modul 1 pengantar program matlab dan · pdf filedapat mengaplikasikan persamaan linear...
TRANSCRIPT
MODUL 1
PENGANTAR PROGRAM MATLAB DAN PENGGUNAANNYA UNTUK
ALJABAR MATRIKS SEDERHANA
KOMPETENSI:
1. Mengenal dan dapat mengoperasikan program MATLAB pada PC.
2. Memiliki ketrampilan dasar menggunakan MATLAB untuk operasi aljabar matriks sederhana.
3. Mengenal fungsi‐fungsi dalam MATLAB.
4. Dapat mencari determinan dan invers dari suatu matriks.
5. Dapat mengaplikasikan persamaan linear simultan dalam bentuk matriks pada Matlab.
I. DASAR TEORI
PENGANTAR PROGRAM MATLAB
Pada awalnya MATLAB merupakan kependekan dari MATrix LABoratory, namun pada
perkembangan selanjutnya MATLAB juga pantas dijuluki MAThematical Laboratory. Sesuai
dengan namanya maka MATLAB merupakan sebuah paket perangkat lunak yang sangat
dibutuhkan dalam operasi‐operasi matriks dan matematika, baik dalam aljabar maupun bilangan
kompleks, fungsi‐fungsi matriks, analisis data, polinomial, pengintegralan, pendeferensialan,
persamaan‐persamaan nonlinear, interpolasi, pemrosesan sinyal, dll. MATLAB juga telah
memiliki sejumlah perintah yang siap pakai (Built‐in), baik berupa variabel, pernyataan, maupun
fungsi yang dapat langsung digunakan. Dengan kemampuan‐kemampuan tersebut, MATLAB
merupakan alat bantu yang handal.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa Matlab adalah suatu program interaktif
yang bekerja sebagai piranti untuk melakukan komputasi yang menyangkut matrik dan
matematika. MATLAB menyediakan rutin‐rutin komputasi matrik yang mudah diakses dan
dikembangkan untuk aplikasi pada bidang tertentu, misalnya bidang teknik.
Paket perangkat lunak MATLAB pertama kali dikembangkan dalam proyek LINPACK dan
CISPACK tahun 1964. MATLAB sendiri merupakan program yang ditulis dan dikompilasi dengan
FORTRAN, sehingga untuk memakainya diperlukan diperlukan sedikit pengetahuan mengenai
sintaks Fortran. Meskipun begitu, untuk penulisan MAT‐filenya MATLAB tetap terbuka untuk
bahasa pemrograman selain FORTRAN, misalnya bahasa PASCAL dan bahasa C.
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-1
A. MEMBUAT MATRIK
1. Dengan menuliskan elemen per elemen
‐ spasi digunakan untuk memisahkan elemen dalam suatu baris
‐ tanda semicolon ( ; ) digunakan untuk memisahkan baris dengan baris berikutnya.
‐ elemen‐elemen matrik diletakkan di antara tanda [ dan ]
Contoh:
>> A = [ 3 9 2; 2 0 4; 8 6 7 ]
hasilnya adalah:
A =
768402293
Untuk matrik yang besar dapat dinyatakan ke dalam beberapa baris input dengan carriage
return (ENTER) menggantikan tanda ; .
Contoh:
>> A = [ 3 9 2 <ENTER>
2 0 4 <ENTER>
8 6 7 ] <ENTER>
yang hasilnya adalah :
A =
768402293
2. Dengan perintah FOR dan WHILE
Elemen‐elemen matrik dapat dimasukkan dengan rumus‐rumus sederhana.
