Modelos Estocásticos

Breve introducción

Motivación “Imagine that we want to have a model that allows us to actually see

evolution in action.

In this case then, we do not care about all the mutations that led

nowhere.

All we are interested in is those few, statistically insignificant,

events that resulted in a qualitative change in our system: a new

trait, or a new defense mechanism, for instance.

What we would be interested in are the particulars of the system,

not its general features.

Mathematical models are normally not very good at representing

particulars of random systems; different approaches are required if

we are interested in those.

We can say, therefore, that if our system is irreducibly random then

mathematical approaches will be limited in their usefulness as

models.”

Barnes & Chu: “Introduction to Modelling for Biosciences”, Springer-Verlag London Limited 2010.

Definición

• Se denomina estocástico (del latín stochasticus:

"hábil en hacer conjeturas") a un sistema cuyo

comportamiento es intrínsecamente no

determinístico: no se puede

predecir con exactitud cuál

será el próximo valor que arrojará

el sistema

• El comportamiento de un sistema estocástico

puede ser el resultado conjunto de la acción

de elementos predecibles

y elementos aleatorios.

¿Por qué los fenómenos son

estocásticos? • Las variables en sí son perturbadas o

siguen comportamientos estocásticos

• Los parámetros del sistema son

perturbados de forma estocástica

¿Si tuviéramos conocimiento completo del

sistema, seguirían existiendo variables

aleatorias?... o variables determinísticas?. ¿El movimiento de la hormiga es aleatorio??

Para qué simular fenómenos

estocásticos?

• Estimar las características de la respuesta de un

sistema probabilístico (asumiendo que el mismo

es estacionario)

clasificación fenomenológica

de las señales

Encontrar

– la dispersión de la distribución

– tendencia central

– probar una probabilidad nula

Simulación de fenómenos

estocásticos • Agregar aleatoriedad a un modelo determinístico

(parámetros y/o variables de estado)

• Sistemas intrínsecamente probabilísticos

Ej. Modelos de Markov: la dinámica del

sistema puede darse sólo en determ.

estados, la transición es probabilística

Generación de Series de Números Aleatorios

• Rol preponderante en el proceso de simulación.

• Para simular necesitamos de números aleatorios como

semillas para generar muestras de V.A.

Características de un generador :

1. Distribución Uniforme.

2. NO Correlación Serial.

Las computadoras son Sistemas Determinísticos

Variables pseudoaleatorias

pdf

v

Generación de Series de Números Aleatorios

Fenómenos Físicos Procedimientos

Matemáticos

Números

Aleatorios

Validación de

Series de NA

Variables

U(0,1)

Variables

Aleatorias

Tabla de Nros.

aleatorios

Xi+1=(aXi+c) mod m

Series de Nros. Aleatorios ideales

1. Distribución Uniforme.

Cualquier número que

pertenezca al rango de interés

debe tener la misma

probabilidad de resultar

“sorteado”.

2. NO Correlación Serial.

La aparición de un número en

la secuencia, no afecta la

probabilidad de que aparezca

otro (o el mismo) número.

Ejemplo

La sucesión 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5...

es uniforme pero está correlacionada.

Si dos sucesiones están negativamente correlacionadas,

entonces que xi y yi sean grandes es un evento poco

probable

Existen Tests que verifican las condiciones de uniformidad y

correlación serial...

Series de Números Aleatorios

Colección DIEHARD de tests de aleatoriedad (George Marsaglia, http://www.stat.fsu.edu/pub/diehard/)

Otros tests de aleatoriedad y generadores alternativos de números aleatorios (http://burtleburtle.net/bob/rand/testsfor.html)

Y ALLÍ TENEMOS NUESTRO GENERADOR DE NUMEROS ALEATORIOS

NUEVE NUEVE

NUEVE NUEVE

NUEVE NUEVE

¿ESTÁ SEGURO QUE SON ALEATO-RIOS?

ESE ES EL PROBLEMA CON LA ALEATORIE-DAD: NUNCA SE PUEDE ESTAR SEGURO.

TOUR DE COMPUTABILIDAD

Series de números aleatorios

“número aleatorio”.

“serie de números aleatorios”

• “Una sucesión de números es aleatoria si no puede

reproducirse eficientemente mediante un programa

más corto que la propia serie”

• “Una sucesión de números es aleatoria si nadie que

utilice recursos computacionales razonables en

tiempo razonable puede distinguir entre la serie y

una sucesión verdaderamente aleatoria de una forma

mejor que tirando una moneda fiel para decidir cuál

es cuál”

Serie de Números Aleatorios

• Son números que deben cumplir los requisitos

de espacio equiprobable, es decir, que todo

elemento tenga la misma probabilidad de ser

elegido y que la elección de uno no dependa

de la elección del otro.

