modelo black-litterman: aplicación al mercado de renta
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Modelo Black-Litterman:
Aplicación al mercado de renta variable colombiano*
Juan Sebastián Bosiga
200610967
Resumen
El modelo Black-Litterman combina, usando un enfoque bayesiano, las expectativas del
gestor y los rendimientos de equilibrio obtenidos a partir del CAPM, los cuales usa
como centro de gravedad, para obtener los rendimientos esperados de cada activo. Al
incorporar las expectativas del gestor dentro del modelo, logra recoger información del
mercado de forma ágil, obteniendo resultados intuitivos y portafolios diversificados. El
primer objetivo de este documento es aplicar este modelo al mercado de renta variable
en Colombia junto con una comparación frente al modelo planteado por Markowitz en
cuanto a desempeño y diversificación. El segundo objetivo a evaluar es el posible
impacto de un gravamen a los dividendos, ante el actual deterioro fiscal de la Nación, en
la asignación óptima de inversión. Los resultados muestran un mejor desempeño del
modelo Black-Litterman frente a Markowitz con portafolios más diversificados,
influenciados en gran medida por las expectativas, lo cual evidencia la relevancia del
administrador - quien debe realizar un ejercicio juicioso y continuo de asignación de
activos - dentro del desempeño del portafolio. Entre tanto, un gravamen a los
dividendos no modifica la asignación óptima de activos ante el menor riesgo de las
acciones con pago de dividendo alto.
Clasificación JEL: C11, C61, D81, G11.
Palabras Clave: modelo Black-Litterman, expectativas, portafolio eficiente, dividendos,
gestión de portafolios.
* Agradecimientos, en primer lugar, a mi asesora de tesis Carolina Tovar por sus continuas revisiones,
aportes y críticas durante la construcción de este documento. A los profesores Diego Jara y Álvaro
Riascos de la Universidad de los Andes por su amable guía y colaboración. Finalmente, a la profesora
Paula Jaramillo de la Universidad de los Andes por sus múltiples anotaciones y su constante dedicación
en hacer de este un mejor trabajo.
1. Introducción
La formación y gestión de portafolios ha sido un tema recurrente de investigación al
buscar la composición óptima de activos. Desde luego, esto implica el análisis de toma
de decisiones del inversionista que se debe evaluar desde un espacio multidimensional,
enmarcado por factores psicológicos, de experiencia adquirida y de información
disponible (Grajales, 2009). Dado este amplio espacio de análisis, la teoría se ha
encargado de limitar y sentar las bases conceptuales bajo uno de estos factores,
alejándose así de una combinación integral. Grajales sugiere la división de las teorías
sobre gestión de portafolios, la primera, aquella que se basa en la teoría clásica
financiera (Markowitz, 1952); y la segunda, en finanzas del comportamiento.
Markowitz (1952) dio inicio a la teoría moderna de portafolios a partir de su análisis de
media-varianza, en donde el inversionista busca el mayor retorno posible para cada
nivel de riesgo, o el menor riesgo posible para un nivel de rentabilidad dado. En el
proceso de selección del portafolio tiene en cuenta los rendimientos históricos de los
activos, el riesgo de cada uno de ellos (medido según la varianza de los rendimientos
esperados) y la correlación entre cada par de activos. De esta forma, busca encontrar el
portafolio óptimo, distribuyendo el riesgo de cada activo dentro del portafolio con el fin
de asegurar el rendimiento1.
El modelo pionero de Markowitz ha enriquecido la teoría pero tiene varios limitantes
que lo alejan de ser un modelo real y aplicable. Al basarse en rendimientos históricos
para predecir el comportamiento futuro de los activos, supone que los mercados se
comportarán de manera similar, lo cual se distancia de la realidad observada. Adicional
a esto, al usar los rendimientos históricos para la estimación de los parámetros
esperados, los portafolios resultantes terminan concentrados en pocos títulos2
,
justamente en aquellos con alta rentabilidad, reducida varianza y baja correlación entre
ellos (Michaud, 1989). Con el fin de corregir esto, el modelador introduce restricciones
adicionales, lo que resulta reflejando las expectativas del mismo modelador, dejando de
ser un modelo prescriptivo a un modelo descriptivo. Black y Litterman (1992) plantean
1 La diversificación logra compensar las pérdidas de unos con las ganancias de otros, bajo el supuesto de
que los precios de los activos no evolucionan de manera idéntica. (Fabozzi et al. 2007) 2 Parra (s.f.), usando Markowitz para la renta variable en Colombia, encuentra que de 20 activos
evaluados, sólo 3 activos componen los portafolios de la frontera eficiente encontrada.
que cuando las restricciones artificiales obstaculizan la combinación de los activos, la
optimización no balancea el retorno ni el riesgo entre los activos.