Contoh:
>> For i = 1:3,
For j = 1:3,
a(i,j) = 4*i‐(3+j);
end
end
3. Dengan rutin‐rutin di MATLAB
Misal untuk membuat :
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-2
a. Matrik satuan orde nxn
>> ones(n) b. Matrik satuan identitas berorde nxn
>> eye(n)
c. Matrik yang elemennya acak berorde nxn
>> rand(n)
d. Matrik dengan elemen bilangan Segitiga Pascal berorde nxn
>> pascal(n)
BEBERAPA OPERASI MATRIK DASAR 1. Operasi penambahan ( dengan operator ‘+’ )
2. Operasi pengurangan ( dengan operator ‘‐’ )
3. Operasi perkalian ( dengan operator ‘*’ )
4. Operasi pembagian ( dengan operator ‘/’ atau ‘\’ )
BEBERAPA FUNGSI PADA MATLAB :
1. Mencari Determinan suatu matrik
>> det(A)
2. Mencari Invers suatu matrik
>> inv(A)
3. Penjumlahan elemen diagonal suatu matrik
>>trace(A)
4. Mencari koefisien persamaan polinomial
>> poly(A)
5. Mencari akar dari persamaan polinomial
>> roots(A)
BEBERAPA PERINTAH BAKU PADA MATLAB :
1. Menampilkan nama file yang ada di direktori MATLAB subdirektori BIN
>> dir
2. Menampilkan nama variabel yang kita buat
>> who
3. Menampilkan variabel dan keterangannya
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-3
>> whos
4. Untuk menghapus semua variabel dan nilai yang kita buat
>> clear
MEMBUAT SCRIPT FILE
Untuk persoalan komputasi yang spesifik, MATLAB menyediakan fasilitas makro bagi
pemakainya, yang disebut M‐file MATLAB karena ekstension filenya .M. Dengan fasilitas makro
ini pemrograman terhadap rutin‐rutinnya dapat dilakukan sendiri oleh pemakai. Script file
merupakan file yang berisi sekumpulan instruksi. Jika file ini dijalankan, maka instruksi‐instruksi
tersebut akan dijalankan secara berurutan. Dengan menuliskan nama file, kita dapat memanggil
isi file tersebut. Cara membuatnya adalah sbb:
A. Dengan kembali ke prompt C.
‐ tulis ! lalu tekan Enter
‐ ketikkan copy con namafile.m kemudian tekan Enter.
‐ tuliskan isi file yang diinginkan.
‐ akhiri dengan menekan CTRL Z (^Z).
‐ untuk memanggil, masuklah ke MATLAB kemudian tuliskan namafile lalu tekan Enter.
B. Dengan EDITOR DOS
‐ tuliskan !edit <ENTER>
‐ tuliskan isi file
‐ simpanlah file
‐ keluar dari EDITOR DOS
‐ untuk memanggil, ketik nama file lalu tekan Enter.
C. Dengan NOTEPAD
‐ dengan menggunakan mouse, klick di File New M‐file
‐ tuliskan isi file
‐ simpanlah file pada direktori BIN dengan tahapan‐tahapan berikut :
• untuk pilihan FILE NAME, isilah dengan nama dari script‐file beserta ekstension‐nya.
Adapun ekstension dari script‐file Matlab adalah .M , contoh : data . m
• untuk pilihan SAVE AS TYPE, pilihlah : ALL FILES (*.*).
• lalu klik‐lah pilihan SAVE.
‐ keluar dari NOTEPAD
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-4
‐ untuk memanggil klick di File Run M‐file, ketik nama file lalu klick OK, atau dapat juga
dengan langsung mengetikkan nama dari Script‐filenya.
BEBERAPA HAL YANG HARUS DIPERHATIKAN MENGENAI MATLAB :
1. MATLAB hanya dapat digunakan untuk matrik‐matrik persegi panjang dengan elemen
bilangan kompleks.
2. Bila bagian imaginer bernilai nol maka tidak akan dicetak tetapi masih disediakan tempat di
memori.
3. Matrik 1x1 dianggap sebagai skalar.
4. Matrik 1xn dianggap vektor baris.
5. Matrik mx1 dianggap vektor kolom.
6. MATLAB adalah software yang case sensitive, jadi huruf besar dan huruf kecil dianggap
berbeda . Contoh‐nya : variabel ‘A’ berbeda dengan variabel ‘a’. Untuk sintaks‐sintaks
dan fungsi‐fungsi baku dalam MATLAB sebaiknya digunakan huruf kecil.
7. Untuk melihat susunan fungsi‐fungsi yang disediakan MATLAB dapat dilihat dengan
menggunakan perintah HELP.
Syntax penulisan : >> help <ENTER> atau >> help nama fungsi <ENTER> ALJABAR MATRIK DAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN A. Penjumlahan dan Pengurangan Matrik.
