MODELO DIGITAL DE TERRENO ou MODELO NUMÉRICO DO RELEVO - conjunto de dados em suporte numérico que, para uma dada região, permite associar a qualquer ponto definido sobre o plano cartográfico um valor correspondente à sua altitude.

Conjunto de coordenadas topográficas(M1, P1, H1)……(Mn, Pn, Hn)

de uma amostra discreta do terreno situados na região.

Um algoritmo de interpolação, que permite estimar a altitude H de um ponto qualquer da região, a partir das suas coordenadas topográficas (M,P).

Constituído por:

REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA DO TERRENO

MODELO DIGITAL DO TERRENO

MDT de malha regular MDT de malha irregular

Malha quadrangular

Malha triangular

fixo variável

Rede de triângulos irregular

TIN

As estruturas mais usadas

GRID TIN(Triangulated Irregular Network)(malha quadrangular)

Pontos discretos georeferenciados, distribuidos irregularmente na região.

Estrutura vectorial

Rede regular de pontos.Estrutura matricial ou raster.

M

P E

E

PLLinha L

MK

Coluna K

H(L,K)

H(1,1) H(1,2)

H(2,1)

H(m,n)

MDT DE DISTRIBUIÇÃO EM QUADRÍCULA (RASTER)

Matriz de cotas H(m,n)

Linha L-1

Linha L+1

Coluna K+1

Coluna K-1

O elemento (K,L) da malha tem a seguinte informação:

(MK, PL, H(L,K))

H(MK,PL) H(L,K)

Estabelecendo uma correspondência entre as coordenadas do terreno e a sua cota

M

P

MK

PL

E

E

H(L,K)

H(i,j)

Mj

Pi

(i - L)E

(j - K)E

As coordenadas cartográficas do elemento H(i,j) relacionam-se com as do H(L,K) por:

Li

Kj

PLiEPMKjEM

)()(

A distância entre os seus centros é dada por:

22 )()()),(),,(( KjLiEKLjiD

MDT DE DISTRIBUIÇÃO EM QUADRÍCULA

Estimação da altitude dos elementos da matriz

MDT DE DISTRIBUIÇÃO EM QUADRÍCULA

Algoritmo dos prismasO ponto (MP) é enquadrado no elemento (l,k) da matriz H, que se encontra mais próximo, atribuindo-se-lhe a sua altitude:

)P,M(H)k,l(H (l,k)

M

P

O terreno é modelado com prismas de base horizontal, com diferentes cotas.

Altitude de (M,P)?

Estimação da altitude dos elementos da matriz

MDT DE DISTRIBUIÇÃO EM QUADRÍCULA

Funções de interpolação polinomiais

Polinómios bicúbicos

Polinómios bilineares

(spline)

Há continuidade na variação do relevo na transição entre os elementos contíguos da quadrícula.

Com as splines cúbicas os perfis verticais da superfície do terreno apresentam uma forma mais suavizada (smoothed) dos que os perfis traçados a partir de polinómios bilineares.

A face superior do prisma de cada elemento é uma superfície curva.

(spline cúbicas)

Não há continuidade no relevo entre elementos.

Pode-se definir uma vizinhança limitada de raio r. Pontos fora não contam.

MODELO RASTERConstrução de um MDT de malha quadrangular a partir de pontos cotados

Média aritmética pesada (MAP) (IDW)

M

P

1

2

3

4

5

6

interpolação sobre pontos

Função de interpolação para a determinação da cota de um elemento:

A cota é obtida pela média pesada das cotas de vários pontos na sua vizinhança.

Os pesos são inversamente proporcionais à potência p (>=2) da distância entre o ponto de coordenadas (M,P) e o ponto i da amostra.

n

1in

1ji

iiH)P,M(H

p2

i2

i

i)PP()MM(

1

Construção de um MDT de malha quadrangular a partir de pontos cotados

M

P

1

2

3

4

5

6

interpolação sobre pontos

Talvegue ou

festo

Na interpolação das cotas podem incluir-se linhas de interrupção:

breaklines

A cota dos pontos 3 e 6 não é considerada, pois encontram-se noutra margem de uma linha de água ou noutra encosta de um festo.

