MOVIMIENTO ARMONICO FORZADO

1.-OBJETIVOS:

- Podremos determinar la constante de elasticidad (k) y con ello podremos

hallar el periodo (T) experimental que comparándolos con los datos teóricos

serán muy similares .

- Podremos determinar la frecuencia forzada (f) necesaria para que nuestro

sistema masa- resorte pueda realizar una oscilación con la amplitud

necesaria.

- Con los datos obtenidos podremos comparar con los datos teóricos,

comprobaremos que serán muy similares.

2.-INTRODUCCION:

- En el presente informe se podrá verificar los datos teóricos con los

obtenidos experimentalmente en un movimiento armónico simple del

sistema masa resorte. También podremos hallar la amplitud con los datos

obtenidos y con la frecuencia natural que el sistema tiene .

- Deduciremos que el sistema con una frecuencia natural se detendrá en

algún momento sin embargo no ocurrirá lo mismo con la frecuencia forzada

que se producirá por el amplificador de potencia .

- Verificaremos que con una frecuencia forzada la amplitud será mayor y

podremos corroborar los datos obtenidos anteriormente.

- Veremos que para que pueda ocurrir la resonancia la frecuencia forzada

debe de ser muy similar a la frecuencia natural, si no es así la grafica será

errónea, y no podremos confirmar que en un sistema masa resorte sin un

sensor de movimiento en algún momento dejara de oscilar, debido a las

fuerzas de fricción del medio ambiente sobre el sistema

3. FUNDAMENTO TEORICO:

Un oscilador amortiguado por si solo dejara de moverse en algún momento

pero podemos mantener una oscilación de amplitud constante aplicando una

fuerza que varié con el tiempo de una forma periódica o cíclica, con un periodo y

frecuencia definidos.

Si aplicamos una fuerza impulsora que varié periódicamente con la

frecuencia angular d a un oscilador armónico amortiguado, el movimiento

resultante se llama oscilación forzada u oscilación impulsada, y es diferente al

movimiento que ocurre cuando el sistema se desplaza del equilibrio y luego se le

deja en paz en cuyo caso el sistema oscilara con una frecuencia angular natural

’ determinada por m , k y b , como en :

’ = k - b 2 ( oscilador con poca amortiguación)

m 4m2

En una oscilación forzada la frecuencia angular con que la masa oscila es

igual a la frecuencia angular impulsora d . Esta no tiene por que ser igual a la

frecuencia angular ’ con que el sistema oscilaría sin una fuerza impulsora.

Suponga que se obliga al oscilador a vibrar con una frecuencia angular d

casi igual a la frecuencia angular ’ que tendría sin fuerza impulsora. ¿ Que

sucede ? El oscilador tiende naturalmente a oscilar con = ’ , y esperamos que

la amplitud de la oscilación resultante sea mayor que cuando las dos frecuencias

son muy diferentes. Análisis y experimentos detallados muestran que esto es lo

que sucede. El caso mas fácil de analizar es una fuerza que varia senoidalmente ,

digamos F (t) = Fmax Cos d t . Si variamos la frecuencia d de la fuerza

impulsora, la amplitud de la oscilación forzada resultante variara de manera :

= k y f = 1 k ( MAS angular )

I 2 I

Si hay muy poca amortiguación (b pequeña), la amplitud tendrá un pico marcado

al acercarse d a la frecuencia angular de oscilación normal ’. Si se aumenta la

amortiguación (b) el pico se ensancha y se hace menos alto, desplazándose hacia

frecuencias mas largas.

Podríamos deducir una expresión que muestre como la amplitud A de la oscilación

forzada depende de la frecuencia de una fuerza impulsora senoidal, con valor

máximo Fmax. Necesitaríamos ecuaciones diferenciales , el resultado seria:

A = Fmax

( k - md2)2 + b2d

2

Si k -md2=0, el primer termino bajo el radical es cero y A tiene un máximo cerca

d = Km. La altura de la curva en este punto es proporcional a 1/b, cuanto menos

es la amortiguación mas alto es el pico. En el extremo de baja frecuencia, con d =

0,

Obtenemos A=Fmax/k .Esto corresponde a una fuerza constante Fmax y un

desplazamiento constante A=Fmax/k respecto al equilibrio, como esperaríamos.

El hecho que haya un pico de amplitud a frecuencias impulsoras cercanas a la

frecuencia natural del sistema denominada resonancia. En física abundan los

ejemplos de resonancia, uno es aumentar las oscilaciones de un niño de un

columbio empujando con una frecuencia igual a la natural del columbio. Un ruido

vibratorio en un coche que ocurre solo a una cierta velocidad del motor o de

rotación de las ruedas es un ejemplo muy conocido. Los altavoces baratos a

menudo tienen a menudo un retumbo o zumbido molesto cuando una nota musical

coincide con la frecuencia resonante del cono vigorosamente a ondas con

frecuencias cercanas a su frecuencia de resonancia, y aprovechamos esto para

seleccionar una estación y rechazar las demás.

