mòdul 6 - camp magnètic i

Mòdul 6. Camp magnètic I

(Acció del camp sobre càrregues en moviment)

Física Elèctrica

Joaquim Pla Brunet [email protected]

Escola Politècnica Superior

Universitat de Vic – Escola Politècnica Superior 2

Mòdul 6. Camp magnètic I – Acció del camp sobre càrregues en moviment

No és permesa la reproducció total o parcial d’aquests apunts, ni el tractament informàtic, ni la transmissió per cap forma o per qualsevol mitjà, sigui electrònic, mecànic, per fotocòpia, per registre o altres mètodes, sense el permís previ i per escrit dels titulars del Copyright.

DRETS RESERVATS 2012 UNIVERSITAT DE VIC

Sagrada Família, 7 08500 Vic (Barcelona)

Autor mòdul: Joaquim Pla Brunet

Universitat de Vic



Sumari del mòdul

Introducció 4

Objectius 5

Mòdul 6. Camp magnètic I 6

6.1. Interacció magnètica 6

6.2. Força del camp magnètic sobre una càrrega en m oviment 7

6.3. Moviment d’una càrrega elèctrica en un camp ma gnètic 11

6.4. Acció del camp magnètic sobre un corrent elèct ric 18

6.5. Acció del camp magnètic sobre una espira de co rrent 21

6.6. Efecte Hall 26

Resum del mòdul 31

Glossari 32

Problemes 33



Introducció Malgrat que en el context de la física actual es coneix prou bé que tant l’electricitat com el magnetisme són dues manifestacions de la càrrega elèctrica, una propietat fonamental de les partícules que constitueixen la matèria, tradicionalment, l’electricitat i el magnetisme s’han estudiat per separat. L’origen d’aquesta separació s’explica pel fet que durant molts anys es va considerar que els fenòmens elèctrics no tenien cap mena de lligam amb els fenòmens magnètics. Concretament, fins que l’any 1820 el físic danès Hans Christian Orsted (1777-1851) s’adonà que l’agulla d’una brúixola es desviava quan era prop d’un fil conductor en què circulava un corrent elèctric, mai no s’havia establert cap relació entre l’electricitat i el magnetisme. Amb el descobriment de la inducció electromagnètica, el 1831, Michael Faraday (1791-1867) completà l’estreta connexió que hi ha entre electricitat i magnetisme, ja que la inducció electromagnètica permet generar fenòmens elèctrics a partir de fenòmens magnètics. La generació de corrent elèctric en qualsevol tipus de central elèctrica, ja sigui hidroelèctrica, tèrmica, nuclear o bé eòlica, no és res més que un exemple palpable d’inducció electromagnètica. De llavors ençà, sabem que l’electricitat i el magnetisme no són fenòmens independents, sinó que són dos aspectes d’una única interacció: la interacció electromagnètica. Així com en el cas de la interacció elèctrica els fenòmens es descriuen en termes de forces i el concepte de camp permet representar la interacció, de manera semblant, la interacció magnètica també es representa per mitjà del concepte de camp, el camp magnètic, en aquest cas. Actualment, els fenòmens magnètics són la base de la tecnologia. Els aparells de ràdio, els motors elèctrics, els aparells de televisió, els altaveus, les impressores, els dispositius de telefonia, els forns de microones, les ressonàncies magnètiques, els magnetoscopis, els trens de levitació magnètica… no existirien sense el coneixement i el domini del camp magnètic. El tema de camp magnètic el dividirem en dues parts. En la part I s’estudiaran les accions del camp magnètic sobre càrregues en moviment, i en la part II les fonts del camp magnètic i el magnetisme en la matèria. La inducció electromagnètica es veurà en un altre mòdul.



Objectius 1. Conèixer les propietats característiques del camp magnètic.

2. Reconèixer les similituds i les diferències entre el camp elèctric i el camp magnètic.

3. Interpretar la representació gràfica de línies de força del camp magnètic.

4. Estudiar les accions que un camp magnètic exerceix sobre una càrrega en moviment i sobre corrents elèctrics.

5. Conèixer algunes aplicacions del moviment de partícules amb càrrega elèctrica en un camp magnètic.

6. Presentar l’efecte Hall i exposar-ne algunes aplicacions.



Mòdul 6. Camp magnètic I

6.1. Interacció magnètica Des de molt antic, es coneixia l’existència de minerals que tenien la propietat d’atreure peces de ferro, així com també s’observaven atraccions i repulsions entres aquests minerals. Aquests minerals són imants naturals, i s’atribueixen a Tales de Milet (s. VI aC) les primeres observacions sobre fenòmens magnètics amb imants naturals. Ara sabem que els minerals que tenen efectes magnètics són òxids de ferro, com ara la magnetita (Fe3O4). Si es fregava una agulla de ferro amb un imant natural l’agulla adquiria propietats magnètiques i es comportava com un petit imant. Així s’obtenia una agulla magnètica. Una agulla magnètica disposada de manera que pogués girar lliurement s’orientava segons una direcció de l’espai i constituïa una brúixola. A occident, la utilització d’agulles imantades com a brúixoles comença en el segle XII. Documents fragmentats que es conserven indiquen que els xinesos foren els primers a utilitzar agulles imantades per servir-se’n com a brúixoles, molt abans del segle XII. L’any 1269, Petrus Peregrinus de Maricourt, estudiós francès, es va adonar que una agulla situada a diferents punts prop d’un imant natural de forma esfèrica s’orientava seguint línies que passaven per dos punts oposats de la superfície de l’esfera, i designà aquests punts com pols de l’imant. Posteriorment, es comprovà que qualsevol imant, independentment de la seva forma, té dos pols. Per distingir els dos pols d’un imant, a un se l’anomena pol nord i a l’altre pol sud. S’observà que les forces d’interacció magnètica esdevenien especialment intenses prop dels pols dels imants. Així mateix, si s’encaraven pols del mateix tipus, un pol nord amb un pol nord o bé un pol sud amb un pol sud, els pols es repel·lien, mentre que si s’encaraven pols contraris, un pol nord amb un pol sud, els pols s’atreien. Els noms pol nord i pol sud foren suggerits pel fet que l’agulla d’una brúixola sempre s’orientava de manera que un pol apuntava cap el nord de la Terra mentre que l’altre pol apuntava cap al sud. L’any 1600, el metge anglès William Gilbert (1544-1603), en la l’obra De magnete, va suggerir que la Terra era un gran imant permanent, amb un pol magnètic a prop del pol nord geogràfic i amb l’altre pol magnètic a prop del pol



