modul praktikum regresi - · pdf filesebagai contoh penggunaan dummy variable adalah...
TRANSCRIPT
1
ANALISIS REGRESI
Analisis regresi adalah analisis statistika yang bertujuan untuk
memodelkan hubungan antara variabel independent dengan variabel
dependent. Istilah regresi pertamakali dikenalkan oleh Francis Galton (1886)
melalui artikelnya yang berjudul Regression Towards Mediocrity In Hereditary
Stature, di dalam artikel ini Galton mengkaji hubungan antara tinggi badan
anak dengan tinggi badan orang tua. Dari hasil kajian ini diperoleh informasi
adanya hubungan antara tinggi badan anak dengan tinggi orang-tuanya.
Model yang menggambarkan hubungan antara variabel independent (X)
dengan variabel dependent (Y) adalah :
Y= f(X,) +
2
Hubungan antara variabel independent dengan variabel dependent
dikatakan linear jika dapat dinyatakan dalam model :
Y = X1 + X2 + …+ pXp +
Dalam catatan matriks, model regresi linear dapat ditulis dalam :
Y =X
atau
npnpn
p
p
n XX
XXXX
Y
YY
......1
............1...1
...2
1
1
0
1
221
111
2
1
Nilai dapat ditaksir dengan menggunakan metode kuadrat terkecil
dengan cara :
)'()'(ˆ 1 YXXX
p
ˆ...
ˆˆ
ˆ 2
0
21[
1211
1
.........
)'(
ppp
p
p
xxxx
xxxxxxn
XX
yx
yxy
YX
p
...)'( 1
Pengujian terhadap dapat dilakukan dengan dua cara yaitu pengujian
secara serentak dan pengujian secara individu.
Pengujian secera serentak
Hipotesis :
H0 :
H1 :
3
Statistik Uji
Sumber
Variasi
df Sum of
Squares
MS F
Regresi p 2)ˆ( YY pYY /)ˆ( 2 sidualMSgresiMS
Re.Re.
Residual n-p-1 2)( YY )1/()( 2 pnYY
Total n-1 2)( YY
Tolak Ho jika F>F,p,n-p-1
Pengujian secara individu
Hipotesis
H0 : I = 0
H1 : I 0
Statistik uji
is
t i
ˆ
ˆ
Tolak H0 jika |t|>tn-p-1
Kegiatan Praktikum
Tentukan model yang menggambarkan hubungan antara harapan hidup
perempuan (Y) dengan pendapatan per-kapita dan kepadatan penduduk yang
dinyatakan dalam :
Y = ln(gdp_cap) + ln(density) +
Penyelesaian :
a. Melakukan transformasi ln(gdp_cap) dan ln(density) dengan cara : [klik
transform+ compute]
4
5
b. Melakukan analisis regresi ;[klik+analyze+regression+linear]
dan hasilnya adalah :
Model Summary
.840a .706 .700 5.788Model1
R R SquareAdjustedR Square
Std. Error ofthe Estimate
Predictors: (Constant), ln_gdp, ln_densa.
ANOVAb
8519.080 2 4259.540 127.141 .000a
3551.268 106 33.50312070.349 108
RegressionResidualTotal
Model1
Sum ofSquares df Mean Square F Sig.
Predictors: (Constant), ln_gdp, ln_densa.
Dependent Variable: Average female life expectancyb.
6
Coefficientsa
17.981 3.501 5.136 .000.904 .388 .123 2.332 .022
6.150 .390 .831 15.766 .000
(Constant)ln_densln_gdp
Model1
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.
Dependent Variable: Average female life expectancya.
Seluruh nilai sig.<5% sehingga harapan hidup perempuan dipengaruhi (Y)
oleh kepadatan penduduk dan pendapatan per-kapita yang dinyatakan dalam
model :
Y= 17.981 +0.904 ln(density) +6.150 ln(gdp_cap)
7
PEMILIHAN MODEL TERBAIK
Salah satu tujuan di dalam analisis regresi adalah untuk mendapatkan
model terbaik yang menjelaskan hubungan antara variabel independent
dengan variabel dependent, model terbaik adalah model yang seluruh
koefisien regresinya berarti (significant) dan mempunyai kriteria model terbaik
optimum. Beberapa kriteria model terbaik adalah :
Nomor Kriteria Formula Optimum
1 SSE 2)( YY Minimum
2 MSE )1/()( 2 pnYY Minimum
3 R2
%100)(
)ˆ(2
2
YY
YY Maksimum
4 Adjusted
R2 )()1(
]1[1 2
pnn
R
Maksimum
5 Cp Mallow)2( pn
MSESSE
Minimum
6 AIC ln(SSE/n) +2p/n Minimum
7 SBC ln(SSE/n)+p/n ln(n) Minimum
8
Untuk memperoleh model terbaik, ada beberapa metode yang biasa
digunakan yaitu :
Metode Penjelasan
Backward Mulai dengan model lengkap, kemudian variabel independent
yang ada dievaluasi, jika ada yang tidak significant dikeluarkan
yang paling tidak significant, dilakukan terus menerus sampai
tidak ada lagi variabel independent yang tidak significant
Forward Variabel independent yang pertama kali masuk ke dalam model
adalah variabel yang mempunyai korelasi tertinggi dan
significant dengan variabel dependent, variabel yang masuk
kedua adalah variabel yang korelasinya dengan variabel
dependent adalah tertinggi kedua dan masih significant,
dilakukan terus menerus sampai tidak ada lagi variabel
independent yang significant
StepSwise Gabungan antara metode forward dan backward, variabel yang
pertama kali masuk adalah variabel yang korelasinya tertinggi
dan significant dengan variabel dependent, variabel yang masuk
kedua adalah variabel yang korelasi parsialnya tertinggi dan
masih significant, setelah variabel tertentu masuk ke dalam
model maka variabel lain yang ada di dalam model dievaluasi,
jika ada variabel yang tidak significant maka variabel tersebut
dikeluarkan
Best subset
regression
Metode ini tersedia di dalam program paket MINITAB. Metode
ini menyajikan k buah model terbaik untuk model dengan
1,2,…,p variabel independent.
9
Kegiatan Praktikum
Tentukan model terbaik yang menggambarkan hubungan antara harapan
hidup perempuan (lifeexpf) dengan pendapatan perkapita (gdp_cap),
persenta-se penduduk yang tinggal dikota (urban), persentase penduduk yang
dapat membaca (literacy), banyaknya kematian per 1000 penduduk (death_rt).
rata-rata banyaknya anak (fertility), konsumsi makanan per-hari (calories)
dengan menggunakan metode stepwise dan best subset regression.
