modulo geo5

8/19/2019 Modulo Geo5

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I.E.G.P. “Corazón de María”_______________________ _______________ GEOMETRÍA

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Prof . Nelson Vásquez V. QUINTO GRADO

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALESOPERACIONES CON SEGMENTOS

I. OBJETIVO DE LA GEOMETRÍA

El objeto de la geometría es el estudio de las figuras geométricas desde el punto devista de su forma, extensión y relaciones que guardan entre sí.

Geometría plana.- Estudia las figuras planas, esto es, aquellas cuyos puntos seencuentran en un mismo plano. Llamada también Planimetría.

Geometría del espacio.- Estudia las figuras sólidas o del espacio, esto es, aquellascuyos puntos no se encuentran en un mismo plano.

Ejm: cubo, prisma, pirámide, esfera, etc.

II. FIGURA GEOMETRICA

Se llaman figuras geométricas a los conjuntos de puntos, tales como las líneas,superficies y cuerpos. El punto representa el conjunto unitario. En toda figura, menosen el punto, distinguiremos su tamaño, su forma y su posición.

Clasificación de las figuras planas: Congruentes. Cuando tienen igual forma y tamaño. Semejantes. Cuando tienen igual forma pero diferente tamaño. Equivalente. Cuando tienen la misma área o el mismo volumen pero diferente forma o

tamaño.

III.ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA

Los elementos geométricos fundamentales son:

1) El Punto

2) La Recta y

3) El Plano

1. Punto: Límite mínimo de la extensión, que se considera sin longitud, latitud niprofundidad. La idea de punto geométrica nos lo da la punta de un alfiler o la marca quedeja la punta de un lápiz. Expresa tan solo una idea y no un objeto real.


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2. Línea Recta: Sucesión continua de puntos que se desplaza hacia ambos extremos enforma ilimitada.

3. Plano: Superficie imaginaria ilimitada, es engendrada por una línea recta cuando sedesplaza paralelamente a su posición original.

IV. OTROS TERMINOS GEOMETRICOS

1. Línea: Está formada por una sucesión continua de puntos con una sola dimensiónque es la longitud.

2. Semi-recta: Parte de la recta que carece de punto de origen.3. Rayo: Parte de la recta que posee punto de origen.4. Segmento de recta: Porción de recta comprendido entre dos puntos que son los

extremos.

Conjuntos ConvexosDefinición: Un conjunto “P” del plano recibe el nombre de conjunto convexo, si y

solo si, para cada par de puntos A y B de P, se cumple que PAB .Un conjunto que no es convexo se llama CÓNCAVO.

A

B

AB

A

B

a) b) c)

d) ___ ___ e)

De los conjuntos precedentes (a) son conjuntos convexos.


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OPERACIONES CON SEGMENTOS

“El total es igual a la suma de las partes”. Este postulado podemos explicarlo con el siguiente

ejemplo. Carlitos se dirige a la casa de Fabiola distante a 5km., para luego enrumbarse 3kmmás hacia la casa de Danielito, tal como indica la figura.

Carlitos recorrió entonces: 5km + 3km = 8km

Pero notemos que: 5km es la longitud de CF Entonces :3km es la longitud de FD CF + FD = CD

8 km es la longitud de CD

Notamos pues que la suma de las partes (CF y FD) es igual al total (CD)

De manera similar e intuitiva notamos que si a CD le quitamos o restamos FD nos quedamoscon CF, esto es:

CD – FD = CF

Practiquemos un poco, tomando en cuenta la siguiente figura:

AB + BC = AC = 5Km AC + CD = ........... = ............

BC + CD = ........... = ............

AC – BC = ........... AB = 3Km

AD – CD = ........... = ............

BD – CD = ........... = ............

5Km 3Km


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OPERACIONES CON SEGMENTOS NIVEL II


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ANGULOS

Definición: Es la reunión de dos rayos que tienen un punto extremo común, es decirtienen el mismo origen.

Los dos rayos son los lados del ángulo y el punto extremo común se llama VÉRTICE delángulo.

A

BO

Ángulos congruentes. ()Dos o más ángulos son congruentes si tienen igual medida.

A

BO

°

P

QO

POQAOB

Bisectriz de un ángulo. La bisectriz de un ángulo es el rayo que partiendo del vérticedivide al ángulo en dos ángulos congruentes.

OX : es bisectriz del AOB m AOX = XOB = ° AOX = XOB

Clasificación de los ángulos.

Los ángulos se clasifican según su medida, de acuerdo a su posición y según suscaracterísticas.

I. SEGÚN SU MEDIDA

1. Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya medida es menor que 90° pero mayor que 0°.A

BO

°

90O

Elementos del ángulo.1. Lados: OA y OB 2. Vértice: “O” 3. Simbología: AOB, AOB; AOB4. Notación: AOB = OA OB 5. Medida: m AOB = °

A

BO

x°

°


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2. Ángulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90° pero menor que180°.

A

BO

°

18090

3. Ángulo Llano o rectilíneo: Es aquel ángulo cuyos lados son dos rayos opuestos; esdecir son colineales y su medida es 180°.

O

180°

180AOBm

4. Ángulo Recto: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90°

A

BO

90

5. Ángulo Nulo o Perígono: Es aquel ángulo cuya medida se considera igual a 0°.A

BO

0AOBm

II. SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS

1. Ángulos adyacentes:

Se dice que dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y un ladocomún tal que los lados se encuentren a otro y otro lado del lado común.

BO

lado común

A

C

Los ángulos: AOB y BOC son adyacentes (*) dos o más ángulos serán adyacentes

consecutivos cuando cada uno de ellos es adyacente con su inmediato.


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2. Ángulos opuestos por el vértice:

Son dos ángulos determinados al trazar dos rectas secantes.

A

B D

C

AOB COD

m AOB = m COD

III. SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS.

1. Ángulos adyacentes complementarios:

Cuando tienen el mismo vértice y cuyos lados tienen el mismo vértice y cuyos lados nocomunes forman un ángulo recto.

