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MODELOS PAUPARA 1.º BACHILLERATO
CCRRIITTEERRIIOOSS GGEENNEERRAALLEESS DDEE CCOORRRREECCCCIIÓÓNN
La calificación de cada ejercicio debe hacerse en múltiplos de 0,25 puntos y para ello se tendrá en cuenta:
• El análisis y el planteamiento del ejercicio.
• La resolución del proceso planteado y la expresión simplificada de la solución.
Si los errores de cálculo operativo son aislados, se penalizarán con un 10 % de la nota máxima del ejercicio; si son sistemáticos, puedenreducirla hasta un 50 %; y si denotan errores conceptuales, pueden penalizarse con un 100 %.
También se penalizará con un 10 % de la nota máxima del ejercicio la utilización incorrecta de los símbolos o del vocabulario, la ausencia de las unidades correspondientes en los resultados y la redacción incorrecta.
Si un ejercicio tiene varios apartados, y la resolución de alguno requiereconocer resultados de los anteriores, se concederá la puntuacióncorrespondiente, cuando se resuelva correctamente, aunque se haya utilizadola información errónea, siempre que la respuesta tenga sentido en el contextodel ejercicio propuesto.
En los ejercicios en los que sea necesario hacer una lectura inversa en la tabla de la distribución normal, se considerarán correctas tanto la interpolación como la aproximación por el valor más cercano de los valores que aparecen.
Y en el caso de que un alumno realice ejercicios de las dos opciones, solo se evaluarán los ejercicios de la primera opción indicada en la hoja del examen.
� MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS AAPPLLIICCAADDAASS AA LLAASS CCIIEENNCCIIAASS SSOOCCIIAALLEESS II ((11..°° BBAACCHHIILLLLEERRAATTOO)) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. � 173
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Números reales1
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Resolver de forma exacta las siguientes operaciones.
a) 1,2 − 0,23�
b) 0,72�
: 0,916�
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
La capacidad de memoria de un ordenador se mide en megabytes (Mb). Un megabyte tiene 106 bytes de información, de forma que cada byte contiene un símbolo (dígito, letra, etc.).
Si, por término medio, una palabra está compuesta por 4 símbolos, estimar cuántas palabras puede archivar un ordenador con una memoria de 500 Mb.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
a) Representar gráficamente:
b) Hallar el resultado de:
c) Racionalizar y simplificar:
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcular las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a) log (x − 1) = 1 − log (x + 2)
b) 3x+1 = 240
c) 25x − 5x = 600
5
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4 80 5 245 6 605 320− + −
26
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1.º B
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LER
ATO
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Un centro de estudios cuenta con 600 alumnos a los que se les realiza una encuesta sobre sus hábitos de lectura, obteniendo un resultado representativo.
Si el 40,909090…% afirmó leer al menos un libro al mes y el 14,58333…% declaró leer más de dos libros en el mismo período, ¿cuántos estudiantes contestaron a la encuesta?
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se consideran los números A = 543.210.000.000 y B = 0,000000678.
Expresar en notación científica los resultados de las siguientes operaciones.
a) A · B
b)
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
a) Representar gráficamente:
b) Hallar el resultado de:
c) Racionalizar y simplificar:
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcular las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a) log (x − 1) = log + log
b) 2x−3 = 45
c) 2x−1 + 2 x−2 + 2x−3 = 896
5 −( )x5 +( )x
4
2 3+
2 162 3 32 5 1 2504 4 4+ − .
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A
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OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
NÚMEROS REALES1Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Resolver de forma exacta las siguientes operaciones.
a) 1,2 − 0,23�
b) 0,72�
: 0,916�
Apartado a): 1 punto
1,2 − 0,23�
=
Apartado b): 1 punto
0,72�
: 0,916�
=
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
La capacidad de memoria de un ordenador se mide en megabytes (Mb). Un megabyte tiene 106 bytes de información, de forma que cada byte contiene un símbolo (dígito, letra, etc.).
Si, por término medio, una palabra está compuesta por 4 símbolos, estimar cuántas palabras puede archivar un ordenador con una memoria de 500 Mb.
Planteamiento correcto: 1 punto
Resolución correcta: 1 punto
1 Mb = 10 6 b → 500 Mb = 5 ⋅ 10 8 b
Si cada palabra contiene 4 símbolos: 5 ⋅ 10 8 : 4 = 1,25 ⋅ 10 8
Por tanto, un ordenador con una memoria de 500 Mb puede archivar 125 millones de palabras.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
a) Representar gráficamente:
b) Hallar el resultado de:
c) Racionalizar y simplificar:
Apartado a): 1 punto
Aplicando el teorema de Pitágoras: 26 5 12 2= +
5
53
4 80 5 245 6 605 320− + −
26
7299
825900
811
1112
96121
: := =
1210
2190
8790
2930
− = =
0 1 2 3 4 5
26
26 5 122
= +
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ATO
Apartado b): 1 punto
Apartado c): 1 punto
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcular las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a) log (x − 1) = 1 − log (x + 2)
b) 3x+1 = 240
c) 25x − 5x = 600
Apartado a): 1 punto
log (x − 1) = 1 − log (x + 2) → log (x − 1) = log 10 − log (x + 2) → log (x − 1) = log
x − 1 = → x2 + x − 2 = 10 → x2 + x − 12 = 0 →
La solución x = −4 no es válida, de modo que la única solución es x = 3.
Apartado b): 1 punto
3 x+1 = 240 → log 3 x+1 = log 240 → ( x + 1) log 3 = log 240 → x + 1 = → x = 3,99
Apartado c): 1 punto
25 x − 5 x = 600
Si t = 5 x → t2 − t − 600 = 0 →
Como 5 x ≠ −24, para cualquier valor de x → 5 x = 25 → x = 2
tt
== −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
524
loglog
2403
xx
== −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
34
102x +
102x +
5
5
5 55
5 55
5 55
53
23 3 46 66= ⋅ = ⋅ = =
4 80 5 245 6 605 320 16 5 35 5 66 5 8 5 39 5− + − = − + − =
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OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
NÚMEROS REALES1Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Un centro de estudios cuenta con 600 alumnos a los que se les realiza una encuesta sobre sus hábitos de lectura, obteniendo un resultado representativo.
Si el 40,909090…% afirmó leer al menos un libro al mes y el 14,58333…% declaró leer más de dos libros en el mismo período, ¿cuántos estudiantes contestaron a la encuesta?
Planteamiento correcto: 1 punto
Resolución correcta: 1 punto
40,909090… = 14,58333… =
Al ser el número de alumnos un valor entero, este número debe ser divisible por 11 y por 12. Como m.c.m. (11, 12) = 132, el número buscado es múltiplo de 132.
Así, la encuesta fue contestada por 528 estudiantes.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se consideran los números A = 543.210.000.000 y B = 0,000000678.
Expresar en notación científica los resultados de las siguientes operaciones.
a) A · B b)
Apartado a): 1,5 puntos
A ⋅ B = 5,4321 ⋅ 1010 ⋅ 6,78 ⋅ 10 −8 = 3.682,9638 = 3,6829638 ⋅ 10 3
Apartado b): 0,5 puntos
= 8,01 ⋅ 1017
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
a) Representar gráficamente:
b) Hallar el resultado de:
c) Racionalizar y simplificar:
Apartado a): 1 punto
Aplicando el teorema de Pitágoras: 29 5 22 2= +
4
2 3+
2 162 3 32 5 1 2504 4 4+ − .
29
AB
= ⋅⋅ −
5 4321 106 78 10
10
8
,,
A
B
13 125900
17512
. =4 05099
45011
. =
0 1 2 3 4 5
295
222
=+
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Apartado b): 1 punto
Apartado c): 1 punto
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcular las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a) log (x − 1) = log + log
b) 2x−3 = 45
c) 2x−1 + 2 x−2 + 2x−3 = 896
Apartado a): 1 punto
log ( x − 1) = log + log → log ( x − 1) = log
x − 1 = → x2− 2x + 1 = 25 − x2 → 2x2 − 2x − 24 = 0 →
La solución x = −3 no es válida, de modo que la única solución es x = 4.
Apartado b): 1 punto
2 x−3 = 45 → log 2 x−3 = log 45 → (x − 3) log 2 = log 45 → x − 3 = → x = 8,49
Apartado c): 1 punto
2 x−1 + 2 x−2 + 2 x−3 = 896
Si t = 2 x → t ⋅ + t ⋅ + t ⋅ = 896 → 4t + 2t + t = 7.168 → 7t = 7.168 → t = 1.024
2 x = 1.024 → 2 x = 210 → x = 10
18
14
12
loglog
452
xx
== −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
43
25 2− x
25 2−( )x5 −( )x5 +( )x
5 −( )x5 +( )x
4
2 3
4 2 3
2 3 2 3
4 2 4 32 3
4 2 4 3+
=−( )
+( ) −( )= −
−= − +
2 162 3 32 5 1 250 6 2 6 2 25 2 13 24 4 4 4 4 4 4+ − = + − = −.
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Aritmética mercantil2
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Inés ha ganado un premio de 3.600 euros en un certamen musical, pero como solo tiene 7 años sus padres han decidido ingresarlo en un banco hasta que sea mayor de edad. Si la capitalización es mensual al 5 % anual, ¿cuánto dinero recibirá Inés al cumplir 18 años?
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
¿Qué anualidad hay que abonar al principio de cada año durante 12 años para obtener un capital de 36.000 euros al 7 % anual?
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
En un concesionario de automóviles usados nos venden un coche por 3.000 euros. Una entidad financiera nos ofrece un préstamo al 8 % durante 2 años.
a) Hallar la Tasa Anual Equivalente si se realizan pagos mensuales.
b) Elaborar la tabla de amortización del préstamo si los pagos son trimestrales.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Una empresa ha decidido renovar su mobiliario y ha encargado el trabajo a un estudio de decoración. Al aprobar el proyecto la empresa ha pagado 2.700 euros al estudio, y se ha comprometido a abonar el valor de los muebles con 7.000 euros al final de cada mes durante 2 años. Si se ha aplicado un 7 % de interés anual, ¿cuál es el importe total de la renovación?
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Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
En un contrato de trabajo se ha fijado una subida anual del 5,6 %. Si un trabajador empieza ganando 680 euros al mes, ¿cuántos años tiene que esperar para llegar a recibir una nómina mensual de 1.200 euros?
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Una persona paga un coche en 60 mensualidades de 200 euros. Si la entidad de crédito ha impuesto un interés del 12 %, ¿cuál era el precio del coche al pagarlo al contado?
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Tomás ingresa al principio de cada mes una cantidad fija de 60 euros en un banco que le ofrece una capitalización mensual al 5 %.
a) ¿Qué capital habrá acumulado después de 6 meses?
b) ¿Y al final de un año?
c) ¿Qué beneficio obtendrá después de 4 años?
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Cristina tiene 62 años y ha ganado un premio de 18.000 euros en un concurso. En su entidad bancaria le han ofrecido una TAE del 4,5 % anual con liquidaciones trimestrales para cualquiera de sus productos.
a) Si contrata un depósito durante 8 años, ¿qué cantidad recibirá transcurrido ese tiempo?
b) Si al recibir el capital acumulado decide contratar una hipoteca inversa, ¿cuál será la cantidad anual que el banco tendrá que abonarle durante el resto de su vida?
Nota: la esperanza de vida para una mujer de 70 años en España es de 16,81 años. (Fuente: INE, 2005).
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OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
ARITMÉTICA MERCANTIL2Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Inés ha ganado un premio de 3.600 euros en un certamen musical, pero como solo tiene 7 años sus padres han decidido ingresarlo en un banco hasta que sea mayor de edad. Si la capitalización es mensual al 5% anual, ¿cuánto dinero recibirá Inés al cumplir 18 años?
Planteamiento correcto: 1 puntos
Cálculo correcto: 1 punto
Inés recibirá 3.768,48 euros.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
¿Qué anualidad hay que abonar al principio de cada año durante 12 años para obtener un capital de 36.000 euros al 7 % anual?
Planteamiento correcto: 1 puntos
Cálculo correcto: 1 punto
Se resuelve la ecuación:
El ingreso debe ser de 1.880,88 euros anuales.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
En un concesionario de automóviles usados nos venden un coche por 3.000 euros. Una entidad financiera nos ofrece un préstamo al 8% durante 2 años.
a) Hallar la Tasa Anual Equivalente si se realizan pagos mensuales.
b) Elaborar la tabla de amortización del préstamo si los pagos son trimestrales.
Apartado a): 1 punto
TAE = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⋅ =10 0812
1 100 812,
,33 %
36 000 19 14 1 880 880 0. , . ,= ⋅ =C C→ euros
C C iii
Cf
t
= + + − = + +0 01
1 136 000 1 0 07
1 0 0( )
( ). ( , )
( ,→ 77 10 07
12),
−
Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ =3 600 1
51 200
3 768 4811
..
. , euros
C Cr
f
t
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟0 1
100
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Apartado b): 2 puntos
La cuota trimestral es de 409,53 euros.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Una empresa ha decidido renovar su mobiliario y ha encargado el trabajo a un estudio de decoración. Al aprobar el proyecto la empresa ha pagado 2.700 euros al estudio, y se ha comprometido a abonar el valor de los muebles con 7.000 euros al final de cada mes durante 2 años. Si se ha aplicado un 7 % de interés anual, ¿cuál es el importe total de la renovación?
