Teenje bez utjecaja razlike tlakova Jednoliko teenje u otvorenim kanalimaPromatrat emo jednoliko teenje tekuine u prirodnim i izgraenim kanalima, rijekama, akvaduktima, ispustima brana, zasvoenim kanalima, propustima, itd. tj., teenje sa slobodnom povrinom u uvjetima atmosferskog tlaka. Pri teenju u otvorenim kanalima, dio toka je horizontalan i otvoren prema atmosferi, a sam tok ograniavaju, openito govorei, bone stijenke i dno. Slobodna povrina tekuine u kanalu paralelna je dnu kanala. Za razliku od hidraulikih sustava u kojima fluid tee zbog razlike tlakova, proizvedene crpkama, teenje u otvorenim kanalima posljedica je razlike specifine potencijalne energije tekuine u polju sile tee [Ep(h) = mgh + E0, E0 = Ep (h=0) =0] izmeu dva uoena iva presjeka toka. Iznos srednje brzine toka tekuine u kanalu odreen je nagibom i hrapavou stijenki kanala. Potrebno je naglasiti da su pri jednolikom teenju u otvorenim kanalima srednje (u odnosu na popreni presjek) brzine toka jednake brzinama na bilo kojem proizvoljno odabranom poprenom presjeku. Ovo je mogue samo u sluaju kada oblik i dimenzije poprenog presjeka, te nagib dna kanala ostaju nepromijenjeni du kanala. Veina kvantitativnih odnosa (izraza) koji e se izvesti imaju svoje porijeklo u odnosima (jednadbama), izvedenim za sluaj turbulentnog reima teenja u cijevima, gdje se pretpostavlja stacionarnost toka. Iako su uvjeti stacionarnosti toka i uniformnosti (jednolikosti) teenja u kanalima rijetko strogo ispunjeni, ta injenica ne umanjuje upotrebljivost izraza koji e se izvesti, ve i zbog toga to su oni ''proieni'' empirijskim korekcijskim faktorima kako bi to vjernije odraavali stvarno stanje teenja.

1

Crte 132.

Napiimo Bernoullijevu jednadbu za presjeke 1-1 i 2-2, za sluaj jednolikog otvorenog toka shematski prikazanog na crteu 132.,

z1 +

p1 v2 p v2 + 1 = z2 + 2 + 2 + h12 . g g 2g 2g

(93)

U (93) ZG i ZG su geometrijske visine teita presjeka 1-1 i 2-2 toka s obzirom na proizvoljno odabranu referentnu ravninu z = 0, PB i PB su statiki tlakovi u teitima ivih presjeka, h12 je gubitak tlaka (specifine energije) na sekciji toka duine L izmeu presjeka 1-1 i 2-2, a V i V su srednje (po poprenom presjeku) brzine toka na presjecima 1-1 i 2-2. Budui da je tok stacionaran i jednolik, to je, p1= p2, V = v2, h1= h2, tako da je prema izrazu (93),h12 = z1 z2 [ J/N],

(94)

(95) (96)

odnosno,

e12 = g ( z1 z2 )

[ J/kg] .

Izrazi (95) i (96) izraavaju prirodnu injenicu da se jednoliki (uniformni), stacionarni tok u kanalu odrava na raun smanjenja specifine potencijalne energije tekuine (potencijalne energije tekuine u polju sile tee). Smanjenje potencijalne energije h12 na jedinicu mase (J/kg) ili na jedinicu teine tekuine (J/N) izmeu dva presjeka toka jednako je algebarski negativnom radu sile trenja na dodirnoj povrini tekuine i hrapavih stijeni. Budui da se gubitak tlaka (specifine energije) h12 na sekciji toka duine L moe izraziti i u obliku,2

v2 L h = 2 (R hidrauliki radijus), C R12

izraz (95) poprima oblik,

z1 z2 v2 = 2 =i, L C Rodakle je,v = C Ri (97)

gdje je i nagib slobodne povrine toka prema horizontalnoj ravnini. Pri jednolikom (uniformnom) teenju nagib slobodne povrine toka jednak je nagibu dna.

Chezyjevim empirijskim koeficijentom C uzeti su u obzir faktori koji odreuju brzinu jednolikog teenja u otvorenom kanalu, od kojih su dominantni hrapavost i broj Re. Utjecaj dinamike viskoznosti na C zanemariv je u usporedbi sa utjecajem hrapavosti. Hrapavost otvorenih tokova neusporedivo je vea od hrapavosti veine cijevi.Izmeu empirijski dobivenih izraza za izraunavanje koeficijenta C, kao to je ve ranije spomenuto, najee su koriteni Bazinov izrazC= 87 1+

R

,

gdje je koeficijent hrapavosti, te Manningov izraz

R1/6 C= , nU kojem je n koeficijent hrapavosti. Na temelju Manningovog izraza, Chezyjev izraz (97) poprima oblik,

1 v= R i n2/3

1/2

(98)

3

Volumni protok QV u kanalu jednak je QV = F v = F 2/3 1/2 R i n (99)

