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FACULTAD DE INGENIERA

ESCUELA DE INGENIERA CIVIL

DINMICA

VIBRACIONES MECNICAS

DOCENTE:

LIC. WALTER PREZ TERREL

ALUMNOS:

ARAUCO PEREZ PALMA, ADRIANA SOFIA

CHAPOAN TINEO, JEFREY JARED

CHOY RAMOS, LUIS ENRIQUE

JARA AMADO, ROGER

ZEGARRA LPEZ, CHRISTIAN

CICLO: III

2015-I

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DEDICATORIA

El presente trabajo est dedicado

a todos nuestros compaeros de

la carrera de Ingeniera civil de la

universidad cesar vallejo,

agradeciendo el apoyo que nos

brindan cada da.

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AGRADECIMIENTO

Somos lo que somos en la vida

gracias a otras personas, ms

all de los mritos y de los

fracasos propios, es por eso que

nos debemos a aquellos que nos

ayudan a cumplir nuestros

sueos y vivirlos. A nuestras

familias, profesores, a nuestros

amigos y sobre todo a Dios

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INTRODUCCIN

El estudio de las vibraciones mecnicas se ha convertido en algo esencial para el

estudiante de ingeniera ya que el buen funcionamiento de las estructuras creadas por los

ingenieros estn relacionados en muchos casos con su comportamiento vibratorio.

Es importante conocer la clasificacin de las vibraciones mecnicas ya que nos

presentan un panorama de los diferentes estudios.

Otra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecnicas es el modelo

matemtico. Este procedimiento debe ser preciso ya que los errores producen informacin

errnea.

En este trabajo de investigacin se vern los conceptos iniciales importantes para el

estudio de las vibraciones mecnicas, as como tambin algunos ejercicios propuestos.

Desde que aparecieron los primeros instrumentos musicales, en especial los de cuerda,

la gente ya mostraba un inters por el estudio del fenmeno de las vibraciones, por

ejemplo, Galileo encontr la relacin existente entre la longitud de cuerda de un pendido y

su frecuencia de oscilacin, adems encontr la relacin entre la tensin, longitud y

frecuencia de vibracin de las cuerdas.

Estos estudios y otros posteriores ya indicaban la relacin que existe entre el sonido y

las vibraciones mecnicas.

A travs de la historia, grandes matemticos elaboraron importantes aportaciones que

hicieron del fenmeno de las vibraciones toda una ciencia, tan as que hoy en da se ha

convertido en una de las ms estudiadas y aplicadas en la industria.

Podemos mencionar entre otros, Taylor, Bernoulli, D Alember, Lagrange, Fourier, etc.

La ley de Hooke en 1876 sobre la elasticidad, Coulomb dedujo la teoria y la

experimentacin de oscilaciones torcionales, Rayleigh con su mtodo de energas, etc.

Fueron grandes fsicos que estructuraron las bases de las vibraciones como ciencia.

Es as que en la actualidad, las vibraciones mecnicas es el fenmeno en el cual la

gente est en continuo contacto y se pueden observar en situaciones muy simples as

como en situaciones complejas.

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Aprender y conocer los conceptos sobre alas vibraciones mecnicas, el amortiguamiento,

as como tambin como poder aplicarlos en la vida cotidiana.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Conocer conceptos de amortiguaciones.

Aprender sobre las frmulas para poder resolver ejercicios referentes al tema.

Aplicar los conceptos y las formulas en la vida cotidiana.

Dar a conocer este trabajo a los futuros estudiantes del curso de Dinmica.

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JUSTIFICACIN

Siendo un grupo de estudiantes de la Universidad Cesar Vallejo requerimos y nos vemos

en la necesidad de realizar el siguiente estudio de investigacin referente al tema de

vibraciones mecnicas, Fuerzas que intervienen en el movimiento vibratorio, ecuacin

diferencial del movimiento, el movimiento libre amortiguado, el movimiento libre sobre-

amortiguado, el movimiento libre con amortiguamiento crtico, el decrecimiento

logartmico, y la disipacin de energa. Pero mucho ms importante, aportar con

ejercicios resueltos, los cuales sern una base para los futuros estudiantes del curso de

Dinmica, para un mejor entendimiento del tema.

Adems estando en un pas donde la construccin est en crecimiento, y con ello, el

ingreso de varios tipos y marcas de materiales, es bsico conocer los conceptos

fundamentales de vibraciones mecnicas, ya que esto es caracterstica de cualquier

elemento o material existente.