Planteamiento correcto: 1,5 puntos
Cálculo correcto: 1,5 puntos
La empresa debe abonar el precio del proyecto y el importe de los muebles.
Así, el importe total es: 2.700 + 178.724,66 = 181.424,66 euros
C Ci
i if
t
t= + −
+= ⋅
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟
01 1
17 000
10 0712( )
( ).
,⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
=
24
24
1
0 0712
10 0712
178 724 6, ,
. , 66 euros
C Ci
i iCf
t
t= + −
+=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠0 0
1 11
3 000
10 08
4( )( )
.
,
→
⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
=
8
80
1
0 084
10 08
4
409 53, ,
,→ C euroos
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LER
ATO
TrimestreIntereses del período
(euros)Capital amortizado
(euros)Cuota trimestral
(euros)Capital pendiente
(euros)
0 3.000,00
1 60,00 349,53 409,53 2.650,47
2 53,01 356,52 409,53 2.293,95
3 45,88 363,65 409,53 1.930,30
4 38,61 370,92 409,53 1.559,38
5 31,19 378,34 409,53 1.181,04
6 23,62 385,91 409,53 795,13
7 15,90 393,63 409,53 401,50
8 8,03 401,50 409,53 0
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184 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
ARITMÉTICA MERCANTIL2Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
En un contrato de trabajo se ha fijado una subida anual del 5,6 %. Si un trabajador empiezaganando 680 euros al mes, ¿cuántos años tiene que esperar para llegar a recibir una nóminamensual de 1.200 euros?
Planteamiento correcto: 1 puntos
Cálculo correcto: 1 punto
Se resuelve la ecuación exponencial:
El trabajador tiene que esperar 11 años para ganar 1.200 euros mensuales.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Una persona paga un coche en 60 mensualidades de 200 euros. Si la entidad de crédito ha impuesto un interés del 12 %, ¿cuál era el precio del coche al pagarlo al contado?
Planteamiento correcto: 1 puntos
Cálculo correcto: 1 punto
El coche costaba 8.991,01 euros.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Tomás ingresa al principio de cada mes una cantidad fija de 60 euros en un banco que le ofrece una capitalización mensual al 5 %.
a) ¿Qué capital habrá acumulado después de 6 meses?b) ¿Y al final de un año?c) ¿Qué beneficio obtendrá después de 4 años?
Cf = ⋅+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ −
+
200
10 1212
1
0 1212
10 1212
60,
, ,⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
=60
8 991 01. , euros
C Ci
i if
t
t= + −
+0
1 11
( )( )
ln lnlnln
años1 76 1 0561 761 056
10 42, ,,,
,= = =t t⋅ →
1 76 1 056 1 76 1 056, , , ,= =t t→ ln ln
C Cr
f
t
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜
0 1100
1 200 680 15 6100
→ .,
⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟
t
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185� MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
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ATO
Apartado a): 1 punto
Apartado b): 1 punto
Apartado c): 1 punto
El beneficio será: 3.194,15 − 60 = 3.134,15 euros.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Cristina tiene 62 años y ha ganado un premio de 18.000 euros en un concurso. En su entidad bancaria le han ofrecido una TAE del 4,5 % anual con liquidaciones trimestrales para cualquiera de sus productos.
a) Si contrata un depósito durante 8 años, ¿qué cantidad recibirá transcurrido ese tiempo?b) Si al recibir el capital acumulado decide contratar una hipoteca inversa,
¿cuál será la cantidad anual que el banco tendrá que abonarle durante el resto de su vida?
Nota: la esperanza de vida para una mujer de 70 años en España es de 16,81 años. (Fuente: INE, 2005).
Cálculo correcto del interés: 1 punto
Apartado a): 1 punto
Apartado b): 1 punto
C C
ip
ip
ip
f
p t
=
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
⋅
0
1 1
1 ⎟⎟
= ⋅+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
⋅
⋅
p tC→ 25 545 21
10 044
40
4 16 8
. ,
, , 11
4 16 810
1
0 0444
10 044
4
539
−
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
=⋅, ,
,,
→ C 557 euros anuales
C Ci
f
t
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ = +( ) =0
432
14
18 000 1 0 011 25. , .5545 21, euros
ii
40 011 0 044= =, ,→
14
1 100 4 5 14
4
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⋅ = +⎛
⎝⎜i i
, → ⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟ − = +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ = +
4 4
1 0 045 14
1 045 1, ,→ →i i44
1 011= ,
C C iii
f
t
= + + − = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
+
0 11 1
60 10 0512
10
( )( ) ,
,,
,. ,
0512 1
0 0512
3 194 15
48⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ −
= euros
C C iii
f
t
= + + − = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
+
0 11 1
60 10 0512
10
( )( ) ,
,,
,,
0512 1
0 0512
739 80
12⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ −
= euros
C C iii
f
t
= + + − = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
+
0 11 1
60 10 0512
10
( )( ) ,
,,
,,
0512 1
0 0512
365 29
6⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ −
= euros
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Polinomios y fracciones algebraicas3
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se considera un envase cilíndrico de radio x. Hallar los monomios correspondientes al área y al volumen del cilindro, sabiendo que la altura mide el doble que el radio.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Determinar el desarrollo del siguiente binomio.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Hallar los valores de a y b siendo P (x) = ax2 + bx + 16 un polinomio divisible por x − 2 y tal que al dividir por x + 2 y por x + 4 se obtiene el mismo resto.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
a) Simplificar las expresiones.
b) Resolver la operación: A + B.
Ax
x xB
x x x
x x=
−− +
=+ ++ −
2
2
3 2
3 2
16
5 4
2 8 8
3 4y
a
b−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟58
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MO
DE
LOS
PA
U
PA
RA
1.º B
AC
HIL
LER
ATO
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Encontrar los valores de m y n para que la división del polinomio P (x) = mx 4 + nx3 − x + 1por x2 − 1 sea exacta.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Efectuar la siguiente operación y simplificar el resultado.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios.
P (x) = 2x 3 − 3x 2 − 5x + 6 y Q(x) = x 4 − 13x 2 + 36
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Hallar los valores enteros para los que el valor numérico del cociente es también un número entero.
x
x
3 50
4
−−
1
1
1
1
+−
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
−+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
x
xx x
x
x
⎤⎤
⎦⎥⎥ +:
1
1 x
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OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS3Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se considera un envase cilíndrico de radio x. Hallar los monomios correspondientes al área y al volumen del cilindro, sabiendo que la altura mide el doble que el radio.
Planteamiento correcto: 1 punto
Cálculo correcto: 1 punto
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Determinar el desarrollo del siguiente binomio.
Planteamiento correcto: 1 punto
Cálculo correcto: 1 punto
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Hallar los valores de a y b siendo P (x) = ax2 + bx + 16 un polinomio divisible por x − 2 y tal que al dividir por x + 2 y por x + 4 se obtiene el mismo resto.
− +625 000390 625
..
ab
= − + − + −ab
ab
ab
ab
ab
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
40 700 7 000 43 750 1. . 775 000 437 5003
3
2
2
. .ab
ab
+ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛
⎝⎜⎜⎜
85
586
3
5ab
( ) ⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
ab
2
6587
( )aab
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − =( ) ( )5
88
57 8
ab
ab
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟5
80
8
⎟⎟ +⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛
⎝⎜
8 781
582
ab
( ) ⎜⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟a
b
6
2583
( ) ⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜a
bab
5
3584
( ) ⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +4
45( )
a
b−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟58
V x x x= ⋅ =π π2 32 2
A x x x x x x= + ⋅ = + =2 2 2 2 4 62 2 2 2π π π π π
2x 2x
x
x
F
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189� MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
MO
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LOS
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U
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1.º B
AC
HIL
LER
ATO
Planteamiento correcto: 2 puntos
Si P(x) es divisible por x − 2, entonces la división por este binomio es exacta, es decir, el resto es igual a cero: P(2) = 0 → 4a + 2b + 16 = 0
Como las divisiones por x + 2 y por x + 4 tienen el mismo resto: P(−2) = P(−4) → 4a − 2b + 1 = 16a − 4b + 1
Cálculo correcto: 1 punto
La expresión del polinomio es: P(x) = − x2 − 6x + 16
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
a) Simplificar las expresiones.
b) Resolver la operación: A + B.
Apartado a): 2 puntos
Apartado b): 1 punto
A Bx
x xx x xx x
xx
+ = −− +
+ + ++ −
= +−
+2
2
3 2
3 2
165 4
2 8 83 4
41
221
3 41
xx
xx−
= +−
Bx x xx x
x xx x
x= + ++ −
= +− +
=2 8 83 4
2 21 2
23 2
3 2
2
2
( )( )( ) xx −1
2 8 8 2 4 4 2 23 2 2 2x x x x x x x x+ + = + + = +( ) ( )
Ax
x xx xx x
xx
= −− +
= + −− −
= +−
2
2
165 4
4 41 4
41
( )( )( )( )
x x x2 16 4 4− = + −( )( )
Ax
x xB
x x x
x x=
−− +
=+ ++ −
2
2
3 2
3 2
16
5 4
2 8 8
3 4y
44 2 1612 2 0
16
a ba b
ab
+ = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −= −
1 −5 4
1 1 −4
1 −4 0 → x x x x2 5 4 1 4− + = − −( )( )
1 3 0 −4
1 1 4 4
1 4 4 0
−2 −2 −4
1 2 0 → x x x x3 2 23 4 1 2+ − = − +( )( )
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190 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS3Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Encontrar los valores de m y n para que la división del polinomio P (x) = mx 4 + nx3 − x + 1por x 2 − 1 sea exacta.
Planteamiento correcto: 1 punto
Si la división por x2 − 1 es exacta, entonces las divisiones por sus factores, es decir, por x + 1 y por x − 1, también son exactas.Por tanto, los restos correspondientes a estas divisiones son nulos:
P(−1) = 0 → m − n + 1 + 1 = 0P(1) = 0 → m + n − 1 + 1 = 0
Cálculo correcto: 1 punto
La expresión del polinomio es: P(x) = −x4 + x3 − x + 1
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Efectuar la siguiente operación y simplificar el resultado.
Planteamiento correcto: 1 punto
Cálculo correcto: 1 punto
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios.
P (x) = 2x3 − 3x 2 − 5x + 6 y Q (x) = x 4 − 13x 2 + 36
Factorización de los polinomios: 2 puntos
= +−
⋅ ++
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ +
= +−
11
11
11
11
2 2 2 2xx
xx x
xx
:( )
( )(111
11 11 1
11
2 2 2 2
+ += + +
− += +
−x xx xx x
x)
:( ) ( )( )( )
( )xx
11
11
+−
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ + −
+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
xx
x xxx
⎤⎤
⎦⎥⎥ +
= + − +−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ + + −
:1
11
112 2
xx x x
xx x x
111
1+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ +
=x x
:
1
1
1
1
+−
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
−+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
x
xx x
x
x
⎤⎤
⎦⎥⎥ +:
1
1 x
m nm n
mn
− = −+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −=
20
11
2 −3 −5 6
1 2 −1 −6
2 −1 −6 0
2 4 6
2 3 0
1 0 −13 0 36
2 2 4 −18 −36
1 2 −9 −18 0
−2 −2 0 18
1 0 −9 0
3 3 9
1 3 0
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191� MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
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1.º B
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ATO
Cálculo correcto: 1 punto
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Hallar los valores enteros para los que el valor numérico del cociente es también un número entero.
Planteamiento correcto: 1,5 puntos
Cálculo correcto: 1,5 puntos
Para cualquier número entero el polinomio x2 + 4x + 16 toma como valor numérico un número entero. Por tanto, el cociente es un número entero si la fracción correspondiente al resto tiene también como resultado un número entero.
El cociente es número entero si x − 4 es divisor de 14, es decir, si es igual a 1, −1, 2, −2, 7,
−7, 14 o −14. Entonces los valores que verifican la condición son:
x − 4 = 1 → x = 5x − 4 = −1 → x = 3x − 4 = 2 → x = 6x − 4 = −2 → x = 2x − 4 = 7 → x = 11x − 4 = −7 → x = − 3x − 4 = 14 → x = 18x − 4 = −14 → x = − 10
144x −
xx
x x xx
x xx
3 2250
44 4 16 14
44 16
14−−
= − + + +−
= + + +( )( )−− 4
x
x
3 50
4
−−
= + − − + = + − − +( )( )2 3 13 36 2 29 13 1112 4 2 6 5 4 3x x x x x x x x xx x2 36 108+ −m c m P x Q x x x x x x. . . ( ( ), ( )) ( )( )( )( )(= − + − + −1 2 3 2 2 3))( ) ( )( )( )x x x x x x+ = + − − − − =3 2 3 2 3 4 92 2 2
m c d P x Q x x. . . ( ( ), ( )) = − 2
x x x x x x4 213 36 2 2 3 3− + = − + − +( )( )( )( )
2 3 5 6 1 2 2 33 2x x x x x x− − + = − − +( )( )( )
1 0 0 −50
4 4 16 64
1 4 16 14
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192 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas4
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Resolver la inecuación:
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Hallar la región solución del sistema:
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
El coste total de tres productos, A, B y C, es de 135 euros. Si se descuenta un 4 % en el precio de A, un 5 % en el precio de B y un 6 % en el precio de C se ahorran 7,10 euros. Y si se compran tres productos de tipo A, cinco de tipo B y uno de tipo C, el importe total es de 385 euros.
