modul praktikum logika dasar - lab.ilkom.unila.ac.idlab.ilkom.unila.ac.id/modul/semester ganjil/d3...

of 53 /53
i Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila Daftar Isi Modul Praktikum Logika Dasar Dosen Pengampu: Anie Rose Irawati M.Cs. Penyusun: Tim Asisten Logika Edisi 1 (2017) Laboratorium Komputasi Dasar D3 Manajemen Informatika FMIPA Universitas Lampung

Author: nguyencong

Post on 02-Mar-2019

233 views

Category:

Documents


6 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

i Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Daftar Isi

Modul Praktikum

Logika Dasar

Dosen Pengampu:

Anie Rose Irawati M.Cs.

Penyusun:

Tim Asisten Logika

Edisi 1 (2017)

Laboratorium Komputasi Dasar

D3 Manajemen Informatika

FMIPA Universitas Lampung

ii Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Daftar Isi

Deskripsi Mata Kuliah

Kebanyakan orang setuju bahwa logika memainkan peranan penting dalam

berbagai bidang keilmuan, bahkan dalam kehidupan sehari-hari. Logika terkait erat

dengan berbagai ilmu lain yang berhubungan dengan komputer, misalnya

matematika, statistika, algoritma,dan mata kuliah-mata kuliah pemrograman.

Materi logika, yaitu dasar-dasar logika, tabel kebenaran, proposisi majemuk,

tautologi, ekivalensi logis, pembuktian logika dan analisis argument, kuantor, dan

rangkaian logika.

Tujuan Perkuliahan

Agar mahasiswa dapat memahami mata kuliah logika dan dapat

mengimplementasikannya.

Deskripsi Isi Perkuliahan

Materi pembelajaran dalam Mata Kuliah Logika disusun dalam 6 pokok bahasan,

yaitu: konsep logika proposisi yang mencangkup operator, hukum, dan tabel logika,

konsep logika predikat yang mencangkup tentang kuantor, terjemahan kalimat

berkuantor, dan teorema kalimat berkuantor, Teori inferensi yang mencangkup

argumentasi, tautologi, dan validitas argumen, deskripsi teori himpunan yang

mencangkup operasi, hukum dan sifat operasi himpunan, jenis himpunan, perkalian

himpunan, Aljabar Boolean yang mencangkup ekspresi boolean, prinsip dualitas,

hukum aljabar boolean, bentuk kanonik, penyederhanaan fungsi, dan Rangkaian

Logika yang mencangkup cara pembuatan rangkaian.

iii Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Daftar Isi

Daftar Isi

Daftar Isi ........................................................................................................................... iii

Memahami Konsep Logika Proposisi ............................................................................. 4

Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2) ............................................................... 10

Memahami Konsep Logika Predikat ............................................................................ 17

Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2) ............................................................... 19

Teori Inferensi ................................................................................................................. 24

Teori Inferensi (bag.2) .................................................................................................... 26

Mendeskripsikan Teori Himpunan ............................................................................... 29

Aljabar Boolean .............................................................................................................. 34

Aljabar Boolean (bag.2) .................................................................................................. 38

Aljabar Boolean (bag.3) .................................................................................................. 41

Aljabar Boolean (bag.4) .................................................................................................. 44

Rangkaian logika ............................................................................................................ 50

4 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi

Pertemuan 1

Memahami Konsep Logika Proposisi

Sebelum membahas lebih jauh tentang logika proposisi, terlebih dahulu kita bahas

pengertian dari logika proposisi. Logika proposisi / kalkulus proposisi adalah

bidang logika yang membentuk proposisi pada peryataan yang mengandung

peubah.

Proposisi itu sendiri adalah peryataan dalam bentuk kalimat yang mengandung nilai

benar atau salah, tetapi tidak sekaligus mengandung nilai benar dan salah. Benar

diartikan sebagai adanya kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan fakta yang

sebenarnya.

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil (misal: p, q, r). Contoh dari proposisi:

p : 13 adalah bilangan ganjil.

q : Soekarno adalah almnus UGM.

r : 2 + 2 = 4

Mengkombinasikan proposisi

Beberapa proposisi tunggal, dapat dikombinasikan menjadi satu kesatuan.

Contoh:

Tujuan Instruksional : Pengantar

Tujuan dari materi ini adalah untuk memahami konsep dari logika proposisi.