AB

O

C

Los ángulos AOB y BOC son adyacentes complementarios. 90

2. Ángulos adyacentes suplementarios:

Cuando tienen el mismo vértice y cuyos lados tienen el mismo vértice y cuyos lados nocomunes forman un ángulo recto.

A

B

O

C

Responde:

1.- ¿Qué clase de ángulos son?a) 180° : ___________________

b) 0° : ___________________

c) 74° : ___________________

d) 80° y 10° : _______________

e) 150° y 30°: _______________f 120°:

2.- La bisectriz de 88°

3.- Complemento de 69°

4.- Suplemento de 105°

5.- Suplemento del complemento de 88°


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EQUIVALENCIAS ENTRE ANGULOSPara los ángulos se tiene las siguientes equivalencias:

1º = 60' , 1' = 60'' , 1° = 3600”

PRACTIQUEMOS:

Ejercicios:1. Teniendo en cuento todo lo visto hasta el momento, clasifica los siguientes ángulos

en agudo, recto, obtuso, llano o cóncavo, según corresponda.a. 90º 32´ 20´´

b. 179º 12´

c. 62º 20´ 45´´

d. 203º 32´55´´

e. 3º 25´´

f. 180º 10´ 10´´

2. Resuelve:

12º 51´ 7´´ + 21º 22´ 15´´ = 43º 30´ 31´´ - 29º 28´ 45´´ =

120º 42´ 38´´ - 63º 53´ 29´´ = 120º 35´56´´ + 54º 45´ 59´´ =


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27º 34´ 35´´ x 5 = 38º 42´ 50´´ x 6 =

48º 26´ 36´´ 2 = 140º 43´ 16´´ 7 =

(140º 23´ 45´´ + 48º 8´ 40´´) 4 =

3. Resuelve las siguientes ecuaciones, en las cuales la incógnita es la medida de unángulo. Clasifica el ángulo obtenido en agudo, recto u obtuso.

a. X + 29º 17´ 45´´ = 130º

b. X – 57º 26´ 12´´ = 42º 28´

c. 98º 54´ 10´´ - X = 7º 56´ 34´´

4. calcula:

a. el ángulo suplementario de 38º 41´ 33´´

b. el ángulo complementario de 74º 13´ 55´´c. el ángulo adyacente de 138º 22´ 46´´

d. la bisectriz de 55º 28´ 45´´

e. la bisectriz de 123º 44´ 20´´

f. la bisectriz de 83º 29´

g. la tercera parte de 37º 4 8' 25' '

h. la quinta parte de 161º 59´ 5´´


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ANGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS


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PROBLEMAS CON ANGULOS


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AUTOEVALUACION01. En la figura, hallar “x”

A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9

02. En la figura hallar “x”

A) 1º B) 2º C) 3ºD) 4º E) 5º

03. Hallar el complemento del complemento delcomplemento de 20º

A) 30ºB) 40ºC) 50ºD) 60ºE) 70º

04. Hallar el complemento del complemento delcomplemento del complemento de 50º

A) 30ºB) 40ºC) 50ºD) 60ºE) 70º

05. Hallar el suplemento del suplemento delsuplemento de 150º

A) 10ºB) 15ºC) 20ºD) 25ºE) 30º

06. Hallar el suplemento del suplemento delsuplemento del suplemento de 100º

A) 80ºB) 90ºC) 100D) 105º

E) 110º

07. Hallar el complemento del complemento delcomplemento del complemento de 70º

A) 30ºB) 40ºC) 50ºD) 60ºE) 70º

08. Hallar el suplemento del suplemento delsuplemento de 120º

A) 30ºB) 40C) 50D) 60º

E) 7009. Del gráfico, hallar “x”

A) 4º B) 6º C) 8ºD) 10º E) 12°

10. 11. 11. En el gráfico, hallar “x”

A) 3ºB) 6ºC) 9ºD) 11ºE) 13º

12. En la figura, hallar “X”

A) 1ºB) 3C) 5D) 7

4x – 10º

6x + 30º

4x + 20º

10x + 30º

6x – 40º

4x – 20º

12x + 80º6x + 60º

6x - 40º

4x + 45

7x + 12º

12x - 20

20x + 30º

4x + 10


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DEFINICIÓN: Es la reunión de 3 segmentos determinados por 3 puntos no colineales.

NOTACIÓN: ""; ABC triángulolee se ABC

ELEMENTOS:B

A C

vértice

exterior

interior

ladointerior

ladoexterior

TEOREMAS

01. La suma de las medidas de sus 3 ángulos interiores es 180°

02. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de 2 ángulos interiores y no

adyacentes a él.

03. Un lado está compuesto entre la suma y la diferencia de los otros lados.

Es decir, según el gráfico:a - c < b < a + c

a

b

c

04. A mayor ángulo se le opone mayor lado y viceversa.Es decir:

a

c

TRIÁNGULOS


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CLASES: A. SEGÚN SUS ÁNGULOS

a) T. Acutángulo: Es aquel que tiene tres ángulos agudos, o sea menores de 90°

b) T. Obtusángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos.

lado mayor

c) T. Rectángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto y dos agudos.

hipotenusa (lado>)

cateto

cateto

B. SEGÚN SUS LADOS:d) T. Escaleno: Es aquel triángulo que tiene sus tres lados diferentes y sus tresángulos interiores diferentes.

e) T. Isósceles: Es aquel triángulo que tiene dos lados congruentes y los ángulos quese oponen a dichos lados son también congruentes.

en elvertice

f) T. Equilátero: Es aquel triángulo que tiene sus tres lados congruentes y sus tresángulos interiores que miden 60° cada uno.

60°

60°

60°


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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES:

a) Mediana: BM Las medianas concurren en el baricentro “G” Propiedad: AG = 2GN

B

A CM

N

A

G

b) Altura: BH Las 3 alturas concurren en el ortocentro

“H”

B

A NH A

H

N

B

Obtusángulo Rectángulo

Acutángulo

H

A NL

A

H

C

BOrtocentro

c) Bisectriz: BEyBD

Las bisectrices interiores concurren en el punto (1), llamado incentro.

