1

Một số vấn đề về đường sức điện trường của hệ điện tích điểm

Đinh Huy Hồng Quân

Institut National Polytechnique, Grenoble, France.

Đường sức điện trường là một trong những khái niệm cơ bản nhất của tĩnh điện học. Biết được

biểu diễn của một đường sức bất kỳ gây ra bởi hệ điện tích điểm, ta có thể biết nhiều tính chất

thú vị của hệ điện tích đó. Bài viết nhỏ này nhằm giới thiệu với các bạn một số tính chất của

đường sức điện trường gây ra bởi một hệ điện tích cũng như cách biểu diễn các đường sức đó.

1.GIỚI THIỆU

Đường sức của điện trường là đường mà tiếp tuyến với nó tại mỗi điểm trùng với phương của vectơ

cường độ điện trường tại điểm đó,chiều của đường sức là chiều của vectơ cường độ điện trường tại

điểm đó.

(hình ảnh các đường sức điện gây ra bởi hệ 2 điện tích điểm)

Vì điện trường có ở tất cả mọi điểm trong không gian bao quanh điện tích, nên qua bất kì điểm nào

cũng có thể vẽ được một đường sức.Vì tại mỗi điểm cường độ điện trường có hướng và độ lớn xác

định, nên qua mỗi điểm chỉ có thể vẽ được một đường sức, hay nói khác đi, các đường sức không cắt

nhau.Vì chiều của đường sức trùng với chiều của vectơ cường độ điện trường, nên các đường sức bắt

đầu (đi ra ) từ các điện tích dương, kết thúc (đi vào) ở các điện tích âm. Trong trường hợp chỉ có các

điện tích âm hoặc các điện tích dương thì các đường sức bắt đầu hoặc kết thúc ở vô cực. Như vậy

đường sức của điện trường (tĩnh) không khép kín. Để cho các đường sức có thể biểu diễn cả độ lớn

của cường độ điện trường người ta quy ước vẽ đường sức mau ở nơi cường độ điện trường lớn,

đường sức thưa ở nơi cường độ điện trường nhỏ.

2. MỘT SỐ DẠNG ĐƯỜNG SỨC THƯỜNG GẶP

Việc vẽ các đường sức điện trường giúp ta biết được dáng vẻ của trường tĩnh điện trong không gian

đang xét. Từ đó biết được tính chất hệ điện tích gây ra trường tĩnh điện. Hơn nữa, vì phương của

vectơ cường độ điện trường tại 1 điểm trên đường sức trùng với tiếp tuyến với đường sức tại điểm đó,

chiều của vetơ này trùng với chiều của đường sức. Vì vậy khi biết được biểu diễn các đường sức điện

trường, ta có thể biết được phương và chiều lực tác dụng lên một điện tích khi đặt nó trong trường

tĩnh điện đang xét.

2

Trong thực nghiệm, có nhiều phương pháp để thu được dáng vẻ của các đường cong đường sức.

Chẳng hạn ta dung hạt mùn cưa rắc lên một mặt phẳng và cho hệ điện tích lại gần, khi đó các hạt mùn

cưa sẽ sắp xếp theo một thứ nhất định gây nên những đường cong đặc trưng, những đường cong đó

có dạng trùng với dạng của những đường sức điện trường gây ra bởi hệ điện tích.

Một số dạng đường sức thường gặp:

+ Đường sức tạo bởi 1 điện tích điểm:

(H.1 Đường sức với điện tích dương)

(H.2 Đường sức với điện tích âm)

Dễ dàng nhận thấy rằng các biểu diễn đường sức trên đây là hoàn toàn hợp lý vì khi ta đặt một điện

tích (giả sử dương) vào trường tĩnh điện gây ra bởi một điện tích điểm, điện tích này gây ra lực đẩy

(hoặc hút) có phương trùng với đường nối hai điện tích.