Nejednoliko teenje u otvorenim kanalimaUkoliko je v2 > v1, Bernoullijeva jednadba za mehaniki sustav - tok + stijenke koje ograniavaju tok, - u kojem pored konzervativne sile (sile tee) djeluju i nekonzervativne disipativne sile (sile trenja), moe se napisati u obliku:

(v

2 2

v12 )

2g

z1 z2 > h12 = z1 z2 + ( h12 ) > 0 , (100) g ( z1 z2 ) > e12

gdje je h12 algebarski pozitivna veliina. Izraz (100) pokazuje da je poveanje1 kinetike energije po jedinici teine fluida2 v2 v12 2g

(

) [ J / N ]

izmeu presjeka 1-1 i 2-2 jednako sumi smanjenja

potencijalne energije (u polju sile tee) po jedinici teine tekuine [z1 - z2 (J/N)] i gubitka energije po jedinici teine tekuine h12, uzrokovanog radom A12 = - h12 sile trenja nad tekuinom (pomaci tekuine suprotnog su smjera od smjera djelovanja sile trenja). Dakle, u otvorenom kanalu tok je ubrzan kada je smanjenje potencijalne energije izmeu presjeka 1-1 i 2-2 vea od rada e12 sile trenja (izmeu istih presjeka) na jedinicu mase tekuine. Ukoliko je, meutim, situacija takva da je,

(v

2 2

v12

2g

) = z z + ( h ) < 0 z z < h g (z z ) < e1 2 12 1 2 12

,

(101)

1

2

12

gdje je h12 pozitivna veliina, a v2 < v1, teenje u kanalu je usporeno, smanjenje potencijalne energije po jedinici teine fluida izmeu presjeka 1-1 i 2-2 po

Pod poveanjem neke promjenljive veliine podrazumijeva se razlika veliine u konanom (v2) i poetnom (v1) stanju, dok se pod smanjenjem podrazumijeva se razlika veliine u poetnom (v1) i konanom (v2) stanju.

1

4

iznosu je manje od rada disipativnih sila trenja na jedinicu teine tekuine izmeu istih presjeka toka.

Hidrauliki najpovoljniji presjek kanalaIz Chezyjevog izraza v = C Ri slijedi da e uz konstantne iznose svih preostalih parametara (nagib kanala, hrapavost stijenki, povrina F ivog, poprenog, presjeka toka), srednja (po presjeku F) brzina toka, a time i volumni protok QV biti to vei to je vei hidrauliki radijus R kanala. Drugim rijeima, za nepromjenljivi nagib i kanala i zadanu, nepromjenjivu, povrinu omoenog presjeka kanala F, volumni protok QV kanala biti e tim vei to je vei hidrauliki radijus R presjeka toka. Budui da je hidrauliki radijus R definiran kao

R=

F , O

gdje je O omoeni obod (perimetar) toka, slijedi zakljuak da e hidrauliki radijus R (pri konstantnom omoenom presjeku toka F) biti maksimalan za minimalni O. Tako e kanal sa minimalnim iznosom omoenog oboda (perimetra) O za zadani iznos povrine ivog presjeka F, osiguravati maksimalnu efikasnost, tj. maksimalni volumni protok QV. Iz elementarne geometrije poznato je da za zadanu (konstantnu) povrinu, opseg pravilnog poligona postaje sve manji poveava li se broj kutova. Intuitivno se zakljuuje da e se beskonanim poveavanjem broja vrnih kutova, niz poligona konstantne povrine i sve manjeg opsega kao '' granini sluaj'' transformirati u krug. Prema tome, s obzirom da za dani iznos povrine krug ima najmanji opseg, hidrauliki najpovoljniji presjek otvorenog toka bio bi onaj sa oblikom polukruga, tj. hidraulikim radijusom jednakim

r R= R= 2 = r. 2 r 2Meutim, u praksi, polukruni presjek kanala rijetko se primjenjuje zbog tekoa pri izvoenju, a samim time i zbog znatne cijene kotanja.

r 2

5

Popreni presjeci u obliku polovine pravilnih poligona (pa ni onaj hidrauliki najpovoljniji meu njima, tj. onaj oblika polovine pravilnog esterokuta ili onaj polovine kvadrata) za koje se lako moe pokazati da je hidrauliki radijus R jednak,

R=

h , 2

gdje je h maksimalna dubina punjenja kanala, ne koriste se previe.

Najee koriteni omoeni (ivi) presjek u praksi je trapezoidni, budui da se najlake moe prilagoditi materijalu i konfiguraciji terena kojim kanal prolazi. Kut nagiba pokosa odabire se najee u skladu s prirodnim nagibom i vrstom tla, tako da se uz zadanu Crte 133. povrinu omoenog (ivog) presjeka F kanala i kuta nagiba pokosa kanala (odnosno m = ctg), problem odreivanja maksimalnog iznosa hidraulikog radijusa R svodi na odreivanje irine b i dubine h promatranog omoenog oboda (odnosno radijusa r upisanog polukrunog presjeka; crte 134.), tako da omoeni obod (perimetar) bude minimalan.