A D CE

B

Bisectris

interior

Bisectrisexterior

1


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PRACTIQUEMOSI.- Marca la alternativa correcta

1.- El punto determinado por la intersección de las medianas en un triángulo se llama:a) mediatriz b) circuncentro c) incentro d) baricentro e) ortocentro

2. En un triángulo: El incentro es el punto determinado por la intersección de:a) las bisectrices b) las medianas c) las mediatrices e) las alturas e) N.a.

3. En un triángulo el punto determinado por la intersección de las medianas sedenomina:a) incentro b) ortocentro c) circuncentro d) baricentro e) N.a.

4. En un triángulo rectángulo el ortocentro se encuentra en:a) El punto medio de un cateto. b) Punto medio de la hipotenusa.c) El ángulo agudo mayor. d) El ángulo recto. e) N.a.

5. Si el ortocentro coincide con el baricentro y el circuncentro, entonces eltriángulo es:a) rectángulo b) obtusángulo c) acutángulo d) equiángulo e) N.a.

6. El excentro está determinado por:a) La intersección de las bisectrices de los ángulos exterioresb) la intersección de dos bisectrices exteriores y una interiorc) La intersección de dos bisectrices interiores y una exteriord) La intersección de las medianase) N.a.

II.- RAZONA Y RESUELVE

1.- Los ángulos de un triángulo están en relación de 2, 3 y 5. Calcular el menor.a) 54° b) 36° c) 30°d) 20° e) 50°

2. Hallar “x”

x

20°30°

A

B

C

D

E

a) 10° b) 20° c) 50° d) 25° e) 5°

3. Hallar” ∝” si: AB = BC = CD = EF:

A

B

D

EC F

a) 10° b) 28° c) 30° d) 37° e) 20°


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4. En el ABC hallar el ángulo “X” C

D AB

x

144

a) 15° b) 18° c) 25° d) 34° e) N.a.

5. El perímetro de un triángulo mide 34 y uno de sus lados mide 16. Calcular la medida delos otros dos, si su producto es 80.a) 25 y 10 b) 8 y 18 c) 5 y 16 d) 4 y 20 e) N.a.

6. Los ángulos interiores de un triángulo tomados dos a dos suman 158; 130 y 72. ¿Cuántomide el ángulo mayor?a) 22° b) 108° c) 50°d) 40° e) N.a.

7. ¿Qué valor debe tener uno de los ángulos de un triángulo si conocemos que seencuentran en progresión aritmética?a) 30° b) 60° c) 50°d) 40° e) N.a.

8. En la figura: DCBDAB .

Calcular BDCB

A CD

40

a) 125° b) 80° c) 110° d) 140° e) N.a.

9. El perímetro de un triángulo mide 90. Calcular la medida de sus lados sabiendo que son3 números enteros consecutivos.a) 25, 26 y 27 b) 28, 29 y 30c) 30, 31 y 32 d) 29, 30 y 31e) N.a.

10.La suma de los lados de un triángulo son:a + b = 29; b + c = 21 y a + c = 24. ¿Cuánto mide el lado menor del triángulo?a) 15 b) 16 c) 13d) 8 e) N.a.


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11. El perímetro de un triángulo mide 28. Calcular la medida de sus lados sabiendo que ellado mayor excede al intermedio en 3 y éste excede al menor en 5.a) 5, 10 y 13 b) 8, 12 y 8c) 5, 12 y 11 c) 4, 10 y 14e) N.a.

12. Hallar "x" BCAB B

A C

80

x a) 25° b) 80° c) 50° d) 40° e) N.a.

13. Hallar " x "

x

80

a) 20° b) 18° c) 50° d) 40° e) 60°

14.- Hallar “X”

x

a) 80° b) 50° c) 100° d) 120° e) 150°

15. Del gráfico, hallar “x” si: CD = DE =BE

20°AB

C

D

E60°

x

a) 50 b) 60 c) 70d) 80 e) 90

16. Hallar “x”

x

20°30°

A

B

CD

E

a) 10° b) 20° c) 50° d) 25° e) 5°


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AUTOEVALUACION


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DEFINICION:

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

TRAPEZOIDES: Ningún par de lados opuestos es paralelo.e

PARALELOGRAMOS: Sus lados opuestos son paralelos e iguales.

Cuadrado rectángulo rombo romboide

TRAPECIOS: Tienen dos lados paralelos llamados bases.

b

B

m

b

B

h

b

B

escaleno rectángulo isósceles

TEOREMAS01. x = aº + bº + cº

bº

aº cºx

02. Si b // B m = 2 bB

b

m

B 03. Si b // B x =

2

bB

b

x

B

04. + = 180º

05. 2 ba

x

a

b

x

06. x = 120º - 2

a

xº 2a

a

CU DRILÁTEROS


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07.2

bax

b

a

x

08.2

bax

ax

b


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5. En un paralelogramo ABCD, AB = x + 8 y CD = 16. Hallar “x”

6. En un paralelogramo ABCD, AB = 5x - 12 y CD = 37. Hallar “x”

7. En un trapecio isósceles ABCD, BC//AD, AB=2x+1 y CD = x + 6. Hallar “x”

8. Dos lados de un rombo miden: 7x – 21 y 4x + 12. Hallar “x”

9. En un cuadrilátero ABCD, m


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EJERCICIOS PROPUESTOS01. Hallar la mediana de un trapecio, si una de las bases es los 3/5 de la otra que mide

20 cm.a) 12 cm b) 14 cm c) 16 cm d) 18 cm e) N.A.

02. Las bases de un trapecio miden 20 cm, y 26 cm. Hallar la medida de la mediana.a) 46 cm b) 23 cm c) 48 cm d) 24 cm e) N. A.