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NDICE

Dedicatoria

Agradecimiento

Introduccin

Objetivos

Justificacin

CAPTULO I

CONCEPTOS GENERALES

1. Introduccin

2. Clasificacin de las vibraciones

3. Vibraciones libres sin amortiguamiento

4. Vibraciones libres con amortiguamiento

5. Vibraciones forzadas sin amortiguamiento

6. Vibraciones forzadas con amortiguamiento

7. Transmisin de vibraciones

8. Elementos de un sistema vibratorio

8.1 Elementos de inercia

8.2 Elementos de rigidez

8.2.1 Resortes lineales

8.3. Elementos de disipacin

8.3.1 Amortiguamiento viscoso

CAPTULO II

PROBLEMAS RESUELTOS

Conclusiones

Referencias bibliogrficas

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CAPTULO I

CONCEPTOS GENERALES

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TEORA DE LAS VIBRACIONES MECNICAS

Movimiento vibratorio o vibracin es la variacin o cambio de configuracin de un

sistema en relacin al tiempo, en torno a una posicin de equilibrio estable, su

caracterstica fundamental es que es peridico, siendo frecuente el movimiento

armnico simple, por lo que este movimiento adquiere una singular importancia en los

estudios vibratorios.

Los sistemas mecnicos al ser sometidos a la accin de fuerzas variables con el

tiempo, principalmente peridicas, responden variando sus estados de equilibrio y, como

consecuencia, presentan cambios de configuracin que perturban su normal

funcionamiento, presentan molestias al personal que los maneja y acortan la vida til

de los mecanismos.

Actualmente, el estudio y anlisis de las vibraciones mecnicas ha adquirido gran

importancia en la supervisin de los sistemas mecnicos, sobre todo de elementos de

tipo rotativo. Independientemente de los planes de mantenimiento correctivo y

preventivo, el plan de mantenimiento predictivo se basa, principalmente, en el estudio de

las vibraciones mediante la instalacin de sensores que permiten detectar vibraciones

fuera de rango.

En general, se suponen vibraciones de pequea amplitud porque fuera de ellas

dejan de tener validez la mayora de las hiptesis que se establecen para su estudio.

Supongamos el sistema de la figura, formado por una masa principal m, un elemento

recuperador elstico de constante k y un dispositivo amortiguador de constante c.

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Notacin:

K. constante de rigidez elstica

m: masa principal

c: coeficiente de amortiguacin

F: resultante de las fuerzas exteriores

l0: longitud inicial del muelle

xest: deformacin en equilibrio esttico

x: desplazamiento

Se consideran las siguientes hiptesis:

a) La masa tiene un guiado vertical, sin rozamiento, que permite nicamente

desplazamientos verticales, e impide otros desplazamientos y giros.

b) El muelle tiene masa despreciable frente a la masa principal del sistema y su fuerza

recuperadora elstica es proporcional a su deformacin.

c) El dispositivo amortiguador tiene sus masas mviles despreciables frente a la masa

principal del sistema y est basado en un rozamiento de tipo viscoso, con fuerza de

rozamiento opuesto a la velocidad y proporcional a ella.

d) El sistema se supone situado en el vaco.

La ecuacin del equilibrio dinmico permite establecer la ecuacin diferencial del

movimiento,

siendo F la fuerza aplicada directamente al sistema, -mx la fuerza de inercia , -cx la

fuerza amortiguadora de tipo viscoso y -kx la fuerza elstica, con las condiciones m>0,

c>0 y m>0 .

l0

xest

x

k

m

c

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1. CLASIFICACIN DE LAS VIBRACIONES

Las vibraciones son libres cuando no existen fuerzas o acciones exteriores directamente

aplicadas al sistema a lo largo del tiempo.

Las vibraciones son forzadas cuando existen acciones o excitaciones directamente

aplicadas al sistema a lo largo del tiempo, adems de las fuerzas o momentos internos.

Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden subdividirse, dependiendo de la

existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio, en:

Sin amortiguamiento. No existe resistencia pasiva al movimiento del sistema.

Con amortiguamiento. Existen resistencias pasivas al movimiento del sistema, es

decir, fuerzas o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibracional.

2. VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO

La ecuacin diferencial del movimiento es , su ecuacin caracterstica es

, siendo sus races imaginarias conjugadas .

La solucin general es de la forma donde a (amplitud) y (fase inicial)

son constantes que se pueden determinar, en cada caso particular, con las condiciones

iniciales.

