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Estadística 2 – Ingeniería Industrial
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CONTENIDO
PÁGINA
JUSTIFICACIÓN 2
OBJETIVO GENERAL 2
OBJETIVOS ESPECIFICOS 2
COMPETENCIAS 2
PROCEDIMIENTOS DIDÁCTICOS Y METODOLOGÍA 3
CRITERIOS Y PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIÓN 4
CONTENIDO PROGRAMÁTICO DESARROLLADO POR SEMANAS 4
DIIAGNÒSTICO 5
CONCEPTOS BÀSICOS DE PROBABILIDAD 7
EVENTOS: MUTUAMENTE EXCLUYENTES, NO EXCLUYENTES,
INDEPENDIENTES, DEPENDIENTES.
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TÉCNICAS DE CONTEO 10
EJERCICIOS DE APLICACIÒN Y ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS 12
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 15
EJERCICIOS DE APLICACIÒN Y ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS 20
DENSIDADES DE PROBABILIDAD 21
APLICACIONES DE LA ESTADÍSTICA 25
DISTRIBUCIONES MUESTRALES 27
INFERENCIAS RELATIVAS A MEDIAS 30
EJERCICIOS DE APLICACIÒN Y ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS 30
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA 33
ANEXOS 34
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JUSTIFICACIÓN La estadística es una ciencia que ha evolucionado con las necesidades cambiantes de la sociedad. El estudiante actual es producto de un entorno cultural particular y es motivado de manera diferente a como lo eran los estudiantes de hace algunos años. Este modulo presenta la estadística como una gran herramienta para el aprendizaje del mundo que nos rodea, a la vez que se aprenden conceptos inferencia les, se conocen aplicaciones en el mundo real, en campos como ciencias físicas y sociales, administración, economía e ingeniería. El impacto del desarrollo de la estadística se ha hecho sentir en la ingeniería industrial, sus aportaciones a los problemas de producción, al uso eficiente de materiales y fuerza de trabajo, a la investigación básica y al desarrollo de nuevos productos; también es una herramienta vital para los ingenieros: permite comprender fenómenos sujetos a variaciones y predecirlos o controlarlos eficazmente.
OBJETIVO GENERAL Conocer y manejar las técnicas fundamentales de la estadística inferencial, para tenerlas como punto de referencia en la toma de decisiones para el establecimiento de metas, evaluación de rendimiento, medición del progreso, planes de producción y otros procesos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS Manejar con propiedad los conceptos básicos de la estadística inferencial.
Motivar al estudiante con ejemplos prácticos que muestren el papel de la estadística en la ingeniería
Dar bases sólidas para el uso de la estadística, para que el futuro Ingeniero aborde con propiedad, investigaciones o estudios.
Comparar e interpretar datos provenientes de diversas fuentes.
Reconocer la relación existente entre un conjunto de datos y su representación.
Utilizar representaciones gráficas adecuadas para representar diversos tipos de datos.
Resolver y formular problemas de probabilidad a partir de un conjunto de datos presentados en tablas o diagramas.
Resolver y formular problemas de técnicas de conteo a partir de un conjunto de datos
Usar las distribuciones de probabilidad para interpretar el comportamiento de un conjunto de datos.
Usar las densidades de probabilidad para interpretar el comportamiento de un conjunto de datos.
Reconocer que diferentes maneras de presentar la información pueden dar origen a diferentes interpretaciones.
Seleccionar y utilizar algunos métodos estadísticos adecuados según el tipo de información.
Comparar estudios provenientes de medios de comunicación.
COMPETENCIAS 1. La comunicación y la representación. Capacidad del estudiante para:
Expresar ideas.
Interpretar, usar diferentes tipos de representación.
Describir relaciones matemáticas.
Relacionar materiales físicos y diagramas con ideas matemáticas.
Modelar usando lenguaje escrito, oral, concreto, pictórico, gráfico y algebraico.
Manipular proposiciones y expresiones que contengan símbolos y fórmulas.
Utilizar variables y construir argumentaciones orales y escritas.
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Traducir, interpretar y distinguir entre diferentes tipos de representaciones.
Interpretar lenguaje formal y simbólico y traducir del lenguaje natural al simbólico formal.
2. El razonamiento y la argumentación. Relacionada con aspectos como:
Dar cuenta del cómo y del por qué de los caminos que se siguen para llegar a conclusiones.
Justificar estrategias y procedimientos puestos en acción en el tratamiento de situaciones problema.
Formular hipótesis, hacer conjeturas, explorar ejemplos y contraejemplos.
Probar y estructurar argumentos.
Generalizar propiedades y relaciones.
Identificar patrones y expresarlos matemáticamente y plantear preguntas. 3. La modelación y planteamiento y resolución de problemas. Relacionada con la capacidad
para:
Formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de la matemática.
Traducir la realidad a una estructura matemática.
Desarrollar y aplicar diferentes estrategias y justificar la elección de métodos e instrumentos para la solución de problemas.
Justificar la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de de un problema y lo razonable o no de una repuesta obtenida.
Verificar e interpretar resultados a la luz del problema original y generalizar soluciones y estrategias para dar solución a nuevas situaciones problema.
PROCEDIMIENTOS DIDÁCTICOS Y METODOLOGÍA En aras de garantizar el éxito del estudiante en este proceso centrado en el aprendizaje de la estadística se hace necesario adoptar acciones pedagógicas, donde él asuma con responsabilidad su trabajo en grupos multidisciplinarios e interdisciplinarios, reconozca la necesidad de comprometerse en el aprendizaje continuo a lo largo del curso, que le servirá en su vida profesional, fomentarle la generación de hábitos de estudio, de disciplina y de la cultura informática. Las temáticas se desarrollarán a través de acciones metodológicas acordes con las prácticas pedagógicas presénciales como:
Clase magistral.
Lecturas y socialización.
Talleres de ejercicios en clase diseñados por el educador.
Prácticas guiadas de laboratorio en el uso y manejo de Calculadora y/o software estadístico.
Video foros.
Igualmente las estrategias acordes con las prácticas pedagógicas independientes como:
Preparación de sustentaciones, exámenes, etc.
Consultas bibliográficas
Talleres de ejercicios
Consultas en Internet
Asesorías.
Lecturas
Redacción de ensayos
Desarrollo de guías
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CRITERIOS Y PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIÓN En la evaluación se tendrá en cuenta tres etapas significativas que son: la evaluación diagnóstica, la evaluación formativa o continua y la evaluación sumativa. 1. Evaluación diagnóstica:
Al inicial el semestre académico se realizará una prueba diagnóstica de los contenidos del curso con el propósito de:
Determinar el nivel real del educando antes de iniciar el modulo.
Detectar carencias y debilidades que puedan dificultar el logro de las competencias planteadas.
Diseñar actividades de refuerzo.
