Primera EdicinAnlisis de Sistemas MinerosIng. MSc. Grimaldo Saavedra Fras

Ronald Erick Urquiso Pisfil20PRESENTACINHoy en da la macro competitividad requiere que los seres humanos, la sociedad y sobre todo los profesionales estn mejor preparados para enfrentar las exigencias de la globalizacin, esta situacin nos conlleva al desarrollo de estrategias acadmicas pedaggicas para brindar el mayor nmero de recursos tcnicos para formar profesionales mejor preparados para resolver los problemas complejos que enfrentarn los futuros profesionales de Ingeniera.El Anlisis de Sistemas Mineros hace uso de las Tcnicas y Metodologas de la Investigacin de Operaciones y las aplica al anlisis de problemas que se presentan en el desarrollo de la industria minera, en sus diferentes operaciones unitarias y sistemas de produccin con la finalidad de que el Ingeniero de Minas cuente con una formacin adecuada que le permita ser competitivo.Existen un gran nmero de software de programacin lineal programa como el Tora o Solver de Microsoft Excel que lo ubicamos en cualquier PC personal y/o computador constituyen herramientas potenciales al alcance de todo estudiante, siendo de gran utilidad y versatilidad para la solucin de problemas relacionados con la toma de decisiones, la planificacin de la produccin, el mejoramiento de los sistemas de operacin, optimizacin de la produccin y anlisis de costos.En el presente texto se desarrollan en forma detallada tcnicas y metodologas apropiadas para la resolucin de problemas de la industria minera, como lo son el mtodo grfico, mtodo algebraico, y el uso de software como Tora y Programa Solver de Microsoft Excel, dicho texto se constituye en un material de consulta para los estudiantes de ingeniera de minas.

El autor

NDICEPg.PresentacinANLISIS DE SISTEMAS MINEROS07Investigacin de operaciones07Qu es la investigacin de operaciones?07Historia de la investigacin de operaciones07Categoras bsicas de problemas08Problema determinstico08Problema estocstico08Metodologa de la investigacin de operaciones09Definicin del problema09Formulacin de un modelo matemtico y recopilacin de datos09Resolucin del modelo matemtico09Mtodo ptimo09Mtodo heurstico10Validacin instrumentacin y control de la solucin10Modificacin del modelo matemtico10Modelo matemtico10Construccin de un del modelo matemtico10Identificacin de las variables de decisin10Identificacin de la funcin objetivo10Identificacin de las restricciones11Ejemplo de un modelo matemtico11Clasificacin de modelos matemticos13 Clasificacin basada en los datos del problema13 Clasificacin basada en las restricciones13 Clasificacin basada en la funcin objetivo14 Clasificacin basada en las variables14Programacin lineal aplicaciones y el enfoque grfico15Problemas de programacin lineal15Programacin lineal: el enfoque grfico15Problema de programacin lineal15

Resolucin del problema de programacin lineal16Graficacin de las restricciones de un programa lineal16Valores factibles17Lado factible de la recta de la restriccin (1)17Lado infactible de la recta de la restriccin (1)18Grfica de las lneas de las restricciones de un programa lineal19Regin factible20Solucin ptima21Uso de la funcin objetivo para obtener una solucin ptima21Lnea de funcin objetivo21Trazado de la lnea de la funcin objetivo21Localizacin del mejor lado de la lnea de la funcin objetivo22Obtencin de valores numricos para la solucin ptima23Anlisis de sensibilidad y paramtrico Enfoque grfico25Anlisis de sensibilidad25Anlisis de sensibilidad de los coeficientes de la funcin objetivoEnfoque grfico25Anlisis de sensibilidad de los coeficientes de la funcin objetivo25Anlisis de sensibilidad del coeficiente de la funcin objetivo para x1 26Reformulacin del modelo matemtico31Anlisis de sensibilidad de los valores del lado derecho (VLD)32Precio sombra o precio dual del recurso38Valores ptimos de la funcin objetivo asociados con cambiosen el valor del lado derecho de la restriccin (1)41Anlisis paramtrico de los valores del lado derecho43Uso de la computadora44Problemas de Redes de Distribucin45Transportacin, transbordo y problemas de asignacin45Qu es una red de distribucin?45El mejor plan de distribucin45Red de distribucin45Formulacin de problemas de redes de distribucin47Problemas de redes de distribucin en la industria minera47Ejemplo de problemas de redes de distribucin en la industria minera48Formulacin del modelo matemtico49Solucin de problemas de redes de distribucin50Problemas de transportacin50Ejemplo de problemas de transportacin50Formulacin de modelo de transportacin50Solucin problemas de transportacin51El algoritmo de transportacin52Conversin de un problema de transportacin de no equilibradoa equilibrado52Cliente figurado52Arco figurado53Suministro figurado53Ejemplo de problemas de transportacin equilibrado53Cuadro de transportacin54Celda54Plan de transportacin o embarque factible54Plan de embarque factible55Plan de embarque ptimo55Propiedades de un plan de embarque ptimo55Ciclo:55Plan de embarque factible56Algoritmo de escaln59Algoritmo de mejora finita para problemas de transportacin59lgebra del algoritmo de escaln60Mtodo de matriz mnima60Plan de embarque factible inicial61Solver69Introduccin a la optimizacin con la herramienta solver de Excel69Definir un modelo de optimizacin70Celda objetivo70Celdas cambiantes70Restricciones71Cargar el programa solver72Definir y resolver un problema con solver72Determinar la mezcla de productos ptima con solver74Crear un informe de solver85Guardar en solver los valores de celdas ajustablescomo un escenario85Cargar un modelo de problema de solver86Volver a aplicar la configuracin predeterminada de solver86Guardar un modelo de problema de solver86Desplazarse por las soluciones de tanteo en solver86Solucin de problemas de solver88Aplicaciones de Excel en la resolucin de problemas conel Programa Solver92Planteamiento y resolucin de problemas92Primer Examen Parcial Solucionario106Bibliografa112