03. La mediana de un trapecio mide 20 cm, si una de las bases mide 12 cm. Hallar lamedida de lastra base.

a) 18 cm b) 24 cm c) 28 cm d) 34 cm e) NA

04. Hallar el perímetro del cuadrilátero PQRS . Si AC + BD = 16 mt.

05. En la figura. Hallar el suplemento de “x”

a) 16,5 b) 195,5 c) 163,5 d) 150 e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA1. En un cuadrilátero ABCD, m


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CUADRILATEROSNIVEL II


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POLÍGONOS


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Notas:a) El número de diagonales que se puede trazar desde un solo vértice es igual a n - 3.b) El número de triángulos en que se puede dividir el polígono desde un solo vértice igual n - 2.c) El número de diagonales medias (Dm) es igual a:

2)1n(nDm


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POLIGONOS II

1. La suma de los ángulos internos de un polígono es 1080°, dicho polígono es un:a) Hexágono b) Heptágono c) Octógono d) Nonágono e) Pentágono

2. Hallar la suma de los ángulos internos de un Icoságono.a) 3240° b) 3400° c) 3420° d) 1800° e) N.a.

3. Un polígono tiene 20 lados, entonces es un:a) Octógono b) Nonágono c) Decágono d) Heptágono e) N.a.

4. ¿Cuántas diagonales tiene un Nonágono?a) 27 b) 30 c) 18 d) 36 e) N.a.

5. ¿Cuánto mide el ángulo exterior de un Nonágono regular?a) 40° b) 36° c) 45° d) 60° e) N.a.

6. El ángulo externo de un polígono regular mide 72°, hallar el número de lados:a) 9 b) 8 c) 7 d) 5 e) N.a.

7. El ángulo interno del pentágono regular mide:a) 109° b) 72° c) 108° d) 54° e) 120°

8. ¿Cómo se llama el polígono regular cuyo ángulo interno mide 120°a) Pentágono b) Nonágono c) Hexágono d) Decágono e) N.a.

09. El ángulo central de un polígono convexo mide 60°, dicho polígono es un:

a) Octógono b) Nonágonoc) Icoságono d) Exágonoe) Pentágono

10. Calcular el ángulo central de un polígono regular de 36 lados.

a) 20° b) 15° c) 30°d) 60° e) 10°


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REFORZANDO LO APRENDIDO01. Calcular en la figura el arco QP siendo

“O” centro de la circunferencia

80º

Q

P

O

a) 160° b) 40° c) 80°

d) 70° e) N.a.

02. Hallar x .B

A

D

100°

C

x

a) 100º b) 90º c) 50º

d) 80º e) N.a.

03. Hallar x en la figura

B

A

D

20°Cx

130°

a) 75º b) 105º c) 130º

d) 20º e) N.a.

04. En la figura, hallar “x”

B A

DC

2x + 3

15 a) 5 b) 6 c) 4

d) 7 e) 4

05. Hallar “x” si AB = 30º y BC = 140º

C

B

A

x

a) 110º b) 55º c) 100º

d) 100º e) N.a.

06. Hallar PQ , si QC = 105°

C

Q

P

20°

a) 105º b) 40º c) 65º

d) 20º e) 110º

07. Hallar el ángulo BOA si “O” es el centro.

C

A

O

B68°

a) 56º b) 34º c) 130º

d) 28º e) N.a.

08. Hallar el ángulo AOC si “O” es el centro.

C

A

OB40°

a) 100º b) 120º c) 130º

d) 140º e) 150º

09. En la figuraAB

= 100º,CD

= 120º, hallarBD si AB CD/ /


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C

A B

D

a) 140º b) 70º c) 80º

d) 90º e) N.a.

10. Hallar x si AB DC 18

B

R

S

Q

C

P

4

x

6D

A 5

a) 5 b) 4 c) 6

d) 9 e) 3

11. Si AB = 50º. Hallar x y z

x

B

y z

A

a) 150º b) 50º c) 100ºd) 200º e) 75º

12. Hallar x y

x

y20°

a) 40º b) 20º c) 60º

d) 10º e) 30º

13. Si ABes diámetro y BD = 60º

Hallar x C

A B

D

x

a) 120º b) 60º c) 30ºd) 80º e) N.a

14. Si PQ es diámetro, hallar x S

30ºQP

x

R

a) 30º b) 60º c) 120º

d) 15º e) 90º

15. Si O es el centro de la semicircunferencia,además AO BC . Hallar x

D Ax

B

CO

a) 45º b) 50º c) 60º

d) 30º e) 90º

16. Hallar x , si AOB es 100º A

x

B

O

a) 40º b) 100º c) 80º

d) 50º e) N.a.


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~ 49 ~


PERIMETROS


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~ 5 ~



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~ 51 ~


PRACTIQUEMOS


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~ 52 ~



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~ 53 ~


PERIMETROS EN CUADRICULAS


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~ 54 ~



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~ 55 ~


AREAS


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~ 56 ~


Determina el perímetro y el área de las siguientes figuras:

a) ABCD cuadrado, AC = 4 cm. b) ABCD rectángulo

c) ABCD rectángulo, AC = 13 cm. e) ABCD rectángulo, E punto medio de AB, AD= 6 m., DE = 10 m.

d) ABCD rombo, DE = 9 cm., EC = 12 cm. g) ABCD rombo, DC = 10 cm., DE = 9 cm.

h) ABCD romboide, AB = 20 cm., BC = 12 cm.,altura DE = 8 cm.

i) ABCD romboide, DC = 12 cm., AD = 5 cm., AE =3 cm.

j) ABC triángulo cualquiera, AC = 12 cm., BC

= 14 cm., AB = 24 cm, CD = 4 cm.

k) ABC triángulo cualquiera, AD = 2cm., BD

= 6 cm., CD = 5 cm.


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~ 57 ~


l) ACBC, AC = 1 m., BC = 3 m. m) ABC triángulo equilátero, AB = 6 m.

n) ABC triángulo equilátero, CE altura, EB = 1 cm.

o) Radio OA = 9 cm.

