour ∂f∂x (x, t).( comme pour Γ ).
Soit [a, b] ⊂]0,+∞[.
|∂f∂x
(x, t)| 6 ln t
t(1 + t)(ta + tb)
Pour l’expression de f ′ poser sur ]0, 1[, u = 1t
c. ln t1+t (t
x−1 − t−x) = ln t.t−x
1+t (t2x−1 − 1) Or pour t fixe avec t > 1, x 7→ t2x−1 − 1 est une fonction strictement
croissante. comme sa valeur en x = 12 est nulle , f ′ < 0 sur ]0, 12 [ et f ′ > 0 sur ] 12 ,+∞[
d.
e.
MINES 32
MINES 33
MINES 34
a. Par la regle de d’Alembert, R = 1
b.
c.
109
MINES 35
MINES 36
MINES 37 u2p = 1p+1 , u2p+1 = 1
p
MINES 38
a.
b.
MINES 39
MINES 40
MINES 41
a.
b.
c.
MINES 42 Justifier d’abord l’integrabilite puis poser convergence dominee | e−nt√n
6 e−t√t
ceci pour n > 1. On peut aussi poser
u = nt ce qui fournit lequivalent√π√n
Divers 7
Divers 13
1.
2.
3.
4.
5.
Divers 14
Divers 15
Divers 16
Divers 17
Divers 18
Divers 19
Divers 20
Divers 21 SCV. Somme 1
Divers 22
a.
b.
c.
Divers 23
Divers 24
Divers 25
Divers 26
Divers 27
Divers 28Equation differentielle
Divers 29Equation differentielle
Divers 30Equation differentielle
Divers 31
Divers 32
Divers 33
Divers 34
Divers 35
110
1. On suppose que x et y sont des points fixes de f . On a alors ∥x− y∥ = ∥f(x) − f(y)∥ 6 0
2. a. ∥un+1 − un∥ 6 k(∥un+1 − un∥ + ∥un − un−1∥ d’ou ∥un+1 − un∥ 6 k1−k∥un − un−1∥. Or λ = k
1−k < 1
Par recurrence immediate on a ∥un+1 − un∥ 6 λn∥u1 − u0∥. Or λn tend vers 0
b. Soit p > n. Comme up − un =∑p−1
k=n uk+1 − uk on a, ∥up − un∥ 6(∑p−1
k=n λk)∥u1 − u0∥
Or∑p−1
k=n λk = λn.1−λp−n
1−λ 6 λn
1−λ .
On montrer alors que la suite (un)n est de Cauchy dans E donc converge. On note ℓ sa limite.
c. ∥f(un) − f(ℓ)∥ 6 k(∥f(un) − un)∥ + ∥f(ℓ) − ℓ∥). Or f(un) tend vers ℓ. par passage a la limite on deduit :∥f(ℓ) − ℓ∥ 6 k∥f(ℓ) − ℓ∥ d’ou∥f(ℓ) − ℓ∥ = 0.
f possede un unique point fixe, ℓ.
Divers 36
a.
b.
c.
Divers 371
n+1 6 an 6 1 donc R = 1
Divers 38
Divers 39
AlgebreCCP 86
a.
b.
c.
CCP 87
1-
2-
CCP 88
a.
b.
CCP 89
1-
2-
CCP 90
1- ker f?
2- f est-elle surjective ?