Kompetensi yang Diharapkan :

Mahasiswa dapat mengerti tentang konsep logika proposisi

Waktu Pertemuan : 100 menit

5 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1. Konjungsi (conjunction) : p dan q

Dinotasikan dengan p q

2. Disjungsi (disjunction) : p atau q

Dinotasikan dengan p q

3. Ingkaran (negation) dari p : tidak p

Dinotasikan dengan ~p

Dalam hal ini, p dan q disebut sebagai proposisi atomik. Sedangkan kombinasi dari

proposisi tersebut menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition).

Berikut ini adalah contoh dari kalimat logika proposisi.

Diketahui :

p : hari ini hujan.

q : murid-murid diliburkan dari sekolah.

p q : hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah.

p q : hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah.

~p : tidak benar bahwa hari ini hujan (atau : hari ini tidak hujan)

Berikut ini adalah contoh penotasian (bentuk simbolik) dari kalimat proposisi

majemuk.

6 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi

Diketahui :

p : pemuda itu tinggi

q : pemuda itu tampan

1. Pemuda itu tinggi dan tampan

p q

2. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan

p ~q

3. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan

~ (p q)

4. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan

~ ( ~p ~q )

5. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan

p (~p q)

6. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan

~ (~p q)

Operator logika dan Tabel logika

Didalam konsep logika, terdapat beberapa operator-operator logika. Operator

tersebut berfungsi untuk menggabungkan proposisi-proposisi atomik. Berikut ini

adalah macam-macam operator logika:

- Negasi (NOT)

- Konjungsi (AND)

- Disjungsi (OR)

- Eksklusif or (XOR)

- Implikasi (jika - maka)

- Bikondisional (jika dan hanya jika)

7 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi

Tabel logika (tabel kebenaran / truth table) adalah tabel yang digunakan untuk

mencari nilai kebenaran dari suatu proposisi majemuk. Tabel ini berisi semua

kemungkinan dari nilai proposisi.

Berikut ini adalah tabel kebenaran yang ada dari dari tiap operator logika:

- Negasi (NOT) : operator uner, lambang: ~

p ~p

Benar Salah

Salah Benar

- Konjungsi (AND) : operator biner, lambang:

p q pq

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Salah

Salah Salah Salah

- Disjungsi (OR) : operator biner, lambang:

p q pq

Benar Benar Benar

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

- Eksklusif or (XOR) : operator biner, lambang: +

p q p + q

Benar Benar Salah

8 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

- Implikasi (jika - maka) : operator biner, lambang:

p q p q

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Benar

Salah Salah Benar

- Bikondisional (jika dan hanya jika) : operator biner, lambang:

p q p q

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Salah

Salah Salah Benar

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator sebelumnya, dapat digabungkan

menjadi suatu pernyataan yang baru. Contohnya:

p q p q p (p q) ~q ( p (p q)) (~q)

Benar Benar Benar Benar Salah Salah

Benar Salah Salah Benar Benar Benar

Salah Benar Salah Salah Salah Salah

Salah Salah Benar Benar Benar Benar

9 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi

Pernyataan-pernyataan dapat memiliki nilai kebenaran yang sama dengan suatu

pernyataan yang lain. Kondisi ini disebut ekivalen. Contoh dari pernyataan ekivalen

dapat dilihat pada tabel berikut:

p q ~(pq) (~p) (~q) (~(pq)) ((~p) (~q))

Benar Benar Salah Salah Benar

Benar Salah Benar Benar Benar

Salah Benar Benar Benar Benar

Salah Salah Benar Benar Benar

Pernyataan ~(pq) dan (~p)(~q) adalah ekivalen secara logis,

karena nilai (~(pq)) ((~p) (~q)) selalu benar.

Catatan : urutan pengerjaan untuk operasi logika adalah: (), negasi, disjungsi dan

konjugsi, implikasi, biimplikasi.

10 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)

Pertemuan 2

Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)

Tautologi dan Kontradiksi

Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar pada semua kasus.

Contoh:

r (~r)

~(pq) (~p)(~q)

Jika s t sebuah tautologi, kita tulis s t

Jika s t sebuah tautologi, kita tulis s t

Jika proposisi majemuk selalu bernilai salah untuk semua kasus, maka proposisi

majemuk tersebut disebut dengna kontradiksi.

Berikut ini tabel kebenaran dari sebuah tautologi:

p q ~(pq) (~p) (~q) (~(pq)) ((~p) (~q))

Benar Benar Salah Salah Benar

Benar Salah Benar Benar Benar

Salah Benar Benar Benar Benar

Salah Salah Benar Benar Benar

Berikut ini tabel kebenaran dari sebuah kontradiksi:

Tujuan Instruksional : Pengantar

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang konsep dari logika proposisi secara lebih

lanjut.

