módulo matemáticas ingreso upe 2016

7/26/2019 Mdulo Matemticas Ingreso UPE 2016

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Universidad Provincial de Ezeiza Matemtica Ingreso 2016

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La Matemtica es una ciencia dinmica, siempre inserta en la historia de la humanidadcomo ciencia autnoma y como instrumento para otras ciencias, unida al desarrollo tecnolgico entimamente ligada a la filosofa por su reflexin terica.

La Matemtica se ha incluido en toda propuesta curricular, no slo por el valor y finalidadde sus contenidos especficos, sino tambin por sus aportes para el desarrollo del razonamientolgico. En este sentido, cabe sealar que la educacin matemtica tiene fundamental incidenciaen el desarrollo intelectual de los estudiantes tanto en forma individual como en grupos.

"Es necesario que los alumnos adquieran habilidades sociales, que les permitan trabajar yresolver dificultades en grupos heterogneos, con personas de diferentes capacidades que ellos.Debemos formar ciudadanos sanamente escpticos, inquietos, con gran curiosidad y ganas deaprender, y con recursos propios para poder hacerlo. El reto est ah () es necesario saberafrontarlo..." 1

En el intento de lograr alfabetizarlos acadmicamente, los estudiantes debern fortalecerprocesos tpicos del pensamiento matemtico ya adquiridos o incorporar otros nuevos,comunicarlos y compartirlos para lo cual se enfatizar el conocimiento y el empleo de estrategiasde resolucin de problemas, es decir se promover que los estudiantes aborden estrategiaspropias, utilicen las representaciones que consideren adecuadas, discutan con sus pares,expliquen sus ideas, den razones de sus procedimientos y resultados, confronten susproducciones con las de otros, acepten crticas as como otros puntos de vista.

El Proceso de Aprendizaje de la Matemtica, en el contexto de la Universidad, debeconstituir una instancia en la que el futuro profesional interacte con el conocimiento matemtico

de un modo constructivo que le permita apropirselo y, simultneamente, le proporcione lavivencia de que l tambin es un productor - generador de dicho conocimiento; es esta vivencia laque le permitir revalorizarse como sujeto activo de su propio proceso de formacin.

Las competencias de resolucin de problemas son el eje de la actividad matemtica.Estas competencias se desarrollan mediante el tratamiento de ciertos contenidos por su valorinstrumental ante las demandas cientficas, tecnolgicas, sociales y ticas, de este tiempo.

En consecuencia, la formacin del futuro profesional, la bsqueda de ejes de articulacine integracin entre contenidos y mtodos, conocimientos y procedimientos, saberes cientficos ysaberes de construccin posibilitan la evolucin de la estructura del pensamiento.

Claudi Alsina en El curriculum de matemtica en los inicios del siglo XXI, 20001

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Presentacin del mdulo

Bienvenidos/as a esta joven casa de estudios que, a partir de hoy, esperamos que sientan suya.

Entre otros preparativos que ya habrn advertido, pensamos en este mdulo acorde con lafundamentacin del rea, para que juntos comencemos a repasar algunos contenidos quetrabajaron en la escuela secundaria, pero adems estas pginas tienen otro objetivo: comenzar aprepararlos para el estilo de trabajo que se espera que desarrollen en el mbito acadmicosuperior.

Por supuesto que la asimilacin del estilo de trabajo habitual en una Universidad no se adquiere

de la maana a la noche y por eso este mdulo y todo el trabajo que vamos a desarrollar juntosdurante el curso introductorio es una pequea muestra del mismo (como para empezar) yesperamos continuar con esta tarea durante todo el primer ao en forma explcita y durante todala carrera en la habitualidad de la vida acadmica.

En este marco es conveniente contarles algunas caractersticas del material que tienen en susmanos de manera que no se sorprendan al encontrarse con la propuesta y puedan aprovecharlade la mejor manera.

Antes de empezar queremos que sepan que estamos concientes de que la Matemtica sueleconsiderarse una de las materias ms difciles y por ah es cierto: es una materia que necesita quele presten mucha atencin. Pero histricamente es fruto del trabajo sostenido de muchas

personas. Personas como ustedes y como nosotros.

Es cierto que entre las personas algunas son capaces de lograr genialidades con lo que todosmanejamos cotidianamente pero tambin es verdad que no es necesario ser un genio capaz deinventar un telfono celular, para usarlo en forma competente.

Es decir: la Matemtica es una creacin humana y como tal es accesible a todos. Est a sudisposicin para que la aprendan, la dominen y la apliquen cuando la necesiten.

Continuando con el mdulo, en primer lugar se han pensado seis bloques que sern los ejes detrabajo en cada encuentro:

Los bloques tienen una estructura que progresivamente irn incentivando una forma de trabajoautnomo.

Bloque 1: Nmeros y operaciones

Bloque 2: Polinomios

Bloque 3: Funciones - Funcin lineal

Bloque 4: Funcin lineal II

Bloque 5: Funcin cuadrtica

Bloque 6: Trigonometra

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En cada uno de ellos encontrarn multitud de actividades que les permitirn

- Recordar los contenidos involucrados

En este caso, se trat de secuenciar las actividades para que repases.

- Aplicar esos contenidos en la resolucin de problemas

Existen tres tipos de estas actividades: ejercicios, desafos y problemas. En cada tipo de

actividades tendrn la oportunidad de poner en juego sus conocimientos. Los desafos suelen serproblemas al interior de los contenidos trabajados, no son tan difciles, en todos se han incluidosalgunas ayudas, pero lo importante es que se animen con ellos y traten de lograr algo aunquetengan que realizar consultas entre ustedes o con el profesor para lograr continuar. En el caso delos problemas es posible que, adems de conocer los contenidos necesarios para resolverlos,tengan que usar una cuota de ingenio para poder interrelacionarlos y lograr una solucin aunquesea provisoria.

- Distinguir cuestiones que es importante que consulten y estudien

Permanentemente aparecen recuadros o sealamientos que es importante que tengan en cuenta

a la hora de estudiar.Recuerden que este mdulo es de ustedes y que resultar conveniente que se adueen de lpara realizar anotaciones de cuestiones que les parezcan importantes y que amplen de formapersonal lo que sugerimos que estudien.

Esta es una propuesta que esperamos mejorar despus de ponerla en accin con su ayuda, por loque esperamos que lo utilicen lo mejor que puedan y realicen consultas para que podamos hacercambios para beneficio de quienes maana sern tus compaeros.

Les agradecemos su trabajo, el empeo que, estamos seguros, van a poner en esta empresa yque nos hayan elegido para continuar sus estudios.

Los profesores de Matemtica

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BLOQUE 1: Nmeros y Operaciones

Introduccin

En este bloque recordaremos los distintos conjuntos numricos, su representacin en la rectanumrica y la resolucin de ecuaciones e inecuaciones.

sta es una de las etapas en la que haremos un recorrido por conocimientos ya adquiridos, por lotanto no se preocupen, todo esto ya lo vieron, tenemos ahora la oportunidad de revisar juntostodo lo que ya saben.

La idea es que logren Interpretar enunciados coloquiales y pasarlos al lenguaje matemtico pararesolver situaciones problemticas, es decir que repasen el trabajo de resolucin de ecuaciones einecuaciones logrando reconocer los tipos de nmeros que estn involucrados en ese trabajo.

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Gua de trabajo n 1

Conjuntos numricos

Introduccin

Desde que el hombre tiene memoria siempre se ha manejado con cantidades, siempre hacontado. Contando es como aparece el primer concepto de nmero, es as como surgen losnmeros naturales (N).

En el conjunto de los nmeros naturales pueden realizarse sin problemas operacionescomo la adicin y la multiplicacin. Esto quiere decir que la suma de dos nmeros naturales essiempre natural lo mismo sucede con los productos.

Pero no todas las operaciones son as. Por ejemplo la resta de dos nmeros naturales daun nmero natural siempre que el minuendo sea mayor que el sustraendo, de lo contrario lasustraccin no sera posible.

Es decir:

187 35 = 152

En este caso la sustraccin es posible en el conjunto de los naturales ya que 182 > 35,pero si intercambiamos minuendo y sustraendo:

35 182 = ?

No existe ningn nmero natural que sea resultado de esta sustraccin.

Para que la sustraccin no quede incompleta (ya que son infinitos los casos en los quepuede suceder esto) se cre un nuevo conjunto numrico: el conjunto de los nmeros enteros (Z)en el que se agrega a los naturales el cero y los nmeros negativos. Cada nmero negativo esopuesto de uno positivo, es decir, la suma entre ambos es cero.

Ahora si:

35 182 = -152

Esto tiene su aplicacin en otras ciencias:

Por ejemplo, en Fsica que asigna el cero para el punto de congelacin del agua. Lastemperaturas superiores a este valor son las temperaturas positivas y las inferiores son lastemperaturas negativas.

Del mismo modo se procede para completar la divisin: el cociente es entero siempre ycuando el dividendo sea mltiplo del divisor. Por esos infinitos casos en los que la divisin no esposible en el conjunto de los nmeros enteros se cre un nuevo conjunto numrico que ampla elde los enteros agregando las fracciones: El conjunto de los nmeros racionales (Q).

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Ahora:

-196 : 36 = -4 porque -196 es mltiplo de 36 y

3 : -4 = - !ya que 3 no es mltiplo de -4

Cuando en Fsica surge la necesidad de medir magnitudes, que no son exactas, se usannmeros racionales.

Un nmero racional es todo aquel nmero que se puede expresar como un cociente de dosnmeros enteros. Pero all estamos en presencia de otro problema: hay algunos nmeros que nopueden escribirse como fracciones (es verdad aunque usted no lo crea)

Por ejemplo :

Sabemos que no es un nmero entero ya que no hay ningn entero que elevado alcuadrado de 2.

Supongamos entonces que es racional, es decir:

=

Donde:

1. a y b son nmeros enteros

2. b no es cero por qu?

3. a no es mltiplo de b por qu?

Entonces:

y

Con lo cual a2debera ser mltiplo de b2y para que eso suceda a debera ser mltiplo de blo que contradice lo que dijimos en 3.

