MODELOVANJE TERMOELASTIČNIH POJAVA PRI INTERAKCIJI LASERSKIH SNOPOVA SA BIOMATERIJALIMA I PROTETSKIM MATERIJALIMA

Radovan Gospavić 1, Milena Davidović 1, Vladimir Arsoski 2, Kata Kovačević3, Dragana Nikolić 4,

1. Gradjevinski fakultet, Beograd, Bulevar kralja Aleksandra 73 2. Elektrotehnički fakultet, Beograd, Bulevar kralja Aleksandra 73

3. Institut za crnu metalurgiju, Nikšić 4. Faculty of Electrical Engineering, University of Portsmouth, UK

Abstrakt - U radu je razmatrana problematika interakcije laserskih snopova u izabranom dinamičkom režimu rada. Analizirani su savremeni pristupi za generalizovana rešenja, termalni model i modeli koji dovode do ocene normiranih napona u materijalu izloženom impulsnim laserskim tretmanima. 1. UVOD Interakcija lasera sa biomaterijalima predstavlja polje istraživanja, gde se sa jedne strane modeluje direktno delovanje na biološko tkivo in vivo. Pri tome su vrlo različiti prilazi, koji obuhvataju interakcije prema režimu rada lasera i kod kojih se specijalno u impulsnom režimu rada sa femtosekundnim sistemima moraju koristiti specijalno razrađeni pristupi [1-10]. To su aparati, gde se modelima nelinearne optike modeluje interakcija sa materijalima ekvivalentnim tkivima oka ili se razmatraju plazma fenomeni, koji su prisutni pri interakciji sa njima. Sa druge strane, postoji mnogo različitih zadataka u kojima se primenjuje ili je od potencijalnog interesa primena lasera u obradi protetskog materijala, polazeći od onog vezanog za oftalmologiju, stomatologiju (stomatoprotetiku) sa materijalima sličnim po sastavu koštanom tkivu [4]. Pri ovom prilazu bi trebalo da se izvrši paralela modelovanja, koje se i u drugim oblastima primenjuje pri interakciji sa laserima u različitim režimima rada. Pri tome su mogući prilazi sa termalnim modelima modelima sličnosti i gasne kinetike (hidrodinamičkim) [5]. Za odredjene režime rada mogu se primeniti paralelno i po dva i više modela. U slučaju dinamičkih režima, koji obuhvataju piccosekundne oblasti, dolazi u obzir samo razmatranje neravnotežnih procesa kinetičkim teorijama. Za slučaj femptosekundnih oblasti, morale su da se razviju posebne teorije [3]. U ovom radu su razmotrene problematike, koje predstavljaju analizu savremenih pristupa za interakciju laserskih snopova sa materijalom razradu FEM ( finite element method), BEM (boundary element method), DRM (dual reprociticity method) i DRM-MD (dual recipricity method multi domain ). Poseban akcenat je na termalnom modelu i osvrtu na posledice dobijenih rezultata. Za modelovanje interakcije potrebno je predvideti mogućnost modela. Kako generalan model postoji, svaka posebno moguća situacija, koja uvodi plazmu, oksidaciju, promenu transformacije materijala (u opštem smislu, potrebno je odabrati posebne modele, koji upravo uključuju samo objašnjenje ciljnog procesa) [6]. Za različite dinamičke režime rada lasera, potrebno je razviti aparat koji kod termalnog modela donekle može da se reši analitički, a za mnogo slučajeva mora da se predje direktno na numeričke integracije.

2. RAZVOJ I PRIMENA TERMALNOG MODELA U razmatranjima se u ovom radu ograničavamo na jednodimenzionalan slučaj. U tom slučaju ostaje značajan samo pravac propagacije snopa i njegovo nailaženje na prepreke definisane drugim termalnim i optičkim konstantama. Razmatra se slučaj u kome se parametri materijala mogu smatrati relativno konstantnim. Ako su dimenzije uzorka mnogo veće od dimenzija upadnog snopa i ako usvojimo aproksimaciju da upadni laserski snop ima uniformno raspodeljen intenzitet po celoj površini uzorka dobijamo jednodimenzioni slučaj temperaturske raspodele. Jednačine provodjenja toplote sa korespodentnim graničnim uslovom u aproksimiranom jednodimenzionom slučaju glase [5]:

IA

xT

xT

tT

a

x

⋅=∂∂

−

∂∂

=∂∂

=0

1

λ (1)

gde je T-temperatura ( priraštaj temperature u odnosu na početnu ambijentnu), a - koeficijent termalne difuzije (a=λ/ρc), x - koordinata , t-vreme i λ - koeficijent termalne provodnosti, A -koeficijent apsorpcije, I - intenzitet upadnog zračenja. U slučaju polubeskonačnog uzorka i konstantnog intenziteta upadnog snopa temperaturska raspodela unutar uzorka je data sledećom analitičkom relacijom [5]:

(2)