ñ) AC = BC, CE altura, AC = 13 cm., CE = 12 cm.

p) Diámetro AB = 26 cm.

q) AB diámetro de la circunferencia AC = 8cm., BC = 6 cm.

r) ABCD trapecio con altura de 4 cm., AD = 12 cm., AB = 14 cm., BC = 6 cm., CD = 10 cm.

s) ABCD trapecio con altura de 12 cm. y mediana 8cm., AD = 4 cm., BC = 6 cm.


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MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA

1. El perímetro del rectángulo cuya superficie es 24 cm2 y uno de sus lados mide 3 cm. es:a) 8 cm. b) 11 cm. c) 24 cm. d) 22 cm e) 48 cm.

2. La medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 64 cm. es:a) 4 cm b) 8 cm. c) 16 cm. d) 32 cm. e) 64 cm.

3. Si el radio de una circunferencia es 8 m. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado circunscrito a ella?a) 16 m. b) 32 m. c) 40 m. d) 64 m. e) 256 m.

4. ¿Cuánto es la diferencia entre las áreas de una circunferencia de 6 m. de diámetro y otra de 4 m. deradio?

a) 21 m2 b) 23 m2 c) 25 m2 d) 60 m2 e) 2 m2

5. ¿Cuál es el perímetro de un romboide en el cual uno de sus lados mide 7 cm. y el otro lado mide 3,6 cm?

a) 8,6 cm b) 10,6 cm c) 21, 2cm. d) 25,2 cm e) N.A.

6. Un cuadrado de lado a tiene un área de 49 m2. Un cuadrado de lado 3a tiene un área de :

a) 147 m2 b) 196 m2 c) 294 m2 d) 441 m2 e) 2401 m2

7. En un rectángulo, el largo excede en 5 cm. al ancho. Si el perímetro mide 58 cm., su superficie es:

a) 63 cm2 b) 84 cm2 c) 102 cm2 d) 130,5cm2

e) 204 cm2

8. La base de un triángulo isósceles mide 30 cm. Si su perímetro es 72 cm., cada uno de sus lados mide:

a) 14 cm. b) 18 cm. c) 21 cm. d) 42 cm. e) 36/15

9. El área de la figura que se obtiene al unir los puntos (0,0); (-3,5) y (-3,0) es:

a) 0 u2 b) 3 u2 c) 6 u2 d) 7,5 u2 e) 15 u2

10. El área de un círculo es 25p cm2. Entonces, el perímetro del cuadrado circunscrito es:

a) 20 cm. b) 20 cm. c) 40 cm. d) 100 cm. e) 625 cm.

11. El área de un rectángulo es 200 m2 y su largo es 25 m. Por lo tanto, su perímetro es:

a) 50 m. b) 58 m. c) 66 m. d) 225 m. e) 240 m.

12. Un papel cuadrado de 6 cm. de lado se dobla de modo que los cuatro vértices queden en el punto deintersección de las diagonales. ¿Cuál es el área de la nueva figura que resulta?

a) 6 cm2 b) 12 cm2 c) 18 cm2 d) 24 cm2 e) 36 cm2

13. La mediana de un trapecio mide 20 cm. Si una de las bases es el triple de la otra, entonces la basemayor mide:


14. El perímetro de un cuadrado de lado 2n es igual al de un rectángulo cuyo largo es el triple del ancho.¿Cuál es la superficie del rectángulo?

a) 3n2 b) 4n2 c) 2n2 d) 9n2 e) 8n2


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~ 59 ~


15. Los lados de un rectángulo mide 8 m. y 18 m. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de igual perímetro?

a) 6 m. b) 12 m. c) 13 m. d) 26 m. e) 52 m.

16. El área de un triángulo rectángulo isósceles es 32 cm2. Entonces los catetos iguales miden:

a) 9 m. b) 8 m. c) 4 m. d) 12 m. e) 6 m.

17. El área de un cuadrado es 36 cm2. Si un triángulo equilátero tiene el mismo perímetro que el cuadrado,entonces el lado del triángulo mide:


18. Los lados de un rectángulo están en la razón de 3:8. Si su área es 600 cm2., entonces su lado mayormide:

a) 80 b) 40 c) 30 d) 15 e) Ninguna de lasanteriores

19. El área de un cuadrado es 81 cm2. ¿Cuál es el perímetro del triángulo equilátero construido sobre su

diagonal?


20. Las áreas de dos círculos son entre sí como 48:75. Entonces la razón entre sus radios es:

a) 48:75 b) 16:25 c) 2:1 d) 4:5 e) 75:48

21. Si el diámetro de una circunferencia mide 6 cm., entonces su semiperímetro es:

a) 18p cm. b) 4,5p

cm.

c) 3p cm. d) 6p cm. e) 9p cm.

22. En la figura, ABCD es un cuadrado de perímetro 4a cm y AFGE es unrectángulo, si AE = 1 cm y AF = 2 cm. ¿Cuál es el perímetro de la figurasombreada?

a) 4a cm.b) (4a - 3) cm.c) (4a - 2) cm.

d) (4a - 1) cm.e) (4a + 3) cm.

23. Si un alambre de 60 cm. de largo se usa para construir tres cuadrados de igual lado, entonces la suma

de las áreas es:a) 108

cm2 b) 25 cm2 c) 60 cm2 d) 72 cm2 e) 75 cm2

24. El cuadrado ABCD de la figura, tiene un perímetro de 32 cm. y está formadopor 4 cuadrados congruentes subdividos a su vez en triángulos semejantes. ¿Cuáles el área de la superficie sombreada?

a) 6 cm2 b) 3 cm2 c) 15 cm2

d) 10 cm2 e) 12 cm2


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25. Los rectángulos ABCD y PQRS son congruentes y se han superpuesto del modo que se indica en lafigura. Si AD = 4 cm., AB = 12 cm. y RQ = (2/3)BQ, entonces ¿cuál es el área del rectángulo?

a) 12 cm2 b) 16 cm2 c) 24 cm2

d) 10 cm2 e) 12 cm2

26. En el gráfico de la figura, ¿cuál es el área de la figura sombreada?

a) 14 cm2 b) 38 cm2 c) 76 cm2

d) 56 cm2 e) 112 cm2

27. Con el 20% del perímetro de una circunferencia se construye una circunferencia de 16 cm. de longitud.¿Cuál es el radio de la circunferencia mayor?


