Si V es un K- espacio vectorial; sabemos que K es un cuerpo, es decir entreotras cosas en el esta definida una suma y un producto, donde el productoverifica que es conmutativo y todo elemento no nulo es invertible. Pero si porun momento nos olvidamos de pedir que K sea un cuerpo, podemos pedirlemenos propiedades de las que cumple un cuerpo, es decir algo mas general, quesea un anillo, lo notaremos A, y le pedimos que en el este definida una sumay un producto, (al igual como lo esta en un cuerpo), y que el producto tenganeutro, es decir ∃1A ∈ A / 1A · a = a,∀a ∈ A.

Y entonces tenemos que A va verificar las propiedades: asociativa de suma yproducto, conmutatividad de suma, distributivas de suma respecto al producto,asociativa de suma y producto, neutro de suma y producto, pero vamos aperder (en comparacion con un cuerpo) la conmutatividad del producto y laexistencia de inversos respecto al producto.

Un claro ejemplo de anillo es M2(R) pues si bien tiene definido una suma

y un producto no hay conmutatividad en el producto (

(2 31 0

)·(

1 21 4

)=(

5 161 2

)6=

(4 36 3

)=

(1 21 4

)·(

2 31 0

)), y tampoco tenemos que todo ele-

mento no nulo es invertible (

(1 00 0

)no es invertible).

Un ejemplo mas simple aun es Z, con la suma y producto usual es un anillo,este si es conmutativo respecto al producto pero no todos los elementos soninvertibles, ya que 2 no es invertible.

Ahora si estamos preparados para hablar de modulos!, cuando queremosconstruir un espacio vectorial pero en vez de un cuerpo tenemos un anillo, loque resulta ya no es un espacio vectorial sino un A-modulo, se le pide que veri-fique exactamente las mismas propiedades que verifica un ”k”-espacio vectorial,la unica diferencia esta en que A ahora es un anillo y su conmutatividad yexistencia de inversos es totalmente lıcita no tenerlas.

Y esto nos viene a destrozar muchas de las propiedades que tenıamos paraespacios vectoriales, por ejemplo en espacios vectoriales tenıamos que si α 6= 0y v 6= 0⇒ α · v 6= 0; pues α · v = 0⇔ α−1 · (α · v) = α−1 · 0⇔ 1 · v = 0⇔ v = 0.Pero ahora en modulos esto no tiene porque suceder porque podemos NO tenerinversos y el paso de multiplicar por α−1 es totalmente falso. Veremos comoafecta esto a los modulos a medida que veamos los ejemplos.

En modulos no se suelen llamar vectores a los elementos de V ni tampocoescalares a los elementos de A, pero de todos modos a modo de familiarizarnoscon modulos los llamaremos igual usando comillas.

De la misma forma que en espacios vectoriales se habla de bases como unconjunto li que genera, en modulos la definicion de base es igual que en espaciosvectoriales, al igual que la definicion de conjunto generador y conjunto li.

Ejemplos:

M2(R) es un R- espacio vectorial de base {(

1 00 0

),

(0 01 0

),

(0 10 0

),

(0 00 1

)}

M2×1(R) es un R-espacio vectorial de base {(

10

),

(01

)}

M2×1(R) es un M2(R) - modulo, donde los ”vectores” son los elementos(mp

)de M2×1(R) y los escalares son los elementos

(q rt s

)de M2(R), y la

1

suma de ”vectores” y producto por un ”escalar” estan definidos como sigue(ab

)+

(cd

):=

(a+ cb+ d

), ∀

(ab

),

(cd

)∈M2×1(R)(

a bc d

)·(αβ

):=

(a · α+ b · βc · α+ d · β

),∀

(a bc d

)∈M2(R),∀

(αβ

)∈M2×1(R)

Ahora mi conjunto de escalares ya no es mas un cuerpo!: como vimos M2(R)no es conmutativo ni tampoco todo elemento no nulo es invertible. Esto tienecomo consecuencia en este ejemplo, que no hay conjunto li pues dado el ”vector”(αβ

)con α 6= 0 , β 6= 0 tomando el ”escalar”

(β −αβ −α

)se tiene que(

β −αβ −α

)·(αβ

)=

(00

)y si tomamos el ”vector”

(α0

)6=

(00

)tomando el ”escalar”

(0 α0 α

)6=(

0 00 0

)se tiene que

(0 α0 α

)·(α0

)=

(00

),

por lo que el conjunto {(αβ

)} no es li, lo que muestra que NO HAY conjuntos

li en este modulo, pues de haberlo para cada ”vector” se utiliza un ”escalar”como los que usamos para hacer una combinacion de ”vectores” no nulos queme de ceros. Por tanto en este modulo NO TIENE BASE, a diferencia deun espacio vectorial que siempre tiene base.

2