ANLISIS DE SISTEMAS MINEROS

ANLISIS DE SISTEMAS MINEROSEstudia los conceptos y metodologa para la aplicacin de tcnicas de investigacin operativa en el desarrollo de sistemas de informacin y modelos en el campo de la minera.Da conocimientos de investigacin operativa de procesos mineros desarrollando modelos apropiados.INVESTIGACIN DE OPERACIONESLa Investigacin de Operaciones se ocupa de la resolucin de problemas relacionados con la conduccin y coordinacin de las operaciones o actividades dentro de una organizacin.Su mbito de aplicacin es muy amplio, aplicndose a problemas de fabricacin, transporte, construccin, telecomunicaciones, planificacin y gestin financiera, ciencias de la salud, servicios pblicos, etc. En general, se aplica en todos los problemas relacionados con la gestin, la planificacin y el diseo.La Investigacin de Operaciones incluye un conjunto muy amplio de tcnicas orientadas a proporcionar una ayuda cuantitativa en la toma de decisiones. El mtodo empleado es el mtodo cientfico, y las tcnicas que se utilizan son, en buena medida, tcnicas matemticas.QU ES LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES?La construccin creativa de modelos de decisin basados en descripciones matemticas, con el objetivo de tomar decisiones en situaciones de complejidad o incertidumbre.HISTORIA DE LA INVESTIGACIN DE OPERACIONESSurge durante la Segunda Guerra Mundial, cuando haba una gran necesidad de administrar los escasos recursos. La Fuerza Area Britnica form el primer grupo que desarrollara mtodos cuantitativos para resolver estos problemas operacionales y bautiz a sus esfuerzos como Investigacin Operacional.Poco despus, las fuerzas armadas estadounidenses formaron un grupo similar, compuesto por cientficos fsicos e ingenieros, cinco de los cuales posteriormente fueron laureados con el premio Nobel.

Despus de la Segunda Guerra Mundial, los administradores de la industria reconocieron el valor de aplicar tcnicas similares a sus complejos problemas de decisin.Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar modelos apropiados y procedimientos para solucionar problemas como la programacin de refineras de petrleo, distribucin de productos, planeacin de produccin, estudio de mercados y planeacin de inversiones.Procedimientos que se hicieron posibles con el advenimiento de la computadora, ya que la resolucin del tpico problema de investigacin de operaciones requiere demasiados clculos para ser realizados manualmente.CATEGORAS BSICAS DE PROBLEMAS

PROBLEMA DETERMINSTICOEs un problema en el que toda la informacin necesaria para obtener una solucin se conoce con certeza.La resolucin de un problema determinstico es similar a decidir que cantidad de mineral debemos enviar desde el ore pass o cancha de almacenamiento hacia la planta de beneficio, conociendo cual es el tonelaje total almacenado el contenido y el mineral, en el momento que tomamos la decisin.PROBLEMA ESTOCSTICOEs un problema en el que parte de la informacin necesaria no se conoce con certeza, sino ms bien se comporta de una manera probabilstica.Decidir que cantidad de mineral debemos enviar desde el ore pass o cancha de almacenamiento hacia la planta de beneficio, desconociendo cual es el tonelaje total almacenado el contenido y el mineral, en el momento que tomamos la decisin.

METODOLOGA DE LA INVESTIGACIN DE OPERACIONESRESOLUCIN DEL MODELO MATEMTICO

SOLUCINFORMULACIN DE UN MODELO MATEMTICO Y RECOPILACIN DE DATOSIMPLEMENTACINVALIDACIN

DEFINICIN DEL PROBLEMAMODIFICACIN DEL MODELO MATEMTICO

SINO

DEFINICIN DEL PROBLEMAEste primer paso consiste en identificar, comprender y describir, en trminos prcticos el problema que la empresa u organizacin enfrenta. En muchos casos el problema no puede estar bien definido y requerir bastantes discusiones y consenso entre los miembros del equipo de proyectos.FORMULACIN DE UN MODELO MATEMTICO Y RECOPILACIN DE DATOSEs la expresin del problema en forma matemtica, en funcin de las variables de decisin y los datos recopilados del problema.Luego haciendo uso de tcnicas matemticas disponibles obtendremos la mejor solucin.RESOLUCIN DEL MODELO MATEMTICOLa Resolucin del Modelo Matemtico implica obtener los mejores valores numricos para las variables de decisin.Dicha obtencin depende del tipo especfico de Modelo Matemtico Para elegir un mtodo apropiado para resolverlo.MTODO PTIMOEste mtodo produce los mejores valores para las variables de decisin; es decir aquellos valores que satisfacen simultneamente todas las restricciones y proporcionan el mejor valor para la Funcin Objetivo.MTODO HEURSTICOProduce valores para las variables que satisfacen todas las restricciones. Aunque no necesariamente ptimos, estos valores proporcionan un valor aceptable para la Funcin Objetivo.VALIDACIN INSTRUMENTACIN Y CONTROL DE LA SOLUCINEs extremadamente importante validar la solucin es decir revisar cuidadosamente la solucin de un modelo matemtico para asegurar que los valores tengan sentido y que las decisiones resultantes puedan implementarse.As tambin debe supervisarse no slo para asegurarse que la solucin trabaja segn lo planeado; si no porque el problema, los datos o ambos pueden cambiar con el tiempo.MODIFICACIN DEL MODELO MATEMTICOSi durante la validacin se encuentra que la solucin no puede llevarse a cabo, se pueden identificar las restricciones que fueron omitidas durante la Formulacin del Problema original o si se formularon en forma incorrecta.En estos casos debe regresarse a la etapa de Formulacin del Problema y hacerse las modificaciones apropiadas.MODELO MATEMTICOEl Modelo Matemtico constituye una herramienta de la Investigacin de Operaciones mediante la cual se formulan los problemas en forma matemtica.CONSTRUCCIN DE UN DEL MODELO MATEMTICO