U slučaju uzorka konačne debljine, postoji drugi analitički izraz. Za slučaj različitih profila upadnog snopa u prostoru i vremenu u opštem slučaju ne postoji analitički izraz, ali za neke slučajeve oni ipak postoje. Vremenska i prostorna raspodela temperaturskog polja je podatak, koji predstavlja polaznu osnovu za mnoge druge posledice interakcije sa materijalom (indukovanje napona, konstatovanje mogućnosti faznih prelaza i kvantitativni opis materijala u smislu ovih efekata ). To onda može da ad podatke o željenim oblicima raspodele snopa i dinamičkog režima kada “materijal bioprotetički ili

( )

( ) ( )∫∞+

⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅

=

x

dyyerfcxierfc

taxierfctaAItzT

22, 0

λ

Zbornik radova XLVIII Konf za ETRAN, Čačak, 6-10 juna 2004, tom III Proc. XLVIII ETRAN Conference, Čačak, June 6-10, 2004, Vol. III

289

ekvivalentan tkivu” samo do odredjenih graničnih uslova oseća snop ili pretrpi željenu promenu. Na sl. 1 su prikazane i vremenske zavisnosti temperaturskog polja unutar materijala za različite slučajeve upadnog snopa.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

t=0.2 s t=0.15s t=0.1 s

∆T[K]

x[mm]

Slika 1 Prostorna raspodela temperaturskog priraštaja unutar uzorka zlata u slučaju jednodimenzione aproksimacije u tri različita vremenska trenutka, za intenzitet upadnog snopa Io=5·108

W/m2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70 x=0 mm x=1 mm x=1.5 mm∆T[K]

t [µs]

Slika 2

Vremenska zavisnost temperaturskog priraštaja unutar uzorka zlata u slučaju jednodimenzione aproksimacije za tri različite vrednosti prostorne koordinate, za intenzitet upadnog snopa

Io=5·108 W/m2 Sa izvedenim izrazima moguće je izvršiti analize za različite profile upadnog snopa (prostorno vremenski domen).

3. RAZMATRANJE NAPONA U MATERIJALU IZLOŽENOM LASERSKOM SNOPU Razmatranje promene temeprature se razmatra sa jedne strane zbog predvidjanja željenih promena u materijalu. Posebno je važna oblast razmatranja indukovanih napona za vreme delovanja snopa, razmatranje zaostalih napona posle neke laserske obrade. To su oblasti u kojima se nalaze zajedno problematike i aparati, mehaničkih i termalnih razmatranja, elastičnosti materijala i konstrukcija (avio industrija, mašinska, gradjevina). To je oblast koja se eksperimentalno rešava na modelima od specijalnih materijala, a za merenja se koriste druge metode sa slabijim snopovima (holografija, fotoelastičnost). Izlaganje snopovima lasera, u velikom broju slučajeva predstavlja velike temperaturne gradijente, koji dovode do pojave termoelastičnih pojava. Za njihovo tačno odredjivanje potrebna je nestacionarna trodimenzionalna analiza. Za brzu ocenu mogu da posluže i neki jednostavniji modeli pomoću kojih se traže modelovanja maksimalnih napona u materijalu [7-9]. Posmatra se termoelastična deformacija u polubeskonačnom prostoru. Ovde je izvršena bezdimenzionalna analiza. Uvedene su promenljive

ax

=ξ bezdimenziona prostorna koordinata,

qakT

=Φ bezdimenziona temperatura,

2atκτ = bezdimenziono vreme,

( )( ) µαν

σνσ

qak x

x +−

=12

21 bezdimenzioni napon,

gde je κ koeficijent termalne difuzije, q toplotni fluks, α koeficijent termalnog širenja, µ modul torzije, ν Poasonov

koeficijent, c

a κ= ,

( )( )( )ρν

µν21

12−−

=c brzina talasa, ρ

gustina [8,9]. Dobija se sledeći sistem spregnutih jednačina:

δτδ

δξδ Φ

=Φ2

2

(3)

2

2

2

2

2

2

δτδ

δτσδ

δξσδ Φ

+= xx (4)

Rešavanjem uz granične uslove dobijaju se izlazi temperatura i longitudinalni napon dok se transverzalni napon dobija iz relacije x290

( )Φ−−== ννσσσ 21xzy . (5) Rezultati su dati na sl. 3-9. Sa slike 4 vidi se da longitudinalni napon ima maksimalnu vrednost u tački τξ =0 , gde i transverzalni napon ima lokalni ekstremum. Transverzalni napon dostiže maksimalnu vrednost na površini gde je i temperatura maksimalna. Sa slike 9 se vidi da je po uključivanju lasera napon u materijalu maksimalan za 0= ξξ , dok kasnije postaje dominantan napon na površini uzorka.