Penyelesaian :
Dengan bantuan SPSS permasalahan di atas dapat diselesaikan
dengan cara : [klik analyze+regression+linear]
atau melalui syntax :REGRESSION
/STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA/CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10)/NOORIGIN/DEPENDENT lifeexpf/METHOD=STEPWISE gdp_cap calories literacy urban death_rt .
dan hasilnya adalah :
10
ANOVA
7229.894 1 7229.894 222.690 .0002337.565 72 32.4669567.459 738206.309 2 4103.154 214.028 .0001361.150 71 19.1719567.459 738906.744 3 2968.915 314.544 .000660.716 70 9.439
9567.459 739017.788 4 2254.447 282.999 .000549.672 69 7.966
9567.459 73
RegressionResidualTotalRegressionResidualTotalRegressionResidualTotalRegressionResidualTotal
Model1
2
3
4
Sum ofSquares df Mean Square F Sig.
Model Summary
.869a .756 .752 5.698
.926b .858 .854 4.378
.965c .931 .928 3.072
.971d .943 .939 2.822
Model1234
R R SquareAdjustedR Square
Std. Error ofthe Estimate
Predictors: (Constant), People who read (%)a.
Predictors: (Constant), People who read (%), Deathrate per 1000 people
b.
Predictors: (Constant), People who read (%), Deathrate per 1000 people, Gross domestic product / capita
c.
Predictors: (Constant), People who read (%), Deathrate per 1000 people, Gross domestic product / capita,Daily calorie intake
d.
11
Coefficients a
36.226 2.275 15.924 .000.430 .029 .869 14.923 .000
53.279 2.961 17.995 .000.330 .026 .667 12.606 .000
-.966 .135 -.378 -7.137 .000
62.740 2.350 26.699 .000.192 .024 .389 7.890 .000
-1.211 .099 -.474 -12.214 .000
.001 .000 .363 8.614 .000
54.214 3.143 17.252 .000.172 .023 .347 7.456 .000
-1.136 .093 -.444 -12.178 .000
.000 .000 .252 5.170 .000
.004 .001 .186 3.734 .000
(Constant)People who read (%)(Constant)People who read (%)Death rate per 1000people(Constant)People who read (%)Death rate per 1000peopleGross domesticproduct / capita(Constant)People who read (%)Death rate per 1000peopleGross domesticproduct / capitaDaily calorie intake
Model1
2
3
4
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.
Dependent Variable: Average female life expectancya.
Sehingga model terbaiknya adalah :
lifeexpf = 54.214 +0.172 literacy –1.136 death_rt + 0.000 gdp_cap +0.004
calori dengan R2= 0.943
Dengan menggunakan best subset regression :[klik stat+regression+best
subset]
12
diperoleh hasil :
Response is LIFEEXPF
L C DI G A ET D L A
U E P O TR R _ R HB A C I _A C A E R
Vars R-Sq R-Sq(adj) C-p S N Y P S T
1 75.6 75.2 225.8 5.6979 X1 60.2 59.6 412.2 7.2752 X1 59.8 59.3 416.2 7.3055 X2 86.9 86.6 90.3 4.1981 X X2 85.8 85.4 103.5 4.3686 X X2 83.7 83.3 128.9 4.6816 X X3 93.1 92.8 17.5 3.0711 X X X3 92.1 91.7 30.1 3.2935 X X X3 89.6 89.2 59.8 3.7688 X X X4 94.3 93.9 5.5 2.8207 X X X X4 93.5 93.1 15.1 3.0095 X X X X4 92.5 92.1 26.2 3.2150 X X X X5 94.4 94.0 6.0 2.8112 X X X X X
Dengan menggunakan criteria Cp-Mallows dan MSE terkecil diperoleh
model terbaik yang mengandung variabel literacy, gdp_cap, calories dan
death_rt, hasil ini sama dengan metode stepwise
13
DUMMY VARIABLE
Dalam beberapa kasus tertentu, penggunaan analisis regresi melibatkan
adanya variabel independent yang berskala nominal ataupun ordinal. Untuk
mengatasi hal ini dipergunakan dummy variable. Sebagai contoh penggunaan
dummy variable adalah penentuan model terbaik yang menggambarkan
hubungan antara harapan hidup perempuan dengan pendapan perkapita dan
region (Asia dan Afrika).
Model yang menggambarkan hubungan antar variabel tersebut dapat
dinyatakan dalam persamaan regresi :
lifeexpf = ln(gdp_cap) + untuk region Asia
lifeexpf = ln(gdp_cap) + untuk region Afrika
Dua persamaan regresi di atas dapat dijadikan satu persamaan regresi
dengan cara menyisipkan sebuah dummy variable (D) yang bernilai 0 untuk
region Asia dan 1 untuk region Afrika :
lifeexpf = ln(gdp_cap) + D + D*ln(gdp_cap) +
Nilai menggambarkan perbedaaan intercept antara region Asia dan
Afrika, sedangkan nilai menggambarkan perbedaan slope antara region Asia
dan Afrika.
Jika region yang dilibatkan lebih dari dua, misalkan region Asia, Afrika
dan Amerika Latin maka persamaan regresinya menjadi :
lifeexpf=ln(gdp_cap)+D1+D1*ln(gdp_cap)+D1+D1*ln(gdp_cap)+
dengan aturan pemberian nilai dummy variabel adalah :
region D1 D2 Persamaan regresi
Asia 0 0 ln(gdp_cap)+
Afrika 0 1 +ln(gdp_cap)+
Amerika Latin 1 0 +ln(gdp_cap)+
14
Secara umum banyaknya dummy variable yang dibutuhkan adalah
banyaknya region-1.
Kegiatan Praktikum :
Tentukan model yang menggambarkan hubungan antara harapan hidup
perempuan dan pendapatan perkapita di region Asia, Afrika dan Amerika Latin
Penyelesaian :
Pembangkitan nilai D1 dan D2 :[klik transform+compute]
15
Lakukan dengan cara yang sama untuk membangkitkan variabel D2(
bernilai 0 untuk region Asia, Amerika Latin dan bernilai 1 untuk region Afrika).
Pembangkitan nilai D1*ln(gdp_cap) dan D2*ln(gdp_cap)
16
Analisis regresi :[klik analyze+regression+linear]
dan hasilnya adalah :
Coefficientsa
27.034 6.116 4.420 .0005.643 .834 .720 6.767 .000
22.860 14.130 .975 1.618 .112-4.190 10.402 -.184 -.403 .689-2.986 1.761 -1.049 -1.696 .097-.720 1.547 -.205 -.465 .644
(Constant)ln_gdpD1d2d1_lngdpd2_lngdp
Model1
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.
Dependent Variable: Average female life expectancya.