IDENTIFICACIN DE LAS VARIABLES DE DECISINLas variables de decisin son valores desconocidos, ha determinarse en la resolucin del modelo matemtico y que proporcionan la solucin del problema.A:Toneladas de Mineral Transportadas desde la Unidad Minera 1 a la Planta de Beneficio.X1:Mineral Producido por el Tajo 1 de la Mina Mnica.X2:Costo Unitario por Tonelada producida en la Unidad Minera San Juan.IDENTIFICACIN DE LA FUNCIN OBJETIVOLa funcin Objetivo constituye el objetivo global que la empresa persigue expresada en forma matemtica. Esta funcin puede expresarse como una MAXIMIZACIN de mejorar u optimizar sus ganancias o rentas, aumentar laproduccin, etc. o una MINIMIZACIN o reduccin de sus costos de produccin, insumos, mano de obra, etc.Ejemplo:Min / MaxZ = 4X1 + 7X2 + 3X3 +.. + CXnIDENTIFICACIN DE LAS RESTRICCIONESEs la expresin matemtica de las limitaciones o consideraciones que nos impone el problema.Limitaciones:a) La capacidad instalada de la Planta de Beneficio es de 2,500 TM/da.b) La produccin mensual de la Unidad Minera 1 es de 15,000 TMS.Restricciones:1)X1 + X2 + X3 + + CXn>=2,500Produccin Diaria TM/da.2)X1=(0.065) (80)TM concentrado de Zn.2)0.06 X1 + 0.04 X2>=(0.045) (80)TM concentrado de Pb.3)X1=0Restriccin Lgica.MODELO MATEMTICOVariables:X1 =Tonelaje del Tajeo 1, enviado al ore-pass.X2 =Tonelaje del Tajeo 2, enviado al ore-pass.Funcin Objetivo:Min.Z=4 X1+6 X2Sujeto a:1)0.04 X1 + 0.08 X2>=5.20TM concentrado de Zn.2)0.06 X1 + 0.04 X2>=3.60TM concentrado de Pb.3)X1=0Restriccin Lgica.

CLASIFICACIN DE MODELOS MATEMTICOSFormulado el problema matemticamente (Modelo Matemtico) el siguiente paso es resolverlo; es decir; encontrar valores para las variables de decisin que satisfagan todas las restricciones y que, al mismo tiempo proporcionen el mejor valor posible de la funcin objetivo.Esta tarea se logra usando procedimientos sistemticos, paso a paso, llamados algoritmos aplicativos ejecutados por computadoras.Los algoritmos que resuelven un Modelo Matemtico pueden o no resolver otro, por lo que para elegir el ms adecuado debemos identificar la clase a la que pertenece un problema en particular.1.-CLASIFICACIN BASADA EN LOS DATOS DEL PROBLEMASi se conocen todos los datos con certeza el Modelo Matemtico corresponde a un Modelo Determinstico; caso contrario estaremos frente a un Modelo Estocstico.2.-CLASIFICACIN BASADA EN LAS RESTRICCIONESLos problemas Determinsticos se clasifican primero sobre la base de la existencia de restricciones.Problemas Irrestrictos, son los que carecen de restricciones.Problemas restringidos, son los que tienen una o ms restricciones.Los problemas restringidos se clasifican sobre la base de las propiedades matemticas que las restricciones satisfacen.X1 + X2 + X3 - Xn >= 52.80Aditividad, es una de las propiedades matemticas fundamentales de las restricciones, en la que la contribucin de cada variable a la funcin de restriccin se suma (o sustrae) a la de cada una de las otras variables de restriccin.Proporcionalidad, es la segunda propiedad matemtica fundamental de las restricciones, si el valor de una variable se multiplica por cualquier constante, la contribucin de la variable a la restriccin se multiplica por esa misma constante.Contribucin de X1:3 X1 = 3 (50) = 150Sobre la base de las propiedades de aditividad y proporcionalidad, existen dos clasificaciones de problemas restringidos.

Restricciones Lineales, en las que todas las restricciones satisfacen tanto la aditividad como la proporcionalidad.Restricciones no Lineales, en las que alguna restriccin no satisface al menos una de las propiedades de aditividad y proporcionalidad.

3.-CLASIFICACIN BASADA EN LA FUNCIN OBJETIVOTeniendo en cuenta las propiedades matemticas de la Funcin Objetivo esta puede ser lineal o no lineal, lo que da pie a la siguiente clasificacin de Modelos Determinsticos:a).-Objetivo Lineal, en la que la funcin objetivo es lineal.

MaximizarZ = 3 X1 + 4 X2 + 8 X3

b).-Objetivo no Lineal, en la que la funcin objetivo es no lineal.

MinimizarZ = (1.25 x 3 X1) + (0.004 x A x 4 X2) + 8 X3

4.-CLASIFICACIN BASADA EN LAS VARIABLESEsta clasificacin final se basa en la propiedad matemtica de las variables, denominada divisibilidad, lo que significa que una variable de decisin puede, en teora, asumir cualquier Valor Fraccional u otro, dentro de cierto intervalo.La propiedad de Divisibilidad da lugar a dos clases: Modelos de Variable Continua, en la que todas las variables satisfacen la divisibilidad. Modelos de Variable Entera (o Discreta), en la que una o ms variables deben tener valores enteros.

