modulo metodos numericos 2012

CURSO ACADÉMICO

Métodos Numérico

Carlos Iván Bucheli Chaves

Corregido por Ricardo Gómez Narváez

Revisado por Carlos Edmundo López Sarasty

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TABLA DE CONTENIDOTABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Introducción a los Métodos Numéricos………………………………. 7Mapa Conceptual de Métodos Numéricos.................................... 8

UNIDAD I:UNIDAD I:“Conceptos Básicos, Exactitud y Raíces de Ecuaciones.”“Conceptos Básicos, Exactitud y Raíces de Ecuaciones.”

CAPITULO 1: CONCEPTOS BASICOSCAPITULO 1: CONCEPTOS BASICOS

Lección 1 Exactitud y Precisión……………………………………………. 65Lección 2 Errores de Redondeo……………………………………… 74

CAPITULO 2: RAICES DE ECUACIONCAPITULO 2: RAICES DE ECUACION

Lección 3 Método de bisección…………………………………………….. 81Lección 4 Método de la regla falsa………………………………………… 92Lección 5 Método de Newton- Raphson………………………………… 101Lección6 Método iterativo de punto fijo y Ejercicios de la Unidad ………. 111 UNIDAD II:UNIDAD II:“Sistemas de Ecuaciones Lineales, No Lineales“Sistemas de Ecuaciones Lineales, No Lineales e Interpolación.”e Interpolación.”

CAPITULO 3: SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPITULO 3: SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES.Y NO LINEALES.

Lección 7 Método de eliminación de Gauss ……………………………… 131Lección 8 Método de Gauss-Jordán…………………………………….……. 134Lección 9 Método de Gauss-Seidel y Ejercicios del Capitulo ……..……….138

CAPITULO 4: INTERPOLACIONCAPITULO 4: INTERPOLACION

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Lección 10 Polinomio de Interpolación de Lagrange ………………….… 148Lección 11 Polinomio de Interpolación con diferencias divididas de newton ………………………………………………...…………………………………. 151Lección 12 Interpolación Polinomial de diferencias finitas de Newton… 156Lección 13 Ajuste de curvas……………………………………………….... 161Lección 14 Transformada discreta de Fourier y Ejercicios del Capitulo.. 169

UNIDAD III:UNIDAD III:“Diferenciación, Integración Numérica y Solución de “Diferenciación, Integración Numérica y Solución de

Ecuaciones Diferenciales.”Ecuaciones Diferenciales.”

CAPITULO 5: DIFERENCIACIÓN e INTEGRACION NUMERICA.CAPITULO 5: DIFERENCIACIÓN e INTEGRACION NUMERICA.

Lección 15 Diferenciación Numérica……………………………………. 177Lección 16 Integración NumericaLección 17 Regla del trapecio……………………………………………. 186Lección 18 Regla de Simpson………………………………………….… 189Lección 19 Integración de Romberg y Ejercicios del Capitul………...... 198

CAPITULO 6: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES.CAPITULO 6: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

Lección 20 Método de Euler…………………………………………..…… 216Lección 21 Método de Runge Kutta……………………………………… 217Lección 22 Método Multipasos, Ejercicios del Capitulo y Autoevaluación 223

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ALCANCE DEL CURSO ACADEMICOALCANCE DEL CURSO ACADEMICO

El estudiante comprenderá la importancia de los métodos numéricos y conocerá Las características operativas del software de cómputo numérico comercial.

Implementará métodos de solución de ecuaciones algebraicas o trascendentales, con apoyo de un lenguaje de programación.

Implementará los métodos numéricos de solución de sistemas de ecuaciones, con apoyo de un lenguaje de programación.

Aplicará los métodos numéricos para la solución de problemas de diferenciación e integración numérica, usando un lenguaje de programación.

Por ultimo, Aplicará los métodos numéricos para la solución de problemas de diferenciación e integración numérica, usando un lenguaje de programación.

Por tanto al finalizar la lectura y comprensión de este modulo el estudiante estará en la capacidad de:

Analizar en grupo la importancia de los métodos numéricos en la ingeniería y en las ciencias.

Analizar en grupo los conceptos de cifra significativa, precisión, exactitud, sesgo e incertidumbre, así como los diferentes tipos de error: absoluto y relativo por redondeo por truncamiento numérico total humanos.

Buscar y diferenciar las características de un software de cómputo numérico. Exponer por equipos, las características de un software de cómputo numérico. Realizar prácticas del uso de un software de cómputo numérico, apoyándose en

tutoriales y manuales correspondientes. Buscar y analizar la interpretación gráfica de una raíz y la teoría de alguno de

los métodos iterativos. Buscar y catalogar los diferentes métodos numéricos de solución de ecuaciones. Diseñar e implementar los métodos numéricos catalogados, utilizando la

herramienta de cómputo numérico. Resolver ejercicios aplicando los métodos implementados, validando sus

resultados. Buscar y clasificar los fundamentos matemáticos de la solución de sistemas de

ecuaciones lineales. Identificar gráficamente, los casos de sistemas de ecuaciones lineales mal

condicionadas y su relación matemática con el determinante. Analizar en grupo la solución de sistemas de ecuaciones, empleando los

métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.

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Implementar y evaluar los métodos iterativos empleando un lenguaje de programación.

Buscar y clasificar los fundamentos matemáticos de la solución de sistemas de ecuaciones no-lineales.

Analizar en grupo la solución de sistemas de ecuaciones no-lineales, empleando métodos iterativos.

Implementar y evaluar los métodos iterativos empleando un lenguaje de programación.

Buscar y clasificar los métodos numéricos de diferenciación. Representar gráficamente los métodos clasificados. Analizar en grupo la diferenciación, empleando los métodos clasificados. Diseñar e implementar los métodos de diferenciación numérica. Diseñar e implementar los métodos de integración numérica. Buscar y clasificar los métodos numéricos de integración. Representar gráficamente los métodos clasificados. Analizar en grupo la integración, empleando los métodos clasificados. Buscar y clasificar los métodos numéricos de diferenciación. Aplicar los métodos a la solución de ejercicios, empleando una calculadora. Diseñar, implementar y evaluar los métodos numéricos de Euler y de Runge-

Kutta. Investigar aplicaciones de estos métodos numéricos y mostrar resultados.

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INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOSINTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

Una pregunta muy natural que surge al introducirse en el estudio de los métodos numéricos, es la siguiente:

Por que sucedió todo esto?

El precio que hay que pagar es el de cálculos cada vez más largos y tediosos y aquí es donde hace acto de presencia la poderosa herramienta computacional, que nos permite hacer cálculos largos y tediosos en poco tiempo y con mayor exactitud que si los hiciéramos a mano. Esta gran herramienta hace factible el camino de los métodos numéricos pues de otra forma, serían muy lentos los procesos y con mucho riesgo de cometer errores en cada paso.

Por otro lado, cabe mencionar que para poder elaborar un buen programa de computación, aparte de manejar un lenguaje determinado, debemos saber realizar el proceso "a mano", ya que esto nos permitirá implementar un mejor programa que contemple todas las posibles piedras en el camino.

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Mapa Conceptual Métodos NuméricosMapa Conceptual Métodos Numéricos

¿Qué ocurre en la construcción y análisis del método?

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Método, Algoritmo, Receta, proceso, procedimiento, Rutina: Es una secuencia ordenada

pasos

consecutivos

lógicos

ordenados

para la solución de un problema dado.

Método o Algoritmo

Programa:

Programa

C, Matlab, Excel

¿Cómo?

¿Cómo?

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UNIDAD I:UNIDAD I:“Conceptos básicos, exactitud y raíces de “Conceptos básicos, exactitud y raíces de

ecuaciones.”ecuaciones.”

CAPITULO 1: CONCEPTOS BASICOS.CAPITULO 1: CONCEPTOS BASICOS.

Errores

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar cantidades y/o operaciones. Esto da lugar a dos tipos de errores: Truncamiento Errores

Redondeo Los errores de truncamiento, resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto. Por ejemplo, en la solución numérica al problema del objeto en caída libre, usamos una aproximación al proceso de derivación, el cual es un procedimiento matemático exacto.

Esto genera errores de truncamiento durante el procedimiento. Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números que son exactos. Por ejemplo, aún en la "solución exacta" al problema del objeto en caída libre, los resultados impresos en la tabla de velocidades no son totalmente exactos puesto que el numero e es un número irracional y por lo tanto su extensión decimal es infinita y no periódica lo que nos impide escribirlo de forma completamente exacta. Usando 5 decimales, tenemos:

Esto genera errores de redondeo durante los cálculos.

En ambos casos tenemos que: Valor verdadero = valor aproximado + error Definición. Definimos el error absoluto como:

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= valor verdadero - valor aproximado Esta definición de error tiene un pequeño defecto, como veremos en el siguiente: Ejemplo

Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el resultado aproximado de 19,999 cms. mientras que al medir la longitud de un clavo, se obtiene el resultado de 9 cms. Suponiendo que los valores verdaderos de la varilla y el clavo son de 20,000 cms. y 10 cms. respectivamente, calcular el error absoluto en ambos casos.

Solución. Tenemos los siguientes resultados:Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como:

Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como:

En ambos casos, el error absoluto es igual!, pero obviamente tiene mayor trascendencia el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir, necesitamos comparar el error absoluto contra el valor verdadero y esto da lugar a las siguiente definición.

Existen dos preguntas en cálculos numéricos de suma importancia como son:1) El optimista pregunta ¿qué tan precisos son los resultados calculados?; 2) El pesimista pregunta ¿qué tanto error se ha introducido?

Desde luego, las dos preguntas corresponden a lo mismo. Sólo en raras ocasiones los datos proporcionados serán correctos, puesto que suelen originarse errores en el proceso de medida. De modo que hay un error probable en la información de entrada. Además, el propio algoritmo introduce error, quizá redondeos inevitables. La información de salida contendrá entonces error generado por ambas fuentes.

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Lección 1 Exactitud y PrecisiónLección 1 Exactitud y Precisión

Dígitos Significativos:Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa.

Exactitud:Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

Precisión:Se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad, a esto se refiere cuando se habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que estemos utilizando.

Errores Inherentes o Heredados:Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales.

Errores Sistemáticos:Debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.

Errores Accidentales:Debidos a la apreciación del observador y otras causas.

Errores de Truncamiento:Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido.

Error de Redondeo:Se ocasiona debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que requieren un gran número de dígitos.Dependiendo de como se redondea puede ser de dos formas.

Error de Redondeo Inferior:

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Se desprecian los dígitos que no pueden conservarse dentro de la localización de memoria correspondiente (pensando de una manera estricta, este caso puede considerarse como un error de truncamiento).

Error de Redondeo Superior:Este caso tiene dos alternativas, según el signo del número en particular.a) Para números positivos, el último que puede conservarse en la localización de memoria se incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es 5.b) Para números negativos, el último dígito que puede conservarse en la localización de memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es 5.

Error de desbordamiento de información o derrame de información Overflow:

Este error recibe también el nombre de “sobreflujo”. En el lenguaje técnico de computación se acostumbra emplear el anglicismo “overflow”, ya que las traducciones posibles no proporcionan una idea clara de su significado. Se dice que existe overflow o sobreflujo o derrame de información cuando dentro de una localización de almacenamiento no cabe un número, debido a que es mayor que la capacidad de la mencionada localización de almacenamiento.

Error de desbordamiento de información o derrame de información Underflow:

Este error recibe también el nombre de “subflujo”. En el lenguaje técnico de computación se acostumbra emplear el anglicismo “underflow”, ya que las traducciones posibles no proporcionan una idea clara de su significado. Se dice que existe underflow o subflujo o desbordamiento de información cuando dentro de una localización de almacenamiento no se puede representar un número positivo muy pequeño, debido a que éste es menor que la capacidad de la mencionada localización de almacenamiento.

Más Errores Existen mas errores, pero los tipos de error que estudiaremos a fondo serán:

1) Error absoluto

2) Error relativo

3) Error relativo Aproximado 4) Error aritmético de la computadora

5) Error por redondeo

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6) Error por truncamiento

Error absoluto

Si p* es una aproximación de p, y si p es el valor real, entonces:

Error Absoluto = O sea el valor absoluto de p menos p*. Debido a que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse. Este es un hecho demasiado pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible que la suma ("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. Pero también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Un enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, están estadísticamente distribuidos.

Error relativo

Si p* es una aproximación de p, y si p es el valor real, entonces, el Error relativo se define como:

Error relativo = con la condición de p 0.

Generalmente el denominador es una de tres elecciones; la magnitud del valor exacto o real, la magnitud del valor calculado o aproximado o el promedio de estas dos cantidades. La mayoría de las veces se usa como el valor real, por lo que se usará esta opción. El Error Relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los números que se redondean. El denominador de está ecuación compensa este efecto.

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Ejemplo

Ejemplo

p=0.3x10-3 p*=0.31x10-3 Calcular el error absoluto y el error relativo.

Ejemplo

p=0.3x104 p*=0.31x104 Calcular el error absoluto y el error relativo.

Conclusión:

Como una medida de precisión el error absoluto puede ser engañoso y el error relativo es más significativo.

Error relativo aproximado

Definiciones 1) Error relativo aproximado = ERA

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Valor actual - Valor anteriorERA = (-----------------------------------------) * 100% Valor actual

2) Tolerancia = (0.5x102-n) %

Donde n = número de cifras significativas

3) Término de convergencia permite finalizar los cálculos. Es la desigualdad: ERA < Tolerancia

Ejemplo Usando la serie de Taylor con xo=0

Encontrar e1.5 con tres cifras significativas. Se desea saber también: ¿En cuántas iteraciones se cumple el término de convergencia?

SOLUCION: Como n = 3, entonces: Tolerancia = (0.5x102-3) % = 0.05% Término de convergencia: ERA < Tolerancia ERA = ((Valor actual - Valor anterior)/ Valor actual) 100%

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Aquí mi ERA < Tolerancia

e1.5 = 4.48 (con tres cifras significativas y 9 iteraciones).

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EJEMPLO

Encontrar con n = 2 (2 cifras significativas), donde π=180o = 3.1416 radianes

Usando la serie de Taylor:

Por lo tanto, necesitamos un error relativo aproximado menor a 0.5% trabajando en radianes.

Para i=1 = 1

i=2 = 1- (π /6)2 / 2!=0.86292152

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Se muestra a continuación el diagrama de flujo del algoritmo de solución de este

EJEMPLO:

Diagrama de flujo del Error relativo aproximado para ex

Ejemplo

Usar el siguiente resultado de series,

Para aproximar el número irracional hasta 4 cifras significativas.

SOLUCION. Primero calculamos el valor de como sigue:

En seguida, usamos la serie, agregando un término cada vez, para obtener

nuevas aproximaciones hasta que se logre que .En el primer paso, tenemos simplemente un término:

En el segundo paso, tenemos la suma de dos términos:

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Aquí, podemos calcular el primer error aproximado:

Seguimos agregando términos de la serie puesto que no se ha cumplido el objetivo:Tenemos que,

Y calculamos el error aproximado correspondiente:

El proceso se continúa hasta lograr la meta. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

# términos

Aprox. al valor e

Error aproximado

1 1

2 2 50%

3 2.5 20%

4 2.666666667 6.25%

5 2.708333333 1.54%

6 2.716666667 0.307%

7 2.718055556 0.051%

8 2.718253968 0.007%

9 2.718278770 0.0009%

Así pues, el resultado que se obtiene es:

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Que en realidad tiene 8 cifras significativas. La cota impuesta por , nos asegura que tendremos al menos n cifras significativas; en este ejemplo, obtuvimos 4 cifras significativas más.

Lección 2 Error de RedondeoLección 2 Error de Redondeo

El error de redondeo se origina porque una máquina involucra números con sólo un número finito de dígitos; por lo tanto, los cálculos se realizan con representaciones aproximadas de los números verdaderos. Dicho de otra manera, el error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante. En una computadora se almacena una parte fraccionaria llamada la mantisa junto con una parte exponencial llamada característica; además de un espacio para el signo.

Error de redondeo

Es el que resulta de reemplazar un número por su forma de punto flotante. Cualquier número real positivo puede ser normalizado para que adquiera la forma:

La forma de punto flotante fl(y), se obtiene terminando (recortando) la mantisa de y en k dígitos decimales.

Existen dos métodos de terminar:

a) Cortando los dígitos b) Redondeando el número Error de truncamiento

Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos.

Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. Note que el error de truncamiento, a

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diferencia del error de redondeo, no depende directamente del sistema numérico que se emplee.