Calcular el precio de cada producto.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Resolver las ecuaciones.
a) 2x 4 + 5x 3 − 11x2 − 20x + 12 = 0
b) 2 5 3 2x x x− − − = −
− + ≤− ≤
≥≥
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
2 22 2
00
2x yx y
xy
x
x x
2 16
1 50
−+ −
≥( ) ( )
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193� MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
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Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Hallar la solución de la inecuación: x 4 − 3x3 − 4x 2 + 12x > 0
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Resolver el sistema de ecuaciones, sabiendo que la suma de las tres soluciones es igual a 8.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Una dieta contiene dos ingredientes: A y B. El ingrediente A contiene 35 g de lípidos y 15 g de proteínas por cada 100 g, y el ingrediente B aporta 15 g de lípidos y 10 g de proteínas por cada 100 g.
La dieta debe contener menos de 30 g de lípidos y, al menos, 11 g de proteínas por cada 100 g de alimento. Indicar las expresiones que determinan las posibles soluciones del problema y representarlas gráficamente.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Resolver las ecuaciones.
a) 4x 4 − 21x 2 + 5 = 0
b)x
x
x
x
x
x
−+
−+
− +=
−2
1
4
4 4
3
12
2 333 0
2 3 5x y zx y z
+ − =+ − =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
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194 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS4Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Resolver la inecuación:
Planteamiento correcto: 0,5 puntos
Resolución correcta: 1,5 puntos
x2 − 16 = 0 → x = ± 4
(x + 1)(x − 5) = 0 →
La solución es: (−�, −4) ∪ (−1, 4) ∪ (5, +�)
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Hallar la región solución del sistema:
Representación de las rectas correspondientes a las inecuaciones: 1 punto
Determinación de la region solución: 1 punto
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
El coste total de tres productos, A, B y C, es de 135 euros. Si se descuenta un 4 % en el precio de A, un 5 % en el precio de B y un 6 % en el precio de C se ahorran 7,10 euros. Y si se compran tres productos de tipo A, cinco de tipo B y uno de tipo C, el importe total es de 385 euros.
Calcular el precio de cada producto.
− + ≤− ≤
≥≥
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
2 22 2
00
2x yx y
xy
xx
= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
15
x
x x
2 16
1 50
−+ −
≥( ) ( )
−4
(x − 4)(x + 4) + −
(x + 1)(x − 5) + +
−
−
−
++
+
−
−
+
+
+
−1 4 5
( )( )
( )( )
x x
x x
− ++ −
4 4
1 5
1
y=
2x+
2
y
x=
−2
1
Y
X−2
−2
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195� MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
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U
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1.º B
AC
HIL
LER
ATO
Planteamiento correcto: 1,5 puntos
Resolución correcta: 1,5 puntos
Si x es el precio del producto A, y es el precio de B y z es el precio de C:
Así, tenemos que y = 50, z = 60 y x = 25.
Por tanto, el producto A cuesta 25 euros, el producto B cuesta 50 euros y el producto C cuesta 60 euros.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Resolver las ecuaciones.
a) 2x 4 + 5x 3 − 11x2 − 20x + 12 = 0
b)
Apartado a): 1,5 puntos (0,5 puntos por planteamiento y 1 punto por resolución)
2x4 + 5x3 − 11x2 − 20x + 12 = 0 → (x − 2)(x + 2)(x + 3)(2x − 1) = 0 →
Apartado b): 1,5 puntos (1 punto por resolución y 0,5 puntos por comprobación)
x2 − 6x + 9 = 2x2 − 11x + 15 → x2 − 5x + 6 = 0 →
Al sustituir en la ecuación x por 2 resultan raíces de números negativos; como estas no existen en el dominio real, la solución x = 2 no es válida. Así, la única solución que verifica la ecuación es x = 3.
xx
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
23
3 8 2 2 11 15 2 2 6 2 2 11 152 2x x x x x x x− − − + = − − = − +→
2 5 3 2 2 5 3 2 2 2 3 2x x x x x x x x− − − = − − + − − − − = −→ ( )( )
xxx
x
== −= −
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
223
12
2 5 3 2x x x− − − = −
→x y z
y zy
+ + =+ =
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪+
1352 170
3 150
x y zx y zx y z
+ + =+ + =+ + =
⎫⎬
1350 04 0 05 0 06 7 1
3 5 385, , , ,
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + =+ + =+ + =
⎫⎬→
x y zx y zx y z
1354 5 6 7103 5 385
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + =+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪
→x y z
y zy z
1352 710
2 2 20 ⎪⎪
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196 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS4Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Hallar la solución de la inecuación: x 4 − 3x3 − 4x 2 + 12x > 0
Planteamiento correcto: 0,5 puntos
Resolución correcta: 1,5 puntos
x4 − 3x3 − 4x2 + 12x = 0 → x(x − 3)(x − 2)(x + 2) = 0 →
La solución es: (−�, −2) ∪ (0, 2) ∪ (3, +�)
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Resolver el sistema de ecuaciones, sabiendo que la suma de las tres soluciones es igual a 8.
Planteamiento correcto: 0,5 puntos
Resolución correcta: 1,5 puntos
Así, tenemos que z = 2, y = −5 y x = 11.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Una dieta contiene dos ingredientes: A y B. El ingrediente A contiene 35 g de lípidos y 15 g de proteínas por cada 100 g, y el ingrediente B aporta 15 g de lípidos y 10 g de proteínas por cada 100 g.
La dieta debe contener menos de 30 g de lípidos y, al menos, 11 g de proteínas por cada 100 g de alimento. Indicar las expresiones que determinan las posibles soluciones del problema y representarlas gráficamente.
x y zx y zx y z
x y z+ − =+ − =+ + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ − =−3 0
2 3 58
3 0→ yy z
z+ =
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
5 54 8
2 333 0
2 3 5x y zx y z
+ − =+ − =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
xxxx
==== −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
032
2
−2
−
−
−
−
+
−
−
−
+
−
+
−
−
+
+
+
−
+
+
−
+
+
+
+
+
0 2 3
x
x − 3
x − 2
x + 2
x(x − 3)(x − 2)(x + 2)
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PA
U
PA
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1.º B
AC
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LER
ATO
Planteamiento correcto: 1,5 puntos
Representación correcta: 1,5 puntos
Si x es la cantidad en gramos del ingrediente A e y es la cantidad de B:
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Resolver las ecuaciones.
a) 4x 4 − 21x 2 + 5 = 0
b)
Apartado a): 1,5 puntos (0,5 puntos por planteamiento y 1 punto por resolución)
4x4 − 21x2 + 5 = 0
z = x2 → 4z2 − 21z + 5 = 0 →
Apartado b): 1,5 puntos
m.c.m. (x + 1, −4x + 4, x2 − 1) = 4(x2 − 1)
→ 4(x − 1)(x − 2) + ( x + 1)(x + 4) = 4 ⋅ 3x
4x2 − 12x + 8 + x2 + 5x + 4 = 12x → 5x2 − 19x + 12 = 0 →x
x
=
=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
345
xx
xx
xx
−+
− +− +
=−
21
44 4
312
zz x
z x= ± = = ±
= = ±
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
21 198
5 514
12
→→
→
x
x
x
x
x
x
−+
−+
− +=
−2
1
4
4 4
3
12
35 15 3015 10 11
00
x yx y
xy
+ ≤+ ≥
≥≥
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪
−0,5
1,1
2
1,08
y x= − +3
2
11
10y x= − +
7
32
X
Y
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Funciones5
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se considera un cuadrado cuyo lado mide x cm. Con centro en cada vértice, y radio, la mitad de la longitud del lado, se construyen sectores circulares. Encontrar la expresión del área de la figura que se forma dentro del cuadrado en función de su lado.
Hallar el valor del área en el caso de que el lado mida cm.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Dibujar la gráfica de una función con las siguientes características.
• Su dominio es toda la recta real y su recorrido es el intervalo [−3, 3].
• Es simétrica respecto del origen de coordenadas.
• Es creciente en (−1, 1) y decreciente en (−�, −1) ∪ (1, +�).
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se consideran las funciones: g(x) = 2x − 1
Calcular.
a) f −1(x) y su dominio. b) f � g (x) y su dominio. c) y su dominio.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Dada la función representada, indicar.
a) Dominio y recorrido.
b) Simetría y monotonía.
c) Puntos de corte y asíntotas de la función.
f x
g x
( )
( )
f xx
x( ) =
+ 1
2
X
Y
1
1
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MO
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LOS
PA
U
PA
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1.º B
AC
HIL
LER
ATO
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
a) Se considera un círculo cuyo radio mide x cm y se inscribe un cuadrado en él. Encontrar la expresión del área de la figura que forman los cuatro segmentos circulares.
b) Hallar el valor del área en el caso de que el radio mida cm.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Dibujar la gráfica de una función con las siguientes características.
• Su recorrido es toda la recta real.
• Es simétrica respecto del eje de ordenadas.
• Tiene un máximo relativo en el punto (0, 4).
• Tiene dos asíntotas verticales.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se consideran las funciones:
Calcular.
a) f −1(x) y su dominio. b) g � f (x) y su dominio. c) y su dominio.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Dada la función representada, indicar.
a) Dominio y recorrido.
b) Simetría y monotonía.
c) Puntos de corte y asíntotas de la función.
f x
g x
( )
( )
g x x( ) =f xx
x( ) =
− 1
8
Y
X
1
2
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200 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
FUNCIONES5Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se considera un cuadrado cuyo lado mide x cm. Con centro en cada vértice, y radio, la mitad de la longitud del lado, se construyen sectores circulares. Encontrar la expresión del área de la figura que se forma dentro del cuadrado en función de su lado.
Hallar el valor del área en el caso de que el lado mida cm.
Cálculo del área: 1,5 puntos
Área de la figura = Área del cuadrado − Área del círculo de radio la mitad
del lado → f(x) = x2 − π
Cálculo del valor: 0,5 puntos
cm2
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Dibujar la gráfica de una función con las siguientes características.
• Su dominio es toda la recta real y su recorrido es el intervalo [−3, 3].
• Es simétrica respecto del origen de coordenadas.
• Es creciente en (−1, 1) y decreciente en (−�, −1) ∪ (1, +�).
Respuesta abierta.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se consideran las funciones: g (x) = 2x − 1
Calcular.
a) f −1(x) y su dominio.
b) f � g (x) y su dominio.
c) y su dominio.
Apartado a):
Cálculo de la función inversa: 0,75 puntos
→ xy + y = x → xy − x = y → x(y − 1) = y →
Determinación del dominio: 0,25 puntos
Dom = � − {1}
xy
yf x
xx
=−
=−
−
1 11→ ( )y
xx
=+ 1
f x
g x
( )
( )
f xx
x( ) =
+ 1
f 28 2
44
2( ) = − = −π π
x x x2
44
2 2 2⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − π
2
x2
x2
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201� MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
MO
DE
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U
PA
RA
1.º B
AC
HIL
LER
ATO
Apartado b):
Cálculo de la composición de funciones: 0,75 puntos
Determinación del dominio: 0,25 puntos
Dom = � − {0}
Apartado c):
Cálculo de la división de funciones: 0,5 puntos
Determinación del dominio: 0,5 puntos
Dom = R −
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Dada la función representada, indicar.
a) Dominio y recorrido.
b) Simetría y monotonía.
c) Puntos de corte y asíntotas de la función.
Apartado a): 1 punto
Dom = � − {−1, 1}
Im = (−�, 0] ∪ (1, +�)
Apartado b): 1 punto
La función es simétrica respecto del eje de ordenadas.
La función es creciente en (−�, −1) ∪ (−1, 0) y es decreciente en (0, 1) ∪ (1, +�).
x = 0 es un máximo relativo.
Apartado c): 1 punto
La función solo tiene un punto de corte: (0, 0)
La función tiene dos asíntotas verticales: x = −1 y x = 1, y una asíntota horizontal: y = 1.
−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
112
,
f xg x
xx x
xx x
( )( ) ( )( )
=+ −
=+ −1 2 1 2 12
f g x f g xx
xx
x� ( ) ( ( ))= = −
− += −2 1
2 1 12 1
2
Y
X1
1
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202 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
FUNCIONES5Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se considera un círculo cuyo radio mide x cm y se inscribe un cuadrado en él. Encontrar la expresión del área de la figura que forman los cuatro segmentos circulares.
Hallar el valor del área en el caso de que el radio mida cm.
Apartado a): 1,5 puntos
Por el teorema de Pitágoras:
(2x) 2 = y2 + y2 → 2y2 = 4x2 → y2 = 2x2 → y = x
Área de la figura = Área del círculo − Área del cuadrado → f(x) = πx2 − = x2
Apartado b): 0,5 puntos
f( ) = 8 cm2
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Dibujar la gráfica de una función con las siguientes características.
• Su recorrido es toda la recta real.
• Es simétrica respecto del eje de ordenadas.
• Tiene un máximo relativo en el punto (0, 4).
• Tiene dos asíntotas verticales.
Respuesta abierta.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se consideran las funciones:
Calcular.
a) f −1(x) y su dominio.
b) g � f (x) y su dominio.
c) y su dominio.f x
g x
( )
( )
g x x( ) =f xx
x( ) =
− 1
π −( )28
π −( )222
x( )2
8
y
x
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1.º B
AC
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ATO
Apartado a):
Cálculo de la función inversa: 0,75 puntos
→ xy = x − 1 → xy − x = −1 → x(y − 1) = −1 →
Determinación del dominio: 0,25 puntos
Dom = � − {1}
Apartado b):
Cálculo de la composición de funciones: 0,5 puntos
Determinación del dominio: 0,5 puntos
Dom = (−�, 0) ∪ (1, +�)
Apartado c):
Cálculo de la división de funciones: 0,5 puntos
Determinación del dominio: 0,5 puntos
Dom = (0, +�)
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Dada la función representada, indicar.
a) Dominio y recorrido.
b) Simetría y monotonía.
c) Puntos de corte y asíntotas de la función.
