molle

G. Petrucci Lezioni di Costruzione di Macchine

31.1

31. LE MOLLE

Le molle sono elementi meccanici in grado di assorbire grandi quantit di energia elastica senza raggiungere sollecitazioni critiche. A questo scopo le molle sono conformate geometricamente in modo da poter subire grandi deformazioni elastiche. Fra le applicazioni si possono citare:

attenuazione degli urti, riduzione o esaltazione delle vibrazioni, comando del movimento di organi, immagazzinamento di energia, applicazione di forze proporzionali alla posizione.

Le molle vengono classificate, in base al tipo di sollecitazione che agisce nella sezione resistente, in molle di flessione e molle di torsione. Esistono sporadici esempi di molle di trazione-compressione. Si vedr nel seguito che le molle ad elica cilindrica (fig.1 e fig.4) vengono classificate anche in base alla direzione della forza agente rispetto allasse longitudinale (cio lasse del cilindro attorno a cui si avvolge lelica). In particolare si definiscono molle ad elica di trazione-compressione (la cui sezione soggetta torsione) se la forza esterna agisce in direzione assiale e molle ad elica di torsione (la cui sezione soggetta flessione) se la forza esterna genera un momento avente asse parallelo allasse della molla.

Rigidezza La relazione tra forza applicata ed inflessione della molla del tipo

( )F F E I n L= , , ( )T T G I n L= , , (31.1,2) nelle quali

F-T forza esterna- momento torcente esterno - spostamento - rotazione E-G modulo elastico normale-tangenziale I-n-L parametri geometrici

La rigidezza della molla espressa come:

KF

=

K

T=

; (31.3,4)

essa dipende dal modulo elastico del materiale e dalla geometria della molla. In molti casi pu essere considerata costante e la molla risulta avere una relazione forza-spostamento di tipo lineare.

Capacit di immagazzinare energia La capacit di immagazzinare energia di una molla espressa mediante il coefficiente di utilizzazione Cu cos definito:

uC U U = . (31.5)

U' rappresenta lenergia corrispondente alla massima sollecitazione agente nellelemento; se V il volume della molla, per molle di flessione e torsione, rispettivamente, si ha:

1 2max2

U V E = 1 2max2 U V G = (31.6,7)

U lenergia elastica effettivamente immagazzinata nella molla:

12 2VU dV F = =

12 2VU dV T = = (31.8,9)

Se le molle sono conformate come elementi monodimensionali di lunghezza L, in base alla teoria delle travi, trascurando leventuale effetto della curvatura, lenergia di deformazione assume la forma:

21

2f

L

MU dx

E I=

21

2t

L p

MU dxG I

= (31.10,11)

rispettivamente nei casi di molle di flessione e di torsione. Nel caso in cui la tensione uniformemente distribuita si ha Cu=1 e il materiale risulta utilizzato nel modo pi efficace; nella pratica questo caso si pu verificare solo per elementi monoassiali tesi o compressi.

mozzilloNotahttp://www.unipa.it/giovanni.petrucci/Disp/Molle0.pdf


31.2

Molle ad elica cilindrica di compressione-trazione (molle di torsione) Le molle ad elica cilindrica (fig.1) sono costituite da un filo di sezione S, circolare o rettangolare, il cui asse si avvolge su un cilindro di diametro D con passo p, definito come distanza tra due spire, costante o variabile, formando un numero di spire n. Sono impiegate per resistere a sforzi diretti secondo lasse del cilindro sul quale avvolta lelica (cio di trazione o compressione); eccezionalmente sono impiegate per trasmettere coppie agenti in un piano normale allasse del cilindro. Sotto lazione delle forze dirette secondo lasse del cilindro la sollecitazione principale alla quale soggetto il filo la torsione. Per dato passo p, linclinazione della tangente allelica e le lunghezze l ed ln, rispettivamente di una e di n spire, sono:

tan

pD

pi

= 222

cos

DpDl pi

pi +== 2 2 2 nl n l n p Dpi= = + ;

(31.12,13,14) se sufficientemente piccolo si pu scrivere:

Dl pi= nl n Dpi= (31.15,16) Le spire terminali della molla vengono conformate per vincolare la molla allesterno e, se sono orizzontali, sono considerate non attive ai fini della rigidezza. Nel caso di molle soggette a trazione le spire terminali possono essere piegate a forma di gancio in modo da permettere la trasmissione della forza. Quando la molla viene compressa totalmente raggiunge una lunghezza definita lunghezza a pacchetto Lp. Nel caso di filo a sezione circolare i parametri geometrici della molla sono:

il diametro della sezione del filo d, il diametro medio dellelica D (il diametro esterno De=D+d), il numero di spire attive n (si noti che questo numero non necessariamente intero!), il numero di spire terminali, avvolte con inclinazione nulla, n' , la lunghezza libera Ll; la lunghezza a pacchetto Lp=d(n+n')+d', con d'=d o d'=0 a seconda che le spire terminali siano integre o

spianate come in fig.1 (lespressione di Lp indicativa!). Il momento di inerzia polare della sezione e il volume della molla sono rispettivamente:

4

32 p

dI pi= 2 2

4n

n D dV l A pi= = (31.17,18)

Tensioni Sotto lazione della forza F agente lungo lasse del cilindro tutte le sezioni della molla, ugualmente orientate rispetto a F ed equidistanti dalla sua retta dazione, sono sollecitate allo stesso modo per cui la molla ad elica cilindrica con passo costante un solido di resistenza uniforme rispetto al carico F. La generica sezione sollecitata dalle componenti normale FN e tangenziale FT della forza F e dai componenti flettente Mf e torcente Mt del momento M=FD/2 della forza stessa. Osservando la fig.2 si ottiene:

sen NF F = cosTF F = (31.19,20)

sen 2fM F D = cos 2tM F D = (31.21,22)

Generalmente sufficientemente piccolo da aversi FN0, Mf0, FTF, MtFD/2 e la massima tensione tangenziale nel filo dovuta al momento torcente e al taglio pu essere calcolata secondo lequazione:

4 p

F D d FqI A

= + (31.23)

essendo d/2 la distanza tra il punto pi sollecitato al bordo delle sezione e il baricentro, A ed IP rispettivamente larea ed il momento dinerzia polare della sezione, q il fattore di torsione per sezioni non circolari. Il primo termine la tensione massima dovuta alla sollecitazione di torsione, il secondo la tensione media dovuta al taglio. Nel caso di filo a sezione circolare di diametro d, sostituendo ad A ed IP le relative espressioni si ottiene:

3 2

8 4

F D Fd d

pi pi

= + (31.24)

FD/2

Mt Mf

F

FN

Fig.31.2-Forze agenti sulla sezione della molla.

FT

D

d

F F Mt=FD/2

Fig.31.1- Molla ad elica cilindrica.

D


31.3

che fornisce la tensione di taglio nella fibra interna della molla (fig.3). La (24) pu essere riscritta come segue:

+=

CdFD 5.01

83pi

(31.25)

essendo C=D/d lindice di molla (6


31.4

2 2 2 2 32

3 4

1 8 8

2 4 w w

F D n D d F D nU k kG d G d

pi

pi

= =

(31.35)

da cui, ricordando la (5) e la (32), si ottiene Cu=0.5/kw2; per kw=1.2 si ha Cu =0.35. Dimensionamento Le variabili incognite sono D, d ed n. Solitamente la rigidezza un dato di progetto, ad esempio, esprimibile mediante le frecce di lavoro 1 e 2, o le lunghezze assunte dalla molla L1 ed L2, e le relative forze F1 ed F2 come K=(F2-F1)/(2-1). Uno dei parametri D o n pu essere imposto in base a vincoli sullingombro. Si noti che in vari casi, pur essendo dati di progetto le lunghezze L1 ed L2 assunte dalla molla, non si conosce la lunghezza libera Ll che determinata anche dallinclinazione dellelica. bene che, alla lunghezza a pacchetto Lp, la freccia sia pari al 110% della freccia 2, in modo che leventuale sovraccarico massimo sia limitato al 10%. In pratica il carico massimo possibile per la molla risulta Fmax=1.1F2 e la freccia massima deve essere max=1.12. Questo implica lulteriore relazione: Ll=Lp+1.1 2 = d (n+n')+d'+1.1 2. (31.36) che permette di determinare la lunghezza libera e linclinazione dellelica.

