modelo hidráulico para redes de agua potable con tomas domiciliarias
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7/24/2019 Modelo Hidrulico Para Redes de Agua Potable Con Tomas Domiciliarias
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Mo delo hidrul ico p ara redes de agua p otab le
con to m as dom ic i liar ias
Jos
scar Guerrero Angulo
Universidad Autnoma d e Sinaloa
Felipe Arregun Corts
Instituto M exicano d e Tecnologa del Agua
Se presenta un modelo d e simulacin hidrulica p ara redes de ag ua potable en el cual se in-
c luyen elementos que no se toman en cue nta actualm ente, com o las tomas domicil iarias, los
tu-
bos de dist r ibucin con gasto espacialmente var iado y la red secundar ia, resolv iendo el nmero
de ecuaciones que sera necesar io plantear en
un
modelo convencional mediante
un
procedi-
miento indirecto para la solucin de gra ndes sistemas de ecuaciones.
En
las tomas dom icil ia-
rias se conside ra que su funcionamiento de pe nd e de las presiones y la forma en que los usuarios
operan las l laves de las mismas. Este planteamiento permite conocer mejor el funcionamiento
de las redes de abastecimiento de agua potable y solucionar problemas q ue requieren de una
simulacin hidrulica m s precisa, com o el comportamiento de la cal idad de l agua, las fugas
en las redes y la inf luencia reguladora de los t inacos de las casas.
Palabras clave
redes de agua potable, revisin hidrulica, tubos a presin, tomas domicilia-
rias, red secundaria, tinacos, grandes sistemas d e ecuaciones.
Introduccin
En una red de agua p otable existen muchos elementos
hidrulicos y no es fcil considerarlos a todos en un
anlisis riguroso. Los mtodos convencionales de si-
mulacin eliminan algunos de ellos y utilizan hiptesis
simplificatorias de modelacin d e los mismos.
Con estos mtodos no
se
modelan hidrulicamente
las tomas do miciliarias, sino que se asigna un gasto d e
consumo con base en informacin que se obtiene de una
curva de demanda. Para modelar a
los
tubos de distri-
bucin se considera que las tomas se concentran en
los
extremos de
los
tubos y se elimina la red secunda-
ria. Esto ha ocasionado que algunos problemas no se
hayan resuelto satisfactoriamente, como la calibracin
de geometras y fugas de agu a de los tubos, y el com-
portamiento de la calidad del agua.
AI simular el comportamiento de la calidad del agua
en una red con
os
modelos actuales no se tienen da -
tos sobre
los
gastos en la red secundaria ni en las to-
mas domiciliarias y por lo tanto dicha simulacin no es
totalmente confiable (Transley y Brammer, 1993).
Tambin existen otros problemas en las redes de
agua potable como la revisin, el diseo ptimo y la
confiabilidad, sobre
los
cuales influye en diferente me-
dida la forma de modelar los elementos que confor-
man dichas redes.
Para mejorar la precisin de la simulacin hidruli-
ca es necesario entonces considerar la influencia de
las tomas, tubos de distribucin y red secundaria; te-
niendo en cuenta que esto incrementa sustancialmen-
te
el nmero de ecuaciones a resolver,
lo
cual repre-
senta otro problema. Aqu se propone un modelo pa ra
redes de agua potable (Guerrero, en el cual se
incorporan los elementos hidrulicos citados anterior-
mente, sin aumentar el nmero de ecuaciones que se
resuelven de forma simultnea.
En este modelo se plantea resolver las ecuaciones
de continuidad en funcin de las energas en
los
no-
dos. Por ejemplo, en una red de agua potab le con cien
manzanas (ilustracin si se usara algn mod elo de
simulacin hidrulica convencional que considera ni-
came nte la red primaria, se nece sitaran plantear ocho
ecuaciones de continuidad. Sin embargo, si se toma
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Modelacin d e las tomas domiciliarias
Una toma dom iciliaria est integrada por un tubo ali-
mentador que se conecta por un extremo a la red de
distribuci n y, po r el otro, a una
o
varias llaves, una cis-
terna o un tinaco, como se indica en la ilustracin
La toma domiciliaria puede ser de tres tipos: toma
sin tinaco
o
cisterna, 2) toma con alimentacin a la red
dom iciliaria y al tinaco
o
cisterna, y 3 toma co n alimen-
tacin directa al tinaco
o
cisterna.
En los sistemas de agua potable, las llaves de las
tomas dom iciliarias son usadas continuamente por los
habitantes de la vivienda. Para considerar este hecho
es necesario plantear una ecuacin que relacione la
operacin de la toma con las prdidas de ene rga por
conduccin.
El primer efecto se m odela suponiendo que existe
un orificio por donde sale el agua de la toma, cuya
rea es variable durante el da, dependiendo de la
operacin que hagan los usua rios (ilustracin El
orificio de descarga se considera ubicado en el cua-
dro de la toma a una altura promedio de las llaves de
la vivienda ,
o
en el tinaco
o
cisterna cuando la descar-
ga de agua es directa a stos.
Las prdidas de energa por conduccin se calcu-
Ian a partir de la conexin de la toma c on la red hasta
el punto donde hipotticamente existe un orificio de
salida del agua. En el caso de una descarga directa a
un tinaco
o
cisterna normalmente hay una vlvula de
flotador que automticam ente se abre y se cierra, de-
pendiendo del consumo de
los
usuarios, de la capaci-
dad de regulacin del depsito y de las presiones
existentes en la red. Cabe destacar que en este caso
hay una gran correspondencia entre el orificio hipot-
tico y el real.
Si se aplica la ecuacin de la energa (ilustracin
desde la conexin de la toma hasta el punto
A
don-
de se ubica el orificio de descarga, se tiene que:
en cuenta la red s ecund aria, se requiere un total de
ecuaciones de continuidad, y si adems se incluyen
las tomas dom iciliarias, es nec esario considerar en to-
tal ecuaciones de continuidad.
