modul pengantar fotogrametri
DESCRIPTION
Modul Pengantar Fotogrametri (Dasar Dasar Fotogrametri)TRANSCRIPT
Modul Pengantar Fotogrametri ©
MODUL PENGANTAR FOTOGRAMETRI
Disusun Oleh :
Helmy Mukti Wijaya
JURUSAN TEKNIK GEODESI S-1
FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
INSTITUT TEKNOLOGI NASIONAL
MALANG
2013
Modul Pengantar Fotogrametri ©
PERHITUNGAN SKALA DAN RELIEF DISPLACEMENT
1. Skala Foto
Skala peta biasanya diartikan sebagai perbandingan antara
jarak di dalam peta dan jarak yang sebenarnya. Dalam foto udara,
skala yang dimaksud adalah merupakan perbandingan antara
panjang fokus kamera(f) dengan tinggi terbang pesawat dengan
bidang rata-rata tanah (H).
...........................................................................................................
(1.1)
Skala ini hanya berlaku untuk foto udara vertikal dengan
daerah yang relatif datar. Skala dapat dinyatakan dalam unit setara,
dalam rangka pecahan tanpa besaran, atau dalam perbandingan
tanpa besaran. Sebagai contoh, apabila 1 inci pada peta atau foto
mewakili 1.000 kaki (12.000 inci) diatas tanah.
1.1 Skala Foto Udara Vertikal Dengan Medan Yang Tidak Datar
Apabila medan yang dipotret mempunyai ketinggian yang
beraneka, maka jarak objek akan berbeda–beda pula, sebagai
akibatnya maka skala didalam foto tersebut menjadi berbeda-beda
pula.
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Di lihat dari gambar di atas, dari dua segitiga sebangun Lab dan LAB,
dapat dinyatakan bahwa skala SAB adalah :
........................................................................................................(1.2)
Juga dari segitiga sebangun LoAA dan Loa,
L
a b
P
f
h
H-h
H
Perspective Center
A B
Permukaan Tanah
Bidang Datum
Gambar 1.1. Kenampakan 2D foto udara
Modul Pengantar Fotogrametri ©
..................................................................................................................(1
.3)
Dengan subtitusi persamaan (3) kedalam persamaan (2), yaitu:
.....................................................................................................(1.4)
1.2 Skala Foto Rata-rata
Skala rata-rata merupakan skala pada ketinggian rata-rata medan
yang terliput oleh suatu foto udara tertentu dan dinyatakan sebagai
berikut :
........................................................................................(1.5)
Apabila harus digunakan skala rata-rata, harus dimengerti bahwa hal itu
hanya tepat pada titik-titik yang terletak pada ketinggian rata-rata saja.
1.3 Beberapa Cara Lain Untuk Menentukan Skala Foto Udara Tegak
Apabila beberapa cara lain yang dapat digunakan dalam menentukan
skala foto.
a. Jika diketahui jarak mendatar (AB) antara dua buah pusat
perpotongan jalan diukur diatas tanah, serata garis tersebut tampak
diatas foto udara tegak (ab). Sehingga skalanya dapat dihitung
sebagai berikut :
Modul Pengantar Fotogrametri ©
..........................................................................................................(
1.6)
b. Skala foto udara tegak dapat ditentukan juga apabila dapat
diperoleh peta yang meliputi daerah yang sama dengan liputan foto
tersebut .
............................................................(1.7)
Contoh :
Suatu foto udara tegak hasil pemotretan diatas medan datar yang
menggunakan kamera dengan panjang fokus sebesar 6 inci (152,4
mm) pada ketinggian terbang 6.000 kaki dari atas tanah. Berapa
besarnya skala foto tersebut?
Jawab:
2. Relief Displacement (Perpindahan Relief)
Perpindahan letak gambar oleh relief merupakan pergeseran atau
perpindahan letak suatu kedudukan gambar objek yang disebabkan
karena relief, yaitu karena letak ketinggiannya di atas atau di bawah
bidang datum yang dipakai.
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Jarak perpindahan foto antara bagian atas dan bawah permukaan
foto itulah yang disebut relief displacement, yang berhubungan dengan
tinggi permukaan dan jarak dari titik nadir ( titik tengah kamera ), dapat
dilihat pada gambar (2) dibawah ini
Keterangan Gambar :
H = Tinggi terbang
h = Tinggi objek
rB
rT
h
T
H
f
D
B
Δr
Gambar 1. 2. Relief Displacement
Modul Pengantar Fotogrametri ©
B = Bidang datum
D = Jarak
T = Puncak objek
f = Fokus
rB,rT = Jari –jari lingkaran dari jarak foto
Dapat juga ditulis dua pernyataan untuk hubungan jarak D, jari-jari
lingkaran (radial) foto dan . Fokus f, yaitu :
...................................................................................................................(
1.8)
Kedua persamaan diatas akan menghasilkan persamaan baru,menjadi :
...................................................................................................(1.9)
Contoh :
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Tinggi terbang dari atas gedung diketahui 500 m dari foto vertikal.
Jika ukuran foto gedung adalah =4 mm, dan
mm.Berapakah tinggi gedung tersebut ?