Dar elementos valederos para plantear ajustes o modificaciones en el programa. 2. Evaluación formativa o continua:
Se realizará durante el desarrollo del proceso de educativo para localizar las deficiencias cuando aún se está en posibilidad de remediarlas y optimizar el proceso de logro del éxito por el educando. En los tiempos presénciales las acciones a observar serán: TALLERES DE CLASE
Acompañamiento del educador al desempeño del grupo de trabajo.
Plenarias participativas. LECTURAS
Elaboración de ensayos, resolución de talleres.
Socialización de lecturas (mesa redonda, panel,...) PRACTICAS DE LABORATORIO
Asesoría del uso y manejo adecuado de la calculadora y/o software matemático. En los tiempos independientes las acciones a observar serán: ASESORIAS
Brindar orientación, dar soluciones a las inquietudes que presente el estudiante. TALLERES DE EJERCICIOS
Asignación, desarrollo, revisión, corrección y entrega del informe final. 3. Evaluación sumativa: La calificación que se obtiene a lo largo de los procesos u obtenida en
las diferentes etapas de la evaluación realizada a lo largo del curso:
Primer y segundo parcial: (sexta y décima semana) valor 30% cada uno. Descrito de la siguiente forma: Evaluación escrita valor 15%; Trabajos, quices, talleres y controles de lectura valor 15%.
Examen final: (Décima sexta semana) valor 40%.Se dividirá así: 20% evaluación escrita; 20% trabajos, quices, talleres y controles de lectura.
CONTENIDO PROGRAMÁTICO DESARROLLADO POR SEMANAS
TRABAJO PRESENCIAL TRABAJO INDEPENDIENTE
48 HORAS 48 HORAS
CM: Clase Magistral CL: Control de lectura TC: Talleres en clase EP: Evaluación Programada
PS: Preparación de sustentaciones, evaluaciones L: Lecturas CB: Consultas bibliográficas TE: Taller de ejercicios CI: Consulta en Internet
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SEMANA1: DIAGNÓSTICO CM: 1H CL: 1H TC: 1H L: 1H CB: 2H
EJERCICIOS DE INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA 2 1. Se desea describir al estudiante típico de una Universidad. Describa tres variables que midan
alguna característica de un estudiante: 1.1 Datos de atributo. 1.2 Datos numéricos.
2. Un candidato a un puesto público afirma que ganará las elecciones. Se realiza una encuesta y 35 de 150 electores indican que votarán por el candidato, cien electores indican que votarán por el oponente, y 15 electores están indecisos.
2.1 ¿Cuál es el parámetro poblacional de interés? 2.2 ¿Cuál es el valor de la estadística de la muestra que podría utilizarse para estimar el parámetro de la población? 2.3 ¿Tendería usted a creerle al candidato con base en los resultados de la encuesta? 3. Responda “Verdadero” si la proposición siempre es verdadera. Si la proposición no siempre es
verdadera, sustituya las palabras en negrilla por las que hagan siempre verdadera la proposición.
3.1 La estadística inferencial es el estudio y descripción de datos que resultan de un
experimento. 3.2 Una población típicamente es una colección muy grande de individuos u objetos sobre los que se desea tener información. 3.3 Un parámetro es la medida de alguna característica de una muestra. 3.4 Una muestra representativa es una muestra obtenida de modo que todos los individuos
tienen la misma posibilidad de ser elegidos. 3.5 El objetivo fundamental de la estadística es obtener una muestra, analizarla y luego hacer
inferencias sobre las características desconocidas de la población de la cual se obtuvo la muestra.
4. Los propietarios de la cadena de almacenes AVJN están preocupados por la calidad del servicio que reciben sus clientes. Para estudiar el servicio recibido, recolectaron muestras para cada una de las variables. Clasifique cada una de las siguientes variables: método de pago para hacer las compras, empresa donde labora el cliente, cantidad de impuestos por ventas en la compra, número de artículos comprados, número de licencia de conducir del cliente, dinero cancelado por la compra.
5. Escriba un párrafo con respecto a cada pregunta: 5.1 La población y la muestra son, ambos, conjuntos de objetos. Describa la relación entre ellos y proporcione un ejemplo. 5.2 Los datos, la estadística y el parámetro son, todos, valores usados para describir una situación estadística. ¿Cómo puede distinguirse estos tres términos? Proporcione un ejemplo. 6. El tiempo medio necesario para pagar y salir para todos clientes de almacenes AVJN, debe
estimarse utilizando el tiempo medio para pagar y salir necesario de 75 clientes elegidos aleatoriamente. Haga corresponder las expresiones de la columna dos con los términos estadísticos de la columna uno.
UNO DOS
DATO A. LOS 75 CLIENTES
DATOS B. EL TIEMPO MEDIO PARA TODOS LOS CLIENTES
EXPERIMENTO C. DOS MINUTOS, EL TIEMPO PARA SALIR Y PAGAR DE UN CLIENTE
PARÁMEYTRO D. EL TIEMPO MEDIO PARA LOS 75 CLIENTES
POBLACIÓN E. TODOS LOS CLIENTES EN AVJN
MUESTRA F. EL TIEMPO PARA PAGAR Y SALIR DE UN CLIENTE
ESTADÍSTICA G. LOS 75 TIEMPOS
VARIABLE H. EL PROCESO UTILIZADO PARA SELECCIONAR A LOS 75 CLIENTES Y MEDIR SUS TIEMPOS
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7. La siguiente es una muestra de 50 puntajes del examen final de un curso de estadística: 60 47 82 95 88 72 67 66 68 98 90 77 86 58 64 95 74 72 88 74 77 39 90 63 68 97 70 64 70 70 58 78 89 44 55 85 82 83 72 77 72 86 50 94 92 80 91 75 76 78
Encuentre lo siguiente:
7.1 Población 7.5 Diagrama de tallo y hojas 7.8 Medidas de tendencia central 7.2 Muestra 7.6 Distribución de frecuencias 7.9 Medidas de dispersión 7.3 Variable 7.7 Dos gráficas 7.10 Conclusiones 7.4 Clase de variable 8. A 16 estudiantes de CORHUILA, elegidos aleatoriamente, se les solicito mencionar el número
de horas que durmieron la noche anterior. Los datos resultantes fueron:
5 6 6 8 7 7 9 5 4 8 11 6 7 8 7 7
Encuentre lo siguiente:
8.1 Población 8.5 Dos gráficas 8.8 Graficar media y desviación estándar 8.2 Muestra 8.6 Medidas de tendencia central
8.3 Variable 8.7 Medidas de dispersión 8.9 Conclusiones 8.4 Clase de variable 9. Realice una visita a la Biblioteca y escriba la información referente a los libros que
complementan la información de este modulo de estadística 2. 10. Consulte la definición de: Probabilidad y su origen.
