modélisation micromagnétique par eléments finis avec feellgood · maillage gmsh* 33000 nœuds...
TRANSCRIPT
1
Modélisation Micromagnétique par Eléments Finis avec FEELLGOOD
J.-C. Toussaint1, E. Kritsikis1, F. Alouges2
1. Institut Néel – Groupe Grenoble-INP
2. CMAP Ecole Polytechnique
2
1. Hypothèses du micromagnétisme
2. Dynamique de l’aimantation : équations Landau-Lifshitz-Gilbert
3. Formulations faibles en éléments finis
4. Schémas numériques
5. Applications à des systèmes physiques 3D
• Dynamique de l’aimantation dans une plaquette de Permalloy
• Sélection de chiralité dans des plots de Co
• Nano-oscillateurs à courant polarisé en spin
Plan
3
Modélisation d’un matériau ferromagnétique à l’échelle
mésoscopique 10 nm -100 nm
Approximation des milieux continus ⇒
Faibles variations spatiales du vecteur aimantation M(r)
Fluctuations thermiques négligées.Introduction de la température seulementdans une approche champ moyen
1963 - W. F. Brown Jr. 1907 P. Weiss / domaine magnétique
1935 Landau-Lifshitz / paroi
Spins individuels
J. F. Brown, Jr. : Micromagnetics, J. Wiley and Sons, New York (1963)
i
1. Hypothèses du micromagnétisme
Contrainte sur la norme de l’aimantation
|m(r)|=1
d3r
m(r)
h
4
Anisotropie Magnéto-crystalline- symétrie du cristal- direction(s) privilégiée(s) pour m
( )( )2 31 1aniE K d r
Ω
= − ⋅∫ Ku m
Interaction d’échange dansun ferromagnétique- ordre magnétique (T<Tc )- spins parallèles
( ) 2 3ex exE A d r
Ω
= ∫ grad m
Interactions Magnétostatiques- équations de Maxwell- distribution des charges mag. - création des domaines mag.
( ) 30
1 02D s dE M d r
Ω
= − μ ⋅ ≥∫ m H m
Couplage Zeeman - champ extérieur- alignement des moments //ment à Happ
30z s appE µ M d r
Ω
= − ⋅∫ m H
Energie d’un système micromagnétique
5
Eq. de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG)
0t t∂ ∂
= −γμ × +α ×∂ ∂m mm H m
2. Dynamique de l’aimantation en micromagnetisme
H champ effectif, α>0 amortissement,
γ facteur gyromagnétique
Cas où H ~ H0 champ appliqué :
( ) ( )1
0 0
2 2exK K app d
s s
A Kµ M µ M
= Δ + ⋅ + +H m u m u H H m
H0
m0α=0.1
H0
m0
α=1
2sMdE
dt tΩ
∂⎛ ⎞= −α ⎜ ⎟γ ∂⎝ ⎠
⌠⎮⌡
mPuissance dissipée :
6
Propriétés des équations LLG
1m = est conservée
0m mm H mt t
∂ ∂= −γμ × + α ×
∂ ∂
0 1γμ = dans la suite de l’exposé
m mm H mt t
∂ ∂= − × +α ×
∂ ∂
Plusieurs formes équivalentes :
( )m mm m m H m mt t
∂ ∂⎛ ⎞× = − × × +α × × ⇒⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
•
•
Forme de Gilbert
Forme de Alougesavecm mm H m m Ht t
∂ ∂α + × = −λ λ =∂ ∂
i
0mmt
∂⇔ =
∂i
7
Plot cylindrique de NiFe de diamètre 100nm et de hauteur 10nm, possédant une direction privilégiée (anisotropie magnétocrystalline uniaxe) de l’aimantation dans le plan de 1000 J/m3.
L’état à la rémanence, obtenu par le code volumes finis (FV), n’est plus invariant par rotation autour de l’axe du cylindre.
Pourquoi faire des éléments finis?