Jawab :
Modul Pengantar Fotogrametri ©
PEMBACAAN DAN KONVERSI KOORDINAT FOTO
A. Konversi Koordinat Pixel ke Koordinat Foto
Gambar sistem koordinat ini dipusatkan pada gambar asal
koordinat pixel pada bagian kanan atas, puncak pixel dengan + y’
kea rah bawah.
Dan persamaan yang digunakan adalah
( )
Dimana :
y (pixel)
x (pixel) y (image)
x (image)
Gambar 2.1. Koordinat Foto dan Koordinat Pixel
Modul Pengantar Fotogrametri ©
(
)
(
)
Susunan Charge Coupled Device (CCD camera) memiliki
nx’ kolom dan ny’ baris
Setengah pixel dikurangi dari x’ dan y’ untuk aslinya
dipindah ke kanan atas.
B. Konversi Koordinat Foto Ke Koordinat Pixel
Persamaan yang digunakan adalah :
(
)
(
)
Modul Pengantar Fotogrametri ©
PERENCANAAN JALUR TERBANG
Keberhasilan suatu proyek fotogrametri mungkin lebih dipengaruhi
oleh foto yang kualitasnya baik. Bila suatu daerah digambarkan oleh foto
udara maka fotonya dibuat sepanjang garis sejajar yang disebut garis
terbang. Yang perlu diperhatikan dalam perencanaan jalur terbang yaitu
foto-foto tersebut pada umumnya dibuat sedemikian sehingga daerah
yang digambarkan foto udara yang berurutan didalam satu jalur terbang
yang disebut pertampalan.
1. Tampalan
1.1. Tampalan ke depan (overlap).
Tampalan ke depan ialah tampalan antara foto yang berurutan
sepanjang jalur terbang.
Gambar 3.1. Tampalan ke depan (Overlap)
B
B overlap
Pesawat
G
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Keterangan :
G = ukuran bujur sangkar medan yang terliput oleh sebuah foto
tunggal
B = basis atau jarak antara stasiun pemotretan sebuah pasangan foto
stereo
PE = besarnya pertampalan pada umumnya dinyatakan dalam persen
(
)
......................................................................................(3.1)
1.2. Tampalan ke samping (sidelap).
Gambar 3.2. Tampalan ke samping (Sidelap)
B
sidelap
G
W
P I P II
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Keterangan :
PI dan PII = pesawat yang berada pada jalur terbang 1 dan 2
W = jarak antara jalur terbang yang berurutan
PS = besarnya tampalan samping dinyatakan dalam persen.
(
)
...............................................................................(3.2)
2. Luas Liputan
Setelah memilih skala foto rata-rata dan dimensi format kamera,
daerah permukaan lahan yang terliput dapat langsung dihitung dengan
persamaan berikut;
.......................................................................................................(3.3)
Dimana:
Sr = skala rata-rata
df = dimensi foto
3. Jarak antara dua jalur terbang
...............................................................................(3.4)
Dimana:
Modul Pengantar Fotogrametri ©
W = adalah jarak antara dua jalur penerbangan
PS = pertampalan ke samping (sidelap)
lf = lebar sisi foto
s = skala foto
4. Interval waktu pemotretan
Interval waktu pemotretan (eksposur) diset pada intervalometer sesuai
dengan panjang basis udara (B) dan kecepatan (V=Km/jam). Sedangjan
panjang basis udara dihitung dari skala foto dan pertampalan ke depan
(overlap) yang ditetapkan.;
.............................................................................(3.5)
5. Menghitung jumlah foto / strip (jalur terbang)
.........................................(3.6)
(2 = safety factor)
6. Jumlah strip (jalur terbang)
Modul Pengantar Fotogrametri ©
......................................................................................(3.7)
(1 = safety factor)
Dimana: p = panjang daerah
l = lebar daerah
pf = panjang sisi bingkai
lf = lebar sisi foto
untuk foto metrik pf = lf = G = 23 cm, s = bilangan skala foto
7.
………………………………………(3.7)
Cara ini dapat digunakan untuk bentuk daerah yang mempunyai bentuk
persegi empat atau kombinasi bentuk persegi empat.
Modul Pengantar Fotogrametri ©
y Image point
(Xa,Ya)
x
o f
A
P
Perspective Center
Z
Y
R E S E C T I O N
Space Resection atau reseksi ruang dengan dengan kolinearitas
merupakan metode numerik murni yang secara serentak menghasilkan
enam unsur orientasi luar (EO). Besarnya nilai sudut (XL,YL,ZL, ω, ,k)
diperoleh dengan penyelesaian itu. Space Resection dengan kolinearitas
memungkinkan penggunaan ulang sejumlah titik kontrol medan. Oleh
karena itu dapat digunakan cara perhitungan kuadrat terkecil untuk
menentukan nilai yang paling mungkin bagi keenam unsure itu. Space
Resection dengan kolinearitas merupakan metode yang lebih disukai
untuk menentukan unsur orientasi luar (Wolf, 2000).