Esta contradiccin provino de suponer que era racional, y por lo tanto no lo es.

es un nmero irracional

2

2

2

2 b

a

2

2

b

a2 =

22ab.2 =

2

2

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Al querer medir ciertas longitudes (por ejemplo, la hipotenusa de un tringulo rectngulo

issceles en el que los catetos miden una unidad) hallamos races como que no son exactas,

tienen infinitas cifras decimales no peridicas y, por lo tanto no pueden expresarse comofracciones. Para esos casos se usan los nmeros llamados irracionales. Los nmerosirracionales se agregan a los racionales para formar el conjunto de los nmeros reales (R)

Existen nmeros irracionales muy conocidos en el mundo de la matemtica como elnmero Pi, el nmero e y el nmero de Oro.

Hasta aqu ya hemos completado el conjunto de los nmeros Reales, que est formado

por los nmeros Racionalesy los nmeros Irracionales.

Es as que a cada momento, cuando leemos algn artculo, cuando debemos realizaralguna compra o alguna medicin siempre encontramos representantes de los diferentesconjuntos numricos.

El cuadro que sigue resume el texto y agrega alguna informacin ms:

Ser conveniente que, despus de leer, consulten las dudas que tengan sobre la informacin quebrindan el texto y el cuadro.

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Ahora les proponemos algunas actividades:

Actividad 1

Teniendo en cuenta los conjuntos numricos, escriban V (verdadero) o F (falso) segncorresponda en cada caso. Justifiquen sus respuestas.

(a) 1950 es un Nmero Real.

(b) El nmero 11,68 es un nmero entero.

(c) El nmero 3,5 se puede expresar como cociente de dos nmeros enteros, por eso setrata de un nmero racional.

(d) -3 es un nmero natural.

(e) Todo nmero natural es entero.

(f) Todo nmero entero es natural.

(g) Los mltiplos de 11 son nmeros enteros.

(h) La raz cuadrada de de cinco es racional.

Actividad 2

Clasifiquen las siguientes expresiones en racionales o irracionales.

Ayuda: a veces resultar til aplicar propiedades de la radicacin

Siempre se aprende algo nuevo

(a) 2 + 3

(d) 10(c) 75 +

(f) .6 6

(b) 72 +

(e) 8.2

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Intervalos numricos

En el conjunto de los nmeros reales se pueden definir intervalos como por ejemplo [-2; 5) queincluye todos los nmeros que estn entre el -2 y el 5 , incluyendo al 2 pero sin incluir al 5.

Recordemos que

Todos estos tipos de nmeros se pueden representar en la llamada recta numrica.Vamos a ver con un ejemplo como representar algunos irracionales ya que losracionales son de representacin ms sencilla

Por ejemplo: Representar en la recta numrica

Procedimiento:

1. trazamos una circunferencia con centro en 2,5 que pase por cero. Esdecir, el dimetro es 5 que es el nmero del que buscamos la raz

2. trazamos una perpendicular a la recta numrica que pase por 1, estaperpendicular corta a la circunferencia en a.

3. La distancia desde 0 hasta a es . Comprubenlo

4. Usando el comps trasladamos sobre la recta numrica

5

5

5

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Actividad 3

Coloquen para cada raz cuadrada los nmeros enteros consecutivos entre los cuales seencuentra el resultado de la misma.

Actividad 4

Unan con flechas cada nmero real con el intervalo al que pertenece, (ojo!!!! Puede que sobrealgo).

(a) _____


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Gua de trabajo n2

Ecuaciones e inecuacionesEn ocasiones necesitamos representar una situacin problemtica a travs de una expresinalgebraica.En una expresin algebraica relacionamos nmeros reales y letras, llamadas indeterminadas, atravs de operaciones algebraicas como la suma, resta, multiplicacin y divisin.

Una expresin algebraica en la indeterminada x puede ser:

Otra expresin algebraica en la indeterminada x puede ser:

Podemos tener ms de una indeterminada, por ejemplo, sea la expresin:

En las actividades siguientes trabajaremos con expresiones algebraicas en una indeterminada.Cuando igualamos una expresin algebraica a un nmero (o a otra expresin algebraica) tenemosuna ecuacin.

Una ecuacin es un modo simblico de plantear un problema a resolver. En ella suele haber unaincgnita que se puede representar con la letra x.Resolver una ecuacin es encontrar el valor de x.

Actividad 1

Veamos como plantear de manera simblica las siguientes situaciones problemticas.

23. 4x x+ !

2. 1

2

x

x

!

+

3. 2. 5.x y z+ !

Ejemplo: Cul es el nmero cuya mitad es ?

Veamos:

Hay un nmero incgnita .......................... x

Su mitad es ............................................. X

Esa mitad es .............................. X =

Luego X = por qu?......................................................................................................................................................

5

2

2

1

5

2 2

1

5

2

5

4

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(a) Cul es el nmero cuya tercera parte es ?

(b) Cul es el nmero cuyo duplo ms su cuarta parte es ?

(c) La mitad de un nmero ms la tercera parte de su consecutivo es siete. De qunmero se trata?

(d) La cuarta parte de la diferencia entre un nmero y su mitad es dos. Cul es elnmero?

(e) La tercera parte de la suma de dos nmeros consecutivos es igual a la mitad del mayorde ellos. Cules son esos nmeros?

(f) La quinta parte de un nmero es igual a la sptima parte de su consecutivo aumentadoen 1. Cul es el nmero?

Actividad 2

Resuelvan las siguientes ecuaciones.

5

2

5

9

(j) Representen en la recta numricalas soluciones de estasecuaciones

(a) xx

4

155,2

2

3+=!

(g) ( ) 64102 2

+=!+ xx

(b) ( ) ( )5,02

5

146

10

3+=+! xx

(h) ( )( ) ( )132413 !=+! xxx

(e) 421

52

!=

!

xx

(f) ( )43

101

221

10243

!!=

!!!x

xx

(c) 3,72,52,33,4 +=+ xx

(i) ( )( ) xxx !=+! 511

(d) 1

3

1

10

46+

!

=

+! xx

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Gua de trabajo n3

Actividad 1Algunas preguntas para consultar:

- Qu es una inecuacin?

- Qu diferencia existe entre una ecuacin y una inecuacin?

- Cmo se representa en la recta numrica el conjunto solucin?

Actividad 2

Resuelvan las siguientes inecuaciones y representen en la recta numrica las soluciones queobtengan.

(a) xx 27)4(2 +>+!

(b) ( ) )12(34232 +!"!! xx

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BLOQUE 2 Polinomios

Gua de trabajo n1

Introduccin

En este bloque vamos a trabajar con un tema que ser de utilidad para futuros emprendimientosmatemticos.

El tema es el de los polinomios, y en particular los polinomios de una sola variable. Seguramenteal nombrarlo aparecen muchas ancdotas todas ellas con un punto en comn: los polinomios sondifciles de entender porque tienen letras

En parte es cierto: en cada trmino de un polinomio es posible que encontremos una parte literal,pero no se nos debe escapar que esa parte literal representa nmeros y como tal deben sertratados. Qu significa esto?:

Seguramente recuerdes que en la escuela te ensearon a descomponer los nmeros.

En nuestro sistema de numeracin se usan 10 dgitos para escribir los nmeros: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 y 0. Cada uno tiene un valor particular (absoluto) pero, adems de este valor absoluto puedeadquirir otro segn la posicin que ocupen dentro de determinado nmero (relativo):

En 1567 el 5 vale 500

En 1756 el 5 va le 50

En 5761 el 5 vale 5000 etctera

Esto se debe a que el sistema numrico que usamos se llama decimal (porque usa diez dgitos) yposicional (pues cada dgito tiene valor relativo dependiendo del lugar que ocupa dentro de unnmero)

Es decir:

Luego 6571 = 6000 + 500 + 70 + 1

= 6 . 1000 + 5 . 100 + 7 . 10 + 1

= 6 . 103+ 5 . 102+ 7 . 101+ 1 . 100(recordemos que todo nmero elevado a la ceroda uno.

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De a poquito fue apareciendo la base del sistema de numeracin que usamos es decir 10.

Pero existen otros sistemas de numeracin donde la base no es diez: las computadoras usan un

sistema en base 2, mi mquina filmadora usa un sistema en base 16 (despus de usar del 0 al 9empieza a poner letras por ejemplo 1A es 26)

Es decir que la base del sistema de numeracin podra (si quisiramos) ser un nmero xcualquiera y lo anterior podra escribirse:

P(x)= 6 . x3+ 5 . x2+ 7 . x1+ 1 . x0

O de forma resumida:

P(x) = 6 . x3+ 5 . x2+ 7 . x + 1

Apareci un polinomio!

Esto quiere decir que un nmero es un polinomio, y esto a su vez quiere decir que venimostrabajando con polinomios hace bastante sin darnos cuenta.

Ya sabemos que los nmeros son polinomios pero nos convendra saber ms precisamente ques un polinomio. Para eso vamos resolver algunas actividades con polinomios de una solavariable: x, y , z o la que sea.

Vas a encontrar algo especial en las actividades de este bloque: inmediatamente despus de laactividad estn las respuestas.

Para nada vayas a pensar que no es necesario resolver lo que pide el enunciado de cadaactividad, la idea no es que solamente tengas la respuesta correcta sino que adems la entiendas:De qu valdra saber que esto o aquello es polinomio si despus, cuando los ejemplos fueranotros no logrramos distinguir si se trata de un polinomio o de cualquier otra cosa?

Por eso preparamos unas indicaciones para la primera actividad y para las dems ser importanteque trabajes del mismo modo. Y trabajar significa ponerse a tratar de resolver las cosas conempeo y verdadera dedicacin sin darse por vencido a la primera dificultad. Para lograrlo esimportante contar con alguien para trabajar juntos, por eso te sugerimos que aproveches estaetapa para formar un grupo de trabajo para Matemtica y para otras materias.

Ah vamos:

Actividad 1

Digan si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, sealencul es su grado y trmino independiente.

1)

2)

3) 1 #x4

4)

4 5 23. 2. 5x x x! + +

27. 2x x+ +

2

27x

x

! !

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5) x3+ x5+ x2

6) x #2x#3+ 8

7)

Reflexionemos:

As como estn parece que todos son polinomios. Por ah podramos desconfiar de ese que tieneraz cuadrada

Veamos si las respuestas pueden brindarnos algo de ayuda:

Respuestas

1) x4#3x5+ 2x2+ 5 es un polinomioGrado: 5, trmino independiente: 5.