Frequenza critica delle molle ad elica Frequentemente le molle ad elica sono utilizzate imponendo un moto di elongazione e schiacciamento molto rapido come, ad esempio, nelle valvole di comando di un motore a combustione interna. In questi casi necessario verificare che la frequenza naturale di vibrazione della molla non sia prossima a quella della forza applicata poich la molla potrebbe andare in risonanza. La frequenza critica di una molla ad elica per larmonica di ordine a data da

2 2

4

2 2 2 a K a K a K a Kf

m V n D d d n D pi pi = = = = (31.37)

essendo m la massa della molla e la densit del materiale. La frequenza critica fondamentale deve essere compresa fra 15 e 20 volte la frequenza della forza in modo da evitare risonanza.

Tensioni ammissibili Considerando le caratteristiche dei materiali per molle e tenuto conto della possibilit di limitare la freccia massima, la tensione ammissibile pu essere espressa come amm=a r con a pari 0.45 o 0.35 rispettivamente per materiali ferrosi e non. Un opportuno superamento del limite di snervamento, detto presetting, provoca delle tensioni residue vantaggiose, che consentono di utilizzare valori di a pi elevati: a=0.65 o a=0.55, rispettivamente.

Molle ad elica di torsione (molle di flessione) Queste molle sono costruite in modo analogo a quelle ad elica di trazione o compressione, ma le estremit sono sagomate in modo da poter trasmettere un momento di asse parallelo allasse della molla (cio torcente) (fig.4). Le sezioni della molla risultano sollecitate da un momento flettente. Nella costruzione di queste molle si generano tensioni residue agenti in verso opposto a quelle di esercizio, di conseguenza esse possono essere progettate per operare a livelli di tensione che uguagliano o anche superano la resistenza allo snervamento del filo. Queste molle sono messe in esercizio avvolte attorno ad una guida cilindrica che reagisce con la forza F mostrata in fig.4. Per sezione circolare i parametri geometrici della molla sono:

il diametro della sezione del filo d, il diametro medio dellelica D, il numero di spire n, il braccio della forza R. La lunghezza e il volume della molla sono dati dalle (17) e (18) rispettivamente, mentre il momento dinerzia diametrale della sezione

I=pi d4/64. (31.38) Tensioni Poich il cilindro a cui avvolta la molla esplica una reazione F=F, si pu ritenere che sulle sezioni agisca un momento flettente costante dato dal prodotto di F per R e lespressione della tensione massima pu essere scritta nella seguente forma:

3

32

wc

F Rkd

pi

= (31.39)

R

F

Fig.31.4 - Molla di flessione ad elica.

D

F=F


31.5

essendo kwc un fattore di concentrazione delle tensioni il cui valore dipende dalla curvatura del filo e dal fatto che la tensione sia determinata sulla fibra interna od esterna. Wahl ha determinato i seguenti valori per la fibra interna ed esterna rispettivamente:

( ) ( )2 24 1 4 1

4 1 4 1wi we

C C C Ck kC C C C

+ = =

(31.40)

essendo C lindice di molla.

Inflessione Langolo di rotazione dellestremit della molla pu essere ottenuto utilizzando il teorema di Clapeyron. Lenergia di deformazione in flessione (10) risulta

2 2 2 21

2 2 L L

F R F RU dx dxE I E I

= = (31.41)

da cui si ottiene:

2 2

4

32

F R D nUE d

pi= (31.42)

Ponendo lenergia di deformazione pari al lavoro compiuto dalla forza Le=FR/2 si ottiene:

4

64

D nF RE d

= 2

w

D nkE d

pi= (31.43)

In alternativa applicando il teorema di Castigliano si scriverebbe R U F = . Costante elastica La rigidezza della molla K=M/=(FR)/ costante ed data da:

4

64dK ED n

=

(31.44) In alcuni casi si preferisce riferire la costante elastica ad un giro completo. In questo caso si moltiplica la (44) per 2pi e si ottiene:

4daNmm

giro

10.2 E dK

D n

= (31.45)

Queste equazioni sono state ottenute senza tenere conto della curvatura del filo. Le prove sperimentali mostrano che la costante 10.2 deve essere leggermente aumentata. Lequazione:

4

10.8 E dK

D n = (31.46)

fornisce migliori risultati.