Kompetensi yang Diharapkan :

Mahasiswa dapat mengerti tentang konsep logika proposisi secara lebih lanjut.

Waktu Pertemuan : 100 menit

11 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)

p q (pq) (pq) ~(pq) (pq) (~(pq))

Benar Benar Benar Benar Salah Salah

Benar Salah Salah Benar Salah Salah

Salah Benar Salah Benar Salah Salah

Salah Salah Salah Salah Benar Salah

Hukum-hukum logika

Didalam konsep logika, terdapat hukum-hukum yang sering juga disebut hukum-

hukum aljabar proposisi. Macam-macam dari hukum aljabar proposisi yaitu:

1. Hukum identitas

p False p

p True p

2. Hukum null/dominasi

p False False

p True True

3. Hukum negasi

p ~p True

p ~p False

4. Hukum idempoten

p p p

p p p

5. Hukum involusi (negasi ganda)

~(~p) p

6. Hukum penyerapan (absorpsi)

p (pq) p

p (pq) p

12 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)

7. Hukum komutatif

pq qp

pq qp

8. Hukum asosiatif

p(qr) (pq)r

p(qr) (pq)r

9. Hukum distributif

p(qr) (pq)(pr)

p(qr) (pq)(pr)

10. Hukum De Morgan

~(pq) ~p ~q

~(pq) ~p ~q

Hukum-hukum diatas dapat kita buktikan kebenarannya. Contoh pembuktian dari

hukum penyerapan pada kasus p(pq) p :

p(pq) (p False) (pq) (hukum identitas)

p (False q) (hukum distributif)

p False (hukum Null)

p (hukum identitas)

Terbukti.

Contoh soal.

Diberikan pernyataan tidak benar bahwa dia belajar Algoritma tetapi tidak

belajar Matematika.

a.nyatakan pernyataan diatas dalam notasi simbolik.

b.berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut.

Penyelesaian:

13 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)

Missal: p = Dia belajar Algoritma

q = Dia belajar Matematika

Maka,

a. ~ (p~q)

b. ~ (p~q) ~p q (hukum De Morgan)

dengan kata lain:dia tidak belajar algoritma atau dia belajar matematika

disjungsi eksklusif

kata atau (or) dalam operasi logika digunakan dalam salah satu dari dua cara:

1. Inclusive or ( )

Kata atau berarti p atau q atau keduanya

Contoh: tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai C++ atau Java

2. Exclusive or ( + )

Kata atau berarti p atau q tapi tidak keduanya

Contoh: ia dihukum 5 tahun penjara atau denda 10 juta rupiah

Tabel kebenaran Inclusive or Tabel kebenaran Exclusive or

p q pq

Benar Benar Benar

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

Proposisis bersyarat (kondisional atau implikasi)

p q p + q

Benar Benar Salah

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

14 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)

Bentuk dari proposisi ini adalah jika p maka q.

Notasi dari proposisi ini yaitu: p q.

Proposisi p disebut dengan hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi.

Sedangkan proposisi q disebut konklusi atau konsekuen.

Proposisi ini dapat dianggap sebagai sebab-akibat, contohnya:

jika besok tidak hujan, maka saya akan pergi ke pantai

Cara mengekspresikan implikasi ada beberapa macam, yaitu:

- jika p, maka q

- jika p, q

- p mengakibatkan q

- q jika p

- p hanya jika q

- p syarat cukup untuk q

- q syarat perlu untuk p

- q bilaman p

Contoh kalimat proposisi dalam berbagai bentuk kalimat:

- jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.

- jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.

- es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.

- orang itu mau barangkat jika ia diberi ongkos jalan.

- ahmad bisa mengambil mata kuliah teori bahasa formal hanya jika ia telah lulus

mata kuliah matematika diskrit.

- syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan dari api rokok.

- syarat perlu bagi Indonesia agar dapat ikut piala dunia adalah dengan

mengontrak pemain asing ternama.

- banjir bandang terjadi bilamanahutan ditebangi.

15 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)

Perhatikan, bahwa dalam implikasi yang dipentingkan adalah nilai kebenaran

premis dan konsekuen. Bukan hubungan sebab dan akibat diantara keduanya.

Beberapa implikasi dibawah ini valid meskipun secara bahasa tidak memiliki

makna.

