Modelos de crecimiento y metabolismo microbiano

Gustavo Viniegra GonzálezUniversidad Autónoma

Metropolitana, Iztapalapa, D.F.

CICLO DE VIDA DE UN MOHO

Macro cinética de A. nigerLarralde-Corona et al., (1997)

rA = densidad de superficie (mg/cm2)

Al inicio: crecimiento exponencial

Al final: densidad máxima rAmax

Os valores de, rA y rAmax, dependen de la concentración So

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

4

8

12

16

20 120 gL-1

70 gL-1

300 gL-1

40 gL-1

10 gL-1

Bio

mas

s dr

y w

eigh

t, X

(mg/

cm2)

Time (h)

Modelo macroscópico

• La tasa específica de crecimiento, r, está definida como

r = (1/X)dX/dtSe supone que, r, se anula cuando X, se

aproxima a, Xmax.Modelo de von Bertanlanffy

r = m{1 – (X/Xmax)n}X << Xmax r m; X Xmax, r 0

Consecuencias del modelo

• Si n = 1; r, vs. X, es una recta.

• Si n > 1; r vs. X, se inhibe tardíamente.

• Si n < 1; r vs. X, se inhibe tempranamente.

El caso más simple, n=1, (ecuación logística).

Punto de inflexión a la mitad del crecimiento

Velocidad específ., r, vs. densidad, X

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0 5 10 15 20

X (mg/cm2)

r (1/

h)

n = 1 n = 1/2 n=2

¿Por qué dejan de crecer los hongos filamentosos?

• Deficiencias en algún factor de crecimiento y en el balance respiratorio.

• Los ciclos celulares tienen puntos de control sobre los factores de crecimiento.

• Cuando detectan una faltante, detienen el ciclo celular.

• La inflexión de la curva ocurre antes de la transición respiratoria.

Respiración de Beauveria bassiana

Salvado de trigo o cutícula de grilo.

Dos fases respiratorias (Ikasari y Mitchell, 2000)

a) Crecimiento exponencial

b) Autólisis de parte de la biomasa 0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0

-

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

Datos: D. Rodríguez, tesis doctoral en la UAMI, 2009

0 10 20 30 40 50 60

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

mg

CO 2 /

g M

SI* h

STS Cepa 88 STS Cepa 885.2

Modelo de Ikasari y Mitchell

• Fase exponencialt tC; dX/dt = mX; X = X0exp(mt)

Fase finalt > tC; dX/dt = m(e-r(t-tc))X;

X = Xcexp[(m/r)(1-e-r(t-tc))]

t ; X Xce(m/r) = Xmax; (Xc/ Xmax) = e(m/r)

Interpretación fisiológica

r = (1/X)(dX/dt); tasa específica de crecimiento

Condiciones favorables r= m; constante

Condiciones desfavorables r decrece exponencialmente con el tiempo.

Integración del Modelo I-M

• (1/X) dX/dt = dln(X)/dt = m(e-r(t-tc))• Integrando, entre XC y XF; y entre tC y t

dln(X) = m (e-r(t-tc))dtln(XF /XC) = (m/r)(1-e-r(t-tc))

Tomando antilogaritmos

(XF /XC) =exp[(m/r)(1-e-r(t-tc))]

Modificación a Bertanlanffy

• X = Xmax/[1+Cexp(-nm(t-tr))]1/n; t > tr

• C = (Xmax / X0)n -1; condición inicial y final.

• Si t ; X = X0 ; supone un retardo para la germinación de las esporas.

Comparación de modelos (B vs. I-M)

• Parámetros: Xo 0.05; Xmax = 0.882XC = 0.220 m = 0.02/h; r = 0.144/hn = 1.23, tr = 10. 4 hLa inflexión con B,

antes que con I-M (problema numérico)

0 10 20 30 40 50 600.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

IkasariBertanlanffyTasa MitchellTasa Bertanlanffy

Sugerencia para los ajustes

• La fase exponencial se puede medir con precisión (biomasa o respiración) m

• El nivel final también se puede medir Xmax • Con esos datos se calcula el punto de inflexión

por ajuste numérico .Para el modelo B (n, tr) Para el modelo I-M (tC, r)

Punto de inflexión (modelo B)

• dX/dt = m{1 – (X/Xmax)n}X; x = X/Xmax

• dx/dt = m{1 – (x)n} x = mx -m(x)n+1

• Inflexión d2x/dt2 = m[1 –(n+1)(x)n] = 0x = [1/(n+1)] 1/n

n = 1, x = ½. Logística.n < 1, x < ½. Inhibición temprana.

n > 1, x > ½. Inhibición tardía.