Que es el polinomio de Taylor de grado n para la función f alrededor de xo.

Que es el residuo o error de truncamiento asociado con Pn. f(x)=Pn(x)+Rn(x) En el caso específico de que xo=0 el polinomio de Taylor se conoce como el polinomio de Maclaurin y la serie de Taylor se conoce como la serie de Maclaurin.

Ejemplo Determine el polinomio de Taylor de segundo grado y también el de tercer grado para f(x)=cos(x) respecto a xo=0 y use este polinomio para aproximar cos (0.01)

SOLUCION: Polinomio de Taylor de segundo orden.

Calculando derivadas:

21

Donde a lo más es 1 por lo que

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Donde a lo más es 1 por lo que

Conclusión: Las dos primeras partes del ejemplo ilustran los 2 objetivos de los métodos numéricos. El primero es obtener una aproximación que los polinomios de Taylor ofrecen en ambas partes. El segundo objetivo consiste en determinar la exactitud de la aproximación (error de truncamiento).

En este caso el polinomio de tercer grado proporciona una exactitud mayor o un error de truncamiento menor.

Ejemplo Sea f(x)=x3

a) Encontrar el polinomio de Taylor de segundo grado para xo=0 y el error de truncamiento para cuando x=0.5.

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SOLUCION:

Nota: (x) en el # que no conozco y que tiene que escribir si hay x

Ejemplo Calcular f(x)=x3 para un polinomio de Taylor de segundo grado con xo=1.

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Es el Error de Truncamiento

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CAPITULO 2: RAICES DE ECUACIONES.CAPITULO 2: RAICES DE ECUACIONES.

Métodos preliminares

Los métodos numéricos para tratar los problemas relacionados con raíces de una ecuación, sirven para obtener aproximaciones a las soluciones de ecuaciones de las cuales no es posible obtener respuesta exacta con métodos algebraicos (Solo respuestas aproximadas). Por ejemplo, la ecuación:

1564000=1000000*e + (435000/)*(e -1)

De la cual se deseará obtener ¨ ¨. Uno de los problemas básicos de la aproximación numérica, es el problema de la búsqueda de las raíces.

Raíces de ecuaciones no lineales

Una raíz de una función )(xf es un número 0x tal que 0)( 0 xf . También se

dice que 0x es una raíz de la ecuación 0)( 0 xf . En este curso, consideraremos solamente raíces reales.Geométricamente, una raíz de una función representa un punto donde la gráfica

de )(xf cruza al eje x ,

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En esta gráfica, vemos que la raíz es 1x .

Ejemplos.

1. Las raíces de 9)( 2 xxf son 3x y 3x .

2. La función 1)( 24 xxxf no tiene raíces.

3. La función senxxf 5)( no tiene raíces.

4. Las raíces de )7)(3)(1()( xxxxf son ,1x 3x y 7x .

Estudiaremos varios métodos numéricos para aproximar raíces de ecuaciones.

Lección 3 Método de BisecciónLección 3 Método de Bisección

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:

Teorema del Valor Intermedio

Sea )(xf

contínua en un intervalo ba, y supongamos que )()( bfaf .

Entonces para cada z tal que )()( bfzaf

, existe un bax ,0

tal que

zxf )( 0 . La misma conclusión se obtiene para el caso que )()( bfaf .

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función contínua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

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En particular, si )(af

y )(bf

tienen signos opuestos, entonces un valor

intermedio es precisamente 0z , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio

nos asegura que debe existir bax ,0

tal que 0)( 0 xf

, es decir, debe haber

por lo menos una raíz de )(xf en el intervalo ),( ba .

El método de bisección sigue los siguientes pasos:

Sea )(xf continua,

i) Encontrar valores iniciales ax , bx tales que )( axf y )( bxf tienen signos

opuestos, es decir,

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre ax y

bx :

iii) Evaluar )( rxf . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

En este caso, tenemos que )( axf y

)( rxf tienen signos opuestos, y

por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo ra xx ,

.

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En este caso, tenemos que )( axf y )( rxf tienen el mismo signo, y

de aquí que )( rxf y )( bxf tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz

se encuentra en el intervalo br xx , .

En este caso se tiene que 0)( rxf y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Es decir,

En otras palabras:

Este es uno de los problemas de aproximación más antiguos y sin embargo la investigación correspondiente todavía continúa.

Supongamos que f(x) es una función continúa definida en el intervalo [a, b] con f(a) y f (b) de signos diferentes.

El de bisección nos dice que de acuerdo al teorema del valor intermedio existe un número p en a, b tal que f(p)=0.

Aunque el procedimiento en el caso en que f(a) y f(b) tengan signos diferentes y exista más de una raíz en el intervalo (a,b), por razones de simplicidad suponemos que la raíz de este intervalo es única.

El método de bisección requiere dividir varias veces a la mitad los subintervalos de [a,b] y, en cada paso, localizar la mitad que contenga a p. Para empezar se supone que a1=a y b1=b y que sea p1 el punto medio de f(a1) y f(b1), es decir:

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Figura. f (p1) tiene signo diferente a f(a1) entonces acá está la raíz; f(p1) tiene signo igual a f(b1) entonces esta mitad se elimina.

si f(p1)=0 entonces p=p1 si f(p1) y f(a1) tienen el mismo signo, entonces p ϵ (p1,b1) y a2=p1 y b2=b1 si f(p1) y f(a1) tiene signos opuestos entonces p ϵ (a1,p1) y a2=a1 y b2=p1

Figura. Áreas de eliminación.

Después volvemos a aplicar el proceso al intervalo . Así se continúa hasta alcanzar algún criterio de convergencia. Un buen criterio de convergencia es el que hace referencia al error relativo aproximado (ERA).

Para

Donde ξ representa la tolerancia permitida con respecto al error relativo. Al trabajar programas de computadora conviene fijar el número máximo de iteraciones que se efectuaron.

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En la figura se ilustra gráficamente el método de bisección.

Figura. Método de bisección

EJEMPLO:

Aproximar la raíz de xexf x ln)( hasta que

%1a .

SOLUCION

Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de

)(xf se localiza en el intervalo

5.1,1. Así que este intervalo es nuestro

punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos

chequear que )1(f y )5.1(f tengan signos opuestos.

En efecto, tenemos que

mientras que

Cabe mencionar que la función )(xf sí es contínua en el intervalo 5.1,1 . Así pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos:

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i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz):

ii) Evaluamos 00636.0)25.1ln()25.1( 25.1 ef

iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 5.1,25.1 .

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso

con el nuevo intervalo 5.1,25.1

.

Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):

Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos 006561.0)375.1ln()375.1( 375.1 ef , y hacemos la tabla:

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Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 375.1,25.1 .

Calculamos el punto medio,

Y calculamos el nuevo error aproximado:

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.

1.25 1.375 9.09%1.3125 4.76%1.28125 2.43%1.296875 1.20%1.3046875 0.59%

Así, obtenemos como aproximación a la raíz

Ejemplo:

Encontrar la raíz de: usando el método de Bisecciones sucesivas en el

intervalo [1,2], se sugiere trabajar con cuatro cifras significativas después del punto decimal. Y usar a.

=10-4 o =0.0001 o sea que el error relativo sea menor a 0.0001.

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En resumen:

N an Bn Pn f(pn)

1 1 2 1.5 2.375

2 1 1.5 1.25 -1.7068

3 1.25 1.5 1.375 0.16214

4 1.25 1.375 1.3125 -0.8483

5 1.3125 1.375 1.343 -0.333

6 1.343 1.375 1.359 -0.102

7 1.359 1.375 1.367 0.029

8 1.359 1.367 1.363 -0.036

9 1.363 1.367 1.365 -0.0037

10 1.365 1.367 1.366 -

11 1.365 1.366 1.3655 0.0044

12 1.365 1.3655 1.36525 0.0003

13 1.365 1.36525 1.36515 -0.0021

14 1.36515 1.36525 1.36517 -0.0009

Ejemplo:

Aproximar la raíz de 1arctan)( xxxf hasta que %1a .

SOLUCION

Como vimos en el ejemplo 2 de la sección anterior, la única raíz de )(xf se

localiza en el intervalo 1,0 . Para poder aplicar el método de bisección, es importante checar que sí se cumplen las hipótesis requeridas.

Sabemos que )(xf es contínua en el intervalo 1,0 , y checamos que )0(f y )1(f tengan signos opuestos.

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En efecto,

Mientras que,

Por lo tanto, sí podemos aplicar el método de bisección.

Calculamos el punto medio del intervalo 1,0 ,

Que es la primera aproximación a la raíz de)(xf

.

Evaluamos 00363.015.0)5.0arctan()5.0( f .

Y hacemos nuestra tabla de signos,

Puesto que )5.0(f y )1(f tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en

el intervalo 1,5.0 .

En este punto, solo contamos con una aproximación, a saber, 5.0

1rx , que

es el primer punto medio calculado.Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio ahora del intervalo 1,5.0 ,

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Que es la nueva aproximación a la raíz de )(xf .

Aquí podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos 03935.0175.0)75.0arctan()75.0( f

.

Y hacemos la tabla de signos:

Puesto que )5.0(f y )75.0(f tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza

en el intervalo 75.0,5.0 .

Calculamos el punto medio,

Y el nuevo error aproximado:

El proceso se debe continuar hasta que se logre el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:


0.5

36

0.75 33.33%0.625 20%0.5625 11.11%0.53125 5.88%0.515625 3.03%0.5234375 1.49%0.51953125 0.75%

De lo cual, vemos que la aproximación buscada es 51953125.0

8rx

El método de bisección por lo general es lento, y en casos como el de la siguiente gráfica, puede ser demasiado lento.

En un caso como éste, el proceso de bisección comienza a acercarse a la raíz de forma muy lenta, ya que el método solamente toma en cuenta que la raíz se encuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra más cerca de alguno de los extremos del intervalo. Sería bueno implementar un método que tome en cuenta este detalle.

Esto da lugar al siguiente método de aproximación de raíces.

37

Diagramas de flujo de bisecciones sucesivas

Lección 4 Método de la Regla falsaLección 4 Método de la Regla falsa

Se trata de encontrar la raíz de una ecuación. La ecuación tiene la forma f(x), es decir, es una función de x. Además, f(x) esta definida en el intervalo [a, b].

Figura. Intervalo de f(x).

38

El método de la interpolación lineal inversa, requiere varias condiciones: 1.- f(a)*f(b) < 0 Es decir, que el producto de la función de x, f(x), evaluada en a, f(a), multiplicada por la función de x, f(x), evaluada en b, f(b), sea negativo (menor a cero). 2.- Que la función f(x) se aproxime por otra función L(x).

f(x) es aproximadamente igual a L(x)

Por tanto encontramos un punto falso c

Donde C es la raíz que se anda buscando

Después se calcula f(C) para ver su valor. Si se obtiene cero, no se debe avanzar más, pero gen caso de no ser así, se realiza lo siguiente: Se calcula f(C)*f(a) si este producto es menor a cero (negativo), entonces ahora C equivaldrá a b, y se repite el cálculo para encontrar una nueva C.

En el caso de que f(C)*f(b) sea la que haya dado el producto menor a cero, o sea negativo, entonces ahora a equivaldrá a C, y se repite el cálculo para encontrar una nueva C.

A este método, se le conoce como: Método de la falsa posición.

EJEMPLO: Encontrar la raíz de f(x)=cosx por el método de la falsa posición en el intervalo [1,2] y Ɛs =0.001.

SOLUCION: a=1, b=2 f(a=1)=cos 1 = 0.5403 f (b=2)=cos 2 = -0.4161 f(a)*f (b) < 0 (0.5403)*(-0.4161) < 0 si hay raíz C_ant= 99999 para arrancar Itera=0 Ɛs =0.001Encontrado= False

fa=f(a=1)=0.5403 fb=f(b=2)=-0.4161

39

fc=f(Cact=1.5649)= cos(1.5649)= 0.005896 f(Cact)= 0.005896 ¿no es igual a 0? no ERA (Cact=1.5649, C_ant = 99999)= 1.5649 - 99999 / 1.5649 Ɛa no es menor a Ɛs

fC*f(a) < 0 (0.005896)*(0.5403) ≠ 0 es diferente a cero a = Cact= 1.5649 b = 2 Itera = 1 C_ant <-- Cact = 1.5649

fa=f(a=1.5649)=0.005896 fb=f(b=2)= -0.4161

f(Cact=1.5709)= cos(1.5709)= - 0.0001036 f(C)= - 0.0001036 no es igual a 0 ERA (C_act=1.5709, C_ant = 1.5649)= (1.5709 - 1.5649) / 1.5709 = 0.0038194 Ɛa no es menor a Ɛs fC*f(a) < 0 (-0.0001036)*(0.005896) < 0 sí es menor a cero a = a =1.5649 b = Cact = 1.5709 Itera = 2 C_ant = 1.5709

f(a=1.5649) = 0.005896 f(b=1.5709)=cos 1.5709 = -0.0001036

f(Cact=1.5707)=cos (1.5707)= -0.00000006629 f(Cact)*f(a) ¿ es igual? no

Raíz = 1.5707

Otra Manera de ver el método:

Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

40

Consideremos nuevamente una gráfica como la anterior,

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica

en el intervalo ba, .

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje x esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.

Supongamos que tenemos una función )(xf

que es contínua en el intervalo ba xx ,

y además, )( axf y

)( bxf tienen signos opuestos.

Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos ))(,( aa xfx

,

))(,( bb xfx. Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:

Por lo tanto la ecuación de la recta es:

Para obtener el cruce con el eje x , hacemos 0y :

41

Multiplicando por ab xx nos da:

Finalmente, de aquí despejamos x :

Este punto es el que toma el papel de rx en lugar del punto medio del método de bisección.

Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:

Sea )(xf continua,

i) Encontrar valores iniciales ax , bx tales que )( axf y

)( bxf tienen signos opuestos, es decir,

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:

iii) Evaluar )( rxf . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

42


)( rxf tienen signos opuestos, y

por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo ra xx ,

.


)( rxf tienen el mismo signo, y

de aquí que )( rxf y )( bxf tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz

se encuentra en el intervalo br xx ,

.

En este caso se tiene que 0)( rxf y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Ejemplo

Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de xexf x ln)(

,

comenzando en el intervalo 2,1

y hasta que %1a .

SOLUCIONEste es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que

)(xf es contínua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el método de la regla falsa.

Calculamos la primera aproximación:

43

Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el proceso.

Así pues, evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos:

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 397410482.1,1 . Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:

En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.

Evaluamos 0011654346.0)321130513.1()(

2 fxf r , y hacemos la tabla de

signos:

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 321130513.1.1 , con el cual, podemos calcular la nueva aproximación:

44

Y el error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluimos que la aproximación buscada es:

Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la raíz, a diferencia de la lentitud del método de la bisección.

Ejemplo:

Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de 1arctan)( xxxf

, comenzando en el intervalo 1,0 y hasta que %1a .

SOLUCIONEste es el mismo ejemplo 2 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que se cumplen las hipótesis necesarias para poder aplicar el método, es decir,

que )(xf sea contínua en el intervalo dado y que )(xf tome signos opuestos en los extremos de dicho intervalo.

Calculamos pues, la primera aproximación:

Como solamente tenemos una aproximación, debemos avanzar en el proceso.

Evaluamos

0070662953.05600991535.0)5600991535.0arctan()(1

rxf

45


De lo cual vemos que la raíz se localiza en el intervalo 5600991535.0,0 .

Así pues, calculamos la nueva aproximación:

Y calculamos el error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, seguimos avanzando en el proceso.

Evaluamos

000511533.015231330281.0)5231330281.0arctan()(2

rxf.


De los cual vemos que la raíz se localiza en el intervalo 5231330281.0,0 , con el cual podemos calcular al siguiente aproximación:

Y el siguiente error aproximado:

46

Como se ha cumplido el objetivo, concluimos que la aproximación buscada es:

Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del método de la regla falsa contra la lentitud del método de la bisección.

Por supuesto que puede darse el caso en el que el método de la regla falsa encuentre la aproximación a la raíz de forma más lenta que el método de la bisección. Como ejercicio, el estudiante puede aplicar ambos métodos a la función

1)( 6 xxf , comenzando en el intervalo 5.1,0 , donde notará que mientras que

el método de bisección requiere de 8 aproximaciones para lograr que %1a , el

método de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones.

47

Figura. Diagramas de flujo de la Interpolación lineal inversa

48

Lección 5Lección 5 Método de Newton-Raphson Método de Newton-Raphson

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximación ix a la raíz rx de )(xf ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto )(, ii xfx

; ésta cruza al eje x

en un punto 1ix que será nuestra siguiente aproximación a la raíz rx .