3- Bases de ker f et de Im(f)
CCP 91
1- A est diagonalisable car 3 vap : 1, j et j2. E1 = V ectt(1, 1, 1). Ej = V ectt(j, 1, j2). Ej2 = V ectt(j2, 1, j)
2- En diagonalisantA on trouve A = PDiag(1, j, j2)P−1. On a alors B = PDiag(a+b+c, a+bj+cj2, a+bj2+cj)P−1
avec les sep Ea+b+c = V ectt(1, 1, 1), Ea+bj+cj2 = V ectt(j, 1, j2). Ea+bj2+cj = V ectt(j2, 1, j)
CCP 92
1-
2-
3-
4-
CCP 93
111
1- Rang(A) = 2
2-
3- A est symetrique reelle donc diagonalisable. Les valeurs propres reelles ( car diagonalisable) de A sont 0 demultiplicite > n− 2, λ et µ telles que λ+ µ = Tr(A) = n et Tr(A2) = λ2 + µ2. ( car A est diagonalisable etc )On en deduit λ.µ = 1
2 ((λ+ µ)2 − (λ2 + µ2)) =. D’ou λ = et µ =
CCP 94
1- Le terme general de cA.A est ci,j =n∑
k=1
Ak,iak,j . D’apres la formule de developpement du determinant suivant
la colonne j on obtient det(A).δi,j
2- det(A) = 0 ( λn = 0)
3- Si X est une colonne propre assocee a λk avec k < n on a cAAX =c AλkX = 0 Donc cAX = 0. X est colonnepropre de cA associee a 0.
4- dim(Ker(cA)) > n− 1
5- D’apres le th du rang, rg(cA) = 0 ou rg(cA) = 1. Si rg(cA) = 0 alors rg(A) 6 n − 2. Or dimKer(A) = 1 doncce n’est pas possible. Donc rg(cA) = 1. Im(cA) est une droite stable donc engendree par un vecteur propre decA et Im(cA) = Ker(A). Notons µ la valeur propre correspondant a ImcA. Montrons que µ = 0 soit encore queIm(cA) * Ker(cA). Sinon on a . . .
CCP 95
a.
b.
c.
CCP 96
a.
b.
CCP 97
1.
2.
3.
CCP 98
a.
b.
c.
CCP 99
1.
2. a.
b.
3. a.
b.
CCP 100
a.
b.
CCP 101
1.
2.
3.
CCP 102
1-
112
2-
3-
CCP 103
1-
2-
3-
4-
CCP 104
a.
b.
c.
CCP 105
CCP 106
CCP 107
a.
b.
c.
CCP 108
a.
b.
c.
CCP 109
CCP 110
a.
b.
CCP 111
a.
b.
c.
CCP 112
a.
b.
CCP 113
a.
b.
CCP 114
1-
2-
3-
4-
CCP 115
a.
b.
c.
CCP 116
113
a.
b.
c.
CCP 117
a.
b.
c.
CCP 118
a.
b.
c.
CCP 119
a.
b.
c.
CCP 120
a.
b.
c.
CCP 121
a.
b.
c.
CCP 122
1. Ou bien on calcule pour x ∈ ker(u), ⟨u∗(x), u∗(x)⟩ en utilisant adjoint et hypothese ou bien on utilise ker(uu∗) =ker(u) en le montrant. Pour λ ∈ R on remplace u par u− λidE et on utilise la question 1
2. Soit x tel que u(x) = λx et y tel que u(y) = µy. On calcule ⟨u(x), y⟩ em utilisant l’adjoint et u∗ (y) = µy d’apres2
3. On le montre pour u puis les roles sont symetriques car ils ont mms ss espces propres. Soit x ∈ E⊥λ et y ∈ Eλ.
⟨u(x), y⟩ = ⟨x⟨, u∗(y)⟩ = λ⟨x, y⟩ = 0
4. Recurrence en utilisant 3. Calquer les endomorphismes symetriques
CCP 123
a.
b.
c.
CCP 124
1.
2.
3.
4.
5.
CCP 125
a.
b.
c.
CCP 126
114
a.
b.
c.
CCP 127
a.
b.
c.
CCP 128
1.
2.
CCP 129
1.
2.