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SEMANA 2: CONCEPTOS BÀSICOS DE PROBABILIDAD CM: 2H TC: 1H L: 1H TE: 1H CI: 1H EXPERIMENTOS ALEATORIOS
Es un ensayo o una acción en la cual se conoce el procedimiento que se debe seguir y los
posibles resultados que se pueden presentar. Sin embargo, no se puede predecir con certeza el
resultado final hasta que se realice.
Ejemplos:
ALEATORIO NO ALEATORIO
Lanzar un dado Hacer una mezcla química
Lanzar una moneda Conocer el resultado de una operación matemática
Apostar por el resultado de un partido de
fútbol
Responder una evaluación para la cual se ha
estudiado
Ganar el premio mayor de la lotería Lanzarse a una piscina
PROBABILIDAD
MÉTODO AXIOMÁTICO: La probabilidad de ocurrencia de un suceso es un número comprendido
entre 0 y 1. Noción de frecuencia relativa (hi)
MÉTODO CLÁSICO: La probabilidad es el cociente de dividir los casos favorables que pueden
ocurrir en un suceso, por el total de casos posibles.
P = número de éxitos / número de casos posibles
ESCALA DE PROBABILIDAD
PROBABILIDAD VALOR
IMPOSIBILIDAD ABSOLUTA 0
VEROSIMIL Mayor que 0 y menor que 0,5
DUDOSA 0,5
INVEROSIMIL Mayor que 0,5 y menor que 1
CERTEZA ABSOLUTA 1
PROBABILIDAD A PRIORI
Se determina de antemano, sin necesidad de realizar el experimento.
Ejemplo: La probabilidad de obtener un 5 en el lanzamiento de un dado.
PROBABILIDAD EMPÍRICA
Se determina mediante la realización de experimentos.
Ejemplo: En caso de determinar el éxito de un vendedor, se calcula: número de ventas realizadas
a los clientes, dividido por el total de clientes atendidos.
ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto formado por todos los posibles resultados que se pueden dar al realizar el
experimento aleatorio. Se simboliza como E, es considerado como el conjunto universal aleatorio.
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Ejemplos:
Los resultados del lanzamiento de un dado: S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Los resultados del lanzamiento de una moneda: S = {Cara, Sello}
SUCESO
Es cada caso posible a la realización de un acontecimiento.
Ejemplos:
A: Los resultados pares del lanzamiento de un dado. A = {2, 4, 6}
B: los resultados mayores que 4 del lanzamiento de una moneda. B= {5, 6}
CLASES DE SUCESOS
HECHO VACIO O IMPOSIBLE
Cuando se espera un resultado que no puede suceder al ejecutar un experimento aleatorio.
HECHO UNITARIO O SIMPLE
Cuando el conjunto que se considera tiene solo un elemento.
HECHO INVEROSÍMIL
Evento susceptible de realizarse, pero su probabilidad favorable es menor que 0,5 y mayor que
cero.
HECHO DUDOSO
La probabilidad es igual a 0,5.
HECHO VEROSÍMIL
Evento susceptible de realizarse, pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor
que 0,5.
HECHO SEGURO, CIERTO O UNIVERSAL
Cuando al conformar el conjunto este resulta ser igual al espacio muestra, son favorables todos
los casos posibles.
Ejemplos
En un casino se quiere establecer la lista de premios para el juego de lanzar un par de dados
numerados del 1 al 6, para ello, el administrador del juego desea saber el conjunto
correspondiente a los siguientes casos:
F: Obtener un 6 al sumar los resultados de un lanzamiento.
G: Obtener 5 o menos al sumar los resultados de un lanzamiento.
H: Obtener un 13 al sumar los resultados de un lanzamiento. Vacío o imposible.
I: Obtener un 2 al sumar los resultados de un lanzamiento. Unitario o simple.
J: Obtener menos de 13 al sumar los resultados de un lanzamiento. Seguro o universal
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SEMANA 3: CLASIFICACIÓN DE EVENTOS CM: 2H TC: 1H L: 1H TE: 2H
EVENTO
Es un conjunto que se define dentro del espacio muestral, por lo tanto, está formado por los
elementos del mismo que tienen una característica definida. Se notan con letras mayúsculas.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES O DISYUNTOS Dos o más eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Es decir,
la ocurrencia de un evento automáticamente impide la ocurrencia del otro (u otros).
EJEMPLO: En un estudio realizado a estudiantes de la Universidad, se clasifican según su edad
en “Menor de 20 años” o “Mayor de 20 años”.
EVENTOS NO EXCLUYENTES
Dos o más eventos son no excluyentes cuando es posible que ocurran al mismo tiempo. EJEMPLO: En un estudio realizado a estudiantes de la Universidad, se clasifican según su edad en “Menor de 20 años” o “Mayor de 20 años” y según su sexo, “Masculino” o “Femenino”. Los eventos: masculino y menor de 20 años son no excluyentes. LAS REGLAS DE ADICIÓN Se utilizan cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra un evento u otro (O ambos) en una sola observación.
Probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B P(AVB) = P(AUB)
Eventos mutuamente excluyentes P(AVB) = P(A) + P(B)
Eventos no excluyentes P(AVB) = P(A) + P(B) – P(AΛB)
EVENTOS INDEPENDIENTES
Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro. EJEMPLO: Los resultados asociados con el lanzamiento de una moneda dos veces seguidas. EVENTOS DEPENDIENTES.
Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno si afecta la
probabilidad de ocurrencia del otro evento.
EJEMPLO: La extracción de dos cartas sin reemplazo de una baraja.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Cuando dos eventos son dependientes, se utiliza el concepto de probabilidad condicional para designar la probabilidad de ocurrencia de un evento relacionado. P(B l A) indica la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ocurre el evento A.
P(B l A) =
LAS REGLAS DE MULTIPLICACIÓN
Las reglas de multiplicación se refieren a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia conjunta de a y B.
Probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B P(AΛB)
Eventos independientes P(AΛB) = P(A) . P(B)
Eventos dependientes P(AΛB) = P(A) . P(B l A)
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SEMANA 4: TÉCNICAS DE CONTEO CM: 1H CL: 1H EP: 1H L: 1H TE: 2H
ANÁLISIS COMBINATORIO El análisis combinatorio es un sistema que permite agrupar y ordenar en diversas formas los elementos de un conjunto. Los principales tipos de análisis combinatorio son: Numeraciones, permutaciones y combinaciones.
PERMUTACIONES Se denominan permutaciones a los diferentes grupos que se pueden obtener tomándolos todos cada vez. La permutación implica orden. Casos de permutaciones:
Permutaciones de n elementos nP = n!
Permutaciones con repetición Pn (r: r1, r2,…) =
Permutaciones con un subgrupo r de n nPr =
–
COMBINACIONES Son aquellas en las que no interesa el orden de la aparición de los elementos del conjunto
COMBINACIONES nCr =
–
PROBLEMAS
RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 A 3 CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Suponga que 8 obreros calificados van a ser asignados a 8 puestos de capacitación. 1. ¿De cuántas formas pueden asignarse los 8 puestos a los 8 obreros? 2. Suponga que solo existen disponibles 6 puestos distintos para los 8 obreros calificados, ¿De
cuántas formas puede asignarse a 6 de las 8 personas que son, para los 6 puestos disponibles?