sud. Com que el pol nord d’una brúixola s’orienta cap al pol sud d’un imant, el pol nord de la Terra correspon a un pol sud magnètic, i viceversa. Anys més tard, el 1750, el geòleg anglès John Michell (1724-1793), amb una balança de torsió, va determinar que les forces d’atracció o bé de repulsió exercides entre si pels pols magnètics dels imants eren inversament proporcionals al quadrat de la distància que els separa. De manera semblant a la força d’atracció gravitatòria exercida entre masses, determinada per Newton el 1687, o bé com la força d’interacció electrostàtica entre càrregues elèctriques, formulada per Coulomb el 1785. Tanmateix, en l’estudi de les forces entre pols magnètics hi ha un tret diferencial ben característic: els pols magnètics sempre es presenten en parelles. És a dir, no és possible d’obtenir un pol magnètic aïllat. Si un imant es parteix en dos, sempre s’obtenen dos nous imants, amb els seus corresponents pols, per més i més vegades que es continuï el procés de partició. Fins ara, no ha estat possible d’observar un monopol magnètic aïllat, tot i que, segons el model estàndard de la física de partícules associat al Big-Bang, es considera que en els primers minuts de l’Univers van existir monopols magnètics aïllats. Durant la dècada de 1820, els experiments del científic francès André-Marie Ampère (1775-1836) li van permetre de formular lleis quantitatives de les forces magnètiques exercides entre conductors portadors de corrent elèctric. Així mateix, Ampère va suggerir que l’origen dels fenòmens magnètics residia en corrents elèctrics microscòpics en forma de petits circuits tancats. Per tant, en darrer terme, les propietats magnètiques dels imants permanents s’explicarien com els efectes de corrents elèctrics a nivell molecular. D’aquesta manera, els pols magnètics perdien rellevància com a origen últim del magnetisme. De fet, les idees d’Ampère sobre l’origen del magnetisme són les que fonamenten la teoria del magnetisme de la física moderna: Els fenòmens magnètics són originats per càrregues elèctriques en moviment.

6.2. Força del camp magnètic sobre una càrrega en m oviment En l’estudi del camp magnètic, per analogia amb el camp elèctric i amb el camp gravitatori, es podria definir la intensitat de camp magnètic com la força magnètica exercida sobre un pol magnètic unitat. I aquest mètode s’ha fet servir en alguns textos tradicionals de física. Però el fet que no existeixin pols magnètics aïllats suggereix un procediment alternatiu per estudiar el camp magnètic.



Es comença per estudiar els efectes d’un camp magnètic sobre càrregues en moviment, sense parar esment en la procedència del camp, i, posteriorment, es relaciona el camp magnètic amb les seves fonts: càrregues elèctriques en moviment i corrents elèctrics.

El camp magnètic és una magnitud vectorial, designada pel vector Br

. Tradicionalment, hi ha hagut una certa polèmica sobre la denominació del

vector Br

, al qual també se l’ha anomenat inducció magnètica o bé densitat de flux magnètic. Nosaltres l’anomenarem camp magnètic. Força exercida per un camp magnètic sobre una càrre ga en moviment Experimentalment, s’ha comprovat que si una càrrega elèctrica q es desplaça

amb una velocitat vr

en una regió de l’espai en què hi ha un camp magnètic Br

, sobre la càrrega s’exerceix una força que té les característiques següents:

• La intensitat de la força és proporcional al valor de la càrrega i de la seva velocitat.

• La força és perpendicular tant a la velocitat vr

com al camp magnètic Br

.

• La força sobre una càrrega negativa té sentit contrari al de la força sobre una càrrega positiva que es desplaci amb la mateixa velocitat.

• La intensitat de la força és proporcional a sin ϕ, on ϕ és l’angle que

forma el vector velocitat vr

amb el vector camp magnètic Br

.

Aquests resultats es poden concretar formalment amb l’expressió matemàtica següent

.BvqFr

rr

×= (6.1)

Gràficament, la relació entre la força Fr

expressada com el producte vectorial

Bvqr

r

× i els vectors vr

i Br

, en el cas d’una càrrega positiva, és

Fr

q+

Br

vr

ϕ



Força de Lorentz Si una partícula de càrrega elèctrica q es desplaça amb una velocitat v

r

en una

regió en què, alhora, hi ha un camp elèctric Er

i un camp magnètic Br

, llavors la força resultant sobre la partícula és

).( BvEqFr

rrr

×+= (6.2)

Aquesta expressió es coneix amb el nom de força de Lorentz. Unitats del camp magnètic En el sistema internacional d’unitats (SI), la unitat del camp magnètic és el tesla, de símbol T, perquè fa referència a un personatge històric, Nikola Tesla (1856-1943). Tesla va néixer a Croàcia, però la major part de la seva vida professional com a inventor es va desenvolupar als Estats Units. Del treball de Tesla com a enginyer elèctric destaca el fet que fou l’impulsor d’utilitzar corrent altern per a distribuir l’electricitat mitjançant línies de transmissió. En aquest sentit, Tesla va ser contrari al parer de Thomas Alva Edison (1847-1931), el qual era partidari d’utilitzar corrent continu en les línies de transmissió d’electricitat. El tesla és una unitat de camp magnètic molt gran. El camp magnètic de la

Terra té un valor aproximat de 5×10−5 T, els camps magnètics d’imants permanents potents solen tenir valors compresos entre 0,1 i 0,5 T, mentre que amb electroimants industrials es poden aconseguir camps magnètics d’uns 2 T. Intensitats de camp magnètic superiors a 10 T són difícils d’aconseguir, perquè la força magnètica és tan intensa que pot trencar l’estructura interna dels materials imantats. Tanmateix, mitjançant materials superconductors a temperatures properes al

zero absolut (0 K = − 273,15 °C), s’han aconseguit camps magnètics estables de 45 T, i amb alguns electroimants amb impulsos de corrent s’aconsegueixen camps magnètics de 120 T, durant mil·lèsimes de segon. Es considera que el camp magnètic en la superfície d’una estrella de neutrons pot arribar a ser de l’ordre de 108 T. A vegades, per al camp magnètic es fa servir una altra unitat, el gauss, de símbol G, que és una unitat del sistema d’unitats cgs (centímetre/gram/segon). La relació entre el tesla i el gauss és:



1 T = 104 G , o bé, 1 G = 10−4 T. En gauss, el camp magnètic de la Terra és d’uns 0,5 G. Línies de camp magnètic Així com el camp elèctric es pot representar mitjançant línies de camp elèctric, també el camp magnètic es pot representar amb línies de camp magnètic. De manera semblant al camp elèctric, les línies de força del camp magnètic és

defineixen com a línies imaginàries tals que el vector camp magnètic Br

hi és tangent en qualsevol punt d’una línia. D’altra banda, també la densitat de línies de camp magnètic és proporcional a la intensitat del camp magnètic (el mòdul

del vector Br

). De tota manera, hi ha dues diferències essencials entre les línies de camp elèctric i les línies de camp magnètic:

1. Les línies del camp elèctric comencen en les càrregues positives i acaben en les càrregues negatives. En canvi, les línies de camp magnètic no tenen principi ni acabament: sempre són línies tancades. Això és degut al fet que en la naturalesa no s’observen pols magnètics aïllats, sinó que els pols sempre es presenten en parelles.

2. La força del camp elèctric sobre una càrrega elèctrica té la direcció del camp. En canvi, la força del camp magnètic sobre una càrrega elèctrica en moviment és perpendicular a la direcció del camp magnètic. Per tant, la força del camp magnètic és perpendicular a les línies de camp magnètic.

Exemple de línies de camp magnètic d’un imant de barra. Origen: TIPLER (1999)



Exemple 6.1.