- Jika 1+1=2, maka paris ibukota perancis

- Jika n adalah bilangan bulat, maka hari ini hujan

Notasi ~p q memiliki nilai kebenaran yang sama (ekivalen) dengan notasi

implikasi p q.

p q ~p p q ~p q

Benar Benar Salah Benar Benar

Benar Salah Salah Salah Salah

Salah Benar Benar Benar Benar

Salah Salah Benar Benar Benar

Varian proposisi bersyarat

Bentuk umum dari implikasi : p q

Bentuk konvers (kebalikan) : q p

Bentuk invers : ~p ~q

Bentuk kontraposisi : ~q ~p

p q ~p ~q p q q p ~p ~q ~q ~p

Benar Benar Salah Salah Benar Benar Benar Benar

Benar Salah Salah Benar Salah Benar Benar Salah

Salah Benar Benar Salah Benar Salah Salah Benar

Salah Salah Benar Benar Benar Benar Benar Benar

16 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)

Contoh varian proposisi bersyarat dalam kalimat:

Implikasi : jika amir memiliki mobil, maka ia orang kaya

Konvers : jika amir orang kaya, maka ia memiliki mobil

Invers : jika amir tidak memiliki mobil, maka ia bukan orang kaya

Kontraposisi : jika amir bukan orang kaya, maka ia tidak memiliki mobil

Bikondisional (bi-implikasi)

Bentuk proposisi dari bikondisional adalah : p jika dan hanya jika q

Bentuk notasi dari bikondisional : p q.

Pernyataan p jika dan hanya jika q dapat dibaca jika p maka q dan jika q maka

p. perhatikan tabel.

p q p q p q qp (p q) ( qp)

Benar Benar Benar Benar Benar Benar

Benar Salah Salah Salah Benar Salah

Salah Benar Salah Benar Salah Salah

Salah Salah Benar Benar Benar Benar

Bila dua buah proposisi majemuk yang ekivalen di-bikondisionalkan, maka

hasilnya adalah tautologi.

Teorema : dua buah proposisi majemuk, P(p,q,) dan Q(p,q,) disebut

ekivalen secara logika, dilambangkan dengan P(p,q,) Q(p,q,),

jika PQ adalah tautologi.

17 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Predikat

Pertemuan 3

Memahami Konsep Logika Predikat

Ada beberapa kasus dimana kita tidak dapat menotasikan kalimat dalam notasi

logika. Contohnya pada kasus berikut:

- Semua laki-laki adalah makhluk hidup

- Socrates adalah laki-laki

- Oleh karena itu, Socrates adalah makhluk hidup.

Oleh sebab itu, kita memerlukan logika predikat yang memungkinkan untuk

memanipulasi pernyataan tentang semua atau sesuatu.

Logika predikat memperlihatkan struktur pernyataan atomik, yakni memperhatikan

subjek dan predikat dari suatu kalimat.

First order logic => subjek kalimat berupa obyek tunggal.

Contoh : Socrates adalah laki-laki

Second order logic => subjek kalimat berupa obyek lain.

Contoh : Semua laki-laki adalah makhluk hidup

Dengan logika proposisi diubah menjadi :

Untuk semua X, jika x adalah laki-laki maka X adalah makhluk hidup.

Dengan logika predikat

x adalah laki-laki dipecah menjadi:

Tujuan Intruksional :

Pokok Bahasan ini menjelaskan konsep dari logika predikat.

Kompetensi Yang Diharapkan :

Mahasiswa dapat memahami tentang konsep-konsep dari logika predikat

Waktu Pertemuan : 2 x 120 Menit

18 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Predikat

Subyek = x => disebut term, dilambangkan dengan huruf kecil

Predikat = adalah laki-laki =>dilambangkan dengan huruf besar (misal: L)

Contoh penulisan : Lx (predikat dahulu sebelum term)

Penyebutan : x adalah laki-laki

Selanjutnya:

Jika M menyatakan adalah makhluk hidup

Maka Mx menyatakan simbol untuk x adalah makhluk hidup

Dengan demikian, pernyataan jika x adalah laki-laki, maka x adalah makhluk

hidup ditulis sebagai Lx Mx

Sehingga untuk menuliskan secara simbolik : untuk semua x, jika x adalah laki-

laki, maka x adalah makhluk hidup adalah x[LxMx]

Simbol disebut kuantor, dibaca untuk setiap

Macam-Macam Kuantor

- Untuk setiap x, P(x)

Disebut kuantor universal. Disimbolkan dengan :

- Untuk beberapa x, P(x)

Disebut kuantor eksistensial. Disimbolkan dengan :

Kuantor Universal

-misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.

- x, P(x) dibaca : untuk setiap x, P(x)

-Pernyataan x, P(x) bernilai benar jika berlaku untuk semua x pada domain D

-Pernyataan x, P(x) bernilai salah jika berlaku hanya sebagian x pada domain D

Kuantor Eksistensial

-Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.