Penjumlahan dan pengurangan matrik merupakan dua operasi matrik yang mirip.
Pengurangan merupakan operasi invers dari penjumlahan. Definisi penjumlahan matrik
adalah sbb :
jika A = [aij] dan B = [bij] dimana i = 1,2,3,...m dan j = 1,2,3,..n
C = A + B jika dan hanya jika C = [cij]mxn dan cij = aij + bij
B. Perkalian Matrik.
Definisi perkalian matrik adalah :
bila A = [aij] dengan ordo m x p, dan B = [bij] dengan ordo p x n, maka
C = A x B jika dan hanya jika
[ ]
mxnijcC = dan
∑=
×=p
kkjikij bac
1
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-5
C. Identitas
Matrik identitas yang dimaksud di sini adalah matrik satuan identitas pada operasi perkalian.
Definisi matrik satuan identitas adalah :
Matrik diagonal yang seluruh elemen diagonalnya sama dengan satu.
D. Determinan
Determinan adalah nilai skalar yang dimiliki oleh sebuah matrik bujur sangkar. Nilai
ini diperoleh sebagai hasil penjumlahan semua suku yang dibentuk oleh permutasi elemen.
dari setiap vektor yang dapat dibentuk dari matrik tsb.
Didefinisikan sbb :
]det[)1(),(
),(][1
ikki
n
kik
akicofactor
kicofactoraADet
×−=
×=
+
=∑
dimana :
aik = matrik A yang dibuang baris i dan kolom k
E. Invers.
Invers suatu matrik adalah matrik yang memenuhi definisi berikut ini:
Jika A = [aij] dengan ordo nxn maka
A‐1 = [aij] dengan ordo nxn dan memenuhi
AA‐1 = I
A‐1A = I
PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN.
Bentuk persamaan linear simultan adalah sbb :
a11x1 + a12x2 + ..............................+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ..............................+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + ..............................+ a3nxn = b3
.... ...... ....... ......
am1x1 + am2x2 + ..............................+ amnxn = bm
Persamaan linear diatas dapat ditulis dalam bentuk matrik sbb : A x X = B
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-6
a a aa a aa a a
a a a
xxx
x
bbb
b
n
n
n
m m mn m m
11 12 1
21 22 2
31 32 3
1 2
1
2
3
1
2
3
..........................................
..........................................
... ...
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
∗
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
Sehingga persamaan linear diatas dapat diselesaikan dengan operasi matrik seperti berikut
ini:
A. Metode Determinan
x
AAj
j=
Keterangan : Aj adalah matrik A yang kolom ke j diganti dengan
B. Metode Invers
A.X = B
A‐1.A.X = A‐1.B
I.X = A‐1.B atau X = A‐1.B
C. Metode Pembagian
X = A \ B X = A\B = inv(A)*B adalah pembagian kiri atau perkalian sebelah kiri matrik B dengan
invers matrik A. Hal ini sama artinya dengan penyelesaian
X dari persamaan :
A*X=B
X=inv(A)*B
II. DEMO
MENGENAL LINGKUNGAN PROGRAM MATLAB
1. Untuk masuk ke program Matlab, pertama‐tama klik start ‐> Program ‐> Developer ‐>
Matlab 6.5.1 atau carilah dimana program Matlab tersebut berada. Setelah melakukan
langkah tersebut maka akan tampak tampilan program Matlab seperti berikut :
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-7
Command History Command Window
Workspace
Jadi pada Layar Matlab terdapat 3 komponen penting yang akan dijelaskan dibawah ini :
• Workspace : Menampilkan semua variable yang pernah dibuat meliputi nama
variable, ukuran, jumlah byte dan class.
• Command Window : Tempat utama untuk mengetikkan perintah – perintah Matlab dan
tempat untuk menampikan hasil eksekusi dari perintah.
• Command History : Menampilkan perintah ‐ perintah yang telah diketikkan pada
command Window.