Crte 134. Naime, u skladu sa oznakama na crteu 134., koji prikazuje ivi (omoeni) trapezoidni presjek kanala, vrijedi,

b1 = b +gdje je m,

2h = b + 2hm , tg

(1)

m = ctg ,

(2)

6

i a= h = h 1 + m2 , sin (3)

tako da je omoeni perimetar O kanala trapezoidnog presjeka jednak,

O = 2a + b = b + 2h 1 + m 2 ,dok je povrina F omoenog presjeka,

(4)

F=Odavde je,

b + b1 h = bh + h 2 m , 2F hm , h

(5)

b=

tako da omoeni perimetar O kanala trapeznog presjeka jednak

O=

F hm + 2h 1 + m 2 . h

(4')

Derivirajui posljednji izraz po h, te izjednaavajui dobiveni rezultat sa nulom, dolazi se do izraza za veliinu h (odnosno r), kojoj odgovara minimalni iznos O , tj. maksimalna vrijednost hidraulikog radijusa R :

dO F = 2 m + 2 1 + m2 = 0 , dh hodnosno,

(7)

h=

F 2 1 + m2 m

(8)

2 Zamijeni li se u izrazu (7) F s F = bh + h m , dobiva se,

b = 2h

(

1 + m2 m .

)

(9)

7

Izrazi (8) i (9) predstavljaju traene izraze za izraunavanje iznosa veliina h (odnosno r u sluaju polukrunog kanala) i b za koje je, uz dane F i (tj., m = ctg), hidrauliki radijus R kanala sa trapezoidnim presjekom maksimalan, a time maksimalan i volumni protok Qv. Od kanala poprenog presjeka ''V'' oblika, hidrauliki je najpovoljniji, tj. najvei hidrauliki radijus ima onaj prikazan na crteu 135. Taj se oblik kanala rijetko koristi zbog zamuljivanja u donjem kutu profila zbog ega presjek kanala poprima trapezni oblik, smanjuje mu se proticajna povrina (ivi, omoeni presjek), a time i protok.

Crte 135.

Spomenuto je da kut nagiba pokosa , odnosno koeficijent m=ctg , ovisi o vrsti zemljita. Iznosi koeficijenta m mogu se nai u odgovarajuim tablicama, kao to je primjerice Tablica 14. Tablica 14. Iznosi koeficijenata m ovisni o vrsti zemljita Vrsta tla Za pjeskovita i rahla tla Za guste pijeske i lagane gline Za ljunak i pjeskovita ljunana tla Za teke gline Za vrste stijene Za betonsku oblogu Iznos koeficijenta m m = 2,0-2,5 m = 1,5-2,0 m = 1,5 m = 1,0-1,5 m = 0,5-0,2 m = 1,0-0,5

Maksimalne doputene brzinePri velikim brzinama teenja, u otvorenim kanalima pojavljuje se opasnost odrona stijenki i dna kanala. Stoga je iznos brzine nuno ograniiti kako ovaj ne bi premaivao neki maksimalni iznos ovisan o vrsti tla ili o vrsti materijala stijenki i dna kanala. Iznosi maksimalne doputene brzine mogu se izraunati iz empirijskih izraza u kojima iznos maksimalne doputene brzine ovisi o srednjem promjeru d estica tla, dubini h toka ili o hidraulikom radijusu R i drugim parametrima. Za izraunavanje maksimalne doputene brzine najee se koriste slijedea dva izraza,

8

vmd = A gd log

R , 7d

(1)

gdje je koeficijent A za dobro zbita tla jednak A = 3.2 , a za rahla tla - najee se koriste A = 2.8 ,vmd = 5d 0.3h0.2 .

(2)

Ve izraunati iznosi maksimalnih doputenih brzina mogu se nai u odgovarajuim tablicama, kao to su tablice 15. i 16. Suvie male brzine teenja u kanalima takoer nisu poeljne. Naime, pri vrlo malim brzinama, estice koje lebde u tekuini (blato, sitni pijesak,...), taloe se na dnu kanala. Da bi se onemoguila pojava taloga na dnu kanala nuno je ograniiti i najmanji iznos srednje brzine toka. U svrhu odreivanja minimalne doputene brzine teenja tekuine u kanalu, naen je, ba kao i za maksimalnu doputenu brzinu, niz empirijskih izraza ili pak se minimalne doputene brzine mogu nai u odgovarajuim tablicama.

Tablica 15. Maksimalne doputene brzine teenja u kanalima

9

Tablica 16. Maksimalne doputene brzine teenja u kanalima

Hidrauliki proraun otvorenih kanalaHidrauliki proraun otvorenih kanala uglavnom se svodi na tri osnovna tipa prorauna: 1. zadane su veliine: F, (b), (h), [m (m = ctg )], n, (), i; potrebno je odrediti volumni protok QV = F C R i ; 2. zadane su veliine: F, (b), (h), (m), n, (), QV; potrebno je odrediti QV2 i= 2 2 ; FC R 3. zadane su veliine: QV, i, n, (); potrebno je odrediti h i b.