- x,P(x) dibaca: untuk beberapax, P(x).

- Juga dapat dibaca untuk beberapa, ada, atau setidaknya ada.

-Pernyataan x,P(x) bernilai benar jika berlaku setidaknya salah satu x dari domain

D

-Pernyataan x,P(x) bernilai benar jika berlaku setidaknya salah satu x dari domain

D

19 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)

Petemuan 4

Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)

Kuantor Dan Teori Kuantifikasi

Term dan variabel

- Variabel/peubah adalah pemegang tempat sementara dalam suatu

ungkapan, untuk kemudian diganti dengan nilai yang pasti.

- Variabel ditulis dengan huruf kecil: x,y,z, atau p,q,r

- Kumpulan variabel membentuk suatu term: x+ y

Predikat

- Pandang kalimat: semua mahasiswa unila adalah lulusan SMA

- Untuk setiap x, jika x adalah mahasiswa unila, maka x lulusan SMA

- Ada 2 predikat untuk x: x mahasiswa unila dan x lulusan SMA

- Predikat ditulis dengan huruf besar:

Mx: mahasiswa unila Lx: lulusan SMA

- Kalimat diatas ditulis : untuk setiap x, MxLx

Kuantor Universal

- Ditulis dengan lambang

- pandang kalimat: semua orang Indonesia adalah orang asia

Tujuan Instruksional :

Pokok bahasan ini menjelaskan konsep logika predikat secara lebih lanjut.

Kompetensi yang Diharapkan :

Mahasiswa dapat memahami konsep logika predikat secara lebih lanjut.

Waktu Pertemuan : 100 menit

20 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)

- diterjemahkan menjadi : untuk semua x, jika Lx adalah Ax

Lx: x orang Indonesia

Ax : x orang asia

- dalam kalimat logika, ditulis : ( x)[LxAx]

- bentuk ini disebut afirmatif umum

- pandang kalimat: semua orang Indonesia bukan orang eskimo

- dalam kalimat logika, ditulis : ( x)[Lx~Ax]

- bentuk ini disebut negatif umum

Kuantor Ekstensial

- ditulis dengan lambang

- pandang kalimat

ada orang Indonesia yang makan nasi

ada beberapaorang Indonesia yang makan nasi

- diterjemahkan menjadi

ada x yang memenuhi sifat :x orang Indonesia dan x makan nasi

ada x sehingga x orang Indonesia dan x makan nasi

Lx: x orang Indonesia Nx: x makan nasi

- dalam kalimat logika ditulis: ( x)[Lx Nx]

- bentuk ini disebut afirmatif khusus

.

21 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)

22 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)

Menterjemahkan Kalimat Berkuantor

23 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)

24 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Teori Inferensi

Petemuan 5

Teori Inferensi

Inferensi adalah cara menarik kesimpulan dalam suatu argumentasi.

Argumentasi adalah sederetan pernyataan (premis) yang diakhiri dengan suatu

pernyataan yang disebut sebagai kesimpulan.

Suatu argumentasi dikatakan valid apabila konjungsi dari semua premisnya

berimplikasi secara tautologi pada kesimpulan.

argumentasi

Bentuk umum:

- p1 (premis)

- p2 (premis)

.

.

.

- pn (premis)

- q (kesimpulan)

Tujuan Instruksional :

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori-teori inferensi.

Kompetensi yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang teori-teori inferensi.

Waktu Pertemuan : 100 menit

25 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Teori Inferensi

Tautologi dan argumentasi

Validitas sebuah argumentasi dan kesimpulannya harus dipastikan (terutama

tautologi implikasi dan tautologi ekivalensi mengarah pada aturan penalaran)

Ada beberapa aturan penalaran yang sudah terbukti validitasnya:

1. Modus ponen 2. Modus tollen

pq pq

p ~q

-------------- --------------

q ~p

3. Silogisme disjungtif 4. Simplifikasi

pq pq

~p --------------

-------------- p

q

5. penjumlahan 6. Konjungsi

p p

-------------- q

pq --------------

pq

7. transitifitas

pq

qr

--------------

pr

26 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Teori Inferensi (bag.2)

Petemuan 6

Teori Inferensi (bag.2)

Berikut ini beberapa argumen yang sudah terbukti sahih (Tautologi ekivalensi)

Negasi ganda

p

~ ~p

Hukum Komutatif

pq pq

qp qp

Hukum asosiatif

(pq)r p(qr)

p(qr) (pq)r

(pq)r p(qr)

p(qr) (pq)r

Hukum De Morgan

Tujuan Instruksional :

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori-teori inferensi lebih lanjut.

