modelos continuos estadistica
TRANSCRIPT
![Page 1: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/1.jpg)
UNIDAD 3:
Variables Aleatorias Continuas
Modelos de Probabilidad
![Page 2: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/2.jpg)
Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo.
Ejemplos, peso de una persona
tiempo de duración de un suceso
nivel de colesterol
% de contaminación
![Page 3: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/3.jpg)
Para una variable aleatoria continua disponemos de un conjunto no numerable de valores.
No es posible definir una probabilidad para
cada uno. Por eso definimos la función densidad de probabilidad
![Page 4: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/4.jpg)
Si el resultado de medir una longitud es 23 mm, todo lo que podemos afirmar es que la longitud real, no observable, está en el intervalo 22,5 mm a 23,5 mm.
Los modelos que describen variables aleatorias se basan en este principio.
![Page 5: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/6.jpg)
Se puede pensar como la generalización de un histograma de frecuencias relativas para variable continua.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1)( =∫∞
∞−
dxxf
![Page 7: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/7.jpg)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
)bxa(P ≤≤
dxxfb
a
)(∫=
a b
![Page 8: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/8.jpg)
Función de densidad de probabilidad
Definición
Dada una variable aleatoria continua X se llama función de densidad de probabilidad de X a f(x) que satisface las siguientes condiciones:
a.- f(x) ≥ 0 para todo x
1)( =∫∞
∞−
dxxfb.-
![Page 9: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/9.jpg)
∫∞−
ℜ∈∀=x
xdttfxF )()(
Diferenciando tenemos:
Definimos la función de distribución para la variable aleatoria continua como:
)()(
xfdx
xdF =
función densidad de probabilidad
Esperanza matemática o media ∫∞
∞−
= dx)x(fxμ
Varianza ( )∫∞
∞−
−= dx)x(fμxσ 22
![Page 10: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/10.jpg)
Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de Laplace- Gauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relación a la teoría de los errores de observación astronómica y física .
Pierre Simon de Laplace(1749-1827)(1749-1827)
Pierre Simon de Laplace(1749-1827)(1749-1827)
Karl Gauss(1777-1855(1777-1855))
Karl Gauss(1777-1855(1777-1855))
![Page 11: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/11.jpg)
Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco.
Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).
Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen, ...
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
Estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.
![Page 12: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/12.jpg)
Distribución normal o gaussiana
Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación típica, σ.
La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por sus parámetros μ y σ.
![Page 13: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/13.jpg)
− ∞ + ∞µ , Mo, Mn
σ σµ - σ µ + σ
Características de la distribución Normal
• Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas
(para x = ±∞ )
• Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores µ ± σ
• Simétrica con respecto a la media (µ) donde coinciden la mediana (Mn) y la moda (Mo )
![Page 14: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/14.jpg)
Distribución normal con µ =0 para varios valores
0
0.4
0.8
1.2
-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50
x
σ=0.25σ=0.5σ=1
p(x)
![Page 15: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/15.jpg)
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
σ = 5 σ = 5
10=σ
Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándar
![Page 16: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/16.jpg)
N(μ, σ): Interpretación geométrica
La media se puede interpretar como un factor de traslación.
Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión,…
![Page 17: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/17.jpg)
N(μ, σ): Interpretación probabilística
Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 68%.
Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 95%
![Page 18: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/18.jpg)
Función de distribución F (x)
π2σ
1)(
2
2
σ2
μ)(
dvexFx v
∫∞−
−−=
dvb
a
2σ2
2μ)v(
eπ2σ
1)a(F)b(F)bXa(P ∫
−−=−=≤≤
¡No podemos calcular analíticamente el valor de la integral!
![Page 19: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/19.jpg)
¿Cómo calcular probabilidades asociadas a una curva normal específica?
Dado que tanto µ como σ pueden asumir infinitos valores lo que hace impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales, se utiliza la distribución normal estándar o tipificada.
Se define una variable z = xx - - µµ
σσEs una traslación, y un cambio de escala de la
variable original.
La nueva variable z se distribuye como una NORMAL con media µ = 0 y desviación típica σ = 1
![Page 20: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/20.jpg)
La nueva variable z se distribuye como una
NORMAL con media µ = 0 y desviación típica σ = 1
-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3
zz
Recordemos de nuevo que en cualquier distribución normal las probabilidades delimitadas entre : ± σ = 68 %
± 2σ = 95 %± 3σ = 99 %
68%
95%
![Page 21: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/22.jpg)
Otras distribuciones de probabilidad: Distribución Chi cuadrado
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
12 gl
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
6 gl
![Page 23: Modelos continuos Estadistica](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052508/559dd48f1a28ab4d318b45ac/html5/thumbnails/23.jpg)
Otras distribuciones de probabilidad:
-6 -4 -2 0 2 4 60
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Distribución t de Student
Grados de libertad:
2, 5, 15
En rojo se muestra la normal estándar