Por otro lado, Fischer Black y Robert Litterman (1992) lograron establecer un modelo
que estima los rendimientos de los activos incorporando al gestor de portafolios como
un elemento diferenciador. El gestor entra dentro del modelo con el propósito de
otorgarle flexibilidad, agilidad e información reciente de forma integral con los datos ya
obtenidos para cada activo.
El modelo Black-Litterman (MBL) combina la información histórica y las expectativas
del gestor para obtener los rendimientos esperados de los activos, que luego se van a
introducir en el optimizador de Markowitz para obtener los portafolios eficientes. De
esta manera, el MBL logra combinar ambas teorías (clásica y de comportamiento) de la
gestión de portafolios, planteada por Grajales, uniendo los factores psicológicos, de
experiencia adquirida (por medio de las expectativas del gestor) y de información
disponible (datos históricos).
El modelo Black-Litterman se alimenta de dos formas: la primera, usa el modelo CAPM
(Capital Asset Pricing Model, por sus siglas en inglés) con el fin de establecer los
precios de equilibrio de los activos; y segundo, de las expectativas del gestor sobre cada
activo. La combinación de estos dos elementos se realiza a través de un análisis
bayesiano. Los precios van a girar en torno a los precios de equilibrio del CAPM,
usándolos como un punto de gravedad del cual se alejan sólo por expectativas puntuales
del gestor de portafolio. El modelo no obliga a tener una expectativa sobre cada activo,
en caso de no tenerla se toman los precios obtenidos por el CAPM. La magnitud de
distanciamiento del equilibrio de los precios depende del grado de confianza con que el
gestor introduzca la expectativa. Ante mayor confianza, mayor será el impacto en la
participación del activo dentro del portafolio.
La flexibilidad y agilidad del modelo requiere un proceso continuo e iterativo con el
gestor, por lo que recae sobre él gran parte de la responsabilidad. El modelo no elimina
al gestor sino todo lo contrario, depende de él para desempeñarse de la mejor manera,
de ahí que el modelo entra a ser sólo una parte dentro del proceso de administración de
portafolios. Este proceso se basa en tres pasos fundamentales, planeación (política de
inversión y asignación estratégica de activos), ejecución (optimización del portafolio) y
retroalimentación (monitoreo y rebalanceo)3.
Los resultados del modelo en diferentes mercados y activos han sido satisfactorios en
términos de desempeño, diversificación y flexibilidad. Trujillo (2009), He y Litterman
(1999), Martínez (2010)4 encuentran bajo la metodología del MBL portafolios con
mayor grado de diversificación frente al modelo de Markowitz. He y Litterman dejan
entrever cómo el modelo balancea de mejor manera el portafolio una vez son
introducidos los rendimientos esperados a partir de las expectativas del gestor,
encontrando ponderaciones coherentes, sin recurrir a soluciones de esquina. Cruz (2012)
no sólo encuentra portafolios con un adecuado grado de diversificación sino que
también concluye que los retornos encontrados para diferentes regiones (Brasil,
Alemania y Estados Unidos) resultan ser mayores bajo la metodología Black –
Litterman.
El primer objetivo de este estudio es implementar el modelo Black-Litterman para el
mercado renta variable en Colombia. Adicional a eso, comparar el modelo frente a
Markowitz en cuanto a desempeño y diversificación por medio de un backtesting para
ambos modelos por al menos dos años, con rebalanceos trimestrales y escogencia de
portafolios con riesgo similar para no tener ruido vía este factor.
Entre tanto, el segundo objetivo consiste en mostrar como un gravamen a los dividendos
no cambia de manera significativa la asignación óptima encontrada previamente en la
implementación del modelo BL. Para demostrar esta hipótesis se va a realizar un
estudio en cuanto a volatilidad vs. dividendos así como una optimización diferente bajo
la expectativa de un gravamen concreto frente a cada dividendo de cada activo
evaluado.