28. Si la figura está formada por cinco cuadrados de perímetro 40 cm. cada uno, ¿cuál es el perímetro de lafigura?

a) 120 cm.b) 160 cm.c) 180 cm.

d) 200 cm

e) 250 cm.

29. La suma de las áreas de dos cuadrados es 52 cm2. Si el lado del cuadrado menor es 4 cm., el lado delmayor es:

a) 36 cm. b) 16 cm. c) 9 cm. d) 6 cm. e) N. A.

30. El 30% del área de un rectángulo equivale al área de un cuadrado de lado 9 cm. ¿Cuál es el área delrectángulo?

a) 24,3cm2

b) 30 cm2 c) 81 cm2 d) 243cm2

e) 270 cm2


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~ 62 ~



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~ 63 ~



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P Q

S RT

N B

M R

10

10

10

10

AUTOEVALUACION

Encierra cada problema de áreas, encierra con una línea la alternativa solución

1. El lado del cuadro EFGH mide 20 cm. Si A y B son puntos medios de los lados delcuadrado y O es el centro del cuadrado. ¿Cuál es el área de las partes sombreadas?

a. 400b. 200c. 180d. 250e. 240

2. El doble del perímetro del cuadrado JMDR mide 64 cm. Si A, B y C son puntos mediosde los lados del cuadrado. ¿Cuál es el área sombreada?

a. 164b. 32c. 256d. 128e. 40

3. En la figura, O es el centro del cuadrado superior. Ambos cuadrados tienen sus ladosparalelos e iguales a 6 m, ¿cuál es el área de las partes sombreadas?

a. 27b. 36c. 72d. 54e. 48

4. En el rectángulo PQRS, TR es la cuarta parte del lado RS. Si los lados del rectángulomiden 48 m. y 24 m. respectivamente, ¿cuál es el área sombreada?

a. 576

b. 288c. 144d. 160e. 200f.

5. El lado cuadrado NBRM mide 20 cm. ¿cuál es el área sombreada?a. 314b. 186c. 200d. 250e. 400


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N B

M R

2020

J L

R D

8

44

H M

F C

20

20

20

20

E F

H GD

B

A C

6. El lado del cuadrado NBRM mide 40 m. Si P es el centro del cuadrado, ¿Cuál es el áreasombreada?

a. 386b. 1600c. 400d. 1200

e. 1256

7. Los lados del rectángulo JLDR, miden 16 m y 8 m, respectivamente, ¿cuál es el áreasombreada?

a. 80b. 96c. 64d. 72e. 80

8. El lado del cuadrado HMCF mide 40 cm. ¿cuál es el área sombreada?

a. 1400b. 1600c. 344d. 1250e. 400

9. El lado de cuadrado EFGH mide 20 cm. Si A, B, C y D son puntos medios de los ladosdel cuadrado, ¿cuál es el área sombreada?

a. 314b. 86c. 400d. 286


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POLIEDROS


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HEXAEDRO O CUBO Es un poliedro regular ya que tiene 6 caras iguales.

A.

B. Desarrollo

ÁREA y VOLUMEN DE UN CUBO

v

V = a3

arista

cara

vértice

cuadrado

Todo hexaedro:

* Tiene 6 caras

* Tiene 8 vértices

* Tiene 12 aristas

a a a a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a

a a

a

a a

A = 6.a2 , donde a = arista


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AHORA HAZLO TÚ1. ¿Cuántas aristas tiene un cubo?

2.- ¿Cuántas caras tiene un cubo?

3.- La arista de un cubo mide 12cm. Hallar su área y volumen.

4.- El área de una cara del cubo es 12cm2. ¿Cuánto medirá su área total?

5.- EL volumen de un cubo 1000m3. ¿Cuánto medirá su área?

6.- La suma de las medidas de todas las aristas de un cubo es 72cm. Hallar su volumen


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~ 71 ~


7.- Se desea construir un cubo de cartón; pero sin la tapa superior; si la medida de su arista

es de 20cm. ¿Cuántos cm2 se usará?

8.- Una cisterna de forma cubica tiene una capacidad de 8000 litros. ¿Cuál es su volumen?

AHORA TU 1. ¿Cuál será el área de un cubo de 2 cm de arista? ¿Y de 3 cm de arista? Construye un

gráfico para cada área. Usa una regla.

2. Una de las caras de un cubo tiene 36 cm2 de área, ¿cuál será su área total? Construyeuna gráfica y anota en ella los datos.

3. El área total de un cubo es 600 cm2. ¿cuál será el área de una de sus caras? ¿Y cuál

será la longitud de su arista? Anota los datos en una gráfica.

4. El área total de un hexaedro es 216 m2, ¿cuál será la longitud de su arista? ¿Y cuál el

área de una de sus caras? Anota los datos en una gráfica.

5. Un recipiente de agua de forma cúbica tiene 3 m de arista. ¿Cuál será el área delrecipiente?


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FORMULAS IMPORTANTES


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~ 73 ~


Área de un prisma ÁREA DE UN PRISMA

• Ejemplo: Hallar el área del prisma triangular de la figura.

a

b

A = A + 2Bt L

A

A

B

t

L

= área total.

= área lateral (a × b).

= área de la base (triángulo).

10 m

3m 4m

5m

A = ) ) +

L

) ) + ) )

A =

A =

A =

L

B

T

A =

A =

T

T

__________m

2

) )

2


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~ 74 ~


AHORA HAZLO TÚ

1. Un prisma rectangular tiene las siguientes medidas:

Calcular el área lateral, el área de la base y el área total.