Para calcular el punto 1ix , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos 0y :

49

Y despejamos x :

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

, si

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que 0)( ixf , el método no se puede

aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto, a

menos que coincida con éste, en cuyo caso ix mismo es una raíz de )(xf!

Ejemplo

Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de xexf x ln)( ,

comenzando con 10 x

y hasta que %1a .

SOLUCIONEn este caso, tenemos que

50

De aquí tenemos que:

Comenzamos con 10 x

y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.1 1.268941421 21.19%1.309108403 3.06%1.309799389 0.052%

De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:

Ejemplo Usar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de

1arctan)( xxxf, comenzando con

00 x y hasta que

%1a .

SOLUCIONEn este caso, tenemos que

51

La cual sustituímos en la fórmula de Newton-Raphson para obtener:

Comenzamos sustituyendo 00 x

para obtener:

En este caso tenemos un error aproximado de

%100%1005.0

05.0

a

Continuamos con el proceso hasta lograr el objetivo. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:


0 0.5 100%0.5201957728 3.88%0.5202689918 0.01%

De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:

Ejemplo Usar el método de Newton-Raphson para aproximar raíces cuadradas de números reales positivos.

52

SOLUCION

Sea 0R . Queremos calcular x tal que Rx ; elevando al cuadrado Rx 2, o

bien:

02 Rx

Esto nos sugiere definir la función Rxxf 2)( de donde xxf 2)( . Al sustituir

estos datos en la fórmula de Newton-Raphson nos da:

i

iii x

Rxxx

2

2

1

La cual simplificada nos da:

iii x

Rxx

2

11

Esta fórmula era conocida por los antiguos griegos (Herón).

Para fijar un ejemplo de su uso, pongamos 26R y apliquemos la fórmula

obtenida, comenzando con50 x

. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.5 5.1 1.96%5.099019608 0.019%5.099019514 0.0000018%

De lo cual concluímos que 099019514.526 , la cual es correcta en todos sus dígitos!

La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raíces n -ésimas de números reales positivos.

Observe que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace de una forma muy rápida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuye

53

a pasos agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los métodos que hemos estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisión la rapidez ó lentitud del método en estudio.

El método de Newton-Raphson o simplemente el método de Newton, es uno de los métodos numéricos para resolver un problema de búsqueda de raíces f(x)=0 más poderosos y conocidos.

Figura. Aproximaciones con tangentes sucesivas.

Esta figura muestra como se obtienen las aproximaciones usando tangentes sucesivas. Comenzando con la aproximación inicial xo, la aproximación x1 es la intersección con el eje x de la línea tangente a la gráfica de f en (xo, f(xo)). La aproximación x2 es la intersección con el eje de las x de la línea tangente a la gráfica de f en (x1, f(x1)) y así sucesivamente.

Figura. Aproximaciones conociendo los valores xI´s.

54

m=tanθ =f´(x) pendiente de la recta que pasa por (xi, f (xi)).

m=tanθ = Cateto opuesto / Cateto adyacente =

Lo que en realidad se desea saber es cuanto vale xi+1 para tomarlo en cuenta para la siguiente iteración, y así seguiría sucesivamente, hasta obtener la raíz.

Ejemplo: Encontrar la raíz de f(x)=x5+x2=9 con un valor inicial de xo=1.5 y Ɛs = 0.001.

SOLUCION: f(x)= x5+x2-9 f´(x)= 5*x4+2*x f(xo=1.5)= (1.5)5+(1.5)2 - 9 = 0.84375 f´(xo=1.5)=5* (1.5)4+2*(1.5)= 28.3125 x1 = xo - f(xo) / f´(xo)= 1.5 - (0.84375 / 28.3125) = 1.4701986755

ERA (x1, xo)= (que no es menor a Ɛs)

f(x1 =1.4701)= (1.4701)5+(1.4701)2 - 9 = 0.03027251527 f´( x1 =1.4701)=5*(1.4701)4+2*(1.4701)= 26.300465906 x2 = x1 - f(x1) / f´(x1)= 1.4701 - (0.03027 / 26.3004) = 1.4690476496

ERA (x2, x1)= (que no es menor a Ɛs )

f(x2 =1.469)= (1.469)5+(1.469)2 - 9 = 0.0004339341 f´( x2 =1.469)=5*(1.469)4+2*(1.469)= 26.2250948663 x3 = x2 - f(x2) / f´(x2)= 1.469 - (0.00043 / 26.2250) = 1.46903110316

55

ERA (x3, x2)= (que sí es menor a Ɛs ) Raíz x3=1.46903110316

Fallas del método de Newton-Raphson 1.- El método es atrapado por una raíz imaginaria f(x).

Figura. Falla 1 de Newton-Raphson

2.- Cuando la raíz es un punto de inflexión.


3.- El método ¨cae¨ en un punto máximo o mínimo (o en sus cercanías).

56


Ejemplo Encontrar la raíz de f(x)=ex-3*x=0 que se encuentra en [0,1] usando xo=0 y el método de Newton con una Ɛs =0.001.

SOLUCION: f(x)= ex-3*x

recordemos que f´(x)= ex-3

sustituyendo para x1 con xo=0

ERA (x1=0.5, xo=0)= (es mayor a )

ERA (x2=0.6101, x1=0.5)= (es mayor a

ERA (x3=0.618997350866, x2=0.6101)= (es mayor a Ɛs ) x4= x3 - (ex3-3* x3 / ex3-3 = 0.6189 - (e0.6189-3* (0.6189) / e0.6189-3)= 0.619028039928 ERA (x3=0.6190280399928, x2=0.6189)

< Ɛs =0.001 Raíz=x4=0.619023039928

EJEMPLO:

La siguiente fórmula se aplica a un vertedor con contracciones:

Q=3.33*(B-0.2*H)*(H3)1/2

Donde: Q - Cantidad de agua que pasa por le vertedor en pies3/seg B - Ancho del vertedor en pies

57

H - Carga sobre la cuesta del vertedor en pies. Si B=3 ; Q=12 entonces cual es el valor de H=¿?. Calcular por el método de Newton-Raphson con Ɛs =0.001 y Ho=B/2

SOLUCION: 12=3.33*(3-0.2*H)*( H3)1/2 f(H)=12 - 3.33*(3-0.2*H)*( H3)1/2 = 0 f´(H)= - 3.33*(3-0.2*H)*(1/2)*( H3)-1/2 (3*H2)+ ( H3)1/2*(-3.33)*(-0.2) f´(H)=-3.33*(3)*(1/2)*(H)-3/2(3*H2)*(-3.33)*(-0.2H)*(1/2)*(H)-

3/2(3*H2)+(3.33)*(0.2)*(H3/2) f´(H)=-14.985*H1/2+0.99*H*H-3/2*H2+0.666*H3/2 f´(H)=-14.985*H1/2+1.665*H3/2 f(H)=12-3.33*(3-0.2H)*(H3)1/2 f´(H)=-14.985*H1/2+1.665*H3/2

Hi+1 = Iniciar con Ho=B/2, Ho=3/2, Ho=1.5

i Hi f(Hi) F´(Hi) Hi+1 ERA

0 1.5 -4.51 -15.32 1.20517 -

1 1.20517 -0.16 -14.26 1.19362 9.5837x10-3

2 1.19362 -0.000278

-14.20 1.19360 0.000016756

la raíz es H2=1.19360.

Lección 6 Iteración o método iterativo de punto fijoLección 6 Iteración o método iterativo de punto fijo y Ejercicios de la Unidady Ejercicios de la Unidad

Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma

Si la ecuación es , entonces puede despejarse ó bien sumar en

ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.

58

Este método sirve para encontrar las raíces de una ecuación y consiste en los siguientes pasos: 1.- Nos deben dar la función a la cual le debemos encontrar la raíz, es decir, debemos conocer f(x)=0. Ejemplo: f(x)= 0.5*x - 4 = 0 2.- Nos deben de dar un valor inicial xo. Ejemplo xo = 0. 3.- De la función f(x) debemos de despejar x de manera que encontremos una nueva función de x llamada ahora g(x). Ejemplo: (2/2)*x - (1/2)*x - 4 = 0 donde (1/2)*x no se altera x - (1/2)*x - 4 = 0 → x = (1/2)*x + 4 g(x) = x = (1/2)*x + 4 4.- Se deriva la función g(x). En el caso de que el valor absoluto de la derivada de g(x) sea menor a uno, se asegura que el despeje realizado funcione.

si 5.- Luego se evalúa g(x) utilizando primero xo. El resultado de esta evaluación se convierte en el nuevo valor de x y así se continúa hasta encontrar la raíz deseada desde luego, satisfaciendo un error deseado.

SOLUCION: xo = 0 , Ɛ = 0.001 x1 = (xo/2) + 4 = 0 + 4 = 4 ERA (x1,xo) → x2 = (x1/2) + 4 = 6 ERA (x2,x1) x3 = (x2/2) + 4 = 7 ERA (x3,x2) x4 = (x3/2) + 4 =7.5 ERA (x4 = 7.5, x3= 7)

(que no es menor a Ɛs) x5 = (x4/2) + 4 = 7.75 ERA (x5,x4) x6 = (x5/2) + 4 = 7.875

ERA (x6, x5)= (que no es menor a Ɛs) x7 = (x6/2) + 4 = 7.9375 ERA (x7, x6) x8 = (x7/2) + 4 = 7.96875

ERA (x8,x7)= (que no es menor a Ɛs) x9 = (x8/2) + 4 = 7.984375

59

ERA (x9,x8)= (que no es menor a Ɛs) x10 = (x9/2) + 4 = 7.9921875

ERA (x10,x9)=

Raíz = x10 = 7.9921875 (tiende a 8) El número 7.9921 se le llama punto fijo de g(x), sin importar cual sea el xo. El punto fijo de g(x) es la raíz de f(x). Ejemplo: Sea f(x) = x + 4 = 0 y xo = 0 Encontrar una raíz por el método iterativo del punto fijo. Hagamos un posible despeje: 2*x - x + 4 = 0 x = 2*x + 4 → g(x) = 2*x + 4 g(x) = 2 donde g(x) no es menor a 1, por lo tanto, no se asegura que este despeje sirva: Probemos: xo=0 x1=2*(0)+4=4 x2=2*(4)+4=12 x3=2*(12)+4=28 x4=2*(28)+4=60 x tiende al infinito de manera tal que no vamos a encontrar ninguna raíz, desde luego comenzando con xo=0. Al analizar f(x)=x+4=0. Vemos que la solución es x+4=0 → x= -4. Y desde luego, si iniciáramos con la solución, es decir, que xo= -4, si tenderíamos a encontrar la solución. Sin embargo, el método trata de que dado un valor inicial que no sea la solución, se encuentre la solución. xo = -4; x1=2*(-4)+4 → x1= -4 Sea f(x) = x+4 = 0 con xo=0 2*x - x + 4 = 0 → x = 2*x + 4 → g(x) = 2*x + 4 g´(x)= 2 que es mayor a 1 g(x) no es menor que 1 y por lo tanto no se asegura que este despeje sirva. Probemos Con xo=0 x1=2*xo+4=2*(0)+4=4 x2=2*x1+4=2*(4)+4=12 x3=2*x2+4=2*(12)+4=28 x4=2*x3+4=2*(28)+4=60 x tiende al infinito de manera tal que no vamos a encontrar ninguna raíz. Intentemos otro despeje: f(x)=x+4=0 se despeja con respecto a (3/2)x

60

(3/2)*x - (1/2)*x + 4 = 0 (3/2)*x=(1/2)*x - 4 x= (2/3)*(1/2)*x - (2/3)*(4)=(1/3)*x - (8/3) g(x)=(1/3)*x - (8/3)

checando que (1/3) < 1 se asegura que el despeje realizado si sirve. Probemos con xo=0 x_ant =xo=0 x_act = (x_ant / 3) - 2.66 = 0 - 2.66 = -2.66 ERA (x_act = -2.66, x_ant = 0)

x_ant = x_act = -2.66 Itera=1

x_act = (-2.66/ 3) - 2.66 = -3.5466 ERA (x_act =-3.5466, x_ant = -2.66)

(que no es menor a Ɛs) x_ant = x_act = -3.5466 Itera=2






61



(que no es menor a Ɛs ) x_ant = x_act = -3.9845 Itera=6


(que si es menor a Ɛs ) Raíz = -3.9881 Esto tiende al número -4. Al número -4 se le llama punto fijo de g(x), sin importar cual sea el xo. El punto fijo de g(x) es la raíz de f(x).

Otros Ejemplos:

1) La ecuación se puede transformar en .

2) La ecuación se puede transformar en .

Dada la aproximación , la siguiente iteración se calcula con la fórmula:

Supongamos que la raíz verdadera es , es decir,

Restando las últimas ecuaciones obtenemos:

62

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si es contínua

en y diferenciable en entonces existe tal que

.

En nuestro caso, existe en el intervalo determinado por y tal que:

De aquí tenemos que:

O bien,

Tomando valor absoluto en ambos lados,

Observe que el término es precisamente el error absoluto en la

ésima iteración, mientras que el término corresponde al error absoluto en

la ésima iteración.

Por lo tanto, solamente si , entonces se disminuirá el error en la

siguiente iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.

En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si

para en un intervalo que contiene a la raíz y donde es contínua y

diferenciable, pero diverge si en dicho intervalo.

Analicemos nuestros ejemplos anteriores:

63

En el ejemplo 1, y claramente se cumple la condición de

que . Por lo tanto el método sí converge a la raíz.

En el ejemplo 2, y en este caso,

. Por lo tanto, el método no converge a la raíz.

Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de

, comenzando con y hasta que .

SoluciónComo ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.

Aplicando la fórmula iterativa tenemos,

Con un error aproximado de

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,

Y un error aproximado de .

Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:

Con un error aproximado igual al .

64

Ejemplo 2Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de

, comenzando con y hasta que .

SoluciónSi despejamos la del término lineal, vemos que la ecuación equivale a

de donde,

En este caso, tenemos que . Un vistazo a la gráfica,

Nos convence que , para , lo que es suficiente para deducir que

el método sí converge a la raíz buscada.

Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado del 100%.

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:

65

Con un error aproximado igual al 28.41%.

En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:


0 -0.2 100% -0.1557461506 28.41% -0.1663039075 6.34% -0.163826372 1.51% -0.164410064 0.35%

De donde vemos que la aproximación buscada es:

66

Figura. Diagramas de flujo del método de iteración.

Ejemplo: Encontrar una raíz por el método iterativo del punto fijo.

Solución: f(x)=x*ex - 1 = 0 empezar con xo=0 y un Epsilon=0.001 x*ex = 1 x= 1 / ex x= e-x g(x)= e-x g´(x)= e-x *[d(-x)/ dx] si se cumple

67

Para x=0 que no es menor que 1 no se cumple

Por lo tanto vemos que pasa con x>0 y x<0:

ejecute;(x)= - e-x

Por ejemplo para:

x=10 si se cumple

no se cumple. Esto asegura que el despeje hecho si funciona para valores de x0. Probemos: Dado que xo=0 → se debe empezar con otro valor como xo=0.1 ó xo=1 y con la ecuación iterativa xact=e-xant x1=1 x2=e-1=0.367879441171 x3=e-x2 =0.692200627556 x4=e-x3=0.500473500563 x5=e-x4=0.606243535086 x6=e-x5=0.545395785975 x7=e-x6=0.579612335503 x8=e-x7=0.560115461361 x9=e-x8=0.57114311508 x10=e-x9=0. 564879347391 x11=e-x10=0.568428725029 x12=e-x11=0. 566414733147 x13=e-x12=0.567556637328 x14=e-x13=0.566908911922 x15=e-x14=0.567276232175

Esto tiende a converger al número 0.5673 Al número 0.567276232175 se le llama punto fijo de g(x), sin importar cual sea el xo. El punto fijo de g(x) es la raíz de f(x).

EJEMPLO: Encontrar una raíz para f(x)=5*x2-4*x-7 por el método iterativo del punto fijo dentro del intervalo (- 0.9,- 0.8).

68

Solución: Propongamos primero una función g(x) 5*x2-4*x=7 factorizando a x y trabajando con respecto a la x que se factorizó: x(5x-4)=7 y despejando a x x = 7 / (5*x - 4) g(x)=7 / (5*x - 4) dg(x) / dx = d/dx(7 / (5*x-4) = (d/dx)(7*(5*x-4)-1) g´(x)=7*[(-1)*(5*x-4)-1-1((d/dx)(5*x-4))] g´(x)=7[(-1)(5*x-4)-2(5-0)]

g´(x)=(7*(-1)*(5)) / (5*x-4)2 = -35 / (5*x-4)2 Probemos para los límites del intervalo dado para -0.9.