Space Resection dengan kolinearitas meliputi formulasi yang disebut
dengan Persamaan Kolinearitas (collinearity equation) untuk sejumlah
titik kontrol yang koordinat medannya X, Y dan Z diketahui dan yang
gambarnya tampak pada foto. Kemudian persamaan itu diselesaikan
untuk enam unsur orientasi luar yang belum diketahui dan tampak pada
foto. Kolinearitas dideskripsikan sebagai kondisi dimana stasiun
pemotretan, beberapa titik objek, dan image foto berada pada satu garis
lurus pada space 3D. kondisi kolinearitas diilustrasikanseperti gambar
dibawah ini dimana A, o dan a terletak pada satu garis lurus :
r
Photo-coordinat System
(Xp, Yp)
p
a
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Gambar 4.1 Kondisi Kolinierisasi
Keterangan Gambar :
xa, ya : koordinat foto
XA, YA, ZA : koordinat titik objek space
X, Y, Z : koordinat kamera
f : panjang fokus kamera
xp, yp : koordinat dari principal point
Persamaan dasar dari kondisi kolinearitas bersifat nonlinier dan
dilinierkan dengan menggunakan teorema Taylor. Penggunaan teorema
Taylor untuk menyelesaikan kolinearitas memerlukan pendekatan awal
bagi semua unsur orientasi luar yang tidak diketahui. Dua persamaan
menunjukkan kondisi kolinearitas untuk setiap titik pada foto, satu
persamaan untuk koordinat foto x dan persamaan yang lain untuk
koordinat foto y.
[
]
...................................................(4.1)
[
]
………...………………………(4.2)
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Dimana :
x0, y0 : koordinat foto titik a
xa, ya : koordinat foto yang diukur
XA, YA, ZA : koordinat objek space untuk titik A
XL, YL, ZL : koordinat stasiun pemotretan
f : panjang fokus kamera
m : 3 sudut matrik rotasi orthogonal (ω, ,К)
Persamaan tersebut merupakan persamaan non linear dan sembilan
unsur yang belum diketahui, 3 sudut perputaran ω, ,k, yang
berhubungan dengan r , 3 koordinat stasiun pemotretan XL, YL, ZL, 3
koordinat titik objek XA, YA, ZA. persamaan non linier dapat
dilinearisasikan dengan menggunakan teorema Taylor (Wolf, 2000).
1. Least Square Adjustment
Least Square Adjustment adalah sebuah teknik statistik yang
digunakan untuk mengestimasi parameter unknown disatukan dengan
sebuah solusi dimana teknik tersebut dapat juga meminimalisir nilai
kesalahan dari solusi itu sendiri. Dalam teknik fotogrametri metode least
square adjustment digunakan untuk proses antara lain :
1. Mengestimasi atau meratakan nilai parameter exterior orientasi.
2. Mengestimasi nilai object space point (X, Y, Z) beserta nilai
keakurasiannya.
3. Mengestimasi dan meratakan nilai parameter interior orientasi.
4. Meminimalisir dan mendistribusikan errors data melalui jaringan
pengamatan.
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Pendekatan least square dibutuhkan untuk proses iterasi sampai
sebuah solusi didapat. Sebuah solusi diperoleh saat residual atau nilai
kesalahan yang terdapat dalam sebuah data diminimalisir.
Bagi sekelompok data pengamatan berbobot sama, persyaratan
utama yang harus dikenakan bagi penyesuaian least square ialah bahwa
jumlah kuadrat residual di minimalisir. Selanjutnya didalam bentuk
persamaan maka persyaratan utama least square adjustment dinyatakan
sebagai :
∑
…………………….(4.3)
Dalam metode persamaan pengamatan bagi penyesuaian least
square, ditulis persamaan pengamatan yang berkaitan dengan nilai
terukur terhadap kesalahan residual dan parameter unknown. Untuk
pemecahan yang unik maka jumlah persamaan harus sama besar dengan
jumlah unknown. Bila dilakukan pengamatan berulang, maka dapat
ditulis persamaan pengamatan yang lebih banyak dari yang diperlukan
untuk pemecahan yang unik. Dan nilai yang paling mungkin dapat
ditentukan dengan metode least square.
Bentuk sederhana dari persamaan least square yang dilakukan
dengan pendekatan aljabar dalam bentuk matrik dapat dituliskan sebagai
berikut :
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Atau
……………………………….……….(4.4)
Dimana setiap notasi diatas diwakili oleh susunan matriks sebagai
berikut :
|
|
|
|
Modul Pengantar Fotogrametri ©
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dengan mempelajari penyajian matriks, akan terlihat bahwa
persamaan normal dapat diperoleh sebagai berikut :
……………………….…………………………………….(4.5)
Pada persamaan diatas, ATA adalah matriks koefisien persamaan
normal dari bilangan unknown. Dengan mengalikan persamaan diatas
dengan ATA dan kurangkan, hasilnya adalah :
………………………………………………………….(4.6)
Bagi suatu sistem pengmatan terbobot, persamaan matriks berikut
menyajikan matriks X bagi nilai paling mungkin untuk nilai yang tidak
dikenal.
Dimana :
Modul Pengantar Fotogrametri ©
X = Matriks koreksi
A = Matriks koefisien atau matriks Jacobian
L = Matriks pengamatan / Observasi
P = Matriks bobot
Didalam persamaan matriks identik terhadap persamaan bobot,
kecuali bahwa matriks P merupakan matriks diagonal bobot.