Una partícula de càrrega q = +3 nC penetra amb una velocitat m/s )ˆ104( 3 iv ×=r

en

una regió de l’espai en què hi ha un camp elèctric i un camp magnètic uniformes, però

la partícula no es desvia. Si el camp magnètic és ,)ˆ6,0( TjB −=r

determinarem quin ha

de ser el camp elèctric perquè la partícula no es desviï, considerant negligible la massa de la partícula. Resolució En aquest cas, la força resultant que actua sobre la partícula és la força de Lorentz, i si la partícula no es desvia vol dir que la força resultant és zero o bé és paral·lela a la velocitat de la partícula. La força exercida pel camp magnètic és:

[ ] ,ˆ102,7)ˆ6,0()ˆ104(103 639 kjiBvq −− ×−=−×××=×r

r

i com que aquesta força no és paral·lela a la velocitat de la partícula desviaria la seva trajectòria. Per tant, perquè la partícula no es desviï cal que

.ˆ104,2103

ˆ102,70)( 3

9

6

kk

EBvEBvEqF ×=

××−−=⇒×−=⇒=×+=

−

−rr

rrrr

rrr

Així, doncs, el camp elèctric ha de ser

V/m.)ˆ104,2( 3 kE ×=r

6.3. Moviment d’una càrrega elèctrica en un camp ma gnètic Com que la força d’un camp magnètic sobre una partícula amb càrrega elèctrica en moviment és sempre perpendicular a la velocitat de la partícula, la força del camp magnètic no fa treball sobre la partícula amb càrrega elèctrica

en moviment. És a dir, si Fr

representa la força magnètica, llavors

,0)()( =⋅=⋅=⋅= ∫∫∫ dtvFdtvFrdFWB

A

B

A

B

A

rr

rr

rr

ja que el desplaçament elemental de la partícula en un tempsdt es pot

expressar com dtvrdrr

= , on vr

és la velocitat de la partícula, i 0=⋅vFr

r

pel fet

que la força Fr

és perpendicular a la velocitat vr

.



D’acord amb el teorema de l’energia, el treball fet sobre una partícula és igual a la variació de l’energia cinètica de la partícula. Per tant, el resultat

,0==∆ WEc

implica que la força del camp magnètic no pot fer variar l’energia cinètica d’una partícula. Així, doncs, la condició de perpendicularitat de la força del camp magnètic comporta que l’únic efecte d’aquesta força sigui de canviar la direcció de la velocitat de la partícula, però no pas el seu mòdul. El moviment resultant d’una partícula amb càrrega elèctrica que es desplaça en un camp magnètic depèn de la direcció de la velocitat de la partícula respecte a la direcció del camp magnètic i de la intensitat del camp. Estudiarem tres casos particulars d’aquest tipus de moviment. (a) Càrrega en un camp magnètic uniforme i velocitat perpendicular al camp Considerem que el camp magnètic és perpendicular al pla del paper i està

orientat del lector cap al paper. Un camp així es representa per creus (×, les cues de les fletxes associades als vectors) que indiquen que el vector camp magnètic penetra cap al paper. Un camp perpendicular al pla del paper orientat del paper cap al lector es representa per punts (•, les puntes de les fletxes associades als vectors). En aquest cas, la força del camp magnètic és una força centrípeta i la partícula descriu una trajectòria circular amb moviment uniforme. La representació del camp magnètic, de la velocitat de la partícula i de la força centrípeta és pot veure en el dibuix. És interessant d’expressar el radi de la trajectòria circular, r, i la freqüència del moviment de la partícula ,f, en funció de la massa de la partícula, m, de la seva

.constB =r

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

Fr

Fr

vr

vr



velocitat, v, i del mòdul del camp magnètic, B. Com que en aquest cas la velocitat és perpendicular al camp magnètic, el mòdul de la força magnètica és

F = qvB. Llavors, les relacions entre la força centrípeta del camp magnètic, F, l’acceleració centrípeta, ac, i la velocitat de la partícula, v, són:

.2

2qBmv

rr

vmqvB

rv

a

maF

qvBF

c

c =⇒=⇒

=

==

El temps que triga la partícula a donar una volta completa és el període, T, del moviment circular uniforme. Com que la freqüència, f, és la inversa del període, les relacions són:

.2

22

1

2

mqB

fqB

m

mqrB

rT

Tf

mqrB

v

vr

T

π=⇒

π=π=⇒

=

=

π=

Es pot observar que la freqüència d’aquest moviment circular és independent del radi i de la velocitat de la partícula. Aquesta propietat permet diverses aplicacions del moviment d’una partícula amb càrrega elèctrica que es mou en un camp magnètic, i la freqüència del moviment circular s’anomena freqüència de ciclotró. (b) Càrrega en un camp magnètic uniforme i velocitat no perpendicular al camp En aquest cas, es pot descompondre la velocitat de la partícula en un component paral·lel al camp magnètic i un que hi sigui perpendicular

⊥+= vvvrrr

// .

El component perpendicular al camp magnètic comportarà un moviment circular com el de l’apartat (a), però el component paral·lel al camp magnètic farà avançar la partícula: el moviment resultant és una hèlix. Com es pot veure en el

dibuix, on el símbol ס indica que el component de la velocitat perpendicular al camp magnètic és perpendicular al paper, sortint del paper cap al lector.



(c) Partícules amb càrrega elèctrica en camps magnètics no uniformes El moviment de partícules amb càrrega elèctrica en camps magnètics no uniformes és més complex. En aquest cas, el radi de curvatura de la partícula que es desplaça en el camp no és constant i, per tant, la trajectòria no és circular, com indica la relació

.qBmv

r =

Per a determinades configuracions del camp magnètic, el component de la velocitat paral·lel al camp disminueix fins a fer-se zero i després pot augmentar en sentit contrari. Llavors es diu que el camp es comporta com un mirall magnètic, perquè actua com a reflector de partícules. Altres configuracions del camp magnètic fan que les partícules descriguin espirals i que oscil·lin confinades en una regió entre dues posicions extremes. Aleshores es parla de confinament magnètic, en forma de les anomenades ampolles magnètiques, com la que es pot veure en el dibuix.

Origen de la il·lustració: TIPLER (1999)

El confinament magnètic s’aprofita com a recurs en les tècniques per intentar de controlar les reaccions nuclears de fusió i s’aconsegueix de confinar plasmes a temperatures de l’ordre de 106 K.

Fr

Br

v

r

q− ס



Constantment, partícules amb càrrega elèctrica que provenen del Sol o bé d’altres cossos celestes penetren en l’atmosfera de la Terra: aquestes partícules són els anomenats raigs còsmics. Les partícules dels raigs còsmics interaccionen amb el camp magnètic de la Terra, i aquelles que travessen l’atmosfera en la direcció de l’eix magnètic de la Terra pràcticament no es desvien i arriben fins a la superfície. Però mentre el raigs còsmics travessen l’atmosfera ionitzen àtoms i molècules, amb l’emissió de radiació que dóna origen a les aurores boreals, al nord geogràfic, i les aurores australs, al sud. Les partícules dels raigs còsmics que penetren en l’atmosfera obliquament respecte a l’eix magnètic descriuen trajectòries helicoïdals, i algunes arriben a la superfície de la Terra. D’altres, però, queden confinades en els anomenats cinturons de radiació de Van Allen. Aquestes estructures en forma de cinturó van ser descobertes l’any 1958 per mitjà de la instrumentació del satèl·lit nord-americà Explorer. Un primer cinturó de Van Allen, anomenat cinturó interior, s’estén entre uns 800 i uns 4000 km sobre la superfície de la Terra i majoritàriament està compost de protons. Un segon cinturó, anomenat cinturó exterior, s’estén a uns 60.000 km sobre la superfície de la Terra i majoritàriament està compost d’electrons. El dibuix següent és una representació dels cinturons de Van Allen.