Masih ada koefisien regresi yang tidak significant, setelah digunakan
metode backward diperoleh hasil sebagai berikut :
17
Coefficientsa
27.034 6.116 4.420 .0005.643 .834 .720 6.767 .000
22.860 14.130 .975 1.618 .112-4.190 10.402 -.184 -.403 .689-2.986 1.761 -1.049 -1.696 .097-.720 1.547 -.205 -.465 .644
25.585 4.904 5.217 .0005.836 .677 .745 8.619 .000
24.308 13.545 1.037 1.795 .079-3.179 1.680 -1.117 -1.892 .065-1.333 .284 -.379 -4.695 .00028.771 4.674 6.156 .0005.412 .649 .691 8.341 .000-.197 .255 -.069 -.773 .443
-1.397 .288 -.398 -4.851 .00029.562 4.542 6.508 .0005.202 .587 .664 8.860 .000
-1.308 .263 -.373 -4.972 .000
(Constant)ln_gdpD1d2d1_lngdpd2_lngdp(Constant)ln_gdpD1d1_lngdpd2_lngdp(Constant)ln_gdpd1_lngdpd2_lngdp(Constant)ln_gdpd2_lngdp
Model1
2
3
4
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.
Dependent Variable: Average female life expectancya.
Model terbaik yang menggambarkan hubungan antara harapan hidup
perempuan dan pendapatan per-kapita adalah :
lifeexpf = 29.562 + 5.202 ln(gdp_cap) -1.308 D2*ln(gdp_cap)
atau
region D1 D2 Persamaan regresi
Asia 0 0 lifeexpf = 29.562 + 5.202 ln(gdp_cap)
Afrika 0 1 lifeexpf = 29.562 + 3.894 ln(gdp_cap)
Amerika Latin 1 0 lifeexpf = 29.562 + 5.202 ln(gdp_cap)
18
INFLUENTIAL OBSERVATIONS
Influential observations adalah titik pengamatan yang keberadaannya
mempunyai pengaruh terhadap persamaan regresi, sebagai contoh seperti
yang tetera pada gambar di atas, titik (13.12.74) adalah influential observation,
persamaan regresi kalau titik ini diikutkan adalah :
The regression equation is Y3 = 3.00 + 0.500 X R2 = 66.6%
sedangkan kalau titik ini tidak diikutkan, diperoleh persamaan regresi :
The regression equation is Y3 = 4.01 + 0.345 X R2 = 100.0 %
19
Untuk mendeteksi adanya influential observation dapat dipergunakan
beberapa statistik berikut :
No Statistik Formula influential Penjelasan
1 DFFIT
)(
ˆˆ)(
i
ii
Ystdev
YY np
2
Difference fit
Perbedaan nilai Y
taksiran dengan
atau tanpa peng-
amatan ke-i
2 DFBETAS
)()(
j
ijj
bstdev
bb n
2
Difference Betas
Perbedaan nilai
koefisien regresi
dengan atau tanpa
pengamatan ke-i
3 Cook’s Distance
pMSE
bbXXbb ii ))('()'( )( pnpF .,50.0
Perbedaan vector
koefisien regresi
dengan atau tanpa
pengamatan ke-i
4 COVRATIO
)(cov(
)cov(
i
Covariance ratio
Nisbah dterminan
matriks covariance
koefisien regresi
dengan atau tanpa
pengamatan ke-i
20
Kegiatan Praktikum :
Tentukan Negara di Asia yang keberadaanya mempengaruhi hubungan
antara harapan hidup perempuan dengan pedapatan per-kapita dengan
menggunakan kriteria DFFIT
Penyelesaian
Memilih Negara di region Asia : [klik Data+Select Cases]
Analisis regresi : [klik analyze + regression +linear]
klik save
21
dan hasilnya adalah :
Coefficientsa
27.034 6.350 4.257 .0015.643 .866 .860 6.517 .000
(Constant)ln_gdp
Model1
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.
Dependent Variable: Average female life expectancya.
Model Summaryb
.860a .739 .722 5.744Model1
R R SquareAdjustedR Square
Std. Error ofthe Estimate
Predictors: (Constant), ln_gdpa.
Dependent Variable: Average female life expectancyb.
22
Negara yang merupakan influential observation adalah Negara yang nilai
np
DFFIT 2 atau 69.0DFFIT , Negara tersebut adalah Negara
Afganistan, Cina, Kamboja dan Vietnam
23
ASUMSI DALAM ANALISIS REGRESI
Model linear yang menggambarkan hubungan antara variabel
independent dan variabel dependent adalah :
Y = X1 + X2 + …+ pXp +
Asumsi yang diperlukan untuk model ini adalah :
a. ~N(0. 2 )
b. var(i)= 2 untuk semua i
c. cov(I,j) = 0 untuk ij
d. antar X saling independent
Asumsi-asumsi di atas kadang-kadang tidak dipenuhi, untuk mendeteksi
dan mengatasi adanya masalah pelanggaran asumsi di atas dapat dilakukan :
No. Masalah Deteksi Solusi
1 Residual tak
berdistribusi
normal
normal probability plot
Uji kenormalan : KS,…
Tranformasi variabel
Regresi bootstrap
2 Hetroscedastivity
var(i) 2
Plot e dengan y
Uji Glesjer, White
Uji Golfeld-Quandt
Transformasi variabel
Weighted Least Squares
3 Autocorrelation
cov(I,j) 0
untuk ij
Plot e dengan y
Uji Durbin Watson
ACF plot
Regresi beda, Regresi ratio
memasukkan trend
Cochrane Orcutt, Hildreth-
Lu,Durbin, Prais-Winsten
4 Multicollinearity r(Xi,Xj) tinggi, VIF>10
0' XX
R2 tinggi tetapi tidak
ada yang significant
stepwise
Principal component reg.
Ridge regression
24
REGRESI BOOTSTRAPP
Asumsi yang utama di dalam analisi regresi adalah asumsi kenormalan
residual. Asumsi ini dibutuhkan terkait dengan penggunaan statistik uji F dan t.
Jika asumsi kenormalan ini tidak dipenuhi maka kesimpulan dari hasil
pengujian dengan statistik uji F dan t menjadi tidak valid Untuk menguji
asumsi kenormalan ini dapat dipergunakan uji Kolmogorov-Smirnov,
Anderson-Darling, Shapiro-Wilk, dan Goodness-of-fit jika hasil pengujian
kenormalan menyimpulkan asumsi ini tak terpenuhi maka salah satu solusi
adalah dengan menerapkan metode regresi bootstrap.
Algoritma dari metode regresi bootstrap adalah :
1. mulai2. Tentukan nilai taksiran dari model Y=Xdengan metode kuadrat
terkecil, hasil taksirannya adalah olsj , dan nilai taksirannya adalah
olsiY ,
3. Tentukan nilai e1, e2, …, en, YYe iiˆ
4. B=10005. i=06. i=i+17. Melakukan resampling with resampling sebanyak n dari ei hasil
resamplingnya adalah e(i)
8. Menentukan nilai )(, iolsii eYY
9. Menduga besarnya j pada resampling ke-i yaitu ij , dari dan data Yi
dengan Xji dengan metode kuadrat terkecil10.Jika i<B pergi ke 611. Tentukan nilai taksiran koefisien regresi dari metode bootstrapp
sebagai rata-rata nilai koefisien regresi hasil resampling sebanyak Bkali
12. Tentukan confidence interval koefisien regresi melalui nilai persentil13. Selesai
25
Kegiatan Praktikum :
Tentukan model yang menggambarkan hubungan antara harapan hidup
perempuan dengan pendapatan perkapita serta ujilah asumsi kenormalan
residual dengan uji Kolmogorov-Smirnov.