2. Space Resection dengan Teknik Least Square
Space resection merupakan suatu proses untuk menentukan elemen
Exterior Orientation dan posisi sensor dari titik kontrol tanah dan
koordinat image. Metode perhitungan yang paling biasa digunakan
adalah persamaan kolineariti, dimana prinsip dari persamaan tersebut
adalah titik kontrol, titik pada image, dan proyeksi pusat terletak pada
satu garis lurus. Untuk setiap titik kontrol, dapat diperoleh dua
persamaan. Karena terdapat 6 parameter EO, sedikitnya tiga titik kontrol
dibutuhkan untuk memecahkan masalah resection. Metode perhitungan
dengan menggunakan teknik Least Square akan diterapkan pada
penelitian ini untuk menentukan nilai yang paling mungkin pada enam
parameter EO (Yao Jianchao and Chia Tien Chern, 2001).
Ukuran koordinat foto xa dan ya (menyuling dan mengoreksi untuk
distorsi lensa jika sesuai) image sasaran memberi kenaikan ke dua
persamaan kolineariti. Jika tiga elemen Interior Orientation (c, xo, dan
yo) diberikan oleh kalibrasi kamera dan koordinat (XA, YA, ZA) dititik A
pada sistem koordinat object space maka dikenal dua persamaan dengan
6 nilai yang belum diketahui yaitu rotasi ω, , k dan koordinat (XO, YO,
Modul Pengantar Fotogrametri ©
ZO) pada perspective center. Sedikitnya 3 target non-collinear seperti
titik kontrol diperlukan untuk resection dari kamera. Metode ini
digunakan untuk mengevaluasikan elemen EO yang bergantung pada
tujuan fotogrametri (Cooper, 1987).
Metode untuk evaluasi secara langsung pada enam elemen orientasi
bagian luar (Eksterior Orientation) diperoleh dari diukurnya koordinat
foto pada image dengan tiga titik kontrol non kolinear yang tidak
memerlukan beberapa nilai pendekatan. Prosedur ini memberikan
koordinat secara langsung dari perspective center. Bentuk secara aljabar
akan digunakan pada matriks rotasinya. Jika diperlukan, nilai untuk rotasi
ω,Ф dan К dapat dicari dari 9 elemen matrik rotasi.
Jika perhitungan resection secara statistic lebih teliti diperluka, maka
persamaan kolineariti dapat dilinearisasikan dan proses least square
dapat digunakan untuk mengevaluasi 6 elemen Eksterior Orientation.
Untuk mendapat nilai resection yang teliti perlu mendapat nilai
pendekatan untuk unsur orientasi yang cukup dekat dengan nilai akhir
untuk proses iterative agar lebih teliti. Biasanya nilai yang tepat untuk
koordinat (XO, YO, ZO) dapat langsung diperoleh, tetapi tidak untuk nilai
sudut rotasinya. Resection hanya tingkat menengah pada prosedur
fotogrametri, seringkali diikuti oleh intersection atau bundle adjustment
dengan multistation yang teliti dimana menggunakan nilai unsure EO
sebagai nilai awal pendekatan.
2.1. Proses linearisasi persamaan kolinear
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Persamaan (4.1) dan (4.2) merupakan persamaan non linier, dalam
melinearkan persamaan kolinear, persamaan (4.1) dan (4.2)
dituliskan lagi sebagai berikut :
Dimana :
Dimana :
m11 = cos ø cos κ
m12 = sin ω sin ø cos κ + cos ω sin κ
m13 = - cos ω sin ø cos κ + sin ω sin κ
m21 = - cos ø sin κ
m22 = - sin ω sin ø sin κ + cos ω cos k
m23 = cos ω sin ø sin κ + sin ω sin κ
m31 = sin ø
Modul Pengantar Fotogrametri ©
m32 = -sin ω cos ø
m33 = cos ω sin ø
Menurut teori Taylor, persamaan(4.7)dan (4.8) dapat dinyatakan
dalam bentuk yang dilinearisasikan oleh turunan parsial sebagai
berikut :
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
)
Pada persamaan tersebut, F0 dan G0 merupakan fungsi F dan G
dihitung pendekatan awal dari Sembilan unsur yang tidak diketahui.
Istilah (∂F/∂xa)0, (∂F/∂ω)0 , (∂F/∂Ф)0, dan seterusnya merupakan
turunan parsial dari fungsi F dan G dengan mempertimbangkan
unsure yang belum diketahui pada pendekatan awal. Unit ∂ω, ∂Ф, ∂К
adalah radian. Karena dxa dan dya, maka dapat diinterpretasi sebagai
kesalahan residual didalam pengukuran. Oleh karena itu dua istilah
dapat diganti dengan Vxa dan Vya yang merupakan simbol yang
lazim digunakan untuk kesalahan residual. Perhatikan persamaa (4.6)
dan (4.7) yang jabaran parsialnya ∂F/∂xa dan ∂G/∂ya, keduanya sama
dengan q. dengan subtitusi q untuk istilah pada persamaan (4.8)
dengan memindahkan qdxa dan qdya kesisi persamaan, membagi tiap
persamaan, dengan q, dan mengganti dxa dan dya masing – masing
dengan vxa dan vya. sehingga apabila persamaan ini digunakan dalam
Modul Pengantar Fotogrametri ©
penyelesaiansecara least square maka diperoleh persamaan
kolinearitas terlinearisasi dalam bentuk yang disederhanakan
termasuk untuk nilai residualnya sebagai berikut :
[ ]
[r(cosϕ ∆X+sinω sinϕ ∆Y-cosω sinϕ ∆Z)-s(-sinϕ
cosκ∆X+sinω cosϕ cosκ ∆Y-cosω cosϕ cosκ ∆Z) ]
[ ]
[
]
Modul Pengantar Fotogrametri ©
I N T E R S E C T I ON
Intersection merupakan suatu teknik menentukan koordinat titik-titik
objek pada dua gambar atau lebih yang saling bertampalan sehingga
dietahui posisi secara 3D (Xi, Yi, Zi). Proses ini membutuhkan enam
parameter orientasi luar yang diketahui (ω,Ф,К, XL,YL,ZL) untuk dua foto
yang bertampalan. Nilai koordinat obyek dalam ruang tiga dimensi ini
dapat dihitung menggunaan persamaan kolinier yang telah dilinierisasi.