Ciclotró El ciclotró és un accelerador de partícules amb càrrega elèctrica dissenyat l’any 1929 pel físic nord-americà Ernest O. Lawrence (1901-1958) i construït a



principis de la dècada de 1930 a la Universitat de Califòrnia a Berkeley, per la qual cosa li fou concedit el premi Nobel de física el 1939. En un ciclotró es combinen els efectes d’una tensió alterna i d’un camp magnètic per accelerar ions que provenen d’una font de ions situada en el centre de l’aparell. La tensió alterna proporciona l’energia necessària per augmentar el mòdul de la velocitat dels ions i, per tant, la seva energia cinètica. Mentre que un camp magnètic origina la força centrípeta que fa girar els ions amb la freqüència de ciclotró. Entre d’altres aplicacions, un ciclotró permet accelerar protons per obtenir isòtops radioactius que s’utilitzen en tècniques de diagnosi mèdica. Selector de velocitats És un altre dispositiu en es què combinen un camp elèctric i un camp magnètic per destriar, en funció de la velocitat, les partícules que travessen una determinada regió en què s’apliquen els camps. En una disposició de camps creuats, com la que es pot veure en el dibuix, les partícules que penetren amb una determinada velocitat en la regió on hi ha els camps travessen la regió sense desviar-se. La velocitat selectiva que fa que la força del camp elèctric es compensi amb la força del camp magnètic i que, per tant, la partícula no es desviï, és

.BE

v =




Relació càrrega/massa de l’electró La propietat característica d’un selector de velocitats va servir perquè l’any 1897 el físic anglès Joseph J. Thomson (1901-1958) identifiqués l’electró com a partícula, per la qual cosa rebé el premi Nobel de física el1906. Amb un tub de raigs catòdics (TRC) va demostrar que els raigs que s’hi originaven, fins aleshores de naturalesa desconeguda, es podien desviar mitjançant la combinació d’un camp elèctric i d’un camp magnètic. Mesurant les desviacions dels raigs de naturalesa desconeguda que provenien d’un càtode situat dins el tub J. J. Thomson va concloure que els raigs catòdics eren partícules que tenien la mateixa relació càrrega/massa. En observar que la relació càrrega/massa era la mateixa per a totes les partícules que provenien del càtode, independentment de la substància material que fes de càtode, significava que aquestes partícules eren constituents fonamentals de la matèria:

Els raigs catòdics són les partícules que ara anomenem electrons. Les mesures més precises obtingudes fins ara sobre la relació càrrega/massa, q/m, donen un valor

C/kg, 10)53(75881962,1/ 11×=mq

on les xifres entre parèntesis indiquen la incertesa de les dues darreres xifres significatives, el 6 i el 2. És a dir:

C/kg. 10)00000053,075881962,1(C/kg 10)53(75881962,1/ 1111 ×±=×=mq

Anys més tard després d’identificar l’electró com a partícula fonamental, l’experiment de la gota d’oli que Robert A. Millikan va dur a terme el 1909 va permetre determinar la càrrega de l’electró. Aquest resultat, conjuntament amb la relació q/m obtinguda per J J. Thomson, va servir per determinar la massa de l’electró. El valor actual de la massa de l’electró és

kg. 10)54(1093897,9 31−×=m



Espectròmetre de masses L’espectròmetre de masses és un instrument que serveix per determinar la relació massa/càrrega de ions de càrrega elèctrica coneguda. El principi de funcionament d’aquest instrument també es basa en la desviació que un camp magnètic produeix en una càrrega en moviment. Els primer espectròmetre de masses va ser dissenyat l’any 1919 per Francis William Aston, un deixeble anglès de J. J. Thomson. Aquest instrument va ser determinant per descobrir els isòtops dels àtoms, i Aston va rebre el premi Nobel de química el 1922. Detalls, esquemes i fotografies d’aparells i d’experiments relacionats amb el moviment de càrregues elèctriques en camps magnètics es poden trobar, entre d’altres, en el llibre de física de Paul A. Tipler. En el llibre de física de Raymond A. Serway i John W. Jewett, Jr. hi ha abundants adreces d’Internet on es pot trobar informació sobre les aplicacions més recents i avançades que tenen relació amb el camp magnètic.

6.4. Acció del camp magnètic sobre un corrent elèct ric Pel fet que un corrent elèctric és un desplaçament net de càrrega elèctrica, un fil conductor portador de corrent situat en una regió en què hi ha un camp magnètic està sotmès a una força deguda a l’acció del camp magnètic sobre les càrregues elèctriques que formen el corrent. En aquest apartat es determinarà l’expressió de la força exercida sobre un fil conductor portador d’un corrent elèctric d’intensitat situat en un camp magnètic. Considerem un element d’un fil conductor de longitud dl, que l’àrea de la secció transversal és S i que condueix un corrent elèctric d’intensitat I en una regió en

què hi ha un camp magnètic Br

, com es pot veure en el dibuix. Si n és el nombre de càrregues per unitat de volum que formen el corrent elèctric en el conductor i dv

r

és la velocitat mitjana de desplaçament de les

càrregues, la força del camp magnètic sobre una càrrega és Bvq d

rr

× . I com que

dl

q dvr

S



el nombre de càrregues en un element de volum dV és ndV = n(Sdl), llavors la

força elemental, Fdr

, sobre l’element del fil conductor és

SdlBvnqBvqnSdlFd dd )())((r

rr

rr

×=×= .

El terme dvnqr

és l’anomenada densitat de corrent elèctric, Jr

, és a dir, una

intensitat de corrent per unitat de superfície. Fent una anàlisi dimensional es veu que les unitats d’aquesta expressió en el SI són A/m2, com correspon a una densitat de corrent

223 m

A

m

1sC

sm

partículaC

m

partícules =

=

.

Per tant, es poden escriure les relacions següents:

,)()()(

BSdlJSdlBJFdJvnq

SdlBvnqFd

d

d rrrrr

rr

rr

r

×=×=⇒

=

×=

i tenint present que el vector Jr

té la direcció del vector velocitat dvr

i d’acord

amb el conveni segons el qual el sentit de la intensitat de corrent I és el sentit de desplaçament de les càrregues positives, es pot escriure

.)()( BlIdBSlJdBSdlJFdIJS

lJddlJ rrrrrrr

rr

×=×=×=⇒

==

on lIdr

és un vector que té la direcció de l’element del fil conductor i el sentit de

la intensitat de corrent. El vector lIdr

s’anomena element de corrent.

Així, doncs, l’expressió general de la força total exercida sobre un fil conductor de longitud L que condueix un corrent elèctric d’intensitat I en una regió en què

hi ha una camp magnètic Br

és

.∫ ×=L

BlIdFrrr

(6.3)

Tot seguit aplicarem aquesta expressió general a casos particulars que tenen un interès especial.



Força exercida sobre un fil conductor per un camp m agnètic uniforme Si un fil conductor condueix un corrent elèctric d’intensitat I en una regió en què

hi ha un camp magnètic uniforme Br

, aleshores l’expressió general (6.3) esdevé

,BLIBldIBlIdFLL

rrrrrrr

×=×

=×= ∫∫ (6.4)

on Lr

és un vector determinat pels dos extrems del fil conductor i pel sentit de la intensitat de corrent, com es pot veure en el dibuix. Evidentment, el mòdul del

vector Lr

no coincideix amb la longitud L del fil conductor, llevat del cas particular que el fil sigui rectilini. Tot seguit es poden veure alguns exemples de l’orientació relativa dels vectors

que representen un camp magnètic Br

, la força Fr

del camp magnètic i el vector

Lr

associat a un conductor rectilini que condueix un corrent d’intensitat I. El

sentit del vector Lr

és el sentit de la intensitat de corrent I.