Ahora probemos para -0.8.

Por lo tanto el despeje propuesto, es decir g(x) si nos sirve.

Encontremos el punto fijo de g(x) es decir la raíz de f(x). Además de percatarnos que no es necesario un intervalo sino un solo valor de arranque, por lo que se trabajará con el valor inicial de xo=-0.85 el cual se encuentra dentro del intervalo

(-0.9,-0.8).

xo= -0.85 x1=7 / (5*xo-4) = -0.848484848486 x2=7 / (5*x2-4) = -0.849264705882 x3=7 / (5*x2-4) = -0.8488631129735 x4=7 / (5*x3-4) = -0.849069868054 x5=7 / (5*x4-4) = -0.848963423031 El valor tiende a -0.849 punto fijo de g(x) y raíz de f(x).

EJEMPLO: Encontrar una raíz para f(x)=x2-x-2 por el método iterativo del punto fijo cuyas raíces son (-1,2) Propongamos varias funciones de g(x) y veamos cuales de ellas si nos pueden servir: 1) respecto a la segunda x2-x-2=0 x2-2=x g1(x)=x= x2-2

69

2) respecto a x2 x2-x-2=0 x2=2+x x= ±(2+x)1/2 2) g2(x)= -(2+x)1/2 3) g3(x)= (2+x)1/2 4) respecto a x2 x2-x-2=0 x2=x+2 se despeja con respecto a x*x x*x=x+2 x=1 + 2/x g4(x)= 1+2/x 5) factorizamos a x x2-x-2=0 x*(x-1)-2=0 x*(x-1)=2 x=2 / (x-1) g5(x)= 2 / (x-1) Probemos si g1(x) nos puede servir para encontrar las dos raíces (-1,2). g1(x)=x2-2 g1´(x)=2*x

2*x < 1 x < 1 / 2 Esto quiere decir que el despeje propuesto nos va a servir para encontrar la raíz con x que sea una sola palabra sea menor a 0.5. Probemos con xo=0 xAct=xAnt-2 x1= xo

2-2 x1=-2 x2= x1

2-2=(-2)2-2=2 x3= (-2)2-2=2 2 es el punto fijo de g(x) y es la raíz de f(x).

Como sabemos que una raíz es 2 veamos si 1.5 lo aproxima: Probemos con xo=1.5 x1= (1.5)2-2 x1=0.25 x2= x1

2-2=-1.9375 x3= x2

2-2=1.75390625 x4= x3

2-2=1.0768713379 No tiende a alguna convergencia. Esto demuestra que debe respetarse que x< (1/2) para esta ecuación iterativa. Probemos ahora g2(x)

70

g2(x)=-(2+x)1/2 g2

1(x)=-(1/2)* (2+x)-1/2

(1/2)* (2+x)-1/2< 1 (2+x)1/2 esta dividiendo y pasa multiplicando: 1 / (2*(2+x)1/2)< 1 1/2 < (2+x)1/2 elevo al cuadrado y reacomodo para despejar a x: 2+x > 1/4 x > 1/4 - 2 x > 1/4 - 8/4 x > -7/4 x > -1.75

Figura. Raíces en el plano cartesiano

Esto lo que quiere decir es que el despeje propuesto g2(x), nos debe de servir para poder encontrar las dos raíces -1 y 2. Probemos con xo=0 en g2(x): xAct=-(2+xAnt)1/2 Ecuación iterativa x1= -(2+xo)1/2=-1.41421356237 x2= -(2+x1)1/2=-0.765366864732 x3= -(2+x2)1/2=-1.11114046604 x4= -(2+x3)1/2=-0.94279347365 x5= -(2+x4)1/2=-1.02820548839 x6= -(2+x5)1/2=-0.9857 tiende a -1, punto fijo de g(x) y raíz de f(x). Probando con xo=0 en g3(x): xAct=(2+xAnt)1/2 Ecuación iterativa x1= (2+xo)1/2=1.41421356237 x2= (2+x1)1/2=1.84775906502 x3= (2+x2)1/2=1.96157056081 x4= (2+x3)1/2=1.99036945335 tiende a 2, punto fijo de g(x) y raíz de f(x). Por lo tanto xo si nos sirve para encontrar las dos raíces.

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Probando con g4(x): g4(x)=1 + 2/x g4´(x)=2*(-1) / x2 g4´(x)= -2 / x2

x2 > 2 x > 21/2 x > 1.4142 Esto quiere decir que el despeje hecho, nos podrá servir para encontrar la raíz mayor a 1.4142 o sea para encontrar la raíz. Probemos ahora g5(x): Se desea saber si ¿este despeje es válido para encontrar la raíz de -1? O bien ¿este despeje es válido para encontrar la raíz 2? g5(x)= 2 / (x-1) = 2*(x-1)-1 g5´(x)=2*(-1)*(x-1)-2 dx/dx g5´(x)= -2 / (x-1)2

Probemos sí esto fuese válido para encontrar la raíz igual a -1.

Y el despeje propuesto, si nos sirve para encontrar esta raíz. Ahora probemos si el despeje de g5(x), nos sirve para encontrar la raíz igual a 2.

Y el despeje propuesto, no nos sirve para encontrar la segunda raíz.

72

Figura. Formas de convergencia.

73

EJERCICIOS

NOTA: Usa todos los dígitos en tu calculadora para que la aproximación sea lo más exacta posible.

1. Usa el método de bisección para aproximar la raíz de

comenzando en el intervalo y hasta que .

Solución: .

2. Usa el método de bisección para aproximar la raíz de


Solución: .

3. Usa el método de la regla falsa para aproximar la raíz de


Solución: .

4. Usa el método de la regla falsa para aproximar la raíz de


Solución: .

5. Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de

comenzando con y hasta que .

Solución: .

6. Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de ,


Solución: .

74

7. Usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de


Solución: .

8. Usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de


Solución: .

75

UNIDAD II:“SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, NO

LINEALES E INTERPOLACION”

ECUACIÓN ALGEBRÁICA LINEAL

Es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:

Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3,..., Xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13,..., a1n y el término independiente C1, son constantes reales.

Diagrama de flujo del cálculo de cofactores.

76

SISTEMA DE ECUACIONES

Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En los sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:

Aplicando la definición de producto entre matrices, este sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas puede escribirse en forma matricial.

(3)

Este sistema de ecuaciones puede escribirse simbólicamente como:

A X = C (4)

En donde A se llama Matriz del Sistema. La matriz formada por A, a la que se le ha agregado el vector de términos independientes como última columna, se le llama la Matriz Ampliada del Sistema, que se representa con (A, C).

Entonces la matriz ampliada será:

(5)

CAPITULOCAPITULO 3: SOLUCION DE SISTEMAS DE 3: SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONESECUACIONES

77

Método de eliminaciónMétodo de eliminación

Es un conjunto de valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema.

De acuerdo con su solución, un sistema puede ser: Consistente, si admite solución; o Inconsistente, si no admite solución.

Un sistema Consistente puede ser: Determinado, si la solución es única o Indeterminado, si la solución no es única. En este caso se demuestra que existe una infinidad de soluciones.

Teoremas sobre rangos

El rango de una matriz es el orden de determinante no nulo de mayor orden que puede obtenerse de esa matriz. El rango de la matriz A se representa con la notación r(A) y el de la matriz ampliada con r(A, C).

En álgebra se demuestra que:

1. Para cualquier sistema, 2. Si r(A) < r(A, C) el sistema es inconsistente 3. Si r(A) = r(A, C) el sistema de ecuaciones es consistente

En este caso, si además r(A) = n, el sistema es determinado e indeterminado si r(A) < n, siendo n el número de variables en el sistema.

En general, hay dos tipos de técnicas numéricas para resolver ecuaciones simultáneas: Directas, que son finitas; e Indirectas, que son infinitas.

Naturalmente, ninguna técnica práctica puede ser infinita. Lo que queremos decir es que en un principio los métodos directos (despreciando errores por redondeo) producirán una solución exacta, si la hay, en un número finito de operaciones aritméticas.

Por otra parte, un método indirecto requerirá en principio un número infinito de operaciones aritméticas para producir una solución exacta. Dicho de otra manera, un método indirecto tiene un error por truncamiento mientras que un método directo no lo tiene.

Sin embargo, la expresión "en principio" del párrafo anterior es crucial: en realidad se tienen errores por redondeo. Tendremos que considerar más cuidadosamente esta cuestión. En un sistema grande, mal comportado, los errores por redondeo de un método directo puede hacer que la "solución" carezca de sentido. A pesar de

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su error teórico por truncamiento, un método indirecto puede ser mucho más deseable porque en él los errores por redondeo no se acumulan.

Lección 7 Método de eliminación Lección 7 Método de eliminación

El primer método que se presenta usualmente en álgebra, para la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones. Este método se conoce como Método de Eliminación. Se denomina eliminación Gaussiana si en el proceso de eliminación se utiliza el esquema particular atribuido a Gauss.

Utilizando el método de Gauss, un conjunto de n ecuaciones con n incógnitas se reduce a un sistema triangular equivalente (un sistema equivalente es un sistema que tiene iguales valores de la solución), que a su vez se resuelve fácilmente por "sustitución inversa"; un procedimiento simple que se ilustrará con la presentación siguiente.

El esquema de Gauss empieza reduciendo un conjunto de ecuaciones simultáneas, tal como se muestra en (2), a un sistema triangular equivalente como:

(6)

En el cual los superíndices indican los nuevos coeficientes que se forman en el proceso de reducción. La reducción real se logra de la siguiente manera:

1. La primera ecuación (2) se divide entre el coeficiente de X1 en esa ecuación para obtener:

(7)

2. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la segunda ecuación (2) y la ecuación que resulta se resta de la misma, eliminando así X1. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la tercera

79

ecuación (2), y la ecuación resultante se resta de la misma para eliminar X1

de esa ecuación. En forma similar, X1 se elimina de todas las ecuaciones del conjunto excepto la primera, de manera que el conjunto adopta la forma:

(8)

3. La ecuación utilizada para eliminar las incógnitas en las ecuaciones que la siguen se denomina Ecuación Pivote. En la ecuación pivote, el coeficiente de la incógnita que se va a eliminar de las ecuaciones que la siguen se denomina el Coeficiente Pivote (a11 en los pasos previos).

4. Siguiendo los pasos anteriores, la segunda ecuación (8) se convierte en la ecuación pivote, y los pasos de la parte 1 se repiten para eliminar X2 de todas las ecuaciones que siguen a esta ecuación pivote. Esta reducción nos conduce a:

(9)

5. A continuación se utiliza la tercer ecuación (9) como ecuación pivote, y se usa el procedimiento descrito para eliminar X3 de todas las ecuaciones que siguen a la tercer ecuación (9). Este procedimiento, utilizando diferentes ecuaciones pivote, se continúa hasta que el conjunto original de ecuaciones ha sido reducido a un conjunto triangular tal como se muestra en la ec. (6).

6. Una vez obtenido el conjunto triangular de ecuaciones, la última ecuación de este conjunto equivalente suministra directamente el valor de Xn (ver ec. 6). Este valor se sustituye entonces en la antepenúltima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor de Xn-1, que a su vez se utiliza junto con el valor de Xn en la penúltima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor Xn-2 y asi sucesivamente. Este es el procedimiento de sustitución inversa al que nos referimos previamente. Para ilustrar el método con un conjunto numérico, apliquemos estos procedimientos a la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

80

Utilizando como ecuación pivote la primera ecuación (el coeficiente pivote es unitario), obtenemos:

A continuación, utilizando la segunda ecuación del sistema (11) como ecuación pivote y repitiendo el procedimiento, se obtiene el siguiente sistema triangular de ecuaciones:

De la tercera ecuación del sistema (12) obtenemos el valor de , que al reemplazarlo en las otras ecuaciones se obtienen los valores de y

DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

1. División entre cero

Una de sus desventajas es que durante el proceso en las fases de eliminación y sustitución es posible que ocurra una división entre cero. Se ha desarrollado una estrategia del pivoteo para evitar parcialmente estos problemas. Ésta se deja como investigación al alumno.

2. Errores de redondeo

La computadora maneja las fracciones en forma decimal con cierto número limitado de cifras decimales, y al manejar fracciones que se transforman a decimales que nunca terminan, se introduce un error en la solución de la computadora. Este se llama error por redondeo.

Cuando se va a resolver solamente un pequeño número de ecuaciones, el error por redondeo es pequeño y generalmente no se afecta sustancialmente la precisión de los resultados, pero si se van a resolver simultáneamente muchas ecuaciones, el efecto acumulativo del error por

81

redondeo puede introducir errores relativamente grandes en la solución. Por esta razón el número de ecuaciones simultáneas que se puede resolver satisfactoriamente con el método de eliminación de Gauss, utilizando de 8 a 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas, se limita generalmente a 15 o 20.

3. Sistemas mal condicionados

La obtención de la solución depende de la condición del sistema. En sentido matemático, los sistemas bien condicionados son aquellos en los que un cambio en uno o más coeficientes provoca un cambio similar en la solución. Los sistemas mal condicionados son aquellos en los que cambios pequeños en los coeficientes provocan cambios grandes en la solución.

Una interpretación diferente del mal condicionamiento es que un rango amplio de respuestas puede satisfacer aproximadamente al sistema. Ya que los errores de redondeo pueden inducir cambios pequeños en los coeficientes, estos cambios artificiales pueden generar errores grandes en la solución de sistemas mal condicionados.

Lección 8 Método de Gauss - JordanLección 8 Método de Gauss - Jordan

Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.

El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3 0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000

82

Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada.

Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:

El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.

En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:

Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:

83

El tercer renglón se normaliza dividiéndolo entre 10.010:

Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener:

Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución.

Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan.

Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el método simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.

Inversión de matrices

Sea A una matriz cuadrada no singular, es decir, que su determinante sea

diferente de cero . Por definición de matriz inversa, se tiene que

Es la inversa de A si:

(13)

Haciendo y sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene

84

A X = I (14)

Puede considerarse que esta ecuación matricial representa un sistema de ecuaciones simultáneas, en donde no hay un solo vector de términos independientes sino n, los n vectores básicos que forman la matriz unitaria I. Además, no existe un solo vector de incógnitas, sino n, los que corresponden a cada columna de la matriz unitaria.

Por lo anterior, es posible determinar la inversa de una matriz con el método de Gauss-Jordan de eliminación completa. Para lograrlo, bastará con aplicar las operaciones elementales sobre los renglones de la matriz ampliada (A, I) de manera de transformar A en I. Cuando se haya hecho, se obtendrá la matriz

ampliada , con lo que se tendrá la inversa buscada.

EJEMPLO

Invertir la matriz

Auméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad

Usando a11 como pivote, el renglón 1 se normaliza y se usa para eliminar a X1 de los otros renglones.

En seguida, se usa a22 como pivote y X2 se elimina de los otros renglones.

85

Finalmente, se usa a33 como pivote y X3 se elimina de los renglones restantes:

Por lo tanto, la inversa es:

Se puede resolver un sistema de ecuaciones con la inversa de la matriz de coeficientes, de la siguiente manera:

Donde C es el vector de términos independientes.

Comparando ambos métodos, es evidente que el método de inversión de matrices no es práctico para la solución de un sólo conjunto (o dos o tres conjuntos) de ecuaciones simultáneas, porque la cantidad de cálculos que intervienen para determinar la matriz inversa es muy grande. Sin embargo, si se desea resolver 20 conjuntos de 10 ecuaciones simultáneas que difieren únicamente en sus términos independientes, una matriz aumentada que contiene 20 columnas de constantes (que se utilizarían en el método de eliminación) sería difícil de reducir, y se podría usar con ventaja el método de inversión de matrices.

Lección 9 Método de Gauss-Seidel y Ejercicios delLección 9 Método de Gauss-Seidel y Ejercicios del CapituloCapitulo

86

El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se conservan en el resultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se pueden manejar se puede incrementar considerablemente a más de 15 o 20, pero este método también es impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos de ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El método de inversión de matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandes de ecuaciones simultáneas.

Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes números de ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método de Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre converge a una solución o de que a veces converge muy lentamente. Sin embargo, este método convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación.

Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la convergencia para alguna combinación de valores de los coeficientes cuando esa convergencia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal.

Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia pero no es condición necesaria. Afortunadamente, las ecuaciones simultáneas lineales que se derivan de muchos problemas de ingeniería, son del tipo en el cual existen siempre coeficientes dominantes.