CCP 130 Si a = kπ
X2n − 2Xn cos(na) + 1 = (Xn − ena)(Xn − e−na) =n∏
k=0
(X − eia.e2ikπn )
n∏k=0
(X − e−ia.e2ikπn )
X2n − 2Xn cos(na) + 1 =n∏
k=0
(X2 − 2X cos(a) + 1)
Si a = kπ regrouper les facteurs car eia = e−ia
CCP 131
CCP 132
a.
b.
CCP 133
a. Cours
b. Tr(P−1AP = Tr(A)
c. Par recurrence. Pour k = 1 : vrai d’apres a. Si vrai pour k alors Tr((AB)k+1) = Tr(B(AB)kA) or (recurrencesur k aussi) B(AB)k = (BA)kB. etc
d. On travaille dans C. Pour M matrice fixee, on note λ1, . . . , λn les vp de M .
Lemme : si on connaıt les sommes S1 =n∑
i=1
λi, . . . , Sn−1 =n∑
i=1
(λi)n−1 alors on connaıt les fonctions symetriques
σ1, . . . , σn donc le polynoome caracteristique. justif lemme : cf revisisons polynomes
CCP 134
a.
b.
c.
CCP 135
a.
b.
CCP 136
a.
b.
CCP 137
CCP 138
115
a.
b.
CCP 139
a.
b.
CCP 140
a.
b.
CCP 141
a. ⊃: ∀x ∈ F⊥+G⊥, ∀y ∈ F∩G on a x = x1+x2 avec x1 ∈ F⊥ et x2 ∈ G⊥ donc ⟨x, y⟩ = ⟨x1, y⟩+⟨x2, y⟩ = 0.
On en deduit que x ∈ (F∩G)⊥.
⊂: ∀x ∈ (F⊥ +G⊥)⊥, x ∈ (F⊥)⊥ = F et x ∈ (G⊥)⊥ = G d’ou x ∈ F∩G. Bilan : (F⊥ +G⊥)⊥ ⊂ F
∩G. On
en deduit que F⊥ +G⊥ ⊃ (F∩G)⊥
b. Poser F ′ = F⊥ et G′ = G⊥ et appliquer a. puis passer a l’orthogonal.
CCP 142
a.
b.
c.
CCP 143
a.
b.
CCP 144
a.
b.
CCP 145
a.
b.
c.
CCP 146
a.
b.
CCP 147
a.
b.
CCP 148
a.
b.
CCP 149
1. Test de solution
2.
3.
4.
CCP 150
a.
b.
116
CCP 151
a.
b.
CCP 152
CCP 153 Cours !
CCP 154 Cours !
CCP 155
a.
b.
CCP 156
a.
b.
CCP 157
CCP 158
a.
b.
CCP 159
1.
2.
CCP 160
a.
b.
CCP 161
CCP 162
a.
b.
CENTRALE 62
1.
2.
CENTRALE 63
1.
2.
CENTRALE 64
1.
2.
3.
CENTRALE 65
1.
2.
3.
CENTRALE 66
1. a.
b.
2. a.
117
b.
CENTRALE 67
1.
2.
3.
CENTRALE 68
1.
2.
3.
CENTRALE 69
1.
2.
3.
CENTRALE 70
1.
2.
3.
CENTRALE 71
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
CENTRALE 72
1.
2.
3.
4.
5.
CENTRALE 73
1.
2.
3.
CENTRALE 74
a.
b.
CENTRALE 75
1.
2.
CENTRALE 76
1.
2.
CENTRALE 77
118
1.
2.
3.
CENTRALE 78
1. AtA−t AA est symetrique reelle donc diagonalisable et ses valeurs propres sont par hyp. positives. Leur sommeest Tr(AtA−t AA) = 0. Donc toutes les vap sont nulles. Donc AtA−t AA = 0
2. H = kerφ ou φ est une forme lineaire non nulle donc il existe A ∈ Mn(R) telle que ∀M,φ(M) = Tr(AM).Notonsr le rang de A est equivalent a Jr. A = PJrQ
−1 et Tr(AM) = Tr(JrQ−1MP ).