Do traenih iznosa h, odnosno b u ovom sluaju, moe se doi na dva naina. Prvi je potpuno analitiki, tj. pretpostavi se neki iznos, npr. za b, te se, koristei ope veliine, veliine F i R izraze preko b i h (npr. za kanal pravokutnog bh poprenog presjeka F=bh, R = , za kanal trapeznog ivog presjeka 2h + b bh + h 2 m 2 F = bh + h m , R = ), potom se uvrste u izraz (99). b + 2h 1 + m 2 F 2 1 QV = R 3 i 2 , odakle se bez tekoa dobiva traeni iznos za h. Potpuno n analogno, pretpostavi li se neki iznos h, te provodei postupno cijeli opisani postupak, iz izraza (101), koji postaje jednadba sa jednom nepoznanicom b, odreuje se iznos b.

10

Drugi nain odreivanja veliina b i h je grafiki. Na temelju jednog odabranog iznosa za, npr. b i bar tri razliita odabrana iznosa za h, prema izrazu QV = F C R i izraunavaju se pripadni iznosi QV i potom se parovi vrijednosti (QV1, h1), (QV2, h2), (QV3, h3), za konstantni b unose u odgovarajui koordinatni sustav, pri emu se dobije krivulja h = f (QV) (crte 136.). Crte 136. Zatim se na apscisu nanosi poznati iznos volumnog protoka QV0 i sa krivulje h = f (QV) oita se traeni iznos h0 . Nain odreivanja veliine b potpuno je analogan, uz odabrani konstantni iznos veliine h. Za nekoliko odabranih iznosa za b i konstantni iznos od h, pomou izraza QV = F C R i izraunavaju se pripadni iznosi QV i na temelju parova vrijednosti (QV1, h1), (QV2, h2), (QV3, h3), crta se krivulja ovisnosti b = f(Q) (kontinuirana linija na crteu lijevo).Crte 137. Traeni iznos za b0 oita se sa krivulje za poznati iznos QV0 nanesen na apscisu dijagrama. Vano je napomenuti da omjer veliina b i h ima velik utjecaj na volumni protok kanala. Ovo se lako moe ilustrirati poe li se od izraza (6), u kojem se veliina 2 1 R F K = FR 3 (K je modul toka) uvoenjem parametra = = , moe n O F pisati u obliku1 K= F n

(

F

)

2

3

1 4 2 = F 3 3 n

11

koji jasno pokazuje utjecaj oblika ivog presjeka na volumni protok. Posljednji rezultat takoer pokazuje da e volumni protok biti tim vei to je vei faktor , to moe biti od osobite vanosti u sluaju terena sa malim padom (poveanje protoka postie se poveanjem faktora ). Meutim, poveanje esto biva ogranieno nizom faktora, kao to je, npr., kvaliteta tla. Za sluaj trapeznog poprenog presjeka kanala, npr. United States Reclamation Service preporua slijedei omjer dimenzija veliina b i h :

b h = F, = 4 m. hPrimjer Kanal trapeznog poprenog presjeka, grubo betoniranih stijenki, ima slijedee dimenzije: irina dna b= 3 m, dubina h = 1 m i kut nagiba pokosa = 45. Odredite nagib kanala tako da volumni protok bude Q = 2 m3s-1.

Crte 138.

Najprije emo odrediti hidraulike elemente presjeka. Povrina omoenog ili ivog presjeka toka je,

F = bh + h 2ctg = bh + h 2 m = 3 m 1 m + 1 m2 1 = 4 m2Omoeni opseg ili omoeni perimetar iznosi,

O=b+

2h sin 2 + cos 2 cos 2 = b + 2h = b + 2h 1 + , sin sin 2 sin 2

O = b + 2h 1 + m 2 = 3 m + 2 1 m 1 + 1 = 5,83 m . Hidrauliki radijus kanala je,

12

F 4m 2 R= = = 0,686 m . O 5,83m

Prema Chezyjevom izrazu, nagib kanala je,

i=

v2 . CR

Budui da je srednja brzina strujanja vode u kanalu,

Q 2 m3 s 1 v= = = 0,5 ms 1 , 2 F 4ma prema Tablici 6. Vrijednosti koeficijenata hrapavosti n i Maningovom izrazu, koeficijent trenja obzirom na prirodu stijenke kanala iznosi n=0,017, to je prema Manningovom izrazu Chezyjev koeficijent trenja jednak,1 R 6 0,686 6 C= = = 55, 2 m 2 s 1 , 0,017 n 1 1

a traeni nagib kanala po osi je,

( 0,5 ms 1 ) v2 i= = 0,00012 , 2 C R ( 55, 2 ) ms 2 0,686 m2

to znai da nagib kanala iznosi 12 m na 10 km duine kanala.