Coefficiente di utilizzazione In base alla (7) e alla (18) si ha

22 2 2 2 22max

3 4

1 32 128

2 2 4 wc wc

F R n D d F R D nU V K KE E d E d

pi

pi

= = =

(31.47)

da cui, ricordando la (5) e la (42), si ottiene Cu=0.25Kw2 Dimensionamento Le problematiche del dimensionamento sono simili a quelle delle molle di torsione ad elica, ad eccezione del fatto che la resistenza dipende solo dal diametro d come mostra leq.39.


31.6

Molle a barra di torsione (molle di torsione) Le molle a barra di torsione sono schematizzabili come semplici barre ad asse rettilineo di lunghezza L, a sezione costante, incastrate ad unestremit, sollecitate allestremit libera da una coppia torcente T; la sezione libera ruota rispetto alla sezione incastrata di un angolo e lasse della barra rimane rettilineo. Se la barra di sezione circolare i parametri geometrici della molla sono:

il diametro della sezione d, la lunghezza L.

Il momento di inerzia polare dato dalla (17). Tensioni La tensione tangenziale al bordo esterno :

3

16

Td

pi

= (31.48)

Inflessione Le inflessioni possono essere calcolate mediante il teorema di Clapeyron. Lenergia di deformazione (10) per la trave soggetta a momento torcente costante :

2

4

16

T LUG dpi

= (31.49)

Ponendo lenergia di deformazione pari al lavoro fatto dalla forza agente Le=T/2 si ottiene:

4

32

LTG d

pi

=

2

LG d

= (31.50)

Costante elastica La rigidezza della molla K=T/ costante ed data da:

4

32dK GL

pi= (31.51)

Coefficiente di utilizzazione In base alla (7) e tenuto conto che V=Lpid2/4, si ha

22 2 2max

3 4

1 16 32

2 2 4 T d L T LU V

G G d d G pi

pi pi

= = =

(31.52)

da cui, ricordando la (5) e (49), si ottiene Cu=0.5 Barra di torsione con manovella Se il momento agente sulla barra di torsione provocato da una forza F di direzione costante agente su una manovella di lunghezza R, come in fig.5, per grandi variazioni dellangolo di torsione, tale momento risulta variabile in modo non lineare con lo spostamento della forza. In conseguenza di ci, la relazione tra la forza applicata e lo spostamento non lineare. In fig.5 la manovella scarica (F=0) forma un angolo con lorizzontale; se la barra di sezione circolare, con riferimento alla fig.5, i parametri geometrici della molla sono:

il diametro della sezione d, la lunghezza della barra L, la lunghezza della manovella R, langolo tra la manovella e la direzione orizzontale in assenza di forza .

Tensioni Dalla fig.5 e dalla (50) si osserva che, per la generica posizione , sulla barra agisce un momento torcente dato da:

( )4

cos 32

dT F R GL

pi = = (31.53) Introducendo tale espressione nella (48), si ottiene la tensione di torsione agente al bordo della barra in funzione della forza e dellangolo di inflessione:

L

d

R

x

F

R cos()

Fig.31.5 - Barra di torsione con manovella.


