Monte Carlo methods for Option Pricing in the Black bl/scilab/black-scholes.pdf · Monte Carlo methods…

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<ul><li><p>Monte Carlo methods for Option Pricingin the Black and Scholes model</p><p>LAPEYRE Bernard</p><p>July 20, 2007</p><p>Autour du modle de Black et Scholes</p><p>Partie 1 : Modle de Black et Scholes On sintresse au modle de Black et Sc-holes, donn par :</p><p>St = S0 exp</p><p>((</p><p>r 2</p><p>2</p><p>)</p><p>t + Wt</p><p>)</p><p>.</p><p>On supposera dans la suite que S0 = 100, = 0.3 (volatilit annuelle) et r = 0.05(taux dintrt exponentiel annuel).</p><p>1. Simuler une suite de variables alatoires gaussiennes centres rduites, la trajec-toire dun mouvement brownien et enfin celle dun modle de Black et Scholes.</p><p>2. Pour un mme mouvement brownien, tracer une trajectoire avec r = 0, = 0.05, = 0.15. Ces variations nont pas dinfluence sur le prix des options.</p><p>De mme, tracer des trajectoires avec = 0.1, = 0.3, = 0.9. Ces variationsont une influence sur le prix des options.</p><p>3. Implmenter les formules de Black et Scholes pour les puts et les calls.</p><p>Couverture approche dun portefeuille Nous allons, comme dans le cas du mod-le de Black et Scholes, implmenter une procdure de couverture. La thorie suggredintervenir tout instant ce qui est bien entendu impossible. Nous allons intervenir des pas de temps spar de t (typiquement une heure, un jour, un mois).</p><p>Nous chercherons couvrir un call de strike K = S0 et dchance T = 1 an.</p><p>1. Pour un pas de temps fix, implmenter une procdure de couverture (appliquerpar exemple la formule de couverture de Black-Scholes aux instants kt). Onveillera constituer un portefeuille autofinanc (la valeur de ce portefeuille estdiffrente (mais proche) du prix de loption).</p><p>1</p></li><li><p>2. On sintresse maintenant au dfaut de couverture (la diffrence entre la valeurfinale du portefeuille et la payoff de loption). Simuler, sous la probabilit risqueneutre ( = r), ce dfaut de couverture. Tracer en un histogramme et valuer samoyenne et son cart type.</p><p>3. Etudier ces quantits lorsque t tends vers 0. On tudiera en particulier lesvariances stratgies qui consistent :</p><p> ne rien faire,</p><p> se couvrir une fois au dbut de la priode,</p><p> se couvrir une fois par mois,</p><p> se couvrir une fois par semaine,</p><p> se couvrir une fois par jours.</p><p>4. Rpeter les simulations lorsque &gt; r et &lt; r. Que se passe til pour lamoyenne ? pour lcart type ? Quand a ton intrt acheter des calls ? des puts?</p><p>5. On pourra recommencer cet exercice de couverture, en prennant une combinai-son de put et de call. En voici quelques exemples :</p><p> Bull spread : constitue de lachat dun call de prix dexercice 90 (abrgen call 90) et de la vente dun call 110 de mme chance.</p><p> Strangle : constitue de la vente dun put 90 et de la vente dun call 110.</p><p> Condor : constitue de la vente dun call 90, de lachat dun call 95 et duncall 105 et de la vente dun call 110.</p><p> Put ratio backspread : constitue de la vente dun put 110 et de lachatde 3 puts 90.</p><p>Etude de la couverture dune option barrire Nous allons considrer lexemple ducall barrire pour une barrire plus grande que le strike. Cette option est particulire-ment dlicate couvrir pour des raisons qui apparaitrons plus tard. Un call barrirepromet sont chance (ST K)+ sous rserve que la trajectoire de S reste infrieure L (L tant une constante plus grande que K). Le payoff est donn par :</p><p>(ST K)+ 1{Ss L, 0 s T}.</p><p>On peut montrer (moyennant quelques calculs ...) que le prix linstant t si lactif vautx est donn par :</p><p>C(t, x) =</p><p>et la couverture par :H(t, x) =</p><p>2</p></li><li><p>1. Implementer le prix et la couverture de loption. Verifier que lorsque L tendsvers +, le prix converge vers le prix du call classique.</p><p>2. Tester le procdure de couverture, comme dans le cas dune option classique.</p><p>3. Tracer la courbe x H(t, x). Vrifier que suptT,x[0,L] H(t, x) = +. Est cebien raisonnable ?</p><p>4. Nous allons simuler une trajectoire de faon faire apparaitre la difficult (cest dire en imposant ST = L). Expliquer comment siumler un mouvement brownienconditionnellement WT = y (on remarquera que (Wt(t/T )WT , t T ) est unprocessus gaussien indpendant de WT ). En dduire une mthode de simulationde la trajectoire (St, t T ) conditionnellement ST = L.</p><p>5. Implmenter la procdure de couverture sur cette trajectoire. Que se passe til ?</p><p>3</p></li></ul>

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