.constB =r

Lr

I

.constB =r

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

Lr

Fr

.constB =r

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

× × × × × × × ×

Lr

Fr

.constB =r

• • • • • • • •

• • • • • • • •

• • • • • • • •

• • • • • • • •

Lr

Fr



6.5. Acció del camp magnètic sobre una espira de co rrent Quan un fil conductor que condueix un corrent elèctric forma una trajectòria tancada, de geometria arbitrària, aleshores es parla d’una espira de corrent. Tradicionalment, a una espira de corrent se l’anomena dipol magnètic. L’espira pot tenir forma circular, rectangular o bé una altra forma qualsevol. La força d’un camp magnètic sobre una espira de corrent s’obté a partir de l’expressió general (6.3). Per indicar que el conductor forma una trajectòria tancada, en la integral hi ha un cercle que significa que la integració és al llarg d’una trajectòria tancada. És a dir, per a una espira de corrent

∫ ×= .BlIdFrrr

(6.5)

Força sobre una espira de corrent en un camp magnèt ic uniforme

En el cas particular d’un camp magnètic uniforme, la força sobre una espira és

,0rrrrrr

=×

=×= ∫∫ BldIBlIdF

ja que, d’acord amb el principi de conservació de la càrrega elèctrica, la intensitat de corrent I en cada instant ha de tenir el mateix valor en totes les

parts de l’espira, i ∫ = 0rr

ld , perquè aquesta integral representa un vector que

l’origen coincideix amb l’extrem. Rotació d’una espira de corrent en un camp magnètic

Tot i que la força resultant sobre una espira de corrent en un camp magnètic uniforme és zero, el moment de rotació de les forces que actuen sobre l’espira pot ser distint de zero i, per tant, pot originar un moviment de rotació de l’espira. En aquest efecte del camp magnètic sobre una espira de corrent radica el principi de funcionament del motor elèctric. Considerem una espira rectangular, de costats a i b, que condueix un corrent elèctric d’intensitat I i està situada en una regió en què hi ha un camp magnètic

Br

, com es pot veure en el dibuix, en el qual θ és l’angle que forma el vector camp magnètic amb el vector n , un vector unitari normal al pla de l’espira.




En aquest dibuix es pot observar que per a les forces 3Fr

i 4Fr

es compleix que

43 FFrr

−= , i que pel fet que tenen la mateixa línia d’acció el seu moment de

rotació és zero. En canvi, encara que també es compleix que 21 FFrr

−= , el

moment de rotació d’aquestes dues forces no és zero, ja que les seves línies d’acció no coincideixen i, per tant, formen un parell de forces. Considerant uns eixos de coordenades amb l’orientació del dibuix, el vector camp

magnètic és jBB ˆ=r

, els conductors rectilinis

dels costats de longitud a són iaL ˆ1 −=r

i

iaL ˆ2 =r

, i les forces 1Fr

i 2Fr

s’expressen com

kIaBBLIF ˆ11 −=×=

rrr

kIaBBLIF ˆ22 =×=

rrr

.

El moment de rotació del parell de forces format per 1Fr

i 2Fr

és el producte del

mòdul d’una qualsevol de les dues forces pel braç de palanca, i aquest moment és el mateix per a qualsevol punt de l’espai. Així, com que el mòdul d’una

qualsevol de les dues forces és IaB i el braç de palanca és bsin θ, el valor del

moment de rotació, τ, respecte al punt P del dibuix és

τ = (IaB)(bsin θ) = I(ab)B sin θ =ISB sin θ,

on S = ab és l’àrea de l’espira. Si l’espira té N voltes, llavors τ = NISB sin θ.

4Fr

3Fr

Z

Y X



Es pot obtenir una expressió vectorial del moment de rotació sobre l’espira (un dipol magnètic) en funció de l’anomenat moment dipolar magnètic de l’espira, també anomenat moment magnètic, simplement, i designat per m

r

. Per a una espira d’una sola volta, el moment dipolar magnètic de l’espira es defineix com

SInISmr

r

== ˆ , (6.6)

on Sr

és el vector que representa la superfície de l’espira. Si l’espira té N voltes,

llavors .SNImr

r

= Vectorialment, el moment de rotació sobre l’espira es pot expressar com

.Bmv

rr ×=τ (6.7)

Les expressions (6.6) i (6.7) són de validesa general, tot i que s’han obtingut per al cas particular d’una espira rectangular. Per a una espira de geometria arbitrària, el moment magnètic de l’espira és el producte de la intensitat de

corrent I que hi circula pel vector Sr

que representa la superfície de l’espira. El

sentit del vector Sr

es determina pel sentit del dit polze quan la mà dreta rodeja l’espira amb la resta de dits orientats en el sentit de la intensitat de corrent de l’espira, com es pot veure en el dibuix.

Exemple 6.2.

El dibuix representa un fil conductor semicircular de radi R situat en el pla XY i pel qual circula un corrent elèctric d’intensitat I en el sentit indicat. Si on es troba el conductor hi

ha un camp magnètic uniforme kBB ˆ=r

, calcularem la força que el camp fa sobre el conductor. (Paul A. Tipler. Física para la ciencia y la tecnologia. Exemple 28.3).

SImr

r

=

I

I

Sr

I

I



Resolució

La força elemental Fdr

exercida sobre un element de corrent lIdr

és: BlIdFdrrr

×= .

El vector elemental ldr

es pot descompondre com: jdlidlld ˆcosˆsin θ+θ−=r

.

Tenint present que θ= Rddl i que el el camp magnètic és kBB ˆ=r

, la força elemental esdevé:

( ) idIRBjdIRBkBjdRisindRIBlIdFd ˆcosˆθsinˆˆcosˆ θθ+θ=×θθ+θθ−=×=rrr

.

És a dir: .

2

0coscos

0

0

=θθ=

=θθ=⇒

θθ=θθ=

∫

∫π

π

IRBdsinIRBF

dIRBF

dIRBsindF

dIRBdF

y

x

y

x

Per tant, la força exercida sobre el fil conductor semicircular és: .2 jIRBF =r

Observacions:

• De la simetria del fil conductor es pot deduir que el component Fx de la força és zero, sense fer la integral corresponent.

• La força que s’ha obtingut és la mateixa que s’exerciria sobre un fil conductor rectilini determinat pels punts inicial, a, i final, b, del fil semicircular. I es pot demostrar que aquest resultat és de validesa general.