PROGRAMACIN LINEAL APLICACIONES Y EL ENFOQUE GRFICO

PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEALUn Problema de Programacin Lineal, es un problema en el que la Funcin Objetivo y todas las Restricciones, son Lineales y todas las Variables son continuas.Los problemas de programacin lineal tienen amplias aplicaciones prcticas en reas tan diversas como la asignacin de recursos escasos, la compra y fabricacin, la planeacin de dietas, administracin de agencias, la combinacin y la planeacin de produccin.A un cuando los problemas del mundo real tienen ms de dos variables y no pueden resolverse geomtricamente, las ideas ganadas al resolver grficamente problemas de dos variables proporciona una clara comprensin de cmo resolver algebraicamente problemas de tres o ms variables, que es el mtodo usado con computadoras.PROGRAMACIN LINEAL:EL ENFOQUE GRFICOEl enfoque grfico es til no slo para encontrar una solucin ptima, sino tambin para obtener informacin adicional sobre cun susceptible es la solucin ptima con respecto a los cambios en los datos del problema.PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEALVariables:X1 =Tonelaje del Tajeo 1, enviado al ore-pass.X2 = Tonelaje del Tajeo 2, enviado al ore-pass.Funcin Objetivo:Mn.Z=4 X1+6 X2Sujeto a:1)0.04 X1 + 0.08 X2>=5.2TM concentrado de Zn.2)0.06 X1 + 0.04 X2>=3.6TM concentrado de Pb.3)X1=0Restriccin Lgica.RESOLUCIN DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEALUsted como responsable de la operacin de la mina su objetivo es resolver este problema, es decir encontrar valores para las variables X1 y X2 que satisfagan las cinco restricciones y que produzcan el menor costo o menor valor de la funcin objetivo.GRAFICACIN DE LAS RESTRICCIONES DE UN PROGRAMA LINEALEl mtodo grfico para resolver un programa lineal con dos variables se inicia concentrndose primero en graficar las restricciones y posteriormente en la funcin objetivo. Consideramos una restriccin a la vez. Cada restriccin permite ciertos valores de X1 y X2 que satisfacen la restriccin. Estos valores se denominan Valores Factibles. Aquellos que no satisfacen la restriccin se llaman Valores Infactibles.El proceso para graficar cada restriccin es el siguiente:1) Reemplazar el signo de desigualdad de cada restriccin por un signo de igualdad.2) Determinar las intersecciones con los ejes X1 y X2.3) Dibujar la lnea recta correspondiente a la ecuacin de cada restriccin.4) Identificar el lado de la lnea que satisfaga la desigualdad original o restriccin.5) Sombrear esta porcin de la grfica que satisfaga todas las restricciones formuladas hasta el momento.

Restriccin 1)0.04 X1 + 0.08 X2 >= 5.20.04 X1 + 0.08 X2 = 5.2S X2 = 0 X1 = 130S X1 = 0 X2 = 65Restriccin 2)0.06 X1 + 0.04 X2 >= 3.60.06 X1 + 0.04 X2 = 3.6S X2 = 0 X1 = 60S X1 = 0 X2 = 90

Restriccin 3)X1=5.2 6.8>=5.2Estos valores satisfacen la restriccin por tanto este lado de la recta es el Lado Factible.1030507090110130150X1104050302070809060130120110100X2(1)LADO FACTIBLEX1 = 70X2 = 50

LADO INFACTIBLE DE LA RECTA DE LA RESTRICCIN (1)

Reemplazando los valores de X1 y X2 del lado de abajo de la recta (1):0.04 X1 + 0.08 X2 >=5.2X1 = 40X2 = 300.04 (40) + 0.08 (30)>=5.2 1.60 + 3.20>=5.2 4.80>=5.2Estos valores no satisfacen la restriccin por tanto este lado de la recta es el Lado Infactible.

1030507090110130150X1104050302070809060100X2X1 = 40X2 = 30LADO INFACTIBLE

GRFICA DE LAS LNEAS DE LAS RESTRICCIONES DE UN PROGRAMA LINEAL

1040503020708090601301201101001030507090110130150X2(1)(3)(4)(5)(2)X1

GRFICA DE LAS LNEAS DE LAS RESTRICCIONES DE UN PROGRAMA LINEAL

1040503020708090601201101001030507090110130150X1X2(1)(2)(3)(4)(5)

REGIN FACTIBLEEl rea final sombreada se denomina la Regin Factible del programa lineal. Cualquier punto que est dentro de la regin factible es una Solucin Factible y da origen a valores para X1 y X2 que satisfacen todas las restricciones. La regin factible est limitada por lneas rectas que se juntan en agudos puntos esquina etiquetados de A a E. Estos puntos esquina se denominan puntos extremos.

ABCDE(1)(5)(2)(3)(4)REGIN FACTIBLE

SOLUCIN PTIMAEs el punto en la regin factible que tiene el mejor valor de la Funcin Objetivo.El proceso para determinar la Solucin ptima del programa lineal es el siguiente:1. Trazamos la lnea de la Funcin Objetivo.2. Localizamos su mejor lado.3. Movemos la lnea de la funcin objetivo de manera paralela as misma en la direccin de mejora hasta que est a punto de dejar la Regin Factible.Este punto final es la Solucin ptima al Programa Lineal.USO DE LA FUNCIN OBJETIVO PARA OBTENER UNA SOLUCIN PTIMA

Lnea de Funcin ObjetivoLnea utilizada en el mtodo grfico en la cual todos los puntos sobre la lnea tienen el mismo valor de funcin objetivo.TRAZADO DE LA LNEA DE LA FUNCIN OBJETIVOMin Z = 4 X1 + 6 X2 6X2 = 4 X1 ZX2 = (4/6) X1 + (Z/6)Y = m X + bm = 4/6

ABCDE(1)(5)(2)(3)(4)Lnea de Funcin Objetivo

LOCALIZACIN DEL MEJOR LADO DE LA LNEA DE LA FUNCIN OBJETIVOPara localizar el mejor lado, elegimos cualquier punto que no est en la Lnea de la Funcin Objetivo y analizamos si el valor de X1 y X2 correspondientes satisfacen la Funcin Objetivo.1030507090110130150104050302070809060130120110

100X2(1)(4)(5)(2)(3)ADEBX1X1 = 33X2 = 60CX1 = 35X2 = 52Mejor Lado de la Lnea de la Funcin Objetivo

Si as es, entonces este punto est en el Mejor Lado y por tanto hemos localizado el mejor lado; de otra manera, el punto no est en el mejor lado.Reemplazando los valores de X1 y X2 de un lado de la lnea de la Funcin Objetivo:Min Z = 4 X1 + 6 X2a).- X1 = 33 X2 = 604 (33) + 6 (60)132 + 360 = 492 Hr-Hbb).- X1 = 35X2 = 524 (35) + 6 (52)140 + 312 = 452 Hr-HbEl caso b).- refleja el mnimo valor de la Funcin Objetivo, por tanto este es el mejor lado (lado inferior).OBTENCIN DE VALORES NUMRICOS PARA LA SOLUCIN PTIMAUna forma de obtener los valores numricos de las variables de decisin para la Solucin ptima es leerlas directamente de la grfica.Este proceso visual, sin embargo, no es preciso.