Perspective Center
Foto 1
Foto 2
aA
C
B
A
a b
B
C
c
Koordinat objek
Gambar 5.1. Intersection
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Keteranan :
a, b, c = Titik image
A, B, C =Titik objek
5.1 Metode least square untuk intersection
Least Square adalah sebuah teknik stastistik yang digunakan untuk
mengestimasi parameter yang tidak diketahui dengan sebuah solusi
dimana teknik tersebut dapat juga meminimalisasi nilai esalahan dari
solusi itu sendiri. Dalam teknik fotogrametri, metode least square
adjustment digunakan untuk beberapa proses, anatara lain :
1. Mengestimasi atau meratakan nilai parameter exterior
orientation.
2. Mengestimasi nilai object space point (X, Y, Z) beserta nilai
keakurasiannya.
3. Mengestimasi dan meratakan nilai parameter exterior orientation.
4. Meminimalisasi dan mendistribusikan errors data melalui
jaringan pengamatan.
Intersection mengacu pada determinasi posisi titik pada ruang objek
dengan dua persamaan untuk setiap titik pada foto. Jika terdapat dua foto,
total ada empat persamaan yang terdiri dari tiga persamaan yang tidak
diketahui, titik koordinat ruang objek yang diperoleh. Ada satu derajat
yang bebas, dan satuan persamaan linier dimana dapat dipecahkan
dengan metode least square. Dengan menambahkan beberapa foto,
meningkatkan jumlah derajat kebebasan dengan demikian akan
meningkatkan solusinya.
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Karena enam unsur orientasi sudah diketahui, yang tidak dietahui
pada persamaan adalah dXA, dYA, dan dZA. Ini merupakankoreksi yang
harus diterapkan bagi pendekatan awaluntuk masing-masing koordinat
objek space XA, YA, ZA, untuk titik A. bentuk persamaan intersection
yang dilinearkan sebagai berikut :
b14dXA + b15dYA + b26 dZA = J + Vxa
……………………………………..(5.1)
b24dXA + b25dYA + b26 dZA = K + Vxa
…………………………………….(5.2)
koreksi ini diterapkan bagi pendekatan awal untuk memperoleh nilai
revisi untuk XA, YA, ZA. penyelesaian ini kemudian diulang lagi atau
proses iterasi hingga nilai residu sesuai.
Dalam bentuk matriks dapat dinyatakan sebagai berikut :
AX = L +
V………………………………………………………………….(5.3)
Dimana :
[
]
Modul Pengantar Fotogrametri ©
[
]
[
]
[
]
Dimana :
Modul Pengantar Fotogrametri ©
………(5.4)
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Dimana syarat-syarat perhitungan q.r.s sebagai berikut :
q = m31 (XA – XL) + m32 (YA – YL) + m33 (ZA – ZL)
r = m11 (XA – XL) + m12 (YA – YL) + m13 (ZA – ZL)
s = m21 (XA – XL) + m22 (YA – YL) + m23 (ZA –
ZL)…………………………..(5.5)
Dimana matriks rotasi menggunakan persamaan sebagai berikut :
m11 = cos ø cos κ
m12 = sin ω sin ø cos κ + cos ω sin κ
m13 = - cos ω sin ø cos κ + sin ω sin κ
m21 = - cos ø sin κ
m22 = - sin ω sin ø sin κ + cos ω cos k
m23 = cos ω sin ø sin κ + sin ω sin κ
m31 = sin ø
m32 =-sinωcosø
Modul Pengantar Fotogrametri ©
m33 = cos ω sin ø
maka solusi dalam bentuk matrik adalah sebagai berilkut :
X = (AT A)
-1 (AT L)
,…………………………………………………………..(5.6)
Setelah ditemukan nilai dari matrik X yang merupakan nilai dari
koreksi parameter, kemudian hitung nilai-nilai parameter (XA, YA, ZA)
dengan menambahkan koreksinya dengan nilai matrik X.