Soit alors F =
0 . . . . . . 0 1
1. . . 0
0. . .
. . ....
.... . . 0
0 . . . . . . 0 1
. Elle est inversible et Tr(JrF ) = 0. On a alors QFP−1 matrice inversible
dans H.
3.
CENTRALE 79
1.
2.
3.
CENTRALE 80
1. Cours
2. Im(f g) ⊂ Im(g) donc rg(f g) 6 rg(g) et Im(f g) = Im(f/Im(g) donc rg(f g) 6 rg(f). On en deduitl’inegalite de droite. De plus par th du rang rg(fg) = dim(Im(g))−dim(ker(fg)) > dim(Im(g))−dim(ker(f))d’ou l’inegalite de gauche
3. On a les inclusion Im(fk+1 subsetIm(fk). Si elles sont toutes strictes pour k ∈ 0, . . . , n alors la dimensiondiminue de 1 au moins a chaque itere d’ou rg(fn+1) < 0 c’est absurde. Donc il existe k 6 n tel que rg(fk) =rg(fk+1 On montre alors que la suite des images est constante a partir de k etc
4. On utilise vk restriction de f a Im(fk) et on a
(1) rg(vk) = rg(fk+1) = rg(fk) − dim(ker(vk))
On utilise uk−1 restriction de f a Im(fk−1) et on a
(2) rg(fk−1) = rg(fk) + dim(ker(uk−1))
On remarque que ker(vk−1) = ker(f)∩Im(fk) est inclus dans ker(vk) = ker(f)
∩Im(fk−1) par l’inclusion des
images des iteres. Donc par somme des egalites (1) et (2) on a :
rg(fk+1) + rg(fk−1) = 2rg(fk) + dim(ker(vk−1)) − dim(ker(vk))
et dim(ker(vk−1)) − dim(ker(vk)) > 0 d’ou le resultat.
CENTRALE 81
1. On travaille dans une base adaptee a la decomposition
Im(p)⊕
ker(p) = E
Les matrices dep ( resp f) sont P ( resp M) par blocs
P =
[Ir 00 0
]M =
[A CB D
]Par calcul par blocs on trouve que le noyau de Φ est isomorphe au sev des matrices telles que A = B = C = 0,de dimension (n− r)2 ( D est d’ordre n− r). Donc le rang de ϕ est r(2n− r)
119
2. Recherche des λ tels qu’il existe M non nulle telle que ϕ(M) = λM . on trouve en plus de 0, 1 dont les Massociees verifient A = D = 0 B et C quelconques. Dimension de E1 : 2r(n − r) et 1/2 dont les M associeesverifient B = C = D = 0 et A quelconque. dim(E1/2) = r2.
On calcule la somme des dim des sev propres et on trouve n2. Donc diagonalisable.
3
CENTRALE 82
1.
2.
CENTRALE 83
a. Soit z ∈ [x, y]. Il existe t ∈ [0, 1] tel que z = tx + (1 − t)y. On calcule ⟨u(z)/ z⟩ = . . . = P (t) avec P fonctionpolynomiale de degre 2. Or P (0) = µ∥y∥2 et P (1) = λ∥x∥2. Donc P (0).P (1) est du signe de λ.µ. En appliquantle th des valeurs intermediaires on obtient l’existence de t tel que P (t) = 0 cqfd
b. Si u est autoadjoint il est diagonalisable. Comme Tr(u) = 0 ( et on suppose n > 2) u a au moins deux valeurspropres telle que λµ 6 0. On applique a. et on divise si besoin z par sa norme pour avoir un vecteur unitaire.
Si u n’est pas autoadjoint on applique le resultat a v = u+ u∗ qui est autoadjoint.