Kompetensi yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang teori-teori inferensi secara

lebih lanjut.

Waktu Pertemuan : 100 menit

27 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Teori Inferensi (bag.2)

~(pq) ~(pq)

~p~q ~p~q

~p~q ~p~q

~(pq) ~(pq)

Hukum distributif

p(qr) p(qr)

(pq)(pr) (pq)(pr)

Hukum idempoten

pp pp

p p

Switcheroo (hukum ekivalensi untuk implikasi dan disjungsi)

pq ~pq

~pq pq

kontrapositif

pq ~q ~p

~q ~p pq

Hukum bikondisional

p q p q

(pq) (qp) (p q) (~p ~q)

Validitas Argumen

28 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Teori Inferensi (bag.2)

- sebuah argument dikatakan sahih/valid jika konklusi benar bilamana semua

hipotesisnya benar, dan sebaliknya.

- konklusi mengikuti hipotesis, atau menunjukkan bahwa (p1 p2 pn) q

adalah benar/tautologi

29 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Mendeskripsikan Teori Himpunan

Petemuan 7

Mendeskripsikan Teori Himpunan

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu

kesatuan dengan keterangan yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan

digunakan huruf kapital A, B, C, sedangkan untuk menyatakan anggotanya

digunakan huruf kecil a, d, c,

Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan :

1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan

didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya

dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u, e, o}.

2. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah

disepakati. Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R

adalah himpunan bilangan riil.

3. Notasi pembentukan himpunan, yaitu denganmenuliskan ciri-ciri umum

atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan

bilangan bulat positif}

4. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan

tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki

himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat.

Tujuan Instruksional :

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori himpunan.

Kompetensi yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat mendeskripsikan teori himpunan secara baik.

Waktu Pertemuan : 100 menit

30 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Mendeskripsikan Teori Himpunan

Operasi-Operasi Dalam Himpunan

31 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Mendeskripsikan Teori Himpunan

32 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Mendeskripsikan Teori Himpunan

Hukum Dan Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Jenis operasi Hukum dan sifat-sifat operasi

Gabungan (union) AB=BA ; disebut sifat komutatif gabungan

(AB)C=A(BC) ; disebut sifat asosiatif gabungan

A=A

AU=U

AA=U ; disebut sifat komplemen gabungan

Irisan (intersection) AB=BA ; disebut sifat komutatif irisan

(AB) C=A (BC) ; disebut sifat asosiatif irisan

AU=A

AA = ; disebut sifat komplemen isiran

Distributif A(BC) = (AB) (AC) ; disebut sifat distributif

gabungan terhadap irisan

A(BC) = (AB) (AC) ; disebut sifat distributif

gabungan terhadap irisan

Selisih A-A=

A-=A

A-B=AB

A-(BC)=(A-B) (A-C)

A-(BC)=(A-B) (A-C)

Komplemen (A)=A

U=

=U

Jenis-Jenis Himpunan

jenis notasi keterangan

Himpunan A yang

anggotanya adalah semua

huruf kecil dalam abjad

A={a,b,c,d,} A adalah nama yang diberikan kepada

suatu himpunan

Himpunan bagian AB A himpunan bagian dari himpunan B

33 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Mendeskripsikan Teori Himpunan

Himpunan kosong { } atau Himpunan yang tidak memiliki anggota

sama sekali

Himpunan yang sama A=B Himpunan A dikataan sama dengan

himpunan B jika setiap anggota A juga

menjadi anggota B dan sebaliknya

Himpunan universal /

semesta

U atau S Adalah himpunan dari semua unsur yang

dibicarakan

Himpunan komplemen A atau Ac Jika:

U={1,2,3,4,5,6}

A={3,5}

Maka : A = Ac = {1,2,4,6}

Perkalian Himpunan (Cartesian product)

Jika kita menemukan soal tentang perkalian himpunan, kita dapat mengerjakan

seperti contoh berikut:

A={a,b,c} B={p,q}

A x B = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)}

34 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean

Petemuan 8

Aljabar Boolean

Misalkan terdapat

- Dua operator biner: + dan - Sebuah operator uner: .

- B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, , dan - 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.

Tupel

(B, +, , )

disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma

atau postulat Huntington berikut:

Tujuan Instruksional :

Pokok bahasan ini memberikan penjelasan tentang aljabar boolean

Kompetensi yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang dasar-dasar aljabar boolean.