+ Đường sức tạo bởi một hệ hai điện tích điểm:

3

(H.3 Các đường sức gây ra bởi hệ 2 điện tích điểm trái dấu +3q và –q)

(H.4 Các đường sức gây ra bởi hệ hai điện tích điểm dương +2q và +q)

Ở H.3 ta thấy rằng đối với các đường sức xuất phát từ +3q và đi đến –q, đường cong của chúng có

phần lồi hơi chếch về phía phải, điều này được giải thích là do +3q “mạnh” hơn –q nên nếu ta đặt

điện tích thử gần –q thì lực tác dụng lên điện tích này vẫn có xu hướng đẩy nó ra xa khỏi –q. Do đó ta

có thể tìm được hình ảnh đường cong đường trong trường hợp hệ 2 điện tích +q và -3q sẽ tương tự

nhưng có phần lồi chếch qua trái, và khi 2 điện tích này có độ lớn bằng nhau thì các đường cong

đường sức sẽ có dạng đối xứng.

Một điều chú ý nữa là mật độ các đường sức tỷ lệ với độ lớn cường độ điện trường. Do vậy khi ở gần

điện tích, mật độ đường sức cao và khi ra xa thì đường sức thưa hơn.

+ Đường sức tạo bởi một lưỡng cực điện:

4

(H.5 Đường sức tạo bởi một lưỡng cực điện)

Lưỡng cực tĩnh điện là hệ gồm hai điện tích điểm trái dấu cùng độ lớn đặt rất gần nhau. H.5 cho ta

biểu diễn các đường sức của một lưỡng cực. Ta thấy hình dạng đối xứng của các đường sức vẫn

giống đối với trường hợp hai điện tích trái dấu cùng độ lớn, nhưng điểm khác biệt ở đây là đối với

lưỡng cực, mật độ các đường sức giảm nhanh hơn khi đi ra xa so với hệ điện tích thông thường. Điều

này cho ta dự đoán rằng cường độ điện trường gây ra bởi lưỡng cực giảm nhanh hơn so với hệ điện

tích thông thường. Thật vậy điện trường gây ra bởi một lưỡng cực giảm theo quy luật mũ 3 chứ

không phải mũ 2 như các hệ điện tích khác:

(

)

3. BIỂU DIỄN ĐƯỜNG SỨC ĐIỆN TRƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ

Vấn đề đặt ra là nếu ta biết giá trị các điện tích cho trước, làm thế nào để có thể vẽ các đường sức gây

ra bởi hệ điện tích điểm đó. Điều này là không mới khi trong toán học, bằng việc sử dụng các phần

mềm toán học như Mathlab, Mathematica…ta có thể vẽ được các đường cong đường sức bằng những

đoạn code.

Chẳng hạn để vẽ đường sức cho một lưỡng cực, ta có thể sử dụng câu lệnh StreamPlot[{vx, vy},

{x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] trong Mathematica, có chức năng tạo ra các đường dòng của trường

vectơ (vx,vy) theo (x,y).

(H.6 Hình ảnh các đường sức trường vẽ bằng Mathlab)

5

Nhưng câu hỏi đặt ra là ta có thể tìm được phương trình của một đường cong đường sức bất kỳ trong

một hệ tọa độ thích hợp hay không? Điều này giúp chúng ta có thể biểu diễn các đường sức mà

không cần can thiệp bởi những đoạn code hay những phần mềm toán học, và dĩ nhiên là ta sẽ có

những phương pháp theo kiểu “thuần Vật Lý” hơn!

Xét một hệ gồm 2 điện tích điểm được giữ cố định q1, q2 lần lượt đặt tại hai điểm A,B cách nhau một

đoạn l , và ta sẽ khảo sát các đường sức điện trường gây ra bởi hệ điện tích này.

Chọn hệ tọa độ Descartes Oxyz có gốc tọa độ O tại A. Trục Ox nằm ngang, Oy thẳng đứng và Oz

vuông góc với mặt phẳng trang giấy.

Đầu tiên, ta nhận xét rằng vì phương của vectơ cường độ điện trường tại một điểm trên đường sức

luôn tiếp tuyến với đường sức đó, điều này có nghĩa nếu ta xét một điểm M trên đường sức thì ta có

liên hệ:

Về mặt toán học, từ hệ thức trên ta đã có đủ thông tin để tìm một liên hệ giữa các tọa độ trên đường

sức trường, thật vậy:

(

) (

) (

)

Do đó ta thu được hệ thức:

.