La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:

1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.

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2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos.

3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes.

4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración.

5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en

una cantidad menor que cierto seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.

Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del seleccionado, mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud del epsilon no especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida en los valores de

las incógnitas para un dado.

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EJEMPLO

Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando

un = 0.001.

0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.303.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.850.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40

SOLUCION:

89

Primero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal estén los coeficientes mayores para asegurar la convergencia.

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.850.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.300.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40

Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal:

Suponemos los valores iniciales X2 = 0 y X3 = 0 y calculamos X1

Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2

La primera iteración se completa sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados obteniendo:

En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:

90

Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración

Como podemos observar, no se cumple la condición

Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman como supuestos para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:

Comparando de nuevo los valores obtenidos

91

Como se observa todavía no se cumple la condición

Así que hacemos otra iteración

Comparando los valores obtenidos

Dado que se cumple la condición, el resultado es:

X1 = 3.0

92

X2 = -2.5

X3 = 7.0

Como se puede comprobar no se tiene un número exacto de iteraciones para encontrar una solución. En este ejemplo, se hicieron 3 iteraciones, pero a menudo se necesitan más iteraciones.

Se deja de investigación al alumno alguna forma que haga que este método converge más rápidamente.

93

EJERCICIOS

NOTA: En todos los ejercicios, redondea tus resultados a cinco decimales.

1. Usa el método de Gauss con pivoteo para resolver el siguiente sistema:

SOLUCION:

2. Usa el método de Gauss con pivoteo para resolver el siguiente sistema:

SOLUCION:

3. Usa el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:

SOLUCION:

4. Usa el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:

94

SOLUCION:

5. Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices usando el método de Gauss-Jordan:

i) ii)

Soluciones:

i)

ii)

6. Usa el método de Gauss-Seidel hasta que %1a

para aproximar la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

95

SOLUCION:

7. Usa el método de Gauss-Seidel hasta que %1a para aproximar la solución

del siguiente sistema de ecuaciones:

SOLUCION:

96

CAPITULOCAPITULO 4: INTERPOLACION 4: INTERPOLACION

INTERPOLACION DE POLINOMIOSINTERPOLACION DE POLINOMIOS

Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El método más común empleado para este propósito es la interpolación polinomial.

Recuerde que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es:

(1)

Para n + 1 puntos, existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden o menor que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es decir un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos. El polinomio de interpolación consiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular los valores intermedios.

Aunque existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos, existen una gran variedad de fórmulas matemáticas mediante las cuales se puede expresar este polinomio. En esta unidad se estudian dos técnicas alternativas que están bien condicionadas para implementarse en una computadora. Estos son los polinomios de Newton y de Lagrange.

97

Lección 10 Polinomios de interpolación deLección 10 Polinomios de interpolación de LagrangeLagrange

../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema2/interp04.html - atras El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas. Este se puede representar concretamente como:

(21)

en donde:

(22)

En donde denota el "producto de".

Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es:

(23)

y la versión de segundo orden es:

(24)

al igual que en el método de Newton, la versión de Lagrange tiene un error aproximado dado por:

98

(25)

La ecuación (21) se deriva directamente del polinomio de Newton. Sin embargo, la razón fundamental de la formulación de Lagrange se puede comprender directamente notando que cada término Li(X) será 1 en X=Xi y 0 en todos los demás puntos.

Por lo tanto, cada producto Li(X) f (Xi) toma un valor de f (Xi) en el punto Xi. Por consiguiente la sumatoria de todos los productos, dada por la ecuación (21) es el único polinomio de n-ésimo orden que pasa exactamente por los n+1 puntos.

Ejemplo 3.4

Úsese un polinomio de interpolación de Lagrange de primer y segundo orden para evaluar ln 2 en base a los datos:

i X f(X)

0 1.0 0.000 0000

1 4.0 1.386 2944

2 6.0 1.791 7595

Solución:

El polinomio de primer orden es:

y, por lo tanto, la aproximación en X = 2 es

de manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como:

99

Como se expresaba, ambos resultados son similares a los que se obtuvieron previamente usando la interpolación polinomial de Newton.

En resumen, para los casos en donde el orden del polinomio se desconozca, el método de Newton tiene ventajas debido a que profundiza en el comportamiento de las diferentes fórmulas de orden superior. Además la aproximación del error dada por la ecuación (20), en general puede integrarse fácilmente en los cálculos de Newton ya que la aproximación usa una diferencia dividida. De esta forma, desde el punto de vista de cálculo, a menudo, se prefiere el método de Newton.

Cuando se va a llevar a cabo sólo una interpolación, ambos métodos, el de Newton y el de Lagrange requieren de un esfuerzo de cálculo similar. Sin embargo, la versión de Lagrange es un poco más fácil de programar. También existen casos en donde la forma de Newton es más susceptible a los errores de redondeo. Debido a esto y a que no se requiere calcular y almacenar diferencias divididas, la forma de Lagrange se usa, a menudo, cuando el orden del polinomio se conoce a priori.

Comentarios adicionales

Hay dos temas adicionales que se deben de mencionar: La interpolación con los datos igualmente espaciados y la Extrapolación.

Ya que los métodos de Newton y de Lagrange son compatibles con los datos espaciados en forma arbitraria, se debe de preguntar por que se aborda el caso de los datos igualmente espaciados. Antes del advenimiento de las computadoras digitales, estos métodos tuvieron gran utilidad en la interpolación de tablas con datos igualmente espaciados. De hecho se desarrolla un esquema conocido como tabla de diferencias divididas para facilitar la implementación de estas técnicas.

Sin embargo, y debido a que las fórmulas son un subconjunto de los esquemas de Newton y Lagrange compatibles con la computadora y ya que se dispone de muchas funciones tabulares como rutinas de biblioteca, la necesidad de puntos equidistantes se fue perdiendo. En particular, se puede emplear en la derivación de fórmulas de integración numérica que emplean comúnmente datos equidistantes.

100

La extrapolación es el proceso de calcular un valor de f(X) que cae fuera del rango de los puntos base conocidos X0, X1,..., Xn. La interpolación más exacta usualmente se obtiene cuando las incógnitas caen cerca de los puntos base.

Obviamente, esto no sucede cuando las incógnitas caen fuera del rango, y por lo tanto, el error en la extrapolación puede ser muy grande. La naturaleza abierta en los extremos de la extrapolación representa un paso en la incógnita porque el proceso extiende la curva más allá de la región conocida. Como tal, la curva verdadera diverge fácilemte de la predicción. Por lo tanto, se debe tener cuidado extremo en casos donde se deba extrapolar.

Lección 11 Lección 11 Polinomios de interpolación conPolinomios de interpolación con diferencias divididas de newtondiferencias divididas de newton

Interpolación lineal

La fórmula más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una línea recta. Este método, llamado Interpolación Lineal, se muestra en la figura.

Fig. 1

101

Usando triángulos semejantes, se tiene:

(2)

Que se puede reordenar como:

(3)

La cuál es la fórmula de interpolación lineal. La notación f1(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término [f(X1) - f(X2)] / (X1 - X2) es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general, entre mas pequeño sea el intervalo entre los puntos, más exacta será la aproximación.

EJEMPLO 3.1

Calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando interpolación lineal.

Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.7917595.

Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde ln 1 a ln 4 = 1.3862944.

Nótese que el valor real de ln 2 = 0. 69314718

SOLUCIÓN:

Evaluando la fórmula de interpolación lineal (3) de X = 1 a X = 6 da:

La cual representa un error porcentual de e% = 48.3 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 1 a X = 4 da:

102

Por lo contrario, usando el intervalo más pequeño reduce el error relativo porcentual a e% = 33.3%

Interpolación cuadrática

../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema2/interp02.html - atras El error en el ejemplo 3.1 se debe a que se aproxima a una curva mediante una línea recta. Por consiguiente, una estrategia que mejora la aproximación es la de introducir cierta curvatura en a línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres puntos lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:

(4)

Nótese que aunque la ecuación (4) parezca diferente de la ecuación general de un polinomio (1), las dos ecuaciones son equivalentes.

Esto se puede demostrar si se multiplican los términos de la ecuación (4) y obtener:

(5)

O, agrupar términos:

(6)

En donde:

(7)

103

De esta manera, las ecuaciones (1) y (4) son fórmulas alternativas equivalentes del único polinomio de segundo grado que une a los tres puntos.

Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para b0, se usa la ecuación (4) con X = X0, y se obtiene

b0 = f(X0) (8)

Sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (4) y evaluando en X = X1 se obtiene:

(9)

Y por último, las ecuaciones (8) y (9) se sustituyen en la ecuación (4), y se evalúa ésta en X = X2 y se obtiene:

(10)

Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aún representa la pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos términos de la ecuación (4) son equivalentes a la interpolación de X0 a X1, como se especificó anteriormente en la ecuación (3). El último término, b2(X-X0) (X-X1), introduce la curvatura de segundo orden en la fórmula.

Ejemplo 3.2

Ajústese el polinomio de segundo orden a los tres puntos usados en el ejemplo 3.1

X0 = 1 f (X0) = 0.0000 000

X1 = 4 f (X1) = 1.3862 944

X2 = 6 f (X2) = 1.7917 595

Úsese el polinomio para evaluar ln 2

SOLUCIÓN:

Aplicando la ecuación (8) da:

104

b0 = 0

la ecuación (9) genera:

Y la ecuación (10) da:

Sustituyendo estos valores en la ecuación (4) se obtiene la fórmula cuadrática:

f 2 ( X ) = 0 + 0.4620981 (X - 1) - 0.05187312 (X - 1) (X - 4)

que se evalúa en X = 2 y se obtiene

f 2 ( 2 ) = 0.5658443

Lo que representa un error porcentual del e% = 18.4%. Por lo tanto, mejora la interpolación comparada con los resultados obtenidos al usar una línea recta (ejemplo 3.1).

Lección 12 Interpolación polinomial de lasLección 12 Interpolación polinomial de las diferencias finitas de newtondiferencias finitas de newton

../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema2/interp03.html - atrasEl análisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-ésimo orden a los n+1 puntos. El polinomio de n-ésimo orden es:

(11)

105

Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráticas, se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes b0, b1,..., bn.

Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: X0, X1,..., Xn.

Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes:

B0 = f (X0)B1 = f [X1, X0]B2 = f [X2, X1, X0] (12)...bn = f [Xn, Xn-1, ..., X1, X0]

En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas.

Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa generalmente como:

(13)

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dos primeras diferencias divididas finitas, se expresa generalmente como:

(14)

De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:

(15)

Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (12), los cuales se sustituyen en la ecuación (11), para obtener el polinomio de interpolación:

106

f n (X) = f(X0) + (X-X0) f[X1, X0] + (X-X0)(X-X1) f[X2, X1, X0] +...+ (X-X0)(X-X1)...(X-Xn-1) f[Xn, Xn-1,...,X1, X0]

(16)

Al cual se le llama Polinomio de Interpolación con Diferencias Divididas de Newton.

Se debe notar que no es necesario que los datos usados en la ecuación (16) estén igualmente espaciados o que los valores de la abscisa necesariamente se encuentren en orden ascendente, como se ilustra en el ejemplo 3.3

Todas las diferencias pueden arreglarse en una tabla de diferencias divididas, en donde cada diferencia se indica entre los elementos que la producen:

I Xi f(Xi) Primera Segunda Tercera

0 X0 f(X0) f(X1, X0) f(X2, X1, X0) f(X3, X2, X1, X0)

1 X1 f(X1) f(X2, X1) f(X3, X2, X1)

2 X2 f(X2) f(X3,X2)

3 X3 f(X3)

EJEMPLO 3.3

Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese ln 2 con un polinomio de interpolación de Newton con diferencias divididas de tercer orden:

X f(X)

1 0.000 0000

4 1.386 2944

107

6 1.791 7595

5 1.609 4379

SOLUCIÓN:

El polinomio de tercer orden con n = 3, es.

Las primeras diferencias divididas del problema son:

Las segundas diferencias divididas son:

La tercera diferencia dividia es:

108

Los resultados para f(X1, X0), f(X2, X1, X0) y f(X3, X2, X1, X0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con b0 = f (X0) = 0.0, la ecuación da:

f 3 (X) = 0 + 0.46209813 (X-1) - 0.0518731 (X-1)(X-4) + 0.0078655415 (X-1)(X-4)(X-6)

Arreglando la tabla de diferencias

X f [X] f 1 [ ] f 2 [ ] f 3 [ ]

1.0 0.00000000 0.46209813 - 0.051873116 0.0078655415

4.0 1.3862944 0.20273255 - 0.020410950

6.0 1.7917595 0.18232160

5.0 1.6094379

Con la ecuación anterior se puede evaluar para X = 2

f 3 (2) = 0.62876869

Lo que representa un error relativo porcentual del e% = 9.3%.

Nótese que la estructura de la ecuación (16) es similar a la expresión de la serie de Taylor en el sentido de que los términos agregados secuencialmente consideran el comportamiento de orden superior de la función representada. Estos términos son diferencias divididas finitas, y por lo tanto, representan aproximaciones a las derivadas de orden superior. En consecuencia, como sucede con la serie de Taylor, si la función representativa es un polinomio de n-ésimo orden, el polinomio interpolante de n-ésimo orden bajado en n + 1 llevará a resultados exactos.

El error por truncamiento de la serie de Taylor es:

(17)

en donde ξ es un punto cualquiera dentro del intervalo (Xi, Xi+1). Una relación análoga del error en un polinomio interpolante de n-ésimo orden está dado por:

109

(18)

En donde ξ es un punto cualquiera dentro del intervalo que contiene las incógnitas y los datos. Para uso de esta fórmula la función en cuestión debe ser conocida y diferenciable. Y usualmente, este no es el caso.

Afortunadamente existe una fórmula alternativa que no requiere conocimiento previo de la función. En vez de ello, se usa una diferencia dividida finita que aproxima la (n+1)-ésima derivada:

Rn = f [X, Xn, Xn-1,..., X1, X0] (X-X0) (X-X1)...(X-Xn) (19)

en donde f(X, Xn, Xn-1, ... , X0) es la (n+1)-ésima diferencia dividida.

Ya que la ecuación (19) contiene la incógnita f(X), ésta no se puede resolver y obtener el error. Sin embargo, si se dispone de un dato adicional f(Xn+1), la ecuación (19) da una aproximación del error como:

(20)

Lección 13 Ajuste de curvasLección 13 Ajuste de curvas

Supongamos que tenemos un conjunto de puntos que mostramos en la siguiente gráfica

110

De los puntos mostrados nos podemos dar cuenta que parece tener la forma de un polinomio de segundo grado de la forma:

(1)

Esta ecuación (1) puede usarse para representar el conjunto de valores obtenidos experimentalmente para la cual debemos determinar los valores de a 1, a 2, a 3, etc.

Para determinar estos valores utilizamos el siguiente procedimiento:

1. Establecer el criterio para determinar la ecuación que represente a los valores (obtenidos experimentalmente).

2. Escribir la ecuación que expresa el error o desviación entre el valor observado y los valores dados por la ecuación.

3. Habiendo obtenido la ecuación del error, minimizar dicho error.

Evaluación del error

Si consideramos las parejas de datos, como se muestra en la gráfica

111

donde:

d = distancia = Yobservada - Y obtenida por la ecuación

Yobservada = Valor obtenido experimentalmente.

Y obtenida por la ecuación = valor de la función evaluada en cualquier valor X

Observando la gráfica, parece que esta distancia se puede usar para representar el error, pero habrá distancias positivas y negativas, (como se puede observar la distancia d1 es positiva y la distancia d2 es negativa) de modo que el error promedio para los puntos como los mostrados será pequeño aunque los errores individuales sean grandes.

Esta dificultad podría ser resuelta usando el valor absoluto de las distancias, sin embargo al derivar la función del valor absoluto se generan ciertos problemas.

La solución podría ser definir el error como el cuadrado de la distancia, esto elimina la dificultad del signo. Por esta razón el método se llama: Método de Mínimos Cuadrados.