Como se ve, conocer la respuesta no alcanza para entender todo lo que pide la actividad.

Resulta que el grado coincide con el valor del trmino independiente, as que lo podemos deducirque uno de los nmeros 5 que aparecen en el polinomio es el grado. Como el otro es un trminoindependiente debe ser el que est ltimo y el grado debe ser la potencia mayor de x.

Si bien averiguamos algo del grado de un polinomio y del trmino independiente, todava podemosno saber qu es un polinomio

2) + 7X2+ 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer trmino est dentro de una raz.En este caso aparece una razn por la que una expresin no es un polinomio. Tenamos razn endesconfiar: este no es polinomio

3) 1 #x4

Es un polinomio

Grado: 4, trmino independiente: 1.

Otro polinomio.

Parece que el trmino independiente es el que no tiene x y aunque ac est primero sigue siendoel independiente.

El grado parece que es la potencia de la x, pero cul? Mirando el 1) parece ser la mayor

4)

No es un polinomio porque el exponente del primer trmino no es un nmero natural.

Otra razn para que una expresin algebraica no sea un polinomio. Pero Cmo que el exponentedel primer trmino no es un nmero natural? El 2 no es un nmero natural?

3 7

2x x! !

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a-2 = .

a1/2 =..

Estas dos expresiones son potencias de exponente no natural porque -2 es un nmero.. y 1/2 es un nmero . Como vimos en el bloque 1.

5) x3+ x5+ x2

Es un polinomio

Grado: 5, trmino independiente: 0.Ahora ya sabemos

6) x #2 x#3+ 8

No es un polinomio, porque el exponente de x en el 2 trmino no es un nmeronatural.

Exacto, ya sabamos: -3 es un nmero entero.

7)

Es un polinomio

Grado: 3, trmino independiente: #7/2.

Recordemos

Propiedades de las potencias:

a0= 1 (todo nmero a la cero da 1)

a1= a (todo nmero a la uno da el mismo nmero)

a-1= ( cuando el exponente es negativo se invierte la base y pasa a ser positivo)

a1/n= ( para pasar una raz a exponente fraccionario se coloca en el numerador

an/m= el exponente de la potencia y en el denominador el ndice de la raz)

an. am= ( multiplicacin de potencias de igual base se suman los exponentes)

an: am= (divisin de potencias de igual base se restan los exponentes)

(an)m= ( potencia de potencia se multiplica los exponentes)

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Actividad 2

En esta actividad traten de trabajar primero sin espiar las respuestas que figuran aqu, paradespus poder comparar su trabajo con esas respuestas.

Trabajamos?

Escribir:

1. Un polinomio ordenado sin trmino independiente.

2. Un polinomio no ordenado y completo.

3. Un polinomio completo sin trmino independiente.

4. Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

A continuacin, algunas respuestas para comparar con lo que hayas escrito o para consultar si

fuera necesario:Posibles respuestas:

Conclusin:

Para que una expresin algebraica de las que estamos estudiando sea un

polinomio, la x debe tener un exponente..en cadatrmino.

El grado de un polinomio es..

El trmino independiente es.

Adems:

Los nmeros que acompaan a la x en cada trmino se llaman coeficientes. Elcoeficiente del trmino que indica el grado del polinomio se llama coeficienteprincipal

Antes de empezar, recuerden que:

En todos los trminos de un polinomio de variable x est la variable elevada adiferentes exponentes. El mayor es el que marca el grado del polinomio y el menorque puede existir es 0 que est en el trmino independiente porque x0= 1.

A veces un polinomio puede no tener algunas de las potencias desde el grado hasta 0,es decir el polinomio puede estar incompleto(como en 7 de la actividad 1)

Otras veces un polinomio puede estar desordenado( como el 1 de la actividad 1 queadems est incompleto)

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Q(x) = x3#3x2+ 6x #2

R(x) = 6x2+ x + 1

S(x) = x2+ 4

T(x) = x2+ 5

U(x) = x2+ 2

Calcular:

1) P(6) + Q (3) =

2) P(7) #U (7) =

3) [P(3) + R (2)]2=

4) [S(4)]3+2 T(8) + $U(6) =

5) [2 S(6)]2 T(4) + %[ U(2)]2=

Respuestas

1) 159

2) 144

3) 3844

4) 1949

5) 1916

Como se ve hasta ahora trabajamos con nmeros naturales pero la variable podra tomarcualquier valor real.

Actividad 2

Dados los polinomios:

P(x) = x4#2x2#6x #1

Q(x) = x3#6x2+ 4

R(x) = 2x4#2x #2

Calcular:

1) P(1) + Q(1/2) #R(1) =

2) P(1) - 2 Q(1/2) #R(2) =

3) Q(2) + R(1) [P(-1)]-2=

Respuestas

1) - 27/8

2) -157/4

3) -225/16

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Gua de trabajo n 3

En esta gua de trabajo continuamos con el trabajo con valores numricos y trabajamos consumas y restas de polinomios

Actividad 1

Investigamos

Vamos a hacer una investigacin:

Supongamos los polinomios P(x) y Q(x) de la actividad 1

P(x) = 4x2#1

Q(x) = x3#3x2+ 6x #2Y calculemos P(2) y Q(2)

P(2)= 15

Q(2)= 6

De aqu se desprende que P(2)+Q(2)= 21

Si sumramos los polinomios en x y luego buscramos el valor numrico del polinomio resultantepara x=2 ese valor sera 21?

Seguro que ya estn intuyendo la respuesta pero vamos a ver si la podemos confirmar:

Para contestar esta pregunta vamos a tener que sumar P(x)+Q(x)

Es posible que ya sepan sumar polinomios, pero no vendra mal que repasramos el mtodo.

Cada trmino de un polinomio es un monomio, la idea para sumar dos polinomios es agruparmonomios homogneos, es decir, con la variable a la misma potencia. Esto se puede hacerjuntndolos en un clculo o haciendo la cuenta:

P(x) + Q(x) = (4x2 1) + (x3 3x2+ 6x 2)

Pusimos parntesis nada ms que para que se note donde empieza y termina cada polinomio,pero en realidad no hacen falta:

P(x) + Q(x) =4x2 1 + x3 3x2+ 6x 2

Podemos agrupar trminos (monomios) homogneos:

P(x) + Q(x) =4x2#3x2 + x3 + 6x 2 1 (debemos ser cuidadosos con los signos)

Operando:

P(x) + Q(x) =x2+ x3 + 6x 3 (debemos ser cuidadosos con los signos)

Cuando hacemos la cuenta lo que realizamos es lo mismo, solamente que encolumnamos losmonomios homogneos:

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Colocaremos arriba el P(X) ..4x2 1 + 0x3+ 0x aqu completamos P(x) pero no hacefalta

Colocaremos abajo el Q(x) #3x2

2 + x3

+ 6x encolumnando adecuadamenteSumamos las columnas. x2 3 + x3 + 6x teniendo cuidado con los signos

Como podemos ver en ambos casos se obtiene el mismo resultado aunque ordenado de maneradiferente.

Si queremos podemos ordenar el resultado aunque no es necesario:

P(x) + Q(x) = x3+ x2+ 6x 3

Y ahora lo que queramos averiguar:

El valor numrico de este polinomio para x=2 es...: 21

Sospechabas que era as? Por qu?

.

Obviamente lo mismo sucede con la resta

Vamos a hacer la cuenta de Q(x) P(x)

En este caso en vez de ser cuidadosos con los signos hay que ser cuidadossimos!:

#3x2 2+ x3+ 6x

-

4x2 1+0x3+0x

-7x2 1 +x3+ 6x

Hicimos la cuenta aunque tambin se podra hacer el clculo horizontal como veremos en las

respuestas de la actividad 1 de la siguiente gua

23


24/102


Gua de trabajo n 4

En esta gua de trabajo aplicamos lo que trabajamos en la gua de trabajo n 2

Actividad n 1

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2#1

Q(x) = x3#3x2+ 6x #2

R(x) = 6x2+ x + 1

S(x) = x2+ 4

T(x) = x2+ 5

U(x) = x2+ 2

Calcular:

1) P(x) + Q (x) =

2) P(x) #U (x) =

3) P(x) + R (x) =

4) 2P(x) #R (x) =

5) S(x) + T(x) + U(x) =

6) S(x) #T(x) + U(x) =

El primero ya est hecho!

Respuestas (con reflexiones incluidas):

1) P(x) + Q (x) =

= (4x2#1) + (x3#3x2+ 6x #2) =

= x3#3x2+ 4x2+ 6x #2 #1 =

= x3+ x2+ 6x #3

Se fijaron en que en cada rengln colocamos un = al principio y al final salvo en el ltimoporque contiene el resultado?

Esta es una manera convencional de escribir los clculos que mostramos aqu para seacostumbren a hacerlo as. Como ven no solamente debemos preocuparnos por llegar alresultado final correcto sino tambin de la forma de expresar el modo en el que arribamos a eseresultado.

2) P(x) #U (x) =

Esta es una resta que vamos a resolver haciendo el clculo en vez de la cuenta

= (4x2#1) #(x2+ 2) =

= 4x2# 1 # x2# 2 = (observen que al quitar el parntesis se han producido cambios en lostrminos de U(x), esto se debe a que debe restarse)

= 3x2#3

3) P(x) + R (x) =

24


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= (4x2#1) + (6x2+ x + 1) =

= 4x2+ 6x2+ x #1 + 1 =

= 10x2+ x4) 2P(x) #R (x) =

= 2!(4x2#1) #(6x2+ x + 1) =

En este caso aparece una constante (el nmero 2) que multiplica a P(x). Igual que con losnmeros, al operar con polinomios, se debe tener cuidado de separar en trminos antes deempezar.