El presente trabajo se divide en cinco partes. La primera es la presente introducción. La
segunda parte hace referencia a la explicación y desarrollo del modelo. La tercera parte
presenta la motivación, teoría y el análisis de un impacto en el mercado ante un
3 Maginn et al. (2007)
4 Encuentra que para los portafolios de inversión del Banco Central de Bolivia no sólo se obtiene un
mayor grado de diversificación bajo el MBL, sino mayor flexibilidad frente a Markowitz, como
consecuencia de la no obligación de contar con expectativas frente a cada uno de los activos evaluados.
gravamen a los dividendos. La cuarta parte la constituyen los resultados obtenidos para
la renta variable en Colombia en desempeño, diversificación y comparación frente a
Markowitz, e implicaciones del gravamen sobre los dividendos para el mercado. Y la
quinta parte, las conclusiones, limitaciones y posibles resultados de la implementación.
2. Modelo Black Litterman
El modelo Black Litterman es la respuesta a la necesidad de un modelo ágil e integral,
que logra combinar los retornos de equilibrio, calculados a partir del modelo CAPM, y
las expectativas del gestor de portafolios. En esta parte del trabajo se expondrán los
supuestos, insumos, procesos y avances del MBL, terminando con el proceso de
optimización de Markowitz.
2.1. Supuestos del modelo
El MBL se basa en tres grandes supuestos:
1. El individuo tiene una función de utilidad estrictamente cóncava5, es decir, es
averso al riesgo. A mayor riesgo, el individuo requiere mayor retorno y
viceversa.
2. Los supuestos detrás del CAPM se cumplen. El MBL usa este modelo como
base para estimar los retornos de equilibrio bajo los cuales se incorporan o no las
expectativas del gestor de portafolios. Los supuestos al interior del CAPM serán
explicados dos secciones más adelante.
3. Los rendimientos siguen una distribución normal.
2.2. Insumos del modelo
El universo de activos (N) está comprendido por activos siendo = 1,2,…, N. La
participación de cada activo dentro del portafolio está determinada por el vector
donde , es decir, no se puede vender un activo sin tenerlo6. El retorno
de cada activo se representa por el vector cuyo valor esperado es .
5 En caso tal en que la función de utilidad fuera cóncava más no estrictamente cóncava, como es el caso
de u(x) = x, el individuo sería neutral al riesgo, lo que llevaría a asignaciones de portafolio en soluciones
de esquina y sin diversificación. 6 Venta en corto. Se vende el activo y en la medida en que el precio cae, la utilidad aumenta. En
Colombia está prohibido para el mercado de renta variable a no ser que se cuente con una TTV
(Transferencia temporal de Valores) o por medio de derivados, pero para ninguno de los dos instrumentos
se cuenta aún con la profundidad necesaria.
El MBL trabaja con exceso de los retornos esperados los cuales asume se comportan de
manera normal (retorno esperado y matriz de covarianza , ) y los
representa como el valor esperado de cada activo una vez descontada la tasa libre de
riesgo doméstica:
2.2.1. CAPM
El modelo CAPM desarrollado a partir de los resultados de Markowitz de forma
separada por Jack Treynor (1961), William Sharpe (1964), John Lintner (1965) y Jan
Mossin (1966) estima el retorno de cada activo como una relación de equilibrio en
donde compensa el retorno según el riesgo sistemático (intrínseco al mercado o la
economía en general) y no sistemático (aquel que se puede disminuir por medio de la
diversificación).
El modelo tiene tres supuestos fundamentales:
1. Los agentes tienen información perfecta en cuanto a retornos esperados,
varianza y covarianza de los activos. Adicional a esto, los agentes no pueden
afectar los precios.
2. Existe un activo libre de riesgo, bajo el cual los individuos pueden prestar y
endeudarse sin límites.
3. Los agentes son aversos al riesgo.
De esta forma, todos los agentes tienen información perfecta. Lo único que los
diferencia unos de otros es su grado de aversión al riesgo. Aquellos que sean más
aversos van a tener una mayor participación del activo libre de riesgo y aquellos con
mayor apetito por riesgo van a tener una mayor proporción del activo riesgoso. Esto
quiere decir, que todos van a tener al menos una participación del activo riesgoso dentro
del portafolio.