Apartado a): 1 punto
Dom = � − {0}
Im = � − {1}
Apartado b): 1 punto
La función es simétrica respecto del punto (0, 1).
La función es creciente en (−�, 0) ∪ (0, +�) y no tiene extremos relativos.
Apartado c): 1 punto
La función solo tiene un punto de corte: (2, 0)
La función tiene una asíntota vertical: x = 0, y una asíntota horizontal: y = 1.
f xg x
x
x x
( )( )
= − 1
g f x g f xx
x� ( ) ( ( ))= = −1
xy
f xx
= −−
=−
−11
11
1→ ( )yx
x= − 1
X2
1
Y
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204 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
Funciones elementales6
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
a) Hallar la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos A(1, −1), B (−1, −7) y C (2, 5).
b) ¿Qué valor toma esta función para x = 0,5?
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Representar gráficamente la función:
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
El número de platos que un cocinero prepara viene dado en función de los días x
que lleva realizando este trabajo mediante la expresión .
a) Representar gráficamente la función, e indicar la parte gráfica que tiene sentido en el contexto del problema.
b) ¿Cuántos platos prepara al empezar a trabajar? ¿Y al cabo de un día de trabajo?
c) ¿Al cabo de cuántos días prepara 20 platos? ¿Cuál es el número máximo de platos que puede preparar?
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
a) Representar la función y = cos x en el intervalo [−2π, 2π].
b) A partir de la gráfica del apartado anterior, dibujar en el mismo intervalo las gráficas de las funciones.
y = 4 cos x + 1 y = cos x
2
f xx
x( ) =
++
25 5
1
f x x x xx x
( ) = − + ≤>
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 3 1 11
2 sisiln
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205� MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
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1.º B
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ATO
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
a) Encontrar la función lineal que pasa por los puntos A(−1, 4) y B (2, −5).
b) Calcular, por interpolación, el valor que toma la función para x = 1 y, por extrapolación, el valor que toma para x = −2.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Representar gráficamente la función:
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
El número de células en un cultivo de laboratorio viene dado por la expresión:
f (x) = e x − a
donde x indica el tiempo en días.
a) Calcular el valor de a si el estudio del cultivo se inicia con cuatro células. ¿Cuántas células habrá al día siguiente?
b) Representar gráficamente la función, e indicar la parte gráfica que tiene sentido en el contexto del problema.
c) ¿Cuántos días han de pasar para que haya 400 células en el cultivo? ¿Y para que se duplique esta cantidad?
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
a) Representar la función y = sen x en el intervalo [−2π, 2π].
b) A partir de la gráfica del apartado anterior, dibujar en el mismo intervalo las gráficas de las funciones.
y = 3 sen x − 2 y = sen 4x
f x x xx x
( ) = − ≥− <
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⏐ ⏐5 05 02
sisi
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206 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
FUNCIONES ELEMENTALES6Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
a) Hallar la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos A(1, −1), B (−1, −7) y C (2, 5).
b) ¿Qué valor toma esta función para x = 0,5?
Apartado a): 1,5 puntos
Planteamiento correcto: 0,75 puntos
La función de interpolación cuadrática es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c
Se sustituyen las coordenadas de cada punto perteneciente a la función:
Resolución corrrecta: 0,75 puntos
Así, la función es: f(x) = x2 + 3x − 5
Apartado b): 0,5 puntos
f(0,5) = 0,522 + 3 ⋅ 0,5 − 5 = −3,25
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Representar gráficamente la función:
Representación de cada parte de la función: 1 punto
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
El número de platos que un cocinero prepara viene dado en función de los días x
que lleva realizando este trabajo mediante la expresión .
a) Representar gráficamente la función, e indicar la parte gráfica que tiene sentido en el contexto del problema.
b) ¿Cuántos platos prepara al empezar a trabajar? ¿Y al cabo de un día de trabajo?
c) ¿Al cabo de cuántos días prepara 20 platos? ¿Cuál es el número máximo de platos que puede preparar?
f xx
x( ) =
++
25 5
1
f x x x xx x
( ) = − + ≤>
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 3 1 11
2 sisiln
a b ca b c
a b c
a b c+ + = −+ + =
− + = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + = −14 2 5
7
13aa b
b
abc
+ ==
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=== −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
62 6
13
5
2 22 2
17
4 2 5
a b ca b ca b c
+ + = −− + = −+ + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪−
Y
X
1
1 e
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207� MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
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1.º B
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Apartado a): 1 punto
Solo tiene sentido la parte de la gráfica que corresponde al semieje positivo de abscisas.
Apartado b): 1 punto
Al empezar a trabajar prepara: f(0) = 5 platos
Y al cabo de un día prepara: f(1) = 15 platos
Apartado c): 1 punto
→ 25x + 5 = 20x + 20 → 5x = 15 → x = 3
Prepara 20 platos al cabo de 3 días.
El número máximo de platos es 25, pues la asíntota horizontal de la función es: y = 25
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
a) Representar la función y = cos x en el intervalo [−2π, 2π].
b) A partir de la gráfica del apartado anterior, dibujar en el mismo intervalo las gráficas de las funciones.
y = 4 cos x + 1 y = cos
Apartado a): 1,5 puntos
Apartado b): 0,75 puntos por cada función
x
2
25 51
20x
x+
+=
Y
X1
5
5
y = 25
Y
X
1
−1−2π 2π
Y
X
5
1
−2π
−π π
2π
Y
X
1
−1
−2π 2π
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OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
FUNCIONES ELEMENTALES6Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
a) Encontrar la función lineal que pasa por los puntos A(−1, 4) y B (2, −5).
b) Calcula, por interpolación, el valor que toma la función para x = 1 y, por extrapolación, el valor que toma para x = −2.
Apartado a): 1 puntoLa función de interpolación lineal es de la forma: f(x) = ax + bSe sustituyen las coordenadas de cada punto perteneciente a la función:
Así, la función es: f(x) = −7x − 3
Apartado b): 0,5 puntos cada valor
f(1) = −7 − 3 = −10
f(−2) = 14 − 3 = 11
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Representar gráficamente la función:
Representación de cada parte de la función: 1 punto
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
El número de células en un cultivo de laboratorio viene dado por la expresión:
f (x) = ex − a
donde x indica el tiempo en días.
a) Calcular el valor de a si el estudio del cultivo se inicia con cuatro células. ¿Cuántas células habrá al día siguiente?
b) Representar gráficamente la función, e indicar la parte gráfica que tiene sentido en el contexto del problema.
c) ¿Cuántos días han de pasar para que haya 400 células en el cultivo? ¿Y para que se duplique esta cantidad?
f x x xx x
( ) = − ≥− <
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⏐ ⏐5 05 02
sisi
− + =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −= −
−−
a ba b
ab
2 42 3 5
73
5 10
5
X
Y
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MO
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1.º B
AC
HIL
LER
ATO
Apartado a): 1 punto
Cuando se inicia el cultivo, el número de días es: x = 0 → f(0) = 4 células → 1 − a = 4 → a = −3
f(x) = ex + 3 → f(1) = e + 3 = 5,72
Al día siguiente habrá 6 células.
Apartado b): 1 punto
Apartado c): 1 punto
ex + 3 = 400 → ex = 397 → x = ln 397 = 5,98
Han de pasar 6 días para que haya 400 células en el cultivo.
ex + 3 = 800 → ex = 797 → x = ln 797 = 6,68
Han de pasar 7 días para que haya el doble de células.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
a) Representar la función y = sen x en el intervalo [−2π, 2π].
b) A partir de la gráfica del apartado anterior, dibujar en el mismo intervalo las gráficas de las funciones.
y = 3 sen x − 2 y = sen 4x
Apartado a): 1,5 puntos
Apartado b): 0,75 puntos por cada función
Y
X1
4
Y
X
1
−1
−1
−2π
2π
Y
X
1−2π
−5
2π
Y
X
1
−2π
2π
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Límite de una función7
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Calcular los siguientes límites.
a)
b)
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Dada la función:
determinar el valor de m para que la función f (x) sea continua en toda la recta real.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Sea la función f (x) = .
a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f.
b) Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable.
c) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera la función: f (x) =
a) Estudiar el dominio y la continuidad de f.
b) Hallar las asíntotas de la gráfica de f.
x x
xx
x
xx
2 3 11
2
11
+ +≥ −
−< −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
si
si
3 3
1
2
2
x x
x
−−
f x x x m xx x
( )ln
= − + ≤>
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 3 11
2 sisi
limx
x x x x→+
+ − −( )�
2 2
limx
x
x x→0
2
2 2+ − −
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MO
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LOS
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U
PA
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1.º B
AC
HIL
LER
ATO
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Calcular los siguientes límites.
a) b)
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Dada la función: f (x) =
determinar los valores de a y b para que f (x) sea continua en toda la recta real.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera la función f (x) = .
a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f.
b) Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable.
c) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Sea la función f (x) = . Se pide:
a) Especificar su dominio.
b) Estudiar su continuidad.
c) Calcular las asíntotas, si las hubiera.
− ++ −x
x x
3
2
1
2 2 12
x x
x
5 8
61
−−
− − < −− − ≤ ≤
>
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
x xa x xbx
x
2 12 1 1
1
2
sisi
si
limx
x x x→+
+ −( )�
2limx
x x
x→0
4 4
4
+ − −
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OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN7Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Calcular los siguientes límites.
a)
b)
Apartado a): 1 punto
→ Indeterminación
Apartado b): 1 punto
→ Indeterminación
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Dada la función:
determinar el valor de m para que la función f (x) sea continua en toda la recta real.
Planteamiento correcto: 1 punto
La función f(x) es continua en x = x0 →
Cálculo de cada valor: 0,5 puntos
f(1) = 2 − 3 + m = −1 + m = 0 → m = 1
lim
lim
x
x
f x m
f xm→
→
→1
1
1
01
−
+
= − +
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
− +( )
( )== =0 1→ m
∃ =
∃− +
lim lim limx x x x x x
f x f x f x
f x→ → →
→0 0 0
0
( ) ( ) ( )
( )) ( ) ( )y limx x
f x f x→ 0
0=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
f x x x m xx x
( )ln
= − + ≤>
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 3 11
2 sisi
=+( ) − −( )+ + −
=++ +
lim limx x
x x x x
x x x x
x
x→ →� �
2 2
2 2 2
2
xx x x+ −=
21
lim limx x
x x x xx x x x x x x
→ →+ ++ − −( ) =
+ − −( ) + +
� �
2 2
2 2 2 22
2 2
−( )+ + −
=x
x x x x
limx
x x x x→+
+ − −( ) = −⎡⎣ ⎤⎦�
2 2 � �
=+ + −( )
=limx
x x x
x→0
2 2 2
22 2
lim limx x
x
x x
x x x
x x→ →0 0
2
2 2
2 2 2
2 2+ − −( )=
+ + −( )+ − −( )) + + −( )
=+ + −( )
+( ) − −( )=
2 2
2 2 2
2 20x x
x x x
x xxlim
→
limx
x
x x→0
2
2 2
0
0+ + −=
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
limx
x x x x→+
+ − −( )�
2 2
limx
x
x x→0
2
2 2+ − −
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Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Sea la función f (x) = .
a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f.
b) Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable.
c) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical.
Apartado a): 1 punto
1 − x2 = 0 → x = ±1 Dom = � − {1, −1}
Los puntos de discontinuidad son x = 1 y x = −1.
Apartado b): 1 punto
es un punto de discontinuidad evitable.
Apartado c): 1 punto
→ Asíntota vertical: x = −1
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera la función: f (x) =
a) Estudiar el dominio y la continuidad de f.
b) Hallar las asíntotas de la gráfica de f.
Apartado a): 1,5 puntos
Determinación del dominio: 0,5 puntos Dom = � − {0}
Estudio de la continuidad: 1 punto →
→ f(x) es continua en x = 1.
Apartado b): 1,5 puntos Asíntota vertical: x = 0 → Asíntota horizontal: y = 2
→ Asíntota oblicua: y = x + 3m
f xx
x xx
n f
x x
x
= = + + =
=
+ +
+
lim lim
lim
→ →
→
� �
�
( ) 2
2
3 11
(( )x mxx x
xx
x x−⎡⎣ ⎤⎦ = + + −
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ =
+lim lim→ →�
2 3 1++
+ =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪�
3 13
xx
lim
limx
x
f x
f x→
→
+
+
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
�
�
( )
( )
++�
2
lim lim limx x x
f x f x f x f→ → →
→− − −− +
= = ∃ ∃1 1 1
1 1( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( )− = = −−
1 1 11
limx
f x f→
f(x) no es continua en x = 0, y este es un punto de discontinuidadinevitable de salto infinito.
lim
limx
x
f x
f x→
→
0
0
−
+
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
−�
�++
x x
xx
x
xx
2 3 11
2
11
+ +≥ −
−< −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
si
si
lim limx x
f x f x→ →− −− +
= =1 1
( ) ( )−� �++
lim limx x
x xx
xx
x→ →
→1
2
2 1
3 31
31
32
1−
−= −
+= − =
limx
x xx→−
−−
=⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥1
2
2
3 31
60
limx
x xx→1
2
2
3 31
00
−−
=⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
3 3
1
2
2
x x
x
−−
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OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN7Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Calcular los siguientes límites.
a) b)
Apartado a): 1 punto
Apartado b): 1 punto
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Dada la función: f (x) =
determinar los valores de a y b para que f (x) sea continua en toda la recta real.