Lakukan proses iterasi apabila nilai residu belum sesuai. Adapun
persamaan matrik untuk menghitung nilai residu setelah penyesuaian,
sebagaiberikut :
V = AX – L
……………………………………………………………….(5.7)
Rumus standar deviasinya adalah :
√
…………………………………………………………………(5.8)
Iterasi berhenti apabila nilai residu sudah sesuai. Jadi nilai akhir
untuk proses intersection menggunaan metode least square adalah nilai
(3) parameter (XA, YA, ZA), yang sudah diiterasi berulang kali dengan
nilai residu yang sesuai dan seminimal mungkin.
Modul Pengantar Fotogrametri ©
RELATIF ORIENTASI
Relatif orientasi merupakan proses untuk menentukan nilai
perputaran sudut rotasi dan pergeseran posisi antara dua foto.Proses ini di
lakukan dengan cara memberikan nilai posisi dan orientasi untuk foto
pertama,kemudian di lakukan proses perhitungan nilai posisi dan
orientasi pada foto kedua menggunakan parameter dari posisi kamera
pertama dan koordinat foto dari kedua buah foto.Dalam proses relatif
orientasi ini tidak menghasilkan nilai posisi dan orientasi dari foto yang
sebenarnya, akan tetapi menghasilkan sebuah nilai relatife antara dua
buah foto tersebut. Yaitu menetapkan beberapa parameter Eksterior
orientasi (EO) dari foto kanan (2) dari pertemuan 5 berkas
dari koordinat obyek 3D (Xi,Yi,Zi) yang ada.
Dengan cara digital,relatif orientasi dapat menggunakan syarat
kesegariasan (colenearity condition) atau syarat kesebidangan
(coplanarity condition). Tetapi, tetapi untuk modul ini akan di jelaskan
tentang persamaan kolinear.
Adapun persamaan kolinear sebagai berikut:
⌊
⌋
⌊
⌋
……………………………..(6.1)
Sehingga dapat di tuliskan persamaan-persamaan kebersamaan
garis untuk kedua foto,dan minimal untuk lima buah titik
Modul Pengantar Fotogrametri ©
objek.Persamaan dari kedua foto tersebut mengandung koordinat
keruanggan yang sama dan sistem persamaan kebersamman garis yang
dirumuskan terdapat lima buah parameter orientasi luar foto kanan (2)
yang belum diketahui dan ditambah bentuk 3D
koordinat objek yang belum diketahui (Xi,Yi,Zi) untuk masing-masing
titik yang digunakan dalam pemecahan masalah sehingga parameter
orientasi luar yang diperoleh nantinya akan dikoreksi pada relatif antara
kedua buah foto.
Pada relatif orientasi analitik, biasanya parameter EO
(,, )dari foto kiri sama dengan nol. Dan juga untuk pada foto
kiri ) ditetapkan secara sembarang pada harga bulat dan sebagai
alternatif yang nyaman maka nilai dari tepat pada angka nol,
dan pada foto kanan ( ditetapkan pada harga mendekati basis foto
(jarak difoto pada kedua foto) yang mendekati nilai nol dan harus
ditentukan 5 parameter unknown pada foto kanan. Hal ini akan
mempermudah dalam perhitungan koordinat objek Xi,Yi,Zi sehingga
mendekati satuan koordinat foto yang terukur.
Bagi masing-masing titik yang digunakan dalam relatif orientasi,
dapat ditulis empat buah persamaan kebersamaan garis yaitu sebuah
persamaan x dan y dalam bentuk persamaan 2 bagi masing-masing foto
pasangan foto stereo. Dengan menggunakan 5 buah titik objek, yang
dapat dituliskan 20 persamaan dan satu pemecahaan hasil yang unik
karena jumlah yang belum diketahui juga 20, yaitu 5 buah parameter
orientasi luar yang belum diketahui bagi 2 foto ditambah 15 koordinat
titik objek yang belum diketahui. Metode yang digunakan sebagai solusi
Modul Pengantar Fotogrametri ©
untuk mendapatkan parameter yang dicari adalah menggunakan teknik
kuadrat terkecil (least square adjustment).
………………………………………………………………(6.2)
Bentuk matriks dari persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut
:
……………………………………………………………………..(6.3)
Sehingga matriks solusi parameter unknown yang dicari dapat dinyatakan
sebagai berikut :
……………………………………………………………..(6.4)
Bentuk matriks A, dapat dilihat dibawah, huruf dibawah,huruf
penujuk a,b,c, hingga f dimaksudkan untuk menujukkan titik-titik yang
berkaitan dengan a,b,c,........f, angka penujuk 1 dimaksudkan untuk
menujuk foto kiri dan 2 untuk foto kanan. Dengan metode kuadrat
terkecil akan dihasilkan nilai yang paling mungkin untuk koreksi foto
awal, sehingga diperoleh peningkatan nilai perkiraan baru untuk
parameter unknown. Pemecahan masalah tersebut akan dilakukan
berulang-ulang hingga besarnya semua nilai koreksi dapat diabaikan,
Modul Pengantar Fotogrametri ©
sehingga nilai akhir yang digunakan sebagai perkiraan merupakan
pemecahaan untuk parameter yang belum diketahui (unknown).