(2)

En donde S es la suma de los cuadrados de las diferencias entre el valor calculado y el valor observado y por lo tanto es el valor que se debe minimizar

112

(3)

Siendo el caso de que la curva supuesta es una ecuación de segundo grado, se tiene la ecuación:

(4)

Para minimizar la función anterior, derivando parcialmente con respecto a a 1, a 2 y a 3 e igualando a cero:

(5)

(Obsérvese que las variables son a 1, a 2 y a 3, mientras que Yi, X i son constantes)

Las ecuaciones se pueden expresar de acuerdo como sigue:

(6)

113

Lo anterior lo podemos expresar en forma matricial:

(7)

La fórmula general para un polinomio de grado n en donde hay m parejas de datos es:

(8)

Como se puede observar el problema consiste en lo siguiente:

1. Obtener la matriz de coeficientes.

114

2. Resolver el sistema de ecuaciones resultantes.

Recordando que:

1. Si n es el grado del polinomio, hay n+1 valores de la matriz de coeficientes y n+1 ecuaciones.

2. El máximo exponente de X en los términos de la sumatoria de 2n puede ser que los datos no representen un polinomio de 2o grado sino que representen uno de 3o y 4o grados.

El ajuste de curvas es un procedimiento de tanteo y error, si una curva no representa los datos, entonces se intenta con un polinomio de grado superior.

EJEMPLO:

X Y X Y

0.00 0.0000 0.60 0.6367

0.10 0.1002 0.70 0.7586

0.20 0.2013 0.80 0.8881

0.30 0.3045 0.90 1.0265

0.40 0.4108 1.00 1.1752

0.50 0.5211

De la tabla de datos, usando Mínimos Cuadrados, determine los polinomios de 2o, 3o y 4o grado; graficar para determinar la curva más aproximada.

SOLUCIÓN

Polinomio de segundo grado

../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema4/minim02.html - atrasPrimero determinamos los coeficientes de la matriz y los elementos constantes. Los elementos de la matriz son:

M =11

115

Los términos constantes son:

De acuerdo con esto, el sistema de ecuaciones a resolver es el siguiente:

Resolviendo por Gauss se obtienen los siguientes resultados.

a1 = 0.006727a2 = 0.895462a3 = 0.265963

y el polinomio de segundo grado es:

116

Polinomio de tercer grado

../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema4/minim02.html - atras Para el caso del polinomio de 3er grado se requiere:

M =11

y el sistema de ecuaciones a resolver es:

117

cuya solución es:

a1 = - 0.000112

a2 = 1.004150

a3 = - 0.019075

a4 = 0.190032

y el polinomio queda:

Polinomio de cuarto grado

../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema4/minim02.html - atras Repitiendo el procedimiento anterior, se obtienen los siguientes resultados

a1 = - 0.000112

a2 = 0.994595

a3 = 0.028713

a4 = 0.113563

a5 = 0.038237

quedando el polinomio como se muestra:

118

Lección 14 Transformadas discretas de fourier.Lección 14 Transformadas discretas de fourier.

La transformada de Fourier

La transformada de Fourier de una función continua e integrable de una variable real x se define por

Observemos que la transformada de una función real es una función compleja. Es decir, F(u)=R(u)+I(u), donde R(u) e I(u) son la parte real e imaginaria de F(u), respectivamente.

La variable u recibe el nombre de variable de frecuencia.

El módulo de F(u), |F(u)|= (R(u)2+ I(u)2)1/2 recibe el nombre del espectro de Fourier.

El cuadrado del espectro se denomina espectro de potencias o densidad espectral de f(x).

Su ángulo P(u)=arctg(I(u)/R(u)) recibe el nombre de fase.

La inversa de la transformada se define como:

119

Análogamente, se define la transformada de Fourier de una función continua e integrable de 2 variables:

y su inversa como

Transformada de Fourier discreta

Sea f(x,y) una imagen en niveles de grises, tal que x=0,1,...,N-1 e

y=0,1,...,N-1; y f(x,y) toma valores discretos representando el nivel de gris del

píxel (x,y) entonces, la transformada discreta de Fourier de la imagen consiste en

una función F(u,v) tal que u=0,1,...,N-1 y v=0,1,...,N-1:

y su inversa como

120

Propiedades de la transformada de Fourier

En este apartado, nos vamos a centrar en las propiedades de la transformada de

Fourier discreta bidimensional (TFD).

La Separabilidad

Esta propiedad de la TFD esta relacionada con la posibilidad de calcular la TFD de

una función bidimensional como una combinación de dos transformadas Fourier

discretas, calculando primero una TFD sobre la variable de uno de los ejes y al

resultado aplicarle de nuevo la TFD sobre la variable del otro eje.

La ventaja que aporta esta propiedad es el hecho de poder obtener la

transformada F(x,y) o la inversa f(x,y) en dos pasos, mediante la aplicación de la

Transformada de Fourier 1-D o su inversa:

donde

Por tanto, la transformada de la matriz f(x,y) se ha realizado, calculando primero la

transformada unidimensional a cada una de sus filas y multiplicando el resultado

121

por N. Posteriormente, se calcula la transformada a cada una de las columnas de

la matriz F(x,v)

La linealidad

La transformada de Fourier y su inversa son transformaciones lineales, es decir,

poseen la propiedad distributiva respecto de la suma.

La traslación

Tanto la transformada discreta de Fourier como la transformada inversa, son

periódicas de periodo N.

Un caso particular de esta propiedad consiste en mover el origen de la transformada de Fourier de f(x,y) al centro de la matriz N X N que le corresponda, es decir al punto (N/2,N/2). Para ello, podemos hacer uso de que:

f(x,y)(-1)x+y se hace corresponder con F(u-n/2,v-N/2)

También cabe resaltar, que un desplazamiento en la función f(x,y), no provocará un cambio en la magnitud de su transformada de Fourier. Véase esto matemáticamente en la siguiente expresión:

La Simetría

La transformada de Fourier de una función f(x,) es real es simétrica conjugada. Esto provoca que:

|F(u,v)|=|F(-u,-v)|

Por tanto, gracias a esta propiedad de simetría, para calcular la magnitud de los puntos de un periodo completo, tan sólo necesitamos calcular los N/2+1 primeros puntos, siempre y cuando el origen de la transformada este centrado en el punto (N/2,N/2).Para conseguir este movimiento del origen en la transformada, podemos aplicar la propiedad de traslación.

122

La rotación

Si rotamos la función f(x,y) un ángulo determinado, la transformada de Fourier también será afectada por una rotación del mismo ángulo. Esta propiedad también se da a la inversa, es decir, si la transformada se rota en un determinado ángulo, la transformada inversa también se verá rotada ese mismo ángulo.

Valor promedio

Una definición ampliamente utilizada del valor promedio de una función discreta de dos dimensiones es:

Esta expresión se puede calcular a partir de la transformada de Fourier, sin más que sustituir en la función F(u,v) para el punto (0,0).Por tanto, el valor promedio se puede expresar matemáticamente en función de la transformada de Fourier, como sigue:

Representación del logaritmo del espectro

El espectro de Fourier suele tener un rango mucho mayor que los usuales para mostrar una imagen. Una técnica usual para evitar esto es considerar el logaritmo del espectro usando la fórmula

D(u,v)=C(log(1+|F(u,v)|))

donde C es una constante adecuada de reescalado de la imagen, que se aplica para obtener valores dentro de la paleta de colores disponible.

123

EJERCICIOS

NOTA: Cuando sea necesario, redondea a cinco decimales.

1. Calcula el polinomio de interpolación de Newton para los siguientes datos:

i) 8.74.235.0

4122

y

x

ii) 129603

5.12.19.06.03.0

y

x

Soluciones:

)1)(2)(2(4625.0)2)(2(925.0)2(875.05.0)() xxxxxxxfi)9.0)(6.0)(3.0(18519.185)6.0)(3.0(50)3.0(103)() xxxxxxxfii

)2.1)(9.0)(6.0)(3.0(53088.447 xxxx

2. Calcula el polinomio de Lagrange para los siguientes datos:

i) 9.857.254.356.1

5321

y

x

ii) 033529

4215.05.1

y

x

Soluciones:

80

)5)(2)(1(57.2

45

)5)(3)(1(54.3

36

)5)(3)(2(56.1)()

xxxxxxxxxxpi

144

)3)(2)(1(9.8

xxx

875.7

)4)(2)(1)(5.1(2

125.3

)4)(2)(1)(5.0(9)()

xxxxxxxxxpii

124

5.4

)4)(1)(5.0)(5.1(33

25.56

)4)(2)(5.0)(5.1(5

xxxxxxxx

3. Calcula las splines cúbicas para los siguientes datos:

i) 20540

312

y

x

i) 406420

7325

y

x

Soluciones:

3,1125.8125.16375.3375.0

1,25.725.145.125.0)()

23

23

xsixxx

xsixxxxsi

7,3

3,2

2,5

)()

263860

789105112

52620933

1578299

13158012

3945156192

263022573

78901241

7895860

78947032

526753

5265

xsixxx

xsixxx

xsixxx

xsii

125

UNIDAD 3: UNIDAD 3: “DIFERENCIACIÓN, INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y“DIFERENCIACIÓN, INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES”SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES”

INTEGRACIÓN NUMÉRICAINTEGRACIÓN NUMÉRICA

Lección 15 Diferenciación NuméricaLección 15 Diferenciación Numérica

Concentremos ahora nuestra atención a procedimientos para diferenciar numéricamente funciones que están definidas mediante datos tabulados o mediante curvas determinadas en forma experimental.

Un método consiste en aproximar la función en la vecindad del punto en que se desea la derivada, mediante una parábola de segundo, tercer o mayor grado, y utilizar entonces la derivada de la parábola en ese punto como la derivada aproximada de la función.

Otro ejemplo, que comentaremos aquí, utiliza los desarrollos en serie de Taylor.

La serie de Taylor para una función Y = f(X) en , desarrollada con respecto al punto Xi es

(1)

en donde Yi es la ordenada que corresponde a Xi y se encuentra

en la región de convergencia. La función para está dada en forma similar por:

(2)

126

Utilizando solamente los tres primeros términos de cada desarrollo, podremos obtener una expresión para Y'i restando la ec. (2) de la ec. (1),

(3)

Fórmulas de diferenciaFórmulas de diferencia(Diferencias centrales, hacia adelante y hacia atrás)(Diferencias centrales, hacia adelante y hacia atrás)

../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema6/derivada.html - atrascuaciones/metodos para clase/tema6/derivada.html - atras

Fig. 1

Observando la figura, vemos que si designamos los puntos uniformemente espaciados a la derecha de Xi como Xi+1 , Xi+2, etc. y los puntos a la izquierda de Xi como Xi-1, Xi-2 , etc. e identificamos las ordenadas correspondientes como Yi+1, Yi+2, Yi-1, Yi-2, respectivamente, la ec. (3) se puede escribir en la forma:

(4)

La ec. (4) se denomina la primera aproximación, por Diferencias Centrales de Y', para X. La aproximación representa gráficamente la pendiente de la recta discontinua mostrada en la figura. La derivada real se representa mediante la línea sólida dibujada como tangente a la curva en Xi.

Si sumamos las ecuaciones (1) y (2) y utilizamos la notación descrita previamente, podemos escribir la siguiente expresión para la segunda derivada:

127

(5)

La ec. (5) es la primera aproximación, por Diferencias Centrales, de la segunda derivada de la función en Xi. Esta expresión se puede interpretar gráficamente como la pendiente de la tangente a la curva en Xi+1/2 menos la pendiente de la

tangente a la curva en Xi-1/2 dividida entre , cuando las pendientes de las tangentes están aproximadas mediante las expresiones:

(6)

es decir,

(7)

Para obtener una expresión correspondiente a la tercera derivada, utilizamos cuatro términos en el segundo miembro de cada una de las ecs. (1) y (2). Restando la ec. (2) de la ec. (1) se obtiene:

(8)

Si desarrollamos la serie de Taylor respecto a Xi para obtener expresiones

correspondientes a Y = f(X) en y , respectivamente, obtenemos:

128

(9)

Restando la primera ec. (9) de la segunda, y utilizando solamente los cuatro términos mostrados para cada desarrollo, se obtiene:

(10)

La solución simultánea de las ecs. (8) y (10) produce la tercera derivada:

(11)

La ec. (11) es la primera expresión de Diferencias Centrales correspondiente a la tercera derivada de Y en Xi.

Por este método se pueden obtener derivadas sucesivas de mayor orden, pero como requieren la solución de un número cada vez mayor de ecuaciones simultáneas, el proceso se vuelve tedioso. La misma técnica se puede utilizar también para encontrar expresiones más precisas de las derivadas utilizando términos adicionales en el desarrollo en serie de Taylor. Sin embargo, la derivación de expresiones más precisas, especialmente para derivadas de orden superior al segundo, se vuelve muy laboriosa debido al número de ecuaciones simultáneas que se deben resolver.

No se presentan aquí esas derivaciones, pero dichas expresiones, para diferentes derivadas, se incluyen en el resumen que sigue a estos comentarios.

Las expresiones correspondientes a las derivadas de mayor orden se logran con mucho mayor facilidad y bastante menos trabajo, utilizando operadores de diferencias, de promedios y de derivación. Este método se encuentra fuera de los alcances fijados, pero se pueden encontrar en varios libros referentes al análisis numérico.

129

Se ha demostrado que las expresiones de Diferencias Centrales para las diversas derivadas encierran valores de la función en ambos lados del valor X en que se desea conocer la derivada en cuestión. Utilizando desarrollos convenientes en serie de Taylor, se pueden obtener fácilmente expresiones para las derivadas, completamente en términos de valores de la función en Xi y puntos a la derecha de Xi. Estas se conocen como expresiones de Diferencias Finitas Hacia Adelante.

En forma similar, se pueden obtener expresiones para las derivadas que estén totalmente en términos de valores de la función en Xi y puntos a la izquierda de Xi. Estas se conocen como expresiones de Diferencias Finitas Hacia Atrás.

En la diferenciación numérica, las expresiones de diferencias hacia adelante se utilizan cuando no se dispone de datos a la izquierda del punto en que se desea calcular la derivada, y las expresiones de diferencias hacia atrás, se utilizan cuando no se dispone de datos a la derecha del punto deseado. Sin embargo, las expresiones de diferencias centrales son más precisas que cualquiera de las otras dos.

Resumen de fórmulas de diferenciación

../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema6/deriva02.html - atrasLo que sigue es un resumen de las fórmulas de diferenciación que se pueden obtener a base de desarrollos en serie de Taylor.

Expresiones de Primeras Diferencias Centrales

(12)

Expresiones de Segundas Diferencias Centrales

130

(13)

Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Adelante

(14)

Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Adelante

(15)

131

Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Atrás

(16)

Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Atrás

(17)

EJEMPLO

../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema6/deriva02.html - atrasÚsense aproximaciones de Diferencias Finitas Hacia Adelante, Hacia Atrás y Centradas para estimar la primera derivada de:

Utilizando un tamaño de paso de = 0.5.

132

Repetir los cálculos usando = 0.25.

Nótese que la derivada se puede calcular directamente como:

y evaluando tenemos:

f'(0.5) = -0.9125

SOLUCIÓN:

Para = 0.5 se puede usar la función para determinar:

Xi-1 = 0.0 Yi-1 = 1.200

Xi = 0.5 Yi = 0.925

Xi+1 = 1.0 Yi+1 = 0.200

Estos datos se pueden utilizar para calcular la Diferencia Hacia Adelante:

la Diferencia Dividida Hacia Atrás será:

y la Diferencia Dividida Central:

Para = 0.25, los datos son:

Xi-1 = 0.25 Yi-1 = 1.10351563

133

Xi = 0.50 Yi = 0.92500000

Xi+1 = 0.75 Yi+1 = 0.63632813

que se usarán para calcular la Diferencia Dividida Hacia Adelante:

la Diferencia Dividida Hacia Atrás:

y la Diferencia Dividida Central:

Para los dos tamaños de paso, las aproximaciones por Diferencias Centrales son más exactas que las Diferencias Divididas Hacia Adelante o las Diferencias Divididas Hacia Atrás. También, como lo predijo el análisis de la serie de Taylor, la división del intervalo en dos partes iguales, divide a la mitad el error de las Diferencias Hacia Atrás o Hacia Adelante y a la cuarta parte el error de las Diferencias Centrales.

En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería, en general, de una de las tres formas siguientes:

1. Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.

2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.

3. Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.

En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados.

134

Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar.

La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante.

Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Lección 16 Integración NuméricaLección 16 Integración NuméricaLección 17Lección 17 Regla del trapecioRegla del trapecio

La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

Considérese la función f(X), cuya gráfica entre los extremos X = a y X = b se muestra en la fig. 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene

dividiéndola en n fajas de ancho y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se indica en la figura.

Fig. 1

135

Llamando a las ordenadas Y i (i = 1, 2, 3,...., n+1), las áreas de los trapecios son:

(1)

El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:

(2)

Sustituyendo las ecs. (1) en esta expresión se obtiene:

(3)

La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:

(4)

En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la curva Y = f(X) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos.

Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f'(X) y f''(X), el error que resulta de aproximar el área

136

verdadera en una faja bajo la curva f(X) comprendida entre Xi y Xi+1 mediante el área de un trapecio, se demuestra que es igual a:

(5)

Este error es la cantidad que se debe agregar al área del trapecio para obtener el área real. Se llama Error por Truncamiento, ya que es el error que resulta de utilizar una serie de Taylor truncada, en vez de una serie de Taylor completa, para representar en forma de serie el área de una faja. Generalmente no se puede valuar directamente el término mostrado como error por truncamiento. Sin embargo, se puede obtener una buena aproximación de su valor para cada faja suponiendo que f '' es suficientemente constante en el intervalo de la faja (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables) y evaluando f ''

para . La estimación del error por truncamiento para la integración total se obtiene sumando las estimaciones para cada faja. Si la estimación obtenida para el error total por truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se debe utilizar una faja más angosta o un método más preciso.

Otro error que se introduce al obtener el área aproximada de cada faja es el Error por Redondeo. Este se produce cuando las operaciones aritméticas requeridas se efectúan con valores numéricos que tienen un número limitado de dígitos significativos.

Se puede demostrar que una aproximación a el límite del error por redondeo es:

(6)

Tenemos entonces que el límite en el error por redondeo aumenta

proporcionalmente a , lo cual pronto domina al error por truncamiento que

es proporcional a . En realidad, el error por redondeo en sí no crece

proporcionalmente con sino con en que 0 < p < 1, pero sin

embargo aún supera al error por truncamiento si decrece lo suficiente.

137

El error por redondeo se puede minimizar utilizando aritmética de doble precisión o mediante compiladores que pueden manejar un gran número de dígitos significativos.

De la información anterior se puede ver que el error total en el intervalo de integración deseado, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. Si el error total se debiera únicamente al error por truncamiento, se podría hacer tan pequeño como se deseara reduciendo suficientemente el ancho de la faja. Por ejemplo, bisectando el ancho de la faja se duplicaría el número de errores por truncamiento que hay que sumar, pero la expresión para el error en cada faja indica que cada uno sería aproximadamente un octavo de su valor previo.

Sin embargo, disminuyendo el ancho de la faja se afectaría también el error total al aumentar el error por redondeo, debido al mayor número de operaciones que hay que efectuar al valuar la ec. (3). Entonces, cuando se disminuye el ancho de la faja para disminuir el error total, existe un punto óptimo en el cual disminuciones adicionales del ancho de la faja harían que el error aumentara en lugar de disminuir, porque el error por redondeo se volvería dominante. El ancho óptimo de la faja para una función especial se puede determinar fácilmente en forma experimental en la computadora (suponiendo que el área real bajo la gráfica de la función se puede valuar) pero es difícil definirlo analíticamente.

Lección 18 Regla de SimpsonLección 18 Regla de Simpson

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden.

A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.

Regla de Simpson 1/3

La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la

138

curva f(X) en la fig. 2, se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:

(Xi , Yi)(Xi+1, Yi+1)(Xi+2, Yi+2)

Fig. 2

Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Este arreglo no afecta la generalidad de la derivación.

La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres puntos es:

(7)

La integración de la ec. (7) desde - hasta proporciona el área contenida en las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto:

(8)

139

Fig. 3

La sustitución de los límites en la ec. (8) produce:

(9)

Las constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los puntos

, (0, Yi + 1), y deben satisfacer la ec. (7). La sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ec. (7) produce:

(10)

La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a, b, c, nos lleva a:

140

(11)

La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9) produce:

(12)

que nos da el área en función de tres ordenadas Yi, Y i+1, Y i+2 y el ancho de una faja.

Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de igual ancho.

Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en n fajas uniformes (n par), la aplicación de la ec. (12) muestra que:

(13)

Sumando estas áreas, podemos escribir:

(14)

141

o bien

(15)

en donde n es par.

La ec. (15) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un

número par de fajas de ancho .

Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua que

tiene derivadas continuas f ' a , el error que resulta de aproximar el área verdadera de dos fajas bajo la curva f(X) comprendida entre Xi-1 y Xi+1 mediante el área bajo una parábola de segundo grado, se demuestra que es:

(16)

Este error por truncamiento es la cantidad que se debe agregar al área aproximada de dos fajas, que se obtiene mediante la regla de un tercio de Simpson, para obtener el área real bajo la curva en ese intervalo. El término mostrado del error por truncamiento generalmente no se puede valuar en forma directa. Sin embargo, se puede obtener una buena estimación de su valor para

cada intervalo de dos fajas suponiendo que es suficientemente constante en el intervalo (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables) y

valuando para . La estimación del error por truncamiento para toda la integración se obtiene sumando las estimaciones correspondientes a cada dos fajas. Si la estimación del error total por truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se deben utilizar intervalos de dos fajas menores. Considerando el error por redondeo que también aparece, existe un ancho óptimo de la faja para obtener un error total mínimo en la integración.

Regla de simpson 3/8

La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que

142

conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de tercer grado es:

(17)

Fig. 4

En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola pase a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig. 4. El

intervalo de integración es de - a , lo que produce:

(18)

que es la regla de los tres octavos de Simpson.

La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de:

(19)

Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3.

La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en las aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de fajas es impar.

143

EJEMPLO

Utilícese la regla trapezoidal de cuatro segmentos o fajas para calcular la integral de

Desde a = 0 hasta b = 0.8 y calcular el error sabiendo que el valor correcto de la integral es 1.64053334.

SOLUCIÓN

n = 4

X f(X)

0.0 0.200

0.2 1.288

0.4 2.456

0.6 3.464

0.8 0.232

Usando la fórmula trapezoidal:

ex = 1.64053334 - 1.4848 = 0.15573334

e% = 9.5 %

1. Utilícese la regla de Simpson de 1/3 con n = 4 para calcular la integral del inciso anterior

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144

SOLUCIÓN

n = 4

X f(X)

0.0 0.200

0.2 1.288

0.4 2.456

0.6 3.464

0.8 0.232

Usando la regla de Simpson de 1/3

ex = 1.64053334 - 1.62346667 = 0.01706667

e% = 1.04 %

2. Utilícese la regla de Simpson de 3/8 para calcular la integral anterior:

../../../Documents and Settings/ESC. AGRARIAS/Escritorio/para clase y cuaciones/metodos para clase/tema5/integ03.html - atras SOLUCIÓN

Como se requieren cuatro puntos o tres fajas para la regla de Simpson de 3/8, entonces:

X f(X)

0.0000 0.20000000

0.2667 1.43286366

145

0.5333 3.48706521

0.8000 0.23200000

Usando la ecuación de Simpson de 3/8

ex = 1.64053334 - 1.51917037 = 0.121164

e% = 7.4 %

3. Utilícese en conjunción las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para integrar la misma función usando cinco segmentos.

SOLUCIÓN

Los datos necesarios para la aplicación de cinco segmentos (h = 0.16) son:

X f(X)

0.00 0.20000000

0.16 1.29691904

0.32 1.74339328

0.48 3.18601472

0.64 3.18192896

0.80 0.23200000

La integral de los primeros dos segmentos se obtiene usando la regla de Simpson de 1/3:

Para los últimos tres segmentos, se usa la regla de Simpson de 3/8 para obtener:

146

La integral total se calcula sumando los dos resultados:

I = 0.38032370 + 1.26475346 = 1.64507716

ex = 1.64053334 - 1.64507716 = -0.00454383

e% = -0.28 %

Lección 19 Integración de Romberg y Ejercicios delLección 19 Integración de Romberg y Ejercicios del capitulocapitulo

Sea el valor de la integral que aproxima a , mediante

una partición de subintervalos de longitud y usando la regla del trapecio. Entonces,

donde es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla.

El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración numérica, para obtener un tercer valor más exacto.

El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg , la cual es una fórmula recursiva.

Supongamos que tenemos dos aproximaciomnes : e

Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n subintervalos está dado por las siguientes fórmulas:

147

donde es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a cada uno de los subintervalos.

Ahora bien, si suponemos que el valor de es constante, entonces :

Sustituyendo esto último en nuestra primera igualdad, tenemos que:

De aquí podemos despejar :

148

En el caso especial cuando (que es el algoritmo de Romberg), tenemos :

Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primer nivel, es cuando aplicamos la regla del Trapecio, y para poder usar la fórmula anterior, debemos de duplicar cada vez el número de subintervalos: así, podemos comenzar con un subintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc, hasta donde se desee.

Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximación, que es donde se usa la fórmula anterior, tomando las parejas contiguas de aproximación

del nivel anterior, y que corresponden cuando .

Después pasamos al nivel tres de aproximación, pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que se alcanza cuando solo contamos con una pareja del nivel anterior.

Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan, depende de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En general, si en el primer nivel, iniciamos con n aproximaciones, entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel de aproximación n.

Hacemos un diagrama para explicar un poco más lo anterior.

149

Ejemplo 1.Usar el algoritmo de Romberg, para aproximar la integral

usando segmentos de longitud .

Solución.Primero calculamos las integrales del nivel 1, usando la regla del trapecio para las longitudes de segmentos indicadas:

Con estos datos, tenemos:

150

Ahora pasamos al segundo nivel de aproximación donde usaremos la fórmula que se dedujo anteriormente:

donde es la integral menos exacta (la que usa menos subintervalos)

e es la más exacta (la que usa el doble de subintervalos).

En un diagrama vemos lo siguiente:

Para avanzar al siguiente nivel, debemos conocer la fómula correspondiente. De forma similar a la deducción de la fórmula,

se puede ver que la fórmula para el siguiente nivel de aproximación (nivel 3) queda como sigue:

donde:

151

es la integral más exacta

es la integral menos exacta

En el siguiente nivel (nivel 4) se tiene la fórmula

En el ejemplo anterior, obtenemos la aproximación en el nivel 3 como sigue:

Así, podemos concluir que el valor de la aproximación, obtenido con el método de Romberg en el ejemplo 1, es:

Ejemplo 2.Usar el algoritmo de Romberg para aproximar la integral:

Agregando a la tabla anterior donde .

Solución.

Calculamos con la regla del trapecio:

Tenemos entonces la siguiente tabla:

152

De donde concluímos que la aproximación buscada es:

Ejemplo 3.Aproximar la siguiente integral:

usando el método de Romberg con segmentos de longitud

, , ,

Solución.Igual que arriba, primero usamos la regla del trapecio (con los valores de h indicados) para llenar el nivel 1. Tenemos entonces que:

A continuación, usamos las fórmulas de Romberg para cada nivel y obtenemos la siguiente tabla:

153

De donde concluímos que la aproximación buscada es:

Podemos escribir una fórmula general para calcular las aproximaciones en cada uno de los niveles como sigue:

DE ALGORITMO DE INTEGRACIÓN ROMBERG

Los coeficientes en cada una de las fórmulas en el método de Romberg, deben sumar 1.Así se tiene la siguiente fórmula recursiva:

donde:

es la integral más exacta

es la integral menos exacta

y el indice k indica el nivel de integración o de aproximación. Por ejemplo,

digamos que , entonces tenemos:

que es nuestra fórmula del nivel 2 de aproximación.

154

Como todo proceso iterativo, éste se detiene cuando se obtiene una aproximación suficientemente buena. En este caso se pide que:

donde es la cota suficiente.

Ejemplo 1.Aplicar el algoritmo de integración de Romberg a la integral:

tomando

Solución.En este caso no sabemos exactamente cuantas aproximaciones debemos hacer con la regla del trapecio. Así que para comenzar hacemos los cálculos correspondientes a uno, dos, cuatro y ocho subintervalos:

Con estos datos, podemos hacer los cálculos hasta el nivel 4. Tenemos la siguiente tabla:

155

Haciendo los cálculos de los errores, nos damos cuenta que efectivamente

la aproximación se obtiene hasta el nivel 4, donde .Por lo tanto, concluimos que la aproximación buscada es:

156

EJERCICIOS

1. Usar la regla del trapecio para aproximar,

i) Dividiendo en un solo intervalo.

ii) Dividiendo en 6 intervalos.

Soluciones: i) 3.4115 ii) 0.36907

2. Usar la regla de Simpson 1/3 para aproximar,



Soluciones: i) 82.60511 ii) 76.94497

3. Usar la regla de Simpson 3/8 para aproximar,



Soluciones: i) 2.76591 ii) 2.76501

4. Integrar las siguientes tablas de datos:

i)

157

ii)

Soluciones: i) -17.11458 ii) 9.425

5. Usar el algoritmo de integración de Romberg para aproximar,

i) Usando 1, 2 y 4 intervalos.

ii) Agregando al inciso anterior, 8 intervalos.

Soluciones: i) 9.156626413 ii) 9.153287278

6. Aproxime la integral del EJEMPLO anterior, tomando como cota suficiente.

Solución. 9.153112082

158

CAPITULO 6:CAPITULO 6: SOLUCION DE ECUACIONESSOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALESDIFERENCIALES

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL PARA ECUACIONESPROBLEMAS DE VALOR INICIAL PARA ECUACIONES DIFERENCIALESDIFERENCIALES

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las aplicaciones, ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden idealizarse matemáticamente en la forma de estas ecuaciones. En particular, el estudio de problemas de equilibrio de sistemas continuos se encuentra dentro de este contexto.

Solución de una ecuación diferencial.

Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden n y cualquier grado, cuya forma general es:

(1)

Se establece en matemáticas que en su solución general deben aparecer n constantes arbitrarias. Entonces, puede aceptarse que la solución general de (1) es:

(2)

159

Gráficamente esta ecuación representa una familia de curvas planas, cada una de ellas obtenidas para valores particulares de la n constante, , como se ve en la gráfica:

Cada una de estas curvas corresponde a una solución particular de la ecuación diferencial (1) y analíticamente puede obtenerse sujetando la solución general (2) a n condiciones independientes que permiten valuar las constantes arbitrarias.

Dependiendo de como se establezcan estas condiciones, se distinguen dos tipos de problemas: los llamados de Valores Iniciales y los de Valores en la Frontera.

Un problema de valores iniciales está gobernado por una ecuación diferencial de orden n y un conjunto de n condiciones independientes todas ellas, válidas para el mismo punto inicial. Si la ecuación (1) es la ecuación diferencial que define el problema, y X = a es el punto inicial, puede aceptarse que las n condiciones independientes son:

(3)

Se tratará de obtener una solución particular de (1) que verifique (3) como se presenta en la gráfica

160

Por el contrario, en los problemas de valores en la frontera deben establecerse condiciones de frontera en todos y cada uno de los puntos que constituyen la frontera del dominio de soluciones del problema. En particular en el espacio de una dimensión, hay dos puntos frontera, por ejemplo, X = a y X = b, si el dominio

de soluciones es el intervalo cerrado ; por esto mismo el orden mínimo de la ecuación diferencial de un problema de valores en la frontera será dos y como podemos observar en la siguiente gráfica:

Básicamente la solución numérica de ecuaciones diferenciales consiste en sustituir el dominio continuo de soluciones por uno discreto formado por puntos aislados igualmente espaciados entre sí.

161

Así, en un problema de valores iniciales, el dominio de definición de soluciones

se sustituye por el conjunto infinito numerable de puntos,

y en el caso de valores en la frontera se sustituye el intervalo por el conjunto finito de puntos

Obtenidos, al dividir el intervalo en n partes iguales.

La presentación gráfica muestra estas dos cosas:

162

Discretización del dominio de definición de soluciones

Habiéndose discretizado el problema continuo, se tratará de obtener la solución para los puntos considerados, y esto se hará, en general, sustituyendo las derivadas que aparezcan en la ecuación diferencial con condiciones iniciales o en la frontera, por fórmulas numéricas de derivación que proporcionen aproximaciones a las derivadas o tratando de integrar la ecuación diferencial y reemplazando al proceso de integración por una fórmula numérica que se aproxime a la integral.

Una vez hecho esto, la ecuación obtenida expresada en diferencias finitas (ya que se han sustituido diferenciales por incrementos finitos) se aplica repetidamente en todos los puntos pivotes donde se desconoce la solución para llegar a una solución aproximada del problema.

Solución numérica de problemas de valoresSolución numérica de problemas de valores inicialesiniciales

Un problema ordinario de valores iniciales está gobernado por una ecuación diferencial ordinaria y un conjunto de condiciones, todas ellas válidas para el mismo punto inicial, . La solución numérica de este problema consiste en evaluar la integral de Y(X) en todos los puntos pivotes de su intervalo de definición, los que estarán igualmente espaciados en h unidades. Estos valores se obtienen paso a paso, a partir del punto inicial, lo que da el nombre de métodos de integración paso a paso.

