Karena angka yang telah digunakan boleh digunakan lagi BAB I KAIDAH PENCACAHAN A.PERKALIAN Jika suatu prosedur dapat dinyatakan dalam n1 cara berbeda dan dilanjutkan dengan prosedur kedua yang dapat dinyatakan dengan n2 cara berbeda dan dilanjutkan dengan prosedur ketiga yang dinyatakan dengan n3 cara berbeda dan seterusnya, maka banyak cara prosedur-prosedur tersebut dapat dinyatakan dengan hasil kali Contoh 1 : Misal suatu plat nomor sepeda motor terdiri atas dua huruf berbeda yang diikuti tiga angka dengan angka pertama bukan 0. Berapa banyak plat nomor berbeda yang dapat dibuat? Jika dibuat tabel : Huruf pertama 26 Huruf kedua 25 Angka pertama 9 Angka kedua 10 Angka ketiga 10 n1 n 2 n3 Huruf pertama dapat dipilih dari 26 huruf berbeda, Huruf kedua dapat dipilih dari 25 huruf berbeda, karena 1 huruf telah digunakan Angka pertama dapat dipilih dari 9 angka berbeda, karena 0 tidak boleh pertama Angka kedua dapat dipilih dari 10 angka berbeda, Angka ketiga dapt dipilih dari 10 angka berbeda. Jadi ada 26 x 25 x 9 x 10 x 10 = 585.000 plat nomor berbeda yang dapat dibuat.B.FAKTORIAL Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n, yaitu : 1 2 3 ( n 2) ( n 1) n sering digunakan dalam matematika yang diberi notasi n! (dibaca n faktorial). Jadi 1 2 3 ( n 2 ) ( n 1) n = n! , karena 1 2 3 ( n 2) ( n 1) n = n ( n 1) ( n 2 ) 3 2 1 , sehingga : n! = n ( n 1) ( n 2 ) 3 2 1 selanjutnya didefinisikan : 1! = 1 dan 0! = 1 Diktat Matematika SMK | PELUANG 1Contoh 2 : 1.5! = 5.4.3.2.1 = 120 2.6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! 7! 7 6 5! = = 7 6 = 42 5! 5! 3.C.PERMUTASI Suatu susunan n objek dalam urutan tertentu disebut suatu permutasi dari n objek tersebut. Susunan sembarang r obyek dari n objek dalam urutan tertentu (urutannya diperhatikan) disebut permutasi r atau permutasi r objek dari n objek yang diketahui. Contoh 3 : Perhatikan huruf-huruf a, b, c dan d Maka: 1.bdca, dcba dan acdb merupakan beberapa permutasi dari 4 huruf. 2.bad, adb, dan bca merupakan beberapa permutasi 3 huruf dari 4 huruf yang diketahui. 3.ad, cb, da, dan bd merupakan beberapa permutasi 2 huruf dari 4 huruf yang diketahui. Banyaknya permutasi r obyek dari n obyek dinotasikan dengan : P (n,r) P (n, r ) = Jika n = r, maka : P (n, r ) = n! n! (n r )!Contoh 4 : Ada 5 buah kelereng berwarna, kuning, hijau, merah, hitam dan biru dalam suatu kotak. Tanpa melihat terlebih dahulu, akan diambil 2 kelereng dari 5 kelereng dalam kotak tersebut. Ada berapa macam pasangan kelereng yang mungkin terambil?Jawab : Banyak macam kelereng yang mungkin terambil adalah : P (5,2) = 5! 5! 5 4 3! = = = 20 (5 2)! 3! 3! macamD.PERMUTASI DENGAN PENGULANGAN Kadang-kadang kita ingin mengetahui banyaknya permutasi dari objek-objek yang beberapa di antaranya sama. Untuk itu digunakan teorema seperti berikut ini. Teorema Banyaknya permutasi dari n objek yang terdiri atas n1 objek sama, n2 objek sama, .... ,nr objek n! n1 !n 2 ! n r !sama adalah : Contoh 5 :Hitunglah banyaknya permutasi yang berbeda yang dapat dibentuk dari semua huruf pada kata MAMIMI Jawab : 6! 6 5 4 3! 120 = = = 60 cara 3!2 2 3!2! (3! = M ada 3 yang sama, 2! = I ada dua yang sama) E.PERMUTASI SIKLIS (MELINGKAR) Jika susunan unsure berbentuk melingkar maka dapat diselesaikan dengan permutasi siklis P( siklis ) = n! atau P( siklis ) = ( n 1)! nyang dirumuskan : Contoh 6 :Berapa banyaknya cara duduk dalam suatu rapat yang dihadiri 5 orang, apabila susunan tempat duduknya melingkar ? Jawab : P( siklis ) = ( n 1)! = ( 5 1)! = 4!