Dada la información perfecta, todos los agentes van a tener la misma expectativa frente
al retorno del activo riesgoso. Aquellos más propensos al riesgo van a demandar el
activo, haciendo que este aumente su valor, pero disminuyendo su exceso de retorno.
Una vez disminuye, el activo empieza a desvalorizarse producto de la venta
generalizada del mercado. El precio del activo caerá hasta un punto tal que aquellos que
estaban concentrados en el activo libre de riesgo demandarán el activo riesgoso,
incrementando nuevamente su valor. Esto sucede una y otra vez, hasta que el mercado
logra un equilibrio.
El CAPM logra entonces obtener el retorno esperado de los activos una vez que el
mercado se encuentra en equilibrio. A partir de este análisis se obtiene la siguiente
ecuación:
Donde,
: Activo libre de riesgo7
: Retorno esperado del portafolio de mercado
: Medida de volatilidad relativa de un activo frente al mercado.
El cual se especifica como:
Siendo,
: Covarianza de un activo frente al portafolio de mercado .
: Varianza del portafolio de mercado.
De esta forma, el CAPM plantea que en el equilibrio, el individuo va a mantener el
portafolio de mercado, con una asignación de activos . Pero, ¿cómo determinar la
asignación del portafolio de mercado que represente de mejor manera el mercado en
general?
En la práctica, a los gestores de portafolios se les mide según su desempeño frente a un
índice o benchmark representativo del mercado8
. Por lo tanto, en ausencia de
expectativas, el gestor debe replicar la composición del índice.
7 El activo o tasa libre de riesgo se representa por lo general como aquel activo cuyo riesgo de no pago
sea lo más cercano a cero. En la práctica, se usa los rendimientos de los bonos del Estados. En caso en
que el universo de activos corresponda a diferentes países se recomienda tomar el rendimiento de los
bonos del tesoro de Estados Unidos, expresados en la moneda local del portafolio.
Una vez determinada la asignación de mercado, Black – Litterman transforma el
modelo CAPM por medio de una optimización inversa9 con el fin de obtener los
retornos de equilibrio .
Donde,
: Coeficiente de aversión al riesgo implícito.
: Matriz de Varianza y covarianza.
: Asignación de mercado.
En primer lugar, Black-Litterman asume que los retornos se comportan de manera
normal con media y varianza . Partiendo del supuesto que el mercado está
buscando siempre el equilibrio, los retornos esperados deben ser los retornos arrojados
por el CAPM, es decir . La varianza se deriva entonces de la varianza de los retornos
, a la cual BL le agrega un escalar (Tao), que pondera la matriz de covarianza.
Este escalar debe ser cercano a cero dado que la incertidumbre en la media de los
retornos es menor que la incertidumbre en el retorno mismo (Black Litterman (1992),
Lee (2000), Salomons, s.f.). Tao es inversamente proporcional al nivel de confianza del
gestor en los retornos de equilibrio . Niveles cercanos a cero indica que la confianza
en los retornos es alta, una vez que modifica la matriz de covarianza hacia abajo,
mientras que niveles cercanos a uno pretenden dejar inalterada la varianza de los
retornos.
8 Para la renta variable en Colombia, el índice de referencia bajo el cual usualmente se mide a los gestores
de portafolios de carteras colectivas, fondos de inversión y fondos de pensiones (componente del índice
planteado para la rentabilidad mínima por la Superintendencia Financiera en el decreto 2555 de 2010) es
el COLCAP. 9 Ver anexo 1. Se usó de guía en el proceso a Satchell y Scowcroft (2000), y Salomons (s.f.)
2.2.2. Expectativas del gestor: Matrices y
Una vez completada la primera fuente de información del modelo, se procede a
involucrar al gestor de portafolios. El gestor, por lo general, tiene expectativas sobre al
menos un activo dentro del universo de activos definido. Aquellos activos que hacen
parte del conjunto de expectativas del gestor, entran a formar la matriz , la
cual es conocida. Las expectativas son expresadas en términos de exceso de retorno
frente al retorno implícito calculado a través del CAPM calculado previamente para
cada activo10
. Estas forman la matriz , la cual es conocida. Las expectativas del
gestor deben ser independientes, por lo tanto, no pueden estar correlacionadas unas con
otras dado que los resultados no serían los esperados para cada una.