31.7

( )3

16 cos

2 F R G d

d L

pi

= = (31.54)

Langolo di inflessione diventa:

( ) 432 cos

LF RG d

pi

= (31.55)

Rigidezza (forza F-spostamento ) La rigidezza intesa come derivata della funzione che esprime la forza applicata rispetto allo spostamento del punto di applicazione risulta essere funzione di ed data da:

( ) F FK = = . (31.56) Per ottenerla bisogna esprimere la forza e lo spostamento in funzione di . Lespressione della forza esercitata in funzione dellangolo di torsione, in base alla (54), :

( )4

32 cosdF GL R

pi = (31.57)

La freccia intesa come spostamento del punto di applicazione del carico data da:

( ) sen senR = + (31.58) Derivando lespressione del carico e quella della freccia rispetto a si ottiene rispettivamente:

( )( )

4 1 tan

32 cosF dG

L R pi

+

=

( ) cosR = (31.59,60) dalle quali, utilizzando la (56), si ottiene:

( ) ( )( )4

2 2

1 tan

32 cosdK G

L R pi

+ =

(31.61)

La (61) mostra che la rigidezza variabile con la deformazione angolare ed minima per


31.8

nella quale le incognite sono d, L, R. Occorre pertanto fissarne due per ricavare la terza. Ad esempio per ricavare d si pu scrivere la seguente relazione risolvibile in modo iterativo:

13

16 1

sen

2

s

amm

F RdG Rd

Lpi

=

(31.66)

Si noti che la radice nella (66) cubica. Se la (66) non converge necessario riconsiderare gli altri parametri, in particolare L ed R.

Molle a balestra (molle di flessione) Le molle a balestra sono usualmente costruite come travi incastrate o appoggiate a sezione rettangolare avente base b e altezza h in generale variabili, sulle quali agisce una forza F (allestremit per quelle incastrate, in mezzeria per quelle appoggiate) che provoca flessione. Tensione In una trave incastrata con carico di estremit la tensione massima (al bordo superiore) nella generica sezione di ascissa x e la tensione massima nella sezione di incastro sono date rispettivamente da:

( )2

6

x

F L xb h

= , max 20 0

6

F Lb h

= . (31.67,68)

In questa ultima b0 ed h0 sono i valori allincastro (x=0). Il coefficiente di utilizzazione di una molla a sezione costante risulta molto basso. Nel caso in cui b e h sono costanti, essendo il volume dato da V b h L= , le espressione di U' (6) e U (8) sono rispettivamente

2 32

31 2

2 L

F LU M dxEI E b h

= = 2 2 3max

318

2 F LU b h L

E E b h

= = , (31.69,70)

ed effettuando il rapporto si ottiene Cu=0.111. Per ottenere una migliore utilizzazione del materiale impiegato, contenendo oltremodo il peso, opportuno che la tensione x sia costante rispetto ad x. Le travi di uniforme resistenza possono essere ottenute variando sia b che h imponendo che sia x=max:

( )2 2

0 0

66

F L xF Lb h b h

= (31.71,72)

Se si mantiene costante lo spessore h=h0, la larghezza b deve variare linearmente con x; se si mantiene costante la larghezza b=b0, lo spessore h deve variare parabolicamente:

0L xb b

L

= 0L xh h

L

= . (31.73,74)

Nel primo caso la trave assume la forma di una barra triangolare che il modello base per le molle a balestra. La molla a balestra (fig.7) si ottiene infatti tagliando la barra triangolare in una serie di strisce, simmetricamente disposte nella barra originale (quella centrale di larghezza w e le altre w/2), accostandole a due a due in modo da creare una foglia di larghezza w, e disponendo le foglie luna sotto laltra a partire dalla pi lunga. Se n il numero delle foglie si ha b0=nw. La barra triangolare e la corrispondente balestra a foglie multiple hanno tensioni ed inflessioni quasi identiche, poich le foglie agiscono come elementi elastici in parallelo (vedi paragrafo seguente). Le differenze sono dovute a 2 fattori:

lattrito fra le foglie produce smorzamento nella molla a foglie multiple, la molla a foglie multiple pu sopportare carichi in una sola direzione dato che carichi di verso opposto

tendono a separare le foglie.

b0

L

h

w

Fig.31.7 - La molla a balestra. A destra confronto tra molla a balestra incastrata e appoggiata.

L

F F

2F L


31.9

Riassumendo, i parametri geometrici della molla sono: lo spessore h, il numero delle foglie n, la larghezza della foglia w o la larghezza totale b0, la lunghezza L.