ABDE(1)(5)(2)(3)(4)X1 = 30X2 = 50Regin FactibleCSolucin ptima

Punto ExtremoX1X2Valor de la Funcin Objetivo Min Z = 4 X1 + 6 X2

A45.0042.50435.00

B45.0065.00570.00

C17.0065.00458.00

D20.0060.00440.00

E30.0050.00420.00

La Solucin ptima es:X1 = 30 Toneladas de Mineral del Tajo 1 (TM).X2 = 50 Toneladas de Mineral del Tajo 2 (TM).Valor de la Funcin Objetivo Z = 420 Hr Hb.Un enfoque ms exacto se basa en observar que la solucin optima ocurre en el punto extremo E.Este punto extremo cae en la interseccin de las dos lneas correspondientes a las restricciones (1) y (5).Estas ecuaciones son:1)0.04 X1 + 0.08 X2 >= 5.22) X1 + X2 = 5.20Para la realizacin del presente anlisis empezaremos por recordar:Valor del Lado Derecho

Restriccin 1) 0.04 X1 + 0.08 X2 >= 5.20El valor del lado derecho de la restriccin (1) es 5.20A continuacin cambiamos el valor original del valor del lado derecho de la Restriccin (1) 5.20 con valores por encima y por debajo de ste: 2, 3, 4, 5.20, 7, 10, 15Debemos advertir aqu; que las variaciones del valor del lado derecho no modifican la pendiente de la restriccin, por lo que la lnea de la restriccin se mueve paralelamente y se producen cambios en la Solucin ptima.

Restriccin (1):Solucin ptima

a) 0.04 X1 + 0.08 X2 = 2.00X1 = 50X2 = 25.00

b) 0.04 X1 + 0.08 X2 = 3.00X1 = 75X2 = 37.50

c) 0.04 X1 + 0.08 X2 = 4.00X1 = 100X2 = 50.00

d) 0.04 X1 + 0.08 X2 = 5.20X1 = 130X2 = 65.00

e) 0.04 X1 + 0.08 X2 = 7.00X1 = 175X2 = 87.50

f) 0.04 X1 + 0.08 X2 = 10.00X1 = 250X2 = 125.00

g) 0.04 X1 + 0.08 X2 = 15.00X1 = 375X2 = 187.50

Si bien el cambio del valor del Lado Derecho de la restriccin (1) tiene como resultado un cambio en la solucin ptima; la lnea de la restriccin (1) se mueve paralelamente a si misma, esto se debe a que la pendiente de esa lnea de restriccin no cambia.

ABCDE(1)(5)(2)(3)50Regin FactiblemR(1) = 1 / 2mR (1) = 0.04 / 0.08

Mientras esa lnea no se desplace demasiado la solucin ptima permanece en esas dos lneas correspondientes a las restricciones (1) y (5).Para determinar cunto puede disminuir el valor del lado derecho de la restriccin (1) antes de que las nuevas restricciones (1) y (2) determinen la solucin ptima, denominamos con la letra a el valor del lado derecho en vez de 5.20.ABCDE(1)(5)(2)(3)(4)Regin FactiblemR(1) = 1 / 2X1 = 45X2 = 35

Es decir la restriccin (1) ser:R(1) 0.04 X1 + 0.08 X2 >= aLuego calculamos del grfico los valores para X1 y X2 siendo esos valores:X1 = 45yX2 = 35.Reemplazando estos valores encontramos el valor de a:R(1)0.04 X1 + 0.08 X2 >= aR(1)0.04 (45) + 0.08 (35) >= 4.6a = 4.6Esto significa que mientras la Produccin de Concentrado de Zn no disminuya por debajo de 4.6 TM, la solucin ptima queda determinada por la interseccin de esta restriccin (1) y la de Produccin Diaria Total (5).Ahora consideraremos que el valor del Lado Derecho de la restriccin (1) se incrementa.Entonces la lnea correspondiente a la restriccin (1) se desplazar paralelamente a si misma, pero haca la derecha del grfico.La solucin actual seguir siendo ptima, mientras esa lnea no se desplace demasiado de manera que la solucin ptima estar definida por la interseccin de las lneas de las restricciones (1) y (5).ABCE(1)(5)(2)(3)(4)Regin FactiblemR(1) = 1 / 2D

AB(1)(5)(2)(3)(4)mR(1) = 1 / 2ERegin FactibleDX1 = 20X2 = 60C

Para determinar cunto puede Incrementar el valor del lado derecho de la restriccin (1) antes de que las nuevas restricciones (1) y (2) determinen la solucin ptima, denominamos con la letra b el valor del lado derecho en vez de 5.20.Es decir la restriccin (1) ser:R(1) 0.04 X1 + 0.08 X2 >= bLuego calculamos del grfico los valores para X1 y X2 siendo esos valores:X1 = 20 y X2 = 60.Reemplazando estos valores encontramos el valor de b:R(1) 0.04 X1 + 0.08 X2 >= bR(1) 0.04 (20) + 0.08 (60) >= 5.6b = 5.6Esto significa que mientras la Produccin de Concentrado de Zn no sobre pase la 5.6 TM, la Solucin ptima seguir siendo determinada por la interseccin de las lneas de las restricciones (1) y la de Produccin Diaria Total (5).

ANLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS VALORES DEL

LADO DERECHO DE LA RESTRICCIN (5)Para realizar el anlisis de sensibilidad de los valores del lado derecho de la restriccin (5) seguimos el mismo procedimiento empleado para la restriccin (1):Restriccin (5) X1 + X2 >= 80 El valor del lado derecho de la restriccin (5) es 80.Cambiamos el valor original del valor del lado derecho de la Restriccin (5) 80 con valores por encima y por debajo de ste: 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95Como ya hemos analizado las variaciones del valor del lado derecho no modifican la pendiente de la restriccin, por lo que la lnea de la restriccin (5) se mueve paralelamente a si misma y se producen cambios en la Solucin.ABCDE(1)(5)(2)(4)mR(5) = 45Regin FactiblemR(5) = 1 / 1X1 = 25.00X2 = 52.50

Mientras esa lnea no se desplace demasiado la solucin ptima permanece en esas dos lneas correspondientes a las restricciones (1) y (5).Para determinar cuanto puede disminuir el valor del lado derecho de la restriccin (5) antes de que las nuevas restricciones (1) y (2) determinen la solucin ptima, denominamos con la letra a el valor del lado derecho en vez de 80.Es decir la restriccin (5) ser:R(1) X1 + X2 >= aLuego calculamos del grfico los valores para X1 y X2 siendo esos valores:X1 = 25.0 y X2 = 52.50.Reemplazando estos valores encontramos el valor de a:R(1) X1 + X2 = aR(1) 25.0 + 52.50 = 77.50a = 77.50Esto significa que mientras la Produccin Diaria no disminuya por debajo de 77.50 TM, la solucin ptima queda determinada por la interseccin de esta restriccin (1) Produccin de Concentrado de Cinc y (5) Produccin Diaria Total.Ahora consideraremos que el valor del Lado Derecho de la restriccin (5) se incrementa.Entonces la lnea correspondiente a la restriccin (5) se desplazar paralelamente a si misma, pero haca la derecha del grfico.La solucin actual seguir siendo ptima, mientras esa lnea no se desplace demasiado de manera que la solucin ptima estar definida por la interseccin de las lneas de las restricciones (1) y (5). ABCDE(1)(5)(2)(3)(4)mR(5) = 45mR(5) = 1 / 1X1 = 45.00X2 = 42.50Regin Factible

Para determinar cunto puede Incrementar el valor del lado derecho de la restriccin (5) antes de que las nuevas restricciones (1) y (2) determinen la solucin ptima, denominamos con la letra b el valor del lado derecho en vez de 80.Es decir la restriccin (5) ser:R (5) X1 + X2 >= bLuego calculamos del grfico los valores para X1 y X2 siendo esos valores:X1 = 45yX2 = 42.50Reemplazando estos valores encontramos el valor de b:R(5) X1 + X2 >= bR(5) (45) + (42.50) >= 87.50b = 87.50Esto significa que mientras la Produccin Diaria de Mineral no sobre pase las 87.50 TM, la Solucin ptima seguir siendo determinada por la interseccin de las lneas de las restricciones (1) Produccin de Concentrado de Cinc y la de Produccin Diaria Total (5).Concluimos que si no cambian otros datos del problema y mientras el valor del lado Derecho de la restriccin (5) permanezca dentro del intervalo de [77.50; 87.50], la solucin cae en la interseccin de las lneas de las restricciones (1) y (5). Consecuentemente la Solucin ptima sigue siendo ptima.Sin embargo, incluso dentro de este intervalo, los valores especficos de las variables en la solucin ptima cambian.

PRECIO SOMBRA O PRECIO DUAL DEL RECURSOViene a ser la proporcin de cambio en el valor de la funcin objetivo por unidad de incremento en el valor del lado derecho dentro del intervalo de sensibilidad.VALORES PTIMOS DE LA FUNCIN OBJETIVO ASOCIADOS CON CAMBIOS EN EL VALOR DEL LADO DERECHO DE LA RESTRICCIN (1)Valor del Lado DerechoSolucin ptimaValor de la Funcin ObjetivoZ = 4X1 + 6X2

X1X2

4.6045.0035.00390.0

5.2030.0050.00420.0

5.6020.0060.00440.0

Pendiente = (420 390) / (5.20 4.60)Pendiente = 50 Hr. Hb. / TM

La pendiente de esa lnea se calcula usando cualesquiera dos valores de la tabla.El valor de la pendiente m = 50, refleja el incremento en el valor corporativo de cada tonelada de concentrado de cinc, producida por encima de 5.20 y hasta 5.60.As mismo indica la prdida de valor corporativo por cada tonelada de concentrado de cinc, dejada de producir por debajo de 5.20 y hasta 4.6.

VALORES PTIMOS DE LA FUNCIN OBJETIVO ASOCIADOS CON CAMBIOS EN EL VALOR DEL LADO DERECHO DE LA RESTRICCIN (5)

Valor del Lado DerechoSolucin ptimaValor de la Funcin ObjetivoZ = 4X1 + 6X2

X1X2

77.5025.0052.50415.0

80.0030.0050.00420.0

87.5045.0042.50435.0

Pendiente = (420 415) / (80.00 77.50)Pendiente = 2.0 Hr. Hb. / TM

El valor de la pendiente m = 2.0, refleja el incremento en el valor corporativo de cada tonelada de mineral producida por encima de 80.00 y hasta 87.50.As mismo indica la prdida de valor corporativo por cada tonelada de mineral dejada de producir por debajo de 80.00 y hasta 77.50.