Este imp ortante incremento en el nmero de ecua-
ciones representa uno d e los obstculos m s fuertes
para
los
modelos actuales debido a la demanda exa-
gerada de capacidad de memoria de la computadora
y
las com plicaciones en la solucin directa de grandes
sistemas de ecuaciones, sobre todo si se pretende el
uso de computadoras personales.
Para considerar la influencia de las tomas dom icilia-
rias y de la red secundaria se emple un mtodo indi-
recto de solucin de grandes sistemas de ecuaciones.
Para ello se propuso una nueva estrategia de modela-
cin hidrulica de
los
elementos, en cuyo procedi-
miento se contem plan dos nuevos conceptos:
cuerda
y nodo principal,
y su p ropsito es m odelar
los
tubos,
bombas y elementos accesorios conectados en serie,
incluyendo los gastos que se derivan a las tomas do-
miciliarias y la red secundaria, todos ellos en una sola
ecuac in para evitar en el sistema a las ecuacione s de
continuidad que se forman en los nodos intermedios
de dichos elementos. Se propone un procedimiento don-
de se resuelve por separado a la red primaria
y
a un
conjunto de subredes secundarias, con la ventaja de
resolver sistemas de ecuaciones mucho ms peque-
os que el que se forma considerando un solo sistema.
De esta manera, por un lado se plantea la solucin
de un sistema de ecuaciones de la red primaria, cuya
dimensin es igual a la de los modelos actuales. La
solucin de un sistema de ecuaciones por cada sub-
red secundaria se plantea por separado, con un nme-
ro de ecuacion es igual al nmero de nod os que se for-
man en las uniones de
los
tubos de distribucin de la
subred secund aria correspondiente.
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I
y
donde:
Q
=
gasto que fluye por la toma.
D
=
dimetro del tubo alimentador de la toma.
g = aceleracin de la gravedad.
pvivienda
presin manomtrica en el punto donde se
y =
peso especfico del ag ua.
ub ica el orificio de descarga.
Si en la toma existe una descarga directa a una cis-
terna o un tinaco , Hf es igua l a la energa hidrulica to-
tal que existe en el nodo don de se cone cta la toma, me -
nos la elevacin de la vlvula de flotador, y hf alimentador
es la suma de prdidas de energa que se generan
desde el punto de conexin de la toma hasta un punto
inmediatamente antes de la vlvula de flotador.
Si en la toma no existe tinaco o cisterna,
o
si ste
existe, pero la descarga no es directa, H fe s igual a la
energa hidrulica total existente en el nodo de cone-
xin de la toma, menos la elevacin promedio de las
llaves de servicio de la vivienda, y
hf alimentador
es la
suma de prdidas de energa que se presentan desde
el punto de conexin de la toma hasta un punto inme-
diatamente antes de las llaves referidas.
De la ecuaci n de un orificio, el gasto vale:
donde k es un factor de prdida local que se obtiene
experimentalmente y que se pue de tomar d e cualquier
manual de hidrulica general.
Las prdidas de energa en un tubo se calculan uti-
lizando la ecuacin propuesta por Guerrero 995)
donde:
con la que se obtienen prcticamente los mismos re-
sultados de las ecuaciones de Darcy-Weisbach y Co-
lebrook-W hite. En la ecuacin 7:
= longitud del tubo alimentador.
Re = nmero de R eynolds.
G y T onstantes que depe nden del nmero de Rey-
nolds, cuyos valores son:
Sustituyendo las ecuaciones y en la se
obtiene:
y sustituyendo la ecua cin en la se obtiene:
donde la variable
K
es el coeficiente de operacin de
la torna,
el cual se obtiene de un estudio de camp o y
sirve para medir el grado de apertura del orificio. Este
trmino tambin incluye las fugas de agua que existen
dentro de la vivienda.
Esta ecuacin mod ela el funcionamiento de la toma
domiciliaria a partir del punto de conexin con la red.
Operacin de las tomas
Para obtener los valores de
K
de la ecuacin se efec-
ta la calibracin en campo de ca da uno de los tipos
de tomas, con base en un estudio sobre una muestra
representativa de
los
mismos.
A
continuacin se des-
cribe un procedimiento general para obtener las cur-
vas de operacin de las tomas:
Se seleccionan zonas de viviendas cuyas tomas
domiciliarias presenten caractersticas geomtricas y
condiciones similares de operacin. Durante periodos
de horas se miden los gastos en los tubos alimen-
tadores y las presiones en la elevacin promedio de
las llaves de servicio de la vivienda. Si en la toma exis-
te una alimentacin directa a una cisterna
o
a un tina-
co, la presin se m ide en la vlvula de flotador.
Definiendo a:
La prdida total de energa en el tubo alimentador,
considerando las prdidas menores debidas a
los
accesorios, es:
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Con el gasto y la presin registrados se obtienen
los valores de K de cad a toma mediante el empleo de
la ecuac in Los resultados se presentan com o se in-
dica en la ilustracin la cual relaciona
los
valores de
K con la frecuencia para las diferentes horas del da.
Se repite el paso para diferentes das del ao,
a fin de ob tener la variacin del comportamiento de las
curvas.
El
diseo de la red de agua potable deber realizar-
se con las curvas de operacin de las tomas corres-
pondientes al da de mayor consumo.
efinicin de conceptos
En una red de agua p otable existen
elementos internos
y
de frontera.
Los
elementos internos
son
los
tubos,
bombas y diferentes tipos de vlvulas.
Los elementos
de frontera
son
los
tanques en contacto con la atms-
fera,
los
pozos y las descargas libres, entre otros. Es
decir, son aquellos que proporcionan entrada
o
salida
del agua a la red.
Los siguientes conceptos bsicos se aplican en el
anlisis hidrulico de redes de tuberas (Guerrero,
y 1997).
Recorrido.
Es una trayectoria sobre los elementos
internos de la red con un sentido arbitrario, pasando
por un punto
slo
una vez. La trayectoria p uede iniciar
y terminar en el mismo punto, o en puntos diferentes si
en ellos se conecta un elemento de frontera.