¿Por qué ajusta la logística (n = 1)?

Retardo, tr, despreciable.

Punto de inflexión a la mitad de la curva (x = ½).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

20406080

100120

0

5

10

15

20

25

Time (h)

Subs

trat

e g/

L

Biom

ass (

g/L)

10 20 30 40 50 60 700

3

6

9

12

0

5

10

15

20

25

Tiempo (h)

Biom

asa

(g/L

)

Gluc

osa

(g/L

)

R2 = 0.999

R2 = 0.952

Datos de E. Ortega (2012)

Metabolismo vs. Crecimiento• dx/dt = m(1-x)x; x = X/Xmax; s = S/S0

• -dS/dt = Xmax[(m/Y)(1-x)x+mx]

• -dS/dx = Xmax{(1/Y) +m/[m(1-x)]}

• -dS =(Xmax /Y)dx + (mXmax/m)dx/(1-x)

• - DS (Xmax /Y)Dx + (mXmax/m)ln[1/(1-x)]

• Cuando, (m/m) << 1; - DS (1/Y)DX

Correlación empírica (S vs X)

• Cuando X/Xmax < ½

• - DS (1/Y)DX

• Y = (1/3.45) = 0.29

Es un rendimiento razonable para A. niger

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

f(x) = NaN x + NaNR² = 0 Consumo vs Crecimiento

Biomasa (g/L)

Sust

rato

(g/L

)

Datos de E. Ortega (2012)

Correlación de Pirt

• 1/Y = 1/Yo + m/m

Si: Y0 = 0.5; Y = 0.29; ¿m?

m/m = 1/Y - 1/Yo= 3.45 – 2.00 = 1.45Según Ortega (2012), m = 0.124/h

m = 1.45m = 0.19 gS/(gX*h)

Cómo se ajustan los datos

• Se tiene un modelo matemático integrado.X = Xmax/[1+(Xmax/Xo – 1)exp(-mt)]

• Se cuentan con suficientes datos (>2xNo. parámetros).

• Para cada valor de, t, se calcula, X• Se estima S = (Xcalc – Xobs)2

• Se minimiza, S, variando los parámetros (Xmax, Xo, m) con la función Solver de Excel.

Conclusiones

• El modelo general de Bertanlanffy puede seguir al modelo integrado de Ikasari y Mitchell.

• Es razonable suponer que hay dos fases del crecimiento (exponencial y decaimiento)

• El modelo logístico ajusta bien muchos datos empíricos.

• Es fácil correlacionar el metabolismo con el crecimiento, usando el modelo de Pirt.

Problema 1

Un moho se cultiva sobre granos de almidón. Su tasa respiratoria se duplica cada 2.5 h durante el inicio del cultivo. Al final del cultivo se encuentra que Xmax = 0.5g/gS0. El inóculo tenia 4x106 esporas por g de S0. Las esporas tenían 85% de humedad y su diámetro era d = 2x10-4 cm. La transición respiratoria se observó a las 12 h.

Construya la curva integrada de crecimiento (X vs. t), según el modelo I-M.

Sugerencia: Calcule, r, suponiendo que XF = Xmax.

Problema 2

• Un cultivo de Pleurotus ostreatus, crece conforme a la ecuación logística. Al principio, del cultivo se duplica cada 6h. Se inocula con 10 mg por g de materia seca en una fábrica que maneja 10 toneladas de paja (base seca) por tanda.

• Calcule el tiempo necesario para que se produzca una tonelada de hongos (base seca).

Problema 3

• Thermoascus arianticus tiene un rendimiento Yx/O2 = 0.18 gX/gO2 y m = 0.013 gO2/(gX*h)‡.

• Construya la ecuación de consumo de O2 según el modelo de Pirt y la ecuación logística.

• Calcule el consumo de O2 (g/h) cuando se tienen dos toneladas de biomasa y el hongo se duplica cada 20 h. Suponga que el hongo se encuentra con la máxima tasa específica de crecimiento.

‡Datos de: dos Santos et al. Biotechnol. Let. 25: 23-26, 2003

Problema 4

• Estime, X0, Xmax y m, usando los datos anexos.

• Construya las curvas, X, vs t; dX/dt vs. t.

• Compare los datos empíricos con las curvas obtenidas.

• Estime R2 (calculado vs. observado)

Tiempo (horas) Biomasa (g)

0.0 0.00

7.0 0.71

13.5 0.80

17.0 0.95

32.5 4.10

56.0 14.24

81.0 18.75

91.0 19.21

120.0 19.22

Datos de E. Ortega (2012)