ANLISIS PARAMTRICO DE LOS VALORES DEL LADO DERECHO (VLD)

ANLISIS PARAMTRICOViene a ser la determinacin de cmo cambia el valor ptimo de la funcin objetivo con cualquier cambio correspondiente en el valor lado derecho de una restriccin particular.Cuando nos hemos determinado el Anlisis de Sensibilidad de los Coeficientes de las Variables y de los Valores del Lado Derecho de las Restricciones, los intervalos de sensibilidad se han calculado dentro de la Regin Factible.El Anlisis Paramtrico de los Valores del L. D. lo realizamos fuera del intervalo de sensibilidad.Anlisis Paramtrico [Lmite Inferior; Lmite Superior] Anlisis ParamtricoLa consideracin que tendremos en cuenta es que no deben producirse cambios simultneos si no que estos se realizan uno a la vez.El procedimiento para realizar este anlisis es el mismo que se emple para determinar el Precio Sombra o Precio Dual de las Restricciones, ya que en este Tipo de Anlisis es en el Precio Sombra en el que se producen cambios.Por lo cual suponemos que se producen cambios en las restricciones fuera de los Intervalos de Sensibilidad.

ANLISIS PARAMTRICO DE LOS VALORES DEL LADO DERECHO DE LA RESTRICCIN (1)Desplazamos la lnea correspondiente a la restriccin (1) paralelamente a si misma.Mientras las rectas de las restricciones (1) y (5) determinan el valor del mnimo costo de la F. O. dentro del intervalo de sensibilidad [4.6; 5.6]; se observa que si el valor del L. D. de la restriccin (1) es menor de 4.6, las rectas que definen la nueva solucin ptima son las rectas de la restricciones (1) y (2).ABCDE(1)(5)(2)(3)(4)mR(1) = 1 / 2Regin FactiblemR(1) = 0.04 / 0.08X1 = 45.00X2 = 22.50V.L.D = 4.6V.L.D = 3.6

VALORES PTIMOS DE LA FUNCIN OBJETIVO ASOCIADOS CON CAMBIOS EN EL VALOR DEL LADO DERECHO DE LA RESTRICCIN (1) FUERA DEL INTERVALO DE SENSIBILIDAD [4.6; 5.6]

Valor del lado derechoSolucin ptimaValor de la funcin objetivoZ = 4X1 + 6X2

X1X2

3.6045.0022.50315.00

4.6045.0035.00390.00

Pendiente=(390 315) / (4.6 3.6)Pendiente=75 Hr. Hb. / TM

VALORES PTIMOS DE LA FUNCIN OBJETIVO ASOCIADOS CON CAMBIOS EN EL VALOR DEL LADO DERECHO DE LA RESTRICCIN (1) FUERA DEL INTERVALO DE SENSIBILIDAD [4.6; 5.6]Valor del Lado DerechoSolucin ptimaValor de la Funcin ObjetivoZ = 4X1 + 6X2

X1X2

1.8045.000.00180.00

3.6045.0022.50315.00

Pendiente=(315 180) / (3.6 1.8)Pendiente=75 Hr. Hb. / TM

VALORES PTIMOS DE LA FUNCIN OBJETIVO ASOCIADOS CON CAMBIOS EN EL VALOR DEL LADO DERECHO DE LA RESTRICCIN (1) FUERA DEL INTERVALO DE SENSIBILIDAD [4.6; 5.6]Valor del Lado DerechoSolucin ptimaValor de la Funcin ObjetivoZ = 4X1 + 6X2

X1X2

5.6020.0060.00440.00

5.8015.0065.00450.00

5.8817.0065.00458.00

7.0045.0065.00570.00

Pendiente=(570 450) / (7.00 5.80)Pendiente=100 Hr. Hb. / TM

ANLISIS PARAMTRICO DE LA RESTRICCIN (1)Valor del Lado DerechoSolucin ptimaValor de la Funcin ObjetivoZ = 4X1 + 6X2

X1X2

1.8045.000.00180.00

3.6045.0022.50315.00

4.6045.0035.00390.00

5.2030.0050.00420.00

5.6020.0060.00440.00

5.8015.0065.00450.00

5.8817.0065.00458.00

7.0045.0065.00570.00

USO DE LA COMPUTADORA

Los que toman decisiones utilizan la computadora para resolver problemas con muchas variables e interpretan los resultados de la computadora para tomar decisiones y formular el mejor plan.El primer paso al usar cualquier paquete de programacin lineal para resolver un problema formulado es introducir los datos de manera que el paquete especfico de la computadora lo pueda leer.Aunque existen algunos modelos industriales, la mayor parte de los programas tienen su particular formato en el que deben capturar estos datos.Necesitar aprender cmo introducir estos datos para el paquete de programacin lineal que est usando.Entre los software de programacin lineal podemos mencionar: LINDO, EXCEL, QBS+, STROM, SIMAN, LOTUS o @RISK, TORA.

PROBLEMAS DE REDES DE DISTRIBUCIN

TRANSPORTACIN, TRANSBORDO Y PROBLEMAS DE ASIGNACIN

QU ES UNA RED DE DISTRIBUCIN?Una clase de problemas que tiene una estructura especial en sus restricciones cuando se le formula de manera matemtica tiene que ver con la distribucin de bienes. Por lo general, estos bienes deben ser enviados desde puntos de suministro conocidos (fbricas, plantas, almacenes, etc.) hasta puntos de demanda conocidos (clientes, tiendas, detallistas, etc.) posiblemente a travs de puntos intermedios (almacenes regionales, y/o de campo)El objetivo general consiste en hallar el mejor plan de distribucin, es decir la cantidad que se debe enviar por cada una de las rutas desde los puntos de suministro, a travs de los puntos intermedios, hasta los puntos de demanda.EL MEJOR PLAN DE DISTRIBUCINPor el trmino mejor se entiende un plan que minimice los costos totales de envo, produzca la mayor ganancia u optimice algn otro objetivo corporativo especificado por la gerencia de la empresa.Tambin es necesario satisfacer ciertas restricciones: No enviar ms de la capacidad especificada desde cada punto de suministro. Enviar bienes solamente por las rutas vlidas. Cumplir (o exceder) los requerimientos de bienes en los puntos de demanda.