Planteamiento correcto: 1 punto
La función f( x) es continua en x = x0 →
Cálculo de cada valor: 0,5 puntos
→ −1 = a − 2 → a = 1 → b = −1
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera la función f (x) = .
a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f.
b) Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable.
c) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical.
x x
x
5 8
61
−−
lim
limx
x
f x
f x b→
→
1
1
1−
+
= −
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
lim
limx
x
f x
f x a→
→
−
−
−
+
= −
= −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
1
1
1
2
( )
( )
∃ =
∃+ −
lim lim limx x x x x x
f x f x f x
f x→ → →
→0 0 0
0
( ) ( ) ( )
( ))( ) ( )lim
x xf x f x
→ 00=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
− − < −− − ≤ ≤
>
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
x xa x xbx
x
2 12 1 1
1
2
sisi
si
lim limx x
x x xx x x x x x
x x→ →+ ++ −( ) =
+ −( ) + +( )+� �
2
2 2
2 ++( )= + −
+ +=
+x
x x x
x x xxlim→ �
2 2
2
1
2
=+ + −( )
=limx
x
x x x→0
2
4 4 4
1
8
lim limx x
x x
x
x x x x
→ →0 0
4 4
4
4 4 4 4
4
+ − −( )=
+ − −( ) + + −( )xx x x
x x
x x xx4 4
4 4
4 4 40+ + −( )=
+( ) − −( )+ + −( )
=lim→
limx
x x x→+
+ −( )�
2limx
x x
x→0
4 4
4
+ − −
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ATO
Apartado a): 1 punto
1 − x6 = 0 → x = ±1 Dom = � − {1, −1}
→ Indeterminación → x =1 es un punto de discontinuidad.
→ Indeterminación → x = −1 es un punto de discontinuidad.
Apartado b): 1 punto
es un punto
de discontinuidad evitable.
Apartado c): 1 punto
→ Asíntota vertical: x = −1
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Sea la función f (x) = . Se pide:
a) Especificar su dominio. c) Calcular las asíntotas, si las hubiera.
b) Estudiar su continuidad.
Apartado a): 1 punto
2x2 + 2x − 12 = 0 → x2 + x − 6 = 0 → Dom = � − {2, −3}
Apartado b): 1 punto
→ f( x) es discontinua en x = 2. Inevitable de salto infinito
→ f( x) es discontinua en x = −3. Inevitable de salto infinito
Apartado c): 1 punto
A partir del apartado anterior, vemos que la función tiene dos asíntotas verticales:
Por ser el polinomio del numerador de mayor grado no hay asíntotas horizontales.
→ Asíntota oblicua: y = − +12
12
x
mf x
xx
x x x
n
x x= = − +
+ −= −
+ +lim lim→ →� �
( ) 3
3 2
12 2 12
12
== −⎡⎣ ⎤⎦ = − ++ −
+→+ +lim ( )
x xf x mx
xx x� �
lim→
3
2
12 2 12
112
12
x⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
xx
== −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
23
lim
limx
x
f x
f x→
→
−
−
−
+
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
3
3
( )
( )
++�
�−
lim
limx
x
f x
f x→
→
2
2
−
+
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
++�
�−
xx
== −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
23
− ++ −x
x x
3
2
1
2 2 12
lim
limx
x
f x
f x→
→
−
−
−
+
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
1
1
( )
( )
++�
�−
lim lim limx x x
x xx
x xx
x→ → →1
5 8
6 1
5 3
6 1
5
11
1−−
= −−
=( )11
12
13 1+
= ∃ =x
f x xx
→ →→
lim ( )
limx
x xx→−
−−
=⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥1
5 8
6160
limx
x xx→1
5 8
6100
−−
=⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
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Derivada de una función8
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Dada la función: f (x) =
a) Indicar su dominio de definición.
b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Determinar sus máximos y mínimos.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Sean la parábola y = x 2 − 4x + 4 y un punto (p, q), tal que 0 ≤ p ≤ 2. Calcular las coordenadas de (p, q) para que el área del rectángulo formado por los ladosparalelos a los ejes con vértices opuestos (0, 0) y (p, q) sea máxima.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un círculo de radio a.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera la función f (x) = x 2 + m, donde m > 0. Se pide:
a) Para cada valor de m, hallar el valor de a > 0, tal que la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f (a)) pase por el origen de coordenadas.
b) Determinar el valor de m para que la recta y = x sea tangente a la gráfica de f (x).
x
x x
−+ −
3
1 1( ) ( )
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217� MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
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LER
ATO
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se considera la función: f (x) =
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
b) Calcular los máximos y mínimos relativos de f.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Determinar la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 para que su área sea máxima.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Una pista de velocidad está formada por una región rectangular con un semicírculo en cada extremo. Si el perímetro es de 200 metros, hallar las dimensiones de la pista para que el área de la zona rectangular sea máxima.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Dada la función: f (x) =
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto P (a, f (a)), para a > 0.
b) Encontrar los puntos de corte de la recta tangente del apartado anterior con los ejes de coordenadas.
c) Determinar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos de intersección hallados sea mínima.
1
x
2 1
12 2
x
x x
++ +( )
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218 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN8Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Dada la función: f (x) =
a) Indicar su dominio de definición.
b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Determinar sus máximos y mínimos.
Apartado a): 0,5 puntos
Dom = � − {1, −1}
Apartado b): 1 punto
= 0 → −x2 + 6x − 1 = 0 → x = 3 ± 2
f'( x) > 0 en → f( x) es creciente en .
f'( x) < 0 en (−�, −1) ∪ (−1, 3 − 2 ) ∪ (3 + 2 , +�) → f( x) es decreciente
en (−�, −1) ∪ (−1, 3 − 2 ) ∪ (3 + 2 , +�).Apartado c): 0,5 puntos
x = 3 − 2 es un mínimo. x = 3 + 2 es un máximo.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Sean la parábola y = x 2 − 4x + 4 y un punto (p, q), tal que 0 ≤ p ≤ 2. Calcular las coordenadas de (p, q) para que el área del rectángulo formado por los ladosparalelos a los ejes con vértices opuestos (0, 0) y (p, q) sea máxima.
Planteamiento correcto: 1 punto
(p, q) es un punto de la parábola → q = p2 − 4p + 4
El área del rectángulo es: A = p ⋅ q = p(p2 − 4p + 4)
El área será máxima en el punto en el que la función f(p) = p3 − 4p2 + 4palcance su máximo en el intervalo [0, 2].
Resolución correcta: 1 punto
f'(p) = 3p2 − 8p + 4
3p2 − 8p + 4 = 0 →
f''(p) = 6p − 8, f''(2) > 0 y f''
Por tanto, en el punto (p, q) = el área del rectángulo es máxima.23
169
,⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
23
0⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ <
p
p
=
=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
223
22
22
22
3 2 2 1 1 3 2 2−( ) ∪ +( ), ,3 2 2 1 1 3 2 2−( ) ∪ +( ), ,
2− + −−
x xx
2
2
6 11
f xxx
f xx x x
xx x
( ) ( )( )= −
−= − − −
−= − + −3
11 2 3
16
2
2
2
2
→ '11
12x −
x
x x
−+ −
3
1 1( ) ( )
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1.º B
AC
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ATO
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un círculo de radio a.
Planteamiento correcto: 1,5 puntos
Como el triángulo formado por la diagonal y los lados es rectángulo:
x2 + y2 = (2 a) 2 →
La función que determina el área del rectángulo es: A = x ⋅ y =
Resolución correcta: 1,5 puntos
= 0 → 4a2 − 2x2 = 0 → x2 = 2a2 → x = a
Como la medida del lado del rectángulo ha de ser positiva, el único valor válido es a.
Así, las dimensiones son x = y = a, es decir, la solución es un cuadrado de lado a.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera la función f (x) = x2 + m, donde m > 0. Se pide:
a) Para cada valor de m, hallar el valor de a > 0, tal que la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f (a)) pase por el origen de coordenadas.
b) Determinar el valor de m para que la recta y = x sea tangente a la gráfica de f (x).
Apartado a): 1,5 puntos
La recta tangente en el punto (a, f(a)) es: y − f(a) = f '(a) ( x − a) → y − (a2 + m) = 2a(x − a)
Si la recta pasa por el origen de coordenadas, entonces: −(a2 + m) = −2a2 → m = a2
Apartado b): 1,5 puntos
La recta tangente es de la forma: y − (a2 + m) = 2a(x − a)
Para que la recta y = x sea tangente a la gráfica → 2a = 1 → a = → m =14
12
22
2
24 2
4
2 2
2 2
a x
a x
−
−
f x x a x f x a x xx
a x
a x( ) ( )= − = − + −
−= −
4 42
2 4
42 2 2 2
2 2
2
→ '22 2
2 2
2 2
2 24
4 2
4
−
−= −
−
x
a x
a x
a x
x a x4 2 2−
y a x= −4 2 2
x
y2a
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OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN8Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se considera la función: f (x) =
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
b) Calcular los máximos y mínimos relativos de f.
Apartado a): 1,5 puntos
= 0 → −6x2 − 6x = 0 → x2 + x = 0 →
f'( x) > 0 en (−1, 0) → f( x) es creciente en (−1, 0).f'( x) < 0 en (−�, −1) ∪ (0, +�) → f( x) es decreciente en (−�, −1) ∪ (0, +�).
Apartado b): 0,5 puntosx = −1 es un mínimo y x = 0 es un máximo.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Determinar la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 para que su área sea máxima.
Planteamiento correcto: 1 punto
Por el teorema de Pitágoras: (4 − x)2 = x2 + y2 → y =
El área del triángulo es: A = = x ⋅ y =
Resolución correcta: 1 punto
f( x) = → f'( x) =
Como 16 − 12x = 0 → x = , tenemos que: es un máximo.
Así, la base del triángulo mide: 2x = , y la altura es: y =
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Una pista de velocidad está formada por una región rectangular con un semicírculo en cada extremo. Si el perímetro es de 200 metros, hallar las dimensiones de la pista para que el área de la zona rectangular sea máxima.
16323
163
4 33
− = =83
f
fx
'
'
( )1 053
043
>⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ <
⎫⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
=→43
16 88
2 16 8
16 8 4
16 8
16 12
16 8− + −
−= − −
−= −
−x x
x
x x
x
x
xx x16 8−
x x16 8−22x y⋅
( )4 16 82 2− − = −x x x
xx
== −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
01
− −+ +
6 61
2
2 3
x xx x( )
f xx x x x x x
x'( )
( ) ( ) ( )( )(
= + + − + ⋅ + + ++
2 1 2 1 2 1 2 12 2 2
2 xxx x
x x+= − −
+ +16 6
14
2
2 3) ( )
2 1
12 2
x
x x
++ +( )
4 − x
2x
y4 − x
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Planteamiento correcto: 1,5 puntos
El perímetro de la pista es:
2πr + 2x = 200 → 2r =
La función que determina el área del rectángulo es: A = x ⋅ 2r =
Resolución correcta: 1,5 puntos
= 0 → 200 − 4x = 0 → x = 50
→ x = 50 es un máximo y r = = 15,92.
Por tanto, las dimensiones de la pista son: 50 m de base del rectángulo y 15,92 m de radio de los semicírculos.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Dada la función: f (x) =
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto P (a, f (a)), para a > 0.
b) Encontrar los puntos de corte de la recta tangente del apartado anterior con los ejes de coordenadas.
c) Determinar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos de intersección hallados sea mínima.
Apartado a): 1 punto
La recta tangente en el punto (a, f(a)) es: y − f(a) = f'(a)(x − a) → y − (x − a) → y
Apartado b): 0,5 puntos
Si x = 0 → y = → A Si y = 0 → = 0 → x = 2a → B(2a, 0)
Apartado c): 1,5 puntos
La distancia entre los puntos A y B es:
Esta distancia será mínima para el valor de a en el que la función alcance el mínimo:
f(a) = 4a2 + → f'(a) = 8a −
8a − = 0 → 8a4 − 8 = 0 → a4 − 1 = 0 → a = ±1. Como a > 0 → a = 1
Se comprueba que es un mínimo de la función: f
f
'
'
12
0
2 0
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ <
>
⎧⎨⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪ ( )
83a
83a
42a
( )222
2
aa
+ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
− +1 22a
xa
02
,a
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
2a
= − +1 22a
xa
1 12a a
= −
1
x
100 50− =xπ π
ff''( )( )49 051 0
><
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
200 4− xπ
f xx x
f xx
( ) ( )= − = −200 2 200 42
π π→ '
xx x x200 2 200 2 2− = −
π π
200 2− xπ
x
r
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222 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
Estadística unidimensional
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
En la siguiente tabla se muestran los pesos de un grupo de 50 niños de la misma edad.
a) Calcular la media y la desviación típica.b) Representar gráficamente los datos.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Las puntuaciones obtenidas por 25 participantes en un estudio tienen la siguiente distribución.