Waktu Pertemuan : 100 menit

35 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean

Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:

1. Elemen-elemen himpunan B,

2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,

3. Memenuhi postulat Huntington

Aljabar Boolean Dua-Nilai

- B = {0, 1}

- operator biner, + dan

- operator uner,

- Kaidah untuk operator biner dan operator uner:

Cek apakah memenuhi postulat Huntington:

Closure : jelas berlaku

Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:

0 + 1 = 1 + 0 = 1

1 0 = 0 1 = 0

Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.

Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel

operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:

36 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean

(ii) Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan

membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).

Komplemen: jelas berlaku karena pada Tabel memperlihatkan bahwa:

a + a = 1, karena 0 + 0= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1= 1 + 0 = 1

a a = 0, karena 0 0= 0 1 = 0 dan 1 1 = 1 0 = 0

Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1}

bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen merupakan

aljabar Boolean.

Ekspresi boolean

Misalkan (B, +, , ) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean

dalam (B, +, , ) adalah:

(i) setiap elemen di dalam B, (ii) setiap peubah, (iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 e2, e1 adalah ekspresi

Boolean

Contoh : 0

1

a b

a + b a b

a (b + c)

a b + a b c + b, dan sebagainya

37 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean

Mengevaluasi Ekspresi Boolean

Contoh: a (b + c)

jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:

0 (1 + 0) = 1 1 = 1

Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan =) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh:

a (b + c) = (a . b) + (a c)

Perjanjian: tanda titik () dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean,

kecuali jika ada penekanan:

(i) a (b + c) = ab + ac

(ii) a + bc = (a + b) (a + c)

(iii) a 0 , bukan a0

38 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean (bag.2)

Petemuan 9

Aljabar Boolean (bag.2)

Prinsip Dualitas

Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan

operator +, , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara

mengganti:

dengan +

+ dengan 0 dengan 1 1 dengan 0

dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.

Contoh.

(i) (a 1)(0 + a) = 0 dualnya (a + 0) + (1 a) = 1

(ii) a(a + b) = ab dualnya a + ab = a + b

Hukum-Hukum Aljabar Boolean

Tujuan Instruksional :

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang aljabar Boolean materi selanjutnya

Kompetensi yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat memahami aljabar Boolean lebih dalam

Waktu Pertemuan : 100 menit

39 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean (bag.2)

Hukum identitas: Hukum idempotent: Hukum komplemen:

- a + 0 = a - a + a = a - a + a = 1

- a 1 = a - a a = a - aa = 0

Hukum dominansi: Hukum involusi: Hukum penyerapan:

- a 0 = 0 - a + 1 = 1 - a + ab = a

- a + 1 = 1 - a(a + b) = a

Hukum komutatif: Hukum asosiatif: Hukum distributif:

- a + b = b + a - a+(b+c) = (a+b)+c - a+(b c) = (a+b) (a+c)

- ab = ba - a (b c) = (a b) c - a (b + c) = a b + a c

Hukum De Morgan: Hukum 0/1

- (a + b) = ab - 0 = 1

- (ab) = a + b - 1 = 0

Fungsi Boolean

Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai:

f : Bn B

yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut

ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.

Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + xy + yz

40 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean (bag.2)

Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3

(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga :

f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1 0 + 0 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .

Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:

1. f(x) = x 2. f(x, y) = xy + xy+ y 3. f(x, y) = x y 4. f(x, y) = (x + y) 5. f(x, y, z) = xyz

Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya,

disebut literal.

Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z.

41 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean (bag.3)

Petemuan 10

Aljabar Boolean (bag.3)

Komplemen Fungsi

1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah

Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(yz + yz), maka:

f(x, y, z) = (x(yz + yz))

= x + (yz + yz)

= x + (yz) (yz)

= x + (y + z) (y + z)

2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas. Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut.

Contoh:

Misalkan f(x, y, z) = x(yz + yz), maka dual dari f : x + (y + z) (y + z)

kemudian komplemenkan tiap literalnya : x + (y + z) (y + z) = f

Jadi, f (x, y, z) = x + (y + z)(y + z)

Tujuan Instruksional :

Pokok bahasan ini menjelaskan secara lebih rinci tentang aljabar boolean

Kompetensi yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat memahami materi-materi aljabar Boolean secara

lebih lanjut

Waktu Pertemuan : 100 menit

42 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean (bag.3)

Bentuk Kanonik

Ada dua macam bentuk kanonik:

1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)

2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)

Contoh: 1. f(x, y, z) = xyz + xyz + xyz SOP

Setiap suku (term) disebut minterm

2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)