Esto quiere decir que primero se debe multiplicar P(x) por 2 y eso (como recordarn) se realizahaciendo uso de la propiedad distributiva:

= 8x2#2 #6x2#x #1 =

Aqu hicimos dos pasos en uno:

- Multiplicamos P(x) por 2 y

- Quitamos los parntesis con lo cual cambian los signos en el segundo polinomio debido aque estamos restando

= 2x2#x #3

5) S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x2+ 4 ) + (3/2 x2+ 5 ) + (x2+ 2) =

= 1/2 x2+ 3/2 x2 + x2+ 4 + 5 + 2 =

= 3x2+ 11

6) S(x) #T(x) + U(x) =

= (1/2 x2+ 4) #(3/2 x2+ 5) + (x2+ 2) =

= 1/2 x2+ 4 #3/2 x2#5 + x2+ 2 =

= 1

25


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Gua de trabajo n 5En la Gua de trabajo n 2 calculamos el valor numrico de polinomios de una variable para

determinados valores de la variable x.

Adems trabajamos con la adicin y sustraccin de polinomios en la Gua de trabajo n 3.

En esta gua cinco vamos a retomar algunas de esas cuestiones que venimos trabajando para, apartir de ellas, avanzar algo ms en temas que resultarn tiles en la cursada de Matemtica I

Consideremos el polinomio P(x) = 5x-2

Como ya sabemos el grado de P(x) es ............., su coeficiente principal es ........ y su trminoindependiente es ..........

Como es fcil calcular P( ) = (comprubenlo)

En este momento estn preparados para resolver un pequeo problema:

Actividad 1

Considerando P(x)= 5x-2

Para qu valor de x, P(x) tiene valor numrico 1?

Respuesta

El problema planteado supone averiguar un nmero que satisfaga:

1= 5x-2

Donde 1 es el valor numrico del polinomio P(x)

Es una ecuacin!

Luego:

Sumando 2 en ambos miembros:

1 + 2 = 5x

Ahora dividimos ambos miembros por 5:

= x

Respuesta:

El valor de x para el cual el valor numrico de P(x) es 1 es

Actividad 2

5

3

5

3

26


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Calcula el valor de x para que el valor numrico de P(x) sea el indicado en cada caso:

a) P(x) = valor numrico de P: 29

b) P(x)= valor numrico de P: 7

c) P(x) = valor numrico de P:

d) P(x) = valor numrico de P:

RespuestasRecuerden que las races de ndice par tienen ms de un resultado, esta es la razn por la quevamos a detallar la resolucin de a), luego podrn trabajar en forma autnoma

a) La ecuacin que se debe resolver es:

Restando 5 a ambos miembros:

Dividiendo ambos miembros por :

(Porque dividir por es lo mismo que multiplicar por )

Operando queda:

Luego, aplicando a ambos miembros raz cuadrada:

De donde:

x = 4 x = -4

Ya que cualquiera de estos dos nmeros elevados al cuadrado dan 16

b) x = 3

c) x = x=d) x = 2 x= -2

52

3 2+x

23

1 3!x

7

1

7

5 2!! x

28

9!

2

4

1

4

3x!!

4

7!

2952

3 2=+x

242

3 2=x

2

3

3

2.24

2

3:24

2==x

2

3

3

2

16

2

=x

16=x

2

1

2

1!

27


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Gua de trabajo n 6Hasta ahora seguramente no tuviste problemas para resolver las ecuaciones que plantea cada

ejercicio de la gua de trabajo n 4 del Bloque 1, pero a veces las cosas pueden ser mscomplejas:

Actividad 1

Encuentren el valor de la variable x para que el valor numrico de R(x) = 6.x2+ x sea 1

Respuesta

Al principio procedemos de la manera habitual:

6.x2+ x = 1

Pero en seguida nos damos cuenta de que esta ecuacin no puede resolverse fcilmentemediante la radicacin.

Recordemos:La frmula

Permite encontrar las soluciones de una ecuacin cuadrtica en la que el segundo miembro escero:

Una ecuacin cuadrtica puede llevarse a esta forma operando en ambos miembrosconvenientemente

Recordemos que las races o ceros son los valores de x para los que y se hace cero, en otraspalabras las races son los valores de x para los que el valor numrico de un polinomio Y(x) degrado 2 es cero. Se trata de una frmula para resolver ecuaciones cuadrticas igualadas a cero

Nosotros tenemos un polinomio de grado 2!

6.x2+ x = 1

Lo nico que pasa es que el valor numrico es 1 en vez de cero, pero eso se puede arreglarrestando 1 a cada miembro:

6.x2+ x - 1= 0

Ahora podemos usar la frmula para averiguar los valores de x, solamente hay que recordarquines son a, b y c. Para ello les damos algunas pistas:

- a es el coeficiente del trmino cuadrtico (con su correspondiente signo), en este caso:.

- b es el coeficiente del trmino lineal (con su correspondiente signo), en este caso:.

- c es el trmino independiente, en este caso: .

Una vez que hayan realizado los clculos correspondientes van a obtener dos soluciones paraesta ecuacin:

x= y x=2

1!

3

1

28


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Esto quiere decir que el polinomio R(x) tiene como valor numrico 1 cuando x = x = .

Comprubenlo reemplazando ambos valores en la expresin original de R(x)

2

1!

3

1

29


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Gua de trabajo n 7Problemas Resueltos

Al resolver los siguientes problemas planteando ecuaciones, adems de repasar la resolucin delas mismas, estn preparndose para la gua siguiente, as que a trabajar mucho y con confianza

La idea es que lean las soluciones propuestas y que conversen grupalmente tratando deinterpretar lo que se hace, proponiendo otras formas de resolver y anotando las dudas paraconsultar

En trminos generales se tomaron problemas que se resuelven con nmeros enteros y racionalesque ya conocen

Posteriormente les presentamos algunos ejercicios en el Trabajo Prctico n 4 para evaluar sipueden resolverlos de forma autnoma

Vamos a trabajar:

1) Javier y Felipe tenan deudas de $ 750 cada uno. Ambos cobraron sus respectivossueldos y pagaron sus deudas. A Javier le quedaron $967 y a Felipe $ 1409. Cuntocobr de sueldo cada uno?

Solucin

El problema pide calcular los sueldos que no conocemos.

Vamos a llamar j al sueldo de Javier y f al de Felipe

Es obvio que a cada uno de esos sueldos hay que restarle las deudas y el resultado ser lo que lequeda a cada uno:

Para Javier:

(*) J 750 = 967

Para Felipe

(&) F 750 = 1409

Se trata de dos ecuaciones muy fciles de resolver, pero antes fijmonos que as como estnplanteadas las cosas se puede saber quin tiene el mejor sueldo Quin es? Por qu?

Ahora si: para calcular el sueldo de Javier resolvemos (*)J 750 = 967

J = 967 + 750

J = 1717

Y para calcular el de Felipe resolvemos (&)

F 750 = 1409

F = 1409 +750

F= 2159

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Respuesta (en todos los problemas siempre es conveniente escribir la respuesta a la pregunta)

Javier cobr $1717 de sueldo y Felipe $2159

2) Si un buzo estaba a 60 metros y ahora est a 28 metros. Ascendi o descendi?Cuntos metros?

Solucin

Este es un problema en el que el planteo de una ecuacin resulta un poco engorroso para lo quees el problema.

En casos como este podemos usar un razonamiento matemtico que no tenga que ver con

ecuaciones sino con cuestiones geomtricas que nos lleven a la solucin.

Supongamos que de un bote se deja caer una soga de 60 m hacia abajo.

El buzo se encuentra primero a -60 metros, es decir a 60m pordebajo de la superficie.

Luego est a -28 metros es decir a 28 m del nivel del agua, estoquiere decir que debe haber subido, por lo tanto ya estamos encondiciones de escribir la respuesta.

Pero antes pensemos: -28 es un nmero mayor o menor que-60? Al contestar esta pregunta estamos dando la razn por la quela respuesta es:

Respuesta

El buzo ascendi 32m

3) Entre Ana y Ariel compran una enciclopedia. Ana aporta las dos terceras partes del precio

mientras que Ariel pone $ 149,45 y llegan as a cubrir el precio total cunto cuesta laenciclopedia?

Solucin

Llamaremos X al precio de la enciclopedia

Ana aporta las dos terceras partes de X

Ariel agrega $149,45 y se cubre el total X

x

3

2

31


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Resolvemos restando en ambos miembros:

Ahora dividimos ambos miembros por (o, lo que es lo mismo multiplicamos por 3):

Respuesta

La enciclopedia cost $448,35

4) Alejo, Bruno, Carlos y Diego se reparten cierta cantidad de dinero. Alejo toma un tercio dedinero y se va. Bruno toma un tercio de lo que queda; Carlos toma $500 y slo quedan$100 para Diego. Cunto dinero haba en total?

Solucin

Llamemos x al total de dinero disponible

Alejo toma

Lo que queda es:

De estos (dos tercios del total) Bruno toma :

xx =+ 45,1493

2

x

3

2

xx

3

245,149 !=

x

3

145,149 =

3

1

x=45,149.3

35,448=x

x

3

1

xxxxx

3

2

3

1

3

3

3

1=!=!

x

3

2

3

1

xx

9

2)

3

2(

3

1=

32


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Carlos toma $500

Diego toma $100

Es decir el total x est compuesto por lo que tom cada uno:

Alejo + Bruno + Carlos + Diego = total

+ + 500 + 100 = x

Resolvemos:

Primero restamos en ambos miembros:

+ 500 + 100 = x -

Operamos y restamos en ambos miembros:

500 + 100 = -

Operamos :

600 =

Dividimos ambos miembros por o lo que es lo mismo multiplicamos por :

600 . = x

X= 1350

Respuesta

La cantidad de dinero que se repartieron fue de $1350

x

3

1

x

9

2

x

3

1

x

9

2x

3

1

x

9

2

x

3

2 x9

2

x

9

4

9

4

4

9

4

9

33


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Gua de trabajo n 8

Multiplicacin de polinomios

Para multiplicar polinomios aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto a laadicin y sustraccin, adems de la propiedad del producto de potencias de la misma base.

Por ejemplo:

Dados P(x)= 2.x2+x 3 y Q(x)= x 2

El producto P(x).Q(x)= (2.x2+x- 3) . (x-2) lo hallamos aplicando la propiedad distributiva de lamultiplicacin. Para ello multiplicamos cada trmino del polinomio P(x) por cada uno de ostrminos de Q(x).