Nilai numerik untuk koefisien pada matriks A,dapat diperoleh dengan
menggunakan perkiraan awal untuk parameter unknown,yaitu:
[ ]
[
]
[ ]
[
]
Modul Pengantar Fotogrametri ©
…………………………………………………………..(6.5)
Bentuk matriks A yaitu:
[
]
Bentuk matriks X,L, dan V sebagai berikut:
[
]
[
]
[
]
Dimana :
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Dimana :
m11 = cos ø cos κ
m12 = sin ω sin ø cos κ + cos ω sin κ
m13 = - cos ω sin ø cos κ + sin ω sin κ
m21 = - cos ø sin κ
m22 = - sin ω sin ø sin κ + cos ω cos k
m23 = cos ω sin ø sin κ + sin ω sin κ
m31 = sin ø
m32 = -sin ω cos ø
m33 = cos ω sin ø
Dimana matriks X adalah matriks nilai perputaran sudut rotasi dan
pergeseran posisi foto yang belum diketahui, matriks L adalah matriks
dan matriks V adalah matriks koreksi. Langkah-langkah solusi dari
linierisasi matriks X adalah sebagai berikut:
Menyusun matriks A
Menyusun matriks L
Mencari matriks X
Setelah melakukan nilai relatif dari kedua foto dari matriks X yang
merupakan nilai dari parameter koreksi besaran sudut rotasi dan
perpindahan posisi antara dua buah foto, kemudian dilakukan
perhitungan nilai posisi dan orientasi pada foto kedua menggunakan
Modul Pengantar Fotogrametri ©
parameter dari posisi kamera pertama dan koordinat foto dari kedua foto
dengan menambahkan koreksinya dengan nilai matriks X.
Melakukan proses Iterasi apabila nilai residu belum sesuai.
Adapun persamaan matriks untuk menghitung nilai residu setelah
penyesuaian, sebagai berikut :
……………………………………………………………………..(6.6)
Rumus standar deviasinya adalah :
√
………………………………………………………………………(6.7)
Iterasi berhenti apabila besaranya nilai koreksi yang di dapat
paling kecil. Jadi nilai akhir untuk proses relatif orientasi menggunakan
metode least square adalah 23 parameter nilai parameter koreksi, yang
sudah diiterasi berulang kali dengan nilai residu yang sesuai dan
seminimal mungkin.
Modul Pengantar Fotogrametri ©
ABSOLUT ORIENTASI
Absolut orientasi merupakan proses menstabilkan hubungan antara
sistem koordinat foto dan objek. Terdapat 7 parameter yang dicari yaitu :
faktor skala (s), tiga sudut rotasi omega (ω), phi (φ), kappa (κ), dan tiga
faktor penerjemah Tx, Ty, dan Tz. Untuk melakukan proses absolut
orientasi minimal diperlukan 2 koordinat 3D titik kontrol, tetapi agar
diperolah parameter unknown lebih baik nilainya maka dalam metode
penyelesaian least square diperlukan koordinat titik objek lebih dari
minimal data koordinat titik objek yang diperlukan.
Gambar 7.1. Sistem Koordinat 3D XYZ dan xyz arah kanan
X
Y
Z
TX
TY
TZ
z' y y'
x
x'
z
,,
Gambar 7.1. Sistem Koordinat 3D XYZ dan xyz arah kanan
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Nilai koordinat XYZ akan bernilai postif jika posisinya seperti
ditujukkan pada gambar (1), dan unuk nilai sudut rotasi ω,φ,κ akan
bernilai positif jika arah perputarannya berlawanan dengan arah jarum
jam yang diamati dari ujung sumbu positif.
Penyelesaian untuk persamaan transformasi koordinat 3D dapat
dilakukan dengan dua tahap dasar, yaitu :
1. Rotasi
2. Penskalaan dan penterjemahan
1. Rotasi
Pada gambar (7.1) system koordinat x’,y’,z’ sejajar dengan
sistem objek XYZ dengan sistem sumbu salib xyz. Didalam
mengembangkan formula rotasi, biasanya dipertimbangkan bahwa
tiga rotasi dapat diperoleh dengan dilakukan konversi dari sistem
x’y’z’ ke sistem xyz.Persamaan rotasi dikembangkan di dalam suatu
rangkaian tiga rotasi 2D yang bebas.
m11 = cos ø cos κ
m12 = sin ω sin ø cos κ + cos ω sin κ
m13 = - cos ω sin ø cos κ + sin ω sin κ
m21 = - cos ø sin κ
m22 = - sin ω sin ø sin κ + cos ω cos k
m23 = cos ω sin ø sin κ + sin ω sin κ
Modul Pengantar Fotogrametri ©
m31 = sin ø
m32 = -sin ω cos ø
m33 = cos ω cos ø.
