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1Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Modelos Matematicos de Sistemas
Introdução;Equações Diferenciais de Sistemas Físicos;Aproximações Lineares de Sistemas Físicos;Transformada de Laplace;Função de Transferência de Sistemas Lineares;Modelos em Diagrama de Blocos;Modelos em Diagramas de Fluxo de Sinais;Analise Computacional de Sistemas de Controle;Exemplo de Projetos.
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2Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Equações Diferenciais de Sistemas Físicos
( ) ( ) 0a sT t T t− =
( ) ( ) ( )s aw t w t w t= −
As Equações Diferenciais que descrevem o desempenho de um sistema dinâmico de um sistema físico são obtidas u tilizando-se as Leis físicas do processo.
(a) Sistema de Torção Massa-Mola (b) Elemento Mola
Variável-Através
Variável-Sobre
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3Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Resumo das Variáveis Através e Sobre para Sistemas Físi cos
Diferença de Temperatura T21
Energia Térmica HFluxo Térmico qTérmico
Momento de Pressão (21
Diferença de Pressão P21
Volume VVazão Volumétrica Q
Fluido
Diferença de deslocamento angular 221
Diferença de velocidade angular T21
Momento cinético hTorque TMecânico em Rotação
Diferença de deslocamento y21
Diferença de velocidade v21
Quantidade de Movimento P
Força FMecânico em Translação
Enlace de Fluxo 821
Diferença de Tensão v21
Carga qCorrente iElétrico
Variável Através Integrada
Variável de Elemento Sobre
Variável Através Integrada
Variável deElemento Através
Sistema
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4Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Sistema Massa-Mola-Amortecedor
2
2
( ) ( )( ) ( )
d y t dy tM b ky t r t
dt dt+ + =
(b) Diagrama Corpo Livre
(a) Sistema Massa-Mola-Amortecedor
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5Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Circuito RLC
0
( ) ( ) 1( ) ( )
tv t dv tC v t dt r t
R dT L+ + =∫
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6Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Solução da Equação Diferencial
Métodos Clássicos:1. Fatores de Integração2. Método dos coeficientes a determinar3. Transformada de Laplace
11 1 1( ) ( )ty t K e sen tβ θ−α= +
22 2 2( ) ( )tv t K e sen tβ θ−α= +
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7Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Aproximações Lineares de Sistemas Físicos
� Os modelos mais precisos de sistemas físicos são não-lineares.
� A Transformada de Laplace não pode ser utilizada na solução de equações diferenciais não-lineares.
Técnica de Linearização de sistemas não-lineares
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8Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Modelo Oscilador Tipo Pendulo
L →→→→ comprimento do pêndulo;M →→→→ massa do pêndulo;f →→→→ força que atua no pêndulo;g →→→→ gravidade.
L
g
d t
dtt.
( )sen ( )
2
2
θθ= −
A equação diferencial que descreve o movimento do p êndulo
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9Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Série de Taylor
f fdf
d
d f
d( ) ( ) .( ) .
( )
!......
( ) ( )θ θ
θθ θ
θθ θ
θ θ θ θ= + − +
−+
= =00
0
2
20
02
2
Se a variação “q - θ0” é pequena, os termos de maior grau podem ser desprezados na série de Taylor. Isto resulta em:
f(θ) = sen θ , e:
Como, o pêndulo mostrado, opera na região em que , pode-se linearizar a função em torno do ponto .
L
g
d t
dtt.
( )( )
2
2
θθ= −
f fdf
d( ) ( ) . ( )
( )θ θ
θθ θ
θ θ≅ + −
=00
0
{ } ( )sen sen cos .θ θ θ θ θ= + −0 0 0
( )sen .θ θ≅ + − ∴0 1 00 senθ θ≅
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10Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Transformada de Laplace
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11Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Onde: n≥mx(t) ⇒ entrada (função excitação) e y(t) ⇒ saída (função resposta)
A FT de um LTI é definida como sendo a relação entre as Transformadas de Laplace da saída e da entrada, com todas as condições iniciais nulas.
LTI – Linear Time Invariant - Sistema Linear Invariante no Tempo
1 1
0 1 1 0 1 11 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... . ( ) ... . ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ta a a a y t b b b b x t
dt dt dt dt dt dt
− −
− −− −+ + + = + + +
( ) ( )a a S a a Y s b b b b X sn nn n
m mm m0 1
11 0 1
11.S .... .S ( ) .S .S .... .S ( )+ + + + = + + + +−
−−
−
Aplicando-se a transformação de laplace, temos:
10 1 1
10 1 1
. . .... .( )( )
( ) . . .... .
m mm m
n nn n
b S b S b S bY sG s
X s a S a S a S a
−−
−−
+ + + += =+ + + +
Função de Transferência
Sistema de ordem n
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12Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A FT de um sistema é uma propriedade que independende d a natureza e da magnitude da entrada;
Possibilitar um sistema dinâmico ser representado por expressões algébricas da variável complexa “S”;
A FT não fornece informações a respeito da estrutura f ísica do sistema. A FT de sistemas fisicamente diferentes pod em ser idênticas;
Se a FT de um sistema é conhecida, a resposta do mesm o pode ser analisada para diferentes formas de excitação (ent rada), com a finalidade de compreender a natureza e o comportament o do sistema;
Se a FT pode ser obtida experimentalmente pela introdu ção de sinais de entrada conhecidos e estudando-se as respo stas obtidas.
A FT fornece uma descrição completa das característi cas dinâmicas do sistema.