Movimiento de proyectiles

Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada totalmente por los efectos de la aceleracin gravitacional y la resistencia del aire. El camino que sigue un proyectil es su trayectoria. Primero, observemos que el movimiento de un proyectil est limitado a un plano vertical determinado por la direccin de la velocidad inicial (Fig.1). La razn es que la aceleracin debida a la gravedad es exclusivamente vertical; la gravedad o puede mover un proyectil lateralmente. Por tanto, este movimiento es bidimensional. Llamaremos al plano de movimiento plano x y , con el eje x horizontal y el y vertical hacia arriba. La clave del anlisis del movimiento de proyectiles es que podemos tratar las coordenadas x y y por separado. La componente x de la aceleracin es cero y la componente y es constante e igual a g. (por definicin, g siempre es positiva pero, por las direcciones de coordenadas escogidas, ay es negativa.)As, podemos analizar el movimiento de un proyectil como una combinacin de movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleracin constante. La figura 2 muestra dos proyectiles con diferente movimiento x pero idntico movimiento y ; uno se deja caer desde el reposo y el otro se proyecta horizontalmente, pero ambos caen la misma distancia en el mismo tiempo. As, podemos expresar tosa las relaciones vectoriales de posicin, velocidad y aceleracin con ecuaciones independientes para las componentes horizontales y verticales. El movimiento real es la superposicin de los movimientos. Las componentes de a son

ax 0resistencia)

a y g (Movimiento del proyectil sin

Por lo regular, usaremos g = 9.8 m/s 2. Por ejemplo, suponga t = 0 la partcula esta en el punto ( xo , yo ) y sus componentes de velocidad tienen los valores iniciales vox

y voy .Las componentes de la aceleracin son movimiento x , sustituimos a x en las ecuaciones:

ax 0 , a y g . Considerando primero el

vx v0 x x x0 v0 xt

Ecuaciones 1 y 2

Para el movimiento y , sustituimos y por x , v y por v x , v0 y por v0 x , y a y g por a x :v y v0 y gt 1 y y0 v0 y t gt 2 2

Ecuaciones 3 y 4

Por lo general, lo ms sencillo es tomar la posicin inicial (en t 0 ) como origen; as, x0 y0 0. Este punto podra ser la posicin de una pelota cuando abandona la mano del lanzador, o la de una bala cuando sale del can de un arma. La figura 3 muestra la trayectoria de un proyectil que parte de (o pasa por) el origen en t 0 . La posicin, velocidad, componentes de velocidad y aceleracin se muestra en una serie de instantes equiespaciados. La componente x de la aceleracin es 0, as que v x es constante. La componente y es constante pero no cero, as que

v y cambia en cantidades iguales a intervalos iguales. En el punto ms alto de la trayectoria, v y 0.Tambin podemos representar la velocidad inicial v0 con su magnitud v 0 (la rapidez inicial) y su ngulo 0 con el eje + x . En trminos de estas cantidades, las componentes v0 x y v0 y de la velocidad inicial son

v0 x v0 cos 0

v0 y v0 sen 0

Ecuaciones 5 y 6

Fig. 3 Trayectoria de un cuerpo proyectado con una velocidad inicial

v0 y un ngulo 0 sobre la horizontalcon resistencia del aire insignificante. La distancia R es el alcance horizontal, y h es la altura mxima.

Usando estas relaciones en las ecuaciones (1 a la 4) y haciendo x0 y0 0 , tenemos

x (v0 cos 0 )t1 y (v0 sen 0 )t gt 2 2vx v0 cos 0v y v0 sen 0 gt

Ecuacin 7

Ecuacin 8

Ecuacin 9 Ecuacin 10

En estas ecuaciones describen la posicin y la velocidad de la figura 3 en cualquier instante t . Podemos obtener mucha informacin de estas ecuaciones. Por ejemplo, en cualquier instante, la distancia r del proyectil al origen (la magnitud del vector de posicin r ) est dada por

r x2 y 2

Ecuacin 11

La rapidez del proyectil (la magnitud de su velocidad) en cualquier instante es

v vx 2 v y 2

Ecuacin 12

La direccin de la velocidad, en trminos del ngulo que forma con el eje de + x est dada por

tan

vy vx

Ecuacin 13

El vector de la velocidad v es tangente a la trayectoria en todos los puntos. Podemos deducir una ecuacin para la forma de la trayectoria en trminos de x y y eliminando t . De las ecuaciones 7 y 8, que suponen x0 y0 0 , obtenemos t x

(v0 cos 0 ) y

y (tan 0 ) x

g x2 2 2v0 cos 02

Ecuacin 14

Las cantidades v 0 , tan 0 , cos 0 y g son constantes, as que la ecuacin tiene la forma

y bx cx 2

Ecuacin 15

Donde b y c son constantes. sta es la ecuacin de una parbola. En el movimiento de proyectiles, con nuestro modelo simplificado, la trayectoria siempre es una parbola. (Fig. 4)

Fig.4 La resistencia del aire tiene un efecto acumulativo considerable sobre el movimiento de una pelota de beisbol. En esta simulacin, permitimos que la bola caiga por debajo de la altura desde la cual se lanz (por ejemplo, la pelota podra haberse lanzado desde un acantilado).