Primjer Za kanal V - oblika s pokosom od = 300 i nagibom od 1m na 100 m vrijednost Maningovog koeficijenta procijenjena je na n = 0.012 m-1/3s. Odredite: a.) volumni protok pri dubini h = 0.5 m; b.) dubinu h1 kada volumni protok iznosi Qv = 2m3s-1. a.) Budui da se radi o kanalu V- oblika veliina b jednaka je nuli, b = 0 , tako da je povrina F ivog presjeka kanala jednaka,

13

F = h 2ctg = (0.5m) 2 ctg 300 = 0.4330 .

Kako je moeni perimetar kanala ( b = 0 ) O = 2h 1 + ctg , to je hidrauliki radijus kanala,0.5m ctg 300 F h ctg R= = = = 0.2165 , O 2 1 + ctg 2 1 + ctg 300

dok e volumni protok Qv biti,F 0.4330m 2 Qv = R 3 i 2 = (0.2165m) 3 (0.01) 2 = 1.3 m3 s 1 . 1 n 0.012m 3 s2 1 2 1

b.) Posljednji izraz u a.) sada poprima oblik,h12ctg n h ctg 3 ctg 3 h 3 2.4980 1 (0.01) 2 = h1 (0.01) 2 = 1 0.1 , 2 1 + ctg 2 n 2 1 + ctg 2 0.012 2.5198 2 3 8 5 8

2=

(

)

odakle za traenu dubinu h1 slijedi,8 h13

=

2 0.012 2.5198 , 0.24983

2 0.012 2.5198 8 h1 = = 0.587 m . 0.2498

Primjer za samostalni rad Zemljani drenani jarak moe se aproksimirati trapeznim kanalom ija je baza b = 0.6 m, a pokos u omjeru vertikalno : vodoravno = 1 : 2. Nagib jarka je 1 : 400, dok se za Manningov koeficijent moe se uzeti da je jednak n = 0.025 m1/3 s. Odredite volumni protok Qv za dubinu vode u jarku jednaku h = 0.4 m. [R: Qv = 4.26 m3s-1] Primjer

14

Drenani jarak trapeznog omoenog ivog presjeka (crte 139.) dugaak je 600 m, sa padom od 1 m. Odredite volumni protok u jarku pri jednolikom teenju i dubini vode od 1 m, primjenjujui izraze Bazina i Manninga za odreivanje Chezyjevog koeficijenta.

Crte 139.Prema crteu, omoeni obod (perimetar) drenanog jarka je O = 2 10 m + 3 m = 9,32 m , a ivi presjek F = 6 m2. Hidrauliki radijus iznosi, F 6 m2 R= = = 0,644 m . O 9,32 m Hidrauliki nagib jarka je,

i=

1m = 0,0016 , 600 m

Chezyjevog koeficijent prema Bazinovom izrazu, iznosi ( B = 1,3) ,QV ( BAZ ) = FvBAZ = FCBAZ Ri , QV ( BAZ ) = 6 87 0,644 0,0016 , 1,3 1+ 0,644

Volumni protok QV ( BAZ ) pri jednolikom teenju vode u jarku, odredi li se

QV ( BAZ ) = 6 33,21 0,0328 = 6,54 m3 s 1 , Upotrijebi li se Manningov izraz (n = 0,025) za izraunavanje Chezyjevog koeficijenta, volumni protok iznosi:Q( Mann ) =2 1 F 2 3 12 6 R i = 0,644 3 0,0016 2 = 7,3 m3 s 1 n 0,025

15

Primjer Betonski kanal za odvod otpadnih voda iz tvornice ima omoeni (ivi) presjek prikazan crteom 140., pri emu je D = 2 m, a h = 0,7 m. Pad kanala je 0,1 m na 50 m njegove duine. Odredite volumni protok Qv vode u kanalu, primjenjujui za odreivanje Chezyjevog koeficijenta Bazinov i Manningov izraz. Odredite nagib kanala za isti volumni protok, ali za pravokutni omoeni (ivi) presjek (crte 141.), koristei Bazinov izraz.

Hidrauliki radijusi kanala su, 2 2 D 2 + Dh 8 4 m + 2 0.7 m m + m F R1 = 1 = 8 = 8 = = 0.654 m , m D 2 m + 2 0. 7 m 2 O1 + 2h 2 m + 2 0,70 m 2 22

Crte 140.R2 =

F2 bh 2m 1m = = = 0,5m . O2 b + 2h 2m + 2 1m

Nagib kanala s omoenim presjekom kao na crteu 140. iznosi,

i1 =Crte 141.

z1 z 2 0.1 m = = 0.002 . L 50 m

dok je volumni protok QV ( BAZ ) u ovom kanalu, 87 ( = izrauna li se Chezyjev koeficijent C prema Bazinovom izrazu C = 1+ R 1,16), jednak, QV ( BAZ ) = F1vBAZ = FCBAZ R1i1 , 1QV ( BAZ ) = D Q =d

D 87 + h R1i1 , 8 1 + B R1

16

87 2 + 0,7 0,654 0,002 QV ( BAZ ) = 2 8 1 + 0,16 0,654 QV ( BAZ ) = 2,971 72,63 0,0362 = 7,80 m3 s 1 . Kada se Chezyjev koeficijent izrauna prema Manningovom izrazu = 0,014), tada je volumni protok za kanal sa istim ivim presjekom jednak,QV 1( Mann ) = F 2 3 12 R i = 212,2 0,7534 0,04472 = 7,15 m3 s 1 . n