Propiedades deseables de un

Generador de Nro. Aleatorio

1. Uniformemente distribuidos.

2. Estadísticamente independientes (no correlación).

3. Periodo largo (sin repetición).

4. Reproducibles y mutables.

5. Sencillo en su implementación.

6. Que posea portabilidad.

7. Método rápido de generación.

8. Poca memoria para la generación.

Mecanismos de generación

• Tablas de números aleatorios – RAND (1955), 100,000 números aleatorios

(ruido electrónico)

• Fenómenos físicos – Ruido blanco producido por circuitos

electrónicos

– Recuento de partículas emitidas

– Lanzamiento de monedas

– Rueda de la fortuna

• Procedimientos matemáticos – Se usan algoritmos para la generación de

números aparentemente aleatorios, se entrega una semilla y se generan los sucesores mediante una función

1. Uniformemente

distribuidos.

2. Estadísticamente

independientes.

1. Periodo largo (sin

repetición).

1. Reproducibles y

mutables.

2. Sencillo en su

implementación.

3. Portabilidad.

1. Método rápido de

generación.

2. Poca memoria para la

generación.

Otros números aleatorios “naturales”

Otra opción es el uso de observaciones del mundo real en

la generación de números “al azar”.

Ejemplos:

Uso de la temperatura dentro de la computadora:

Decide un límite de temperatura T.

•Si la temperatura actual es mayor

que T, la salida es uno.

•Si la temperatura es menor o igual

a T, la salida es cero.

Uso del reloj de la computadora:

Toma el último dígito D de la hora actual.

•Si D es par, la salida es cero.

•Si D es impar, la salida es uno.

Disco rígido

……………………………………...

Números aleatorios

Existen algoritmos para generar números pseudo-aleatorios,

es decir, que parecen como si hubieran sido generados

totalmente al azar, aunque no lo son.

Un ejemplo:

Xt+1 = Xt2 mod 31417

Un ejemplo más simple (aritmética entera):

Xt+1

= (a Xt + c) mod m

generador lineal congruencial (GLC) de Lehmer, 1948

En computadoras a=314, 159, 269; c=453, 806, 245; m=231-1

Con m=232-1 genera enteros de hasta 32 bits

Si se mantienen las constantes las secuencias son correlacionadas

Una secuencia de ejemplo

Asignamos en el método de Lehmer X0 = 6, a = 21, c = 3 y m = 100:

X1 = (21 * 6 + 3) mod 100 = 129 mod 100 = 29

Secuencia generada: 6, 29, 12, 55, 58, 21, 44, 27, 70, 73, 36, 59, 42, 85, 88, 51, 74, 57, 0, 3,

66, 89, 72, 15, 18, 81, 4, 87, 30, 33, 96, 19, 2, 45, 48, 11, 34, 17, 60, 63, 26, 49, 32, 75, 78, 41, 64, 47,

90, 93, 56, 79, 62, 5, 8, 71, 94, 77, 20, 23, 86, 9, 92, 35, 38, 1, 24, 7, 50, 53, 16, 39, 22, 65, 68, 31, 54,

37, 80, 83, 46, 69, 52, 95, 98, 61, 84, 67, 10, 13, 76, 99, 82, 25, 28, 91, 14, 97, 40, 43

Está combinación nos da números de 0 a 99 y después vuelve a repetir

la misma secuencia. Es un algoritmo muy simple por lo cual repite

bastante rápidamente.

Existen otros muy buenos con cuales no se puede predecir con facilidad

qué número es el siguiente habiendo observado los anteriores.

0 ≤ x ≤ 1 P(x)dx = dx

Es el generador básico de números aleatorios.

Todos los lenguajes de programación cuentan con uno de

estos generadores:

Ej. Matlab

RNG Control the random number generator used by RAND, RANDI, and RANDN.

RNG(SD) seeds the random number generator using the non-negative integer SD so

that RAND, RANDI, and RANDN produce a predictable sequence of numbers.

RNG('shuffle') seeds the random number generator based on the current time so that

RAND, RANDI, and RANDN produce a different sequence of numbers

Los lenguajes de programación normalmente poseen

generadores lineales congruenciales (GLC)..