Recorrido cerrado
o
circuito.
Es aquel que inicia y
termina en un mismo punto.
Recorrido abierto.
Inicia y termina en un punto dife-
rente, y en cad a uno de
ellos
se conecta un elemento
de frontera.
En la ilustracin la trayectoria es un recorrido
abierto, la trayectoria es un recorrido cerrado o cir-
cuito, sin embargo , la trayectoria no es un recorrido,
ya que inicia y termina en un punto diferente y no se
cone cta a ellos un elemento de frontera.
Nodo.
Es un punto donde se conectan dos
o
ms
elementos, ya sean internos o de frontera, o solamente
un elemento interno si se trata de un punto extremo de
la red (ilustracin
4 .
Los
elementos internos
se localizan en medio de
dos nodos, y
los de frontera,
conectados en un solo
nodo. La energa
o
el gasto en el nodo donde se co-
necta un elemento de frontera debe obtenerse ap lican-
do una ley particular que describe su funcionamiento.
Una toma domiciliaria se conec ta en
u n
solo punto de
la red de distribucin, es por ello que puede modelar-
se como un elemento de frontera usando la ecuacin
De acuerdo con
los
tipos de recorridos que se forman
en una red de tubos, existen cuatro clases de redes:
Red pa rticular.
Es donde no existen recorridos (ilus-
tracin
Red ramificada. Es aquella donde se forman nica-
mente recorridos abiertos (ilustracin Dentro de
este tipo de red se encuentra la
red en serie,
donde
existe un solo recorrido.
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Red cerrada. Es donde se forman solamente reco-
rridos cerra dos (ilustracin Dentro de ste se en-
cuentra la red en paralelo.
Red com binada. En este tipo de red existen tanto
recorridos abiertos como cerrados (ilustracin
La red combinada es la que normalmente se en-
cuentra en la mayora de las redes de tubos, la cual
puede con formarse por un conjunto de rede s ms ele-
mentales com o son las pa rticulares, ramificadas y ce-
rradas. El conjunto de redes ramificadas es un caso
especial en que nos interesa analizar su solucin para
los propsitos del m todo que se desea plantear.
Una red de tubos debe resolverse aplicando las
ecuaciones de continuidad en
los
nodos y las ecuacio-
nes de energa en
los
recorridos. Aunque una red rami-
ficada se resuelve planteando varias ecuaciones de
recorrido, aqu se propone un procedim iento que per-
mite obtener el resu ltado sobre un
solo
recorrido.
Con el propsito de tener una ba se para expo ner el
procedimiento de simulacin hidrulica propuesto, a
continuacin se definen otros conceptos necesarios.
Tubo de distribucin. Es
un tubo que tiene tomas
domiciliarias conectadas o en el cual existen fugas de
agua. Es decir, se conectan elementos de frontera con
salida de agua.
Tubo sin distribucin. Es un tubo que no tiene tomas
dom iciliarias conectadas ni fugas de agua.
Cuerda. Es un conjunto de elementos internos o de
frontera formando una red ramificada o en serie que
pertenecen a la red primaria o secundaria, en
los
cua-
les se puede transportar, derivar y controlar diferentes
flujos y se d efine un
recorrido
para da rle solucin. Si la
cuerd a pertenece a la red prim aria, en las uniones de
los elementos internos puede n conectarse tubos de la
red secundaria.
En la ilustracin entre los pun tos y existe una
cuerda de la red secundaria,
y
el conjunto de elemen-
tos que se conectan entre
los
puntos
y
forman una
cuerda de la red primaria.
Nodo principal. Es un nodo donde se unen dos
o
ms cuerdas,
o
solamente una cuerda si es un p unto
extremo de la red, donde el gasto que ingresa
o
que
sale de la red es conocido (ilustracin 7).
En los extremos de una cuerda pueden existir
nodos principales o elementos de frontera. Tambin
puede suceder que no exista un nodo principal si sus
dos extremos son elementos de frontera.
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Cuerda de frontera. Es una cuerda que tiene tubos
de distribucin o a la cual se conectan tubos de la red
secundaria, donde alguno de
los
gastos que se distri-
buyen o las energas de
los
extremos de la cuerda son
variables definidas por elementos de frontera (ilustra-
cin
8).
Cuerda interna. Es una cuerda que no tiene tubos
de distribucin ni conexiones de la red secundaria o
cuando
los
gastos que se distribuyen son valores co-
nocidos, cuyos extremos de la cuerda son nodos prin-
cipales (ilustracin 9).
Modelacin de las redes primaria y secundaria
El primer p aso se trata de dividir a la red secundaria en
varias subredes secundarias. El procedimiento con-
siste en encontrar primeramente al conjunto de redes
conexas (George y Liu, considerando que los no-
dos de la red primaria son puntos donde se desco nec-
ta la red secundaria; enseguida, designar subred se-
cundaria a ca da una de las redes conexas
o
a un con-
junto de ellas ubicadas en una misma rea. En la iIus-
tracin se muestra una red de agua potable donde
aparecen la red primaria y las subredes secundarias.
Para modelar a las redes primaria y secundaria se
propone un procedimiento iterativo de la siguiente
manera:
Se determinan las redes primaria y secundaria,
esta ltima compuesta por un conjunto de subredes
secundarias. En los puntos donde se une la red secun-
daria con la primaria se considera que existe un ele-
mento de frontera de la red secundaria.
Se definen los
nodos principales, de tal manera
que el nmero de ellos sea mnimo, lo cual se logra
uniendo tres o ms cuerdas, o solamente una cuerda
si es un punto extremo de la red.
Se efecta la renumeracin ptima de los nodos
principales tanto de la red primaria com o de ca da un a
de las subredes secundarias; pued e usarse el mtodo
de Cuthill-McKee que describen George y Liu
1981).
Este proceso tiene el propsito de disminuir el nmero
de elementos que conforman el perfil de la matriz de
coeficientes que se obtiene con el primer elemento no
nulo de cada columna.