Soit alors z tel que v(z) et z sont orthogonaux. On a ⟨(u + u∗)(z)/z⟩ = ⟨u(z)/z⟩ + ⟨u∗(z)/z⟩ = 2⟨u(z)/z⟩ enutilisant la propriete classique de l’adjoint.
c. le seul sens non trivial est de montrer que si Tr(u) = 0 alors il existe une BON dans laquelle la matrice de u estde diagonale nulle.
On raisonne par recurrence sur n = dim(E).
Si n = 1 et tr(u) = 0 alors u = 0L(E) et la propriete est vraie.
Supposons que c’est vrai en dimension n− 1.
Soit u tel que Tr(u) = 0. D’apre b. il existe e1 unitaire tel que u(e1) ⊥ e1. On considere alors w = p u avec pprojecteur orthogonal sur H = (vect(u))⊥. w est restreint et corestreint a H. On a tr(w) = 0 ( on le prouve enecrivant la matrice A de u dans une BON adaptee a E = vect(u)
⊕(vect(u))⊥
CENTRALE 84
1. Toute matrice 2 × 2 est solution par Cayley-Hamilton ( ou un calcul explicite)
2.
CENTRALE 85
1.
2.
CENTRALE 86
1.
2.
CENTRALE 87
1.
2.
CENTRALE 88
1.
2.
3.
4.
5.
6.
CENTRALE 89
1.
2.
3.
120
4.
CENTRALE 90
1.
2.
3.
CENTRALE 91
1.
2.
CENTRALE 92
1.
2.
CENTRALE 93
1. a.
b.
2. a.
b.
CENTRALE 94
1. Si on a une CL non triviale de 1 et x0 on aboutit a x0 ∈ R. Comme F est de dimension finie n la famille(1, x0, . . . , x
n0 ) est liee donc il existe P ∈ Rn[X] = 0 tel que P (x0) = 0. On fait la decomposition de P en
polynomes irreductibles. Comme x0 /∈ R, et comme F est une alg commt int, x0 est racine d’un facteur irreductiblesur R de degre 2. cela implique la dependance lineaire de (1, x0, x
20).
2. a. On pose y0 = α+ βx0 et on resout en utilisant que x20 = a+ bx0 puis que (1, x0) est libre.
b. facile
3. a. Meme principe que 2a et b
b. On a t20 = y20 = −1. Donc (t0 − y0)(t0 + y0) = 0. D’ou t0 = z0 ou t0 = −y0. On en deduit que y0 ∈ R+Rz0et reciproquement.
4. Par l’absurde F = R+ Ry0 et on montre que F est ismorphe a C en tant que R- algebre et en tant que corps.
CENTRALE 95
1.
2.
CENTRALE 96
1.
2.
3.
CENTRALE 97
1.
2.
3.
4.
CENTRALE 98
1.
2.
CENTRALE 99
CENTRALE 100
CENTRALE 101
121
1. Diagonaliser S avec matrice de passage orthogonale. Tr(OPDtP ) = Tr(tPOPD. U =t POP est orthogonale.On a tr(UD) =
∑i=1 nui,iλi. Or |ui,i| 6 1 et les λi sont positifs. D’ou le resultat.
Egalite ssi chaque ∀i si λi = 0, ui,i = 1 etc
2.
CENTRALE 102
CENTRALE 103
CENTRALE 104
a.
b.
CENTRALE 105
CENTRALE 106 E = Rp. I ⊂ L(E) sev verifiant(∗)∀u ∈ I, ∀v ∈ L(E), v u ∈ I
1. Soit F un sev de E et IfF = u ∈ L(E)/ u\F = 0L(F ). Montrer que IF verifie (∗).
2. Soit I verifiant (∗). Montrer qu’il existe n ∈ N et (u1, . . . , un) ∈ In tels que
∩u∈I
ker(u) =n∩
i=1
ker(ui)
3. Soit u ∈ I et p un projecteur de E tel que ker(p) = ker(u). Montrer que p ∈ I
4. Soient p1 et p2 deux projecteurs elements de I. Montrer qu’il existe un projecteur p de E tel que p p1 = 0 etker(p) = ker(p2 (Id− p1)).