La resonancia en los sistemas mecánicos puede ser destructiva. Una compañía de

soldados una ves destruyo un puente marchando sobre el marcando el paso, la

frecuencia de sus pasos era cercana a una vibración natural del puente, y la

oscilación resultante tuvo suficiente amplitud como para desgarrar el

puente.Desde entonces , se a ordenado a los soldados que rompan el paso antes

de cruzar un puentea .Hace algunos años las vibraciones de los motores de cierto

avión tuvieron justo la frecuencia correcta para resonar con la frecuencia natural

de sus alas.Las oscilaciones Iván creciendo y a veces se caían las alas.

Casi todo el mundo ha visto la película del colapso del puente suspendido Tacoma

Narrows en 1940. Esto suele citarse como ejemplo de resonancia impulsada por el

viento pero hay dudas al respecto .El viento no tenia que variar periódicamente

con una frecuencia cercana la natural del puente. El flujo de aire por el puente era

turbulento, y se formaban remolinos en el aire con una frecuencia regular que

dependía dela velocidad de flujo .Es concebible que esta frecuencia haya

coincidido con una frecuencia natural del puente pero la causa bien pudo haber

sido algo mas sutil llamado oxidación autoexitada , en la que la fuerza

aerodinámica causadas por un viento constante soplando sobre el puente

tendieron a alejarlo mas del equilibrio en momentos en los que ya se estaba

alejando del equilibrio. Es como si tuviéramos una fuerza amortiguadora al termino

–bv de :

F = -kx - bv

Pero con el signo invertido . En lugar de traer energía mecánica del sistema , esta

fuerza anti-amortiguadora le inyecta, aumenta las oscilaciones hasta amplitudes

destructivas. La ecuacion diferencial aproximada es:

-kx – bv =ma. o -kx – dx =md 2 x dt dt2

Con el signo del termino en b intervalo, y la oscilación oscilante es :

X = Ae-(b/2m)t Cos (’ t + ) ( oscilador con poca amortiguación).

Con un signo positivo en el exponente.

4. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES:

Equipos y materiales:

- Computadora personal.

- Programa Data Studio instalado.

- Interface Science Workshop 750.

- Sensor de movimiento (CI-6742).

- Amplificador de potencia (salida 0-10V, 1 A max.)

- Juego de pesas.

- Soporte universal.

- Resorte.

- Regla metalica.

Procedimiento para configuración de equipos y accesorios:

a. Verificar la conexión e instalación de la interfase .

b. Luego active la opcion ingreso de datos por teclado, e introducir los

valores de las elongaciones vs fuerza para determinar la constante

de elongacion.

c. Ingresar al programa Data Studio y seleccionar “Crear Experimento”.

d. Luego seleccionar “Amplificador de Potencia” y “Sensor de

movimiento” de la lista de sensores y efectuar las conexiones usando

el cable para transmisión de datos en las entradas indicadas por

Data Studio.

e. Efectue la calibración para el sensor de movimiento indicando una

frecuencia de disparo igual a 20 (registros por segundo)

f. Realice el montaje de accesorios y sensores tal como se muestra en

la siguiente figura

g. Configurar el amplificador de potencia II en el Data Studio , se

activara el generador de señal automáticamente.

h. Genere un grafico de posición vs tiempo.

Figura (3)

Primera actividad (determinación de la constante de elasticidad):

a. Determine la posición de elongacion natural del resorte con una regla.

(X0 = 0.516 m)

b. Coloque diferentes masas en el porta pesos.

c. Determine la elongacion en cada caso e ingrese esos datos por teclado.

d. Repita el proceso para cada peso sugerido.

e. Luego active una grafica peso vs. Elongacion.

f. Calcule la constante de elasticidad k de la pendiente de la grafica peso Vs

elongacion en el ajuste lineal.

Tabla (1) Datos registrados para pesos y elongaciones

Masa (Kg) 0.055 0.075 0.085 0.105 0.115

Peso (N) 0.539 0.735 0.833 1.029 1.127

Estiramiento (m) 0.039 0.065 0.079 0.107 0.121

Constante de elasticidad (N/m) 7.14089

Segunda actividad (determinación de la frecuencia de resonancia:

a. Instale el oscilador mecanico como se muestra en la figura (3) y encender

amplificador de potencia.

b. Coloque la masa en la posición de minima elongacion y pulse el boton

“inicio” para registrar las lecturas de posición vs. Tiempo.

c. Hacer variar la frecuencia en el generador de señales alrededor de la

frecuencia propia del sistema masa resorte 0.

d. Detenga la toma de datos una vez alcanzada la amplitud máxima de

oscilación.

e. Adicione una grafica para transformada de rapida de Fourier sobre los

datos de posición vs. Tiempo.

f. Usando la “herramienta inteligente” determine la magnitud de la frecuencia

de resonancia (pico máximo).

g. Anote sus datos en la tabla (2) .

h. Empleando las ecuaciones determine el error absoluto y porcentual sobre

los valores de frecuencia y amplitud.