Se proponen los valores iniciales de energa en
todos los nodos de
los
tramos y cuerdas, ya sea usan-
do el criterio de la pendiente hidrulica
o
cualquier otro.
En
los
proyectos realizados con este procedimiento se
ha observado que incluso un valor de energa inicial
constante da buenos resultados de convergencia.
El funcionamiento hidrulico de cada una de las
subredes secundarias se encuentra por separado. En
el anlisis de la red secundaria debe tomarse en cuen -
ta que
los
nodos de la red primaria donde se conec ta
la red secundaria son elementos de frontera donde la
energa se considera conocida.
En este proceso se obtienen los gastos en los no-
dos de la red primaria correspondientes al funciona-
miento de las subredes Secundarias. Dichos gastos se
llaman gastos de subred.
Se calculan las correcciones de energa en la red
primaria hasta llegar a cumplir co n la ecuacin d e c on-
tinuidad en
los
nodos principales a un cierto nivel de
precisin.
Se calculan las energas en todos los nodos de
los
elementos de las cuerdas.
Se repite el proceso desde el paso nmero cinco
hasta lograr que las correcciones de energa del paso
nmero seis sean menores
o iguales a una tolerancia
permitida.
Ecuacin de las cuerdas
Para realizar adecuadamente el anlisis hidrulico de
una red de agua potable se requiere de un procedi-
miento que sea capaz de modelar los elementos inter-
nos, especialmente los tubos de distribucin, en los
cuales p ueden existir varias tomas d omiciliarias conec-
tadas.
El
procedimiento que normalmente se usa con-
siste en suponer que el tubo de distribucin es un
conducto sencillo, equivalente con los consumos ubi-
cados en los extremos del m ismo.
Este criterio considera que
los
gastos de demanda
son conocidos antes de hacer el anlisis hidrulico y
que siguen una distribucin uniforme a lo largo del
tubo de distribucin. Sin embargo, en realidad los gas-
tos de demanda de cada toma dependen de la polti-
ca m uy particular que el usuario hace de la misma y de
las presiones existentes en la red. Es por ello que los
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gastos de deman da no deben considerarse con ocidos
antes de efectuar la revisin hidrulica ni que siguen
una distribucin uniforme; asimismo, debe tomarse en
cuenta que las demandas de las tomas son puntuales.
Con el propsito de evitar una solucin directa de
una cantidad enorme de variables q ue se incrementan
en el anlisis hidrulico al contemplar la influencia de
las tomas domiciliarias, se propone modelar a un con-
junto de elementos internos conectados en serie for-
mando una cuerda como se ind ica en la definicin de
este concepto, la cual puede modelarse sobre una
sola ecuacin de recorrido y considerar la variacin de
los
tirantes de agua en los elem entos de frontera, en el
caso de una simulacin en periodos extendidos.
Cuerda de frontera
Para obtener la ecuacin que modela a una cuerda de
frontera (ilustracin se aplica la ecuacin de la
energa del nodo p rincipal i al nodo principal d .
donde
k
es un factor de prdida local que dep ende del
tipo de accesorio, mismo que puede obtenerse de
cualquier manual.
La prdida de energa distribuida en un subtramo
se calcula con la ecuacin Con esta ecuacin y la
en la se obtiene:
Procedimiento para obtener
Hi
Una vez co nocida la geometra de los elementos de la
cuerda y el gasto
Q id
que circula en el subtramo de
tubo que se conecta en el nodo principal d (ilustracin
de la ecuacin se obtiene la energa Hi en el
nodo principal i,
cuyo procedimiento es el siguiente:
Si en el nodo d se conecta un elemento de fronte-
ra, calcular el valor de Hd usando la ecuacin que le
corresponde del inciso que sigue.
Es importante sealar que la simulacin hidrulica
en periodos extendidos se considera directamente en
la modelacin de la cuerda.
Es
por ello que en el caso
de tanques a tmosfricos e hidroneum ticos el valor de
la energa Hd considera la variacin del tirante de agua .
Se calcula el segundo trmino derecho de la
ecuacin para
=
que corresponde a la energa
en el nodo
Si en el nodo se conecta una toma domiciliaria,
el gasto se calcula en forma iterativa mediante la
ecuacin:
donde:
= es la prdida de energa distribuida en un sub-
tramo de tubo.
hbid
= es la carga de las bom bas en el subtramo de tubo.
=
es la suma de prdidas locales de energa en un
subtramo de tubo de la cuerda producidas por cual-
quier tipo de vlvula
o
conexin.
k = es el nmero de subtramos de tubo de la cuerda.
inicia con el nmero en el subtramo de tubo co-
nectado al nodo p rincipal d y termina con el nmero k
en el subtramo de tubo conectado al nodo principal i.
El flujo en cad a subtramo de tubo d e una cuerda de
frontera puede tener cualquier s entido; si ste se dirige
hacia el nodo d los valores del segundo trmino del
lado derecho de la ecuacin correspondiente al sub-
tramo de tubo toman un signo positivo, de
lo
contrario
es negativo.
En las cuerdas de frontera puede presentarse el
caso de que
los
dos gastos de
los
tramos extremos
tengan un sentido hacia adentro de la cuerda para
abastecer nicamente a los consumos de las tomas
domiciliarias o tubos secundarios que se conectan.
La carga de las bombas puede obtenerse de los
datos que proporciona el fabricante.
La suma de prdidas locales de energa se calcula
con la ecuacin:
que se obtiene de la ecuacin
El
valor de
Ko
se ob-
tiene de la ecuacin en funcin de K , dond e el valor
de K se determina utilizando tcnicas de simulacin y
los
resultados del estudio sobre la operacin de las
tomas.
Si en el nodo se cone cta un tubo secundario, el
gasto correspondiente se obtiene de los resultados
obtenidos de la simulacin de la subred a la que
pertenece.