• És a dir, s’obté el mateix resultat amb l’expressió (6.4), de manera molt més fàcil:

( ) jIRBkiIRBkBiRIBLIBlIdIBlIdFLL

ˆ2)ˆˆ(2ˆˆ2 =×−=×−=×=×

=×= ∫∫

rrrrrrr

Energia potencial d’un dipol magnètic (una espira d e corrent) Quan una espira de corrent (un dipol magnètic) de moment dipolar m

r

gira en

un camp magnètic uniforme Br

, el camp fa treball sobre el dipol. Si τr és el

moment de rotació sobre el dipol quan gira un angle elemental dϕ, el treball elemental dW fet pel camp magnètic és



ϕϕ−=ϕτ−= dmBddW sin ,

on el signe menys indica que el moment de rotació tendeix a fer disminuir

l’angle de rotació ϕ. La corresponent variació d’energia potencial, dU, és

ϕϕ=−= dmBdWdU sin ,

i la integració dóna

).cos(cos 000

ϕ−ϕ−=ϕϕ=− ∫ϕ

ϕmBdsinmBUU

Si com a origen d’energia potencial s’escull 0)2/( 00 =π=ϕ=ϕ= UU , llavors

l’energia potencial del dipol és

BmmBUr

r

⋅−=ϕ−= cos . (6.8)

Comentaris:

• Es pot demostrar que l’expressió (6.8) és de validesa general, encara que el camp magnètic no sigui uniforme i que l’espira no sigui plana.

• Entre el camp elèctric i el camp magnètic, es poden establir les analogies de la taula següent:

Moment dipolar Moment de rotació Energia potencial

Camp elèctric (dipol elèctric)

dqpr

r

=

Epr

rr ×=τ

EpUr

r

⋅−=

Camp magnètic (espira de corrent)

SImr

r

=

Bmr

rr ×=τ BmU

rr

⋅−=

Exercici 6.1.

Una bobina quadrada de 40 cm de costat té 12 voltes d’un fil conductor que transporta

un corrent elèctric d’intensitat I = 3 A en el sentit horari. Si la bobina es troba en el pla

XY en una regió en què hi ha un camp magnètic uniforme T)ˆ4,0ˆ3,0( kiB +=r

, trobeu:

(a) El moment dipolar magnètic de la bobina. (b) El moment de rotació que el camp magnètic exerceix sobre la bobina. (c) L’energia potencial magnètica associada al moment de rotació.

Resp.: (a) 2mA)ˆ76,5( ⋅= kmr

(b) mN)ˆ73,1( ⋅=τ jr

(c) J 30,2−=U



6.6. Efecte Hall L’efecte Hall va ser descobert l’any 1879 pel físic nord-americà Edwin Herbert Hall (1855-1938). És un fenomen segons el qual si una placa conductora que transporta un corrent elèctric se situa perpendicularment a un camp magnètic apareix una diferència de potencial entre les vores de la placa. L’efecte Hall es produeix en un conductor qualsevol, però en una placa és més fàcil d’observar. L’estudi de l’efecte Hall permet, entre d’altres aplicacions, determinar el signe dels portadors de càrrega que formen un corrent elèctric. Per justificar la diferència de potencial associada a aquest efecte, l’anomenat voltatge Hall, considerarem una placa metàl·lica rectangular d’amplada w per la qual circula

un corrent d’intensitat I en un camp magnètic Br

perpendicular a la placa. A més, suposarem que les càrregues que formen el corrent són negatives i que es desplacen amb una velocitat dv

r

, en sentit contrari al de la intensitat de

corrent, com es pot veure en el dibuix.


La força Fr

deguda al camp magnètic origina un desplaçament transversal de les càrregues en moviment, amb la qual cosa s’acumulen càrregues negatives a la part superior de la placa alhora que apareixen càrregues positives concentrades a la part inferior. Aquesta separació de càrregues produeix un

camp elèctric Er

transversal a la placa dirigit de baix cap a dalt. Per tant, sobre les càrregues en moviment actuen dues forces de la mateixa direcció però de

sentit contrari: la força del camp magnètic, BvqF dB

rr

r

×= , i la força del camp

elèctric, EqFE

rr

= , com es pot veure en el dibuix.

dvr

EFr

BFr

q−

BFr



El desplaçament de càrrega continua fins que les dues forces s’equilibren, quan

BE FFrr

−= . Aleshores, es compleix

BvEBqvqE dd =⇔= .

I com que la distribució de càrrega en la placa rectangular suggereix un camp elèctric uniforme, el voltatge Hall, VH és .BwvEwV dH == (6.9)

La mesura experimental de la polaritat del voltatge Hall permet conèixer el signe de les càrregues que formen el corrent elèctric. En el cas d’una placa metàl·lica es fa va evident que les càrregues elèctriques que formen un corrent tenen signe negatiu, com correspon als electrons. Poc després del descobriment de l’efecte Hall, el 1879, es va observar que alguns materials semiconductors presentaven un voltatge Hall de polaritat oposada a la dels conductors metàl·lics, la qual cosa implicava corrents elèctrics constituïts pel desplaçament de càrregues positives. El voltatge Hall és molt feble. Els valors

típics de voltatge Hall són de l’ordre de 10−6 V. Com que tres de les quatre magnituds variables de l’expressió (6.9) es poden mesurar experimentalment, el voltatge Hall VH, el camp magnètic B i l’amplada w de la placa conductora, l’efecte Hall permet obtenir una relació per determinar experimentalment la velocitat mitjana de desplaçament de les càrregues que formen un corrent elèctric, vd. És a dir

.BwV

v Hd =

A més, si és té present la relació nqS

Ivd = , entre la velocitat de desplaçament

vd, la intensitat de corrent I que circula per una placa conductora que la secció transversal té una àrea S i que conté n portadors de càrrega elèctrica lliure de valor q per unitat de volum, aleshores es pot obtenir una relació per avaluar el nombre n de portadors de càrrega lliure per unitat de volum en un metall en funció de magnitud que es poden mesurar experimentalment. A saber

.H

d

Hd

qSVIBw

n

nqSI

v

BwV

v=⇒

=

= (6.10)



Per a metalls monovalents, com ara Li, Na, Cu i Ag, el valor de n calculat a partir de l’efecte Hall concorda bé amb el valor obtingut segons el model de la mecànica quàntica, el model més fidedigne. En canvi, per a metalls no monovalents, com ara Fe, Bi i Cd, o bé per a materials semiconductors, el model clàssic basat en l’efecte Hall dóna valors de n discordants dels que s’obtenen amb un model que tingui en compte la naturalesa quàntica de la matèria. Així mateix, hi ha un tipus de sondes, anomenades sondes Hall, que es basen en l’efecte Hall per mesurar camps magnètics. Forats Ara sabem que en els semiconductors hi ha un procés de conducció elèctrica basat en el desplaçament de càrregues elèctriques positives: el corrent elèctric degut a forats. Aquest procés és essencial en l’estudi de l’electrònica fonamentada en l’estudi de l’estat sòlid en els materials semiconductors. D’acord amb l’estructura interna dels materials semiconductors, en algunes regions interiors on suposadament hi hauria d’haver electrons hi ha vacants. És a dir, hi ha posicions que correspondrien a electrons que no estan ocupades. Aquestes vacants, aquestes posicions no ocupades s’anomenen forats. Com que en la posició vacant, en el forat, hi falta la càrrega negativa d’un electró, s’associa una càrrega elèctrica positiva al forat. Però un electró pot passar a ocupar un forat, i llavors apareix un nou forat en la posició que abans ocupava l’electró. Aquest procés implica un desplaçament de forats i constitueix un corrent elèctric format per càrregues positives: s’anomena el corrent elèctric degut als forats. Efecte Hall quàntic De l’expressió (6.10) es dedueix que el voltatge Hall VH és directament proporcional al camp magnètic B, segons la relació

,Bnqd

InqSIBw

VH ==

on d = S/w és el gruix de la placa conductora de l’efecte Hall. Tanmateix, l’any 1980 el físic alemany Klaus von Klitzing va observar que en semiconductors a temperatures molt baixes i sotmesos a camps magnètics molt intensos el



voltatge de l’efecte Hall no mantenia la relació de linealitat respecte al camp magnètic, sinó que presentava una relació esglaonada, com es pot veure en el dibuix. Aquest resultat implicava un efecte Hall quantificat. Per aquest descobriment, von Klitzing va rebre el premi Nobel de física de 1985.