• Apabila kita ingin menghapus variabel – variabel yang telah dibuat maka kita mengetikkan
perintah >> clear
• Apabila kita ingin menyimpan listing program yang telah diketik maupun hasilnya maka
kita tinggal me‐blok bagian yang ingin disimpan kemudian lakukan perintah Copy (Ctrl‐C)
dan kemudian klik icon New dan akan tampil jendela M‐File kemudian kita lakukan
perintah Paste (Ctrl‐V), Selanjutnya klik Menu File kemudian klik Sub Menu Save As
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-8
kemudian kita tentukan tempat penyimpanannya, nama File‐nya dan diberi extension .M
(Misal nama File data menjadi data.M) dan untuk Save As Type diisi dengan All Files akhiri
dengan mengklik Save.
MELAKUKAN OPERASI ‐ OPERASI DASAR PADA MATLAB
2. Apabila kita ingin mendefinisikan sebuah matrik maka kita mengetikkan pada command
window sebagai berikut :
>> A=[ 0 1 2 ; 3 5 6 ; 7 7 9]
Setelah mengetikan perintah tersebut kemudian kita menekan ↵ (enter) dan akan
tampak hasil sebagai berikut :
A =
0 1 2
3 5 6
7 7 9
3. Setelah mendefinisikan sebuah matrik, berikutnya dicoba untuk mendefinisikan sebuah
vector. Vektor ada 2 macam yaitu vector baris dan vector kolom, untuk membuatnya
kita mengetikkan perintah sebagai berikut :
Vector baris :
>> A=[ 1 5 9 ]
Tekan enter dan muncul hasil yaitu :
A =
1 5 9
Vector Kolom :
>> A=[ 1 ; 2 ; 3 ]
Tekan enter dan muncul hasil yaitu :
A =
1
2
3
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-9
4. Beberapa Operasi Matrik Dasar :
• Operasi penambahan ( + )
Misalkan ada 2 matrik yaitu matrik A :
>> A =[1 2 ; 3 4]
A =
1 2
3 4
Dan Matrik B
>> B = [5 6 ; 7 8 ]
B =
5 6
7 8
Kemudian dilakukan operasi penambahan, jadi pada Matlab kita mengetikkan :
>> A + B
Tekan Enter dan muncul hasil yaitu :
ans =
6 8
10 12
• Operasi Pengurangan ( ‐ )
Masih dengan Matrik A dan B diatas, kemudian dilakukan operasi pengurangan
dengan kita mengetikkan :
>> A ‐ B
Tekan enter dan muncul hasil yaitu :
ans =
‐4 ‐4
‐4 ‐4
• Operasi Perkalian ( * )
Masih dengan Matrik A dan B diatas dan untuk pengalinya maka kita definisikan
sebuah skalar pada matlab yaitu k = 3 :
>> k=3
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-10
Hasil :
k =
3
Kemudian dilakukan proses perkalian yaitu :
>> A * k
Hasil :
ans =
3 6
9 12
• Operasi Pembagian ( / )
Masih dengan matrik A dan B serta skalar k =3 diatas, kemudian dilakukan proses
pembagian yaitu :
>>B/k
Hasil :
ans =
1.6667 2.0000
2.3333 2.6667
MELAKUKAN FUNGSI ‐ FUNGSI PADA MATLAB
5. Determinan
Masih dengan Matrik A yaitu :
A =
1 2
3 4
Kemudian dilakukan pencarian determinan dari matriks A dengan mengetikkan :
>> det(A)
Hasil :
ans =
‐2
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-11
6. Invers
Masih dengan Matrik A, kemudian dilakukan pencarian Invers dari Matrik A dengan
mengetikkan :
>> inv(A)
Hasil :
ans =
‐2.0000 1.0000
1.5000 ‐0.5000
7. Trace
Masih dengan Matrik A, dilakukan operasi trace yaitu penjumlahan elemen diagonal
suatu matrik :
>> trace(A)
Hasil :
ans =
5
8. Poly
Misalkan ada suatu persamaan : x2 + x – 12 = 0 dan akar – akarnya adalah x=3 dan
x=‐4, kemudian akan dicari koefisien persamaan polynomial‐nya jadi kita
mengetikkan :
Sebelumnya dibuat sebuah variabel yang berisi akar‐akar persamaan diatas :
m=[3 ‐4]
Hasil :
m =
3 ‐4
Kemudian untuk mencari koefisien persamaan polinomial diketikkan :
poly(m)
Hasil :
ans =
1 1 ‐12
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-12
9. Roots
Masih menggunakan persamaan diatas, kemudian akan dicari akar dari persamaan
polinomial‐nya :
Diketikkan :
>> roots(ans)
ans merupakan koefisien persamaan polynomial yang telah ditemukan pada
langkah sebelumnya.