Se aplica la ecuacin de continuidad en el nodo
y
se calcula el gasto en el subtramo
+
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Se calcula el segundo trmino derecho de la
ecuacin para
j
=
j
+ y se repite el proceso a par-
tir del paso nmero las veces que se requieran para
llegar al n odo principal
i.
Cuerda interna
Para obtener la ecuacin que modela a las cuerdas in-
ternas (ilustracin 9) se aplica la ecuacin de la ener-
ga del nodo principal
i
al nodo p rincipal
t.
Pozo profundo
Para el caso de un pozo profundo, la ecuacin corres-
pondiente es:
donde:
elevacin del terreno natural donde se encuentra el
pozo profundo.
PND(Q)= profund idad del nivel dinmico qu e se obtie-
ne de un estudio de aforo del pozo.
p=
donde las variables corresponden a los mismos tipos
de elementos indicados en el otro tipo de cuerda, la
nica diferencia son los subndices y superndices,
siendo r el nmero de tramos de diferentes dimetros
o
rugosidades, y
s
el nmero de bombas.
En este caso, si no existe distribucin d e gastos, el
flujo tiene el mismo sentido y mag nitud en cada u no de
los tramos. Si el sentido d el flujo es hacia el nodo prin-
cipal
t,
los valores del lado derecho de la ecuacin
toman un signo positivo, de lo contrario son negativos.
Sustituyendo la ecuacin O en la tomando en
cuenta el signo del flujo, se obtiene:
En todos los casos, el agua deb e salir del pozo pro-
fundo y entrar a la cuerda.
Tanque atmosfrico
Para un tanque en contacto con la atmsfera se utiliza
la ecuacin:
donde:
= elevacin
del
fondo del tanque.
h
= tirante de agua.
Tanque hidroneumtico
Para el caso de un tanque hidroneum tico:
onde se logra a partir de la ecuacin
Modelacin
de
los elementos de frontera
El valor de la energa
Hd
en la ecuacin pued e ser
una variable definida por un elemento de frontera.
A
continuacin se analizan tres diferentes elementos de
frontera.
Descarga libre
En el caso d e una des carga libre se utiliza la ecuacin:
donde:
z
=
elevacin del fondo d el tanque.
h
= tirante de agua.
= peso especfico del agua.
p
presin manomtrica del aire dentro de la cmara.
La ecuacin manomtrica se puede obtener en fun-
cin de la ecuacin de estado de los gases perfectos
para un proceso isotrmico, de la geometra de la c-
mara, de un valor inicial de la presin manomtrica y
de un valor inicial del tirante. En este caso se obtiene:
onde:
z = elevacin al centro del rea de la descarga.
Q =
gasto de descarga. En todos los casos, el gasto
debe salir de la cuerda.
D dimetro del tubo de la descarga.
donde:
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po presin manomtrica del aire en la cmara al ini-
cio de la simulacin hidru lica en periodos extend idos.
p presin atmosfrica del lugar.
c volumen de la cmara.
A,
= rea de la cmara.
ho
=
tirante de agua al inicio de la simulacin hidruli-
ca en periodos extendidos.
donde los niveles del agua y la operacin son funcin
del tiempo. Es por ello que generalmente no se cono-
cen las ecuaciones que describen
los
gastos de apor-
tacin y de consumo, obligando a que la integral tenga
que resolverse en forma numrica, como la que se pro-
pone a continuacin:
Tirante de a gua
donde
(Qa Qc 0
es la diferencia de
los
gastos de apor-
tacin y de consumo conocidos en un
t iemp o anterior
y (Qa
Qc)
es la diferencia de
los
gastos de aportacin
y de consumo en el tiempo actual, y At es un incre-
mento de tiempo.
Sustituyendo la ecuacin en la se obtiene:
El tirante de agua
h
en las ecuaciones y corres-
pondientes a un tanque atmosfrico y a un tanque hi-
droneumtico, pueden ser valores conocidos obteni-
dos de m ediciones
o
de considerar un valor promedio.
Sin embargo, el valor del tirante puede obtenerse en
funcin del gasto que entra o sale del tanque y del
tiempo d e simulacin en un anlisis en periodos exten-
didos. Una expresin general del tirante del nivel del
agua es la ecuacin:
Esta ecuacin se aplica en
las
ecuaciones y
para determinar la variacin del tirante del agua en un
tanque atmosfrico o en un tanque hidroneumtico
cuando se utiliza una simulacin hidrulica en perio-
dos extendidos
Planteamiento del modelo
donde
h
es el tirante de ag ua en el tiempo actua l, V es
el volumen de agua en el tanque en el tiempo actual y
geom es la geometra del tanque.
Si el tanque es de rea horizontal constante, el
tirante de agua en el tanque se obtiene de:
i s tema
e
ecuac iones
El
modelo de simulacin hidrulica para redes de agua
potable que a continuacin se plantea es vlido para
las redes primaria y secundaria. La operacin de las
tomas dom iciliarias se obtiene con el procedim iento que
se indica en el inciso correspondiente, y las fugas pue -
den suponerse concentradas en
los
nodos principales.
En una red de agua potable se deben resolver las
ecuaciones de continuidad y de energa. Si estas dos
ecuaciones se plantean en funcin de las energas en
los nodos extremos de los elementos, las ecuaciones
de energa se transforman en una identidad y no
es
ne-
cesario resolverla (Guerrero, 1989). El modelo que se
propone utiliza este procedimiento, donde se solucio-
na nicamente la ecuacin de continuidad.
st
caso
con l
de plantear un menor n-
mero de ecuaciones en una red que incluye el funcio-
namiento de tomas domiciliarias y la red secundaria,
se propone que las ecuaciones de continuidad se apli-
quen en los nodos principales.
As ,
eri todo nodo prin-
cipal
i
existente en la red de tubos se tiene:
donde
A,
es el rea horizontal del tanque.
cando la ecuacin de continuidad que se expresa:
El
volumen de agua en el tanque se obtiene apli-
donde
Qa
es el gasto de aportacin o gasto de entra-
da al tanque y
Qc,
el gasto de consumo
o
gasto de sali-
da del tanque.