La frecuencia natural de la vibracin y el periodo son:

En este tipo de vibraciones se cumple el principio de la conservacin de la energa

mecnica, es decir, la suma de la energa cintica y el potencial elstico es constante e

igual a la energa total

comunicada inicialmente al

sistema, por lo que se verifica la

ecuacin:

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3. VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO

En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energa mecnica debido a algn

tipo de friccin o rozamiento, de forma que dejado libremente a s mismo, un muelle o

pndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amortiguado y se

caracteriza porque tanto la amplitud como la energa mecnica disminuyen con el

tiempo.

La ecuacin diferencial que describe al movimiento es ; la ecuacin

caracterstica es , cuyas races son:

Se presentan tres casos posibles:

a) Amortiguamiento supercrtico:

Las races r1 y r2 son reales y distintas. La solucin de esta ecuacin, amortiguada pero

no armnica, es de la forma

Donde C1 y C2 son las constantes de integracin. El sistema no oscila, simplemente

vuelve a la posicin de equilibrio, cuanto mayor es el amortiguamiento, ms tiempo tarda

el sistema en alcanzar la posicin de equilibrio.

b) Amortiguamiento crtico:

La raz de la ecuacin caracterstica es doble e igual a .

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La solucin, amortiguada pero no armnica, es de la forma

El sistema vuelve a la posicin de equilibrio en el tiempo ms breve posible sin

oscilacin. El amortiguamiento crtico tiene una importancia especial porque separa los

movimientos aperidicos (no oscilatorios) de los oscilatorios amortiguados. Es decir, el

valor crtico es la menor cantidad de amortiguamiento para que el sistema no oscile. En

muchas aplicaciones prcticas se utiliza un amortiguamiento crtico, o prximo al crtico,

para evitar vibraciones y conseguir que el sistema alcance el equilibrio rpidamente.

c) Amortiguamiento subcrtico:

Las races son imaginarias conjugadas e iguales a,

y la frecuencia de la vibracin amortiguada es .

La solucin es de la forma

Esta solucin es aproximadamente armnica, es decir, existe una cierta periodicidad en el

movimiento con intervalos temporales medidos por el pseudoperiodo T' , que se puede

expresar en funcin del periodo T correspondiente a la vibracin no amortiguada a travs

de la relacin.

Elevando al cuadrado la expresin de la frecuencia de la vibracin amortiguada, se tiene:

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Relacin que permite la determinacin del coeficiente de amortiguamiento para unas

frecuencias dadas a priori o medidas experimentalmente.

Denominando factor de amortiguacin y factor de frecuencias se

obtiene la ecuacin de una elipse .

En las vibraciones amortiguadas, por ser un movimiento aperidico no se cumple el

principio de conservacin de la energa mecnica, pero si el de la energa total, de forma

que la suma de la energa cintica, el potencial elstico y la energa disipada en forma de

calor, debido a la existencia de amortiguamiento, se mantiene constante,

los dos primeros trminos disminuyen con el tiempo y la energa disipada tiende a

alcanzar el valor mximo, es decir, existe transformacin de energa mecnica en

calorfica.

4. VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO

Para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energa al sistema, cuando

esto se lleva a cabo se dice que la vibracin es forzada. Si se introduce energa en el

sistema a un ritmo mayor del que se disipa, la energa aumenta con el tiempo, lo que se

manifiesta por un aumento de la amplitud del movimiento. Si la energa se proporciona al

mismo ritmo que se disipa, la amplitud permanece constante con el tiempo.

La ecuacin diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo

peridico, es

donde F0 es la amplitud y la frecuencia de la fuerza excitadora.

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La solucin general de la ecuacin diferencial se obtiene aadiendo a la solucin general

de la homognea una solucin particular de la completa .

La ecuacin caracterstica es , las races de esta ecuacin son imaginarias

conjugadas y la solucin general de la homognea es .

La solucin particular de la completa es

As, la solucin general tiene por expresin:

En todo sistema no amortiguado y forzado armnicamente, el movimiento resultante se

compone de la suma de dos armnicos, uno de frecuencia natural y otro defrecuencia

de la fuerza exterior . La amplitud del primero depende de las condiciones iniciales y se

anula para unos valores particulares, la amplitud del segundo depende de la proximidad

de ambas frecuencias a travs de la expresin denominada factor de resonancia:

BATIMIENTO. Fenmeno producido cuando la frecuencia natural del sistema toma

un valor muy prximo a la frecuencia de la fuerza exterior , es decir, en el caso

particular en que . Para perturbacin inicial nula se obtiene,

Se trata de un movimiento armnico de frecuencia y de amplitud tambin armnica,

sta crece hasta un mximo y disminuye hasta que se anula, repitiendo este ciclo de

forma peridica.