RED DE DISTRIBUCINUn problema de este tipo es un problema de redes de distribucin.Una caracterstica favorable de esta clase de problema es que muchos aspectos pueden representarse de manera concisa mediante un diagrama, conocido como red de distribucin.Una red de distribucin consiste en una coleccin finita de crculos, llamados nodos, cada uno de los cuales representan una planta, un almacn o una tienda al menudeo.Los nodos desde los cuales se van a enviar los bienes (como fbricas y plantas) son nodos de suministro.Los nodos que van a recibir los bienes en cumplimiento de una demanda conocida (como las tiendas detallistas) se conocen como nodos de demanda.Los nodos que reciben bienes de otros nodos para su redistribucin (como el caso de los almacenes) se conocen como nodos de transbordo o nodos intermedios.Las parejas de nodos seleccionados de una red estn conectadas mediante una flecha, conocida como arco, que representa una ruta de envo vlida desde el nodo de origen al nodo de destino, segn lo indica la direccin en la que apunta la flecha.La representacin de la red puede contener varios datos del problema.Por ejemplo, el nmero colocado al lado de cada nodo de suministro, representa la capacidad de dicho nodo de suministro; es decir el nmero mximo de unidades que pueden ser enviadas desde ese nodo.Similarmente, el nmero colocado junto a cada nodo de demanda; representa la demanda en dicho nodo; esto es, el nmero mnimo de unidades que necesita recibir ese nodo para cumplir la demanda en l.Cada arco puede, tambin, tener un nmero asociado a l; que representa el costo de envo de una unidad o bien, entre los dos nodos conectados por ese arco.En la red tambin se puede incluir otro tipo de informacin sobre el problema, como podra ser el nmero mximo de unidades que se pueden enviar a lo largo de un arco dado.RED DE DISTRIBUCINNodos de SuministroNodos de TransbordoNodos de Demanda1235478961,0002,0001,5007009007001,1008537643257245

FORMULACIN DE PROBLEMAS DE REDES DE DISTRIBUCINEl primer paso en la formulacin matemtica de un problema de distribucin, consiste en dibujar la red correspondiente mediante la identificacin de los nodos y de los arcos del problema que se est considerando.Despus se colocan los datos apropiados del problema junto a cada nodo y a cada arco correspondiente.Paso seguido consiste en identificar las variables.Esto es deber haber una variable por cada uno de los arcos representados en la red de distribucin.Cada variable ser denominada por dos subndices X57, el primer subndice del nombre simblico de cada variable es el nmero del nodo origen (5), y el segundo subndice es el nodo de destino (7).RED DE DISTRIBUCINNodos de SuministroNodos de TransbordoNodos de Demanda1235478961,0002,0001,5007009007001,1008537643257245X16X14X15X24X25X35X39X46X47X48X57X58X59

PROBLEMAS DE REDES DE DISTRIBUCIN EN LA INDUSTRIA MINERAEn la industria minera existen muchos casos claros en los que se requiere realizar distribuciones de bienes, como por ejemplo: equipos, explosivos, accesorios, materiales varios, madera, etc.Con la finalidad de lograr una distribucin oportuna de bienes en interior mina se cuenta con almacenes en los niveles principales y estos a su vez distribuyen los materiales a bodegas ubicadas en los diferentes niveles.El caso de problemas de redes de distribucin nos permite realizar en forma eficiente, ptima y al menor costo la distribucin de los materiales en mina.EJEMPLO DE PROBLEMAS DE REDES DE DISTRIBUCIN EN LA INDUSTRIA MINERALa compaa minera Molino de Oro cuenta con tres almacenes generales de madera: (1) Cuno Cuno, (2) Alpacay y (3) Millonaria, las capacidades disponibles de madera es 5,000; 2,500 y 1,500 redondos respectivamente.As tambin la madera desde los almacenes generales Cuno Cuno y Alpacay abastece a los aserraderos San Juan y Nivel Cero y Millonaria abastece a Nivel Cero.Desde aqu los redondos y madera preparada se abastecen a los almacenes principales de interior mina, San Lus y Charpera y a su vez desde aqu se distribuye la madera a las bodegas ubicadas en Zona Alta, Baja, Pique y Mercedes.San Lus a la Zona Alta, Baja y Pique; y Charpera a las Zona Baja, Pique y Zona Mercedes, los requerimientos de madera de las diferentes zonas son del orden de 1,800; 2,400; 1,300 y 3,500.

COSTOS DE DISTRIBUCIN (S/. / REDONDO)DESDE LOS ALMACENES GENERALES A ASERRADEROS

ALMACN GENERALASERRADEROS

SAN JUANNIVEL CERO

CUNO CUNO3.04.0

ALPACAY2.03.0

MILLONARIAN/A5.0

DESDE LOS ASERRADEROS A ALMACENES PRINCIPALES

ASERRADEROSALMACENES PRINCIPALES

SAN LUISCHARPERA

SAN JUAN5.04.0

NIVEL CERO3.03.0

DESDE LOS ALMACENES PRINCIPALES A BODEGAS

ALMACENES PRINCIPALESBODEGAS

ZONA ALTAZONA BAJAPIQUEZONA MERCEDES

SAN LUIS5.03.05.0N / A

CHARPERAN / A4.06.03.0

RED DE DISTRIBUCINNodos de SuministroNodos de TransbordoNodos de Demanda123769101185,0002,5001,5001,8002,4001,3003,5003643543253345X14X46X24X15X25X35X57X68X69X47X610X710X711Almacenes GeneralesAserraderosAlmacenes PrincipalesBodegas Mina54San JuanCuno CunoMillonariaAlpacayNivel CeroSan LuisCharperaZona AltaZona BajaPiqueZona Mercedes35X56X79

FORMULACIN DEL MODELO MATEMTICOFuncin Objetivo:Min Z =3 X14 + 4 X15 + 2 X24 + 3 X25 + 5 X35 + 5 X46 + 4 X47 + 3 X56 + 3 X57 + 5 X68 + 3 X69 + 5 X610 + 4 X79 + 6 X710 + 3 X711Dependiendo de:Restricciones de SuministroX14 + X15