3. Suponga que los 6 puestos disponibles pueden considerarse equivalentes, o no diferentes, para propósitos prácticos, ¿De cuántas maneras puede asignarse a las 6 personas de entre los 8 obreros calificados, para ocupar los 6 puestos?
RESPONDA LAS PREGUNTAS 6 A 9 CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Un grupo asignado a un proyecto está formado por 2 ingenieros y 3 técnicos, y debe ser conformado a partir de una planta departamental que incluye a 5 ingenieros y 9 técnicos. 4. ¿Cuántos grupos de proyectos distintos pueden formarse a partir de las 14 personas
disponibles? Suponga que se asigna a las 5 personas al azar, de entre las 14 personas disponibles en el
departamento, sin importar si es ingeniero o técnico, cuál es la probabilidad de que el grupo de
proyecto incluya
5. ¿Exactamente 2 ingenieros? 6. ¿Ningún ingeniero?
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7. ¿Ningún técnico?
8. Determine en cuántas formas un industrial puede elegir 4 de 11 ubicaciones para un nuevo almacén.
9. Clasifique en permutaciones o combinaciones: 9.1 Las maneras de arreglar 5 cuadros en línea sobre una pared. 9.2 Las maneras en que se puede elegir a tres personas de un grupo de 5. 9.3 Las maneras en que se puede elegir al primero, y al segundo violinista entre 6 músicos. 9.4 Las maneras en que se pueden elegir 4 suéteres de 7. 9.5 Las maneras en que se pueden arreglar 5 sillas en una fila. 9.6 Posibles resultados finales de 7 personas en una carrera si no hay empates. 9.7 Las maneras en que se puede elegir a tres representantes entre 21 estudiantes.
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SEMANA 5: RESOLUCIÓN EJERCICIOS DE APLICACIÒN Y ACTIVIDADES DE COMPLEMENTACIÓN CL: 1H TC: 2H PS: 2H L: 1H
CONSULTA: TEOREMA DE BAYES
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Si las probabilidades de que una familia, aleatoriamente elegida en una encuesta realizada en
Neiva, posea un computador, un DVD o ambos son, respectivamente, 0.87, 0.36, y 0.29, ¿Cuál es
la probabilidad de que una familia posea un computador o un DVD?
2. Una empresa planea probar un nuevo producto en una zona de mercado elegida
aleatoriamente. Las zonas de mercado se clasifican con base en la ubicación y en la densidad de
población, según la siguiente tabla:
UBICACIÓN
DENSIDAD TOTAL URBANO (U) RURAL (R)
ESTE (E) 30 50 80
OESTE (O) 20 35 55
TOTAL 50 85 135
Calcular la probabilidad de que el mercado de prueba elegido esté: 2.1 En el este. 2.6 En una zona del este o en una zona urbana. 2.2 En el oeste. 2.7 En una zona urbana dado que está en el este. 2.3 En una zona urbana. 2.8 En una zona rural y en el oeste. 2.4 En una zona rural. 2.9 En el este dado que esta en una zona urbana. 2.5 En una zona rural del oeste. 2.10 No se encuentre en una zona rural dado que no está en el este.
3. Según un artículo publicado en GLAMOUR (Abril de 1991), una de cada 9 personas a quienes se diagnosticará SIDA durante 1991 será una mujer. Encuentre la probabilidad de que una persona a la que se diagnosticará SIDA en 1991 sea hombre.
4. En el artículo “A PUZZLING PLAGUE” publicado en el número del 14 de enero de 1991 de la revista TIME, se plantea que una de cada 10 mujeres estadounidenses padecerá cáncer de mama. También establece que de las mujeres que padecerán está enfermedad, fallecerá una de cada cuatro. Calcule la probabilidad de que una mujer estadounidense elegida al azar: 4.1 Nunca tendrá cáncer de mama. 4.2 Padecerá cáncer de mama y no fallecerá debido a eso. 4.3 Padecerá cáncer de mama y fallecerá debido a eso. 4.4 Tendrá cáncer de mama. 4.5 No fallecerá por padecer esta enfermedad. 5, Según SCIENCE NEWS (noviembre de 1990), el apnea durante el sueño afecta a 2 millones de individuos en USA. Esta enfermedad interrumpe la respiración durante el sueño y puede despertar a quien la padece hasta 5 veces en una hora. Muchos sujetos no reconocen esta condición, aun cuando produce fuertes ronquidos. En el supuesto que en USA hay 200 millones de habitantes, ¿cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar no esté afectada por el apnea durante el sueño?
6. En IMAGE, THE JOURNAL OF NURSING SCHOLARSHIP (primavera de 1993), apareció un estudio acerca de las estrategias seguidas por abstemios para no consumir alcohol. El estudio
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implicó a 23 sujetos que fueron clasificados según el sexo y el estado civil, tal como se muestra en la siguiente tabla:
Estado civil
Hombres Mujeres Calcular la probabilidad de que: 6.1 El sujeto esté casado, dado que la persona sea hombre 6.2 El sujeto sea mujer, dado que el individuo está separado 6.3 El sujeto sea hombre, dado que el individuo es soltero 6.4 El sujeto sea soltero o sea mujer
Casado(a) 10 3
Separado(a) 3 6
Soltero(a) 1 0
7. En el supuesto de que una mujer pueda dar a luz con la misma probabilidad a un niño que a
una niña, utilice un diagrama de árbol para calcular la probabilidad de que una familia con cuatro hijos conste de un niño y tres niñas.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 A 12 CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Van a asignar asientos contiguos en una mesa de banquete a las cinco personas que constituyen la alta administración de una pequeña empresa. Determine el número de arreglos distintos de asientos que son posibles para las cinco personas.
8. Suponga que sólo tres de los cinco funcionarios serán invitados a representar a la compañía
en el banquete. ¿Cuántos arreglos distintos son posibles en la mesa, considerando que pueden escogerse tres cualquiera de las cinco personas?
9. Suponga que no importa el número de arreglos posibles distintos de los asientos, sino que, interesa el número de agrupaciones diferentes de los tres funcionarios (De entre los cinco) que podrían asistir al banquete. ¿Cuántas agrupaciones distintas existen?
10. Determine la probabilidad de que el grupo de los tres funcionarios elegidos de entre los 5 incluya un funcionario específico.
11. Determine la probabilidad de que el grupo de los tres funcionarios elegidos de entre los 5 incluya dos funcionarios específicos.