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RESONANCIA. Una caracterstica muy significativa del movimiento oscilatorio tiene lugar

cuando la fuerza excitadora de las vibraciones tiene unas frecuencias particulares, para

cada sistema dado, producindose cambios de configuracin de los sistemas mecnicos

que alcanzan amplitudes notables, y generalmente, ocasionan un fallo estructural del

material sometido a esfuerzos de rotura: efectos resonantes. Este riesgo se produce

incluso con fuerzas excitadoras muy pequeas ya que depende de las caractersticas del

material sometido a vibracin.

Cuando la frecuencia de la fuerza exterior es igual a la frecuencia natural del

sistema , es decir, cuando , se produce la resonancia, la ecuacin que

rige dicho fenmeno es,

Expresin que corresponde a un movimiento armnico de frecuencia y cuya amplitud

tiende a infinito cuando .

5. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO

La ecuacin diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo

peridico, , es de la forma

La ecuacin caractersticas correspondiente a la ecuacin diferencial homognea es

. Se supone amortiguamiento inferior al crtico para que resulte una

vibracin, la solucin general se obtiene aadiendo a la solucin de la ecuacin diferencial

de la homognea una solucin particular de la completa , resultando:

Esta solucin consta de dos partes, una solucin transitoria, en la que el primer trmino

, al cabo de un tiempo generalmente breve, se reduce a un valor despreciable, y la

solucin estacionaria , en la que el sistema oscila con frecuencia , amplitud A

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constante y desfase cuyas expresiones son:

tg

6. TRANSMISIN DE VIBRACIONES

Cuando un sistema vibra segn la ecuacin: , la fuerza transmitida,

pasado el primer periodo transitorio, es

Se trata de una fuerza armnica de frecuencia igual a la frecuencia de la fuerza aplicada

, de amplitud y desfase siendo

Donde:

Se denomina coeficiente de transmisibilidad a la relacin entre las amplitudes mximas de

la fuerza aplicada y transmitida, cuya expresin en forma adimensional es:

Es conveniente que el coeficiente de transmisibilidad sea bajo, preferiblemente menor que

la unidad, por lo que

8. ELEMENTOS DE UN SISTEMA VIBRATORIO

En general son tres los elementos que forman un sistema vibratorio: i) elementos de

inercia, ii) elementos de rigidez, y iii) elementos de disipacin. Adems se debe considerar

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las fuerzas y momentos aplicados externamente y las alteraciones externas provenientes

de desplazamientos iniciales prescritos, velocidades iniciales, o ambos.

El elemento de inercia almacena y libera energa cintica, el elemento de rigidez

almacena y libera energa potencial, y el elemento de disipacin o de amortiguamiento se

utiliza para expresar la prdida de energa en un sistema. Cada uno reacciona diferente a

una excitacin (la forma de una fuerza o de un momento) y respuesta (que est en la

forma de un desplazamiento, velocidad o aceleracin).

Los elementos se caracterizan de la siguiente forma:

Elementos de inercia. Se caracterizan por una relacin entre una fuerza aplicada

(o momento y la correspondiente respuesta de aceleracin.

Elementos de rigidez. Se caracterizan por una relacin entre una fuerza aplicada

(o momento) y el desplazamiento correspondiente (o rotacin).

Elementos de disipacin. Su caracterstica es la relacin entre una fuerza

aplicada (o momento) la respuesta correspondiente de velocidad.

8.1 ELEMENTOS DE INERCIA

La propiedad de inercia de una masa que est sujeta a movimientos de rotacin es una

funcin de la distribucin de la masa, en especial del momento de inercia de la masa, el

cual se define con respecto a su centroide o un punto fijo O. Cuando la masa oscila con

respecto a un punto fijo O o un punto pivote O, la inercia rotatoria JO es:

Donde m es la masa del elemento, JG es el momento de inercia de la masa con respecto

al centroide y d es la distancia desde el centro de gravedad hasta el punto 0. Los

momentos de inercia JG y JO son definidos en la ecuacin (1) con respecto a los ejes

normales al plano de la masa. Esta relacin entre el momento de inercia de la masa con

respecto a un eje que pasa por el centroide G y un eje paralelo a travs de otro punto O,

se deduce del teorema de los ejes paralelos.

En la TABLA 1.1 se proporcionan los momentos de inercia de la masa de algunos cuerpos

comunes.

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BARRA ESBELTA

DISCO CIRCULAR

ESFERA

TABLA 1.1 Momentos de inercia de la masa con respecto al eje z normal al plano xy que

pasa por el centroide.