Integrando la ecuacin se obtiene el volumen
del tanque p ara un incremento de tiempo:
n
fin
donde oes un volumen de agua con ocido en un tiem-
po anterior.
Cabe sealar que los gastos de aportacin
y
de
consumo en ca da uno de los tanques de la red depen-
den de
los
niveles del agua en cada uno de ellos, as
como de los niveles del agua en las fuentes de abas-
tecimiento, y de la operacin y geometra de la red,
-
7/24/2019 Modelo Hidrulico Para Redes de Agua Potable Con Tomas Domiciliarias
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donde:
= gastos de las cuerdas d e frontera conectadas al
nodo principal
i.
= gastos de las cuerdas internas.
Qi
=
gastos de las fugas d e agua concentradas en
los
nodos principales.
Qc, = gasto conocido en el nodo principal i. Este lti-
mo trmino se ha incorporado pa ra cubrir el caso es-
pecial cuando se toma alguna medicin de gasto di-
rectamente en la red y para incluir el procedimiento
convencional de modelacin de
los
consumos de agua.
La letra g es el nmero de cuerdas de frontera que
confluyen en el n odo p rincipal i, y h es el nmero de cuer-
das internas que se conectan en el nodo principal i.
Dada la geometra en
los
diferentes tipos de ele-
mentos que se conectan en la cuerda, el gasto
Qid
de
una cuerda de frontera es funcin del valor de la ener-
ga Hi en el nodo principal i y del valor de la energa Hd
en el extremo de la cuerda (ilustracin 8):
donde
los
trminos marcados con
()
corresponden a
los
valores iniciales.
AI
arreglarla, la ecuacin queda:
Los trminos de la ecuacin se obtienen de las
ecuacion es y de las cuerdas. Sin emb argo, es-
tas dos ecuaciones no son explcitas,
lo
cual obliga a
usar mtodos num ricos.
A
continuacin se plantea el
procedimiento para obtener los trminos de la ecua-
cin
Trminos del modelo q ue corresponden
a la
cuerda de frontera
Para valuar los trminos de la ecuacin que corres-
ponden a las cuerdas de frontera se propone el si-
g guente e proced im iento
a) Obtencin de los gastos
De la ecuacin se obtienen los valores de los
gastos iniciales Q id en el nodo principal d, y los gas-
tos
iniciales en el nodo princip al i, donde el segun-
Las prdidas o ganancias de energa en un subtra-
mo de tubo de la cuerda son funcin d el gasto que cir-
cula por
l,
no obstante es preciso hacer notar que
ste depende del gasto que circula en el subtra-
mo de tubo que se conecta en el nodo principal
d ilus-
tracin
8).
No es posible obtener el valor de Q id en forma di-
recta, sin emb argo, se pued en utilizar dos m todos nu-
mricos: el mtodo de Newton-Raphson y un mtodo
de segundo orden.
y el gasto de una cuerd a interna es funcin de la di-
ferencia de energas en
los
extremos de la cuerda
(ilustracin
9 :
Los gastos de las fugas de ag ua son funcin de la
altura de presin
zi)
que existe en el nodo princi-
pal y de la geometra
Ki
del orificio de la fuga:
donde zi es la altura de posicin d el nodo p rincipal
i.
La ecuacin de un orificio es igual a:
I I do es funcin del primero.
i
Sustituyendo la ecuacin en la se tiene:
El sistema de ecuacione s es no lineal y para
encontrar la solucin se utiliza la serie de Taylor con
derivadas hasta de primer orden para transformarlo a
un sistema de ecuaciones lineales:
-
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Aplicando el mtodo d e N ewton-Raphson se tiene:
De
los
dos resultados que se tienen con la ecua-
cin se escoge el que se encuentra ms cerca del
valor calculado en la iteracin anterior. Cuando el re-
sultado sea un valor imaginario, se usa el mtodo de
Newton-Raphson en las iteraciones donde esto suceda.
b) Obtencin de las derivadas
El valor de la derivada:
correspondiente al nodo principal i, se obtiene de la
ecuacin calculando dos valores de alrededor
de uno para (QEid
+ y el otro para
( Q E
H ,,).
De esta forma:
Para ello se transforma la ecuacin de la si-
guiente manera:
I
donde es un valor conocido y Hd pue de ser un valor
conocido o una variable definida por un elemento de
frontera.
El
valor de F QEid) se logra con el m ismo pro-
cedimiento indicado anteriormente para obtener de
la ecuacin
El valor de la de rivada
F (QEid)
se consigue de la ecua-
cin calculando as los valores de F QEid
H ,,)
y
F(QEid
+
H ,,).
De esta forma se tiene:
Los resultados de aplicar la ecuacin del nodo
principal i al nodo principal d se pueden aprovechar
para obtener el valor de la derivada:
Se repite el proceso hasta que
Q id
sea aproxima-
damente igual al valor anterior
o
cuya diferencia sea
menor o igual a una tolerancia permisible.
Una vez que se ha calculado Qeid, el valor de Qid
correspondiente es el que se tiene en el elemento que
est conectado al nodo principal
i.
Por otro lado, tambin se pue de aplicar la siguiente
ecuacin de segundo orden:
para cuando la ecuacin se aplica en el nodo prin-
cipal
d.
Se tiene entonces:
donde el signo negativo del lado derecho se debe al
signo contrario de
los
gastos.
Q
Para obtener el valor d e la derivada :
donde
F(QEid)
y F (QEid) se obtienen de las ecuacio-
nes y respectivam ente, y F(QEid) se logra eva-
luando la ecuacin en tres puntos: para
(QEid,
Qf) d-
H ,,)
y
(QEid
+
H ,,).
De esta manera:
y utilizar la ecuacin en el nod o princip al i, la ecua-
cin se aplica en sentido contrario, asignando nodo
principal i al que fue nodo principal
d
y nodo principal
d
al que fue nodo p rincipal i por consiguiente, tambin
gasto
Q id
al que fue gasto
Qid
y gasto
Qid
al que fue
gasto Q id De esta manera se puede utilizar la misma
ecuacin
Los resultados de aplicar la ecu acin en este sentido
contrario se aprovechan p ara calcular tambin el valor:
-
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considerando que:
con la ecuacin para cuando la ecuacin se
aplica en el nuevo nodo principal i.