D’acord amb la teoria de l’efecte Hall quàntic, l’anomenada resistència Hall,

definida com ,I

VR H

H = només pot tenir valors discrets, és a dir

K3, 2, 1, on , === nn

RI

VR KH

H

i RK és l’anomenada constant de von Klitzing. Aquesta constant està relacionada amb la càrrega elèctrica fonamental e de l’electró i amb la constant de Planck h segons la relació

( ) Ω=×

⋅×==−

− 807,812.25

C 1033177602,1

sJ 100755626,6219

34

2e

hRK .

Com que la constant de von Klitzing es pot mesurar amb una error inferior a una part en 109, l’efecte Hall quàntic actualment s’utilitza per definir el patró estàndard de resistència. Des de gener de 1990, l’ohm es defineix de manera

que RK té exactament el valor de 25.812,807 Ω. Experiments recents han demostrat que en certes condicions especials el nombre n de la resistència Hall és una fracció racional. A hores d’ara, però, encara no s’ha completat una teoria de l’efecte Hall quàntic fraccionari.



Exercici 6.2.

Una placa conductora de plata d’1 mm de gruix i de 1,5 cm d’amplada transporta un corrent elèctric de 2,5 A en una regió en què hi ha un camp magnètic de 1,25 T

perpendicular a la placa. Si en la placa es mesura un voltatge Hall de 0,334 µV, (a) Calculeu el nombre n de portadors de càrrega lliure en la plata.

(b) Si la densitat de la plata és ρ = 10,5 g/cm3 i la massa molecular és M = 107,9 g/mol, calculeu el nombre d’àtoms per unitat de volum en la plata, na, i compareu els resultats dels dos apartats.

Resp.: (a) n = 5,85×1028 electrons/m3. (b) na = 5,86×1028 àtoms/m3.



Resum del mòdul • Les interaccions magnètiques s’exerceixen entre partícules amb càrrega elèctrica en

moviment. Aquestes interaccions es descriuen mitjançant el concepte de camp. El camp

magnètic es representa amb el vector Br

. En aquest mòdul s’han estudiat les accions del camp magnètic sobre càrregues en moviment. En el proper mòdul s’estudiaran les fonts del camp magnètic.

• En el sistema internacional d’unitats (SI), la unitat de camp magnètic és el tesla, que s’expressa amb el símbol T. Sovint també es fa servir una unitat del sistema cgs, el gauss, de símbol G. El sistema cgs té com a unitats fonamentals el centímetre, el gram i el segon. Les relacions entre tesla i gauss són: 1 T = 104 G; 1 G = 10−4 T. El camp magnètic de la Terra, aproximadament, és d’uns 0,5 G, és a dir, d’uns 5×10−5 T.

• La força que un camp magnètic Br

exerceix sobre una partícula amb càrrega elèctrica q que es desplaça amb una velocitat v

r

és:

BvqFr

rr

×=

• La força d’un camp magnètic sobre una càrrega elèctrica en moviment és sempre perpendicular a la direcció de la velocitat. Aquesta condició de perpendicularitat de la força del camp magnètic comporta que l’únic efecte d’aquesta força sigui de canviar la direcció de la velocitat de la partícula, però no pas el seu mòdul.

• Com que un corrent elèctric és un desplaçament net de càrrega elèctrica, un fil conductor portador de corrent situat en un camp magnètic experimentarà una força, originada per l’acció del camp magnètic sobre els portadors de càrrega.

• S’anomena element de corrent a un element de fil conductor de longitud elemental dl que condueix un corrent elèctric d’intensitat I. Un element de corrent es representa pel vector

lIdr

, el qual té la direcció del fil conductor i el sentit de la intensitat de corrent.

• La força elemental Fdr

exercida sobre un element de corrent lIdr

situat en un camp

magnètic Br

ve donat per l’expressió:

BlIdFdrrr

×=

• La força total exercida sobre un fil conductor portador d’un corrent d’intensitat I en un camp

magnètic Br

és:

∫ ×=L

BlIdFrrr

• La força total exercida per un camp magnètic uniforme sobre una espira de corrent és zero. Però sobre l’espira actua un moment de rotació que la fa girar. En general, per a una espira

de corrent representada per un vector Sr

, el moment dipolar magnètic, mr

; el moment de rotació τ

r

i l’energia potencial associada a la interacció amb el camp magnètic, U, es defineixen com:

SImr

r

= Bmr

rr

×=τ BmUr

⋅−=

• Si una placa conductora de gruix d que conté n portadors de càrrega lliure de valor q per

unitat de volum transporta un corrent d’intensitat I en un camp magnètic Br

perpendicular a la placa, la força del camp magnètic sobre les càrregues en moviment origina una separació de carregues anomenada efecte Hall. Com a conseqüència, apareix un voltatge VH entre les vores de la placa, anomenat voltatge Hall, que ve donat per l’expressió:

nqdIB

VH =



Glossari Efecte Hall. És un fenomen segons el qual si una placa conductora per la qual circula un corrent elèctric se situa perpendicularment a un camp magnètic apareix una diferència de potencial entre les vores de la placa. Algunes de les aplicacions de l’efecte Hall són: determinar el signe dels portadors de càrrega elèctrica lliure en un conductor; fer mesures experimentals de camps magnètics; calcular el nombre de portadors de càrrega elèctrica lliure per unitat de volum en un conductor; calcular la velocitat mitjana de desplaçament net dels portadors de càrrega elèctrica lliure en un conductor. Voltatge Hall. Diferència de potencial que apareix entre les vores d’un placa conductora en què es produeix l’efecte Hall, es designa com VH. El voltatge Hall és molt feble. Els valors típics de voltatge Hall són de l’ordre de 10−6 V. Element de corrent. S’anomena element de corrent a un element de fil conductor de longitud elemental dl que condueix un corrent elèctric d’intensitat I. Un element de corrent es representa