12. Determine la probabilidad de que el grupo de los tres funcionarios elegidos de entre los 5 incluya tres funcionarios específicos.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 13 A 16 CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Un representante de ventas debe visitar seis ciudades en un viaje. 13. Si existen 10 ciudades en el área geográfica que va a visitar, ¿Cuántas agrupaciones distintas
de 6 ciudades existen que es posible visitar?
14. Suponga que existen 10 ciudades en el área geográfica que va a visitar, y que además, también importa la secuencia en la que tiene programado hacer esas visitas. ¿Cuántas secuencias distintas existen de 6 ciudades escogidas de entre el total de 10?
15. Suponga que se han asignado las 6 ciudades que se visitarán, pero no se ha definido la
secuencia en la que se harán las visitas. ¿Cuántas secuencias son posibles para las 6 ciudades designadas?
RESPONDA LAS PREGUNTAS 16 y 17 CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
De las 10 ciudades que se describieron en los anteriores problemas, suponga que en realidad 6 de ellas son “Mercados primarios” para el producto en cuestión, mientras que las otras 4 constituyen “Mercados secundarios”.
16. Si el vendedor elige en forma aleatoria las 6 ciudades que va a visitar, ¿Cuál es la probabilidad
de que 4 de ellas resulten ser mercados primarios y 2 de ellas mercados secundarios? 17. Si el vendedor elige en forma aleatoria las 6 ciudades que va a visitar, ¿Cuál es la probabilidad
de resultar que las 6 son mercados primarios?
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SEMANAS 7 Y 8: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CM: 4H TC: 2H L: 2H TE: 4H
TRABAJO EN EQUIPO Realizar una consulta del tema asignado:
1. Informe escrito. 2. Socialización de los conceptos básicos, explicación de un ejemplo y realizar un problema
de aplicación. 3. Entregar resumen a los compañeros. 4. La socialización debe ser con la participación de todos los integrantes del equipo.
EQUIPO TEMA INTEGRANTES FECHA 1 Variables aleatorias discretas
Distribuciones de probabilidad
2 Distribución Binomial
3 Distribución Hipergeométrica
4 Media y varianza de una distribución de probabilidad
5 Distribución de Poisson
6 Distribución Geométrica
7 Distribución Multinomial
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Las variables aleatorias son aquellas que se asocian a la ocurrencia de un fenómeno aleatorio. Cuando una de estas variables aleatorias toma diversos valores, la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribución de probabilidad, la cual es la distribución de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria. Las distribuciones de probabilidad pueden representarse a través de una tabla, una gráfica o una fórmula, en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina función de probabilidad. Consideraremos primero las distribuciones de probabilidad para variables discretas.
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES DISCRETAS
Uniforme. Es la distribución donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad. Por ejemplo: tirar un dado, donde la función P(X=x)=1/6 para valores de x=1,2,3,4,5,6.
Binomial. Es la que maneja la distribución de la probabilidad de obtener cierta cantidad de
éxitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de éxito constante y con ensayos independientes.
Geométrica. Es la distribución de la probabilidad de realizar cierto número de experimentos antes de obtener un éxito.
Hipergeométrica. Es similar a la binomial, pero con un tamaño de muestra grande en relación al tamaño de la población. La función de Excel que proporciona sus valores es DISTR.HIPERGEOM
De Poisson. Es la distribución de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo, un espacio o un lugar. La función de Excel que da los valores de la
distribución es POISSON La que más nos interesará de estas es la distribución binomial que se presenta a continuación.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
B(x; n, p) = nCr . .
Con q = 1 - p La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que surge en muchas aplicaciones. Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”. Por ejemplo, esa respuesta puede ser el hábito de fumar (sí/no), si un paciente hospitalizado desarrolla o no una infección, o si un artículo de un lote es o no defectuoso. La variable discreta que cuenta el número de éxitos en n pruebas independientes de ese experimento, cada una de ellas con la misma probabilidad de “éxito” igual a p, sigue una distribución binomial de parámetros n y p. Este modelo se aplica a poblaciones finitas de las que se toma elementos al azar con reemplazo, y también a poblaciones conceptualmente infinitas, como por ejemplo las piezas que produce una máquina, siempre que el proceso de producción sea estable (la proporción de piezas defectuosas se mantiene constante a largo plazo) y sin memoria (el resultado de cada pieza no depende de las anteriores). Ejemplo
En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se responde declarando “verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el 75% de los casos la respuesta correcta es “verdadero” y decide responder al examen tirando dos monedas, pone “falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al menos hay una cruz. Se desea saber qué probabilidad hay de que tenga 14 aciertos. En este caso:
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n=20 p=0,75 q=1-0,75=0,25 x=14
B(x; n, p) = nCx. .
B(14; 20, 0,75) = 20C14 . . = (38769).(0,0178).(0,000244)
=0,169 = 16,9% La probabilidad de que el alumno tenga 14 aciertos es 16,9%.
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
h(x; n, a, N) =
La distribución hipergeométrica suele aparecer en procesos muestrales sin reemplazo, en los que se investiga la presencia o ausencia de cierta característica. Por ejemplo, en un procedimiento de control de calidad en una empresa farmacéutica, durante el cual se extraen muestras de las cápsulas fabricadas y se someten a análisis para determinar su composición. Durante las pruebas, las cápsulas son destruidas y no pueden ser devueltas al lote del que provienen. En esta situación, la variable que cuenta el número de cápsulas que no cumplen los criterios de calidad establecidos sigue una distribución hipergeométrica. Por tanto, esta distribución es la equivalente a la binomial, pero cuando el muestreo se hace sin reemplazo. Esta distribución se puede ilustrar del modo siguiente: se tiene una población finita con N elementos, de los cuales R tienen una determinada característica que se llama “éxito”. El número de “éxitos” en una muestra aleatoria de tamaño n, extraída sin reemplazo de la población, es una variable aleatoria con distribución hipergeométrica de parámetros N, R y n. Cuando el tamaño de la población es grande, los muestreos con y sin reemplazo son equivalentes, por lo que la distribución hipergeométrica se aproxima en tal caso a la binomial. Parámetros: N: tamaño de la población a: número de éxitos en la población n: número de pruebas Ejemplo
Se sabe que el 7% de los útiles quirúrgicos en un lote de 100 no cumplen ciertas especificaciones de calidad. Tomada una muestra al azar de 10 unidades sin reemplazo, interesa conocer la probabilidad de que dos sean defectuosos. El número de útiles defectuosos en el lote es a = (0,07).100=7. N = 100 n = 10 x = 2
h(x; n, a, N) =
h(2; 10, 7, 100) =
= 0,123 = 12,3%
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
g(x; p) =
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Supóngase, que se efectúa repetidamente un experimento o prueba, que las repeticiones son independientes y que se está interesado en la ocurrencia o no de un suceso al que se refiere como “éxito”, siendo la probabilidad de este suceso p. La distribución geométrica permite calcular la probabilidad de que tenga que realizarse un número k de repeticiones hasta obtener un éxito por primera vez. Así pues, se diferencia de la distribución binomial en que el número de repeticiones no está predeterminado, sino que es la variable aleatoria que se mide y, por otra parte, el conjunto de valores posibles de la variable es ilimitado. Para ilustrar el empleo de esta distribución, se supone que cierto medicamento opera exitosamente ante la enfermedad para la cual fue concebido en el 80% de los casos a los que se aplica; la variable aleatoria “intentos fallidos en la aplicación del medicamento antes del primer éxito” sigue una distribución geométrica de parámetro p=0,8. Otro ejemplo es el número de hijos hasta el nacimiento de la primera niña. La distribución geométrica se utiliza en la distribución de tiempos de espera, de manera que si los ensayos se realizan a intervalos regulares de tiempo, esta variable aleatoria proporciona el tiempo transcurrido hasta el primer éxito. Esta distribución presenta la denominada “Propiedad de Harkov” o de falta de memoria, que implica que la probabilidad de tener que esperar un tiempo t no depende del tiempo que ya haya transcurrido.