Trminos del modelo qu e correspo nden
a las cuerdas internas
Se propone ahora el procedimiento para obtener los
trminos de la ecuacin correspondientes a las
cuerdas internas.
a) Obtencin de
los
gastos
Para conseguir los valores de los gastos iniciales
de la ecuacin primero se prop one cualquier valor
de gastos que cumpla la ecuacin de continuidad y el
gasto corregido se puede obtener aplicando el mto-
do de Newton-Raphson o un mtodo de segundo or-
den. Utilizando el primero se tiene:
donde y se calculan co n las ecuaciones
y
respectivamente.
De la ecuacin la segunda derivada es:
donde:
AI
tomar en cuenta la ecuacin de prdidas, la
ecuacin se puede presentar como:
L
El
gasto corregido se puede obtener tambin al
aplicar la siguiente ecuacin de segundo orden:
y
como
y
son valores conocidos, de la ecuacin
se obtiene:
y
de la ecuacin se obtiene:
I
y el trmino:
se logra de
los
datos de la curva caracterstica de la
bomba.
Por otro lado , de la ecua cin 6:
Considerando de nuevo la ecuacin d e p rdidas, la
ecuacin se puede presentar como:
-
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De
los
dos resultados que se obtienen de la ecua-
cin se escoge el que se encuentra ms cerca del
valor calculado en la iteracin anterior. Cuando el re-
sultado sea un valor imaginario, se usa el mtodo de
Newton-Raphson en las iteraciones donde esto suceda.
Obtencin de la derivada)
De la ecuacin se puede obtener la siguiente
derivada:
en funcin de cuyo resultado corresponde exacta-
mente al lado derecho de la ecuacin Resulta en-
tonces que:
es el inverso del valor calculado con la ecuacin
Apl icac in de l modelo
Con objeto de mostrar la bonda d del modelo propues-
to se ha aplicado a tres proyectos de redes reales de
Mxico (cuadro obteniendo resultados aceptables
con respecto a mediciones hechas en campo.
Con objeto de presentar de u na manera ms amplia
el modelo, a continuacin se muestra su aplicacin al
caso de la red de distribucin El Paraje, en el estado
de More los, Mxico . En la ilustracin se pued e
ob
servar un diagrama de la misma.
Para obtener la operacin de las tomas domicilia-
rias se llev a cabo un estudio de c am po, encontrn-
dose dos tipos de tomas, cuyas curvas de operacin
se mue stran en las ilustraciones y para la hora
de m xima demanda.
-
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El clculo hidrulico de la red se llev a cabo con
diferentes consumos ho rarios, empleand o las correspon-
dientes curvas de opera cin de las tomas y los niveles
del agua en el tanque. En el cuadro se muestran los
gastos que fueron medidos con equipo ultrasnico y
los calculados de las a las horas, y en el
cuadro las energas med idas usando manm etros
de presin tipo bou rdon calibrados con e quipo electr-
nico para medir con aproximacin de cm de colum-
na de agua y las calculadas
a las horas. La ener-
ga medida se presenta en dcimas de metro, ya que
son valores interpolados de mediciones que se efec-
-
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tuaron en intervalos de apro xima dam ente minutos,
de las a las hora s del da.
Considerando que puede haber hasta un de
fugas d e agua , las diferencias de gastos ob tenidos me-
nores a son aceptables y razonablemente bajas
debid o a que la red estudiada es relativamente nueva.
Las diferencias medias de las energas son meno res al
valor recome ndado en la literatura de m, acep -
tando un mximo hasta de m, Io cual mues tra un
funcionam iento del m odelo cercano a la realidad.
-
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Tambin se analizaron varias redes para probar la
convergencia en cada u no de los procesos (cuadro 4).
Con objeto de mostrar la aplicacin del mtodo pro-
puesto, se presenta la solucin de la red nmero
(ilustracin la cual consta de cien subredes se-
cundarias ubicadas en las reas enumeradas, con un
total de tramos y tomas domiciliarias.
Para simplificar la captura de datos de la red se
tom la misma geometra en cad a una de las subredes
secundarias (como se indica en la ilustracin con
tramos de tubo de mm de dimetro y tomas do-
miciliarias conectadas en ca da uno de ellos, con tubos
de alimentacin de m de longitud, m de di-
metro, altura promed io de las llaves de .O m respecto
del nivel de la calle y curvas de operacin como las
mostradas en la ilustracin La rugos idad absoluta
en todos los tubos es de mm . La topografa es
plana y la superficie libre del agua en el tanque se en-
cuentra a m sobre el terreno. En la red primaria
(ilustracin
los
tramos de tubo del circuito externo
son de mm de dimetro y de mm en los de-
ms. Cada toma se conecta al tramo de tubo en un
nodo diferente, con Io cual se tiene un total de
nodos.
Con el propsito de analizar la convergencia y el
tiempo de simulacin del mo delo en funcin del creci-
miento de la red, sta se resolvi en varias ocasiones
para diferentes nmeros de subredes a me dida que se
avanzaba en l a captura d e los datos, cuyos resultados
pued en verse en la ilustracin en donde se aprecia
que la variacin del tiempo respecto al nmero de no-
dos aumenta ligeramente con el nmero de stos, fa-
voreciendo la aplicacin del modelo a grandes redes
de agua potable con relacin al nmero de variables
que intervienen en el problema.