Penyelesaian :
Dengan bantuan MINITAB permaslahan ini dapat diselesaikan dengan
cara
Tranformasi variabel
MTB > let c27=loge(lifeexpf)
MTB > name c27=’ln_gdp’
Regresi [klk stat+regression+regression]
klik storage
26
dan hasilnya adalah :
The regression equation isLIFEEXPF = 21.7 + 6.15 ln_gdpPredictor Coef SE Coef T PConstant 21.670 3.187 6.80 0.000ln_gdp 6.1538 0.3981 15.46 0.000S = 5.907 R-Sq = 69.1% R-Sq(adj) = 68.8%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 8336.9 8336.9 238.93 0.000Residual Error 107 3733.4 34.9Total 108 12070.3Pengujian asumsi kenormalan [klik stat+basic statistics+normality test]
27
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil diperoleh hasil
kenormalan residual tidak terpenuhi, sehiingga sebagai alternatif digunakan
metode regresi bootstrapp yang dinyatakan dalam macro MINITAB :
macroregb y xmconstant n i b low_b0 up_b0 low_b1 up_b1mcolumn x y yy yhat e ee b0 b1 beta b0_boot b1_bootlet n=count(y)let b=1000regr y 1 x;resid e;fits yhat.do i=1:b
sample n e ee;replacement.let yy=yhat+eeregr yy 1 x;coef beta.let b0(i)=beta(1)let b1(i)=beta(2)
enddohisto b0histo b1let b0_boot=mean(b0)let b1_boot=mean(b1)sort b1 b1sort b0 b0let low_b0=b0(25)let up_b0=b0(975)let low_b1=b1(25)let up_b1=b1(975)print b0_boot low_b0 up_b0print b1_boot low_b1 up_b1endmacro
Untuk menjalankan macro di atas dapat dilakukan dengan cara :
MTB > %regb.txt ‘lifeexpf’ ‘ln_gdp’
dan hasilnya adalah :
28
b0 b1
low_b0 14.7859up_b0 27.6859
b0_boot21.5513
low_b1 5.40552up_b1 6.96901
b1_boot6.16731
Confidence interval yang diperoleh untuk dan semuanya tidak
melalui titik 0, sehingga dapat disimpulkan dua koefisien regresi ini significant
pada . Dan model yang diperoleh adalah :
lifeexpf = 21.5513 + 6.16731 ln(gdp_cap)
29
HETEROSCEDASTICITY
Heteroscedasticity adalah sifat residual yang mempunyai varians yang
tidak homogen, atau :
iii 22)var(
Untuk memeriksa sifat ini dapat dipergunakan scatter-plot antara residual
yang sudah dibakukan dengan nilai y , jika scatter plot membentuk gambar
seperti pola sebelah kiri berikut maka varians residual masih dianggap konstan
dan jika membentuk pola seperi sebelah kanan maka varians residual
cenderung tidak homogen.
Selain dengan menggunakan scatter-plot seperti di atas, keberadaan
hetrocedasticity juga dapat diuji dengan menggunakan uji Glejser dengan cara
meregresikan kuadrad atau harga mutlak residual dengan variabel
independent, jika ada variabel independent yang significant maka varians
residual cenderung tidak homogen, untuk mengatasi hal ini biasanya dilakukan
transformasi dengan cara membagi seluruh nilai variabel dengan variabel yang
significant, atau :
30
Jika 1.xke . maka dilakukan transformasi sebagai berikut :
...1
1
33
1
22
1
11
10
1
xx
xx
xx
xxy
atau
...*33
*22
*101
* xxxy
Koefisien regresi dari model ini kemudian ditaksir dengan menggunakan
metode kuadrat terkecil sehingga diperoleh :
...*33
*22
*101
* xbxbxbby
Kemudian model ini dikembalikan ke variabel asal dengan
menggandakan ruas kiri dan ruas kanan dengan x1 sehingga diperoleh :
...3322101 xbxbxbby
Secara umum masalah heterocedasticity dapat diatasi dengan
mengguna-kan metode weighted least-squares yaitu :
YXXX 111 )'(ˆ dan adalah matriks diagonal dengan unsur
diagonal adalah i
Selain dengan menggunakan uji Glejser, uji adanya heteroscedasticity
dapat diuji dengan koefisien korelasi Spearman antara residual dengan
variabel independent, jika korelasi ini significant maka cenderung terjadi kasus
hetroscedasticity.
Koefisien korelasi Spearman dihitung dengan cara :
)1(
61 2
2
nn
Dr dan D adalah selisih rank antar dua variabel.
31
Kegiatan Praktikum :
Dengan menggunakan uji Glejser, periksalah adanya kasus
heteroscedasticity untuk data berikut :
Year Saving Income1 264 87772 105 92103 90 99544 131 105085 122 109796 107 119127 406 127478 503 134999 431 14269
10 588 1552211 898 1673012 950 1766313 779 1857514 819 1963515 1222 2116316 1702 2288017 1578 2412718 1654 2560419 1400 2650020 1829 2767021 2200 2830022 2017 2743023 2105 2956024 1600 2815025 2250 3210026 2420 3250027 2570 3525028 1720 3350029 1900 3600030 2100 3620031 2300 38200
32
Penyelesaian :
Dengan bantuan MINITAB permasalahan di atas, dapat diselesaikan
dengan cara :
MTB > regr 'saving' 1 'income';SUBC> fits c11;SUBC> resid c12.
dan hasilnya adalah :
The regression equation issaving = - 648 + 0.0847 income
Predictor Coef SE Coef T PConstant -648.1 118.2 -5.49 0.000income 0.084665 0.004882 17.34 0.000
S = 247.6 R-Sq = 91.2% R-Sq(adj) = 90.9%
Untuk melakukan uji Glejser, dilakukan perintah :
MTB > let c13=abs(c12)MTB > name c13='abs_res'MTB > regr 'abs_res' 1 'income'
The regression equation isabs_res = - 7.7 + 0.00935 income
Predictor Coef SE Coef T PConstant -7.69 47.73 -0.16 0.873income 0.009346 0.001972 4.74 0.000
S = 100.0 R-Sq = 43.6% R-Sq(adj) = 41.7%
Dari hasil uji Glejser ini, diperoleh informasi adanya hubungan antara
variabel harga mutlak residual dengan variabel income sehingga terjadi kasus
heteroscedasticity. Karena nilai harga mutlak residual sebanding dengan nilai
income maka selanjutnya dilakukan analisis regresi untuk model :
saving/income = income)+
Dengan bantuan MINITAB analisis regresi untuk model di atas dapat
dilakukan dengan cara :
33
MTB > let c4=saving/incomeMTB > let c5=1/incomeMTB > name c4='y*' c5='x*'MTB > regr 'y*' 1 'x*';SUBC> resid c21.