(n

Nagib kanala sa ivim presjekom kao na crteu 141., ali s protokom QV(BAZ), iznosi, QV ( BAZ ) = F1vBAZ = FCBAZ R1i1 / 2 12

Q(

V BAZ )

2 = F12CBAZ R1i1 i2 =

Q(2

2

V BAZ )

F1 CBAZ 2 R1 = 0,00274 .

i2 =

7,82

87 0,5 2,9712 0,16 1+ 0,5

2

Primjer za samostalni rad: Popreni presjek kanala je trapeznog oblika. irina dna je 2 m, dubina kanala je 1 m, a nagib pokosa iznosi 60. Koliki mora biti nagib kanala da bi protok kroz njega bio 1,2103 ls-1, ukoliko je Darcy-Weisbachov koeficijent hidraulikog otpora jednak = 0,03? (R: i =0,00024 = 0,24 %)

17

Neki rijeeni primjeri1. Koliki se protok moe oekivati u pravokutnom kanalu dobro zaglaene cementne povrine, ako je irina kanala 1,22 m, a nagib mu je 4 m na 10 km i duljina toka 610 mm? Upotrijebite Manningov izraz za koeficijent C.

R 2/3 i1 / 2 Q = Av = A nQ =

R=

F 1,22 m 0 ,61 m = = 0 ,305 m O 1,22 m + 2 0 ,61 m

1,22 m 0 ,61 m 2/ 3 1/ 2 (0,305 ) (0,0004 ) 0 ,012

Q = 0,56 m 3 s 1

2. Kruna vrata AB na crteu, dijametra 2 m, imaju mogunost rotacije oko osi C smjetene 100 mm ispod teita. Pri kojoj dubini h e doi do otvaranja vrata negativnom vrtnjom oko osi koja prolazi tokom C okomito na ravninu crtea?

Vrata e se poeti otvarati tek kad centar tlaka bude na nivou osovine odnosno tek neto iznad Lo Lc = Ic = 0 ,1 F Lc

2 4 64 = = 0.1 h = 1.5 m (iznad A) (h + 1)( 2 2 4)

18

3. Odredite horizontalnu i vertikalnu komponentu sile kojom voda djeluje na 1 m duni oplate A-E prema prikazane na crteu.

4. Odredite pad tlaka u novoj cijevi od lijevanog eljeza (k = 0,244 mm) duine 305 m i unutarnjeg dijametra 305 mm kada njome tee: a) voda (1,1310-6 m2s-1) brzinom 1525 mms ; b) ulje za loenje (4,410-2 cm2s-1) istom brzinom.1

a) = Re =

k 0 ,244 mm = = 8 10 4 d 305 mm

vd

=

1,525 0 ,305 = 411615 (turbulentno strujanje) 1,13 106

Iz Moodyjevog dijagrama za = 810-4 i Re = 411615, oitano: 0,02. L v2 305 (1,525) J Pad tlaka: ha = = 0 ,02 = 2 ,37 m d 2g 0 ,305 2g N2

19

b) = Re =

k 0 ,244 mm = = 8 10 4 d 305 mm (turbulentno strujanje)

1,525 0 ,305 = 105710 4 ,4 106

Iz Moodyjevog dijagrama, za = 810-4 i Re = 411615, itamo: 0,025. L v2 305 (1,525) J Pad tlaka: hb = = 0 ,025 = 2 ,96 m . N d 2g 0 ,305 2g2

4.) Odredite uniformni protok u kanalu trapezoidnog presjeka s nagibom 0,0009, irine dna 6096 mm, s nagibom pokosa 1:1, pri dubini toka od 1219 mm i za n = 0,025.

Povrina poprenog presjeka kanala: A = (a + h) h , A = (6,906 + 1,219) 1,219 , A = 8,917 m2. O = a + 2 h 2 = 6,096 + 21,219 2 = 9,544 m . R= A 8,917 = = 0 ,934 m . O 9 ,544

20

Q=

A 2 / 3 1 / 2 8,917 R i = (0,934)2 / 3 (0,0009)1 / 2 , n 0 ,025

Q = 10,22 m3s-1.

5.) Ulje za loenje, gustoe = 0,861103 kgm-3 i kinematike viskoznosti = 5,1610-6 m2s-1, crpi se u rezervoar C (vidi crte) kroz elinu cijev ( = 0,0045 ) duine 1829 m i unutarnjeg promjera d = 406 mm. Pri protoku od Q = 0,198 m3s-1, tlak u A je 13,79 kPa.a.) Kolika je snaga pumpe? b.) Koliki tlak treba odravati u toki B?