2

12

1mLJG

2

2

1mRJG

z

2

5

2mRJG

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En el caso del movimiento de traslacin, la propiedad de inercia m es la relacin de la

fuerza y la aceleracin, esto se representa como:

La energa cintica de la masa m se expresa como:

La energa cintica del movimiento de traslacin es linealmente proporcional a la masa.

Asimismo, la energa cintica es proporcional al cuadrado de la magnitud de la velocidad.

En el caso de un cuerpo rgido que slo est sometido a rotacin en el plano con una

velocidad angular , se puede mostrar a partir de la cantidad de movimiento angular que

Donde M es el momento que acta con respecto al centroide G o un punto fijo O, como se

muestra en la FIG 1.1, en la direccin normal al plano de movimiento y J es el momento

de inercia de la masa. De (4) se deduce que en caso del movimiento de rotacin, la

propiedad de inercia J es la relacin del momento y la aceleracin angular. Adems la

energa cintica del sistema es:

Por lo tanto, la energa cintica del movimiento en rotacin slo es linealmente

proporcional a la propiedad de inercia J, el momento de inercia de la masa. Por otro lado,

la energa cintica es proporcional al cuadrado de la magnitud de la velocidad angular.

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FIG 1.1 a) Disco uniforme articulado en un punto sobre su permetro, y b) barra de masa

uniforme articulado en un extremo.

8.2. ELEMENTOS DE RIGIDEZ

Los elementos de rigidez almacenan y liberan la

energa potencial de un sistema. Observe la FIG 1.2.

La fuerza FS trata de restablecer el elemento de

rigidez a su configuracin no deformada, se le llama

fuerza restauradora. A medida que el elemento de

rigidez se deforma, la energa se almacena en l, y

conforme el elemento de rigidez regresa a su

configuracin inicial se libera la energa.

La energa potencial V se define como el trabajo

efectuado para llevar al elemento de rigidez desde la

posicin deformada hasta la posicin sin deformacin;

es decir, el trabajo necesario para llevar al elemento

hasta su forma original.

FIG 1.2 a) Elemento de rigidez con una fuerza

que acta en l, y b) su diagrama de cuerpo

libre.

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Lo anterior se expresa como:

La relacin entre la deformacin que experimenta un resorte y una fuerza aplicada

externamente puede ser lineal o no lineal.

8.2.1 RESORTES LINEALES

Resortes de traslacin

Si se aplica una fuerza F a un resorte lineal (FIG 1.3a), esta fuerza produce una deflexin

x tal que:

Donde el coeficiente k se denomina constante de resorte y existe una relacin lineal entre

la fuerza y el desplazamiento. Con base a esto, la energa potencial V almacenada en el

resorte se expresa como:

De aqu que, para un resorte lineal, la energa potencial asociada guarda una proporcin

lineal con la rigidez del resorte k y proporcional a la segunda potencia de la magnitud del

desplazamiento.

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FIG 1.3 Varias configuraciones de resortes: a) resorte simple, b) dos resortes en paralelo

y c) dos resortes en serie

Resorte de torsin

Si se considera un resorte lineal de torsin y se aplica un momento al resorte en uno de

sus extremos, mientras el otro extremo del resorte se mantiene fijo, entonces>

Donde kl es la constante del resorte y es la deformacin del mismo. La energa potencial

almacenada en este resorte es:

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Combinaciones de resortes lineales

Cuando hay dos resortes en paralelo y la barra sobre la cual acta la fuerza F permanece

paralela a su posicin original, entonces los desplazamientos de ambos resortes son

iguales, y por tanto, la fuerza total es:

Donde FJ(x) es la resultante en el resorte kj, j=1,2, y ke es la constante equivalente del

resorte para los dos resortes en paralelo dada por:

Cuando hay dos resortes en serie (FIG 1.3c), la fuerza sobre cada resorte es la misma y

el desplazamiento total es:

Donde la constante equivalente del resorte ke es:

En general, para N resortes en paralelo se tiene:

Y para N resortes en serie:

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Para dos resortes de torsin en combinaciones en serie y en paralelo, la rotacin de

cada resorte es la misma y, por consiguiente:

Donde es el momento resultante en el resorte , j=1,2, y es la rigidez equivalente

de torsin dada por:

Para los resortes de tensin en serie, el par de torsin en cada resorte es el mismo, pero

las rotaciones son desiguales. Entonces:

Donde la rigidez equivalente es:

Constantes equivalentes de resorte para elementos estructurales ms comunes en

los modelos vibratorios.