(x + y + z)(x + y + z) POS

Setiap suku (term) disebut maxterm

Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap

Konversi Antara Bentuk Kanonik

Misalkan

f(x, y, z) = (1, 4, 5, 6, 7)

43 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean (bag.3)

dan f adalah fungsi komplemen dari f,

f (x, y, z) = (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3

Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:

f(x, y, z) = (f (x, y, z)) = (m0 + m2 + m3)

= m0 . m2 . m3

= (xyz) (xy z) (xy z)

= (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z)

= M0 M2 M3

= (0,2,3)

Jadi, f(x, y, z) = (1, 4, 5, 6, 7) = (0,2,3).

Kesimpulan: mj = Mj

Bentuk Baku

Tidak harus mengandung literal yang lengkap.

Contohnya:

f(x, y, z) = y + xy + xyz (bentuk baku SOP)

f(x, y, z) = x(y + z)(x + y + z) (bentuk baku POS)

44 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean (bag.4)

Petemuan 11

Aljabar Boolean (bag.4)

Penyederhanaan Fungsi Boolean

Contoh: f(x, y) = xy + xy + y

disederhanakan menjadi

f(x, y) = x + y

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:

1. Secara aljabar

2. Menggunakan Peta Karnaugh

3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

1. Penyederhanaan Secara Aljabar

Contoh:

f(x, y) = x + xy

= (x + x)(x + y)

= 1 (x + y )

= x + y

f(x, y, z) = xyz + xyz + xy

= xz(y + y) + xy

= xz + xz

Tujuan Instruksional :

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang materi terakhir dari aljabar boolean

Kompetensi yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat mengerti secara total tentang materi aljabar

boolean

Waktu Pertemuan : 100 menit

45 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean (bag.4)

f(x, y, z) = xy + xz + yz = xy + xz + yz(x + x)

= xy + xz + xyz + xyz

= xy(1 + z) + xz(1 + y) = xy + xz

2. Peta Karnaugh

Peta karnaugh dengan dua peubah

Peta karnaugh dengan tiga peubah

Peta karnaugh dengan empat peubah

Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh

1. Pasangan: dua buah 1 yang bertetangga

46 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean (bag.4)

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz

Hasil Penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wxy

Bukti secara aljabar:

f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz

4. wxy(z + z) 5. wxy(1) 6. wxy

2. Kuad: empat buah 1 yang bertetangga

Sebelum disederhanakan : f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz + wxyz + wxyz

Hasil penyederhanaan : f(w, x, y, z) = wx

Bukti secara aljabar:

f(w, x, y, z) = wxy + wxy

= wx(z + z)

= wx(1)

= wx

47 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean (bag.4)

Contoh lain:

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz + wxyz + wxyz

Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wy

= Oktet: delapan buah 1 yang bertetangga

Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz

+ wxyz + wxyz + wxyz

Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w

Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wy + wy

= w(y + y)

= w

48 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean (bag.4)

Kondisi Dont Care

Kondisi ini hanya digunakan untuk bantuan dalam meminimalisir fungsi Boolean.

Jika kita tidak membutuhkan bantuan, maka kita perlu memperdulikan literal

tersebut.

49 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Aljabar Boolean (bag.4)

Contoh:

Dari tabel berikut, minimisasi fungsi f sesederhana mungkin.

Jawab:

Hasil penyederhanaan: f(a, b, c, d) = bd + cd + cd

50 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Rangkaian logika

Petemuan 12

Rangkaian logika

Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang rangkaian logika, disini akan di

jelaskan sedikit tentang aplikasi dari aljabar Boolean.

Contoh dari aplikasi aljabar Boolean yaitu:

1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)

Saklar merupakan objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup.

Tiga bentuk gerbang paling sederhana dari jaringan pensaklaran yaitu:

Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka x

Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka xy

Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka x + y

Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:

a. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND

Tujuan Instruksional :

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang bagaimana cara membuat rangkain logika

Kompetensi yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat membaca simbol-simbol dari rangkaian logika

sekaligus dapat merangkai sebuah rangkaian

Waktu Pertemuan : 100 menit

51 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Rangkaian logika

b. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR

2. Rangkaian Logika

Gerbang-Gerbang Turunan :

52 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Rangkaian logika

ekivalen dengan

ekivalen dengan

ekivalen dengan

Contoh Soal:

Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + xy ke dalam rangkaian logika.

Jawab: (a) Cara pertama

53 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Rangkaian logika

(b) Cara kedua

(c) Cara ketiga