8
3. Formulations faibles connusm mm H mt t
∂ ∂= − × +α ×
∂ ∂ ( )1 2[0, ],m H T S∈ Ω×
Yang et Fredkin - On la teste avec
( ) ( ). . .v w m v w H m wΩ Ω Ω
−α × = ×∫ ∫ ∫
Cela revient à trouver tel que( )1 [0, ]v H T∈ Ω×
( )1 [0, ]w H T∀ ∈ Ω×
Discrétisation en éléments finis P1,
v ne respecte pas
v n’est donc même pas une approximation de ⇒ sur-dissipation en énergie
0i im v =imt
∂∂
eti i i ii i
m m v v= φ = φ∑ ∑
( )1 [0, ]w H T∈ Ω×
Forme de Gilbert
Szambolics H. et al, IEEE Trans. Magn., 44 (11) (2008) 3153-3156
9
Formulations dans le plan tangent à m
Jaisson et Alouges - On impose la contrainte aux nœuds de discrétisation
avec , 1i i ii
m m i m= φ ∀ =∑
On teste avec une fonction test w orthogonale à m en tout point
avecm mm H m m Ht t
∂ ∂α + × = −λ λ =∂ ∂
i
Forme de Alouges
( ). . . .v w m v w H w m wΩ Ω Ω Ω
α + × = − ∇ ∇∫ ∫ ∫ ∫∼
Échange dominant
10
4. Schéma explicite
Discrétisation en temps : ( ) ( )n pm m n t t= δ +Ο δ
( ). . . .v w m v w H w m wΩ Ω Ω Ω
α + × = − ∇ ∇∫ ∫ ∫ ∫∼
Pour tout n≥0, trouver tel que nv K∈ nw K∀ ∈
( ). . . .n n nv w m v w H w m wΩ Ω Ω Ω
α + × = − ∇ ∇∫ ∫ ∫ ∫∼
1 1 1avecn
n n n ii i i n
i i
m t vm m mm t v
+ + + + δ= φ =
+ δ∑
Plan tangent :
On pose
1, , 0nn i i i i i
iK w w P w m
⎧ ⎫= = φ φ ∈ =⎨ ⎬⎩ ⎭
∑ i
schéma d’ordre p
11
• Le problème admet toujours une solution.
• Elle converge faiblement vers une solution faible de Gilbert
lorsque δt / δx2 → 0 (Bartels)
• Proche d’un schéma explicite pour l’équation de la chaleur.
• Mais en pratique δt petit
⇒ Besoin d’un schéma implicite, inconditionnellement stable avec
une itération linéaire.
Schéma explicite
12
Implicitation de l’échange
MAIS
Pour tout n≥0, trouver tel que nv K∈ nw K∀ ∈
( ) 1. . .n nv w m v w m w+
Ω Ω Ω
α + × = − ∇ ∇∫ ∫ ∫
( )1 2n
n nii in
i
m t vm m t v tm t v
+ + δ= = + δ +Ο δ
+ δ
non-linéaire
( ). . . .n nv w m v w t v w m wΩ Ω Ω Ω
α + × + δ ∇ ∇ = − ∇ ∇∫ ∫ ∫ ∫
1 1 1avecn
n n n ii i i n
i i
m t vm m mm t v
+ + + + δ= φ =
+ δ∑On pose
On propose le θ-schéma :
( ) [ ]. . . . 0, 1n nv w m v w t v w m wΩ Ω Ω Ω
α + × + θδ ∇ ∇ = − ∇ ∇ θ∈∫ ∫ ∫ ∫
13
Etude de stabilité du θ-schéma( ) ( )21
2E m m
Ω
= ∇∫Energie d’échange :
On cherche à estimer : ( ) ( ) ( )222n n nE m t v E m t m v t vΩ Ω
+ δ − = δ ∇ ⋅∇ + δ ∇∫ ∫
On remplace dans le θ-schéma w par v
( ) [ ]. . . . 0, 1n nv w m v w t v w m wΩ Ω Ω Ω
α + × + θδ ∇ ∇ = − ∇ ∇ θ∈∫ ∫ ∫ ∫
( )22 .nv t v m vΩ Ω Ω
α + θδ ∇ = − ∇ ∇∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )22 21 2n nE m t v E m t v t vΩ Ω
+ δ − = −αδ + − θ δ ∇∫ ∫
En prenant θ=½ on obtient à δt3 près la dissipation physique
MAIS …
14
MAIS la normation fait dissiper plus d’énergie 1n
nn
m t vmm t v
+ + δ=
+ δ
( ) ( ) ( )21 2 2 1 212
n n nE m E m t v t m v+ +
Ω Ω
− ≤ −αδ − δ ∇∫ ∫
2 2 2où 1 1nw m t v w t v= + δ = + δ ≥Appliquons à
Le schéma est stable mais reste d’ordre 1 après normation
dissipation suppl.