Biểu diễn Ex, Ey và Ez theo x,y,z, ta sẽ có được các phương trình vi phân mong đợi. Trở lại vấn đề hệ

2 điện tích điểm, ta tìm hệ thức Ex, Ey theo x và y bằng cách chiếu vectơ cường độ điện trường tại M

lên Ox và Oy:

( )

( )

(( ) )

( )

(( ) )

Thay vào phương trình ở trên và biến đổi, ta được phương trình vi phân sau:

6

[( )

]

Ta kiểm tra độ tin cậy của phương trình trên bằng cách thế các giá trị đặc biệt của q1 và q2. Chẳng

hạn khi q2=0, có nghĩa là không có sự xuất hiện của q2, phương trình trên trở thành

,dẫn

đến (

) hay x/y=C

te. Do đó đường sức có dạng đường thẳng. Điều này hợp lý với hình ảnh

các đường sức gây ra bởi một điện tích điểm.

Nhưng với các giá trị bất kỳ của q1, q2, việc giải phương trình vi phân ở trên là một điều không mấy

dễ dàng, do vậy nếu chỉ dùng quan hệ toán học để xét dạng của đường sức là điều gần như không thể.

Vì vậy ta sẽ phải tìm hiểu một số tính chất vật lý của trường tĩnh điện có thể giúp ích trong việc giải

quyết vấn đề này.

Ta xét định lý Gauss được phát biểu như sau: Thông lượng của trường tĩnh điện của một phân bố

điện tích D gửi qua một mặt kín S bằng điện tích của D nằm ở bên trong S chia cho :

Định lý Gauss cho ta một kết quả rằng nếu quay đường sức đang xét quanh trục là đường nối hai điện

tích tạo thành một ống trường, thì điện thông qua bất kỳ một mặt kín nào nằm trong ống trường này

đều bằng nhau. Thật vậy xét hai mặt kín gần nhau nằm trong ống trường, vì các vectơ cường độ điện

trường trên mặt bao của 2 mặt này đều có phương tiếp tuyến với mặt bao, do vậy điện thông qua các

mặt bao bằng 0. Vì vậy độ chênh lệch điện thông ở hai mặt này bằng tỷ số giữa điện tích nằm giữa

hai mặt chia cho . Nhưng giữa hai mặt này không có điện tích nên độ chênh lệch điện thông giữa

hai mặt bằng 0. Vì vậy điện thông qua hai mặt này bằng nhau, nói cách khác, điện thông gửi qua các

mặt kín nằm trong ống trường là không đổi.

Kết quả này khiến ta có ý tưởng về một phương trình liên hệ giữa các tọa độ x,y mà không chứa các

biến vi phân như phương trình tìm được ở trên.

Xét một mặt tròn đi qua điểm M(x,y) trên đường sức điện trường, mặt này nằm trong ống trường gây

ra bởi đường sức xuất phát từ A, có tiếp tuyến tại A hợp với AB một góc , mặt này nằm giữa hai

điện tích và vuông góc với AB.

7

1. Trường hợp q1 và q2 trái dấu:

Bằng một phép tích phân đơn giản, ta tìm được điện thông do q1 và q2 gây ra lên mặt tròn đang xét:

| |

(

√ )

| |

(

√( ) )

Ở trên ta đã chứng minh được rằng không đổi, ta cần tìm một biểu thức cho giá trị không đổi này.

Để ý rằng, nếu ta xét một mặt tròn nằm trong ống trường và rất gần với điểm A tức điện tích q1, thì

điện thông qua mặt này có thể giả sử chỉ bị ảnh hưởng bởi q1. Hơn nữa vì nằm rất gần A nên điểm A

nhìn mặt này dưới dạng một hình nón có nửa góc ở đỉnh là . Do vậy điện thông gửi qua mặt này:

| |

( )

Do nên ta được phương trình sau:

| |

(

√ )

| |

(

√( ) )

| |

( )

Rút gọn một chút ta được:

| |

√

| |( )

√( ) | | | | ( )

Phương trình (*) chính là quan hệ không chứa các biến vi phân của các tọa độ x, y mà ta cần tìm.