Parámetros: p: probabilidad de éxito Ejemplo La probabilidad de que cierto examen médico dé lugar a una reacción “positiva” es igual a 0,8 ¿cuál es la probabilidad de que ocurran menos de 5 reacciones “negativas” antes de la primera positiva? La variable aleatoria “número de reacciones negativas antes de la primera positiva” sigue una distribución Geométrica con parámetro p=0,8.
g(x; p) =
g(5; 0,8) = = 0,0013 = 0,13%
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
p(x; λ) =
La distribución de Poisson, que debe su nombre al matemático francés Simeón Denis Poisson (1781-1840), ya había sido introducida en 1718 por Abraham De Moivre como una forma límite de la distribución binomial que surge cuando se observa un evento raro después de unnúmero grande de repeticiones. En general, la distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación de la binomial, si el número de pruebas n es grande, pero la probabilidad de éxito p es pequeña. La distribución de Poisson también surge cuando un evento o suceso “raro” ocurre aleatoriamente en el espacio o el tiempo. La variable asociada es el número de ocurrencias del evento en un intervalo o espacio continuo, por tanto, es una variable aleatoria discreta que toma valores enteros de 0 en adelante (0, 1, 2,...). Así, el número de pacientes que llegan a un consultorio en un lapso dado, el número de llamadas que recibe un servicio de atención a urgencias durante 1 hora, el número de células anormales en una superficie histológica o el número de glóbulos blancos en un milímetro cúbico de sangre son ejemplos de variables que siguen una distribución de Poisson. En general, es una distribución muy utilizada en diversas áreas de la investigación. El concepto de evento “raro” o poco frecuente debe ser entendido en el sentido de que la probabilidad de observar k eventos decrece rápidamente a medida que k aumenta. Supóngase, por ejemplo, que el número de reacciones adversas tras la administración de un fármaco sigue
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una distribución de Poisson de media lambda λ = 2. Si se administra este fármaco a 1.000
individuos, la probabilidad de que se produzca una reacción adversa (x = 1) es 0,27; los valores de dicha probabilidad para x = 2, 3, 4, 5, 6 reacciones, respectivamente, son: 0,27; 0,18; 0,09; 0,03 y 0,01. Para x=10 o mayor, la probabilidad es virtualmente 0. Para que una variable recuento siga una distribución de Poisson deben cumplirse varias condiciones: 1. En un intervalo muy pequeño la probabilidad de que ocurra un evento es proporcional al tamaño del intervalo. 2. La probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo muy pequeño es tan reducida que, a efectos prácticos, se puede considerar nula. 3. El número de ocurrencias en un intervalo pequeño no depende de lo que ocurra en cualquier otro intervalo pequeño que no se solape con aquél. Estas propiedades pueden resumirse en que el proceso que genera una distribución de Poisson es estable (produce, a largo plazo, un número medio de sucesos constante por unidad de observación) y no tiene memoria (conocer el número de sucesos en un intervalo no ayuda a predecir el número de sucesos en el siguiente). El parámetro de la distribución, representa el número promedio de eventos esperados por unidad de tiempo o de espacio, por lo que también se suele hablar de como “la tasa de ocurrencia” del fenómeno que se observa. Parámetros: lambda: λ = media de la distribución Ejercicio
El número de enfermos que solicitan atención de urgencia en un hospital durante un periodo de 24 horas tiene una media de 43,2 pacientes. Se sabe que el servicio se colapsará si el número de enfermos excede de 50. ¿Cuál es la probabilidad de que se colapse el servicio de urgencias del hospital? λ = 43,2 X = 50
p(x; λ) =
= 0,0338 = 3,38%
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SEMANA 9: EJERCICIOS DE APLICACIÓN Y ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS EP: 3H PS: 2H TE. 1H VER ANEXO 1: Tabla de distribución binomial. VER ANEXO 2: Tabla de distribución de Poisson.
DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÒN, RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 A 3.
Debido a las elevadas tasas de interés, una empresa reporta que el 30% de sus cuentas por cobrar de otras empresas están vencidas. Un contador toma una muestra aleatoria de 5 de esas cuentas. 1. La probabilidad de que ninguna de las cuentas está vencida es A. 0,17 B. 18% C. 28% D. 0,27 2. La probabilidad de que exactamente dos cuentas están vencidas es A. 0,83 B. 84% C. 0,35 D. 31%
3. La probabilidad de que al menos 3 de las cuentas están vencidas es A. 94% B. 16% C. 6% D. 84% DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÒN, RESPONDA LAS PREGUNTAS 4 A 6.
En promedio, seis personas utilizan un cajero automático cada hora, en el transcurso de las horas más concurridas en una tienda de departamentos. 4. La probabilidad de que seis personas utilicen el cajero durante una hora seleccionada al azar
es A. 84% B. 40% C. 60% D. 16%
5. La probabilidad de que menos de cinco personas utilicen el cajero durante una hora elegida al
azar es A. 0,446 B. 0,606 C. 0,285 D. 0,478 6. La probabilidad de que nadie utilice el cajero durante un intervalo de diez minutos es A. 0% B. 0,7% C. 0,368% D. 37%
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SEMANA 11: DENSIDADES DE PROBABILIDAD: CM: 1H CL: 1H TC: 1H L: 2H CI1
TRABAJO EN EQUIPO Realizar una consulta del tema asignado:
1. Informe escrito. 2. Socialización de los conceptos básicos, explicación de un ejemplo y realizar un problema
de aplicación. 3. Entregar resumen a los compañeros. 4. La socialización debe ser con la participación de todos los integrantes del equipo.