Donde,
: Vector de error.
,
es el valor a estimar
Las expectativas se pueden expresar en términos absolutos o relativos. En términos
absolutos, se le da un exceso de retorno a un activo en particular, por ejemplo (1): el
activo A tendrá un exceso de retorno del 5%. En términos relativos, la expectativa
confronta un activo o portafolio contra el otro, por ejemplo (2): el activo B tendrá un
exceso de retorno frente al activo C de 150 puntos básicos (1,5%). Ambos tipos de
expectativas son adecuadas pero las que son expresadas en términos relativos son más
comunes y tienen mayor intuición. Por ejemplo, informes económicos por lo general
plantean situaciones tales como: el sector de comercio tendrá un mejor desempeño este
año que la industria en un nivel cercano al 3%.
Al tomar los dos primeros ejemplos (donde se supone 100% de certeza), las matrices
serían las siguientes:
10
Sefton y Scowcroft (2003) extienden el modelo a expectativas sobre portafolios, lo cual toma más
relevancia en aplicaciones a un espacio de inversión mundial y con diferentes tipos activos. Esto desde
luego no afecta la intuición, dado que se puede construir portafolios mono activos.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
2.2.3. Confianza en las expectativas: Matriz
El gestor de portafolios dentro de su proceso de asignación estratégica de activos debe
recoger e interpretar toda la información disponible de la mejor manera, para así poder
introducir una expectativa coherente dentro del modelo. A pesar que en este proceso se
reúna gran cantidad de información y se estudien diferentes oportunidades, siempre va a
existir un grado de error ( ). La fuente de éste puede incluso que no sea del gestor sino
de la información misma que él recoge. Adicional a esto, informes económicos y
financieros, por lo general, otorgan niveles de riesgo a sus recomendaciones ante
ausencia de información, riesgos aún sin evaluar, incertidumbre del entorno, entre otras.
El MBL incorpora el error, tal como se mencionó en la sección anterior ( ,
) el cual entra en la estimación final de los retornos. Como tal, no existe una
única forma de especificar pero He y Litterman (1999) ofrecen un método bastante
usado en la literatura. Dado el valor esperado del retorno, ellos calibran el error
igualando la varianza de y , y la varianza del portafolio mismo en cada expectativa.
Aplicando esto para todas las expectativas:
Al ser las expectativas independientes, la matriz resultante de es diagonal.
La manera en cómo se incorpora la confianza en las expectativas, hace entonces que
pierda relevancia en el modelo, dado que lo que importaría ahora es la relación . Sí
esto es así, entonces pierde toda relevancia el introducir en primer lugar, siendo que
este parámetro cumplía la función de diferenciar la varianza del exceso de los retornos
esperados, entre tanto, dos parámetros que fueron especificados de forma separada en el
modelo terminan siendo determinados como uno (Salomons, s.f.).11
2.3. Retornos del modelo Black-Litterman
Las dos fuentes de información obtenidas: los retornos esperados de equilibrio,
encontrados a partir del CAPM, y las expectativas del gestor de portafolios, se
combinan por medio de un análisis bayesiano. Los retornos esperados de equilibrio
forman la distribución anterior (prior) la cual se afecta por medio de las expectativas,
formando una distribución posterior12
.
Teorema de Bayes:
Donde
Aplicando Bayes a Black-Litterman, obtenemos:
Con base en esto, se encuentra que la distribución posterior se distribuye
normal con media13
:
Fórmula Black Litterman:
Varianza:
11
Para efectos del presente documento, para el cálculo de se va a tener en cuenta la varianza del exceso
de los retornos esperados en la transformación del valor esperado de estos, es decir: 12
El vector esperado de los retornos esperados resulta del producto de estas dos distribuciones normales. 13
Ver Anexo 2. Se usa de guía a Salomons (s.f.) en el proceso.