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8.3 ELEMENTOS DE DISIPACIN

Se supones que los elementos de amortiguamiento no tienen inercia, ni medios de

almacenar o liberar energa potencial El movimiento mecnico impartido a estos

elementos se convierten en calor o sonido y, por tanto se les denomina no conservativos

o disipativos porque el sistema mecnico no puede recuperar esta energa.

Hay cuatro tipos comunes de mecanismos de amortiguamiento que se usan para modelar

los sistemas vibratorios: i) amortiguamiento viscoso, ii) amortiguamiento de Coulomb o de

friccin seca, iii) amortiguamiento material o slido o histertico, y iv) amortiguamiento por

fluido. En todos los casos, la fuerza amortiguadora se expresa como una funcin de la

velocidad.

8.3.1 AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

Cuando un lquido viscoso fluye a travs de una ranura o alrededor de un mbolo en un

cilindro, la fuerza de amortiguamiento que se genera es proporcional a la velocidad

relativa entre los dos lmites que confinan al lquido. La magnitud de la fuerza del

amortiguador F siempre acta en la direccin opuesta a la de la velocidad. La magnitud

de la fuerza del amortiguador es una funcin no lineal de la velocidad o puede ser

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aproximadamente una funcin no lineal de la velocidad o puede ser aproximadamente

una funcin lineal de la velocidad, lo cual depende de la construccin del amortiguador y

del rango de la velocidad. En el caso lineal, a relacin se expresa como:

Donde la constante de proporcionalidad denotada por c se denomina coeficiente de

amortiguamiento. Las unidades de este coeficiente N/(m/s). El amortiguamiento viscoso

de la forma dada por la ecuacin (19) tambin recibe el nombre de amortiguamiento

hidrulico lento.

En el caso de un amortiguador viscoso no lineal descrito por una funcin , el

amortiguamiento viscoso lineal equivalente alrededor de una velocidad de operacin

se determina como se indica a continuacin:

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CAPTULO II

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMAS DE MOVIMIENTO VIBRATORIO

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PROBLEMA 01

La placa rectangular de 10 kg que se muestra en la

figura 22-5a est suspendida por su centro de una

barra cuya rigidez torsional es k=1.5 N.m/rad.

Determine el periodo natural de vibracin de la placa

cuando experimenta un pequeo desplazamiento

angular su plano.

SOLUCIN

Diagrama de cuerpo libre. Figura 22.5b. Como la placa se desplaza en su

propio plano, el momento de restauracin torsional creado por la barra es M=k . Este

momento acta en la direccin opuesta al desplazamiento angular . La aceleracin

angular acta en la direccin de positivo.

Ecuacin de movimiento.

;OO IM OIk

O

0 OI

k

Como esta ecuacin est en la forma estndar, la

frecuencia natural es On Ik / .

Segn la tabla en la cubierta posterior interna, el momento de inercia de la placa con

respecto a un eje que coincide con la barra es 2212

1bamIO . Por consiguiente,

222 .1083.03.02.01012

1mkgmmkgIO

El periodo de vibracin es por consiguiente,

sk

I O

n

69.15.1

1083.022

2

Respuesta:

s69.1

a)

- 30 -

PROBLEMA 02

Determine el periodo de oscilacin del pndulo simple que

se muestra en la figura 22-4. La bota tiene una masa m y

est atada a una cuerda de longitud l . Ignore el tamao de la

bola.

SOLUCIN

Diagrama de cuerpo libre. El movimiento del sistema se

relacionar con la coordenada de posicin )( q , figura 22-4b.

Cuando la bola se desplaza un pequeo ngulo , la fuerza de

restauracin que acta en ella es creada por la componente

tangencial de su peso, mgsen . Adems, ta acta en la

direccin de s creciente (o ).

Ecuacin de movimiento. Al aplicar la ecuacin de movimiento

en la direccin tangencial, ya que implica la fuerza de

restauracin, obtenemos: tmamgsen

(1)

Cinemtica. sdt

sdat 2

2

. Adems, s puede relacionarse con

por medio de la ecuacin ls , de modo que lat . Por

consiguiente, la ecuacin 1 se reduce a

0 senl

g (2)

La solucin de esta ecuacin implica el uso de una integral elptica. Para desplazamiento

pequeos, sin embargo, sen , en cuyo caso

0 l

g (3)

Al comparar esta ecuacin con la ecuacin 22-16 ( 02 xx n ), se ve que lgn / .