CENTRALE 107
a.
b.
CENTRALE 108
a. ∃(u, v) ∈ Z2/ up+ vq = 1 Donc 1q = ua+ v Or aZ ⊂ A et A contenant 1Z car sous-anneau donc Z ⊂ A.
b. On montre que I∩Z est un ideal de Z en utilisant que Z ⊂ A.
Le resultat en decoule. Comme n ∈ I on a l’inclusion nA ⊂ I. Reciproquement, soit x ∈ I. Alors x = pq . Donc
qx ∈ I∩Z Donc qx = nk. Or 1
q ∈ A. Donc x = n.kq ∈ A∩I. cqfd
c. Zp est bien un sous-groupe additif non vide et 1 lui appartient. DE plus il est stable par produit. Dans l’ecriturereduite d’un rationnel, on a a ∧ b = 1. Donc si p divise b alors il ne divise pas a et donc x−1 ∈ Zp.
d.
CENTRALE 109
a.
b.
CENTRALE 110
a.
b.
CENTRALE 111
a.
b.
CENTRALE 112
a.
b.
122
TPE 60
TPE 61
TPE 62
TPE 63
1-
2-
TPE 64
1-
2-
TPE 65
1-
2-
3-
TPE 66
1-
2-
3-
TPE 67
1-
2-
3-
TPE 68
1-
2-
TPE 69
1-
2-
TPE 70
1- a-
b-
2-
TPE 71
1-
2-
3-
TPE 72
TPE 73
TPE 74
1.
2.
3.
4.
TPE 75
1.
2.
123
TPE 76
TPE 77
TPE 78 Si M est diagonalisable il existe un polynome annulateur scinde a racines simples de M . Par le calcul par blocson a P (A) = 0 donc A est diagonalisable. Si A est diagonalisable on a D = P−1AP avec D diagonale. On pose alors
Q = . . . et ∆ =
[D 00 D
]. On calcule Q−1MQ = ∆
TPE 79
TPE 80
TPE 81
TPE 82
TPE 83
TPE 84
TPE 85 Passer par les matrices ( dimension 3)
TPE 86
a. ϕ(n) = somme des exposants des facteurs premiers de n.
b. cas n = 2k on a n = 2n pas de sol. Idem pour n = pk. ...
TPE 87
a.
b.
TPE 88
TPE 89
TPE 90
a.
b.
TPE 91
TPE 92
TPE 93
a.
b.
TPE 94
1.
2.
3.
TPE 95
TPE 96
TPE 97
a.
b.
TPE 98
TPE 99 Seule 0 est possible. ( les vp complexes sont imaginaires pures)
TPE 100
TPE 101
a.
b.
TPE 102
TPE 103 −i n’est pas valeur propre !
TPE 104
124
a.
b.
TPE 105
TPE 106
TPE 107
a.
b.
TPE 108
1.
2.
TPE 109
TPE 110
TPE 111
MINES 43
a-
b-
MINES 44
1-
2-
3-
MINES 45
1-
2-
3-
MINES 46
MINES 47
1-
2-
MINES 48
MINES 49
MINES 50
MINES 51
MINES 52
MINES 53
MINES 54
MINES 55
1.
2.
3.
MINES 56
1.
2.
3.
MINES 57
MINES 58
MINES 59
125
1.
2.
3.
MINES 60
1.
2.
3.
MINES 61
1.
2.
MINES 62
a.
b.
MINES 63 On remarque que F (In) = 0. En effet, si F (In) = 0 comme ∀A, F (A) = F (A.In) = F (A).F (In) on obtien-drait F (A) = 0 donc F serait constante. Comme F (In) = 0, alors si A est inversible on a F (In) = F (A.A−1) =F (A).F (A−1) = 0. Donc F (A) = 0.