EQUIPO TEMA INTEGRANTES FECHA
8 Variables aleatorias continuas Densidades de probabilidad
9 Distribución Normal
Hasta el momento se han considerado las distribuciones de probabilidad para variables discretas, donde se podía asignar el valor que toma la función de probabilidad cuando la variable aleatoria tomaba un valor en concreto. Sin embargo, al considerar las variables continuas se encuentra el problema de que, lo más probable, los datos que se puedan recabar no sean completamente exactos, o dos o más de ellos no coincidan, por lo que se tienen que trabajar en intervalos y, en ese momento, modelar una función se convierte en un problema serio.
DISTRIBUCIÓN NORMAL VER ANEXO 3: Tabla de distribución normal. La curva de la distribución normal puede ser modelada utilizando la función
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Donde µ y σ son los parámetros y corresponden a la media y a la desviación estándar, respectivamente, cuyos valores permitidos x son todos los reales, para x son los reales positivos y el dominio de f es el conjunto de los números reales. Dado que para variables continuas la probabilidad de que x tome un valor en el intervalo (a,b) es el área bajo la curva limitado por rectas verticales que pasan por a y b, entonces se puede
encontrar la probabilidad en un intervalo integrando:
Aunque resulta más cómodo el uso de las tablas que casi todos los libros y formularios proveen. Sin embargo, las tablas de los libros corresponden a la distribución normal con µ=0 y σ=1, por lo que en casos en que los parámetros sean diferentes, entonces hay que realizar una transformación.
PROPIEDADES DE LA CURVA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL Las propiedades de la curva son básicamente seis, y su demostración está basada en conceptos de cálculo:
1. Los valores de la curva son positivos. 2. La curva es simétrica con respecto al valor de la media. 3. La curva tiene un valor máximo en el valor de la media. 4. La curva tiene puntos de inflexión en aquellos valores de x para los cuales a la media se le
suma o se le resta una desviación estándar. 5. La curva, en sus extremos izquierdo y derecho, tiende a acercarse infinitamente al valor
cero, es decir, el eje de las abscisas es asíntota horizontal. 6. El área bajo la curva es la unidad.
APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística. Fue descubierta por De Moivre (1773), como aproximación de la distribución binomial. De todas formas, la importancia de la distribución normal queda totalmente consolidada por ser la distribución límite de numerosas variables aleatorias, discretas y continuas, como se demuestra a través de los teoremas centrales del límite. Las consecuencias de estos teoremas implican la casi universal presencia de la distribución normal en todos los campos de las ciencias: biología, medicina, psicología, ingeniería, física, economía, etc. La distribución normal queda totalmente definida mediante dos parámetros: La media = µ La desviación estándar = σ
La distribución normal estándar o tipificada, tiene los siguientes valores: µ = 0, σ= 1
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La probab i l idad de la var iab le x dependerá de l á rea sombreada en la f igura, para ca lcu lar la se u t i l izará una tab la (Ver anexo).
Para u t i l izar la tab la se t ransforma (Tip if icar o normal izar) la var iab le x que s igue una d is t r ibuc ión normal en o t ra var iab le z .
CÁLCULO DE PROBABIL IDADES La tabla del anexo presenta las probabilidades de P (z ≤ a), siendo z la var iable t if icada o normalizada.
P(Z ≤ a)
P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)
P(Z ≤ −a) =
P(Z > −a) =1- P(Z ≤ -a )
P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)
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P(−b < Z ≤ −a ) = P( -a < Z ≤ - b )
Nos encont ramos con e l caso inverso a los anter io res, conocemos e l va lor de la probab i l idad y se t ra ta de ha l la r e l va lor de la abscisa . Ahora tenemos que buscar en la tab la e l valor que más se aproxime a X .
P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ -a) ]
Ejemplo
En una c iudad se est ima que la temperatura máxima en e l mes de jun io s i una d is t r ibuc ión normal , con media 23° y desviac ión t íp ica 5°. Ca lcu lar e l número de d ías de l mes en los que se espera a lcanzar máximas ent re 21° y 27°.
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SEMANA 12: CINE FORO - APLICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA TC: 3H TE: 2H CI: 1H PELÍCULAS: PANTALEÓN Y LAS VISITADORAS ERIM BROCKOVICH CARACTERÍSTICAS
1. Esta técnica consiste en proyectar una película y realizar un FORO sobre la misma. 2. Mostrar con claridad una situación o el desarrollo de una acción y el impacto emotivo que produce el lenguaje cinematográfico. 3. Anima a la discusión y ayuda a la comprensión de los contenidos. 4. Ayuda a entender la sociedad, las relaciones de poder, las mentalidades y cuestiones de la vida cotidiana. 5. Enseña a ver las películas como algo más que un simple producto de ocio y consumo. Es decir, genera hábitos de observación, reflexión, análisis, comprensión, síntesis, relación e interpretación. 6. Posibilita la crítica, la contestación y el compromiso democrático. 7. Contribuye a la formación general mediante la obtención de conocimientos, habilidades, actitudes (con relación a deberes y derechos) y valores. 8. Ayuda a observar los asuntos desde diferentes perspectivas y niveles de lectura. 9. Incita a adquirir la afición al cine (cinefilia) en particular y al conocimiento de la cultura popular y de masas en general. 10. Mirar una película de entrada es una experiencia individual: El objetivo del cine foro es completar esta experiencia individual mediante el diálogo, estimulando la expresión de las emociones suscitadas y las ideas sugeridas. 11. Persigue una reflexión crítica sobre las propias actitudes, valores y creencias: El diálogo de grupo debe ser la vía que permita manifestar y contrastar las respectivas posturas personales y, de esta forma, confrontándolas, revisar su validez, descubrir nuevas perspectivas, evidenciar eventuales prejuicios, etc. 12. Los participantes han de tener perfectamente asumido previamente que la actividad no se programa para llenar un vacío, ni como pasatiempo: Han de acudir con una actitud positiva, dispuestos a la reflexión, la escucha y la participación. PRESENTACIÓN DE LA PELÍCULA
ACTIVIDAD ENCARGADO OBSERVACIONES
Película
Lugar
Equipos audiovisuales
Refrigerio
Moderador
Informe
IMPACTO EMOCIONAL PRODUCIDO
Se debe alentar la manifestación y la puesta en común de las emociones suscitadas por la película: 1. ¿La película está basada en hechos reales? 2. ¿O en alguna obra literaria? 3. En caso afirmativo, busca más información sobre el hecho real o la obra literaria. 4. ¿Crees que la película toma partido sobre el tema tratado o se limita a exponerlo sin
pronunciarse? 5. ¿Crees que la postura no es clara, y que la ambigüedad se presta a distintas interpretaciones?