Segn la ecuacin 22-12, el periodo requerido para que la bola realice una oscilacin

completa es por consiguiente

a)

- 31 -

Respuesta:

g

l

n

2

2

Este interesante resultado, descubierto originalmente por Galileo Galilei mediante

experimentos, indica que el periodo depende slo de la longitud de la cuerda y no de la

masa de la bola del pndulo o del ngulo .

- 32 -

PROBLEMA 03

El arco delgado que se muestra en la figura esta sostenida por la clavija en O.

Determine el periodo natural de oscilacin para pequeas amplitudes de

oscilacin. El aro tiene una masa m.

Solucin

Ecuacin de energa. En la figura se muestra un diagrama del arco desplazado una

pequea cantidad (q=) de la posicin de equilibrio. Con la tabla que aparece en la

cubierta posterior interna y el teorema de ejes paralelos para determinar , la energa

cintica es:

Si se coloca un plano de referencia horizontal a travs del punto O, y luego en la posicin

desplazada, la energa potencial es:

La energa total del sistema es:

Derivada con respecto al tiempo

O

W=mg

r

- 33 -

Como no siempre es igual a cero, con los trminos entre parntesis:

Para un ngulo pequeo , .

De modo que

- 34 -

PROBLEMA 04

El motor elctrico de 30 kg que se ilustra en la figura esta

sostenido por cuatro resortes, cada uno con una rigidez de

200 . Si el rotor se des balancea de modo que su efecto

equivalga a una masa de 4 kg situada a 60 mm del eje de

rotacin, determine la amplitud de la vibracin cuando el

rotor gira a . El factor de amortiguacin es

Solucin

La fuerza peridica que hace que el motor vibre es la fuerza centrfuga a consecuencia

del rotor des balanceado. Esta fuerza tiene una magnitud constante de

Como , entonces

La rigidez de todo el sistema de cuatro resortes es . Por

consiguiente, la frecuencia natural de vibracin es :

Como se conoce el factor de amortiguacin, la amplitud de estado continuo se determina

con la primera ecuacin, es decir:

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PROBLEMA 05

La barra acodada que se muestra en la figura 22-6a tiene una masa insignificante y sostiene un collarn de 5 kg. En su extremo. Si la barra est en la posicin de equilibrio mostrada, determine el periodo de vibracin natural para el sistema. Figura 22-6a:

Solucin Diagramas de cuerpo libre y cintico. Figura 22-6b. aqu la barra aparece desplazada un pequeo ngulo de la posicin de equilibrio. Como el resorte se somete a una compresin inicial Xst en la posicin de equilibrio, entonces cuando experimenta el desplazamiento X>Xst el resorte ejerce una fuerza Fs = kX kXst en la barra. Para obtener la forma estndar, ecuacin 22-16, 5ay debe actuar hacia arriba, lo cual concuerda con el desplazamiento positivo. Figura 22-6b:

Ecuacin de movimiento. Los momentos se sumaran con respecto al punto B para eliminar la reaccin desconocida en este punto. Como es pequeo.

- 36 -

El segundo termino de lado izquierdo, -kXst (0.1 m), representa el momento creado por la fuerza del resorte, la cual es necesaria para mantener el collarn en equilibrio, es decir, en X=0. Como este momento es igual y opuesto al momento de 49.05 N (0.2 m) creado por el peso del collarn, estos dos trminos se eliminan en la ecuacin anterior, de modo que:

Figura 22-6c:

Cinemtica. La deformacin del resorte y la posicin del collarn pueden relacionarse con

el ngulo , figura 22-6c. como es pequeo, X = (0.1 m) y Y = (0.2 m). Por consiguiente, ay = y = 0.2 . Sustituyendo en la ecuacin 1 obtenemos

400(0.1 ) 0.1 = -5(0.2 )0.2 Al reescribir la ecuacin en la forma estndar obtenemos

+ 20 = 0

Comparada con (ecuacin 22-16), tenemos

El periodo natural de vibracin es por consiguiente

- 37 -

PROBLEMA 06 Se suspende un bloque de 10 lb de una cuerda que pasa sobre un disco de 15 lb como se muestra en la figura 22-7a. el resorte tiene una rigidez k = 200 lb/pie. Determine el periodo natural de vibracin para el sistema.