dan hasilnya adalah :
The regression equation isy* = 0.0881 - 723 x*
Predictor Coef SE Coef T PConstant 0.088139 0.004372 20.16 0.000x* -722.50 72.36 -9.98 0.000
S = 0.01051 R-Sq = 77.5% R-Sq(adj) = 76.7%
Pengujian adanya heteroscedasticity dengan uji Glejser
MTB > let c22=abs(c21)MTB > name c22='absres'MTB > regr 'absres' 1 'income'
Hasil pengujian Glejser
The regression equation isabsres = 0.00793 +0.000000 income
Predictor Coef SE Coef T PConstant 0.007931 0.002608 3.04 0.005income 0.00000003 0.00000011 0.31 0.760S = 0.005465 R-Sq = 0.3% R-Sq(adj) = 0.0%
NIlai p untuk variabel income >5% sehingga tidak ada hubungan antara
harga mutlak residual dengan income atau varians residual cenderung sudah
homogen.
Sedangkan asumsi kenormalan residual dapat diuji dengan cara :
MTB > %NormPlot C21;SUBC> Kstest.
Dan hasil uji kenormalan dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov
adalah :
34
Dari hasil pengujian Komogorov Smirnov, diperoleh hasil p-value>5%
sehingga dapat diputuskan residual sudah berdistribusi normal
Model yang menggambarkan hubungan antara saving dengan income
setelah dilakukan transfromasi adalah :
y* = 0.0881 - 723 x* atau :
saving/income= 0.0881 -723 (1/income)
setelah ruas kiri dan kanan digandakan dengan income maka diperoleh :
saving=-723 +0.0881 income
35
MULTICOLLINEARITY
Multicollinearity
Adanya hubungan linear antar variabel independent
Multicollinearity dapat dideteksi dengan :
a. Variance Inflation Factor (VIF) yang tinggi, biasanya>10
b. korelasi antar variabel independent yang tinggi
c. 0' XX
d. R2 tinggi tetapi tidak ada variabel independent yang significant
e. Koefisien korelasi dan koefisien regresi berbeda tanda
Multicollinearity dapat diatasi dengan :
a. Mengeluarkan salah satu variabel independent yang berkorelasi tinggi
dengan variabel independent yang lain. Pengeluaran variabel ini dapat
dilakukan secara manual ataupun otomatis melalui metode stepwise.
b. Ridge Regression. YXkIXX ')'(ˆ 1 , 0<k<1
c. Principal Component Regression, tahapan dari metode ini adalah :
- Melakukan pembakuan data :s
xxz
- Membangkitkan variabel baru yang saling independent
w1 = a11z1 + a12z2+ … + a1pzp
w2 = a21z1 + a22z2+ … + a2pzp
…
wp = ap1z1 + ap2z2+ … + appzp
atau
wi =a’ix, nilai a’I adalah eigen-vector dari eigen-value ke-i dari
matriks korelasi antar variabel independent
- Melakukan regresi y dengan w dan menyatakan model regresi y
dengan w ke dalam model y dengan x
36
Kegiatan Praktikum1. Periksa adanya kasus multicollinearity pada pemodelan harapan hidup
perempuan dengan pendapatan perkapita, persentase penduduk yangtinggal di kota, persentase perempuan yang dapat membaca, persentaselaki-laki yang dapat membaca di region Amerika Latin (region=6).
2. JIka ada kasus multicollinearity, atasi dengan beberapa metode untukmengatasi multicollinearity.
Penyelesaiana. Memilih data dari region Amerika Latin klik data+select cases+if
b. Memeriksa adanya kasus multicollinearity dengan menentukan matrikskorelasi antar variabel independent :klik analyze+correlate+bivariate
37
Correlations
1 .550** .500* .833** .756**
.550** 1 .285 .617** .581**
.500* .285 1 .578** .542*
.833** .617** .578** 1 .956**
.756** .581** .542* .956** 1
Average female lifeexpectancy
Gross domestic product /capitaPeople living in cities (%)Females who read (%)Males who read (%)
Averagefemale lifeexpectancy
Grossdomesticproduct /
capita
Peopleliving incities(%)
Femaleswho read
(%)
Maleswhoread(%)
Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).**.
Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).*.
Korelasi antar variabel independent cukup tinggi dan significantsegingga ada kecenderungan terjadi kasus multicollinearity.
c. Memeriksa adanya kasus multicollinearity dengan VIF:klikanalyze+regression+linear
klik statistics
38
Coefficientsa
45.921 8.483 5.413 .000
.000 .001 .320 .753 1.640
.011 .068 .159 .875 1.525
-.273 .274 -.997 .334 11.573.594 .238 2.498 .024 13.289
(Constant)Gross domestic product/ capitaPeople living in cities(%)Males who read (%)Females who read (%)
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
t Sig. VIF
CollinearityStatistics
Dependent Variable: Average female life expectancya.
Ada variabel independent yang nilai VIF>10 dan tanda koefisien regresiuntuk males who read negatif sedangkan koefisien korelasinya positifsehingga memang ada kasus multicollinearity.
d. Mengatasi multicollinearity dengan metode stepwise : klik analyze +regression + linear + method stepwise
Coefficientsa
39.013 5.077 7.684 .000.406 .062 6.557 .000 1.000
(Constant)Females who read (%)
Model1
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
t Sig. VIF
CollinearityStatistics
Dependent Variable: Average female life expectancya.
39
e. Mengatasi multicollinearity dengan ridge regression : klik file + new +syntax
klik Run +All
R-SQUARE AND BETA COEFFICIENTS FOR ESTIMATED VALUES OF KK RSQ GDP_CAP URBAN LIT_FEMA LIT_MALE
______ ______ ________ ________ ________ ________.00000 .71418 .054792 .026292 1.216924 -.453266.05000 .69610 .094060 .064195 .727695 -.027707.10000 .68316 .108722 .079079 .576309 .089996.15000 .67496 .116972 .087904 .499551 .141542.20000 .66894 .122256 .093883 .451628 .168551.25000 .66400 .125810 .098171 .418018 .183994.30000 .65966 .128228 .101326 .392635 .193180.35000 .65564 .129847 .103668 .372467 .198665.40000 .65182 .130880 .105402 .355839 .201821.45000 .64811 .131470 .106666 .341745 .203441.50000 .64445 .131719 .107560 .329540 .204016.55000 .64083 .131700 .108158 .318790 .203861.60000 .63722 .131470 .108517 .309190 .203186.65000 .63360 .131071 .108681 .300520 .202137.70000 .62999 .130537 .108683 .292617 .200817.75000 .62637 .129895 .108551 .285355 .199298.80000 .62273 .129165 .108309 .278639 .197636.85000 .61909 .128365 .107975 .272392 .195871.90000 .61544 .127509 .107564 .266551 .194033.95000 .61179 .126608 .107088 .261068 .1921461.0000 .60813 .125671 .106558 .255901 .190227
Besarnya k dipilih sedemikian hingga nilai koefisien regresinyadianggap sudah tidak berubah lagi, besarnya k yang memenuhi
40
kriteria ini adalah k=0.35, pemilihan k ini juga dapat ditentukanberdasarkan gambar berikut :
41
f. Mengatasi multicollinearity dengan principal component regression
1. Menentukan skor komponen (w1, w2,…)
MTB > PCA 'GDP_CAP' 'URBAN' 'LIT_MALE' 'LIT_FEMA';SUBC> Coefficients c41-c44;SUBC> Scores c51-c54.