B A

a) v =

Q 0 ,198 4 1 = 2 = 1,53 ms . S (0 ,406)

Re =

vd

=

1,53 ms 1 0 ,406 m 106 = 121000 . 5,16

Iz Moodyjevog dijagrama itamo: = 0,030 (za = 0,0045). Bernoullijeva jednadba za dio od A do C: 13,79 103 (1,53)2 (1,53)2 1829 (1,53)2 = (0 + 0 + 24,38) 861 9 ,81 + 2 9 ,81 + 0 + hp 0 ,030 2 9 ,81 0 ,406 2 9 ,81 odakle je,

21

hp = 38,8 m . Snaga pumpe: P = gQ h p =38,8 0,861 103 9,81 0,198 = 65 kW.

b) Bernoullijeva jednadba za AB: 13790 p v2 v2 + + 0 + 38,8 = B + + 0 , 861 9 ,81 2 g g 2 g tj., 13790 pB = g + 38,8 = 341,5 kPa 861 9 ,81

22

Osnovno o preljevimaUvodPreljev je naziv za umjetnu nisku pregradu (branu) kojom je pregraen vodotok sa slobodnom povrinom i preko koje se (pregrade) preljeva voda. Oblik i konstrukcija pregrade, kao i njezin poloaj spram vodotoka, ovisi o terenskim uvjetima kao i svrsi preljeva. Neki preljevi imaju ispusna vrata kroz koja se voda proputa na niu razinu. Preljev, ija je uloga od velike vanosti, moe biti ili samostalni hidrotehniki element ili pak samo jedan u nizu hidrotehnikih objekata. Tako se, na primjer, preljevi grade kao sastavni dio vodohranilita, ili da bi se rijeke uinile plovnima. U tim sluajevima preljevi su znatno dulji od irine rijeke, tj. grade se ili u obliku slova U (vidi fotografiju gore) ili su umjesto okomito izgraeni koso s obzirom na obale rijeke. Budui da prilikom preijlaza vode preko preljeva dolazi do poveanja koncentracije kisika u vodi, to preljevi mogu imati tetni utjecaj na ekologiju lokalnog rijenog sustava.

Osim u svrhu regulacije protoka i odravanja vodene razine na odreenoj visini (koti) ili za formiranje jezerca2, preljevi se koriste za mjerenje protoka u hidrogeolokim i hidrometrijskim laboratorijskim i terenskim istraivanjima.

Tradicionalno, preljevi se koriste za formiranje malih jezerca za potrebe rada mlinova ili malih elektrinih centrala.

2

23

Terminologija i klasifikacija- Dio vodotoka ispred preljeva naziva se gornja voda, a iza preljeva je donja voda. - Odsjek na kojem voda tee preko brane naziva se kruna preljeva, a stijena preljeva njegovim pragom. - Duljina korone obino se oznaava slovom b i naziva se irinom preljeva. - Svakom protoku Q odgovara neka visina H jednaka razlici kote gornje vode i kote krune preljeva (crte 2). Pritom se kota gornje vode uzima tamo gdje se ne primjeuje pad slobodne povrine toka, tj. standardno na udaljenosti l 3H stijene preljeva (crte 2).

Crte 1

24

Crte 2

Jo neke standardne oznake za dimenzije preljeva su (crte 2), - v0 - iznos brzine dolazne vode, - z - udaljenost izmeu razina gornje i donje vode, - p1 - visina praga (brane) preljeva sa strane gornje vode, - p - visina praga (brane) preljeva sa strane donje vode, - B - srednja irina toka ispred preljeva (crte 1), - - irina praga preljeva, - h - dubina donje vode.

Temeljna i najvanija podjela preljeva je prema obliku pregrade. U skladu s takvom podjelom preljevi se dijele na: 1.) Preljeve s otrim bridom ili tako zvane preljeve s tankom pregradom. Kod preljeva ove vrste debljina brida na kruni ne utjee na oblik mlaza koji se preljeva preko njega ukoliko je < 0.67 H (crtei 4 i 5).

25

Crte 3. Lijevo, bono nekontrahirani preljev tankog brida pravokutnog je presjeka koji obuhvaa cijelu irinu kanala. Duljina korone b jednaka je srednjoj irini toka B ispred preljeva. esto je potreban oduak O za odravanje atmosferskog tlaka.Desno, pravokutni presjek bono kontrahiranog preljeva tankog brida obuhvaa samo dio ukupne irine B kanala.

2.) Preljevi praktinog profila s a.) krivolinijskim (crte 4) i b.) pravocrtnim obrisom (crte 5). Kod preljeva s pravocrtnim obrisom irina praga se mijenja u intervalu 0.67 H < < (2 3) H

Crte 4

26

Crte 5

3.) Preljevi sa irokim pragom (crte 6) ija je debljina takva da tok iznad samog praga ima karakter paralelnog teenja. Pokusi pokazuju da takvo teenje postoji ukoliko je irina praga dva do tri puta vea od visine H : > (2 3) H .