= 24 caraF.KOMBINASI Diktat Matematika SMK | PELUANG 3Misalkankitamempunyai sebuah kumpulan n obyek. Suatu kombinasi r obyek dari n obyek, adalah pemilihan r obyek dari n obyek dimana urutan tidak diperhatikan. Jadi susunan ab dianggap sama dengan ba. Banyaknya permutasi r obyek dari n obyek dinotasikan dengan : C (n,r) C (n, r ) = n! r!(n r )!Contoh 7 : Jika dari suatu kepengurusan suatu organisasi yang terdiri dari 8 orang ingin membentuk pengurus inti 3 orang sebagai Ketua, Sekretaris, dan Bendahara, maka dapat dibentuk: Jawab :C (8,3) = 8! 3!(8 3)! 8 7 6 5 ! = 3 2 1 5! 8 7 6 = 6 = 56caraLATIHAN SOAL : 1.Di kelas XII A, terdiri dari 24 siswa. Berturut-turut akan dipilih seorang Ketua kelas, Sekretaris, dan Bendahara. Ada berapa banyak pasangan (Ketua kelas, Sekretaris, Bendahara) yang dapat dipilih? 2.Sebuah brankas mempunyai kunci kombinasi yang terdiri atas 3 angka dari 0 sampai dengan 5 dengan syarat angka yang telah digunakan tidak dapat dipakai lagi. Berapakah banyak kombinasi yang mungkin? 3.Dari suatu kelas yang terdiri atas 20 siswa secara acak ditunjuk 6 siswa untukmewakili kelas tersebut untuk diuji kemampuan mengoperasikan komputer. Berapa banyak cara menunjuk 6 siswa tersebut? 4.Berapakah banyaknya permutasi yang dapat dibentuk dari semua huruf pada kata ALJABAR? 5.Dalam ujian, seorang siswa disuruh menjawab 8 soal dari 10 soal yang diajukan. a. Berapa banyak pilihan yang dia punyai? b. Jika harus menjawab 3 soal yang pertama, berapa banyak pilihan yang dia punyai? 6.Berapa banyak susunan yang dapat terjadi dalam rapat yang dihadiri oleh 10 orang, jika kesepuluh orang itu duduk melingkar? 7.Berapa banyak warna campuran yang terdiri atas 4 warna, jika 4 warna itu dipilih dari 6 warna yang berlainan? 8.Dari angka 1, 3, 4, 5, 7 akan disusun bilangan ganjil yang terdiri atas 3 angka. Berapa banyaknya bilangan yang dapat disusun, bila : a.Tiap bilangan boleh berulang b.Tiap bilangan tidak boleh berulangDiktat Matematika SMK | PELUANG 5BAB II MENGHITUNG PELUANG SUATU KEJADIAN A.EKSPERIMEN, RUANG SAMPEL, TITK SAMPEL, DAN KEJADIAN Dari pandangan intuitif, peluang terjadinya suatu peristiwa atau kejadian adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan peristiwa itu akan terjadi. Misalnya, peluang yang rendah menunjukkan kemungkinan terjadinya peristiwa itu sangat kecil. Konsep peluang berhubungan dengan pengertian eksperimen yang menghasilkan hasil yang tidak pasti. Artinya eksperimen yang diulang-ulang dalam kondisi yang sama akan memberikan hasil yang dapat berbeda-beda. Istilah eksperimen yang kita gunakan disini tidak terbatas pada eksperimen dalam laboratorium. Melainkan, eksperimen kita artikan sebagai prosedur yang dijalankan pada kondisi tertentu, dimana kondisi itu dapat diulang-ulang beberapa kali pada kondisi yang sama, dan setelah prosedur itu selesai berbagai hasil dapat diamati. Ruang Sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen. Titik sampel merupakan suatu elemen dari ruang sampel S. Sedangkan kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S. Contoh 8 : Eksperimen : Melambungkan sebuah dadu satu kali dan dilihat banyaknya mata dadu yangtampak/muncul (yang di atas). Ruang sampel : Dadu mempunyai 6 sisi, dan masing-masing sisi bermatasatu, dua, tiga, empat, lima dan enam. Jadi himpunan semua hasil yang mungkin (Ruang Sampel) dari lambungan tersebut adalah : {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Titik sampel Kejadian : Elemen-elemen dari S adalah : 1, 2, 3, 4, 5, 6. jadi titik sampelnya : 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5 atau 6. : Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.Misalkan: A = kejadian bahwa muncul mata genap B = kejadian bahwa muncul mata ganjil C = kejadian bahwa muncul mata prima Maka: A = {2, 4, 6} ; B = {1, 3, 5} ; C = {2, 3, 5} Kita dapat mengkombinasikan kejadian-kejadian untuk membentuk kejadian-kejadian baru dengan menggunakan berbagai operasi himpunan. Definisi : 1. A B merupakan kejadian/peristiwa yang terjadi jika kejadian A terjadi atau B terjadi atau keduanya terjadi 2. A B merupakan kejadian yang terjadi jika A terjadi dan B terjadi 3. A yaitu komplemen dari A, adalah kejadian yang terjadi jika A tidak terjadi.cB.PELUANG Misalkan suatu ruang sampel S mempunyai elemen yang banyaknya berhingga, yaitu n( S ) = N Diktat Matematika SMK | PELUANG 7, dan tiap-tiap elemen dari S mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi. Misalkan pula A adalah suatu kejadian (himpunan bagian dari S), yang mempunyai elemen sebanyak n( A) . Maka peluang P bahwa kejadian A akan terjadi, didefinisikan sebagai : P ( A) = Contoh 9 : Jika dua buah dadu dilambungkan bersama-sama satu kali, tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 8! n( A ) n( S )Jawab : Misal : A kejadian bahwa jumlah mata yang muncul dari kedua dadu sama dengan 8. Kita lihat hasil yang mungkin dari lambungan kedua dadu tersebut. 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)Ruang sampel S = {(1,1), (1,2), (1,3), , (6,5), (6,6)} dan n(S) = 36 Kejadian A = kejadian bahwa jumlah mata yang muncul sama dengan 8 A = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} dan n (A) = 5 Karena n(S) = 36 dan n(A) = 5, maka peluang terjadinya peristiwa/kejadian A adalah : P ( A) = n( A ) 5 = n( S ) 36C.KEPASTIAN DAN KEMUSTAHILAN Kepastian adalah suatu kejadian yang pasti terjadi, dan peluangnya sama dengan 1. Sedangkan kemustahilan adalah suatu kejadian yang mustahil terjadi, dan peluangnya sama dengan 0.D.FREKUENSI HARAPAN Frekuensi harapan adalah peluang dari hasil percobaan dilakukan dengan banyaknya percobaan. Misalnya, suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali dengan peluang kejadian A atau P(A), maka frekuensi harapan kejadian A dirumuskan : FH ( A) = P ( A) n Contoh 10 : Sekeping mata uang logam dilambungkan sebanyak 500 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya sisi angka ? Jawab : Banyaknya percobaan (n) = 500 Peluang munculnya sisi angka P(A) = FH ( A) = P ( A) n 1 = 500 = 250 kali 2LATIHAN SOAL : 1.Dalam sebuah kotak terdapat 10 bola lampu yang masih hidup dan 5 bola lampu yang sudah mati. Dua buah bola lampu diambil secara acak dari kotak tersebut. Berapakah peluangnya bahwa kedua bola lampu yang terambil tersebut merupakan bola lampu yang masih hidup? 2.Dalam sebuah kotak, terdapat 5 kelereng putih, 8 kelereng merah, dan 7 kelereng kuning. Dari kotak itu diambil 3 kelereng secara acak. Tentukan peluang yang terambil : a.Semuanya kelereng putih b.2 kelereng putih dan 1 kelereng merah c.1 kelereng putih , 1 kelereng merah, 1 kelereng kuning 3.Tiga buah mata uang logam dilambungkan secara bersamaan sebanyak satu kali. Tentukan peluang munculnya : a.Ketiga sisi gambar Diktat Matematika SMK | PELUANG 9b.Satu sisi gambar dan dua sisi angka 4.Sebuah dadu dilempar 120 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu kurang dari 4! 