2 4 6 8 10 12

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Slika3. Zavisnost bezdimenzione temperature od bezdimenzione prostorne koordinate za tri vrednosti bezdimenzionog vremena ( )ξΦ , 50= ,τ , 5=τ , 10=τ

2 4 6 8 10 12

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

Slika4. Zavisnost bezdimenzionog longitudinalnog napona od bezdimenzione prostorne koordinate za tri vrednosti bezdimenzionog vremena

( )ξσ x , 50= ,τ , 5=τ , 10=τ

2 4 6 8 10 12

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

Slika 5. Zavisnost bezdimenzionog transverzalnog napona od bezdimenzione prostorne koordinate za tri vrednosti bezdimenzionog vremena

( )ξσ y , 50= ,τ , 5=τ , 10=τ

5 10 15 20

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

Slika 6. Zavisnost maksimalne vrednosti bezdimenzionog longitudinalnog napona od bezdimenzionog vremena

( )τξσ ,0x

5 10 15 20

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

Slika 7. Zavisnost bezdimenzionog transverzalnog napona u

0= ξξ od bezdimenzionog vremena

( )τξσ ,0y

291

5 10 15 20

-2

-1.5

-1

-0.5

Slika 8. Zavisnost površinskog napona od bezdimenzionog vremena

( )τξσ ,0=y

10 20 30 40

0.5

1

1.5

2

2.5

Slika 9. Zavisnost odnosa maksimalne vrednosti longitudinalnog napona i površinskog napona od bezdimenzionog vremena

( )( )τξσ

τξσ0,=y

x ,0

4. ZAKLJUČAK Razmotren je slučaj termalnog modela u jednodimenzionalnoj aproksimaciji pri čemu su parametri koji opisuju karakteristike materijala konstantni. Za slučaj linearnih aproksimacija temperaturnih zavisnosti parametara važile bi iste jednačine uz korekciju. Odstupanje od Gauss-ovog profila bi zahtevalo samo numeričke metode izražavanja temperaturnog polja. Problematika modelovanja je sa jedne strane identična onima u avio, automobilskoj, vojnoj i mašinskoj industriji. Od bioprotetskog materijala se zahtevaju velika otpornost na opterećenja razne vrste i stabilnosti u upotrebi. Karakteristike materijala su često paralelne onima u zahtevnim industrijama. Modelovanje biomaterijala mora da ima dodatne članove koje bi obuhavatali protok krvi i drugačije raspodele gubitaka

LITERATURA [1] D. Nikolić, M. Džinić, ''Modelling of Laser Interaction and Diagnostics in Ophthalmology'', Proceedings of the International Conference on Lasers, 1999, pp. 181-187 [2a] R. Gospavić, V. Šijački Žeravčić, A. Šijački, G. Bakić, A. Kovačević, ''Modeli interakcije laserskog zračenja sa materijalima od interesa u medicini'', Zbornik radova XLVII ETRAN 2003, sveska 3, str. 338-341 [2b] N. Slavković, R. Gospavić, M. Dinulović, Ž. Božović, Lj. Stokić, M. Trtica, Ž. Tomić, Z. Ristić, A. Bugarinović, V. Arsoski, ''Modelovanje interakcije lasera sa materijalima od interesa u bioprotetici i stomatologiji'', Zbornik radova XLVII ETRAN 2003, sveska 3, str. 338-341 [3] M. Srećković, S. Bugarinović, M. Dinulović, V. Popov, S. Bojanić, S. Babić, R. Gospavić, D. Nikolic, M. Davidović, ''Laser Material Interaction and Modelling of Interest in Medicine, Biology and Aerospace'', Proceedings of the International Conference on Lasers, 2001, pp. 201-208 [4] M. Srećković, P. Osmokrović, J. Ilić, S.Ostojić, R. Gospavić, S.Pešić, ''Mehanizmi interakcije lasera sa materijalima,'' Elektrotehnika, vol. 51, 2002, str. 9-16, Tehnika LVII, 2002 [5] R. Gospavić, Magistarski rad, ETF, 2002. [6] N. N. Rykalin, A. A. Uglov, I. V. Zuev, A. N. Kokora, Lazernaya i elektronno-luchevaya obrobotka materialov, Machinostroenie, Moskow 1985. [7] L. I. Mirkin, Physiceskie osnovi obrabotki materialov luchami lazera, izd. Mosk. Univ., Moskow 1975. [8] H. Carslaw, J. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, Clarendon Press, Oxford, 1959 p.75 [9] L. Hector, R. Hetnarski ''Thermal Stresses Due to a Laser Pulse'' J.Appl.Mech, vol. 63, 1996 [10] X.Wang, J.Takacs, G.Krallics, A.Szilagyi, T.Markovits, ''Experimental research on laser-material interaction'', Periodica polytechnica, vol. 28, No. 1-2, pp. 143-152, 2003 Laser beam interaction in the chosen dynamical regime is analyzed in this paper. Modern approaches for generalized solutions, thermal model and models which lead to normalized stresses evaluation in material after pulse laser treatments are considered. THERMOELASTIC EFFECTS MODELLING BY LASER

BEAM INTERACTION WITH BIOMATERIALS AND PROSTHETICS MATERIALS

Gospavić Radovan, Davidović Milena, Arsoski Vladimir, Kata

Kovačević, Dragana Nikolić

292