Hasil :
ans =
‐4
3
MEMBUAT MATRIK DENGAN ALGORITMA PERULANGAN FOR . .
Untuk membuat matrik dengan perulangan for maka kita mengetikkan algoritma‐nya pada
command window setelah pengetikan selesai diakhiri dengan end yang menyatakan akhir
dari program.
>>for i=1:3,
for j=1:3,
a(i,j)=i+j;
end
end
Program tersebut berarti didefinisikan i dari 1 sampai 3 yang merupakan baris dari matrik
dan kemudian juga didefinisikan j dari 1 sampai 3 yang merupakan kolom matrik.
Kemudian dibuat matrik a yang setiap elemen‐nya merupakan hasil penambahan dari i
dan j sesuai looping yag berjalan.
Untuk mengetahui hasilnya maka diketikkan a yang merupakan variable penampung hasil
eksekusi program :
>> a
Hasilnya :
a =
2 3 4
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-13
3 4 5
4 5 6
MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN DALAM BENTUK MATRIKS
Kasus:
Ubahlah persamaan linear berikut menjadi persamaan matriks A * X = b, kemudian cari nilai x1,
x2, x3 dan x4 !
A. Membuat Model Matematis:
x1 + x2 + x3 + x4 = 3
x1 ‐ 2x2 + 3x3 + 4x4 = 15
3x1 + 2x2 ‐ 3x3 + 2x4 = 24
2x1 + 4x2 + 3x3 ‐ 2x4 = 17
B. Mengubah ke bentuk matriks dan selesaikan dengan Matlab:
Teori metode determinan :
1. Membuat matriks A
>> A=[ 1 1 1 1 ; 1 ‐2 3 4 ; 3 2 ‐3 2 ; 2 4 3 ‐2 ]
A =
1 1 1 1
1 ‐2 3 4
3 2 ‐3 2
2 4 3 ‐2
2. Membuat vektor kolom b
>> b=[ 3 ; 15 ; 24 ; 17 ]
b =
3
15
24
17
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-14
3. Mencari determinan matriks A
>> da=det(A)
da =
‐54
4. Mencari determinan matriks A1, dimana A1 adalah matriks A yang kolom pertama
diganti dengan elemen vektor kolom b.
>> A1=A
A1 =
1 1 1 1
1 ‐2 3 4
3 2 ‐3 2
2 4 3 ‐2
>> A1(:,1)=b
A1 =
3 1 1 1
15 ‐2 3 4
24 2 ‐3 2
17 4 3 ‐2
>> da1=det(A1)
da1 =
‐1212
5. Mencari determinan matriks A2, dimana A2 adalah matriks A yang kolom kedua diganti
dengan elemen vektor kolom b.
>> A2=A
A2 =
1 1 1 1
1 ‐2 3 4
3 2 ‐3 2
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-15
2 4 3 ‐2
>> A2(:,2)=b
A2 =
1 3 1 1
1 15 3 4
3 24 ‐3 2
2 17 3 ‐2
>> da2=det(A2)
da2 =
641
6. Mencari determinan matriks A3, dimana A3 adalah matriks A yang kolom ketiga diganti
dengan elemen vektor kolom b.
>> A3=A
A3 =
1 1 1 1
1 ‐2 3 4
3 2 ‐3 2
2 4 3 ‐2
>> A3(:,3)=b
A3 =
1 1 3 1
1 ‐2 15 4
3 2 24 2
2 4 17 ‐2
>> da3=det(A3)
da3 =
‐48
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-16
7. Mencari determinan matriks A4, dimana A4 adalah matriks A yang kolom keempat
diganti dengan elemen vektor kolom b.