5.Dalam pelatnas bulutangkis, terdapat 6 orang pemain putra dan 4 pemain putrid. Berapa peluang terbentuknya pasangan ganda campuran? 6.Satu set kartu Remi terdiri dari 13 kartu kriting warna hitam, 13 kartu hati berwarna merah, 13 kartu sekop warna hitam, 13 kartu berlian berwarna merah. Sebuah kartu diambil dari satu set kartu remi itu, berapa peluang terambilnya : a) kartu berwarna hitam, b) kartu King, c) kartu Jack, d) kartu bernomor 8.BAB III PELUANG DARI BEBERAPA KEJADIAN A.PELUANG DUA KEJADIAN TIDAK SALING LEPAS Misalkan A dan B adalah dua kejadian tidak saling lepas (sembarang) yang terdapat dalam ruang sampel (S), maka peluang gabungan dua kejadian tidak saling lepas A B adalah : P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) P ( A B )Contoh 11 : Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu 8 dan B adalah kejadian munculnya bilangan 4 untuk dadu II. Berapa peluang munculnya jumlah mata dadu 8 atau bilangan 4 untuk dadu II ? Jawab : A = kejadian munculnya jumlah mata dadu 8, yaitu : {(6,2),(4,4),(5,3),(2,6),(3,5)} P ( A) = n( A) 5 = n( S ) 36sehingga n(A)= 5, makaB = kejadian munculnya bilangan 4 untuk dadu II, yaitu : {(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4)}SA .1 .2B .3 .4 sehingga n(B)= 6, maka P( B ) =n( B ) 6 1 = = n( S ) 36 6 n( A B ) 1 = n( S ) 36A B = { ( 4,4)} n( A B ) = 1, maka P( A B ) =Karena A B , maka A dan B adalah dua kejadian tidak saling lepas, sehingga kejadian munculnya mata dadu 8 atau bilangan 4 untuk mata dadu II adalah : P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) P ( A B ) 5 6 1 10 5 = + = = 36 36 36 36 18B.PELUANG DUA KEJADIAN SALING LEPAS Dari diagram venn di samping tampak bahwa A dan B adalah kejadian saling lepas/asing. Dengan kata lain, kejadian A dan B tidak dapat berlangsung bersamaan. Oleh karena A dan B dua kejadian saling lepas, maka A B = n( A B ) = 0, sehingga P( A B ) = 0 . Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa jika A dan B merupakan dua kejadian saling lepas maka peluang kejadian itu adalah : P ( A B ) = P ( A) + P ( B )Contoh 12 : Sebuah dadu bersisi 6 dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya bilangan 3 atau bilangan 5 ?Jawab : Banyak mata dadu = 6 n( S ) = 6( ) ( ) A = kejadian munculnya bilangan 3 , yaitu : {1,2,3} n A = 3 P A =3 6Diktat Matematika SMK | PELUANG 11B=kejadianmunculnya2 6bilangan 5,yaitu:{5,6} n( B ) = 2 P ( B ) = P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) 3 2 5 = + = 6 6 6A B = , jadi A dan B adalah dua kejadian saling lepas, maka :C.PELUANG KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN Misalkan, sebuah dadu dilempar satu kali. A adalah kejadian munculnya bilangan prima, ditulis A = {2, 3, 5}, dan Ac adalah peluang munculnya bilangan bukan prima, ditulis Ac = {1,4,6}. Ac adalah komplemen kejadian A atau kejadian Ac adalah kejadian selain kejadian A. dengan demikian, jika A dan Ac adalah dua kejadian saling komplemen maka peluang kejadian Ac adalah : P A c = 1 P ( A)( )Contoh 13 : Sebuah dadu dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya bukan bilangan genap? Jawab : Banyak mata dadu = 6 n( S ) = 6 A = kejadian munculnya bilangan genap, yaitu : {2,4,6} P A c = 1 P ( A) 3 3 1 = 1 = = 6 6 2 n ( A) = 3 P ( A ) = 3 6( )D.PELUANG DUA KEJADIAN SALING BEBAS (INDEPENDENT) Suatu kejadian B dikatakan bebas (independent) dari kejadian A jika peluang terjadinya B tidak0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 terpengaruh oleh terjadi atau tidaknya kejadian A, sehingga