P(x).Q(x)= 2.x2.x + 2.x2.(-2)+x.x+x.(-2)-3.x-3.(-2)

P(x).Q(x)= 2.x3-4.x2+x2-2.x-3.x+6 (2.x2.x=2.x3pues por producto de potencias de la mismabase los exponentes de la indeterminada x se suman y 2+1=3)

P(x).Q(x)= 2.x3-3.x2-5x+6 (los trminos del mismo grado se suman entre s)

Podemos observar que el grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de lospolinomios factores.

Es decir: gr[P(x).Q(x)]= gr(P(x))+gr(Q(x))

gr(P(x))= 2

gr(Q(x))= 1

gr[P(x).Q(x)]= 2+1 = 3

Otra forma de realizar la multiplicacin es disponiendo los polinomios, ordenados y completos, talcomo lo hicimos para la suma y la resta:

2.x2+x 3

. x-2

Segn esta disposicin comenzaremos a multiplicar por el trmino de grado cero del polinomioescrito en el segundo rengln, es decir, multiplicamos por -2:

2.x2+x 3

. x-2

-4.x2-2.x+6

Ahora multiplicamos por el trmino de grado uno del segundo polinomio y vamos ubicando losproductos obtenidos en columnas segn su grado:

2.x2+x 3

34


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. x-2

-4.x2-2.x+6

2.x3+1.x2-3.x

A continuacin sumamos los trminos que se encuentran en una misma columna:

2.x2+x 3

. x-2

-4.x2-2.x+6

+ 2.x3+1.x2-3.x

2.x3-3.x2-5.x+6

Cualquiera de las dos formas dadas nos permite llegar al mismo resultado.

Actividad 1

Dados los siguientes polinomios:

Se pide:

Actividad 2

Teniendo en cuenta los polinomios de la actividad anterior, se pide:

4 3 2

3

5 3 2

3 2

( ) 4 2 1

1 1( ) 3

2 3( ) 4 2 3

2( )

3

A x x x x x

B x x x

C x x x x

D x x x x

=! + ! + !

= + !

= ! ! +

= + ! +

) ( ). ( )

) ( ). ( )

) ( ). ( )

a A x B x

b A x C x

c C x D x

=

=

=

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

) ( ) ( ) . ( )

) ( ) ( ) . ( )

) ( ) ( ) . ( ) ( )

a A x B x C x

b C x B x D x

c A x D x B x C x

+ =

! =

+ + =

35


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Gua de trabajo n 9

Divisin de polinomios

Antes de comenzar a dividir polinomios debemos considerar algunas cuestiones:Para llevar a cabo esta operacin se deben ordenar y completar los polinomios dividendo y

divisor. Recordemos que para ordenar un polinomio se tiene en cuenta el grado de cada monomioque lo compone y se hace de mayor a menor grado.

Recordemos tambin que para completar se agregan trminos de coeficiente cero.Por ltimo:El grado del dividendo, debe ser mayor o igual que el grado del divisor. Si esto no se cumple la

divisin no se puede realizar.Ahora s estamos en condiciones de comenzar a dividir.

Ejemplo 1:

Te proponemos la siguiente divisin:

(2x4+ 3x3- x21) :(x 2)

Tambin la podemos escribir de esta otra forma

Comencemos:

El polinomio dividendo ya est ordenado pero incompleto, lo completamos con 0x, entonces:

2x4+ 3x3- x2+ 0x1 x 2

Ahora si estamos en condiciones de dividir.

2x4+ 3x3- x2+ 0x 1 x 2

2

1-x-3x+2x234

!x

36

DivisorDividendo

1) Tomamos el primer trmino deldividendo y lo dividimos con el primer

trmino del divisor.

Esto nos va a dar elprimer trmino del cociente.


37/102


38/102


Ahora bajamos el trmino siguiente, y repetimos el procedimiento anterior.

2x4+ 3x3 x2+ 0x 1 x 2

2x4+ 4x3 2x3

x3 x2

2x4+ 3x3 x2+ 0x 1 x 2

2x4+ 7x3 2x3+ 7x2

7x3 x2

7x3+ 14x2

13x2

Repetimos el procedimiento luego de bajar 0x.

2x4+ 3x3 x2 + 0x 1 x 2

2x4+ 4x3 2x3+ 7x2+ 13x

38

3) Dividimos 7x3por x y repetimos

el procedimiento.

4) Multiplicamos 7x2por x y

por 2 y colocamos debajo decada monomio que corresponde

para luego restar y hallar elprximo resto parcial.


39/102


7x3 x

7x3+ 14x2

13x2 + 0x

13x2+ 26x

26x

Por ltimo, bajando el 1

2x4+ 3x3 x2 + 0x 1 x 2

2x4+ 4x3 2x3+ 7x2+ 13x +26

7x3 x2

7x3+ 14x2

13x2 + 0x

13x2+ 26x

26x 126x + 52

51

No podemos seguir dividiendo ya que el grado del resto es menor que el grado del divisor.A propsito cul es el grado del resto? ...........................................................................................

Por ltimo el resultado de dividir

es 2x3 + 7x2+ 13x+26 con un resto de 51.

Ahora sabemos que x 2 no es divisor de 2x4 + 3x3 x2 1 por qu?

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

2

1-x-3x+2x234

!x

39


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Otra forma de hacer esta misma divisin

Las divisiones en las cuales el divisor es un BINOMIO DE PRIMER GRADO con el coeficienteprincipal igual a uno, se pueden resolver por la regla de RUFFINI.Construimos un cuadro como el siguiente y en el cuadrante superior derecho vamos a colocar loscoeficientes del dividendo, ORDENADO Y COMPLETO

2 3 1 0 1

2 3 1 0 1

2

Bien, ahora que sabemos cmo armar el tablero comenzamos a aplicar la regla.

2 3 1 0 1

22

2 3 1 0 1

2 42

2 3 1 0 1

2 4

40

Luego en el cuadrante superiorizquierdo colocamos la raz deldivisor. (Valor de x que hace que el

polinomio se haga cero, en este caso

2)

En el siguiente paso bajamos el

coeficiente principal y locolocamos en el cuadrante

inferior derecho.

Multiplicamos el nmero que bajamos

(2) por el que habamos colocado en elcuadrante izquierdo y encolumnamos

el resultado con el (3)

Luego sumamos los dos valores quequedaron encolumnados (3+4)

Volvemos a multiplicar, ahora el 7

con el 2 y colocamos el resultado

debajo del 1 y sumamos


41/102


2 7

2 3 1 0 1

2 4 142 7 13

2 3 1 0 1

2 4 14 262 7 13 26

Por ltimo:

2 3 1 0 1

2 4 14 26 522 7 13 26 51

ES CIERTO!!!!! No se equivocaron son los coeficientes del polinomio cociente y el ltimo valor esel resto

2 3 1 0 1

2 4 14 26 522 7 13 26 51

La regla de Ruffini baja en una unidad el grado del polinomio dividendo (estamos dividiendo unpolinomio de grado 4 con otro de grado 1), por lo tanto el resultado quedara:

c(x) = 2x3 + 7x2+ 13x+26 con resto 51

Es ms fcil no?, claro que si!!!!! Pero recuerden que la regla de Ruffini solo puede aplicarsecuando el divisor es de la forma x + a x aen donde a es un nmero real.

Ahora vamos a resolver algunos ejercicios en donde van a utilizar el algoritmo de la divisin yluego las van a verificar usando el mtodo de Ruffini

41

Este procedimiento lo vamos a

repetir hasta llegar al ltimo de los

coeficientes (1)

Comparen los nmeros queobtuvimos en el cuadrante inferior

con los coeficientes del cociente de

la divisin que hicimos

Debemos recordar que el resultado es

un polinomio, por lo tanto tenemos queescribirlo como tal.


42/102


Actividad 1

1) (3x3+ 4x2+ 15) : (x 3) =

2) (2x4 3x3+ 2x) : (x + 4) =3) (x3#5x2+ 12) : (x #2) =

Ejemplo 2:

Sean los polinomios:

P(x) = 3x2 + 3x3 2 y Q(x) = 2x + 1

Realizar la siguiente divisin: P(x):Q(x)

3x3 + 3x2+ 0x 2 2x + 1

3x3 + 3x2+ 0x 2 2x + 1

3x3 + 3x2 + 0x 2 2x + 1

3x3

En este van varios pasos

3x3 + 3x2 + 0x 2 2x + 1

3x3 +

2

2x

3

2x

2

3 2x

2

3

2x

2

3

2

2

3x

2

2

3x x

4

3

42

Respuestas:1) 3x2+ 13x + 39 R(x)= 1322) 2 x3+ 5x220x + 82 R(x)= 3283) x23x - 6 R(x)=0

Ordenamos y completamos elpolinomio dividendo y divisor

Dividimos el primer trmino del dividendo

con el primero del divisor y colocamos elprimer trmino del cociente. (3 :2 es )

Multiplicamos con ambos trminos de

divisor y los ubicamos para poder restar

(recuerden que ponemos el opuesto).

Bajamos 0x y dividimos con 2xpara luego multiplicar con el divisor

y encontrar el prximo restoparcial.


43/102


+ 0 x

ltimo paso, bajando el 2

3x3 + 3x2 + 0x 2 2x + 1

3x3

+ 0 x

Listo!!!! C(x) = con R(x)=

Van entendiendo el procedimiento?... DE A POCO Y CON MUCHA PRCTICA!!!!!No desesperis. Vamos a hacer otro ejemplo, pero antes verifiquemos la divisin anterior

Cmo lo haran?...

No se apuren!!!!

Estn tentados a hacerlo por la regla de Ruffini?

NO SE PUEDE

Recuerden que para usar la regla de Ruffiniel polinomio divisor debe ser de la forma x a

Cmo se hace entonces?

Simple

2

2

3x

2x2

3! x

4

3!

x4

3!

2

2

3x

8

3!+ xx

4

3

2

3 2

2

2

3x

xx

4

3

2

3 2!!

24

3!! x

8

3x

4

3+

8

13!

8

3

4

3

2

3 2!+ xx

8

13!

43

Dividimos con 2x para luegomultiplicar con el divisor y

encontrar el prximo resto final.