>> A4=A
A4 =
1 1 1 1
1 ‐2 3 4
3 2 ‐3 2
2 4 3 ‐2
>> A4(:,4)=b
A4 =
1 1 1 3
1 ‐2 3 15
3 2 ‐3 24
2 4 3 17
>> da4=det(A4)
da4 =
457
8. Mencari nilai x1, x2, x3, x4, x5 >> x1=da1/da
x1 =
22.4444
>> x2=da2/da
x2 =
‐11.8704
>> x3=da3/da
x3 =
0.8889
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-17
>> x4=da4/da
x4 =
‐8.4630
III. LATIHAN TERPANDU
LANGKAH‐LANGKAH KERJA:
1. Pada windows, klik‐lah shortcut MATLAB dua kali.
2. Membuat matrik A dengan memasukkan elemen per elemen.
Kerjakan :
>> A1 = [ 6 2 9 ; 7 0 4 ; 1 9 5 ]
>> a1 = [6 2 9
7 0 4
1 9 5 ]
Buatlah juga
>> Y = [ 2 ; 7 ; 0 ; 1 ]
Cetak hasilnya!
3. Membuat matrik dengan menuliskan elemen per elemen
Membuat matrik sembarang dengan cara yang sama seperti di atas ( elemen matriksnya dimasukkan satu per satu ).
Buatlah:
a. Matrik kosong dengan nama MK.
b. Matrik satuan orde 3x3 dengan nama MS.
c. Matrik satuan identitas berorde 3x3 dengan nama MSI.
d. Vektor baris dengan orde 1x4 dengan nama VB.
e. Vektor kolom dengan orde 5x1 dengan nama VK.
f. Matrik bujur sangkar dengan orde 4x4 dengan nama MBS.
g. Matrik persegi panjang dengan orde 2x5 dengan nama MPP.
Cetak hasilnya!
4. Membuat matrik dengan perintah for.
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-18
Tuliskan:
>>for i = 1:4,
for j = 1:4,
a2(i,j) = j*(2‐i)+i;
end
end
Untuk mengetahui hasilnya ketiklah
>> a2
Cetaklah hasilnya!
Apa yang terjadi jika tanda titik koma ‘;’ dalam perintah diatas diganti dengan tanda koma?
Jelaskan!
5. Membuat matrik dengan rutin di MATLAB
a. Matrik satuan orde 3x3
>> ones(3)
b. Matrik satuan identitas berorde 3x3
>> eye(3)
c. Matrik yang elemennya acak berorde 4x4
>> rand(4)
d. Matrik Segitiga Pascal berorde 5x5
>> pascal(5)
6. Membuat dan membaca file data / script‐file.
Buatlah script‐file dalam Matlab dengan menggunakan Notepad. Ikutilah langkah‐langkah‐
nya seperti pada dasar teori. Lalu kerjakan :
• Untuk script‐file dengan nama TES1.M :
A2 = [ 8 9 0 ; 5 6 7 ; 3 2 1 ]
• Untuk script‐file dengan nama TES2.M :
for i = 1:5,
for j = 1:5,
b(i,j) = i*(j‐5);
end
end
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-19
• Simpanlah file TES1.M dan TES2.M di direktori MATLAB dan sub direktori WORK.
• Setelah keluar dari Notepad , tuliskan di workspace Matlab:
>>TES1
dan juga
>>TES2
Cetak hasil / output script‐nya ( Script‐file nya tidak perlu di‐print ) ! 7. Operasi aljabar matrik sederhana
Buatlah / kerjakan :
>> A = [ 2 6 4 3; ‐1 5 ‐2 1 ; 3 0 7 2 ]
>> B = [ 2 9 5 ‐3; 2 3 12 4 ; 0 12 14 2]
>> C = [ ‐8 0 9 5; 1 ‐31 2 4 ; 5 6 1 0 ]
>> D = [ 3 ; 1 ; 0; 8]
>> k = 3
a. Penjumlahan Matrik
Kerjakan!