Números aleatorios: distribución uniforme

Método de la inversa de la curva de acumulación

Método de Box-Muller para Distribuc. Normal Standard

)2sin()ln(2

)2cos()ln(2

212

211

UUz

UUz

mszy

No funciona para la distribución normal

U1 y U2 ϵ (0,1] distrib. uniforme

Con esta configuración de ejes, supongamos que queremos generar

números aleatorios que sigan una densidad de probabilidad P(y), que

tiene asociada una probabilidad acumulada F(y)

si F(y) es invertible, entonces el número aleatorio y=F−1(x).

Por lo tanto, se generan números aleatorios x bajo una distribución

uniforme, y se transforman en números aleatorios y bajo la distribución

P(y).

Números aleatorios: inversa de la curva de

acumulación

Método de la Inversa de la

Curva de Acumulación 1. Determinar la pdf de x: (f(x))

2. Integrar para obtener la cdf: (F(x))

– Determinar la constante de integración (conociendo

F(x)=1 o F(x)=0 u otro)

3. Hacer que F(x) tome valores de distribución

uniforme (U(0,1))

4. Invertir F(x) y obtener x (los valores según la

distribución buscada)

Ejemplo de método de

transformación

• Ángulo de giro en Insectos

cdf

cdf

pdf

Clustering con escarabajos

1,0

5.0

UF

C

2

1

2/1

4/1

2

1

2/1

4/1

Distribución tipo “Wrapped Cauchy”

ρ distribución de concentrac. ~ σ

ϴ ángulo promedio

>

Simulación de fenómentos estocásticos:

Métodos Monte Carlo

• Una clase de algoritmos computacionales que se

basan en

– repetir muestreo aleatorio

– calcular los resultados

Guerra naval! AGs?

• Permiten simular sistemas físicos y/o matemáticos

complejos:

– sistemas con muchos grados de

libertad acoplados (fluidos)

– sistemas inherentemente

estocásticos

• estructuras celulares o macromoleculares

• canales de membrana

Métodos Monte Carlo

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

• Todos poseen el siguiente conjunto de

pasos:

1. Definir el dominio de las posibles entradas

2. Generar entradas de forma aleatoria usando

una determinada distribución de probabilidades

3. Generar el cómputo

determinístico de los

resultados

4. Superponer los resultados

de los cómputos individuales

para obterner el resultado final Juego Guerra Naval

x

x

y

f(x)

puntos de n

curva la bajo puntos de no

o

Adxxf )(

• Este argumento se puede aplicar también a volúmenes.

• El error del cálculo es proporcional a: N/1

• Ejemplo clásico:

Área debajo de una curva.

Dada un área A fácil de medir,

que contiene una curva f(x) difícil de integrar, se puede calcular el área debajo de la curva mediante la generación N veces de dos números aleatorios (x, y) que representen las coordenadas.

Se cuentan los puntos por encima y por debajo de la curva.

Monte Carlo: método de fuerza bruta

≈

• Aplicado a modelización:

– Múltiples objetos con dinámicas aleatorias

– Cuando necesitamos estimar las

características probabilísticas de la

respuesta del modelo (por ej.

tendencia central y dispersión

de distribución)

Monte Carlo: método de la

fuerza bruta

EEG, secuencias de Bases, etc.

Ejemplo Modelización estocástica de

compuertas de canales iónicos

LL

NaNa

gg

hmgg

)5

)4 3

Modelo Matemático por

MonteCarlo

αm(v) = 0.1(45+v)/(1-e-((45+v)/10)),

βm(v) = 4e-((70+v)/18),

αn(v) = 0.01(v+60)/(1-e-((60+v)/10)),

βn(v) = 0.125e-((70+v)/80)

αh(v) = 0.07 e-((70+v)/20),

βh(v) = 1/(1+e-((40+v)/10))

LLNaNaKKmap EtvgEtvtgEtvtgdt

dvCtI )( )6

Unidad abierta

Unidad cerrada

βn αn

1) Para cada canal:

2) Se cuentan todos los No y los Nc 4

)3

tot

okk

N

Ngg

En cada instante:

hhdt

dh

mmdt

dm

hh

mm

)1(

)1(

Bibliografía

• “Modeling Biological Systems. Principles and applications”, J. Haefner, Springer, 2005.

• “Introduction to Modelling for Biosciences”, Barnes & Chu, Springer-Verlag London Limited 2010.

• “Computational Cell Biology”, Ch. P. Fall, Springer, 2002.

• “Numerical recipes” Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery, Cambridge University Press, 2007.

• “Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and Applications” G. S. Fishman, Springer, 1995.

• “Mathematical Modeling of Complex Biological Systems”, A. Bellouquid – M. Dellitala, Birkhauser, 2006.

• "Computer Modelling of Complex Biological Systems", S. Sitharama Iyengar, CRC Press.