La evaluación de Y en los puntos pivote

, para i = 1, 2, 3,...

Se lleva a cabo usando fórmulas de recurrencia, que usan los valores conocidos de Y en las estaciones anteriores.

Así, para aplicar estas ecuaciones, es necesario entonces evaluar muy aproximadamente a Y(X) en algunos de los primeros puntos pivotes (uno a cuatro); y esto se hace usualmente desarrollando f(X) en serie de potencias.

EJEMPLO

163

Encuentre la solución del siguiente problema de valores iniciales por medio de los primeros cuatro términos de la serie de Taylor para X = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5.

Y (0) = 1

SOLUCIÓN

Se obtienen las derivadas sucesivas:

Sustituyendo valores:

Por lo que:

164

Evaluando para cada valor de X en esta última ecuación se tiene:

X Y

0 1

0.1 1.055375

0.2 1.123000

0.3 1.205125

0.4 1.304000

0.5 1.421875

Lección 20 Métodos de integración de EulerLección 20 Métodos de integración de Euler

La solución de un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a paso por métodos de integración hacia adelante, lo que permite valuar Yi+1 tan pronto se conozcan los valores Yi, Yi+1 de Y en uno o más pivotes anteriores. El más simple de estos métodos, debido a Euler, es aplicable a ecuaciones de primer orden y no requiere conocer la solución en los pivotes anteriores.

Dado el problema de valores iniciales

Se debe integrar la ecuación diferencial en el intervalo

y evaluar la integral aplicando la fórmula de integración numérica:

(4)

Entonces

165

De donde se obtiene la siguiente expresión aproximada llamada fórmula de Euler

(5)

EJEMPLO

Resolver el problema del ejemplo anterior aplicando el método de Euler.

Se tiene

Donde

Entonces

(6)

En la tabla aparecen tabulados los valores de la solución aproximada obtenidos a partir de la condición inicial conocida Y0 (0) = 1

Xi Yi Yi solución exacta

0.0 1.000 000 1.000 000

0.1 1.050 000 1.055 409

0.2 1.110 638 1.123 596

0.3 1.184 649 1.208 459

0.4 1.275 870 1.315 789

0.5 1.389 819 1.454 545

166

Lección 21 Método de Runge - KuttaLección 21 Método de Runge - Kutta

En la sección anterior se estableció que el método de Euler para resolver la ecuación diferencial de primer orden

Y' = f(X, Y) (7)

Con la condición inicial

(8)

Consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia

donde n = 1, 2, 3, ... (9)

Para determinar la solución de la ecuación diferencial en

Sustituyendo la función f(X, Y) dada en (7), en (9), se tiene que

(10)

Expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto, al siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura.

De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la tangente T1

para determinar la solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una secante con

167

pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1, Yn+1) en donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler, como se muestra en la siguiente gráfica:

Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden de

definido por la expresión

(11)

En donde f (Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para:

X = Xn+1

Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia

(12)

En donde

(13)

En el método de Euler y

(14)

168

En lo que

Y' = f(X, Y) (15)

En el método de Euler Mejorado.

Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común:

1. Son métodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer únicamente los valores de Xn y Yn del punto anterior.

2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(X, Y).

Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos como de Runge-Kutta. La diferencia entre ellos cosiste en la forma como se define la

función que aparece en la expresión (12).

La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que es también un método de un paso, está expresado en el punto (2) anterior; es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(X, Y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de la evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sean más simples que el uso de la serie de Taylor.

Un método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de

primer orden con error del orden de , de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos numéricos se le llama simplemente el Método de Runge-Kutta, se dará a conocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia (12)

en donde la función está dada por la expresión:

(16)

En el cual

169

(17)

La ecuación (16) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, a la curva integral, en forma semejante a como se procedió con las

pendientes de las tangentes que dieron lugar a (11)

EJEMPLO

Resolver

Aplicando el método de Runge-Kutta.

SOLUCIÓN

De la condición inicial del problema se tiene que X = 0, y Y = 1; además, h = 0.1. Sustituyendo estos valores en (17) se obtiene:

170

Llevando estos valores a (16) y el resultante a (12) se obtiene que para X = 0.1 la solución del problema es

Los valores de las ki para este punto obtenido de la solución, son:

Luego

Continuando de la misma forma se obtiene la solución que se muestra en la siguiente tabla:

X Y k1 k2 k3 k4

0.0 1.0000 0.5000 0.5516 0.5544 0.6127

0.1 1.0554 0.6126 0.6782 0.6823 0.7575

0.2 1.1236 0.7575 0.8431 0.8494 0.9494

0.3 1.2085 0.9492 1.0647 1.0745 1.2121

0.4 1.3158 1.2119 1.3735 1.3896 1.5872

0.5 1.4545 1.5868 1.8234 1.8517 2.1509

Lección 22 Métodos multipasosLección 22 Métodos multipasos

• Métodos de un paso• Métodos en varios pasos• Métodos de predictor y corrector

171

• Método de Adams-BashforthlAdams-Moulton• Estabilidad de los métodos numéricos

Los métodos de Euler y de Runge-Kutta descritos en las seccionas anteriores son ejemplos de los métodos de un paso. En ellos, se calcula cada valor sucesivo yn+1

sólo con base en información acerca del valor inmediato anterior yn Por otra parte, un método en. varios pasos o continuo utiliza los valores de varios pasos calculados con anterioridad para obtener el valor de yn+1 Hay numerosas fórmulas aplicables en la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales. Como no intentamos describir el vasto campo de los procedimientos numéricos, sólo presentaremos uno de esos métodos. Éste, al igual que la fórmula de Euler mejorada, es un método de predicción-corrección; esto es, se usa una fórmula para predecir un valor y*n+1, que a su vez se aplica para obtener un valor corregido de

Método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton Uno de los métodos en multipasos más populares es el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton de cuarto orden. En este método, la predicción es la fórmula de Adams-Bashforth:

(1)

para n ≥ 3. Luego se sustituye el valor de y*n+1 en la corrección Adams-Moulton

(2)

Obsérvese que la fórmula (1) requiere que se conozcan los valores de yo, y1, y2 y y3 para obtener el de y4. Por supuesto, el valor de yo es la condición inicial dada. Como el error local de truncamiento en el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton es O(h5), los valores de se suelen calcular con un método que tenga la misma propiedad de error, como la fórmula de Runge-Kutta de cuarto orden.

172

EJEMPLO 1 Método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton

Use el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton con h = 0.2 para llegar a una aproximación a y(0. 8) de la solución de

y' = x +y -1, y(0)=1.

SOLUCIÓN Dado que el tamaño de paso es h = 0.2, entonces Y4 aproximará y(0.8). Para comenzar aplicamos el método de Runge-Kutta, con X0 = 0, Y0 = 1 y h = 0.2 con lo cual

Y1 = 1.02140000, Y2 = 1.09181796, Y3 = 1.22210646.

Ahora definimos X0 = 0, X1, = 0.2, X2 = 0.4, X3 = 0.6 y f(x, y) = x + y - 1, y obtenemos

Y’0 = f(X0,Y0) = (0) + (1) - 1 = 0

Y'1 = f (X1,Y1) = (0.2) + (1.02140000) -1 = 0.22140000

Y′2 = f (X2, Y2) = (0.4) + (1.09181796) - 1 = 0.49181796

Y′3 = f (X3, Y3) = (0.6) + (1.22210646) - 1 = 0.82210646.

Con los valores anteriores, la predicción, ecuación (1) da

Para usar la corrección, ecuación (2), necesitamos primero

Por último, la ecuación (2) da

Estabilidad de los métodos numéricos Un aspecto importante del uso de métodos numéricos para aproximar la solución de un problema de valor inicial es la estabilidad de los mismos. En términos sencillos, un método numérico es estable si cambios pequeños en la condición inicial sólo generan pequeñas modificaciones

173

en la solución calculada. Se dice que un método numérico es inestable si no es estable. La importancia de la estabilidad radica en que en cada paso subsecuente de una técnica numérica, en realidad se comienza de nuevo con un nuevo problema de valor inicial en que la condición inicial es el valor aproximado de la solución calculado en la etapa anterior. Debido a la presencia del error de redondeo, casi con seguridad este valor varía respecto del valor real de la solución, cuando menos un poco. Además del error de redondeo, otra fuente común de error se presenta en la condición inicial misma; con frecuencia, en las aplicaciones físicas los datos se obtienen con mediciones imprecisas.

Un posible método para detectar la inestabilidad de la solución numérica de cierto problema de valor inicial, es comparar las soluciones aproximadas que se obtienen al disminuir los tamaños de etapa utilizados. Si el método numérico es inestable, el error puede aumentar con tamaños mentores del paso. Otro modo de comprobar la estabilidad es observar qué sucede a las soluciones cuando se perturba ligeramente la condición inicial; por ejemplo, al cambiar y(0) = 1 a y(0) = 0.999.

Para conocer una descripción detallada y precisa de la estabilidad, consúltese un texto de análisis numérico. En general, todos los métodos descritos en este capítulo tienen buenas características de estabilidad.

Ventajas y desventajas de los métodos multipasos En la selección de un método para resolver numéricamente una ecuación diferencial intervienen muchos aspectos. Los métodos en un paso -en especial el de Runge-Kutta- suelen usarse por su exactitud y facilidad de programación; sin embargo, una de sus mayores desventajas es que el lado derecho de la ecuación diferencial debe evaluarse muchas veces en cada etapa. Por ejemplo, para el método de Runge-Kutta de cuarto orden se necesitan cuatro evaluaciones de función en cada paso (véase el problema 21 en los ejercicios 9.3). Por otra parte, si se han calculado y guardado las evaluaciones de función en la etapa anterior, con un método multipasos sólo se necesita una evaluación de función por paso. Esto puede originar grandes ahorros de tiempo y costo.

Por ejemplo, para resolver numéricamente y' = f(x, y), y(xo) = yo con el método de Runge-Kutta de cuarto orden en n pasos, se necesitan 4n evaluaciones de función. Con el método de Adams-Bashforth se necesitan 16 evaluaciones de función para iniciar con el método de Runge-Kutta de cuarto orden y n - 4 evaluaciones para los pasos de Adams-Bashforth; el_ total es n + 12 evaluaciones de función. En general, el método de Adams-Bashforth requiere un poco más de la cuarta parte de las evaluaciones de función que precisa el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Si la evaluación de f(x, y) es complicada, el método multipasos será más eficiente. Otro asunto que interviene en los métodos en multipasos es la cantidad de veces que se debe repetir la de Adams-Moulton en cada paso. Cada que se usa el corrector ocurre otra evaluación de función, con lo cual aumenta la

174

precisión al costo de perder una de las ventajas del método en varios pasos. En la práctica, el corrector sólo se calcula una vez, y si el valor de yn+1 cambia mucho, se reinicia todo el problema con un tamaño menor de paso. Con frecuencia, esto es la base de los métodos de tamaño variable de paso, cuya descripción sale del propósito de este libro.

EJERCICIOS

1. Dada la ecuación diferencial:

Usa el método de Euler para aproximar tomando en cada paso del proceso iterativo.

SOLUCION: .


Usa el método de Euler para aproximar tomando en cada paso del proceso iterativo.

175

SOLUCION: .


Usa el método de Euler mejorado para aproximar tomando en cada paso del proceso iterativo.

SOLUCION:


Usa el método de Euler mejorado para aproximar tomando en cada paso del proceso iterativo.

SOLUCION:


Usa el método de Runge-Kutta para aproximar tomando en cada paso del proceso iterativo.

SOLUCION:


Usa el método de Runge-Kutta para aproximar tomando en cada paso del proceso iterativo.

176

SOLUCION:

7. Determine la solución exacta del problema de valor inicial en el ejemplo 1. Compare los valores exactos de y(0.2), y(0.4), y(0.6) y y(0.8) con las aproximaciones y1, y2, y3 y y4.

8. Escriba un programa de computación para el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton.

177

AUTOEVALUACIONAUTOEVALUACION

Ejercicio

La función tiene una raíz en . Empezando con

y , usar ocho iteraciones del método de la bisección para aproximar la raíz. Tabular el error después de cada iteración y también las estimaciones del error máximo. ¿El error real siempre es menos que la estimación del error máximo? Los errores reales continúan disminuyendo?

Ejercicio

Encontrar la raíz cerca de de empezando con . ¿Cuán exacta es la estimación después de cuatro iteraciones del método de Newton? ¿Cuántas iteraciones requiere el método de la bisección para lograr la misma exactitud? Tabule el número de dígitos correctos en cada iteracción del método de Newton y observe si se duplican cada vez.

(SOLUCION)

Ejercicio

Usando el método de eliminación gaussiana con pivoteo y sustitución regresiva, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

Calcule el determinante y la descomposición LU de la matriz de coeficientes.

Ejercicio

Utilizar el método de reducción de Crout para obtener una descomposición de la matriz:

178

Ejercicio

Dado que , y , interpole con un polinomio de Lagrange el logaritmo natural de cada entero desde hasta . Tabule lo anterior junto con el error en cada punto.

Ejercicio

Dados los datos:

1 5,04

2 8,12

3 10,64

4 13,18

5 16,20

6 20,04

Realizar un ajuste por mínimos cuadrados de los mismos a una recta y a una cuadrática. ¿Cuál de los dos ajustes es mejor?

Ejercicio

La siguiente tabla tiene valores para . Integre entre y usando

la regla trapezoidal con , y .

179

Ejercicio

Usa la integración de Romberg para evaluar la integral de entre y . Lleva seis decimales y continúa hasta que no haya cambio en la quinta

cifra decimal. Compare con el valor analítico. .

180

UNIDAD PRÁCTICAUNIDAD PRÁCTICA

1. Mostrar en un software de cómputo numérico, la forma de representación de matrices y funciones, así como sus operaciones básicas (suma y multiplicación de matrices, invertibilidad, etc.). Mostrar las capacidades de visualización de funciones.

2. Diseñar e implementar un programa, donde, dada una función continua en un intervalo cerrado real, determinar las raíces en dicho intervalo.

3. Diseñar e implementar un programa, donde, dada una función continua en un intervalo cerrado real, se determine el valor de su integral, con una precisión preestablecida.

4. Diseñar e implementar un programa para resolver un sistema de ecuaciones no-lineales, mediante alguno de los métodos conocidos.

5- Diseñar e implementar un programa para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales.

6. Aplicaciones propuestas por las academias de las diferentes disciplinas (ingeniería civil, eléctrica, electrónica, química, .etc.).

181

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

1. Burden, R.; Faires, D. Análisis Numérico. ED. Thomson, 6a. ed., 1998.

2. Chapra Steven y Canale R. Métodos Numéricos para Ingenieros. Cuarta ediciónEd. Mc Graw Hill. México.

3. De Levie, Robert. Advanced Excel for Scientific Data Analysis. Oxford University

Press, 2004.

4. Liengme, B.; A Guide to Microsoft Excel 2002 for Scientists and Engineers.

Butterworth Heinemann, 3rd, ed. 2002.

5. Mathews, J; Fink, K. Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall, 3a. ed., 2000.

6. Nakamura Shoichiro. Métodos Numéricos Aplicados con Software. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana, México.

7. Press, W.; Teukolsky, S.; Vterling, W.; Flannery, B. Numerical Recipes in C.

Cambridge University Press, 2nd ed., 1992.

(VER COMPLEMENTARIA EN GUIA DE MODULO).

DIRECCIONES DE SITIOS WEB:

1. http://www.mhhe.com/chapra que contiene recursos educativos adicionales que están a la vanguardia.

2. www.uacj.mx/gtapia/AN/Unidad2/ regla .htm

3. www.mitecnologico.com/Main/ ErroresDeRedondeo .

4. www.virtualum.edu.co/antiguo/.../ error /def error .htm

5. www.wikipedia.org/wiki/ Método_de_bisección

6. www.monografias.com/.../descomposicion-lu.shtm

7. www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/ euler

8. html.rincondelvago.com/metodo-de-minimos-cuadrados-ordinarios

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http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/euler

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http://www.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n

http://www.virtualum.edu.co/antiguo/.../error/deferror.htm

http://www.mitecnologico.com/Main/ErroresDeRedondeo

http://www.uacj.mx/gtapia/AN/Unidad2/regla.htm

9. www.scribd.com/doc/2993252/ branch and bound

183

http://www.scribd.com/doc/2993252/branchandbound