>> E1 = A + B
>> E2 = B + A
>> E3 = (A + B) + C
>> E4 = C + B + A
Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak !
b. Pengurangan matrik
Tuliskan : >> F1 = A ‐ B
>> F2 = B ‐ A
Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak!
c. Perkalian skalar dengan matrik
Tuliskan : >> G1 = k * A
>> G2 = K * ( A+B+C )
>> G3 = k*A + k*B + k*C
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-20
Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak!
d. Pembagian matrik dengan scalar
>> H1 = A/k >> H2 = B/k Cetak hasilnya!
e. Transpose
>> I1 = A’ >> I2 = B’ Cetak hasilnya!
f. Buatlah matrik persegi panjang I3:
>> I3 = [‐3 1 11 0; 2 ‐1 5 0 ; 0 6 ‐4 12 ]
>> I4 = ( I3 )’
Cetak hasilnya!
g. Pemangkatan matrik
Tuliskan >> pkt = 3 >> J1 = A^3 >> J2 = B^pkt Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak!
10. Perkalian matrik
Kerjakan:
>> K1 = A*B >> K2 = (A*B)*D >> K3 = B*A >> K4 = A*D >> K5 = A*(B*D) Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak!
11. Pembagian matrik
Kerjakan :
>> L1 = A / B >> L2 = B \ A Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak!
12. Operasi Array
a. Penjumlahan dan pengurangan array
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-21
Buatlah matrik:
>> X = [ 1 2 3 4; 7 8 9 2; 3 7 1 11 ]
>> Y = [ 4 3 6 1; 1 7 1 4; 2 8 4 2]
Kerjakan
>> Z1= X + Y
>> Z2 = X – Y
Cetak hasilnya!
b. Perkalian dan pembagian array
Kerjakan :
>> W1 = X . * Y
>> W2 = X . / Y
Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak! c. Pemangkatan
Kerjakan:
>> V1 = X .^Y
>> V2 = X .^2
Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak!
13. Manipulasi vektor dan matrik.
a. Kerjakan perintah berikut, perhatikan apa yang terjadi dan catat hasilnya!
>> x1 = 1: 5
>> y1 = 0 : pi/4 : pi
>> z1 = 6 : ‐1 : 1
>> x2 = [ 0.0 ; 0.2 ; 3.0];
>> y2 = exp( ‐x2 ) .* sin( x2 );
>> [x2 y2]
b. Kerjakan juga dan amati apa yang terjadi !
>> kn = linspace(‐pi,pi,4)
>> kj = logspace(‐pi,pi,4)
Cetak hasilnya!
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-22
c. Operasi subscript/indeks
Operasi subscript dilakukan untuk membaca sebagian/subset/elemen dari suatu matriks
atau vector.
Tuliskan >> A
>> A(3,3) = A(1,3) + A(3,1)
>> A(1,1) = A(2,2) ‐ B(3,3)
>> A
Cetak hasilnya! Bandingkan antara matriks A yang pertama dengan matriks berikutnya setelah kedua operasi diatas dikerjakan !
Kerjakan juga operasi‐operasi berikut ini :
>> A
>> A(1:3,2)
>> A(1:2,2:3)
>> A(:,1)
>> A(1:3,:)
Cetak dan amati hasilnya untuk setiap perintah‐perintahnya !
kerjakan juga matrik berikut:
>> CC = [1 2; 3 4; 5 6]
>> DD = CC(:)
Cetak dan amati hasilnya untuk setiap perintah‐perintahnya !
14. Format Output
Tuliskan >> Q = A* 22/7 >> format long, Q >> format short, Q Cetak dan amati hasilnya !
15. Operasi untuk menggabungkan Matrik
Buatlah matrik‐matrik berikut ini:
>> M1 = [ 8 1 33; 8 4 11; 4 2 12]
>> M2 = [1 4; 1 2; 0 3]
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-23
>> M3 = [1 2 3 4 5]
Tulislah :
>> R1 = [M1 M2]
>> R2 = [M1 M2; M3]
>> R3 = [ M1 [ 1 1; 1 1; 1 1] ; [ 2 2 2 2 2 ] ]
Cetak dan amati hasilnya! 16. Fungsi‐fungsi Elementer
Cobalah fungsi‐fungsi elementer berikut ini ! >> exp(M1)
>> log(M1)
>> sqrt(M1)
Cobalah fungsi‐fungsi trigonometri berikut ini !