Eigenanalysis of the Correlation Matrix
Eigenvalue 2.8278 0.7163 0.4141 0.0419Proportion 0.707 0.179 0.104 0.010Cumulative 0.707 0.886 0.990 1.000
Variable PC1 PC2 PC3 PC4GDP_CAP -0.435 0.655 -0.616 0.049URBAN -0.414 -0.755 -0.506 0.046LIT_MALE -0.560 0.028 0.478 0.676LIT_FEMA -0.571 0.022 0.368 -0.734
2. Meregresikan y dengan w
Hanya w1 yang eigen-value-nya >1 sehingga regresinya hanyadengan w1MTB > regr 'lifeexpf' 1 'w1'The regression equation isLIFEEXPF = 71.8 - 3.51 w1Predictor Coef SE Coef T PConstant 71.7619 0.9930 72.26 0.000w1 -3.5140 0.6051 -5.81 0.000
3. Menyatakan model regresi ke dalam variabel asal
y = 71.8 -3.51 w1
y = 71.8–3.51(-0.435 z1 -0.414 z2 -0.560 z3 -0.571 z4
y = 71.8 + 1.53 z1 + 1.45 z2 + 1.97 z3 + 2.00 z4
4321
44332211 297.145.153.18.71xxxx s
xxs
xxs
xxs
xxy
42
AUTOCORRELATION
Autocorrelation
Adanya hubungan antar residual atau residual bersifat tidak saling
independent, kasus ini sering dijumpai pada data time series.
Autocorrelation dapat dideteksi dengan :
a. Statistik uji Durbin-Watson :
n
ii
n
iii
e
eed
1
2
2
21)(
b. ACF plot, ada nilai r(et,et-k) melampaui batasn
20 maka residual
tidak saling independent
c. Statistik uji Ljung-Box
k
j
j
jn
rnnQ
1
2
)2( tolak Ho : residual saling independent jika Q>k
Adanya residual yang saling dependent dapat diatasi dengan :
a. Regresi beda
ttttt xxyy )( 1101
b. Regresi Nisbah
tt
t
t
t
xx
yy
1
101
c. ttttt xxyy ).(. 1101
43
Kegiatan Praktikum
tahun export gdp1970 102 2551971 105 2611972 105 2611973 105 2601974 104 2571975 104 2571976 106 2611977 106 2601978 105 2571979 106 2591980 106 2591981 106 2581982 106 2571983 106 2571984 108 2611985 108 2611986 109 2621987 110 2641988 113 2711989 113 2711990 112 2681991 114 2711992 113 2691993 112 2661994 114 2701995 113 2671996 117 2761997 117 2761998 117 2761999 117 275
Tentukan model yang menggambarkan hubungan antara gdp dengan export
dan periksa apakah residual sudah saling independent.
44
Penyelesaian
a. Penentuan model regresi dan pemeriksaan asumsi independent
residual
MTB > regr ‘gdp’ 1 ‘export’;
SUBC > resid c5.
The regression equation isgdp = 110 + 1.41 export
Predictor Coef SE Coef T PConstant 110.354 6.839 16.14 0.000export 1.40664 0.06251 22.50 0.000
S = 1.549 R-Sq = 94.8% R-Sq(adj) = 94.6%MTB > %acf c5
Nilai autokorelasi residual keluar dari batas pada lag ke-1 sehingga
residual tidak saling independent.
45
b. Mengatasi autocorrelation dengan regresi beda
MTB > diff 'export' c7MTB > diff 'gdp' c8MTB > name c7 'dif_xprt' c8 'diff_gdp'MTB > regr c8 1 c7;SUBC> resid c9.
The regression equation isdiff_gdp = - 0.488 + 2.28 dif_xprt
29 cases used 1 cases contain missing values
Predictor Coef SE Coef T PConstant -0.48789 0.09875 -4.94 0.000dif_xprt 2.27658 0.06924 32.88 0.000
S = 0.4956 R-Sq = 97.6% R-Sq(adj) = 97.5%
MTB > %acf c9
residual sudah saling independent, dan modelnya adalah :)exp(exp28.2488.0)( 11 tttt ortortgdpgdp
46
Mengatasi autocorrelation dengan regresi nisbah
MTB > let c11=c2/lag(c2)MTB > let c12=c3/lag(c3)MTB > regr c12 1 c11;SUBC> resid c13.
The regression equation isC12 = 0.0563 + 0.942 C11
29 cases used 1 cases contain missing values
Predictor Coef SE Coef T PConstant 0.05627 0.02957 1.90 0.068C11 0.94186 0.02942 32.01 0.000
S = 0.001930 R-Sq = 97.4% R-Sq(adj) = 97.3%
MTB > %acf c13
residual sudah saling independent, dan modelnya adalah
11 expexp
942.00563.0
t
t
t
t
ortort
gdpgdp
47
ROBUST REGRESSION
Metode pendugaan parameter yang paling sering dipergunakan di dalam
analisis regresi adalah metode kuadrat terkecil (least squares), metode ini
mempunyai kelemahan jika diterapkan pada data yang mengandung
pengamatan berpengaruh (inflentual observation), persamaan regresi yang
dihasilkan oleh metode kuadrat terkecil cenderung mudah berubah-ubah
dengan adanya pengamatan berpengaruh.
Untik mengatasi kelemahan metode kuadrat terkecil ini dapat dilakukan
dengan dua cara yaitu :
a. Mengeluarkan titik yang berpengaruh yang dapat dideteksi dengan
dffit, cook distance, dfbetas, setelah itu tetap menggunakan metode
kuadrat terkecil
b. Tetap menggunakan seluruh data, tetapi dengan memberikan bobot
yang kecil untuk pengamatan yang berpengaruh, metode ini dikenal
dengan nama metode regresi robust.