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6. Resume el argumento de la película. 7. ¿Cuáles son las circunstancias: lugar, época...? 8. Clasifica los personajes que aparecen según los consideres víctimas, responsables de las
injusticias, ajenos a los sucesos, ajenos pero responsables por omisión, etc. 9. ¿Qué has sentido al verlo? Intenta hacer una descripción de las emociones que te ha
generado. 10. ¿Crees que esto ocurre en realidad hoy en día? 11. ¿En qué lugares? 12. ¿Por qué razones? 13. ¿Crees que se podría evitar? ¿Cómo? 14. ¿Conoces otras películas que traten sobre el mismo tema? 15. Si las has visto, ¿te parece que el tratamiento que se le da y el resultado conseguido es más
afortunado? 16. ¿Crees que películas como ésta son una buena herramienta de sensibilización sobre el tema
tratado? 17. ¿Cuáles son las aplicaciones de la estadística que aparecen en la película? 18. ¿La utilización de la estadística beneficia a una empresa o a la comunidad? 19. ¿Piensas que los informes estadísticos son claros? 20. Explica las aplicaciones de la estadística que aparecen en la película. 21. ¿Conoces otras películas que presenten aplicaciones de la estadística? 22. Si las has visto, escribe los títulos. 23. Sugiere el tema para una película utilizando la estadística en la ingeniería. 24. Sugiere el tema para una película utilizando la estadística en nuestra región. 25. ¿Crees que películas como ésta son una buena herramienta de complementación sobre los
temas tratados en clase? EL FORO
Las modalidades de trabajo grupal posterior a la proyección son muchas, vamos a utilizar el
FORO: debate con la participación de todo el grupo que ha asistido a la proyección de la película.
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SEMANA 13: DISTRIBUCIONES MUESTRALES CM: 1H CL: 1H TC: 1H L: 1H TE: 2H
DISTRIBUCIÓN DE MUESTRAS La distribución de muestras de un estadístico (En este caso la media) es la presentación tabular o gráfica de las probabilidades de todos los valores de algún estadístico, calculados en muestras del mismo tamaño, extraídas aleatoriamente de la misma población. El estadístico más importante es la media por lo que se estudiará en detalle la distribución de medias de muestras, el análisis de cualquier otro estadístico sigue el mismo procedimiento.
DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS DE MUESTRAS Se considera una población finita y pequeña, esto permitirá considerar todas las muestras posibles de algún tamaño específico y utilizar los resultados como base para manejar el caso donde solo se dispondrá de una o algunas muestras. Método teórico para una población de tamaño N (finita y pequeña):
1. Se elige el tamaño de la muestra n, .
2. Se establecen todas las muestras de tamaño n y se calculan sus medias y sus probabilidades teóricas correspondientes.
3. Se tabulan y grafican los valores del estadístico versus sus probabilidades correspondientes. EJEMPLO
Una distribuidora de autos tiene 5 vendedores, a continuación se presentan los vendedores y el número de autos vendidos el mes anterior.
VENDEDOR AUTOS VENDIDOS
PEDRO 2
FERNANDO 3
ANTONIO 6
CÉSAR 8
ROGELIO 9
N: Probabilidad de cada vendedor de ser extraído, p = PARÁMETROS µ = σ2 = σ =
MUESTREO CON RESTITUCIÓN (O REEMPLAZAMIENTO) n = 2 En una urna se colocan balotas con el nombre de cada vendedor Muestra: extraer aleatoriamente una de las balotas de la urna, escribir su valor y devolverla a la urna. Número total de muestras = Nn
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Represente las muestras con sus respectivas medias:
2 3 6 8 9
2
3
6
8
9
Probabilidad teórica de cada una de las muestras = Distribución de medias
Ordene los valores distintos de las medias y realice una tabla con sus probabilidades correspondientes.
P(
µ =
σ2 =
σ =
Realice diagrama de puntos de probabilidad respectiva versus: población original, población de
muestras
Realice un análisis comparando los resultados de la distribución y la población original:
1. Las medias.
2. Las varianzas.
3. Los valores menores y mayores.
Realice el mismo ejercicio para n=3.
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MUESTREO SIN RESTITUCIÓN (O SIN REEMPLAZAMIENTO)
N: Tamaño de la población n: Tamaño de la muestra
Número total de muestras: NCn
Probabilidad teórica de cada una de las muestras =
EJEMPLO
Una distribuidora de autos tiene 5 vendedores, a continuación se presentan los vendedores y el número de autos vendidos el mes anterior.
VENDEDOR AUTOS VENDIDOS
PEDRO 2
FERNANDO 3
ANTONIO 6
CÉSAR 8
ROGELIO 9
N= n=
Represente las muestras con sus respectivas medias:
n
Probabilidad de cada vendedor de ser extraído, p = Distribución de medias Ordene los valores distintos de las medias y realice una tabla con sus probabilidades correspondientes.
P(
µ =
σ2 =
σ =
Realice diagrama de puntos de probabilidad respectiva versus: población original, población de muestras Realice un análisis comparando los resultados de la distribución y la población original: 1. Las medias. 2. Las varianzas. 3. Los valores menores y mayores. Realice el mismo ejercicio para n=3.
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SEMANA 14: INFERENCIAS RELATIVAS A MEDIAS CL: 1H TC: 2H PS: 2H TE: 1H
LECTURAS Y SUSTENTACIÓN VER ANEXO 4
1. Sesgo y variabilidad de los estimadores puntuales. 2. Estimación de intervalos para la media de una población: Caso de muestra grande (n ≥ 30). 3. Estimación de intervalos para la media de una población: Caso de muestra pequeña (n ≤ 30).
SEMANA 15: EJERCICIOS DE APLICACIÒN Y ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS CM: 1H CL: 1H TC: 1H PS: 1H TE: 1H CI: 1H DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÒN, RESPONDA LAS PREGUNTAS El tiempo útil de un componente eléctrico tiene una media de 2000 horas y desviación estándar de 200 horas.
1. La probabilidad de que un componente elegido al azar dure entre 2000 y 2400 horas es A. 0,9772 B. 98% C. 0,4772 D. 50%
2. La probabilidad de que un componente elegido al azar dure más de 2200 horas es A. 0,1587% B. 0,8413% C. 16% D. 84%
3. La probabilidad de que un componente elegido al azar dure menos de 1700 horas es
A. 0,0668 B. 0,9332 C. 7 D. 9
4. La probabilidad de que un componente elegido al azar dure entre 1800 y 2300 horas es A. 0,9332 B. 0,1587 C. 0,7745 D. 0,0668
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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Miller, Irwin R. – Freund, John E. – Johnson, Richard. Probabilidad y estadística para ingenieros.
Editorial Prentice Hall
Johnson, Robert – Kuby Patricia. Estadística Elemental, lo esencial. Editorial Thomson
Kazmier, Leonard – Dìaz, Mata Alfredo. Estadística aplicada a la administración y a la economía.
Editorial McGrawhill
Martínez Bencardino, Ciro. Estadística
Nieves, Antonio – Dominguez C. Federico. Probabilidad y esradística para ingenieros.
Editorial McGrawhill
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ANEXOS
1. Tabla de distribución binomial.
2. Tabla de distribución de Poisson.
3. Tabla de distribución normal.
4. Estimación puntual y de intervalo.