Se pide:a) Puntuación mediana. b) Cuartiles de la distribución.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un empresa comercializa 240, 160, 200 y 120 productos del tipo A, B, C y D, respectivamente.Se pide:
a) Representar gráficamente estos datos en un diagrama de sectores.b) Representar mediante un diagrama de barras la distribución de productos de los cuatro
tipos si se decide incrementar en un 5 % el número de productos de tipo A, mantener la producción de los tipos B y C, y disminuir el número de productos del tipo D, de manera que no se modifique el número total de productos.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
La estatura media de una muestra de 200 alumnos es 177 cm, con una desviación típica de 6 cm, yla estatura media de otra muestra de 100 alumnas es 155 cm, con 4 cm de desviación típica. Se pide:a) Obtener la estatura media de la muestra conjunta de 300 alumnos.b) ¿Cuál de las dos muestras puede considerarse más variable?
c) Si un alumno mide 179 cm y una alumna mide 160 cm, ¿cuál de los dos es más alto en su muestra?
9
Puntuación 33 37 38 39 40 42 43 45 47 50 59 66
Frecuencia 1 3 4 2 3 3 2 2 2 1 1 1
Peso (kg) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30)
Número de niños 22 12 10 4 2
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ATO
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
El número de visitantes por hora en una página web durante dieciséis intervalos de tiempoconsecutivos ha sido:
6, 0, 4, 0, 0, 3, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 1, 1, 3, 2
a) Calcular la media y la desviación típica del número de visitantes por hora.
b) Representar gráficamente los datos e interpretar los resultados anteriores.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
En una población con 500.000 habitantes, los ingresos anuales medios por persona son de 10.500 euros, y en otra población con 750.000 habitantes estos ingresos ascienden a 11.250 euros.
a) ¿Cuáles son los ingresos anuales totales de cada población?
b) Si las dos poblaciones se consideran conjuntamente, ¿cuáles son los ingresos anuales medios por persona?
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
En una empresa con 100 empleados se ha realizado una encuesta y se han recogido los siguientes datos sobre el número de hijos.
Se pide:
a) Completar la tabla de distribución con las frecuencias relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.
b) Calcular la media, la mediana y la desviación típica.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un accionista ha adquirido un paquete compuesto por 300 acciones con un valor de 120 euroscada una, 200 acciones de 160 euros y 100 acciones de 190 euros. Se pide:
a) Determinar el valor medio y la mediana de los valores de las acciones que componen el paquete.
b) Si el valor de las acciones de menor precio sube un 5 %, calcular el valor medio y la mediana de los valores de las acciones.
xi 0 1 2 3
fi 22 42 28 8
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ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL9OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
En la siguiente tabla se muestran los pesos de un grupo de 50 niños de la misma edad.
a) Calcular la media y la desviación típica. b) Representar gráficamente los datos.
Apartado a): 1 punto
Apartado b): 1 punto
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Las puntuaciones obtenidas por 25 participantes en un estudio tienen la siguiente distribución.
Se pide:a) Puntuación mediana. b) Cuartiles de la distribución.
Apartado a): 1 punto
Apartado b): 1 punto
3 254
18 75 453⋅ = =, → Q
254
6 25 381= =, → Q
Peso (kg) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30)
Número de niños 22 12 10 4 2
x_
=
σ = − = =9 712 550
12 7 32 96 5 742. ,, , ,
63550
12 7= ,
Peso xi fi
[5, 10) 7,5 22
[10, 15) 12,5 12
[15, 20) 17,5 10
[20, 25) 22,5 4
[25, 30) 27,5 2
Puntuación 33 37 38 39 40 42 43 45 47 50 59 66
Frecuencia 1 3 4 2 3 3 2 2 2 1 1 1
Frecuenciaacumulada
1 4 8 10 13 16 18 20 22 23 24 25
Puntuación 33 37 38 39 40 42 43 45 47 50 59 66
Frecuencia 1 3 4 2 3 3 2 2 2 1 1 1
252
12 5 40= =, → Me
252015105
5 10 15 20 25 30 Peso
N.º
de n
iños
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Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un empresa comercializa 240, 160, 200 y 120 productos del tipo A, B, C y D, respectivamente.Se pide:
a) Representar gráficamente estos datos en un diagrama de sectores.b) Representar mediante un diagrama de barras la distribución de productos de los cuatro
tipos si se decide incrementar en un 5 % el número de productos de tipo A, mantener la producción de los tipos B y C, y disminuir el número de productos del tipo D, de manera que no se modifique el número total de productos.
Apartado a): 1,5 puntos Apartado b): 1,5 puntos
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
La estatura media de una muestra de 200 alumnos es 177 cm, con una desviación típica de 6 cm, yla estatura media de otra muestra de 100 alumnas es 155 cm, con 4 cm de desviación típica. Se pide:a) Obtener la estatura media de la muestra conjunta de 300 alumnos.b) ¿Cuál de las dos muestras puede considerarse más variable?c) Si un alumno mide 179 cm y una alumna mide 160 cm, ¿cuál de los dos es más alto en su muestra?
Apartado a): 1 punto
x_
=
Apartado b): 1 punto
En la primera muestra, el coeficiente de variación es:
En la segunda muestra, el coeficiente de variación es:
Por tanto, la primera muestra es más variable que la segunda.
Apartado c): 1 punto
La variación del alumno respecto a la media y la desviación típica de su muestra es:
La variación de la alumna es:
Luego, la chica resulta más alta en comparación con su grupo que el chico.
160 1554
1 25− = ,
179 1776
0 33− = ,
CV = =4155
0 026,
CV = =6177
0 034,
177 200 156 100200 100
51 000300
170⋅ + ⋅
+= =.
cm
Tipos fi hi αi
A 240 0,33 120°
B 160 0,22 80°
C 200 0,28 100°
D 120 0,17 60°
720 1,15
Tipos fi hi αi
A 252 0,35 126°
B 160 0,22 80°
C 200 0,28 100°
D 108 0,15 54°
720 1,15
A
BC
DA
BC
D
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226 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL9Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
El número de visitantes por hora en una página web durante dieciséis intervalos de tiempoconsecutivos ha sido:
6, 0, 4, 0, 0, 3, 0, 2, 0, 3, 0, 0, 1, 1, 3, 2
a) Calcular la media y la desviación típica del número de visitantes por hora.
b) Representar gráficamente los datos e interpretar los resultados anteriores.
Apartado a): 1 punto
Apartado b): 1 punto
Los datos no están distribuidos de forma simétrica, lo que explica que el valor de la media sea pequeño y que la desviación típica sea grande.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
En una población con 500.000 habitantes, los ingresos anuales medios por persona son de 10.500 euros, y en otra población con 750.000 habitantes estos ingresos ascienden a 11.250 euros.
a) ¿Cuáles son los ingresos anuales totales de cada población?b) Si las dos poblaciones se consideran conjuntamente, ¿cuáles son los ingresos anuales medios
por persona?
Apartado a): 1 punto
En la primera población, los ingresos anuales totales son: 500.000 ⋅ 10.500 = 5.250.000.000 euros
En la segunda población, los ingresos anuales totales ascienden a: 750.000 ⋅ 11.250 = 8.437.500.00 euros
Apartado b): 1 punto
x_
= euros5 250 000 000 8 437 500 000
500 000 750 000. . . . . .
. .++
= 110 950.
OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
xi fi
0 7
1 2
2 2
3 3
4 1
6 1
x_
=
σ = − = =8916
1 56 3 12 1 772, , ,
2516
1 56= ,
876543210
0 1 2 3 4 65 xi
fi
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Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
En una empresa con 100 empleados se ha realizado una encuesta y se han recogido los siguientes datos sobre el número de hijos.
Se pide:
a) Completar la tabla de distribución con las frecuencias relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.
b) Calcular la media, la mediana y la desviación típica.
Apartado a): 1,5 puntos
Apartado b): 1,5 puntos
x_
=
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un accionista ha adquirido un paquete compuesto por 300 acciones con un valor de 120 euros cada una, 200 acciones de 160 euros y 100 acciones de 190 euros. Se pide:
a) Determinar el valor medio y la mediana de los valores de las acciones que componen el paquete.
b) Si el valor de las acciones de menor precio sube un 5 %, calcular el valor medio y la mediana de los valores de las acciones.
Apartado a): 1,5 puntos
x_
= euros
euros
Apartado b): 1,5 puntos
x_
= euros
euros6002
300126 160
2143= = + =→ Me
300 126 200 160 100 190300 200 100
88 80060
⋅ + ⋅ + ⋅+ +
= .00
148=
6002
300120 160
2140= = + =→ Me
300 120 200 160 100 190300 200 100
87 00060
⋅ + ⋅ + ⋅+ +
= .00
145=
σ = − = =226100
1 22 0 77 0 882, , ,
1002
50 1= =→ Me122100
1 22= ,
xi 0 1 2 3
fi 22 42 28 8
xi fi hi Fi Hi
0 22 0,22 22 0,22
1 42 0,42 64 0,64
2 28 0,28 92 0,92
3 8 0,08 100 1
100 1,00
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228 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
Estadística bidimensional
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se considera la siguiente tabla de valores de dos variables.
a) Encontrar la recta de regresión de Y sobre X.
b) Con los resultados obtenidos en el apartado anterior, determinar el coeficiente de correlación de ambas variables.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Dado el siguiente conjunto de datos bidimensionales:
a) Sin efectuar cálculos, razonar cuál de los siguientes valores es su coeficiente de correlación: 0,3; −0,9; 0,1; 0,92.
b) Indicar cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre X: y = 2,03 + 0,37x; y = 5,53 + 0,37x; y = −2,03 − 1,37x; y = 2,03 − 0,72x.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Los datos de la variable X expresan el producto interior bruto en decenasde millones de euros, y la variable Y es la tasa de inflación.
a) Dibujar el diagrama de dispersión de los datos.
b) Indicar cuál de las rectas es la recta de regresión de Y sobre X.
y = 16,26 + 2,88x y = 16,26 − 2,88x
c) Calcular el valor esperado de la tasa de inflación que corresponde a un producto interior bruto de 4,3 decenas de millones de euros.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
La variable X expresa la calificación obtenida en elprimer curso de Bachillerato y la variable Y es la nota media de Bachillerato. Se dispone de lossiguientes datos correspondientes a nueve alumnos.
a) Hallar y representar la recta de regresión de Y sobre X.
b) ¿Qué nota media se puede predecir para una persona que ha obtenido 5,9 en el primer curso de Bachillerato?
10
X 1 1 2 3 4 4 5 6 6
Y 2,1 2,5 3,1 3,0 3,8 3,2 4,3 3,9 4,4
X 1 6 9 3 2
Y 2 3 9 6 1
X 3,4 4,6 5,2 3,2
Y 8,3 1,5 2,1 5,8
X 5,4 2,9 6,8 6,9 5,3 7,4 4,3 5,1 5,5
Y 5,8 3,5 4,8 6,4 5,9 7,4 4,2 6,2 6,1
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Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
La recta de regresión del gasto anual en alimentos Y (en miles de euros) por familia, en función de los ingresos anuales X (en miles de euros), viene dada por: y = 0,2x + 1
a) ¿Cuál es el gasto anual en alimentos de familias con ingresos anuales de 20.000 euros?
b) Sabiendo que el ingreso medio en una región es de 25.000 euros por familia, hallar el gasto medio anual en alimentos en dicha zona.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
La recta de regresión de una variable Y respecto de la variable X es y = 0,3x + 1. Los valores que ha tomado la variable X son: {3, 4, 5, 6, 7}. Se pide:
a) Determinar el valor esperado de y para el valor de x = 3,5.
b) Si los valores de la variable Y utilizados para la regresión se multiplican por 10 y se mantienenlos valores para la variable X, determinar razonadamente la nueva recta de regresión.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
La variable X representa los ingresos familiares medidos en miles de euros y la tasa de ahorro está expresada por la variable Y. Se dispone de los siguientes datos.
Se pide:
a) Calcular y representar la recta de regresión de Y sobre X.
b) ¿Qué tasa de ahorro se puede predecir para un ingreso familiar de 0,5 miles de euros?
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
La variable X expresa la calificación obtenida en el primerexamen parcial de cierta asignatura y la variable Yes la nota final de la asignatura. Se dispone de los siguientesdatos correspondientes a siete alumnos.
a) Indicar cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre X.
y = 1,350 + 0,753x y = 1,350 − 0,753x
b) Determinar la nota final que se puede predecir para una persona que ha obtenido 5,7 en el primer examen parcial de la asignatura.
X 1,0 0,4 1,5 0,8 0,6
Y 0,2 0,1 0,4 0,2 0,1
X 5,2 2,8 6,9 5,9 5,3 7,3 4,1
Y 5,6 3,3 4,8 6,2 5,8 7,8 4,2
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OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL10Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se considera la siguiente tabla de valores de dos variables.
a) Encontrar la recta de regresión de Y sobre X.
b) Con los resultados obtenidos en el apartado anterior, determinar el coeficiente de correlación de ambas variables.
Apartado a): 1,5 puntos
Cálculo de parámetros: 0,5 puntos
x_
= y_
= 4,2 sx2 = sy
2 = 8,56 sx = sy = 2,93 sxy = 6,56
Determinación de la recta de regresión: 1 punto
La recta de regresión de Y sobre X es: y − 4,2 = 0,77(x − 4,2) → y = 0,77x + 0,97
Apartado b): 0,5 puntos
r = 0,76
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Dado el siguiente conjunto de datos bidimensionales:
a) Sin efectuar cálculos, razonar cuál de los siguientes valores es su coeficiente de correlación: 0,3; −0,9; 0,1; 0,92.
b) Indicar cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre X: y = 2,03 + 0,37x; y = 5,53 + 0,37x; y = −2,03 − 1,37x; y = 2,03 − 0,72x.