48
Metode pendugaan parameter di dalam analisis regresi robust
a. Least Absolute Deviation (LAD), metode ini bekerja dengan
meminimukan harga mutlak residual atau meminimumkan
n
iie
1
b. Least Trimmed Squares, metode ini bekerja dengan cara
meminimumkan jumlah kuadrat q buah residual terkecil atau
meminimumkan
q
iie
1
2 , besarnya 2/nq
c. Least Median Squares (LMS), metode ini bekerja dengan cara
meminimumkan median kuadrat residual atau meminimumkan
median( 2ie )
d. M estimate, metode ini dikenalkan oleh Huber dengan cara
meminimumkan jumlah fungsi dari residual atau meminimumkan
n
iief
1
)( , jika 2)( ii eef maka metode ini sama dengan OLS dan jika
ii eef )( maka metode ini sama dengan LAD. Peminimuman dari
n
iief
1
)( biasanya dilakukan dengan cara iteratively reweighted least
squares (IRLS) atau :
min
n
iief
1
)( ekuivalen dengan min 2
1i
n
iiew
dengan 2
)(
i
ii e
efw
untuk metode LAD :min
n
iie
1
ekuivalen dengan min 2
1i
n
iiew
dengani
i ew
1 , penentuan iw dapat juga ditentukan dengan cara :
1iw untuk )( ii emediane dan
i
ii e
emedianw
)( untuk )( ii emediane
49
Implementasi metode LAD dapat dinyatakan dalam macro berikut :
macrolad y xmconstant i n s iterasi deltamcolumn y x w error b_old b_newlet n=count(y)let iterasi=0let delta=10regr y 1 x;
resid error;coef b_old.
let error=abs(error)let s=median(error)while delta>0.000001 and iterasi<100
let iterasi=iterasi+1do i=1:n
if error(i)<slet w(i)=1
elselet w(i)=s/error(i)
endifenddoregr y 1 x;
weight w;resid error;coef b_new.
let delta=sum(abs(b_old-b_new))let error=abs(error)let s=median(error)let b_old=b_new
endwhileendmacro
50
Kegiatan Praktikum
Dari data Anscombe berikut, tentukan model regresi robust dengan
metode LAD dan bandingkan hasilnya dengan metode OLS setelah
pengamatan berpengaruhnya dikeluarkan.
Nomor X Y1 10 7.462 8 6.773 13 12.744 9 7.115 11 7.816 14 8.847 6 6.088 4 5.399 12 8.15
10 7 6.4211 5 5.73
Penyelesaian
Dengan menggunakan MINITAB diperoleh hasil sebagai berikut :
MTB >%lad.txt c2 c1
The regression equation isY = 4.01 + 0.345 XPredictor Coef SE Coef T PConstant 4.00533 0.03445 116.26 0.000X 0.345467 0.003783 91.31 0.000S = 0.03554 R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.9%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 10.533 10.533 8338.16 0.000Residual Error 9 0.011 0.001Total 10 10.545Unusual ObservationsObs X Y Fit SE Fit Residual St Resid3 13.0 12.7400 8.4964 0.0207 4.2436 2.99R
51
Setelah kasus ke-3 dihilangkan, diperoleh persamaan regresi berikut :
MTB > let c2(3)=’*’
MTB > regr c2 1 c1
MTB > regr y 1 x
The regression equation isY = 4.01 + 0.345 X10 cases used 1 cases contain missing valuesPredictor Coef SE Coef T PConstant 4.00565 0.00292 1369.81 0.000X 0.345390 0.000321 1077.35 0.000S = 0.003082 R-Sq = 100.0% R-Sq(adj) = 100.0%
Setelah kasus ke-3 dihilangkan ternyata persamaan regresi dari OLS dan
LAD adalah hampir sama
52
NONLINEAR REGRESSION
Berdasarkan kelinearan antar parameter di dalam model regresi, maka
model regresi dapat diklasifikasikan menjadi dua macam yaitu linear dan non-
linear. Model regresi dikatakan linear jika dapat dinyatakan dalam model :
kk xxxxy ...3322110
JIka model regresi tidak dapat dinyatakan ke dalam model di atas maka
model yang diperoleh adalah model regresi non-linear, secara umum model
regresi non-linear dapat dinyatakan dalam persamaan :
),( xfy
NIlai dapat diduga dengan dengan cara meminimukan jumlah kuadrat
residual, jumlah kuadrat ini dapat diminimukan jika turunan pertama terhadap
sama dengan nol atau :
0),(
),(
),(
1
2
1
in
iii
n
iii
xfxfy
SSE
xfySSE
Hasil turunan pertama terhadap sama dengan nol membentuk suatu
sistem persamaan non-linear yang tidak dapat diselesaikan secara langsung
tetapi dapat didekati secara iteratif dengan menggunakan metode numerik,
salah satu metode numerik yang dapat menyelesaikan hal ini adalah metode
Gauss-Newton. Metode Gauss-Newton ini bekerja dengan menggunakan
pendekatan deret Taylor dari fungsiSSE
sampai suku kedua. Nilai dugaan
pada iterasi ke i+1 adalah :
iiiiii e')(ˆˆ 1'1
53
dan
k
nnn
k
k
xfxfxf
xfxfxf
xfxfxf
),(...
),(),(...
),(...
),(),(
),(...
),(),(
10
2
1
2
0
2
1
1
1
0
1
Iterasi ini dihentikan jika nilai
ii ˆˆ1 atau 0000.0ˆ
1 ii
Levenberg-Marquardt menyempurnakan metode Gauss-Newton dengan
memasukkan konstanta (nilai awal yang besarnya berubah-ubah
mengikuti perubahan SSE. Nilai akan diperkecil sepersepuluh kali dan iterasi
diteruskan jika SSE turun serta nilai akan meningkat sepuluh kali dan
kembali ke iterasi awal jika SSE meningkat. Formula Levenberg-Marquardt
adalah :
iiiiiiii ediag ')'(ˆˆ 1'1
54
Kegiatan Praktikum
Tahun Penduduk1980 1001981 1051982 1101983 1151984 1241985 1301986 1351987 1421988 1491989 1551990 1651991 1721992 1821993 1941994 2031995 2121996 2231997 2341998 2461999 2582000 271
Banyaknya penduduk pada interval tahun 1980
sampai dengan tahun 2000 diduga mempunyai pola
pertumbuhan eksponensial yang dapat dinyatakan
dalam model :
tey 10
Tentukan nilai dugaan untuk dan
Penyelesaian
Model tey 10 adalah model non linear, berbeda dengan
modelet eey 1
0 yang dapat dilinearkan dengan transformasi
logaritma, untuk menduga besarnya koefisien regresi digunakan metode
Gauss-Newton dengan formula berikut :
iiiiii e')(ˆˆ 1'1
55
Dengan nilai awal untuk 1000 (Nilai y pada tahun dasar) dan untuk
05.01 (nilai pertumbuhan relatif dari dua nilai y awal :100 ke 105).