La fórmula del MBL muestra la conjugación de las fuentes de información junto con el
error implícito de las expectativas. Adicional a eso, deja entrever como una expectativa
frente a un activo cambia el retorno esperado final, dada la correlación de los activos al
interior del portafolio. De ahí la importancia de que las expectativas del gestor sean
independientes.
El modelo plantea que en ausencia de expectativas ( el portafolio se va ajustar a
los rendimientos de equilibrio ( ). Si en determinado
momento el gestor no tiene una expectativa concreta sobre algún activo, la solución es
mantener el portafolio de mercado a la espera de mayor información o tiempo, en caso
tal que sea un momento de alta volatilidad e incertidumbre en el mercado.
2.4. Optimización de Markowitz
Una vez se obtiene los retornos esperados de los activos por medio del MBL se
introducen, junto con la matriz de Varianza y Covarianza histórica, en el proceso de
optimización de Markowitz. Este proceso consiste en encontrar el portafolio de mínima
varianza del espacio de portafolios posibles, el cual se ajuste a un retorno esperado
fijo14
. Este proceso va a encontrar un portafolio para cada nivel de riesgo, el cual será
eficiente sólo si no existe otro que lo domine. De esta manera, el proceso de
optimización se plantea de la siguiente forma:
14
El problema de optimización también se puede plantear como aquel portafolio que minimice la
varianza.
3. Impacto de una reforma tributaria sobre el mercado colombiano
En el 2014 en Colombia, tras la fuerte caída en los precios internacionales del petróleo y
su impacto en las cuentas fiscales de la Nación, el gobierno se vio obligado a
implementar una nueva reforma tributaria para contener este efecto. Al momento de
hacer la reforma se esperaba un precio promedio del petróleo para el 2015 cercano a los
USD $70 por barril. A abril del 2015 el precio promedio se ubica sobre los USD $48
por barril, alejándose bastante del precio necesario para la financiación del siguiente año
del gobierno. Con esto en mente, la posibilidad de que en la próxima reforma tributaria
se graven los dividendos que pagan las compañías se ha incrementado, lo cual ya sido
mencionado por algunos funcionarios del gobierno. De suceder esto, ¿qué pasaría con el
mercado colombiano en cuanto a desempeño y riesgo, dado que este se ha caracterizado
por pagar dividendos a sus accionistas?, y más aún, ¿qué pasaría con la asignación
óptima de MBL bajo este nuevo escenario?
En primer lugar, en cuanto al desempeño de las acciones de las compañías que deciden
repartir dividendos a sus accionistas, Miller & Modigliani (1961) plantean que el valor
de la compañía está representado por las utilidades que estas generan a lo largo del
tiempo y como estas se transforman en inversión para la compañía. De esta manera,
plantean la teoría de la irrelevancia la cual estipula que la política de dividendos no
afecta el precio de una acción dado que en la fecha ex dividendo la acción va a caer en
el valor exacto al dividendo. Black & Sholes (1974) comprueban de cierta forma la
teoría de la irrelevancia al construir 25 portafolios de acciones de la Bolsa de New York
y evaluar el impacto de la política de dividendos para el período de 1936 a 1966 en el
desempeño de las acciones, para el cual no encuentran un relación significativa entre el
dividend yield15
y el retorno esperado de las acciones, usando el modelo CAPM.
Cabe mencionar, que la teoría de Miller & Modigliani (1961) está planteada para
mercados perfectos, por lo cual ellos reconocen que ante mercados imperfectos (que son
los que se ajustan a la realidad) los dividendos si pueden tener un efecto positivo en la
acción dado que sirven como señal del desempeño futuro de la firma. Esta teoría va
acorde a la planteada por Gordon (1962) quien establece que los inversionistas prefieren
15
Hace referencia a la relación entre pago del dividendo y el precio de la acción. Por ejemplo, una acción
que tiene un precio en bolsa de 10 y su dividendo anual es de 1, tiene un dividend yield de 10%.
el dividendo en vez de posibles ganancias de capital vía la valorización de la acción,
dado que este es un hecho incierto, de ahí que él mismo platee un modelo de descuento
de flujos futuros de los dividendos para valorar las acciones.