Apartado a): 1 punto
Como la correlación de los datos es positiva, se descarta el valor −0,9. Para deducir cuál de las restantes posibilidades es la opción correcta, se dibuja el diagrama de dispersión.
Como los datos aparecen poco dispersos, el valor pedido es: r = 0,92
Apartado b): 1 punto
La recta de regresión de Y sobre X es: y = 2,03 + 0,37x
X 1 1 2 3 4 4 5 6 6
Y 2,1 2,5 3,1 3,0 3,8 3,2 4,3 3,9 4,4
X 1 6 9 3 2
Y 2 3 9 6 1
Y
X1
5432
2 3 4 5 6
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Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Los datos de la variable X expresan el producto interior bruto en decenas de millones de euros, y la variable Y es la tasa de inflación.
a) Dibujar el diagrama de dispersión de los datos.
b) Indicar cuál de las dos rectas es la recta de regresión de Y sobre X.
y = 16,26 + 2,88x y = 16,26 − 2,88x
c) Calcular el valor esperado de la tasa de inflación que corresponde a un producto interior bruto de 4,3 decenas de millones de euros.
Apartado a): 1 punto
Apartado b): 1 punto
La pendiente de la recta de regresión debe ser negativa → y = 16,26 − 2,88x
Apartado c): 1 punto
y = 16,26 − 2,88 ⋅ 4,3 = 3,876. La tasa de inflación es del 3,9 %.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
La variable X expresa la calificación obtenida en el primer curso de Bachillerato y la variable Y es la nota media de Bachillerato. Se dispone de los siguientes datoscorrespondientes a nueve alumnos.
a) Hallar y representar la recta de regresión de Y sobre X.
b) ¿Qué nota media se puede predecir para una persona que ha obtenido 5,9 en el primer curso de Bachillerato?
Apartado a): 2 puntos
Cálculo de parámetros: 1 punto
x_
= 5,51 y_
= 5,59 sx2 = 1,32 sxy = 1,15
Determinación de la recta de regresión y gráfica: 1 punto
La recta de regresión de Y sobre X es:
y − 5,59 = 0,66(x − 5,51) → y = 0,66x + 1,95
Apartado b): 1 punto
y = 0,66 ⋅ 5,9 + 1,95 = 5,844. La nota final es 5,8.
XX 3,4 4,6 5,2 3,2
YY 8,3 1,5 2,1 5,8
X 5,4 2,9 6,8 6,9 5,3 7,4 4,3 5,1 5,5
Y 5,8 3,5 4,8 6,4 5,9 7,4 4,2 6,2 6,1
Y
X
8642
3 4 5
Y
X2
2(5,51; 5,59)
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OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL10Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
La recta de regresión del gasto anual en alimentos Y (en miles de euros) por familia, en función de los ingresos anuales X (en miles de euros), viene dada por: y = 0,2x + 1
a) ¿Cuál es el gasto anual en alimentos de familias con ingresos anuales de 20.000 euros?
b) Sabiendo que el ingreso medio en una región es de 25.000 euros por familia, hallar el gasto medio anual en alimentos en dicha zona.
Apartado a): 1 puntoPara unos ingresos de 20.000 euros se tiene que: x = 20 → y = 0,2 ⋅ 20 + 1 = 5Por tanto, el gasto anual es de 5.000 euros.
Apartado b): 1 puntoComo el punto ( x
_, y_) pertenece a la recta de regresión: x
_= 25 → y
_= 0,2 ⋅ 25 + 1 = 6
El gasto medio anual asciende a 6.000 euros.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
La recta de regresión de una variable Y respecto de la variable X es y = 0,3x + 1. Los valores que ha tomado la variable X son: {3, 4, 5, 6, 7}. Se pide:
a) Determinar el valor esperado de y para el valor de x = 3,5.
b) Si los valores de la variable y utilizados para la regresión se multiplican por 10 y se mantienen los valores para la variable x, determinar razonadamente la nueva recta de regresión.
Apartado a): 0,5 puntos
x = 3,5 → y = 0,3 ⋅ 3,5 + 1 = 2,05
Apartado b): 1,5 puntos
Al determinar la recta de regresión se observa que la ordenada es: n = y_
− x_
En este caso, se tiene que y_
− 0,3x_
= 1.
Como los valores que ha tomado la variable X son: {3, 4, 5, 6, 7} → x_
= 5
Entonces, resulta que: y_
− 0,3 ⋅ 5 = 1 → y_
= 2,5
Si los valores de la variable Y se multiplican por 10, el valor de la media es igual a 25. La nueva recta de regresión es: y − 25 = 0,3(x − 5) → y = 0,3x + 23,5
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
La variable X representa los ingresos familiares medidos en miles de euros y la tasa de ahorro está expresada por la variable Y. Se dispone de los siguientes datos.
Se pide:
a) Calcular y representar la recta de regresión de Y sobre X.
b) ¿Qué tasa de ahorro se puede predecir para un ingreso familiar de 0,5 miles de euros?
ss
xy
x
X 1,0 0,4 1,5 0,8 0,6
Y 0,2 0,1 0,4 0,2 0,1
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Apartado a): 2 puntos
Cálculo de parámetros: 1 punto
x_
= 0,79 y_
= 0,2 sx2 = 0,26 sxy = 0,05
Determinación de la recta de regresión y gráfica: 1 punto
La recta de regresión de Y sobre X es: y − 0,2 = 0,19(x − 0,79) → y = 0,19x + 0,05
Apartado b): 1 punto
y = 0,19 ⋅ 0,5 + 0,05 = 0,145
La tasa de ahorro prevista es del 0,1 %.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
La variable X expresa la calificación obtenida en el primer examen parcial de cierta asignatura y la variable Y es la nota final de la asignatura. Se dispone de los siguientes datos correspondientes a siete alumnos.
a) Indicar cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre X.
y = 1,350 + 0,753x y = 1,350 − 0,753x
b) Determinar la nota final que se puede predecir para una persona que ha obtenido 5,7 en el primer examen parcial de la asignatura.
Apartado a): 1,5 puntos
La pendiente de la recta de regresión debe ser positiva → y = 1,350 + 0,753x
Apartado b): 1,5 puntos
y = 1,350 + 0,753 ⋅ 5,7 = 5,6421
La nota final es 5,6.
X 5,2 2,8 6,9 5,9 5,3 7,3 4,1
Y 5,6 3,3 4,8 6,2 5,8 7,8 4,2
Y
X1
0,20,4
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Probabilidad
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se dispone de la siguiente información relativa a los sucesos A y B.P(A) = 0,6 P(B) = 0,2 P(A ∩ B) = 0,12
a) Calcular las probabilidades de los sucesos A ∪ B y A / (A ∪ B).
b) ¿Son incompatibles? ¿E independientes?
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
En una estación de servicio se han realizado 400 operaciones con la tarjeta V y 350 ventas pagadas con la tarjeta MC. Los restantes repostajes del día han sido abonados en metálico. Se comprueba que 150 de las operaciones realizadas con la tarjeta V superan los 150 euros, mientras que 300 de las operaciones pagadas con la tarjeta MC superan esa cantidad. Se extrae al azar un comprobante de las operaciones diarias pagadas con tarjetas de crédito.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a una operación superior a 150 euros?
b) Si la compra es inferior a 150 euros, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido pagada con la tarjeta MC?
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
El 45 % del censo de una localidad vota al candidato A, el 35 % al candidato By el resto se abstiene. Se elige al azar a tres personas del censo. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos.
a) Las tres personas votan al candidato A.
b) Dos personas votan al candidato A y la otra al candidato B.
c) Al menos una de las tres personas se abstiene.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Sean A, B, C y D cuatro sucesos de un experimento aleatorio. Expresar los siguientes sucesos.
a) Al menos dos de los cuatro sucesos ocurren.
b) Ocurren todos o no ocurre ninguno de los cuatro sucesos.
c) Ocurren exactamente dos de los cuatro sucesos.
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Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Sean A y B dos sucesos, tales que P (A) = , P (⎯B) = y P (⎯A ∪⎯B) = . Calcular.
a) P (B / A) b) P (⎯A / B)
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
La siguiente tabla recoge la distribución por sexo y por opción de los 240 estudiantesmatriculados en 1.º Bachillerato en un centro escolar.
Si se elige un estudiante al azar entre los alumnos que cursan 1.º Bachillerato en ese centro,calcular la probabilidad de que:
a) No curse la opción Científico-Tecnológica.
b) Si es chico, curse la opción de Humanidades y Ciencias Sociales.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
De una baraja española de cuarenta cartas se extraen sucesivamente tres cartas al azar.Determinar la probabilidad de obtener:
a) Tres reyes.
b) Una figura con la primera carta, un 5 con la segunda y un 6 con la tercera.
c) Un as, un 3 y un 6, en cualquier orden.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
En una población, el 40 % son hombres y el 60 % mujeres. Además, el 80 % de los hombres y el 20 % de las mujeres son aficionados al fútbol.
a) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar sea aficionada al fútbol.
b) Elegida al azar una persona resulta ser aficionada al fútbol. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
3
4
2
5
1
2
Chicas Chicos
Científico-Tecnológica 64 52
Humanidades y CC. Sociales 74 50
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OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
PROBABILIDAD11Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se dispone de la siguiente información relativa a los sucesos A y B.
P(A) = 0,6 P(B) = 0,2 P(A ∩ B) = 0,12
a) Calcular las probabilidades de los sucesos A ∪ B y A / (A ∪ B).
b) ¿Son incompatibles? ¿E independientes?
Apartado a): 1 punto
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,6 + 0,2 − 0,12 = 0,68
P(A / (A ∪ B)) =
Apartado b): 1 punto
No son incompatibles, ya que si P(A ∩ B) = 0,12 → A ∩ B � ∅Son independientes por ser P(A) ⋅ P(B) = P(A ∩ B).
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
En una estación de servicio se han realizado 400 operaciones con la tarjeta V y 350 ventaspagadas con la tarjeta MC. Los restantes repostajes del día han sido abonados en metálico. Se comprueba que 150 de las operaciones pagadas con la tarjeta V superan los 150 euros, mientras que 300 de las operaciones pagadas con la tarjeta MC superan esa cantidad. Se extrae al azar un comprobante de las operaciones diarias pagadas con tarjetas de crédito.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a una compra superior a 150 euros?
b) Si la compra es inferior a 150 euros, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido pagada con la tarjeta MC?
Planteamiento correcto: 1 punto
Sea A = extraer un comprobante de una compra superior a 150 euros. La siguiente tabla de contingenciamuestra la distribución de las compras.
Apartado a): 0,5 puntos
P(A) =
Apartado b): 0,5 puntos
P(MC / A) =50300
16
=
450750
35
=
P A A BP A B
P AP A B
( ( ))( )
( )( )
,,
,∩ ∪
∪=
∪= =0 6
0 680 88
A A_
V 150 250 400
MC 300 50 350
450 300 750
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Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
El 45 % del censo de una localidad vota al candidato A, el 35 % al candidato By el resto se abstiene. Se elige al azar a tres personas del censo. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos.
a) Las tres personas votan al candidato A.
b) Dos personas votan al candidato A y la otra al candidato B.
c) Al menos una de las tres personas se abstiene.
A = ser votante del candidato A B = ser votante del candidato B C = abstenerse
Apartado a): 1 punto
P(A ∩ A ∩ A) = P(A) ⋅ P(A) ⋅ P(A) = ( P(A)) 3 = 0,453 = 0,0911
Apartado b): 1 punto
P(A ∩ A ∩ B) + P(A ∩ B ∩ A) + P(B ∩ A ∩ A) = 3 P(A) ⋅ P(A) ⋅ P( B) = 3 ⋅ 0,452 ⋅ 0,35 = 0,2126
Apartado c): 1 punto
Si P(A) = 0,45 y P(B) = 0,35 → P(C) = 0,2
P(Al menos una persona se abstiene) = 1 − P(Ninguna persona se abstiene) = 1 − P( C ∩ C ∩ C) == 1 − P(C) 3 = 1 − 0,83 = 0,488
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Sean A, B, C y D cuatro sucesos de un experimento aleatorio. Expresar los siguientes sucesos:
a) Al menos dos de los cuatro sucesos ocurren.
b) Ocurren todos o no ocurre ninguno de los cuatro sucesos.
c) Ocurren exactamente dos de los cuatro sucesos.
Apartado a): 1 punto
Apartado b): 1 punto
Apartado c): 1 punto
∪ ∩ ∩ ∩( )A B C D
( ) ( ) ( ) ( ) (A B C D A B C D A B C D A B C D A∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ BB C D∩ ∩ ∪)
( ) ( )A B C D A B C D∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩
∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩( ) ( )A B C D A B C D
∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩( ) ( ) ( ) ( )A B C D A B C D A B C D A B C D
( ) ( ) ( ) ( ) (A B C D A B C D A B C D A B C D A∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ BB C D∩ ∩ ∪)
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238 � MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I (1.° BACHILLERATO) � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �
OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
PROBABILIDAD11Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Sean A y B dos sucesos, tales que P (A) = , P (⎯B) = y P (⎯A ∪ ⎯B) = . Calcular.
a) P (B / A)
b) P (⎯A / B)
Apartado a): 1 punto
P( B / A) =
Apartado b): 1 punto
P(A / B) =
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
La siguiente tabla recoge la distribución por sexo y por opción de los 240 estudiantesmatriculados en 1.º Bachillerato en un centro escolar.