On remarque que F (0Mn(R).0Mn(R)) = F (0Mn(R))2 Donc F (0) = 0 ou F (0) = 1. Si F (0) = 1 alors ∀A F (0) =
F (A.0) = F (A).F (0) donc F (A) = 1 et F serait constante. Donc F (0) = 0Soit alors A non inversible. Supposons que F (A) = 0 Notons r son rang. On a r < n. Considerons la matrice de
rang r suivante :
B =
[O Ir0 0
]B est de rang r donc equivalente a A. Donc il existe P et Q inversibles telles que B = P−1AQ. On a donc
F (B) = F (P−1)F (A)F (Q). Comme P−1 et Q sont inversibles et qu’on a suppose F (A) = 0 on en deduit queF (B) = 0. Or B est nilpotente et plus precisement Br+1 = 0. Donc F (Br+1) = 0 = (F (b))r+1. C’est absurde. DoncF (A) = 0.
MINES 64
a.
b.
MINES 65
MINES 66
MINES 67 A est inversible d’inverse tAA donc A−1 est symetrique donc A l’est aussi. On a A3 = In. Dans Mn(R), Asymetrique reelle est diagonalisable et sa seule vp possible est 1 dons A = In.
Dans Mn(C) X3 − 1 est scinde a racines simples donc A est diagonalisable. Son spectre est inclus dans 1, j, j2.
eA = S0In + S1A+ S2A2 avec Sk =
+∞∑n≡k
1n! . On a s0 + S1 + S2 = e, puis S0 + jS1 + j2S2 = ejx et de meme avec j2
MINES 68 M est diagonalisable sur R et ses valeurs propres ( reelles) verifient λ12 = 1 donc ce sont les valeurs 1 ou −1.Donc M2 = In.
MINES 69
1.
2.
3.
MINES 70 Introduire l’endomorphisme ∆ tel que ∆(Q) = Q(X + 1) −Q(X).
MINES 71 Dans Z[√
5] , 5 est un carre. Donc ces anneaux ne sont pas isomorphes.
MINES 72
a.
b.
126
c.
MINES 73
MINES 74
a. 0 est valeur propre et on trouve (1, 1, 1) et (1, j, j2) dans le noyau. Donc ( voir trace) 0 est la seule valeur propreet A n’est pas nulle donc pas diagonalisable.
b. On remarque que Im(A) ⊂ ker(A) donc A2 = 0 donc eA = I3 +A
MINES 75
MINES 76
MINES 77
Divers 42
Divers 43
1-
2- a-
b-
Divers 44
a-
b-
Divers 45
Divers 46
Divers 47
Divers 48
a.
b.
Divers 49
1.
2.
3.
Divers 50
Divers 51
Divers 52
Divers 53
Divers 54
Divers 55
Divers 56
a.
b.
Divers 57
Divers 58
a.
b.
Divers 59
Divers 60
Divers 61
Divers 62
a.
127
b.
Divers 63
Divers 64
a.
b.
Divers 65
Divers 66
Divers 67
a.
b.
Divers 68
a.
b.
c.
Divers 69
Divers 70
a.
b.
Divers 71
Divers 72
GeometrieCCP 163
1-
2-
CCP 164
CCP 165
a.
b.
c.
CCP 166
CCP 167
CCP 168
CCP 169
1.
2.
CCP 170
1.
2.
CCP 171
1.
2.
CENTRALE 113
CENTRALE 114
1-
128
2-
3-
4-
CENTRALE 115
1-
2-
3-
CENTRALE 116
CENTRALE 117
CENTRALE 118
CENTRALE 119
a.
b.
CENTRALE 120
CENTRALE 121
CENTRALE 122
CENTRALE 123
TPE 112 Calculs, parametrage, dessin. Astroıde
TPE 113
TPE 114
MINES 78
MINES 79
MINES 80
Divers 73
Divers 74
129