En segundo lugar, al evaluar el impacto del dividendo en la volatilidad de las acciones,
tomando esta como una medida de riesgo, Baskin (1989) encontró que la variación en la
tasa de descuento tiene un menor efecto en aquellas con un dividend yield alto dado que
esto es señal de que la firma va a tener un flujo de caja alto en el corto plazo y por ende
su volatilidad en el precio de la acción va a ser menor. Cabe recordar que la
acumulación de caja innecesaria es pérdida de valor para una firma al verla como un
costo de oportunidad, bien sea vía dividendos para sus accionistas o para inversión. De
igual manera, Haschemijoo, Ardekami & Younesi (2012) encontraron para el mercado
de valores de Malasia que la volatilidad de las acciones tienen una relación inversa tanto
con el dividend yield como con el porcentaje a repartir de las utilidades (payout),
comprobando lo encontrado por Baskin (1989).
De esta manera, al tener como base teórica que los dividendos ayudan tanto a mejorar el
desempeño de las acciones como a disminuir su volatilidad, es decir su riesgo, una
reforma tributaria que grave los dividendos podría no tener efecto alguno en la
asignación óptima de activos, dado que aquellas acciones que no pagan dividendos no
serían seleccionadas, a pesar de no verse afectadas por el impuesto, pues su nivel de
riesgo es superior frente a las demás. Dentro de la siguiente sección se pretende
comprobar está hipótesis bajo el MBL ante expectativas negativas frente a aquellas
acciones con dividend yield alto en la medida exacta en que el gravamen podría llegar a
afectar la rentabilidad final de cada activo.
4. Aplicación a la renta variable en Colombia
El mercado de renta variable en Colombia aún se encuentra en una etapa de desarrollo.
No cuenta con una gran cantidad de emisores líquidos y los volúmenes, en comparación
con otras plazas bursátiles, son bastante bajos. La relación capitalización bursátil/PIB
cerró en el 2010 cerca del 70%16
en niveles similares a los observados en Noruega,
Bélgica e Indonesia. Pero si se tiene en cuenta efectivamente lo que se tiene emitido en
bolsa, la relación cae a niveles del 21%, lo cual nos dejaría en el fondo de la lista, por
debajo de Italia, Holanda y Turquía. En términos de liquidez, en el año de 2010 la
relación frente al PIB no superaba el 10%.
Entre tanto, el volumen operado de TTV (instrumento usado para poder vender en corto
un activo) para 2012 no supero los COP$15.000 millones de pesos17
, lo cual representa
cerca del 20% de una rueda promedio en el mercado spot. En cuanto al mercado de
derivados en renta variable, en el 2012 el volumen negociado alcanzo tan sólo los COP
0.7 billones lo que es cercano al 0.15% del PIB.
A pesar de los limitantes en cuanto a liquidez y profundidad de mercado, el ejercicio de
optimización se debe realizar independiente de las condiciones del mismo. A partir de
esta breve introducción se presenta a continuación los supuestos, datos, aplicaciones,
resultados del modelo Black-Litterman y el impacto de un gravamen sobre los
dividendos.
4.1. Supuestos
4.1.1. Supuestos de mercado
En el mercado colombiano hay varios supuestos a tener en cuenta, ya sea por
regulación o por la situación actual.
16
Datos tomados a partir del informe: “El mercado bursátil colombiano: Profundidad y nuevos emisores”.
Abril 25 de 2011. Anif. Enfoque Mercado de capitales. Edición 51 17
Datos tomados a partir del Informe de gestión de Bolsa de Valores de Colombia. 2012
1. No hay ventas en corto, es decir, no se puede vender un activo sin primero
tenerlo. El uso de las TTV (Transferencia Temporal de Valores) creado para este
fin ha resultado difícil de implementar para el mercado en general.
2. El mercado de repos aún no se ha recuperado a plenitud y los derivados no se
han desarrollado lo suficiente, por lo tanto, se supone que no hay
apalancamiento.
3. Dado que el universo de activos admisibles es local, la tasa libre de riesgo
corresponde a los TES tasa fija de corto plazo emitidos por la Nación, que para
este caso son los títulos con vencimiento en Octubre de 2015.