2. La base de un prisma recto es un rectángulo de 24 cm de largo, si el ancho de la base

es los 3/4 de su largo y su altura, 1/3 del ancho. ¿Cuánto mide su área total? Anota los

datos en un gráfico.

3. El área total de un prisma rectangular es 108 cm2. Si el área de la base mide 12cm2. ¿Cuánto mide su área lateral? Anota los datos en un gráfico.

20 cm

A = ( ) ( ) + (L ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( )

A = ( ) ( ) =

A =

B

T

10 cm

8 cm


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~ 75 ~


AHORA HAZLO TÚ

1. La base de una pirámide es un cuadrado de 6 cm de lado. Si su apotema mide 10 cm.

Hallar su área total. Ilustra tu respuesta usando una regla.

2. Hallar el área total de una pirámide regular de 12 cm de apotema y 100 cm2 de base

cuadrada. Ilustra tu respuesta.

3. Calcular el área lateral de una pirámide de: (20 2) cm de apotema y base cuadrada

de (14 2) cm de lado. Ilustra tu respuesta.

4. La base de una pirámide tiene 6 lados. ¿Cuántos vértices tiene la pirámide? ¿Y cuántas

aristas? Ilustra tu respuesta.

5. Calcular el área lateral y total de las siguientes pirámide regulares.

A = A + Bt L

A

A

B

t

L

= área total

= área lateral

= área de la base

A =L

p

ap

= perímetro de la base

= apotema de la pirámide

p + ap

2

B

h

ap

El área de la base dependerá del tipo

de polígono que sea la base.

Para recordar:


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~ 76 ~


6. La base de una pirámide tiene 12 lados. ¿Cuántos vértices tiene la pirámide? ¿Y cuántasaristas? Ilustra tu respuesta.(Sugerencia: puedes usar tu compás para diseñar la base de la pirámide)

7. Hallar el área de una pirámide regular de 10 cm de apotema, si tiene como base unpentágono regular de 6 cm de lado. Ilustra tu respuesta.

8. Responder si son verdaderas "V" o falsas "F" las siguientes proposiciones:

a. La base de un prisma siempre es un cuadrado. ( )b. La base de una pirámide regular siempre es un cuadrado. ( )c. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. ( )d. Las caras de una pirámide son triángulos equiláteros. ( )

9. Completar las siguientes proposiciones:

a. Un prisma hexagonal tiene ______ caras y ______ aristas.b. Una pirámide hexagonal tiene ______ aristas y ______ caras laterales.c. Las caras _________ de una pirámide son triángulos _____________.d. Una pirámide octogonal tiene ______ aristas más que una pirámide hexagonal.e. Una pirámide que está formada por 6 caras laterales tiene como base un

____________.

10. Dibuja en tu cuaderno una pirámide cuadrangular y otra hexagonal cuya arista de basesea 3 cm y 4 cm respectivamente.

11. Dibuja en tu cuaderno un prisma pentagonal y otro cuadrangular cuya arista de basesea 4 cm y 5 cm respectivamente.

4 cm

10 cm

5 cm

12 cm


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~ 77 ~


ESFERAÁrea y volumen

donde: r = radio

g = generatriz

Nota: Considerar = 3,14 aproximadamente

AHORA HAZLO TU

Plantea los siguientes problemas y luego halla el resultado de lo que se te pide.

1. Hallar el área de una superficie esférica cuyo diámetro es 8 cm.

2. La longitud de la circunferencia máxima de una esfera mide 18 cm. Hallar el volumen

de la esfera. Anota los datos en una gráfica.

3. Hallar el volumen de una esfera de 20 cm de diámetro. Anota los datos en una gráfica.

4. Visto desde arriba, indica qué cuerpo geométrico se aprecia. Escribe el nombrecorrespondiente:

eje derotación

r

r

r

g

A = 4 r 2

r

V = 4

3

r3


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5. En la siguiente malla de puntos, dibuja un cilindro, un cono y una esfera. Al lado del

cilindro dibuja un prisma hexagonal y al lado del cono una pirámide hexagonal. Señala

sus elementos.


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~ 79 ~


Área y volumen

AHORA, HAZLO TÚ

1. Hallar el área del cilindro de revolución de 12 cm de diámetro y 20 cm de altura. Ilustratu respuesta, (considera: = 3,14)

2. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene mayor volumen? (considera = 3,14)

r

h g g

eje derotación

h

r

g

= altura

= radio de la base

= generatriz

A = 2 r(r + g) V = r h 2

8 cm

2 cm

5 m

3 m

4 m

a. b. c.

V = ________ V = ________ V = ________


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3. De las siguientes figuras, calcular el valor de "h". (Considera: = 3,14)

4. En cada uno de los siguientes casos, hallar el área lateral del cilindro representado por un

rectángulo. (Considera: = 3,14)

h

r

A = 625 cm

r = 5 cm

t2

h

r

A = 108 cm

r = 3 cm

t2

a.

4 cm

R = 2 cm

b.

5 cm

R = 3 cm

c.

2,5 cm

R = 2 cm


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5. Halla el volumen y el área de cada uno de los siguientes cilindros. (Considera: = 3,14)

a.

8 cm

2 cm b.

8 cm

2 cm


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~ 82 ~


Área y volumen

AHORA, HAZLO TÚ

1. Hallar el área de un cono de revolución cuya generatriz mide y cuya base tiene 6 cmde radio. Ilustra tu respuesta. (Considera: = 3,14)

2. Calcular el volumen del cono de helado que se encuentra sobre una servilleta de papelde 6 cm de lado.

r

h gg

eje derotación

h

r

g

= altura

= radio de la base

= generatriz

A = r(g + r) V = r h 213

6 cm

6 cm

10 cm


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~ 83 ~


3. De la siguiente figura extrae los datos necesarios para hallar el volumen del cono.(Considera: = 3,14)

4. Con ayuda de una regla toma la medida de los datos que necesites de la figura parahallar el área del cono. Colorea el área.