Il momento di inerzia, variabile rispetto allasse x, ed il volume della molla sono rispettivamente:

( ) 30

12 b L x h

IL

= V=L b0 h/2 (31.75,76)

In base ai parametri geometrici introdotti, leq.(68) pu essere riscritta come segue:

max 2 20

6 6

F L F Lb h n w h

= = (31.77)

Inflessione Le inflessioni possono essere calcolate mediante il teorema di Clapeyron. Lenergia di deformazione per trave inflessa a sezione variabile (10), essendo M=F (L-x), data da:

( )( ) ( )

22 2

3 30 00 0

12 1 6

2

L LL F L x F LU dx L x dxE h L x b E h b

= =

(31.78)

da cui:

2 3

30

3

F LUE h b

= (31.79)

Ponendo lenergia di deformazione pari al lavoro fatto dalla forza agente Le=F/2 si ottiene:

3

30

6

LFE h b

=2

LE h

= (31.80)

La stessa espressione pu essere ottenuta applicando il teorema di Castigliano, derivando lenergia di deformazione rispetto alla forza, cio U F = . Costante elastica La rigidezza della molla K=F/ costante ed data da:

30

3

6

LbhEK = (31.81)

Coefficiente di utilizzazione In base alla (6) e alla (76) si ha

2 2 3max

30

9

2 F LU V

E E h b

= = (31.82)

da cui, ricordando la (5) e la (79), si ottiene Cu=0.33. Dimensionamento Solitamente i dati di progetto sono il carico statico, la freccia elastica sotto carico statico, la freccia massima e/o il carico massimo. Le variabili da dimensionare h, L, b0 ed n sono legate fra loro dalle equazioni della tensione (77), dello spostamento (80) e della costante elastica (81). Si noti che le relazioni (77) e (80) non sono indipendenti, quindi due delle variabili geometriche devono essere fissate con regole empiriche, dedotte dalla pratica costruttiva. In generale con il calcolo si determinano lo spessore h ed il numero delle foglie n. Le formule della tensione, dello spostamento e della rigidezza sono valide anche per il caso di balestra appoggiata (fig.7) considerando che i simboli L ed F si riferiscono rispettivamente a met della lunghezza complessiva e della forza agente in mezzeria e labbassamento si riferisce alla sezione di mezzeria. Fig.31.8 Che tipi di molle riconoscete in questa raffinata sella Brooks?


31.10

Molle in serie e parallelo In vari casi pi molle vengono utilizzate simultaneamente. Le configurazioni pi tipiche sono quelle di molle in serie e parallelo. In questi casi utile conoscere la relazione tra le costanti delle singole molle utilizzate e la costante di molla dellinsieme.

Serie Nel caso di molle in serie (fig.9), tutti gli elementi sono soggetti alla stessa forza mentre lo spostamento del punto di applicazione dato dalla somma degli allungamenti dei singoli elementi:

21 FFF == 21 += (31.83,84) In base alla definizione di K si ottiene:

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

11 1

K KF F FKF K F K K K K K = = = = =+ + + + (31.85)

In generale

1 1

i

K

K

=

(31.86)

Parallelo Nel caso di molle in parallelo (fig.10), tutti gli elementi sono soggetti allo stesso allungamento che coincide con lo spostamento del punto di applicazione della forza, mentre la forza complessiva data dalla somma delle forze agenti nei singoli elementi:

21 == 21 FFF += (31.87,88) Nel caso di due elementi, in base alla definizione di K si ottiene:

212121 KKFFFFFK +=+=+==

(31.89)

In generale iK K= (31.90) Le foglie della molla a balestra agiscono in parallelo in quanto sono soggette tutte alla stessa freccia . Il comportamento a flessione differente rispetto a quello di un unico elemento con sezione uguale allinsieme delle sezioni delle foglie (e quindi di altezza pari al prodotto nh) in quanto le foglie sono fisicamente separate e non si trasmettono azioni tangenziali (a parte quelle dellattrito). Per questo motivo nella (77) compare laltezza h della singola foglia elevata al quadrato e non laltezza complessiva delle foglie.

Fig.31.10 - Molle in parallelo.

F1

F2

F

F1 F2

1

2 1

F

Fig.31.9 - Molle in serie.

molle

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