monografias matematica ii

8/16/2019 Monografias Matematica II

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R . FIGUEROAVectores y Recta

1 VECTORESC O O R D E N A D A S R E C T A N G U LA R E S El proposito de esta seccion e s el de defnir el concepto de

par ordenado de elementos, introducir una notacion para representar tales pares y defnir y estudiaroperaciones ale!raicas so!re pares ordenados de numeros reales. Empecemos entonces a defnir elproducto cartesiano de dos con"untos.

El plano real consta de dos rectas perpendiculares entre si, llamados ejes de coordenadas, y su punto de

intersecci#n O se llama origen de coordenadas. $as cuatro reiones en los %ue los e"es de coordenadas

di&iden al plano se llaman cuadrantes, y se numeran I , II, III y IV como se muestra en la Fiura '.'. $ a

s distancias desde O a los puntos so!re los e"es so n distancias dirigidas, es decir

positi&as a la derec(a y neati&as a la i)%uierda so!re el e"e * y positi&as (acia arri!a y neati&as

(acia a!a"o so!re el e"e +. $a Fiura '.' muestra los sinos de los componentes de cada par - , y

en los cuatro cuadrantes.



R COMO E SP A C IO V E C T O R IA L Tomando al conjunto R de números reales hemos construido el producto cartesiano R x R, al cualsimbolizamos por R- = { (x , y) I x e R , y R ! "n hecho de #undamental importancia en este conjunto e s $ue podemos de#inir en el dos operaciones entre su s

elementos similares a la adici%n y multiplicaci%n de números reales& 'ste hecho hace $ue tal conjunto tena una estructura alebraica llamada espacio

vectorial y $ue, por tanto, n o s podamos re#erir a el no solo como el el conjunto R *+, sino como el espacio R +& a s operaciones $ue de#inimos en R son



.ara denotar /ectores se utilizan letras en neritas tales como 0, 1, 2,

a, b, 3) 3) c, /, x, y, z& 'n la escritura a mano se usan los s4mbolos

como 0 , a , de tal #orma $ue un /ector 0 de componentes

escalares x e y se escribir5 0 = (x , y), para distinuirlo del punto 0(x , y)& .ara denotar los números o escalares, se usaran letras minúsculas tales como a, b, c,r, s, t, x, y, z, como contraste con los /ectores&



VECTOR UNITARIO

Operaciones Vectoriales Fundamentales

Adición de Vectores en R2

Representación gráfca de la suma de ectoresS e a n los &ectores A y / en R , la 0ec(a %ue representa a la suma A 1 / se o!tiene del modo

siuiente Representamos una traslaci#n a lo laro de una 0ec(a cual%uiera %ue represente al

&ector A 2 -, , y,3 seuida de una traslaci#n del punto fnal de esta 0ec(a a lo laro de la 0ec(a



%ue representa al &ector / 2 - , , y,3. $a traslaci#n total correspondiente al &ector A 1 /. e s una

0ec(a %ue tiene como punto inicial el del &ector A y como punto fnal el del &ector / Fiura

'.'43.

!ultiplicación de un Escalar por un Vector



Vectores "aralelos

"roducto Escalar de Vectores

Vectores Ortogonales



Angulo entre dos VectoresS e a n A y / d o s &er t5 res no 6u lo s %ue tienen el mismo orien y se a 7e 89 , :C; el menor de

los a n u lo s positi&os <ormado por s u s respecti&os &ectores de posici#n normales, como se

ilustra en la Fiura '.4'. El teorema siuiente mues tras como calcular este Anulo mediante el

producto escalar.

#escomposición de Vectores

S e a n los &ectores A y / en R =. S i desde un punto de &ista eom>trico un &ector V del plano

podemos e-presarlo, en <orma 5nica, como una suma de componentes &ectoriales rA y t/, %ue son m5ltiplos escalares de A y / ? entonces se dice %ue se (a e<ectuado una descomposición del &ector V

en su s componentes &ectoriales paralelos a los &ectores A y / Fiura '.473, esto e s ?



Com$inación %ineal de Vectores

"ro&ección Ortogonal

RECTA' EN E% "%ANO

Al (acer el estudio de puntos del plano y su relaci#n con los &ectores resulta 5til denotar al &ector

%ue &a del orien a un punto A del plano mediante la letra may5scula A o min5scula a, escritas en

nerita. E s !ien conocido %ue d os puntos del plano defnen una recta. Veremos como se puede

emplear este (ec(o para o!tener la ecuacion &ectorial de una recta 'J . En la Fiura .' se muestra

la recta r/ ‘ , %ue contiene a los puntos @-, , y,3 y @,- ,, y , 3 , "unto con los &ectores de posicion @,2 - , y,3 y @, 2 - , , y,3. B#tese %ue el &ector a 2 @, @, , tiene una representaci#n eom>trica

%ue esta so!re $ y %ue por lo tanto e s paralelo a dic(a recta.



Ecuaciones de la Recta

'egmentos de RectaS i el con"unto de &alores permitidos de t se restrine a un inter&alo cerrado 8 a , ! ; , entonces la

rafca de la ecuacion '3 e s un segmento de recta. En particular s i ?

D. A STROU

VECTORES



Un &ector en el plano, se denota por un par ordenado de n5meros reales y la notaci#n

x , y se emplea en luar de x , y 3 para e&itar la con<usi#n entre &ector y punto. V es el

con"unto de todos los pares ordenados -, y3.

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