44/102


Dividendo = cociente 'divisor + resto

P(x) = C(x) . Q(x) + R(x)

Entonces reemplacemos los polinomios y operemos

P(x) = ( ) .(2x + 1) + ( )

Multiplicamos (debemos utilizar propiedad distributiva) y luego sumamos

P(x) =

P(x) =

Sumamos los trminos del igual grado

P(x) =

P(x) = Llegamos al resultado correcto!!! Entonces... Dividimos bien!!!

Por ltimo,

P(x) es mltiplo de Q(x)? Por qu? .................................................................................

Ahora siEjemplo 3

Vamos a dividir M(x) con T(x)

M(x) = T(x) =

Antes de poder comenzar a dividir debemos ... y ..

Continuemos

En los cuadros del costado, anoten lo que hacemos en cada paso

8

3

4

3

2

3 2!+ xx

8

13!

)8

13(1

8

32

8

31

4

32

4

31

2

32

2

3 22!+!!+++ xxxxxxx

)8

13(

8

3

4

3

4

3

2

3

2

33 223 !+!!+++ xxxxx

)8

13(

8

3

4

3

4

3

2

3

2

33 223 !+!!+++ xxxxx

233 23

!+ xx

1224 34

!+! xxx 12 3+x

12

1224

3

34

+

!+!

x

xxx

44


45/102


0

El resto es cero!!!! Qu significa?.................................................................................................

Verifiquemos:

M(x) = C(x) . T(x) + R(x) pero como R(x) = 0:

M(x) = C(x) . T(x)

Reemplacemos

M(x) = ( ) .( ) "Deja V"!!!!! Dnde vimos esto antes?Convertimos una suma algebraica en un producto...Clarooo.. es la forma factorizadadel polinomio.

Multipliquemos para saber si la divisin est hecha en forma correcta.

1224 34

!++! xxx2

0x

12 3

+++ 0x0x2

x

12024 234

!++! xxxx

1002 23

+++ xxx

2x0x0x4x- 234

!++ 2x

0x0x2x 23

!+!

12024 234

!++! xxxx

1002 23

+++ xxx

xxxx- 2004 234

!++ 1!x2

1!!

+!

xxx 002 23

1+!+ xxx 002 23

12 3+x 12 !x

45


46/102


M(x) =

resolvemos

M(x) =

Ahora les dejamos unos ejercicios para que resuelvan ustedes solos (o en grupo).

Actividad 2

Dividir:

a) (-2x4+ 3x3#4x2 + 3x #8) : (4x + 1) =

b) (3x5

2x4

#2x2

+ x #6) : (3x 2) =

c) : (2x5) =

d) (7x6 4x4+ 6x3 + 3x5#8) : (x2+ 2) =

e) (#3 + 2x2+ 5x4#3x) : (x2 3) =

f) : (3x+2) =

No se olviden de verificar!!!!

)1(121)1(222 33 !++!+ xxxx

1224 34

!+! xxx

)1322

3( 43 +!+ xxx

)432

12

2

3( 325 !+++ xxxx

46


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Gua de trabajo n 10

Algunos Casos de Factoreo

Nota preliminar

En este momento tendramos que ver cmo hacemos para que un polinomio quede escrito comomultiplicacin con el objeto de intentar simplificar.

Esto es a lo que se llama factorear polinomios.

Unamanera de factorear es mediante los llamados casos de factoreo que a veces se presentancomo seis y en un orden determinado.

Probablemente ya los han visto en la escuela secundaria y nuestra intencin es ayudarlos a

reverlos e incluir alguna otra alternativa.

Brevsima introduccin al tema

Hay nmeros y expresiones algebraicas que no aparecen escritas como una multiplicacin y sinembargo es posible escribirlas como tales.

Por ejemplo:

29 + 7= 36 = 9 . 4

O sea partimos de una suma y obtuvimos una multiplicacin (como 9 y 4 son los factoresdecimos

que este es un posible factoreode 36)

Del mismo modo, sabemos que

x.( 3x + 6)

es, aplicando propiedad distributiva

3x2+ 6x

pero si pensamos al revs

3x2+ x = x.( 3x + 6)

A este polinomio de grado 2 lo hemos escrito como una multiplicacin y diremos por ello que lohemos factoreado (pasamos de la forma aditiva a la forma multiplicativa)

a) Factor comn

47


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As como en los nmeros

30 + 21 = 3. 10 + 3. 7 = 3 . ( 10 + 7 )

(Observen que el factor 3 est presente en los dos trminos, por eso se le dice factor comn)

Podemos escribir

2.x + 3.x4=

Como

2.x + 3.x.x3= x.( 2 + 3.x3) = x.(2 + 3x3)

Ya factoreamos, nos qued:

2.x + 3.x4= x ( 2 + 3x3)

(Si quisiramos, podramos verificar el resultado aplicando distributiva)

Otro ejemplo:

x3+ 2 x2= x2. x + 2 . x2= x2.( x + 2 ) Si usamos adems propiedad conmutativa y asociativade la multiplicacin

Luego:

x3+ 2 x2= x2 (x +2)

Puede darse el caso de 2 ms factores comunes, por ejemplo:

6 x2 10 x3 = 3.2x2 5 . 2x2. x = 2x2.(3 5x)

6 x2 10 x3= 2x2.(3 5x)

Ejemplo de un caso frecuente

-2x3 4x2 = -2x2.(x + 2)

Tambin podramos factorear de otra forma:

-2x3 4x2 = 2x2.(-x - 2) (Dudan?: distribuyan....)

Ambos resultados son correctos

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Ejercicios

Expresar, si es posible, como multiplicacin:

a) 4x3+ 6x2 10xb) 2x4 2x3 + x2c) 8m3 12m2+ 4m 1d) 18p4+ 12p3 12p2+ 6p

b) Diferencia de cuadrados

Este caso es muy sencillo y solamente veremos la forma en la que se realiza el factoreo

a2 b2= (a b). (a + b)

Tambin pueden comprobar la validez de este caso mediante la propiedad distributiva.(qu creatividad para darle nombre! Diferencia de cuadrados)

a2 b2

a b y a + b son binomios conjugados(como habrn advertido a y b son las bases de loscuadrados)

As, por ejemplo:

x2 9 = (x 3 ). (x + 3)

Otro ejemplo:

x2- = ( x - ) . ( x + )

Otro ms:

25 x

2

= .......................

Actividad 1


a) x2 t2b) x4 81

1

4

1

2

1

2

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c) 1 x2d) t2+ 4e) x2 2

c) Trinomio cuadrado perfecto (tcp) / cuadrado de un binomio

Al elevar al cuadrado un binomio se obtiene una expresin llamada TRINOMIO CUADRADOPERFECTO (TCP):

(a + b)2= a2+ 2ab + b2 y (a - b)2= a2 2ab + b2

Observen las caractersticas de cada trmino de los trinomios obtenidos.

Intentando pasar de la forma aditiva a la multiplicativa podramos escribir el polinomio

x2+ 6 x + 9

Como:

x2+ 6 x + 9 = x2+ 2.3.x + 32

En la ltima expresin se advierte que el polinomio es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO,es decir que proviene de elevar un binomio al cuadrado.

Luego:

x2+ 6 x + 9 = (x + 3)2

Como es muy sencillo pasemos a resolver algunos

Actividad 2


a) x2+ 10x + 25b) x2 2x +1

c) x2+ x+

d) x2 6x + 18e) 9 + x2 6x

d) Cuatrinomio cubo perfecto (ccp) / cubo de un binomio

Al elevar al cubo un binomio se obtiene un polinomio que se denomina CUATRINOMIO CUBOPERFECTO (CCP):

(a + b)3= a3 + 3 a2 b + 3 a b2+ b3 y (a - b)3= a3 - 3 a2 b + 3 a b2- b3

Observen las caractersticas de cada trmino de los trinomios obtenidos.

Intentando pasar de la forma aditiva a la multiplicativa podramos escribir el polinomio

1

4

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x3 3x2+ 3x 1

Como:

x3 3x2+ 3x 1= x3+ 3.x2.(-1) + 3. x.(-1)2+ (-1)3

Que, como se ve, es un ccp

Luego:

x3 3x2+ 3x 1 = (x 1)3

Actividad 3


a) x3+ 6x2+ 12x + 8b) y3 3xy2+ 3x2y x3

c) x3 x2+ x -d) x3+ 3x2+ 3x 1

1

3

1

27

51


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Gua de trabajo n 11

Factoreo por races.

Todos los polinomios tienen al menos una raz y pueden escribirse como el siguiente producto:P (x) = (x raz) . Q (x)

Como se darn cuenta, Q(x) es el cociente de dividir

Q(x) = P(x) : (x raz) 2

Este cociente que se puede obtener mediante la regla de Ruffini (Por qu?)

Ejemplo 1

Supongamos que queremos factorear x3 1.

x= 1 es una raz de ese polinomio (por qu?)

Entonces, segn lo anterior

x3 1 = ( x 1 ) . Q(x)

Siendo Q(x), como se dijo, el cociente de (x3 1) : (x 1) (que, como tambin se dijo, podrahacerse mediante la regla de Ruffini)

Realicen la divisin:

Obtendremos:

x3 1 = ( x 1 ) . (x2+ x + 1)

Como se ve, hemos podido factorear x3 1

Otro ejemplo

Ya sabemos cmo obtener las races de

x2 5x + 6

Nota: En rigor, todo polinomio puede escribirse como

P(x) = a.(x r1) (x r2) (x r3) (x rn)

siendo a su coeficiente principal y r1, r2, r3,... rnlas n races que admite un polinomiode grado n. Nosotros trabajamos slo con races reales.

Por ejemplo en los nmeros, si 28 = 4 . k tenemos que k = 7 = 28 : 4 comparen esto con lo2escrito para polinomios.

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Cmo?

Si procedemos segn lo anterior nos quedar...

y si tambin lo hacen ustedes? (no sean tan confiados, pudimos equivocarnos)

x2 5x + 6 = (x-3).(x-2)

Fjense que 2 y 3 son las dos races del polinomio.

Para hallar las races de un polinomio de grado n se usa el Teorema de Gauss.