Sedangkan nilai matriks dapat ditentukan dari0
fdan
1f
yaitu :
tef 10
tef
1
0
ttef
10
1
sehingga matriks menjadi :
nn tt
tt
tt
ete
eteete
11
2121
1111
.........
0
0
0
dan matriks ’adalah :
n
i
ti
n
i
ti
n
i
ti
n
i
t
iiii
iii
etet
ete
1
2220
1
20
1
20
1
2 1
'
56
Untuk menyelesaikan kaus ini dengan metode Gauss-Newton, dapat
dilakukan dengan bantuan Macro MINITAB berikut :macro
nonlin yy xx b0 b1mconstant b0 b1 bb0 bb1 iterasi deltamcolumn yy xx x1 x2 b yhat errormmatrix x xt xtx xtxinv xte e yyhat h b_old b_new## nilai awal#let b(1)=b0let b(2)=b1copy b b_oldlet yhat=b0*expo(b1*xx)let error=yy-yhatcopy error elet x1=expo(b1*xx)let x2=b0*xx*expo(b1*xx)copy x1 x2 xlet delta=10let iterasi=0## iterasi gauss-newton#while delta>0.000001 and iterasi<100
let iterasi=iterasi+1transpose x xtmultiply xt x xtxinvert xtx xtxinvmultiply xt e xtemultiply xtxinv xte hadd b_old h b_newcopy b_new blet bb0=b(1)let bb1=b(2)let delta=abs(b0-bb0)+abs(b1-bb1)let b0=bb0let b1=bb1copy b_new b_oldlet yhat=b0*expo(b1*xx)let error=yy-yhatcopy error elet x1=expo(b1*xx)let x2=b0*xx*expo(b1*xx)copy x1 x2 x
endwhileprint b0 b1endmacroUntuk menjalankan macro MINITAB di atas dapat dilakukan dengan
perintah :
57
MTB > set c1DATA> 0:20DATA> endMTB > set c2DATA> 100 105 110 115 124 130 135 142 149 155DATA> 165 172 182 194 203 212 223 234 246 258DATA> 271DATA> endMTB > %nonlin.txt c2 c1 100 0.05b0 100.150b1 0.0499193
Sehingga model pertumbuhan eksponensial banyaknya penduduk dari
tahun 1980 sampai dengan tahun 2000 adalah :
tt ey 0499.0150.100
Dengan bantuan SPSS pemodelan regresi nonlinear untuk banyaknya
penduduk dapat dilakukan dengan : klik analyze+regression+nonlinear
klik parameters
58
Iteration Residual SS B0 B11 22.83350008 100.000000 .0500000001.1 22.58470063 100.149827 .0499191492 22.58470063 100.149827 .0499191492.1 22.58469961 100.149728 .0499192933 22.58469961 100.149728 .0499192933.1 22.58469961 100.149729 .049919293
Nilai koefisien regresi dan SSE sudah tidak berubah lagi sehingga iterasiberhenti.Nonlinear Regression Summary Statistics Dependent Variable Y
Source DF Sum of Squares Mean Square
Regression 2 681946.41530 340973.20765Residual 19 22.58470 1.18867Uncorrected Total 21 681969.00000(Corrected Total) 20 56224.95238R squared = 1 - Residual SS / Corrected SS = .99960
Asymptotic 95 %Asymptotic Confidence Interval
Parameter Estimate Std. Error Lower UpperB0 100.14972863 .350807378 99.415480345 100.88397691B1 .049919293 .000241815 .049413169 .050425416
Confidence interval untuk koefisien regresi tidak ada yang melalui titik nol
sehingga dapat dikatakan koefisien regresi yang diperoleh significant pada
Latihan
1. Rasio elektrifikasi (Persentase rumah tangga yang berlangganan PLN)
selama 20 tahun di suatu daerah adalah sebagai berikut :57.44 64.57 71.09 76.85 81.76 85.81 89.09 91.68 93.70
95.26 96.44 97.34 98.02 98.52 98.90 99.18 99.39 99.55
99.67 99.75
Tentukan model yang menggambarkan hubungan antara rasio
elektrifikasi dengan waktu
2. Tentukan model terbaik yang menggambarkan hubungan antara harapan
hidup perempuan (y), persentase penduduk yang tinggal di perkotaan (x1),
harapan hidup laki-laki (x2) dan pendapatan perkapita(x3) yang dinyatakan
dalam model :
3213210 xxxy
59
Penyelesaian
Persentase penduduk yang berlangganan PLN tidak mungkin lebih dari
100 %, dan akan mendekati 100 % untuk t yang sangat besar, salah satu
model yang memenuhi sifat-sifat ini adalah :
tt e
y01
100
Dengan bantuan SPSS
Nonlinear Regression Summary Statistics Dependent Variable YSource DF Sum of Squares Mean SquareRegression 2 164053.29912 82026.64956Residual 18 1.799245E-04 9.995807E-06Uncorrected Total 20 164053.29930(Corrected Total) 19 3129.70530R squared = 1 - Residual SS / Corrected SS = 1.00000
Asymptotic 95 %Asymptotic Confidence Interval
Parameter Estimate Std. Error Lower Upper
B0 .740850358 .000067112 .740709362 .740991355B1 .299981460 .000027927 .299922787 .300040132
60
Pemodelan 3213210 xxxy dengan bantuan SPSS dapat
dilakukan dengan cara :
Nonlinear Regression Summary StatisticsDependent Variable LIFEEXPF
Source DF Sum of Squares Mean SquareRegression 4 542255.95702 135563.98926Residual 104 368.04298 3.53887Uncorrected Total 108 542624.00000(Corrected Total) 107 12023.07407R squared = 1 - Residual SS / Corrected SS = .96939
Asymptotic 95 %Asymptotic Confidence Interval
Parameter Estimate Std. Error Lower UpperB0 1.266804442 .150462507 .968431646 1.565177239B1 .010369463 .007318355 -.004143109 .024882036B2 .934838552 .033915777 .867582293 1.002094811B3 .009008014 .003101373 .002857875 .015158153
Confidence interval untuk memuat titik nol, sehingga koefisien ini
tidak significant sehingga analisis regresi nonlinear perlu dilanjutkan dengan
tanpa memasukkan variabel persentase penduduk yang tinggal diperkotaan.
61
Nonlinear Regression Summary StatisticsDependent Variable LIFEEXPF
Source DF Sum of Squares Mean Square
Regression 3 548174.04067 182724.68022Residual 106 378.95933 3.57509Uncorrected Total 109 548553.00000
(Corrected Total) 108 12070.34862
R squared = 1 - Residual SS / Corrected SS = .96860
Asymptotic 95 %Asymptotic Confidence Interval
Parameter Estimate Std. Error Lower Upper
B0 1.208565153 .138090655 .934786998 1.482343308B2 .953133843 .031327433 .891024160 1.015243525B3 .010483637 .002967936 .004599416 .016367859