Do vậy để tìm phương trình đường cong của đường sức ta chỉ việc giải phương trình (*) ở trên. Ta

thấy rằng nếu giữ nguyên các biến x,y để giải phương trình trên là rất khó khăn, hay nói cách khác

khó mà tìm ra phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes. Vì vậy ta chuyển qua hệ tọa độ

cực (r, ) với gốc tọa độ tại A. Ta có quan hệ: . Do đó phương trình (*) trở

thành:

| | | |( )

√ | | | | ( )

Việc giải phương trình (**) để tìm hàm r( ) bây giờ đã dễ dàng hơn nhiều.Một chút biến đổi khoảng

6-7 dòng, ta rút được hệ thức sau:

( ) ( ( ) ) √ ( ) ( )

( )

Với A( ) là một hàm của và không có thứ nguyên: ( ) | |

| |( )

Vậy ta đã tìm được phương trình đường cong của một đường sức bất kỳ trong hệ tọa độ cực. Từ đó,

ta rút ra một nhận xét thú vị rằng hình dáng của các đường sức phụ thuộc vào khoảng cách hai điện

tích l, góc xuất phát của đường sức tại A và tỷ số độ lớn hai điện tích q1, q2. Do vậy các cặp điện

tích có tỷ số độ lớn bằng nhau và đặt cách nhau cùng một khoảng cách thì sẽ cho các hình ảnh đường

sức giống nhau.

8

Sử dụng phần mềm Function Grapher 2011 để biểu diễn hàm r( ) trong tọa độ cực với các thông số:

( ) | |

| | , ta thu được các đường cong ứ với các góc khác nhau của lần lượt bằng

Ta thấy hình ảnh các đường cong thu được ở trên giống với H.3 và giống với hình ảnh các đường sức

điện trường thu được bởi thực nghiệm, vậy các tính toán của ta ở trên có thể sử dụng như một mô

hình hợp lý để biểu diễn các đường sức điện trường.

Sử dụng phương pháp này, ta xét tiếp một số hình ảnh các đường sức trong một vài trường hợp khác

nhau của tỷ số | |

| |

+ n=1/3:

(Ta không quan tâm đến các đường cong dư ra vì chúng không có ý nghĩa vật lý)

9

+ n=1:

Nhận thấy rằng với trường hợp n=1 ( hai điện tích trái dấu cùng độ lớn) thì hình ảnh đường cong

đường sức đối xứng, điều này có nghĩa do hai điện tích có độ lớn bằng nhau nên phần lồi không

nghiêng về phía điện tích nào cả.

Đối với trường hợp lưỡng cực điện, hình ảnh đường sức sẽ có dạng như hình ảnh đối với n=1 ở trên,

nhưng có dạng đặc biệt hơn một chút.

Thật vậy, ta đã biết rằng điện trường của một lưỡng cực tạo ra trong hệ tọa độ cực với gốc đặt tại gốc

của lưỡng cực có dạng:

( )

Trong hệ tọa độ cực ta cũng có quan hệ giống như đã thiết lập ở trên:

Thay biểu thức của vào phương trình trên và rút gọn ta được:

Lấy tích phân hai vế ta được phương trình đường cong của lưỡng cực trong hệ tọa độ cực có dạng

như sau (với K là một hằng số):

( ) ( )

Đồ thị ( ) trong hệ tọa độ cực có dạng:

10

(Đồ thị của hàm ( ) với K lần lượt bằng 1, 1.5, 2, 2.5, 4, 10)

Ta thấy rằng hình ảnh thu được ở trên giống với hình ảnh các đường sức của một lưỡng cực trong

thực nghiệm.