Sea por ejemplo: P(x)=Para hallar las races del polinomio usaremos el Teorema de Gauss, que expresa que las racesse encuentran entre los divisores del trmino independiente puesto que el coeficiente principal delpolinomio es 1, si as no fuese, deben hallarse los divisores del coeficiente principal y formar lasfracciones entre los divisores del trmino independiente sobre los divisores del coeficiente

principal. En nuestro ejemplo el conjunto de divisores esUtilizando el Teorema del resto buscaremos aquellos valores de x que anulan el polinomio.Probaremos con x= 3 y x= 4

El valor x=3 no es raz del polinomio asociado.

El valor x=4 es raz del polinomio, entonces se puede usar la regla de Ruffini para encontrar lasotras races, si existen:

Obtenemos la siguiente igualdad:Seguimos factorizando el parntesis que contiene un polinomio de segundo grado. El conjunto de

las posibles races de este polinomio esElegimos x= 1 y utilizamos Ruffini:

La ltima igualdad obtenida es:

3 22 11 12x x x! ! +

{ }1, 1,2, 2,3, 3,4, 4,6, 6,12, 12! ! ! ! ! !

3 2

3 2

3 2

3 2.3 11.3 12 27 2.9 33 12

3 2.3 11.3 12 27 18 3 12

3 2.3 11.3 12 18 0

! ! + = ! ! +

! ! + = ! ! +

! ! + = "

3 2

3 2

3 2

4 2.4 11.4 12 64 2.16 44 12

3 2.3 11.3 12 64 32 44 12

3 2.3 11.3 12 0

! ! + = ! ! +

! ! + = ! ! +

! ! + =

1 2 11 12

4 4 8 12

1 2 3 0

! !

!

!

( )( )3 2 22 11 12 4 . 2 3x x x x x x! + = ! + !

{ }1, 1,3, 3! !

1 2 3

1 1 3

1 3 0

!

( ) ( ) ( )3 22 11 12 4 . 1 . 3x x x x x x! + = ! ! +

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Hemos hallado la expresin factorizada del polinomio dado.

Actividad 1


a) x2+ 3x 4b) 3x2+ 12c) x3+ 8d) x4 1

e) x5+

Reflexiones interesantes

Si miramos bien, los casos de factoreo los podramos haber omitido y habernos quedado slo conesto de las races porque, por ejemplo:

4 x2 tiene a x=2 como raz

Entonces

4 x2= (x 2 ) . ......

O tambin:

x4 1 se puede pensar como una diferencia de cuadrados, no?

En conclusin tienen la posibilidad de aplicar los casos de factoreo esta propiedad de las racesde un polinomio para pasar de la forma aditiva a la multiplicativa. Manjense como mejor lesparezca. Quiz lo mejor sea hacer un mix segn el polinomio a factorear.

Actividad 2

Ejercicios para ponerse a prueba

a) 2x3 18xb) x3- 6x2+ 12x - 8c) x4- 16d) x2 8x 16e) 3x2+ 3ax + ax2+ a2x

f) x2+ 2x -g) 4x 16x3

1

32

1

2

21

2

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Gua de trabajo n 12

Actividad 1Una lectura con poco para hacer

Como estuvimos viendo hasta ahora, un polinomio adquiere diferentes valores numricos deacuerdo al valor que adquieren sus variables (hasta ahora no lo dijimos pero ustedes saben queun polinomio podra tener ms de una variable, pero no se asusten que no es de eso de lo quequeremos hablarles).

Se puede establecer una relacin entre los valores de las variables y el valor numrico queadquiere el polinomio por ejemplo (ya lo hicimos en la propuesta de trabajo 2):

Si P(x) = 6 . x3+ 5 . x2+ 7 . x + 1

P(10)= 6571

P(2) = 83P(7) = 2353

P(15) = 21481

Podemos construir una tabla en la que a cada valor de x le corresponde un nico valor numricode P(x):

Completen la tabla.

Esto significa que existe una funcinque relaciona cada x con un nico valor numrico

Si llamamos y a los valores numricos del polinomio para cada x la tabla queda comohabitualmente, solamente hay que considerar entre qu valores puede encontrarse el valor de x yel tipo de nmero que puede ser es decir el dominio de la funcin. Por ejemplo si x solamentepuede tomar los valores que pusimos en la tabla, el dominio de la funcin sera el conjunto denmeros Naturales:

D = {2, 3, 4, 5, 7, 10,15}

Adems el conjunto imagen est formado por los valores que puede adquirir la y, en este caso(compltenlo, sin olvidar las comas, y cierren la llave):

I = {83, .......................................................

En este Mdulo curso de ingreso trabajaremos con funciones lineales y cuadrticas.

Ejercicios de repaso del bloque:1) Decir si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no explicando por qu.

x P(x)

10 6571

2 837 2553

15 21481

3

4

5

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a)

b)

c)

d)

e)

f) 4.x-1+ 3g) 2x + 3x2

h) 2x + 3x2

i) 3x 2(x + 4)2

j) (3x 4). + 4

2) Determinar grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios, ordenarlos segn laspotencias decrecientes.

a) 4x3 1 + 3x2b) x5+ x6

c) 2x + 3x3

x2

d) + este es un poquito ms difcil hay que usar la propiedad distributiva de

la divisin

3) Dados los polinomios:

P(x) = x4#2x2#6x #1

Q(x) = x3#6x2+ 4

R(x) = 2x4#2 x #2

Calcular:

a) P(x) + Q(x) #R(x) =b) P(x) + 2 Q(x) #R(x) =

c) Q(x) + R(x) #P(x) =

4) Usando el ingenio

a) Sabiendo que

P(x) + R(x) = 10x2+ x y R(x) = 6x2+ x + 1

Calcular P(x)

b) Sabiendo que

P(x) #U (x) = 3x2 3 y que U(x) = x2+ 2

Calcular P(6)

5) Resolver las siguientes ecuaciones:

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a) 3x-9= 1

b) 14- 4x= 3

c) x2 - 1 =

d) x - x2= -2

e) 2x+x2= 0

6) Resuelvan los siguientes problemas utilizando ecuaciones u otras estrategias.

1) El pap y la mam de Juan trabajan. La mam gana $ 2850 pero le descuentan $ 400. Elpapa gana $ 3200 y le descuentan $ 500. Si los gastos mensuales familiares suman $3900. Cunto pueden ahorrar?

Respuesta: Pueden ahorrar $1250

2) Un edificio tiene 17 pisos, planta baja y 2 subsuelos. Un ascensor est en el segundo piso,sube 8 pisos, desciende 11 pisos, vuelve a subir 5 pisos, desciende 6, sube 7 y baja 2 Encul est en este momento?

Respuesta: Est en el tercer piso

3) En un aeropuerto, se acepta despachar un mximo de 30 Kg. por pasajero sin pagarexceso de equipaje. Una seora llevaba 12 Kg. de ropa, 2 Kg. de perfumes, 3 Kg. dezapatos, 3 Kg. de peso en libros y folletos. Adems, llevaba 4 regalos de igual peso y cadauno pesaba una cantidad entera de Kg. Cul era el peso posible de cada regalo si la

valija vaca pesaba 2 Kg. y no pag exceso de equipaje?

Respuesta: Cada regalo tiene un peso posible de 1 2 kg

4) Carlos reparte caramelos entre sus tres hijos, al mayor le da la tercera parte, al del mediola cuarta parte y al menor dos quintas partes. Luego del reparto le sobran dos carameloscuntos caramelos tena Carlos para repartir?

Respuesta: Carlos tena 120 caramelos para repartir

5) Si una persona por da emplea la cuarta parte de lo que gana en alimentos, dos tercios delo que le queda en otros gastos y ahorra $ 34,30 Cunto gana por da?

Respuesta: Gana $137,20 por da

4

5

57


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BLOQUE 3: Funciones - Funcin Lineal

Introduccin:

En este bloque, trabajaremos en el estudio de las funciones en general y comenzaremos arecordar, en particular, a la funcin lineal.

Se volvern a familiarizar con conceptos como dominio, imagen, conjuntos de ceros, depositividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, ordenada al origen, pendienteas como tambin con el anlisis e interpretacin de grficos, pero no se preocupen si les

parece que no se acuerdan de nada, solamente ocpensey recuerden que no estn solo eneste desafo.

I - Funciones

Las funciones son relaciones que nos permiten describir situaciones de la vida diaria y dediversas ciencias, incluyendo a la matemtica, para luego poder analizarlas e interpretarlas. En laprimera parte de este bloque trabajaremos con la nocin de funcin y estudiaremos algunas desus propiedades a partir de sus grficas y tablas. En la segunda parte nos ocuparemosparticularmente de la funcin lineal.

Gua de trabajo n1

Pongamos en prctica nuestra capacidad para interpretar grficos

Actividad 1

El grfico muestra la evolucin del peso medio de un varn y una mujer en los primeros 15 aosde su vida. Analizando el grfico respondan:

(a) Cules son las variables se relacionan?(b) Cul fue el peso del varn a los 5 aos?(c) Cul fue el peso de la mujer a los 10 aos?(d) A qu edad el varn peso 35 kg?(e) A qu edad la mujer peso 45 kg?(f) Entre qu edades la mujer pes ms que el

varn?(g) Aproximadamente a qu edades ambos pesaron

lo mismo?

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Actividad 2

Este grfico muestra las variaciones en el nivel normal de un lago argentino durante un ao. Eleje de abscisas (cul ser?) representa el nivel considerado normal del lago

Observen el grfico para responder:

(a) En qu meses estuvo por encima de su nivel normal?(b) En qu meses estuvo por debajo de su nivel normal?(c) En qu mes/es mantuvo su nivel normal?(d) Cul fue la variacin de nivel que tuvo en todo el ao? Para calcularlo, tengan en

cuenta el pico mximo y el mnimo de altura alcanzada por el lago.(e) Si el aumento del nivel fue producido por grandes lluvias, en qu estacin del ao

ocurri?(f) En qu mes se produce el mayor aumento de nivel?

(g) En qu mes se produce la mayor disminucin de nivel?(h) Cunto metros disminuy el nivel entre abril y junio?(i) Cuntos metros aument el nivel en febrero?(j) Durante cuntos meses disminuy el nivel?

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(k) Durante cuntos meses aument el nivel?(l) Durante cuntos meses se mantuvo igual el nivel?