Problema Un bateador golpea de modo que est adquiere una rapidez inicial de v0 37.0 m s con ngulo inicial de 0 53.1, en un lugar donde g 9.80 m s2 (Fig.5) A) Calcule la posicin un lugar de la bola y la magnitud y direccin de su velocidad cuando

t 2.00 sB) Determine cuanto la pelota alcanza el punto ms alto y su altura h en ese punto. C) Obtenga el alcance horizontal R, la distancia horizontal desde el punto de partida hasta donde la pelota cae al suelo.

Fig.5 Trayectoria de una pelota bateada, tratada como proyectil.

Solucin

v0 x v0 cos 0 (37.0 m s ) cos 53.1 22.2 m sv0 y v0 sen 0 (37.0 m s ) sen53.1 29.6 m s

A) x v0 x t (22.2 m s )(2.00 s ) 44.4m

1 1 y v0 y t gt 2 (29.6 m s )(2.00s ) (9.80 m s2 )(2.00s ) 2 39.6m 2 2 m (9.80 m )(2.00 ) 100 m v y v0 y gt 29.6 s s s s2v = v x 2 + v y 2 = (22.2 m s ) 2 + (10.0 m ) 2 s = 24.3 m s

= arctan(

10.0 m s ) = arctan 0.450 = 24.2 22.2 m s

B) v y 0 v0 y gt1

t1

v0 y g

29.6 m s 9.80 m s

1 h v0 y t1 gt12 2

1 (29.6 m s )(3.02s) (9.80 m s2 )(3.02s)2 44.7m 2

Movimiento circular Uniforme

Cuando una partcula se mueve en un crculo con rapidez constante, tiene un movimiento circular uniforme. Un auto que da vuelta a una curva de radio constante con rapidez constante, un satlite en rbita circular y un patinador que describe con rapidez un crculo con rapidez constante son ejemplos de este movimiento. No hay componente de aceleracin paralela (tangente) a la trayectoria; si la hubiera, la rapidez cambiara. La componente de aceleracin perpendicular (normal) a la trayectoria, que causa el cambio de direccin de la velocidad, tiene una relacin sencilla con la rapidez de la partcula y el radio del crculo. En el movimiento circular uniforme, la aceleracin siempre es perpendicular a la velocidad; al cambiar la direccin de sta, cambia la de la aceleracin. La figura 6 muestra una partcula que se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular de radio R centrada en

O . La partcula que se mueve de P1 a P2 en un tiempo t .El ngulo abarcado en un movimiento circular es igual es la longitud del arco de circunferencia recorrida entre el radio:

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radin. Un radin es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene radianes. La velocidad angular es la variacin del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleracin, segn el modelo fsico cinemtica.

Se considera un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitarios en el sentido de estos ejes . La posicin de la partcula en funcin del ngulo de giro y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy:

Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se traduce en:

De modo que el vector de posicin de la partcula en funcin del tiempo es:

siendo:: es el vector de posicin de la partcula. : es el radio de la trayectoria. : es la velocidad angular (constante). : es el tiempo.

La velocidad se obtiene a partir del vector de posicin mediante derivacin:

El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fcilmente efectuando el producto escalar y comprobando que es nulo. Aceleracin La aceleracin se obtiene a partir del vector velocidad mediante derivacin:

de modo que

As pues, vector aceleracin tiene la misma direccin y sentido opuesto que el vector de posicin, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. Por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleracin normal o centrpeta. El mdulo de la aceleracin es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar tambin en funcin de la celeridad de la partcula, ya que, en virtud de la relacin , resulta

Esta aceleracin es la nica que experimenta la partcula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partcula deber ser atrada hacia el centro mediante una fuerza centrpeta que la aparte de una trayectoria rectilnea, como correspondera por la ley de inercia. Problema Un automvil BMW Z4 tiene aceleracin lateral de 0.87g que es de (0.87)(9.8m/s2)= 8.5m/s2. sta es la aceleracin centrpeta mxima que puede lograrse sin salirse de la trayectoria derrapando. Si el auto viaja a 40 m/s(144km/h), Cul ser el radio mnimo de curva que puede describir?

R

v2

rad

(40 m s )2 190m 8.5 m s