MDT DE DISTRIBUIÇÃO EM QUADRÍCULAEstimação do declive dos elementos da matriz

E)k,l(H)k,1l(H

N

(l,k)

l -1

k-1

l +1

l

k+1k

N

S

EW

Malha com largura E

E)k,l(H)1k,l(H

E

E)k,l(H)k,1l(H

S

E)k,l(H)1k,l(H

W

Declives segundo diferentes azimutes:

E)k,l(H)1k,1l(H

NE

Para um azimute A qualquer obtem-se o declive por interpolação:

)(50

150ASSESEA

gon200AAgon150A SESE

1

2 3

4u

v

Coordenadas locais u, v

(l,k)

(l+1,k+1)(l+1,k)

(l,k+1)

Para as operações de análise da superfície os modelos raster podem utilizar um sistema de coordenadas local.

MODELOS NUMÉRICOS DO RELEVO DE DISTRIBUIÇÃO EM QUADRÍCULA

1

2

3

4

u

v

Carta hipsométricaCarta a curvas de nívelO MDT permite obter diferentes tipos de representação do relevo.

Modelo digital do terreno com malha quadragunlar observado em perspectiva com diferentes ângulos

MODELO POLIÉDRICO DO TERRENO: Rede de triângulos irregular (TIN)

CPPHM

MHN iii

Equação geral do plano que contém 3 vértices:

Superfície irregular do terreno é aproximada por uma superfície poliédrica de faces triangulares. O número e dimensão das faces depende da irregularidade do terreno e do detalhe que se pretende representar.

M

P

Representação plana

ELEMENTO DA MALHA DA REDE IRREGULAR DE TRIÂNGULOS

M

P

i

j

k

(Mi, Pi, Hi) (Mj, Pj, Hj) (Mk, Pk, Hk)Coordenadas conhecidas dos vértices do triângulo

aMi + bPi +c = Hi

aMj + bPj+ c = Hj

aMk + bPk + c = Hk

O sistema de 3 equações lineares:

Permite obter os coeficientes a, b e c da equação do plano definido pelos 3 vértices do triângulo:

aM + bP + c = H

Esta equação é a função de interpolação, permite obter a cota de um ponto qualquer do interior do triângulo, a partir das suas coordenadas M e P.

MHa

a – declive do plano segundo o eixo M

PHb

b – declive do plano segundo o eixo P

12

121313

12

121313

MPMP

MHMH

b

12

1212

MPbHa

111 bPMaHc

Resolução do sistema de 3 equações lineares para cálculo dos parâmetros da equação do plano que passa em três pontos de coordenadas rectangulares conhecidas

1313

1212

1313

1212

1313

1212

PPPPPPNMMMMMHHHHHH

Com:

cbPaMH Conhecendo 3 pontos do plano

cbPaMHcbPaMHcbPaMH

333

222

111

Obtém-se o sistema de equações:

Cuja resolução permite obter os valores de a, b e c:

ORIENTAÇÃO DO TERRENOA orientação da superfície (Az) é o azimute da normal à superfície

O azimute é calculado pelas derivadas de primeira ordem, de acordo com a expressão:

batgarc

PH

MHtgarcAz

)/()(Orientação da superfície

S

NNE

SESW

NW

EW

0º

90º270º

180º

a>0 e b>0 3º Qa<0 e b<0 1º Qa>0 e b<0 4º Qa<0 e b>0 2º Q

A

Azimute

1º

2º3º

4º

N

Sendo o quadrante do azimute definido pelas condições:

DECLIVES DO TERRENO

O declive máximo da superfície (δmax) é a taxa máxima de variação de altitude

É calculado pelas derivadas de primeira ordem, de acordo com a expressão:

2222

max baPH

MH

Declive máximo

zz AcosbAsina

O declive segundo uma direcção qualquer com azimute Az:

A orientação do declive máximo é: batgarcA max,z

CURVAS DE NÍVEL

No plano, as curvas de nível são segmentos rectos perpendiculares à direcção do declive máximo, tendo como orientação

º90batgarcA CN,z

As curvas de nível podem ser obtidas por interpolação ao longo dos lados dos triângulos

34 30

815 10

Curva de nívelH = 20 m

10

6

14

12

8

4

2

24

68

1012

24 6 8 10

12P

M

H

N

nA

C

B

Az

Declive máximo:

%5.82825.0)2.0()8.0( 22max

h = – 0.8 M – 0.2 P + 14.4 Equação do plano:

A(2;4;12) B(10;2;6) C(6;8;8)

Dados 3 pontos do terreno com coordenadas:

2a + 4b + c = 12

10a + 2b + c = 6

6a + 8b + c = 8

Sistema de equações lineares:

MODELO TIN: EXEMPLO DO CÁLCULO PARA CADA ELEMENTO DA MALHA (TRIÂNGULO)

Orientação:

º762.08.0

tgarcAz ( Este – Noreste)

Para a<0 e b<0 azimute é do 1º Q

Estabelecimento da rede de triangular de interpolaçãoB

A

CD

B

A

CD

Hipótese 1 Hipótese 2

Hipótese 1 não é válida porque o ponto D está no interior da circunferência que contém os outros 3 pontos A, B e C.

Utiliza-se uma Triangulação de Delauney

B

A

CD

B

A

CD

Hipótese 2 é válida

Geração de uma rede irregular de triângulos a partir de pontos cotados

Pontos topográficos

76.7

73.472.9

74.5

74.8

75.4

74.7

71.971.4

72.372.6

71.2

M

P

TIN

76.7

73.472.9

74.5

74.8

75.4

74.7

71.971.4

72.372.6

71.2

P

MModelo discreto do terreno.As altitudes são conhecidas apenas em alguns pontos.

Modelo contínuo do terreno.Conhecem-se as altitudes em qualquer ponto da região.

Utiliza-se uma triangulação de Delauney

45 m35 m

40 m

50 m

1150 12701030

1210

1330

1450

OBTENÇÃO DE UMA TIN A PARTIR DAS CURVAS DE NÍVEL

OBTENÇÃO DE UMA TIN A PARTIR DAS CURVAS DE NÍVEL

45 m35 m

40 m

50 m

1150 12701030

1210

1330

1450

Festo

Talvegue

Linhas de festo e de talvegue devem ser arestas de triângulos.

São linhas de quebra(breaklines).Talvegues devem ser hard breaklines.Festos podem ser soft breaklines.

1150 12701030

1210

1330

1450

Festo

Talvegue

MODELO POLIÉDRICO DO TERRENO COM MALHA TRIANGULAR IRREGULAR (TIN)

Conhecem-se as coordenadas M, P e N dos vértices dos triângulos

Calculam-se as equações do plano de cada triângulo, sendo possível interpolar a cota para qualquer ponto da região –modelo de terreno contínuo.

1150 12701030

1210

1330

1450

Dos MDT podem derivar-se CARTAS HIPSOMÉTRICAS

< 35 m35 – 40 m 40 – 45 m45 – 50 m> 50 m

Festo

Talvegue

5 – 10 %10 – 15% 15 – 20%20 – 25%25 – 30%30 – 35%35 – 40%> 40%

1150 12701030

1210

1330

1450

Dos MDT podem derivar-se CARTAS DE DECLIVES

Festo

Talvegue

NNEESESSWWNW

1150 12701030

1210

1330

1450

25

75

125

175225

275

325

375

S

NNE

SESW

NW

EW

Azimutes em grados

Festo

Talvegue

Dos MDT podem derivar-se CARTAS DE ORIENTAÇÕES

Triangulação sem definição dos talvegues

Triangulação com altitudes dos talvegues

Geração de uma rede irregular de triângulos a partir de pontos cotados, curvas de nível, linhas de água e linhas de festo.

262,100006

262,899994

266,

8999

94

266,

1000

06

759

704

753

763

836

789

Carta topográfica com festos traçados

759

704

753

763

836

789

Rede irregular de triângulos para gerar o MDT

759

704

753

763

836

789

Modelo digital do terreno (TIN) com CN e linhas

de água

759

704

753

763

836

789

Carta de declives do terreno, com curvas de nível

759

704

753

763

836

789

LegendFlat (-1)

North (0-22.5)

Northeast (22.5-67.5)

East (67.5-112.5)

Southeast (112.5-157.5)

South (157.5-202.5)

Southwest (202.5-247.5)

West(247.5-292.5)

Northwest (292.5-337.5)

North (337.5-360)

Carta de orientações (azimutes) da superfície

do terreno, com CN.

O modelo digital do terreno e a cartografia derivada