berlaku :P ( A B ) = P ( A) P ( B ) Jika P( A B ) P ( A) P ( B ) maka kejadian A dan B disebut tidak saling bebas (dependent). Contoh 14 : Misalkan suatu mata uang yang setimbang dilambungkan 3 kali. Maka S = {MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB, BBM, BBB} Perhatikan kejadian-kejadian berikut : A = kejadian bahwa pada lambungan I muncul sisi M B = kejadian bahwa pada lambungan II muncul sisi M C = kejadian bahwa tepat muncul 2 sisi M berturut-turut Maka : A = {MMM, MMB, MBM, MBB} B = {MMM, MMB, BMM, BMB} C = {MMB, BMM} P( C ) = P ( A) = P( B ) = 4 1 = 8 2 4 1 = 8 22 1 = 8 4a.Apakah A dan B saling bebas? A B = {MMM, MMB}, maka : P ( A B ) = P ( A) P ( B ) 2 1 1 = 8 2 2 1 1 = 4 4b.Apakah A dan C saling bebas?A C = {MMB}, maka :Diktat Matematika SMK | PELUANG 13000000320a80012706010000003d7908000000320a8001ef0201000000c7790a00000026060f000a00ffff 020002001053796d626f6c0000670f0a8f40f112000100feff030a0000ffffffff02ce020000000000c0000000 P ( A C ) = P ( A) P ( C ) 1 1 1 = 8 2 4 1 1 = 8 8c.Apakah B dan C saling bebas?B C = {MMB, BMM}, maka :P( B C ) = P( B ) P( C ) 2 1 1 = 8 2 4 1 1 4 8E.PELUANG BERSYARAT Suatu kejadian dapat bergantung pada terjadi atau tidaknya suatu kejadian lain. Untuk kejadian yang bergantung pada kejadian lain, nilai peluangnya dicari dengan menggunakan peluang bersyarat, sebagai berikut: Definisi : Misalkan B sebarang kejadian dalam ruang sampel S, dengan P(B) > 0. Peluang bersyarat dari kejadian A dengan syarat B terjadi, ditulis P( A B ) , didefinisikan sebagai berikut :P( A B ) =P( A B ) P( B )Atau, misalkan S ruang sampel yang berhingga dengan kejadian A dan E, maka : P( A B ) = n( A B ) n( B )Contoh 15 : Sebuah dadu bersisi 6 dilempar sekali. Berapa peluang munculnya bilangan genap, jika diketahui telah muncul bilangan prima ? Jawab : Banyak mata dadu = 6 n( S ) = 6 A = kejadian munculnya bilangan genap, yaitu : {2,4,6} B = kejadian munculnya bilangan prima, yaitu : {2,3,5} A B = { 2} , maka n( A B ) = 1 P ( A B ) = 1 6 n ( A) = 3 P ( A ) = n( B ) = 3 P ( B ) = 3 6 3 6Peluang munculnya bilangan genap jika diketahui telah muncul bilangan prima adalah : P( A B ) = = P( A B ) P( B )1 6 3 6P( A B ) ==1 6 1 = 6 3 3ataun( A B ) n( B ) 1 = 3LATIHAN SOAL : 1.Satu kartu diambil secara acak dari satu pak kartu yang berisi 10 kartu bernomor 1 sampai 10. a.Berapakah peluangnya bahwa yang terambil adalah kartu bernomor 3 atau 5? b.Berapakah peluangnya bahwa yang terambil adalah kartu yang bernomor Diktat Matematika SMK | PELUANG 15bukan nomor genap? 2.Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang munculnya bilangan ganjil, jika diketahui telah muncul bilangan prima? 3.Tiga mata uang logam dilambungkan bersama-sama satu kali. Berapa peluang munculnya dua angka atau satu gambar? 4.Dua keeping uang logam dilambungkan sekali. A adalah kejadian munculnya angka pada uang pertam dan B adalah kejadian munculnya sisi yang sama pada kedua uang tersebut. Apakah kejadian A dan B dua kejadian yang saling lepas? 5.Dadu putih dan merah dilempar sekali secara bersamaan. Jika A adalah kejadian munculnya bilangan 3 pada dadu putih dan B adalah kejadian munculnya bilangan 5 pada dadu merah. Apakah kejadian A dan B dua kejadian yang saling bebas? 6.Sepasang dadu yang setimbang dilambungkan satu kali dan dilihat jumlah mata yang muncul. Carilah peluangnya bahwa jumlah mata kedua lebih dari atau sama dengan 10, jika : a.muncul mata 5 pada dadu pertama b.muncul mata 5 pada paling sedikit satu dadu