Cabe sealar que estos resultados corresponden a
computadoras personales con procesador de baja ve-
locidad, sin embargo, los tiempos pueden reducirse
sustancialmente usando procesadores ms rpidos,
por ejemplo, en una computadora con procesador
Pentium I l l de Mhz, para el caso de nodos,
el resultado se obtiene en minutos y segu ndos .
onclusiones
Una aportacin importante del m odelo propuesto es que
resuelve grandes sistemas de ecuaciones mediante un
procedimiento que los reduce al mismo orden de m ag-
nitud que
los
que se plantean en
los
modelos conven-
cionales que no consideran a la red secundaria. De
esta manera no es necesaria una computadora de
gran capacidad para simular a la red secundaria, ya
que se resuelve por partes.
El modelo permite la generacin de una fuente de
datos suficientemente amplia sobre los elementos que
conforman la red de una manera ordenada y actualiza-
da para lograr una mejor administracin y operacin
de la misma.
Se obtiene mayor informacin sobre la distribucin
de los gastos en los tubos de la red, lo cual es til para
una mejor simulacin de
los
fenmenos de calidad del
agua en las redes. Incluso puede presentarse el caso
de que los gastos en
los
extremos de un tubo de distri-
bucin fluyan hacia el centro del mismo,
lo
cual no
puede simularse en los modelos hidrulicos conven-
cionales. Por otro lado, cuando existen extremos de la
red relativamente alejados de los puntos por donde in-
gresa el agua, como son las fuentes de abastecimien-
to
o
los tanques de regulacin, puede obtenerse una
mejor informacin de las energas, presiones y deman-
das de agua; incluso puede darse el caso que el mo-
delo prediga la no disponibilidad del agua en las par-
tes alejadas, situacin que no puede preverse en los
modelos convencionales, ya que no toman en cuenta
que la demanda de agua tambin depende de la pre-
sin existente en la red.
El
mismo modelo calcula tambin los consumos d e
agua, tomando en cuenta las presiones y la poltica de
operacin d e las tomas dom iciliarias. Los mode los con-
vencionales consideran que las demandas de agua
son datos que debe n obtenerse en un proceso anterior
al anlisis hidrulico, considerando las demandas lo-
calizadas en los nodos extremos de
los
tubos de la red
primaria
o,
en el mejor de los casos, las demandas si-
tuadas en los puntos donde se conectan cad a uno de
los tubos de la red secundaria.
-
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El
modelo propuesto permite que la calibracin de
los consumos de agua se realice directamente en las
tomas, con
lo
cual se obtiene la poltica de operacin
de las mismas. Estos resultados puede n tener una apli-
cacin genrica, permitiendo resolver problemas de
revisin y de calibracin d e las fugas d e agua.
Simbologa Referencias
A
rea transversal d el tub o (m').
D Dime tro interior del tubo (m).
H Energa hidrulica (m). New Jersey,
Ko
Constante ge omtrica de un orificio (s2/m5).
L Longitud del tubo (m).
P Presin absoluta (kg/m2).
Q Gasto que circula por el tubo (m3/s).
Re Nmero de Reynolds.
e
Base de los logaritmos naturales (2.7182
Coeficiente de prdidas d e energa por conduccin.
g
Aceleracin de la gravedad (m/s2).
h Altura del nivel del agua (m).
h, Prdida de energa por conduccin (m).
hb Carga de la bomba m.
hl
Suma de prdidas d e energa locales (m).
ht Prdida de energa por conduccin en un sub-
tramo de tubo (m).
k Constante de prdida local.
p Presin manomtrica (kg/m2).
z Altura de posicin (m ).
y Peso especfico del agua (kg/m3).
Rugosidad absoluta del tubo (mm).
v Viscosidad cinemtica del fluido (m2/s).
Recibido: 06/12/1999
Aprobado: 01/02/2001
George, A. y W.H. Liu J. 'Computer Solution of Large Sparse
Positive Definite System s ,
Prentice-Hall, Enlewood Clif fs,
Guerrero A., J.O.,
Hidrul ica de tubos usando el Concepto
de Recorr ido,
Editorial UAS, abril de
Guerrero A., J.O., Ecuacin modificada de Colebrook-
White ,
lngeniera Hidrulica en Mxico,
vol.
X,
nm.
II
poca, enero-abril de pp .
Guerre ro A., J.O.,
Modelacin integral de redes de agua po-
table,
tesis doctoral presentada a la Divisin de Estudios
de Posgrado de la Facultad de Ingeniera de la UNAM,
Ciudad Universitaria, Mxico, D.F.,
Tansley, N.S. y L.F. Brammer, Chlorine Residual Modeling in
Distribution-The Improvement of Taste and the Mainte-
nance of Effective Disinfection ,
vol. Applications and Im-
plementations for Systems Operation and Management,
International Conference: Integrated Computer A pplica-
tions in Water Supply, Edited by Coulbeck, Ed. Research
Studies Press LTD and John Wiley, pp .
-
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Abstract
Guerrero Angulo,
J O
F. Arregun Corts, Hydraulic Model for Drinking Water Networks, Including
Household Connections, Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish), vol.
XVII,
num.
I
pages
January-March,
This paper p resents a hydraulic simulation model for drinking water networks, ncluding elements that are
currently not considered -household connections, spatially variable flowrate distribution pipelines, and the
secondary network. This model is determined by so lving the equations needed for a conventional mode l fol-
lowing an indirect procedure for the solution of large equations systems. Household connection perfor-
mance is considered as dependent of water pressure and the way in which users operate the taps of such
intakes. This approach allows a better acquaintance w ith the drinking water supply networks performance
as well as solving problems that demand a more precise hydraulic simulation, such as water quality varia-
tions, leaks in networks, and the influence of home w ater tanks as regulating devices.
Key words: drinking water networks, hydraulic checkup, pressurized pipes, household connections, sec-
ondary network, water tanks, large equations systems.
Direccin institucional de
los
autores
os scar Guerrero Angulo
Profesor e investigador
Universidad Autnoma de Sinaloa
Ciudad Universitaria, Culiacn, Sinaloa, Mxico.
Felipe Arregun Corts
Coordinador de rea
Instituto Mexicano de Tecno loga del Agua
PaseoCuauhnhuac8532
Progreso, Jiutepec,
Morelos,
C.P.
Mxico.