Ahora empecemos a trabajar con funciones y sus caractersticas:

En este tema se han incluido algunas claves tericas en recuadros como el siguiente, esimportante que las tengan en cuenta a la hora de estudiar

Actividad 3

a) Indiquen cules de los siguientes grficos representan funciones.

a.Indiquensi las siguientes tablas corresponden o no a una funcin. Justifiquen sus respuestas en cadacaso.

c)Indiquenel dominioy la imagend e l a ssiguientesfunciones

teniendo en cuenta que el lado de la cuadrcula representa una unidad.

60

Por si no se acuerdan, una funcines una relacin entre dos variables, en lacual, a cada valor de la primera le corresponde un nico valor de la segunda.Para cada valor de x debe corresponderse un nico valor de y.

Dominio:es el conjunto formado por los valores que puede tomar lavariableindependiente, es decir x.Imagen:es el conjunto formado por los valores que puede tomar lavariable

dependiente, es decir la y.


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d) Observen e lgrfico de la siguiente funcin y respondan(a) Cul es el dominio de la funcin?(b) Cul es la imagen?(c) Cul es la imagen de 8?(d) El punto (-4;0) pertenece a la funcin?(e) Y el (3;2)?

(f) Completen:

e) Escriban el dominio y la imagen de las siguientes funciones.

f(-1)=_____ f(____)=-4

f(3)=_____ f(____)=2

f(0)=_____ f(____)=8

f(-7)=____ f(____)=0

61

Recuerden que:

Un intervalo numricoes un conjunto de nmeros que puede escribirse:[a,b] que indica todos los valores entre a y b incluyendo los valores de a y de b[a,b) que indica todos los valores entre a y b incluyendo el valor de a pero no el deb(a,b] que indica todos los valores entre a y b incluyendo el valor de b pero no el de a


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Actividad 4

Escriban los conjuntos de ceros, positividad y negatividad de las siguientes funciones:

Actividad 5

62

Recuerden:

Conjunto de ceros o races:son los valores dexpara los cuales yvale 0. Enel grfico son los puntos de corte de la funcin con el ejex.Observen para qu valores de x la funcin est por debajo o por arriba del eje x.Conjunto de positividad: son los valores dexpara los cuales la funcin es

positiva.Conjunto de negatividad: son los valores dexpara los cuales la funcin es


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Observen el grfico y escriban.

(a) Los intervalos de crecimiento ydecrecimiento.

(b) El o los intervalos donde es constante lafuncin.

(c) El o los puntos mximos y/o m n i m o srelativos.

II - Funcin Lineal

Las funciones lineales aparecen en muchas situaciones de la vida cotidiana, la economa, la fsica,etc.; y suelen ser el punto de partida para el estudio de otras funciones.

En esta segunda parte del bloque analizaremos juntos los conocimientos adquiridos,especficamente sobre las caractersticas principales de dichas funciones y las propiedades quetienen sus representaciones, mediante grficos, tablas de valores y frmulas.Tambin aqu se han colocado algunos recuadros con datos tiles para estudiar y guiar lasconsultas que necesiten realizar

A trabajar entonces

63

Ayuda:

Intervalo de crecimiento: son los valores dexpara los cuales la funcin crece.Intervalo de decrecimiento: son los valores dexpara los cuales la funcindecrece.Tienen que observar, al tomar valores cada vez ms grandes de xque pasa con y,es decir si aumenta o disminuye.


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Actividad 2

Decidan si cada una de las siguientes frmulas puede corresponder o no a una funcin lineal:

Actividad 3

a) Completen la siguiente tabla:

FuncinEs funcin

Lineal?Funcin

Es funcinLineal?

23 =x

xy += 312

23 3+= xy

)(: xy 54=

350 += xy ,

2

3xy =

23 += xy

xy

3

1=

xy 827 =+

23 !=x

Frmula de la FuncinLineal

Pendiente Ordenada al Origen

1 0..................)( =xh

150 != xxf ,)(

( ) 3g x x=

65

Informacin til:

Para obtener la pendiente `m,es necesario utilizar la siguiente frmula:

Donde (x1;y1) y (x2;y2) son las coordenadas de dos puntos que pertenecen a la recta

Si m = 0, f es una funcin constante: f(x) =b

Si m (0, f es una funcin lineal: f(x) = mx + b

El trmino independiente `b es la ordenada al origen, siendo(0;b)el punto deinterseccin con el eje de ordenadas.


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b) Completen la tabla de valores y representa en el plano cartesiano cada una de lassiguientes funciones lineal

c) Marquen con una cruz los puntos que pertenecen a cada recta. Justifiquen sus respuestasmediante clculos.

Actividad 4

1) Observen la grfica de la funcin f.

0 1

2

3 ........)(

+

=

xxg

..................)( =xh

( )532 != xxf )(

(a) y = x + 2 (b) y = -x +1 (c) y = 2/3x 1

X Y-201

X Y-402

X Y-303

(a) P = (0;3) Q= (0;0) R= (-4;2)( ) xxf

2

1!=

(b) P = Q= R=

( )2

14 != xxg !

"

#$%

&0

8

1; !

"

#$%

&

9

11; !

"

#$%

&

2

10;

66


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(a) Escriban las coordenadas de tres puntos que pertenezcan a la grfica de f.

(b) Cul o cules de las siguientes expresiones representa la relacin entre la x y lay ?

(c) Cmo se podra obtener la pendiente de la recta graficada a partir de las coordenadasde dos de sus puntos?

I. 1832 =+ xy

IV. 1

69=+

xy

III. 096 =! xy

II.

92

3+!= xy

67

!1 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


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2) Calculen la pendiente de cada una de las siguientes rectas graficadas.

(a) (b)

(c) (d)

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Gua de trabajo n 3

Otro tema pendiente

Actividad 1

a) En cada fila de la siguiente tabla se indican dos puntos Ay B de una recta, y su pendiente m.Completen la tabla y luego representen cada recta en el plano cartesiano.

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Recordemos que

Si los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dospuntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuacin.

Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), tambin perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener

la misma pendiente. O seay

Luego, la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos es:


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Es constante:

(se acuerdan lo que significa ^?)

Mximo:

2) Observen el grfico y respondan.

Cules son las races?Cul es la imagen de -5?Y cul la de 0?Para qu valor de x la imagen es 4?(preimagen de 4)Cul es la preimagen de -3?Para qu valores de x la funcin vale 3?Den tres valores de x con la misma imagen.

3) Marquen sobre el eje X. Con rojo: los intervalos de positividad Con verde: los intervalos de negatividad Con azul: el conjunto de ceros o races.

4)Realicenel grfico deuna funcinque cumplac o n l a scondicionespedidas encada caso.

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5) Observen el grfico y escriban.

(a) Los conjuntos de ceros, positividad ynegatividad.

(b) Los intervalos de crecimien to ydecrecimiento.

(c) El o los intervalos donde es constante.(d) El o los puntos mximos y/o mnimos relativos.

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BLOQUE 4: Funcin Lineal II

Introduccin

En este bloque les proponemos continuar con el anlisis de la funcin lineal, estudiando sufrmula y grfico, las posiciones relativas de dos rectas en el plano

Al principio aparece ejercitacin para revisar lo trabajado anteriormente, para luego continuar conactividades que les permitirn repasar algunos otros conocimientos.

Algunos de los ejercicios que pensamos, sern un desafo para esta etapa de revisin y de volvera acercarse a la matemtica. Cuentan con nosotros para esto! Haremos ciertas paradas en esterecorrido para recordar expresiones matemticas que les servirn para ms adelante.

Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su frmula con el grfico que lecorresponde y adems, que reconozcan las modificaciones que pueden tener estas funciones ensu grfico y cmo repercuten en la expresin de su frmula.

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Gua de trabajo n 1

Actividad 1

a) Una recta contiene a los puntos e=(-2;-4)y f=(1;5). Cul es su pendiente?

Pueden representar los puntos e y f en un sistema de ejes cartesianos para pensar tu respuestadesde el grfico.

b) La recta Htiene pendiente 0,5.

1)Puede contener a los puntos (7;3) y (-5;-3)? Por qu?

Ayuda:

Recuerden la frmula que trabajamos en el bloque anterior para calcular la pendiente deuna recta dados dos puntos que pertenezcan a ella.

2)Si su ordenada al origen es 2, contiene al punto (4;5)? Por qu?

7) La recta Ptiene pendiente 2y contiene al punto (1;1). Cul es su ordenada al origen?

8) Escriban la ecuacin de la recta D que tiene pendiente -0,5 y contiene al punto (0;5).Verifiquen la respuesta grficamente.

9) Escriban la ecuacin de la recta que contiene a los puntos (-2;-3) y (4;-5). Verifiquen la

respuesta grficamente.

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Para una mejor interpretacin de las siguientes consignas, diremos (comohabitualmente se hace) que:

= mx + b es la ecuacin eneral de una recta en la ue mes la...................................


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10) Calculen la pendiente y luego hallen la ecuacin de la recta que pasa por los siguientespuntos.

11) Representen cada una de las siguientes rectas en un sistema de ejes cartesianos,teniendo en cuenta valor de su pendiente y el de su ordenada al origen.

Gua de trabajo n2

A continuacin, les proponemos trabajar sobre las posiciones relativas de dos rectas en el plano yla relacin que existe entre esas posiciones, las frmulas de funciones lineales y sus

representaciones grficas.

Actividad 1

Representen en un mismo sistema de ejes cartesianos las rectas que tienen las ecuacionesindicadas. Debern hacer un grfico para las rectas del grupo (a)y otro para las del (b).

(a) p= (2;3) y q = (5;2) (b) p = (1/2;1/4) y q = (3/4;1/2)

(c) p = (-1;3) y q = (2;-5) (d) p = (-2/3;0) y q = (-1;4/5)

(a) ( ) 3

2

1!= xxf (d) ( ) xxi 23!=(c) ( ) 2+= xxh(b) ( ) xxg !=1

4

2

1

42

4

4

4

3

2

1

+!=

+=

!=

+=

xy

xy

xy

xy

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(b)

i) Observen el grfico de las rectas (a)Cules son las posiciones relativas de las rectasy1e y2? Y

módulo matemáticas ingreso upe 2016

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