= 3,14

r = ________

g = ________ A = ________

5. Escribe en cada parentésis "V" si es verdadero o "F" si es falso, según sea el caso:

r

5 cm

CUBO


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~ 84 ~


• El cono, la esfera y el cilindro tienen superficies curvas. ( )

• Los elementos de un cilindro son: el radio, la altura ( )

y la generatriz.

• El rectángulo es el polígono que genera el cono de ( )

revolución.

• Una semicircunferencia al rotar genera un cilindro. ( )


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~ 85 ~


AHORA, HAZLO TÚ

1. Hallar el volumen de una pirámide de base cuadrada de 6 cm de lado y 10 cm de altura.

Señala los datos en una figura.

V = a3 Volumen del cubo

V = B.h Volumen del prisma

V = Volumen de la pirámideB.h3

donde: a

h

B

= arista

= altura

= área de la base

Para recordar: El volumen se expresa en

unidades cúbicas. Ejemplo: cm , m , km , etc.3 3 3


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~ 86 ~


2. Determinar cuál de los tres poliedros tiene mayor volumen.

3. Hallar el volumen de un prisma rectangular cuyo largo de su base mide 6 cm y su ancho,

la tercera parte del largo; sabiendo además que su altura mide tanto como la suma de

su largo y ancho.

4. Indica la figura que tiene mayor volumen.

4 cm

4 cm

4 cm 4 cm

h = 10 cm

6 cm

3 cm

3 cm

a) b) c)

5 cm

2 cm

6 cm

h = 5 cm

4 cm

4 cm

2 cm

3 cm

h = 8 cm


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5. Indica la figura que tiene menor volumen.

2 cm

2 cm

4 cm

4 cm

6 cm

3 cm

1 cm

3 cm

6 cm


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~ 88 ~


Resolver:

En las figuras calcular el volumen de cada esfera.

a.

6m

V = __________m3

b.

3m

V = __________m3

c. d.

1m

V = __________m3

2m

V = __________m3


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2. En relación a la pregunta (1), ¿cuál es el volumen de cada uno de los cilindros?

3. En relación a la pregunta (1), hallar la diferencia entre el volumen del cilindro y su

respectiva esfera inscrita en él.

4. En cada caso calcular el volumen del cono.

r

6 cm

CUBOa.

r3 m

CUBOb.


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~ 9 ~


5. Diga qué volumen está bien calculado.a. b.12 cm

3 cm

V = 35,39 cm3

2 cm

8 cm

V = 200,48 cm3

c. d.

12 cm

V = 452,56 cm3

6 cm

V = 150,72 cm3

6 cm


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~ 91 ~


Resolver:

1. Hallar el volumen de una pirámide de base cuadrada de 4 cm de lado y 9 cm de altura.

Señala los datos en una figura.

2. En un prisma rectangular de 40 cm2 de base, determinar la altura del prisma si se sabe

que su volumen es 320 cm3.

3. Hallar el volumen de un prisma rectangular cuya arista mayor en la base es 6 cm y la

arista menor mide la mitad de la arista mayor (altura del prisma = 1 cm)

4. Calcular el volumen de un hexaedro de 4,5 cm de arista y luego halla la diferencia de

volúmenes en otro cubo de 6,5 cm de arista. ¿Cuál es la relación entre el volumen del

primer y el segundo cubo?

5. Un camión que transporta gas licuado lleva un depósito de forma esférica de 1,5 m de

radio. ¿Cuál es el volumen de dicho depósito? ( = 3,14)

6. En la refinería de petróleo de Conchán se utilizan depósitos de forma cilíndrica para

almacenar el petróleo extraído. Uno de ellos tiene 20 m de diámetro, y una altura de

25 m, ¿cuál será su volumen? ( = 3,14)

7. ¿Cuál de los siguientes sólidos tiene menor volumen? ( = 3,14)

24 cm

12 cm

12 cm

a.

12 cm

24 cm

b. c.


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8. El perímetro de la siguiente figura es igual a 112 m. Con dicha figura se pretende armar un

cubo al doblarlo. ¿Cuál será el área del cubo?

9. Si se conoce el radio de dos círculos (R = 8 cm), ¿cuál será la medida del largo delrectángulo que forma la superficie cilíndrica? Ilustra tu respuesta. ( = 3,14)

10. ¿Qué volumen tendrá que incrementarse al volumen de una esfera de 18 cm de diámetro

para que sea igual al volumen de un cilindro que tenga el mismo radio de la esfera? Ilustra tu

respuesta. ( = 3,14)

A = ____________


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REFORZANDO LO APRENDIDO APLICACIÓN:

Ejercicio 1.- ¿Cuántos vértices tiene un prisma pentagonal?

A) 30 B) 25 C) 20 D) 10 E) 15

Ejercicio 2.- ¿Cuántas caras tiene un prisma hexagonal? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

Ejercicio 3.- ¿Cuántas aristas tiene un prisma cuadrangular? A) 16 B) 10 C) 14 D) 8 E) 12

Ejercicio 4.- Encuentra el área de la superficie lateral de un prisma hexagonal regular, si su arista básicamide 6 cm y su arista lateral mide 24 cm.

A) 860 cm2 B) 864 cm2 C) 854 cm2 D) 844 cm2 E) 870 cm2

Ejercicio 5.- Encuentra el área de la superficie total de un cubo cuya arista mide 4 cm.


Ejercicio 6.- La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm, y sualtura mide 20 cm. Hallar el volumen del prisma.



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Ejercicio 7: Halla la altura de un prisma triangular regular cuyo volumen es igual a cm3 y su arista básicamide 2cm.

A) 9 cm B) 12 cm C) 10 cm D) 6 cm E) 8 cm

Ejercicio 8.- Encuentra el área de la superficie lateral de un prisma recto de 10 cm de altura, su base esun triángulo cuyos lados miden 5 cm, 6 cm y 7 cm.

A) 160cm 2 B) 150 cm2 C) 200 cm2 D) 180 cm2 E) 210 cm2

modulo geo5

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