Figura 22-7a:

Solucin Diagramas de curpo libre y cinetico. Figura 22-7b. El sistema se compone del disco, el cual experimenta una rotacin definida por el ngulo , y el bloque, el cual se traslada en una cantidad s. el vector Io acta en la direccin de positivo, y por consiguiente, mBab acta dirigida hacia abajo en la direccin de s positivo. Figura 22-7b:

Ecuacin de movimiento. Al sumar los momentos con respecto al punto O para eliminar

las reacciones Ox y Oy y habida cuenta de que , obtenemos:

O

15 lb Fs

Ox

Oy

10 lb

0.75 pie

O

Io

mBab

0.75 pie

K = 200 lb/ft 0.75 ft

O

- 38 -

Figura 22-7c:

Cinemtica. Como se muestra en el diagrama cinemtica en la figura 22-7c un pequeo desplazamiento positivo del disco hace que el bloque baje una cantidad s = 0.75 , por consiguiente, a = s = 0.75 . Cuando = 0, la fuerza del resorte requerida para el equilibrio del disco es de 10 lb dirigida a la derecha. En la posicin , la fuerza del resorte es Fs = (200 lb/pie)(0.75 pie) + 10lb. Al sustituir estos resultados en la ecuacin y simplifica, obtenemos:

+ 368 = 0

En consecuencia

Por tanto, el periodo natural de vibracin es

0.75 ft O

0.75

S = 0.75

- 39 -

PROBLEMA 07

El instrumento que se muestra en la figura, esta rgidamente montado en una plataforma

P, la cual a su vez est sostenida por cuatro resortes, cada uno con rigidez k=800 N/m. Si

el piso se somete a un desplazamiento vertical =10 sen(8t)mm, donde t est en

segundos, determine la amplitud de la vibracin de estado continuo. Cul es la

frecuencia de la vibracin del piso requerida para provocar resonancia? El instrumento y

la plataforma tienen una masa total de 20kg.

SOLUCIN:

La frecuencia natural es:

=

=

=

La amplitud de la vibracin de estado continuo se determina de la siguiente

manera:

X =

X=

X=16.7mm.

Ocurrir resonancia cuando la amplitud de vibracin X provocada por el

desplazamiento del piso tienda a infinito. Esto requiere:

== 12.6

- 40 -

K = 200 N/m 0.15 m

O

S 0.15 m

O

98.1N

S= 0.15 Datum

PROBLEMA 08

Un bloque de 10 kg est suspendido de una cuerda enrollada alrededor de un disco de 5

kg como se muestra en la figura. Si el resorte tiene una rigidez k=200N/m. determine el

periodo natural de vibracin para el sistema.

SOLUCIN:

Ecuacin de la energa. En la figura se muestra un diagrama del bloque y disco

cuando estn desplazados en cantidades respectivas s y de la posicin de

equilibrio. Como s = (0.15m) , entonces Por tanto, la energa

cintica del sistema es:

T=

T=

T= 0.1406 (

Si se establece el plano de referencia en la posicin de equilibrio del bloque y se

tiene en cuenta que el resorte se alarga S cuando est en equilibrio, la energa

potencial es:

V=

V =

- 41 -

La energa total del sistema es por consiguiente,

T V = 0.1406 (

Derivada con respecto al tiempo.

0.28125( = 0

Como S= la ecuacin anterior se reduce a la forma estndar

de modo que,

=

por tanto,

42

CONCLUSIONES

- Un anlisis del sistema vibratorio es til para conocer no solo las caractersticas

de un elemento mecnico como por ejemplo una bicicleta o un auto, sino que

tambin el comportamiento de una estructura de concreto frente a los sismos y las

vibraciones que ste produce.

- El sistema vibratorio cuenta con tres elementos: el elemento de inercia que

almacena y libera energa cintica, el elemento de rigidez que almacena y libera

energa potencial, y el elemento de disipacin o amortiguamiento que se utiliza

para expresar la prdida de energa del sistema.

- Hoy en da sabemos que las maquinas tienen su propia seal de vibracin a

travs de una frecuencia de onda donde se encuentran informacin de cada una

de sus componentes como alineacin de acoples, poleas, anlisis de aceite y

instalacin de soportes.

- Vibracin mecnica es el movimiento de vaivn de las molculas de un cuerpo o

sistema debido a que posee caractersticas energticas cinticas y potenciales.

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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

ALONSO, M.; FINN, E. (1995). Fsica. Addison Wesley Iberoamericana. Captulo 10

CRAWFORD, J. (1977). Ondas, Berkeley Physics Course. Ed. Revert. Capt. 1 y 3.

SERWAY, R. A. (1992). Fsica. Ed. Mc Graw Hill. Captulo 13.

Sanmartn, J. R. La fsica del botafumeiro. Investigacin y ciencia, n.161, pp. 7-10.

(1990).

Pgina web: http://www.sc.ehu.es/sweb/fisica/oscilaciones/oscilacion.htm