( )2
22 ww wwΩ Ω
⎛ ⎞∇ ≤ ∇⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫1 avec 1w H w∀ ∈ ≥Bartels généralisé
( )( ) ( )( ) ( )222 2 11 2n n nt v m m t v E m t v+
Ω Ω
+ δ ∇ ≤ ∇ + δ = + δ∫ ∫
( ) ( ) ( )21 2 2 12 2n n nE m t v m E m t v+ +
Ω
+ δ ∇ ≤ + δ∫
15
Schéma temporel d’ordre 2 (Thèse Kritsikis*)
Discrétisation en temps :
Pour tout n≥0, trouver tel que nv K∈ nw K∀ ∈
( ). . .n n n nv w m v w H w m w+θ +θ +θ +θ
Ω Ω Ω Ω
α + × = − λ ⋅∫ ∫ ∫ ∫
Plan tangent : 1, , 0nn i i i i i
iK w w P w m
⎧ ⎫= = φ φ ∈ =⎨ ⎬⎩ ⎭
∑ i
avecm mm H m m Ht t
∂ ∂α + × = −λ λ =∂ ∂
iForme d’Alouges
On se place à un temps intermédiaire n+θ avec θ à déterminer
1 1 1avecn
n n n ii i i n
i i
m t vm m mm t v
+ + + + δ= φ =
+ δ∑On pose
* Soutenance - lundi 24 janvier 14h00 – bat A - CNRS polygone
( ) ( )2nm m n t t= δ +Ο δ schéma d’ordre 2
16
Détermination de θ
( )1 2 2 312
n m t vm m t v t v m tm t v
+ + δ= = + δ − δ +Ο δ
+ δ
CN sur v : mn+1 doit coïncider avec le DL de Taylor de m(t) au temps n+1
( )1 2 2 312
nt tm m t m t m t+ = + δ ∂ + δ ∂ +Ο δ
etDL
D’où l’égalité ( )2 2 21 12 2t tm t m v t v m t∂ + δ ∂ = − δ +Ο δ
En notant ∏ la projection sur Kn , comme t nm K∂ ∈
( ) ( ) 1/22 212
nt t tv m t m t m += ∂ + δ Π∂ +Ο δ = Π ∂
Pour que le schéma soit d’ordre 2, doit être le projeté de sur Kn( ) 1/2ntm
+∂v
L’instant intermédiaire est donc n+½ ⇒ θ=½
17
( ). . . .2 2
n n nt tv w m v w v w m w v w+θ
Ω Ω Ω Ω Ω
δ δα + × + ∇ ∇ = − ∇ ∇ − λ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Schéma temporel d’ordre 2
( )2m H mλ = ⋅ = − ∇
En prenant θ=0 et en choisissant , on aw v=
( ) ( )222 2 .2 2
n nt tv v m v m wΩ Ω Ω Ω
δ δα + ∇ − ∇ = − ∇ ∇∫ ∫ ∫ ∫
Ellipticité non évidente ⇒ non utilisé en pratique
Pour tout n≥0, trouver tel que nv K∈ nw K∀ ∈
( ) ( ) ( )1/22 2 212
nt t tv m t m t m t+= ∂ + δ Π∂ +Ο δ = Π ∂ +Ο δ
18
( ). . . .2 2
n n nt tv w m v w v w m w v w+θ
Ω Ω Ω Ω Ω
δ δα + × + ∇ ∇ = − ∇ ∇ − λ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Schéma temporel d’ordre 2
( )2m H mλ = ⋅ = − ∇On garde le terme en λ dans le second membre de l’équationOn prend θ=1 pour bénéficier des propriétés de stabilité
Itération : résoudre en prenant λ=0. On obtient à δt près.v
Problème faiblement non-linéaire ⇒ Algorithme de point fixe : 2 itérations suffisent
( )21 1 1n
n n nn
m t vm mm t v
+ + ++ δ= ⇒ λ = − ∇
+ δ
Itération : résoudre avec λn+1. On obtient à δt2 près.v
1n
nn
m t vmm t v
+ + δ=
+ δ
19
Etude de stabilité du schéma ordre 2
( ) ( )212
E m mΩ
= ∇∫Energie d’échange :
On cherche à estimer : ( ) ( ) ( )222n n nE m t v E m t m v t vΩ Ω
+ δ − = δ ∇ ⋅∇ + δ ∇∫ ∫
On remplace dans le schéma w par v
( ) ( )222 1 2.2 2
n nt tv v m v m v+
Ω Ω Ω Ω
δ δα + ∇ = − ∇ ∇ − ∇∫ ∫ ∫ ∫
Le schéma d’ordre 2 réduit la sur-dissipation due à la normation.
