1

Kod projektu: SYMMETRY

Zamodeluj szeregowy układ regulatorów PI prądu i prędkości. Nastawy regulatorów dobierz z

kryterium modułu i symetrii. Dla ułatwienia podano wszystkie niezbędne przekształcenia. Podaj schemat

blokowy uwzględniający wszystkie pojawiające się poniżej oznaczenia.

Analiza układu regulacji prądu RI:

• transmitancja obiektu :

( ) ( )

G G G ck c

R s s T

k

s s Tob p

ps p

z o E

ob

o E

1 1 2

11

1

1

1 1 1= ⋅ ⋅ =

⋅⋅

+ ⋅⋅

+ ⋅=

+ ⋅ ⋅ + ⋅τ τ, gdzie k

k c

Rob

ps p

z

1 =⋅

,

• transmitancja układu otwartego :

( ) ( ) ( ) ( )G G G

s T

s T

k

s s T

s T

s k

k

s s Totw RI ob

ob

o E

E

ob o

ob

o E

1 1

2

1

1

1

11

1 1

1

2 1 1= ⋅ =

+ ⋅

⋅⋅

+ ⋅ ⋅ + ⋅=

+ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅

+ ⋅ ⋅ + ⋅=

τ τ τ

( )=

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

1

2 1τ τo os s, gdzie T2 = TE , a T1=2⋅ kob1⋅ τo przyjęte z kryterium modułu.

• transmitancja układu zamkniętego :

( )( )

( )

G

G

c

G

cc

G

c G

s s

cs s

c s c s cI

otw

p

otw

p

p

otw

p otw

o o

p

o o

o p o p p

=

+ ⋅

=⋅ +

=⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

⋅ +⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

=⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

=

1

1

1

1

2 2

11

1

2 1

11

2 1

1

2 2

τ τ

τ τ

τ τ

( )≈

⋅ + ⋅ ⋅

1

1 2c sp oτ, przyjmując, że 2 ⋅ τo

2 ⋅ cp ⟨⟨ 1.

Analiza układu regulacji prędkości Rω:

• transmitancja obiektu :

( ) ( )G G G G K

c s

R

s T KK

k

s s Tob I

p o

z

M E

ob

o M

2 3 4

21

1 2

1

1 2= ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ + ⋅ ⋅⋅

⋅⋅ ⋅ =

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω ω

τ τ, gdzie k

R K

c Kob

z

p E

2 =⋅

⋅ω

,

• transmitancja układu otwartego :

( ) ( )G G G

s T

s T

k

s s T

s

s k

T k

s s Totw R ob

ob

o M ob o

M ob

o M

2 2

4

3

2 0

2

2

21

1 2

1 8

32 1 2= ⋅ =

+ ⋅

⋅⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

+ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=ω

τ

τ

τ τ

=⋅ ⋅

⋅+ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅

1

32

1 8

1 22 2τ

τ

τo

o

os

s

s, gdzie T4=4⋅(2⋅τo) , a

( )T k

Tob

o

M

3 2

2

8 2= ⋅

⋅ ⋅τ przyjęte z kryterium symetrii.

Kryterium modułowego optimum polega na takim dobraniu nastaw regulatora, aby moduł układu

zamkniętego 1)( ≈ωA w możliwie szerokim paśmie częstotliwości.

Dla obiektu postaci

∏=

+

=n

obiekt

obiekt

sT

KsG

1

)1(

)(

νν

, w którym jesteśmy w stanie wyodrębnić jedną

dominującą stałą czasową 1T , tj. ∑=

Σ =>>n

TTT2

1

νν , w sytuacji zastosowania regulatora

s

sTKsG R

RR

+=

1)( , kryterium określa

Σ

=TK

Kobiekt

R2

1 oraz 1TTR = (kompensacja dużej stałej

czasowej).

2

• transmitancja układu zamkniętego :

( )G

G

K

G

KK

G

K G

s

s

s

Ks

s

s

s

K s s K s K K

s

otw

otw

otw

otw

o

o

o

o

o

o

o

o o o

o

ωω

ωω

ωω

ω ω ω ω

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ τ τ

τ

=

+ ⋅

=⋅ +

=⋅ ⋅

⋅+ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅

⋅ +⋅ ⋅

⋅+ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅

=

=+ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +≈ ⋅

+ ⋅ ⋅

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

11

1

32

1 8

1 2

11

32

1 8

1 2

1 8

32 1 2 8

1 1 8

( ) 32 8 12 2⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +τ τo os s

przyjmując, że 64⋅Kω ⋅τo 3 ⟨⟨ 1.

Dobierając filtr o odpowiedniej transmitancji przed regulatorem prędkości możemy skompensować

inercję w liczniku:

• transmitancja filtru : Gs T sF

F o

=+ ⋅

=+ ⋅ ⋅

1

1

1

1 8 τ , gdzie TF = 8⋅τo ,

Wówczas transmitancja układu przyjmie postać :

22

2

2221832

11

oo

o

oo ss

k

ssKG

ωωξ

ω

ττω

ω+⋅⋅⋅+

⋅=

+⋅⋅+⋅⋅⋅= ,

przy czym ωK

k1

= , 24

1

⋅⋅=

o

oτ

ω oraz ξ =2

2.

Przy tych założeniach układ sterowania z silnikiem będzie członem aperiodycznym drugiego rzędu, w

którym decydującym czynnikiem jest inercja przekształtnika.

Powodzenia!

Kryterium symetrycznego optimum polega na takim zaprojektowaniu struktury regulatora, by

transmitancja układu otwartego miała postać )1(

1)(

2

2

1

+

+=

sTs

sTKsGotwarty , przy 21 TT > . Jest to

możliwe, jeżeli obiekt jest minimalnofazowy (zera i bieguny leżą w LPP). Logarytmiczna

charakterystyka fazy takiego układu otwartego jest symetryczna względem pulsacji 2/1

21 )( −= TTgω . Symetrię charakterystyki logarytmicznej modułu układu otwartego osiąga się

nastawiając wzmocnienie )/(1 211 TTTK = .

Dla obiektu postaci

∏=

+

=n

obiekt

obiekt

sT

KsG

1

)1(

)(

νν

, w którym jesteśmy w stanie wyodrębnić jedną

dominującą stałą czasową 1T , tj. ∑=

Σ =>>n

TTT2

1

νν , lub obiektu

∏=

+

=n

obiekt

obiekt

sTsT

KsG

2

1 )1(

)(

νν

, w

sytuacji zastosowania regulatora s

sTKsG R

RR

+=

1)( , kryterium określa

2

1

8 Σ

=TK

TK

S

R oraz

Σ= TTR 4 .