Si se elige un estudiante al azar entre los alumnos que cursan 1.º Bachillerato en ese centro,calcular la probabilidad de que:
a) No curse la opción Científico-Tecnológica.
b) Si es chico, curse la opción de Humanidades y Ciencias Sociales.
Planteamiento correcto: 1 punto
Sean A = ser chica, B = ser chico, C = cursar la opción Científico-Tecnológica y D = cursar la opción de Humanidades y Ciencias Sociales. Se completa la tabla de contingencia.
Apartado a): 0,5 puntos
P(No cursar la opción Científico-Tecnológica) = P(D) =
Apartado b): 0,5 puntos
P(D / B) =50
1022551
=
124240
3160
=
P A BP B
P A P B AP B
( )( )
( ) ( / )( )
∩ = ⋅ =⋅
= =
12
12
35
14
35
512
P A BP A
P A BP A
( )( )
( )( )
∩ = − ∪ =−
= =11
34
12
1412
12
3
4
2
5
1
2
A B
C 64 52 116
D 74 50 124
138 102 240
Chicas Chicos
Científico-Tecnológica 64 52
Humanidades y CC. Sociales 74 50
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Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
De una baraja española de cuarenta cartas se extraen sucesivamente tres cartas al azar.Determinar la probabilidad de obtener:
a) Tres reyes.
b) Una figura con la primera carta, un 5 con la segunda y un 6 con la tercera.
c) Un as, un 3 y un 6, en cualquier orden.
Apartado a): 1 punto
P(R1 ∩ R2 ∩ R3) =
Apartado b): 1 punto
P(F ∩ C ∩ S) =
Apartado c): 1 punto
P(A ∩ T ∩ S) + P(A ∩ S ∩ T) + P(T ∩ A ∩ S) + P(T ∩ S ∩ A) + P(S ∩ A ∩ T) + P(S ∩ T ∩ A) =
= 6 ⋅
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
En una población, el 40 % son hombres y el 60 % mujeres. Además, el 80% de los hombres y el 20 % de las mujeres son aficionados al fútbol.
a) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar sea aficionada al fútbol.
b) Elegida al azar una persona resulta ser aficionada al fútbol. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Apartado a): 1,5 puntos
P(A) = 0,4 ⋅ 0,8 + 0,6 ⋅ 0,2 = 0,44
Apartado b): 1,5 puntos
P M AP M A
P A( )
( )( )
, ,,
,/ = ∩ = ⋅ =0 6 0 20 44
0 27
440
439
438
81 235
⋅ ⋅ =.
1240
439
438
41 235
⋅ ⋅ =.
440
339
238
12 470
⋅ ⋅ =.
0,4
0,6
0,8
0,2
0,2
0,8
Aficionado
No aficionado
Aficionado
No aficionado
Hombre
Mujer
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Distribuciones binomial y normal
Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
En un taller se fabrican piezas que se empaquetan en lotes de cinco unidades. La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0,1. Se escoge un lote al azar. Se pide:
a) Hallar la probabilidad de que un lote tenga menos de dos piezas defectuosas.
b) Sea X la variable aleatoria que indica el número de piezas defectuosas en el lote. Calcular el valor esperado de X.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Consideramos una distribución normal de media 50, en la que la probabilidad de obtener un valor por encima de 70 es de 0,0228. ¿Cuál es la desviación típica de estadistribución? ¿Y cuál será la probabilidad de los valores por debajo de 45?
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un test contiene 38 preguntas del tipo Verdadero-Falso. El test se supera si se contestacorrectamente al menos a 20 preguntas. Se lanza una moneda equilibrada para decidirla respuesta a cada pregunta. Determinar.
a) La probabilidad de superar el test.
b) La probabilidad de que el número de preguntas acertadas esté entre 25 y 30, ambas opciones inclusive.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
En la inspección técnica de cierto tipo de vehículos se mide la cantidad de óxido de nitrógeno emitida y se obtiene que sigue una distribución normal con media 1,6 y desviación típica 0,4.
a) Calcular la probabilidad de que la cantidad de óxido de nitrógeno emitida sea menor que 1,8.
b) Hallar la probabilidad de que la cantidad emitida esté entre 1,2 y 1,4.
c) Obtener un valor de contaminación c, tal que la probabilidad de que un vehículo emita una cantidad menor que c sea igual a 0,9901.
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Instrucciones:
El examen presenta dos opciones, A y B. El alumno deberá elegir una deellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de los que constadicha opción.
Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica,siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico.
Tiempo: Una hora y treinta minutos.
Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.
Opción B
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Una prueba se compone de 10 preguntas y cada una de ellas presenta una respuesta correcta de las cuatro respuestas posibles.
a) Si la prueba se supera con 3 o más respuestas correctas, ¿cuál es la probabilidad de superarla respondiendo al azar?
b) ¿Y cuál es la probabilidad de acertar las 10 preguntas respondiendo al azar?
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
La media de una variable aleatoria X con distribución normal es cinco veces la desviacióntípica, y verifica que:
P (X ≤ 6) = 0,8413
Calcular la media y la desviación típica de la variable aleatoria X.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se sabe que el 2 % de unos instrumentos es defectuoso. Si se dispone de una partida de 500 instrumentos, se pide:
a) Hallar el número medio de instrumentos que funcionarán.
b) Calcular la probabilidad de que funcionen al menos 485 instrumentos.
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
La variable X representa la presión arterial medida en milímetros. Se sabe que Xsigue una distribución normal con media 120 mm y desviación típica 10 mm.
a) Calcular la probabilidad de que la presión arterial de una persona sea menor que 110 mm.
b) Hallar la probabilidad de que X esté entre 120 mm y 140 mm.
c) Obtener un valor x0 tal que la probabilidad de que una persona tenga presión arterial mayor que x0 sea igual a 0,9901.
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OPCIÓN A: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL12Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
En un taller se fabrican piezas que se empaquetan en lotes de cinco unidades. La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0,1. Se escoge un lote al azar. Se pide:
a) Hallar la probabilidad de que un lote tenga menos de dos piezas defectuosas.
b) Sea X la variable aleatoria que indica el número de piezas defectuosas en el lote. Calcular el valor esperado de X.
Apartado a): 1,5 puntos
Determinación de la variable aleatoria (0,5 puntos): X � B(5; 0,1)
Cálculo de la probabilidad (1 punto): P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) =
= ⋅ 0,10 ⋅ 0,95 + ⋅ 0,1 ⋅ 0,94 = 0,9185
Apartado b): 0,5 puntos
E( X) = μ = n ⋅ p = 5 ⋅ 0,1 = 0,5 piezas
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Consideramos una distribución normal de media 50, en la que la probabilidad de obtenerun valor por encima de 70 es de 0,0228. ¿Cuál es la desviación típica de esta distribución? ¿Y cuál será la probabilidad de los valores por debajo de 45?
Apartado a): 1 punto
X � N(50, σ)
P( X > 70) = P = P = 0,0228 → P = 0,9772
→ = 2 → σ = 10
Apartado b): 1 punto
P( X < 45) = P = P( Z > −0,5) = 1 − P( Z < 0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un test contiene 38 preguntas del tipo Verdadero-Falso. El test se supera si se contestacorrectamente al menos a 20 preguntas. Se lanza una moneda equilibrada para decidirla respuesta a cada pregunta. Determinar.
a) La probabilidad de superar el test.
b) La probabilidad de que el número de preguntas acertadas esté entre 25 y 30, ambas opciones inclusive.
X − > −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
5010
45 5010
20σ
Z ≤⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
20σ
Z >⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
20σ
X − > −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
50 70 50σ σ
51
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
50
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
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Determinación de la variable aleatoria y aproximación por la normal: 1 punto
X � B(38; 0,5) → X' = N(19; 3,08)
Apartado a): 1 punto
P( X' ≥ 20) = P = P( Z ≥ 0,32) = 1 − P( Z < 0,32) = 1 − 0,6255 = 0,3745
Apartado b): 1 punto
P(25 ≤ X' ≤ 30) = P = P(1,95 ≤ Z ≤ 3,67) =
= P( Z ≤ 3,67) − P( Z ≤ 1,95) = 0,9999 − 0,9744 = 0,0255
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
En la inspección técnica de cierto tipo de vehículos se mide la cantidad de óxido de nitrógeno emitida y se obtiene que sigue una distribución normal con media 1,6 y desviación típica 0,4.
a) Calcular la probabilidad de que la cantidad de óxido de nitrógeno emitida sea menor que 1,8.
b) Hallar la probabilidad de que la cantidad emitida esté entre 1,2 y 1,4.
c) Obtener un valor de contaminación c, tal que la probabilidad de que un vehículo emita una cantidad menor que c sea igual a 0,9901.
Apartado a): 1 punto
P( X < 1,8) = P = P( Z < 0,5) = 0,6915
Apartado b): 1 punto
P(1,2 < X < 1,4) = P = P(−1 < Z < −0,5) =
= P( Z < −0,5) − P( Z < −1) = 1 − 0,6915 − (1 − 0,8413) = 0,1498
Apartado c): 1 punto
P( X < c) = 0,9901 → P = 0,9901 → = 2,33
→ c − 1,6 = 0,932 → c = 2,532
c − 1 60 4
,,
X c− < −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
1 60 4
1 60 4
,,
,,
1 2 1 60 4
1 60 4
1 4 1 60 4
, ,,
,,
, ,,
− < − < −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
X
X − < −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
1 60 4
1 8 1 60 4
,,
, ,,
25 193 08
193 08
30 193 08
− ≤ − ≤ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟, , ,
X'
X ' − ≥ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
193 08
20 193 08, ,
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OPCIÓN B: RESOLUCIÓN Y CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL12Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Una prueba se compone de 10 preguntas y cada una de ellas presenta una única respuesta correcta de las cuatro respuestas posibles.
a) Si la prueba se supera con 3 o más respuestas correctas, ¿cuál es la probabilidad de superarla respondiendo al azar?
b) ¿Y cuál es la probabilidad de acertar las 10 preguntas respondiendo al azar?
Apartado a): 1,5 puntos
Determinación de la variable aleatoria (0,5 puntos): X � B(10; 0,25)
Cálculo de la probabilidad (1 punto):
P( X ≥ 3) = 1 − P( X < 3) = 1 − ( P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2)) =
= 1 −
= 1 − (0,0563 + 0,1877 + 0,2816) = 0,4744
Apartado b): 0,5 puntos
P( X = 10) = ⋅ 0,2510 ⋅ 0,750 = 0,00000095
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
La media de una variable aleatoria X con distribución normal es cinco veces la desviacióntípica, y verifica que:
P (X ≤ 6) = 0,8413
Calcular la media y la desviación típica de la variable aleatoria X.
Planteamiento correcto: 1 punto
X � N(5σ, σ)
P( X ≤ 6) = P = 0,8413
Resolución correcta: 1 punto
= 1 → 6 − 5σ = σ → σ = 1 → μ = 5
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se sabe que el 2 % de unos instrumentos es defectuoso. Si se dispone de una partida de 500 instrumentos, se pide:
a) Hallar el número medio de instrumentos que funcionarán.
b) Calcular la probabilidad de que funcionen al menos 485 instrumentos.
6 5− σσ
XP Z
− ≤ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ = ≤ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
5 6 5 6 5σσ
σσ
σσ
1010
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
100
0 25 0 75 101
00 10⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅, , ,225 0 75 10
20 25 0 759 2 8⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ ⋅
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟, , , ⎟⎟⎟ =
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Apartado a): 1 punto
Determinación de la variable aleatoria y cálculo de la media: 1 punto
X � B(500; 0,02)
μ = n ⋅ p = 500 ⋅ 0,02 = 10 instrumentos
Apartado b): 2 puntos
Aproximación de la distribución binomial por la normal: 1 punto
X = B(500; 0,02) → X' = N(10; 3,13)
Cálculo de la probabilidad: 1 punto
P( X' ≥ 485) = P( X' < 15) = P = P( Z < 1,6) = 0,9452
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
La variable X representa la presión arterial medida en milímetros. Se sabe que Xsigue una distribución normal con media 120 mm y desviación típica 10 mm.
a) Calcular la probabilidad de que la presión arterial de una persona sea menor que 110 mm.
b) Hallar la probabilidad de que X esté entre 120 mm y 140 mm.
c) Obtener un valor x0 tal que la probabilidad de que una persona tenga presión arterial mayor que x0 sea igual a 0,9901.
Apartado a): 1 punto
P( X < 110) = P = P( Z < −1) = 1 − P( Z < 1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Apartado b): 1 punto
P(120 < X < 140) = P = P(0 < Z < 2) =
= P( Z < 2) − P( Z < 0) = 0,9772 − 0,5 = 0,4772
Apartado c): 1 punto
P( X < x0) = 0,9901 → P = 0,9901 → P = 0,9901
→ − = 2,33 → −x0 + 120 = 23,3 → x0 = 96,7 mmx0 120
10−
Zx≤ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
0 12010
Zx> −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
0 12010
120 12010
12010
140 12010
− < − < −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
X
X − < −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
12010
110 12010
X' − < −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
103 13
15 103 13, ,
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