Crte 6

Svaka od tri gornje grupe preljeva moe se dalje razdijeliti u podgrupe ovisno o nekim drugim karakteristikama:A.) S obzirom na vezu prelijevajue struje i donje vode preljev moe biti: a.)

nepotopljen i b.) potopljen. Kod nepotopljenih preljeva (crtei 1, 2, 3, 4, 5 i 6) razina donje vode ne utjee na protok preljeva, dok u sluaju potopljenih preljeva (crte 7) visoka razina donje vode smanjuje protoku na preljevu.

27

Crte 7 B.) S obzirom na uvjete teenja prema preljevu, preljevi se dijele na: 1.) preljeve bez bone kontrakcije (crte 3, lijevo) kod kojih je srednja irina B toka ispred preljeva jednaka irini b preljeva. 2.) preljeve s bonom kontrakcijom (crte 3, desno) kod kojih je srednja irina B toka ispred preljeva vea od irine b preljeva.

C.)

S

Crte 8 obzirom na poloaj praga preljeva prema pravcu toka: a - preljevi okomiti na pravac teenja (crte 8 a), b - kosi (crte 8 b), c - boni (crte 8 c), d - izlomljeni (crte 8 d) i e zakrivljeni (crte 8 e). D.) S obzirom na oblik izreza (otvora) u stijeni, pragu, preljeva, govori se o pravokutnom (crte 9 a), trokutastom (crte 9 b), trapeznom (crte 9 c) i parabolikom (crte 9 d) preljevu.

28

Crte 9

Budui da su u praksi od najveeg znaaja okomiti preljevi s pravokutnim izrezom u stijeni preljeva, to emo njima u daljnjim izlaganjima posvetiti najveu panju.

Protok u sluaju pravokutnog, bono nekontrahiranog preljeva, otrog bridaNajznaajniji problem koji se javlja u svezi s preljevima je nalaenje veze izmeu protoka preko preljeva i njegovih karakteristika Glavna zadaa hidraulikih prorauna je izraunavanje protoka preljeva. Promotrimo sluaj pravokutnog, bono nekontrahiranog preljeva, otrog ruba. Pretpostavljamo da nema kontrakcije

29

(NEDOVRENO!)

Primjer

30

a.) Laboratorijska konstrukcija trokutastog preljeva od perploe. b.) Prag mora biti otrog brida tako da voda tee slobodno (preljev ostaje ozraen) i kod malih iznosa protoka.31

Literatura koritena pri koncipiranju predavanja i koja je bila izvor rijeenih primjeraY.A. engel, J.M. Cimbala: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, International edition, 2006. J.F. Douglas, J.M. Gasiorek, J.A. Swaffield, L.B. Jack: Fluid Mechanics, Pearson, Prentice Hall, 2005. B.R. Munson, D.F. Young, T.H. Okiishi, W.W. Huebsch, Fundamentals of Fluid Mechanics, SI version, John Wiley&Sons,Inc., 2010.

32

R.L. Mott: Applied Fluid Mechanics, Pearson, Prentice Hall, 2006. B. Massey (revised by John Ward-Smith), Mechanics of fluids, Taylor&Francis Group, London and NewYork, 2006. R.W. Fox, A.T. McDonald, P.J. Pritchard: Introduction to Fluid Mechanics, John Wiley &Sons, Inc., 2004. F. M. White: Fluid Mechanics, McGraw-Hill International editions,1989. J. A. Sullivan: Fundamentals of Fluid Mechanics, Reston, Virginia, 1978. J.H. Ginsberg, J. Genin: Statics, John Wiley&Sons, New York, 1977. W.F. Hughes, J.A. Brighton: Fluid Dynamics, Schaum's Ouline series, McGraw Hill Book Company, 1967. R.V. Giles, J.B. Evett, C. Liu: Fluid Mechanics and Hydraulics, Schaums outlines. McGraw-Hill. O. Reynolds: On the experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and the law of resistance in parallel channels. In: Phil. Trans. Roy. Soc. 1883 (174), p. 935-982. J. Fenton: A First Course in Hydraulics, 2007 http://www.google.hr/search?hl=hr&q=J.+Fenton%3A+A+First+Course+in+Hydraulics&b tnG=Tra%C5%BEi&meta= I. I. Agroskin i drugi: Hidraulika, Tehnika knjiga, Zagreb. E.Z. Rabinovi: Gidravlika, Gosudarstvenoje izdateljstvo tehniko-teoretieskoi literaturi, Moskva, 1956. B.V. Uhin, A.A. Gusev: Gidravlika, Moskva, 2008. S.D. Stanev: Hidravlika, Tehnika, Sofija, 1974., V.A. Boljakov drugi: Spravonik po gidravlike, Via kola, Kiev, 1984. N.A. Palikin: Gidravlika i seljsko-hozyaistvenoje vodosnabzhenije, Agropromizdat, Moskva, 1990. V. M. Saljnikov: Statika i kinematika fluida, Graevinska knjiga, Beograd, 1989. B.B. Njekrasov: Sbornik zada po gidravlike, Oborongiz, 1947. S. antrak i drugi: Reeni zadaci iz mehanike fluida sa izvodima iz teorije, Graevinska knjiga, Beograd, 1985.

33

34

35

36