( ) ( )21. . . .2 2
n n nt tv w m v w v w m w m v w+
Ω Ω Ω Ω Ω
δ δα + × + ∇ ∇ = − ∇ ∇ − ∇ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫
terme supplémentaire exactement compensé
( ) ( ) ( )21 2 2 1 212
n n nE m E m t v t m v+ +
Ω Ω
− ≤ −αδ − δ ∇∫ ∫
20
Formulation non usuelle, pas intégrable dans des outils comportant un générateur de formulation comme FluxExpertou Comsol Multiphysics
⇒ Développement d’un code C++ spécifique éléments finis en P1
FEELLGOOD
« Finite Element for Equations LLG Ohne Objekt Development »Pas politiquement convenable d’après la direction
« Finite Element for Equations LLG Object Oriented Development »
Implémentation des schémas ordre 1 et ordre 2(Thèses de Helga Szambolics et Evaggelos Kritsikis)
21
( ) ( )( ) ( ') ' ( ') 'd r m r mH r G r r r G r r rΩ ∂Ω
= − ∇ − ρ − ∇ − σ∫ ∫∫
Formulation de Green :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ' ' ' 'm mr r G r r r G r rΩ ∂Ω
ϕ = ρ − + σ −∫ ∫∫
1( ')4 '
G r rr r
− =π −
Maxwell : en absence de courant
dH = −∇ϕ
( ) 0,r rϕ → →∞
J. D. Jackson : Classical electrodynamics, New York (1962)i
σm = M·n
= -div M
M
Champ démagnétisant
0
d
d
div H div M
rot H
= −⎧⎪⎨
=⎪⎩
en 3D en 2D1( ') ln '2
G r r r r− = − −π
Champ démagnétisant
Ω
22
Méthodes de calcul rapide du champ magnétostatique
( ) ( )1
1..N
i j i jjj i
r G r r i N=≠
= − =∑φ ρ
Un ensemble de N sources placées en rj crée un potentiel φ en ri
• FMM : Fast Multipole Methods (GreenGard)
• nFFT : FFT hors réseau (GreenGard - Thèse Kritsikis)
Pour calculer rapidement, séparer ri et rj ⇒• développement en multipôles (FMM)ou• développement en fourier après lissage à l’origine (nFFT).