.........................................................................(7.1)
2. Skala dan penterjemahan
Untuk sampai pada akhir persamaan transformasi koordinat
3D, misalnya : persamaan yang membuahkan koordinat di dalam
sistem XYZ, seperti pada gambar (7.1) perlu dikalikan dengan fakor
skala s dan menambahkan faktor penterjemah Tx,Ty,Tz.Tahapan ini
menyebabkan panjang tiap garis sama besar pada kedua sistem
koordinat dan menterjemahkan dari sumbu salib x’y’z’ ke sistem
sumbu salib XYZ. Pelaksanaan langkah ini :
X = sx’ + Tx = s(m11x +m21y +m31z)+Tx
Y = sy’ + Ty = s(m12x +m22y +m32z)+Ty
Z = sz’ +Tz = s(m13x +m23y
+m33z)+Tz...................................................(7.2)
Di dalam bentuk matriks, persamaan (2) menjadi :
X = [ ] dan T = [
]
……………………………………..(7.3)
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Untuk menyelesaikan persamaan (7.2) digunakan proses
linierisasi dengan menggunakan metode Teorema Taylor. Metode
deret Taylor memerlukan pendekatan parameter untuk mendapatkan
7 parameter unknown. Miaslakan ada 3 titik P,Q,R yang koordinatnya
sudah diketahui pada kedua sistem. Sehingga persamaannya data
ditulis sebagai berikut :
XP = s(m11xP +m21yP +m31zP)+Tx
YP= s(m12xP +m22yP +m32zP)+Ty
ZP= s(m13xP +m23yP +m33zP)+Tz
XQ = s(m11xQ +m21yQ +m31zQ)+Tx
YQ= s(m12xQ +m22yQ +m32zQ)+Ty
ZQ= s(m13xQ+m23yQ +m33zQ)+Tz
XR = s(m11xR +m21yR +m31zR)+Tx
YR= s(m12xR +m22yR +m32zR)+Ty
ZR= s(m13xR +m23yR
+m33zR)+Tz………………………………………(7.4)
Persamaan (7.4) merupakan persamaan nonlinier yang
mengandung 7 parameter unknowns,ω,φ,κ, Tx,Ty dan Tz. Untuk
menyelesaikan persamaan ini, dirubah menjadi bentuk linier dengan
metode Teorema Taylor.
Bentuk linier dari persamaan untuk titik P adalah :
Modul Pengantar Fotogrametri ©
(
) (
) (
) (
)
(
) (
)
(
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
)
(
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
)
(
)
……………………………………….(7.5)
Secara sederhana dengan mengubah huruf-huruf, pernyataan
sejenis persamaan (7.5), dibuat kembali untuk titik Q dan R, sehingga
menghasilkan 9 persamaan. Didalam persamaan (7.5) (XP)0, (7.6) (YP)0,
dan (7.7) (ZP)0, merupakan sisi sebelah kanan yang merupakan tiga
persamaan pertama, persamaan (7.4) yang dievaluasi pada awal
perkiraan, (δXP/δs)0, (δXP/δω)0 dan seterusnya, merupakan ubahan parsial
yang berhubungan dengan faktor yang tidak diketahui yang telah
ditunjukkan dan dievaluasi pada perkiraan awal, dan
ds,dω,dφ,dκ,dTx,dTy, dan dTz merupakan koreksiterhadap perkiraan
awal. Satuan dω,dφ, dan dκ merupakan radian.
Dimanasubtitusi huruf untuk koefisien ubahan, sembilan
persamaan linier dalam bentuk persamaan (7.5) semuanya diberikan
menjadi :
Modul Pengantar Fotogrametri ©
[ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
.....................................................................................................(7.6)
Dimana nilai koefisien a untuk pendekatan parameter dievaluasi
dengan menggunakan formula dibawah ini :
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
Modul Pengantar Fotogrametri ©
[ ]
Di dalam penyelesaian least square, setiap titik mempunyai peran
atas tiga baris pada matrik A, maupun pada matrik L dan V. pda
umumnya, diasumsikan titik 1, 2........n adalah titik kontrol 3D, dengan
mengikuti persamaan matrik sebagai berikut :
AX = L + V
...........................................................................................(7.7)
Bentuk persamaan matriks linierisasi adalah :
...........................................................................................(7.8)
Dimana bentuk matriks A, L dan V,menjadi :
|
|
|
|
|
|
Modul Pengantar Fotogrametri ©
[ ]
[
]
[
]
Dimana matriks X adalah matriks koreksi faktor skala (s), tiga
sudut (ω), (φ), (κ) dan tiga faktor penterjemah Tx, Ty, Tz yang belum
diketahui, matriks L adalah matriks observasi dan matriks V adalah
matriks residu.
Langkah-langjah solusi dari proses linierisasi matriks X adlah sebagai
berikut :
1. Menyusun matriks A
2. Menyusun matriks L
3. Mencari matriks X
Setelah ditemukan nilai koreksi dari matriks X yang merupakn
nilai dari parameter transformasi koordianat 3D kemudian dilakukan
perhitungan nilai faktor skala (s), tiga sudut (ω), (φ), (κ) dan tiga faktor
penterjemah Tx, Ty, Tz dengan menambahkan koreksinya dengan nilai
matriks X.
Modul Pengantar Fotogrametri ©
Melakukan proses iterasi apabila nilai residu belum selesai.
Adapun persamaan matrik untuk menghitung nilai residu setelah
penyesuaian,sebagai berikut:
V=AX-L
............................................................(7.9)
Rumus standar deviasinya adalah:
So=√
.…………………………………….(7.10)
Iterasi berhenti apabila besarnya nilai koreksi nilai koreksi yang di
dapat paling kecil. Jadi nilai akhir untuk proses relatif orientasi
menggunakan metode least square adalah 7 nilai parameter koreksi ,yang
sudah diiterasi berulang kali dengan nilai residu yang sesuai dan
seminimal mungkin
Modul Pengantar Fotogrametri ©
TERIMA KASIH