Sebelumnya buatlah matrik MA1
>> MA1 = [ 0 0.5 ; 0.25 0.75 ]
>> sin(MA1)
>> acos(MA1)
>> atanh(MA1)
Cetak hasilnya !
17. Memakai Variabel Terdefinisi (eye, ans, rand)
Tuliskan
>> S = A + 3 * eye
>> ans
>> for I=1:2,
for j = 1:2,
t(I,j) = rand;
end
end
>> t
Cetak hasilnya dan sebutkan fungsi masing‐masing variabel yang anda gunakan di atas!
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-24
18. Polinomial dan akar‐akarnya
Buatlah matrik
>> MM =[ 1 4 4 0; 2 ‐5 2 1; 7 1 5 4]
Kerjakan perintah
>> pp = poly(MM)
>> rr = roots(pp)
Buktikan bahwa perintah poly adalah invers dari roots, dan juga sebaliknya! 19. Kombinasi perintah‐perintah Matlab
Kerjakan perintah‐perintah berikut :
>> pld = pascal ( length ( diag ( MM ) ) )
>> essi = eye ( sum ( size ( inv ( MM ) ) + 1 ) )
Perhatikan hasil dari masing‐masing perintah diatas ! Jelaskan bagaimana hasil‐hasil tersebut diperoleh pada laporan Anda.
20. Matrik Identitas
Kerjakan :
>> Idt1 = A * eye
>> Idt2 = eye * A
Apakah yang dimaksud dengan EYE? Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang
tampak !
21. Determinan
Kerjakan :
>> dtm1 = det(A)
>> dtm2 = det(B)
Cetak hasilnya !
Carilah determinan C secara ekspansi baris pada laporan resmi Anda !
22. Invers
Kerjakan : Inr1 = inv(A)
Inr2 = inv(B)
Inr3 = A*Inr1
Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak !
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-25
Carilah invers C secara manual pada laporan resmi Anda !
23. Persamaaan Linear Simultan
Sebelum masuk ke langkah ini, kerjakan dulu :
>> clear all
a. Ubahlah persamaan linear berikut menjadi persamaan matriks A * X = B !
8x1 ‐ 3x2 + 1x4 = 32
2x1 ‐ 5x2 + 5x3 + 4x4 = 26
x2 + x3 + 2x4 = 8
2x1 + x2 + 6x3 + 2x4 = 1
Ketikan matriks A dan B dari persamaan diatas!
b. Tentukan
4321 ,,,, AAAAA dengan :
untuk | A | :
>> DA = det(A)
untuk | A1 | :
>> A1 = A
>> A1(: , 1) = B
>> DA1 = det(A1)
untuk | A2 | :
>> A2 = A
>> A2( : , 2 ) = B
>> DA2 = det(A2)
untuk | A3 | :
>> A3 = A
>> A3( : , 3 ) = B
>> DA3 = det(A3)
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-26
untuk | A4 | :
>> A4 = A
>> A4( : , 4 ) = B
>> DA4 = det(A4)
Cetak semua hasil determinan diatas!
c. Carilah nilai x1 , x2 , x3 , x4 yang merupakan penyelesaian persamaan diatas sesuai dengan
teori metode determinan.
Cetak langkah anda serta hasilnya! ( untuk rumus‐nya dilihat pada dasar teori ! )
d. Carilah x1 , x2 , x3 , x4 yang merupakan penyelesaian persamaan diatas sesuai dengan teori
metode invers sebagai berikut :
>> X = inv(A) * B
Cetak langkah anda dan hasilnya!
e. Carilah x1 , x2 , x3 , x4 yang merupakan penyelesaian persamaan diatas sesuai dengan
pembagian matriks sebagai berikut :
>> X = A\ B
Cetak hasilnya dan bandingkan dengan hasil dari dua metode sebelumnya !
24. Menggunakan help
Tuliskan >>help
>>help length >>help Abs
Cobalah gunakan fungsi‐fungsi dibawah dengan bantuan informasi help:
diag size plot
poly roots det
Eye Inv eig
Rand Sum abs
function Hold lu
Cetak pada laporan Anda
Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik
-27