L. Greengard, J. Y. Lee, SIAM REVIEW, 46 (3), 443-454, (2004) Kritsikis E. Applied Physics Letters 93, (2008).
23
5. APPLICATIONS PHYSIQUES :
• Dynamique de l’aimantation dans une plaquette de Py(µMAG Standard Problem #4)
• Chiralité de l’aimantation à la rémanence dans des plots de Co
• Nano-Ocillateurs à courant polarisé en spin
24
500 125 3x y zL L L nm nm nm× × = × ×
Paramètres matériaux :
- Aimantation à saturation :
- Constante d’échange :
- Pas d’anisotropie magnétocrystalline
T0053.10 =sMµ
J/m103.1 11−×=exA
20
2 5.7exex
s
A nmµ M
= =
Dynamique de l’aimantation dans une plaquette de PyµMAG Standard Problem #4
Longueur caractéristique
http://www.ctcms.nist.gov/~rdm/std4/spec4.html
25
1nm 2 nm 3 nm
Maillage gmsh*
33000 nœuds170 000 tétraèdres (P1)
* C. Geuzaine and J.-F. Remacle. Int. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 79, Issue 11, pages 1309-1331, 2009
26
Etat d’équilibre – Etat S
Protocole :
1. Application d’un champ de 1T pour saturer l’aimantation selon [1 1 1]
2. Calcul des configurations d’équilibre par intégration de LLG en réduisant
l’amplitude du champ jusqu’à 0 (rémanence)
27
Dynamique de l’aimantation sous champ à partir de l’état S
µ0H = 36mT (190° /à Ox)
α = 0.01 γ0 = 2.21 105 m/(As)0t tm H m m m∂ = γ × + α ×∂
y
x
HyD Hy
D
m // OxHy⊥<0 mxHy
⊥
mz<<mx
mxHy⊥
mz<<mxmy
28
86000 tetraèdres
Comparaison ordre 1 et ordre 2
29
C
D
E
86000 tetra
Ordre 1 Ordre 2
C
D
E
Configurations dynamiquesordre 1 et ordre 2
it=4500
it=8500
it=14400
it=900
it=1100
it=1500
30
Chiralité de l’aimantation à la rémanence dans des plots de Co(A. Masseboeuf, N. Rougemaille, O. Fruchart)
MFM, field of view 6 microns
AFM, FoV 6μm
Lorentz, FoV 1.3μm
32
Chiralité de l’aimantation à la rémanence dans des plots de Co
250 nm
t = 50 nmApplication d’un champ magnétique selon une direction fixée (θ=25°, ϕ donné)depuis la saturation jusqu’à la rémanence.
33
Chiralité de l’aimantation à la rémanence dans des plots de Co
34
Chiralité gauche Chiralité droite
• Formulation faible FEM correcte• Description précise de la géométrie du plot avec ses sur-facettes
35
Chiralité gauche Chiralité droite
38
Comparaison des chiralités entre simulation et expérience
désaccords
Chiralité gauche Chiralité droite
Exp.
39Houssamedine et al Nat. Mater. 2007 Firastrau et al. PRB 2008
Nano-oscillators with perpendicular polarizerColl. A. Vaysset, L. Prejbeanu, D. Gusakova
Experiment Simulation
Low current density Japp = 1.×1011 A/m2
High current density Japp = 3.×1011 A/m2ST Ja= ×H M p
SlonczewskiJMMM. 159, L1 (1996)
40
Japp = 0.75 1011 A/m2
41
• Schémas numériques d’ordre 1 et d’ordre 2 en temps – Linéaire pour l’ordre 1 – faiblement non-linéaire pour l’ordre 2 ⇒ 4 à 10 fois plus rapide.
• Stabilité démontrée pour l’échange uniquement. Généralisation?
• Introduction de nouveaux termes physiques comme le coupleexercé par un courant polarisé en spin.
• Inconvénients : seulement en P1 en espaceP2 en espace : plus de décroissance de l’énergie après renormalisation de l’aimantation aux nœuds
• Physique : – ouverture vers le traitement de grandes variétés de systèmes– Couplage avec les équations de transport en spin.
Perspectives
42
• Pour tel que , on a1w H∈
22w w
w ΩΩ
∇ ≤ ∇⌠⎮⎮⌡
∫
Bartels dit oui si :
• et si• en 2D, le maillage est de Delaunay• en 3D, tous les angles diédraux sont inférieurs à π/2
Décroissance de l’énergie d’échange après renormalisation
1w ≥
• Est-ce encore vrai en discret?
Pour , a-t-on ? avec 1i i ii
w w w= φ ≥∑2
2w ww Ω
Ω
∇ ≤ ∇⌠⎮⎮⌡
∫
1i Pφ ∈