pel vector lIdr

, el qual té la direcció del fil conductor i el sentit de la intensitat de corrent. Espira de corrent (dipol magnètic). Quan un fil conductor que condueix un corrent elèctric forma una trajectòria tancada, de geometria arbitrària, aleshores es parla d’una espira de corrent. L’espira pot tenir forma circular, rectangular o bé una altra forma qualsevol. Normalment, en parlar d’una espira de corrent es dóna per suposat que és una espira plana. Sovint també es parla d’una espira de N voltes, que no és sinó una bobina. En l’estudi del camp magnètic, una espira de corrent també s’anomena dipol magnètic. Ciclotró. Accelerador de partícules amb càrrega elèctrica basat en l’efecte de rotació originat per un camp magnètic. L’acceleració de les partícules s’aconsegueix amb l’energia que un voltatge altern comunica a les partícules a cada volta que donen les partícules dins l’accelerador. Selector de velocitats. Dispositiu format per un camp elèctric i un camp magnètic mútuament perpendiculars que permet seleccionar en funció de la velocitat les partícules amb càrrega elèctrica que travessen la regió en què hi ha els dos camps. Espectròmetre de masses. Instrument dissenyat per destriar partícules amb càrrega elèctrica que es desplacen en un camp magnètic. El seu principi de funcionament és el moviment de rotació produït pel camp magnètic sobre les partícules. Les partícules es destrien en funció de la relació entre la seva massa i la seva càrrega elèctrica. Dipol magnètic. Nom que es dóna a una espira de corrent en l’estudi del camp magnètic. Freqüència de ciclotró. Freqüència del moviment circular que descriu una partícula amb càrrega elèctrica en un ciclotró. tesla (T). Unitat de camp magnètic en el sistema internacional d’unitats (SI). gauss (G). Unitat de camp magnètic en el sistema d’unitats cgs (centímetre/gram/segon). Forats. En els materials semiconductors, en algunes regions interiors on suposadament hi hauria d’haver electrons hi ha vacants. És a dir, hi ha posicions que correspondrien a electrons que no estan ocupades. Aquestes vacants, aquestes posicions no ocupades, s’anomenen forats. Com que en la posició vacant, en el forat, hi falta la càrrega negativa d’un electró, s’associa una càrrega elèctrica positiva al forat. Però un electró pot passar a ocupar un forat, i llavors apareix un nou forat en la posició que abans ocupava l’electró. Aquest procés implica un desplaçament de forats i constitueix un corrent elèctric format per càrregues positives: s’anomena el corrent elèctric degut als forats.



Problemes 1. Una partícula de càrrega elèctrica q i de massa m té una quantitat de moviment

mvp = i una energia cinètica .22

1 22

mp

mvEc == Si la partícula es mou en una òrbita

circular de radi r perpendicular a un camp magnètic uniforme de mòdul B, comproveu que es compleixen les relacions:

(a) Bqrp = (b) m

rqBEc 2

222

=

2. Un protó entra amb una velocitat v en una regió en què hi ha un camp magnètic uniforme de mòdul

B = 0,6 T orientat com es pot veure en el dibuix. Si l’angle que forma la velocitat del protó en entrar al

camp magnètic és θ = 24° i la distància que separa

el punt d’entrada amb el de sortida és d = 0,4 m,

calculeu la velocitat v i l’angle ϕ de sortida. (Per a

un protó, q = 1,602×10−19 C i m = 1,673×10−27 kg).

Resp.: v = 1,26×107 m/s; φ =24° 3. Un fil conductor rectilini i rígid de 25 cm de longitud i de 50 g de massa es troba sobre una superfície horitzontal en una regió en què hi ha un camp magnètic

perpendicular al conductor i de mòdul B = 1,33 T. Si els extrems del conductor es connecten a una bateria per mitjà de fils flexibles, determineu quina intensitat de corrent hi ha d’haver en el conductor perquè es pugui començar a elevar-se sobre la superfície.

Resp.: I = 1,48 A 4. En el tros de fil conductor del dibuix hi ha un corrent elèctric d’1,8 A dirigit de a cap a b. Si on es

troba el fil hi ha un camp magnètic T )ˆ2,1( kB =r

,

determineu la força del camp magnètic sobre el tros de fil i demostreu que és la mateixa força que es faria sobre un fil conductor rectilini dirigit de a cap a b.

Resp.: N )ˆ0648,0ˆ0864,0( jiF −=r

5. La bobina rectangular del dibuix té 50 voltes, els seu costats mesuren 6 cm i 8 cm, hi circula un corrent elèctric de 1,75 A i gira entorn de l’eix Z. Quan la bobina forma un

angle θ = 37° amb el pla YZ, calculeu: (a) El moment magnètic de la bobina. (b) El moment de rotació que fa girar la bobina. (c) L’energia potencial de la bobina en aquest camp magnètic.

Resp.: (a) 2m A)ˆ253,0ˆ335,0( ⋅−= jimr

; (b) mN )ˆ503,0( ⋅=τ kr

; (c) U = 0,380 J

θ

φ

d

.constB =r

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

I

Y

X

Z

4 cm

3 cm

b

a



6. L’espira de corrent del dibuix està formada per dos semicercles, un d’interior de radi

R1 = 0,3 m i un d’exterior de radi R2 = 0,5 m. Si hi circula un corrent elèctric d’1,5 A en el sentit indicat i l’espira està en el pla XY, calculeu el moment magnètic de l’espira.

Resp.: 2m A)ˆ377,0( ⋅−= kmr

7. En el dibuix, la barra conductora transversal als rails connectats a la bateria pot

lliscar sense fricció. Si els rails estan inclinats un angle θ respecte al pla horitzontal, calculeu: (a) Quin camp magnètic vertical B és necessari perquè la barra no llisqui cap avall. (b) L’acceleració de la barra si el valor del camp fos el doble del de l’apartat (a).

Resp.: (a) θ= tgIL

mgB ; (b) θ= singa , cap amunt.

8. Una placa de coure de forma rectangular de 2 cm d’amplada i de 0,1 cm de gruix està situada en una regió en què hi ha un camp magnètic perpendicular a la placa de

valor B = 2 T. Si la densitat d’electrons lliures en el coure és de 8,47×1022 electrons per centímetre cúbic i la intensitat de corrent en la placa és de 10 A, calculeu la velocitat mitjana de desplaçament net dels electrons lliures i el voltatge Hall en la placa.

Resp.: m/s 1069,3 5−×=dv ; VH = 1,48 µV



9. La sang conté ions amb càrrega elèctrica, de manera que en circular per una artèria apareix un voltatge Hall a causa del camp magnètic ambiental. Si en una artèria llarga amb un diàmetre de 0,85 cm el flux sanguini té una velocitat de 0,6 m/s, calculeu la diferència de potencial que hi haurà a través del diàmetre de l’artèria quan el camp magnètic tingui un valor de 0,2 T.

Resp.: VH = 1,02 mV 10. En una regió de l’espai hi ha un camp elèctric i un camp magnètic, dels quals desconeixem tant el mòdul com la direcció i el sentit. Per determinar aquests camps, s’introdueix un electró en la regió on hi ha els camps i es fan les observacions següents:

(a) Si es disposa l’electró en repòs, adquireix una acceleració jba =r

, on b és

constant.

(b) Si l’electró s’introdueix amb una velocitat inicial ioo vv =r

, adquireix una acceleració

kj cba +=r

, on c és constant.

(c) Si l’electró s’introdueix amb una velocitat inicial joo vv =r

, l’acceleració en la

direcció Z és zero.

Amb aquestes dades, determineu els vectors Er

i Br

en funció de la massa de l’electró, me, de la seva càrrega, e, i de les constant b i c.

Resp.: je

bmE e−=r

; joevcm

B e−= .

11. L’espira de corrent del dibuix condueix un corrent d’intensitat I, té forma de quadrat de costat L i està situada en el pla XY en una regió en què hi ha un camp magnètic no uniforme que ve donat per l’expressió

kLyB

jL

zBB ˆˆ 00 +=r

, on B0 és una constant positiva.

Determineu:

(a) La força del camp magnètic sobre cadascun dels costats de l’espira. (b) La força resultant del camp magnètic sobre l’espira.

Resp.: (a) Sobre el costat esquerre, iILB

F ˆ2

0=r

; sobre el costat superior, jILBF ˆ0−=

r

;

sobre el costat dret, iILB

F ˆ2

0−=r

; sobre el costat inferior, 0rr

=F . (b) jILBF ˆ0−=

r

L

I

I

I

Y

X