2. Trường hợp q1 và q2 cùng dấu:

Đối với trường hợp q1 và q2 cùng dấu, ta làm tương tự như khi q1 và q2 trái dấu, nhưng khi viết hệ

thức điện thông qua mặt tròn trong ống trường, ta thay đổi dấu:

| |

(

√ )

| |

(

√( ) )

Hệ thức của hàm ( ) lúc này trở thành:

( ) ( ( ) ) √ ( ) ( )

( )

Với ( ) | |

| |( ).

Ta thu được đồ thị hàm ( ) với các thông số ( )

(Đồ thị hàm ( ) với các góc )

11

Nhận thấy rằng các đường tiệm cận của các đường cong ở trên dường như cắt nhau tại một điểm.

Thật vậy xét một tiệm cận của một đường cong đường sức đã vẽ ở trên, đường này cắt trục Ox tại

điểm x0 và hợp với Ox một góc . Ta có biểu thức điện thông qua một mặt tròn không nằm giữa 2

điện tích:

| |

(

√ )

| |

(

√( ) )

Áp dụng phương trình về bảo toàn điện thông như đã làm ở các phần trên, ta thu được:

| |

√

| |( )

√( ) | | | |

Vì tiệm cận đang xét cắt Ox tại x0 và hợp với Ox một góc nên có phương trình ( )

Với x rất lớn, ta có thể thay y bằng yt vào phương trình trên, do đó:

| |

√ ( )

| |( )

√( ) ( )

| | | |

Vì rất lớn nên ta có ý tưởng về một khai triển tiệm cận của

, do vậy ta đưa vế trái phương trình

trên vế dạng:

| |

√ ( )

| |

√ (

)

( )

| | | |

Áp dụng khai triển Taylor bậc 1 cho

ở lân cận giá trị 0 cho vế trái, sau một chút biến đổi phương

trình trên trở thành:

| | | | (| | | |) [(| | | |) | | ]

Ta thu được các kết quả của và x0 sau khi đồng nhất hệ số hai vế phương trình trên:

| | | |

| | | |

| |

| | | |

Ta thấy rằng biểu thức của x0 không phụ thuộc vào góc xuất phát , do đó các đường tiệm cận của

các đường cong đường sức đều cắt nhau tại một điểm.

Ta cũng có thể tìm được như trên bằng cách lập luận rằng ở rất xa, hệ hai điện tích được xem như

một điện tích tương đương q=q1+q2. Hơn nữa, như đã tìm được ở trên, ta thấy điện thông do một điện

12

tích điểm nằm trên trục đối xứng vuông góc với mặt tròn chỉ phụ thuộc vào góc nhìn của điện tích

điểm lên mặt tròn đó. Do đó nếu xét một mặt tròn nằm trong ống trường và đi qua một điểm trên

đường sức ở rất xa các điện tích, thì biểu thức điện thông qua mặt này có dạng:

| |

( )

| | | |

( )

Cho | |

( ), ta tìm được biểu thức của như trên:

| | | |

| | | |

Ta rút ra một kết quả là đối với trường hợp q1, q2 cùng dấu, các đường tiệm cận của các đường sức

điện trường đều cắt nhau tại tâm tỉ cự của q1 và q2. Nói cách khác trường tĩnh điện của q1 và q2 gây ra

ở rất xa giống như trường của một điện tích q=q1+q2 gây ra và điện tích này đặt tại tâm tỉ cự của q1 và

q2.

4. TỔNG KẾT:

Ta đã tìm hiểu được một số tính chất của các đường sức điện trường cũng như các cách để biểu diễn

chúng. Hy vọng bài viết này sẽ cung cấp một số kiến thức hữu ích đối với các bạn về những đường

cong thú vị này trong tĩnh điện học nói riêng và trong vật lý nói chung!

Valence, fin Décembre 2012.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Électromagnétisme, 1re année MPSI-PCSI-PTSI. - Paris : Hachette Education, 2003.

[2] http://fr.wikiversity.org/wiki/Topographie_de_champ/Lignes_de_champ

[3] http://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_%C3%A9lectrique

[4] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Champs/lignes_champE.html

13