CUESTIONARIO:

1.-¿Qué le sucederá a la amplitud de oscilación cuando el sistema masa-resorte

oscile a una frecuencia natural?,grafica.

2. Describa el comportamiento de la grafica posición vs. Tiempo en el movimiento

armónico forzado, cuando la frecuencia de oscilación externa sea ligeramente

superior a la frecuencia natural.

La grafica va a ser afectada en vez de observar una grafica cuya amplitud

aumenta paulatinamente y disminuye de la misma forma observaremos una

grafica con aumentos y disminuciones de amplitud bruscas como se muestra a

continuación

3.¿ Cuales son las razones posibles de la diferencia de las dos graficas ?

En resonancia la fuerza exterior actua al compas de las oscilaciones libres y

durante todo el periodo su sentido coincide con el de las velocidades del cuerpo

oscilante, por esto durante todo el periodo dicha fuerza realiza unicamente trabajo

positivo

Cuando la frecuencia de la fuerza exterior f es ligeramente mayor a la

frecuencia natural 0 de las oscilaciones del sistema, la fuerza exterior solo

realiza trabajo positivo durante una parte del periodo y durante el resto del periodo

su trabajo es negativo ya que esta dirigida en sentido opuesto a la velocidad del

cuerpo oscilante.

4. - En que caso la grafica Posición Vs Velocidad mostrara una circunferencia?

Explique detalladamente.

De las ecuaciones de desplazamiento y de la velocidad:

X = Asen(f t - v = Af

Cos(f t -

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones se tiene:

X2 = A2sen2(f t - v2 = A2f 2Cos2(f t -

Despejando en función de seno y coseno cuadrados y sumando ambos miembros

se tiene:

Dándole forma de una ecuación de la circunferencia:

Considerando f = 1 rad/s resulta mejor esta ultima ecuación:

X2 + V2 = A2

La cual es la ecuación de la circunferencia.

5.- ¿El valor de la frecuencia de resonancia es igual al teorico solo si se toma

encuenta lamsas del resorte?,explique

Una de las ecuaciones para hallar lafrecuencia de resonancia (re ) es:

Remplazando los datos obtenidos en la ecuación:

re = 6.74

Esto ocurrirá porque el desplazamiento es una función senoida y al agrgar los

datos en la computadora esta la decribira como tal:

6.-¿En que condiciones ocurre resonancia en la energia?

La resonancia en la energía ocurrirá cuando existan las condiciones mas

favorables para la transmisión de energía de la fuente exterior de la fuerza

periódica al sistema

En la resonancia la fuerza exterior actúa al compás d elas oscilaciones libres y

durante todo el periodo su sentido coincide con el de las velocidades del cuerpo

oscilante, por esto durante todo el periodo dicha fuerza realizara únicamente

trabajo positivo.

7.-¿Calcular el desfase de la velocidad respecto a al fuerza desarrollada por el

oscilador mecánico?

Una de las ecuaciones para hallar el desfase es:

Remplazando los datos hallados:

Siendo el coeficiente de desface.

CONCLUSIONES:

1. En un movimiento oscilatorio forzado la amplitud de la vibración se

incrementa al máximo cuando la fuerza externa actua a favor del

movimiento.

2. Deducimos que el sistema con una frecuencia natural se detendrá en

algún momento sin embargo no ocurrirá lo mismo con la frecuencia forzada

que se producirá por el amplificador de potencia .

3. Concluimos en que para que pueda ocurrir la resonancia la frecuencia

forzada debe de ser muy similar a la frecuencia natural, si no es así la

grafica será errónea, y no podremos confirmar que en un sistema masa

resorte sin un sensor de movimiento en algún momento dejara de oscilar,

debido a las fuerzas de fricción del medio ambiente sobre el sistema

RECOMENDACIONES:

Es recomendable que en el momento de realizar la experiencia sistema

resorte tomemos en cuenta el peso del ganchito que cogerá la masa ya

que aunque el peso sea pequeño modificara nuestros resultados

Al momento que el sistema masa – resorte se este realizando la

experiencia evitar que no halla ningún obstáculo que pueda interferir con

nuestro experimentó.

Tener en cuenta las unidades puesto que si no los verificamos esto podría

alterar por completo nuestros resultados.

Cuando estiremos el resorte para inducir el MAS tratar de que el sistema

permita que las oscilaciones se de en una sola dirección.

Durante la actividad colocar el sensor de movimiento el sensor de

movimiento en una superficie plana

7. BIBLIOGRAFIA:

Física Universitaria - Zears Zemansky

Guia de lb. De fisica II

El mundo de la física (curso teórico practico)

Física II - Rojas Saldaña Ausberto.

Física para ciencias e ingenieria - McKELVEY JOHN P