4.1.2. Supuestos del modelo
Dentro de los supuestos del modelo mencionados previamente, en el análisis
bayesiano Black y Litterman plantean la normalidad de los retornos de cada activo o
portafolio seleccionado como deseable, sin hacer de esta una condición bajo la cual
no se puedan implementar las expectativas del gestor dentro del modelo. A pesar de
esto, se hace la comprobación de normalidad con el fin de conocer en parte la
distribución de los activos seleccionados. (Ver los anexos)
4.2. Datos
Los datos históricos a usar corresponden a 24 emisores registrados en la Bolsa de
Valores de Colombia. Algunos de estos emisores cuentan con dos tipos de acciones
emitidas: ordinarias y preferenciales. Las acciones ordinarias tienen derecho a voto a
diferencia de las preferenciales. Estas últimas por lo general pagan dividendos más altos
que las ordinarias, se encuentran en programa de ADR18
y tienden a ser más liquidas.
Independientemente del tipo, ambas se comportan de manera similar dado que es el
mismo emisor, por lo cual se elimina de la muestra alguna de las dos19
.
La base de datos da inicio en Junio de 2011, fecha desde la cual se tienen datos
consolidados de cada activo. Esta muestra de acciones recoge el 100% del índice
18
American Depositary Receipt, por sus siglas en inglés. 19
En caso tal en que se tome tanto una acción preferencial como una ordinaria del mismo emisor, esto
provoca una relación lineal entre este par de activos, lo cual va a impedir que se invierta la matriz de
covarianza .
benchmark a seguir, el COLCAP20
. El período de rentabilidad a evaluar será mensual
(período considerable para realizar rebalanceos de los portafolios según la nueva
información disponible).
4.3. Aplicación
4.3.1. Supuesto de normalidad
Al aplicar la prueba de normalidad a cada serie de retornos de los 24 activos
seleccionados, sólo 6 de ellos violan el supuesto de normalidad al rechazar la
hipótesis nula al 95% de confianza21
, de los cuales dos de estos no hacen parte del
benchmark seleccionado.
4.3.2. Modelo Black-Litterman
La composición del portafolio de referencia COLCAP para el conjunto de activos
seleccionados consta de 20 activos cuya participación se puede ver en la Gráfica 1
con base en la canasta vigente el primero de Enero de 2015. Se asume en el proceso
que el coeficiente es igual a 0,02 puesto que se va a suponer que el gestor tiene
bastante confianza frente a sus expectativas. El coeficiente de aversión al riesgo
aplicado corresponde al implícito del mercado de renta variable a partir del índice
benchmark definido.
En las series de algunas acciones (EEB y Canacol) se hizo un ajuste en el período
evaluado por cambios en precio producto de un Split, lo cual consiste en un cambio
nominal del precio según un factor. Por ejemplo, en el caso de EEB se hizo en el
2011 un Split de 1:100, es decir, cada acción divide su valor nominal en 100. Esto se
hace cuando el precio nominal de una acción se encuentra demasiado alto y se busca
darle mayor dinamismo al activo. También existe el caso de reverse splits, que
como su nombre lo indica hace lo contrario, multiplica el valor nominal de una
acción por un factor determinado.
20
Índice de capitalización bursátil de la Bolsa de Valores de Colombia. 21
Anexo 3.
Entre tanto, dado que la emisión de CLH en la bolsa fue en Noviembre de 2012, se
debió construir la serie hasta Junio de 2011 por medio del comportamiento de su
casa matriz Cemex en México, la cual mostró tener una correlación significativa en
pesos colombianos del 84,1%22
.
Gráfica 1. Composición Benchmark según los activos seleccionados.
Las expectativas que se van a introducir en el modelo para hacer la simulación con
base en la información con corte al 1 de Enero de 2015 se basan en un análisis
macroeconómico de ese momento planteado por Credicorp Capital en su informe
mensual de Enero23
, el cual se resume en los siguientes puntos:
Expectativa 1: El desempeño del sector petrolero se mantiene en perspectiva negativa
para el 2015 dada la fuerte caída del precio del petróleo desde el segundo semestre de
2014, para el cual no se espera una recuperación en el corto plazo. Esto ha
repercutido en la generación de caja en los tres emisores del sector petrolero en la
bolsa, que junto a planes de inversión menores y cierre de algunos bloques costosos,
hace poco probable un aumento en la producción en el mediano plazo además de
alguna mejora operacional sustancial que disminuya los costos por barril extraído
22
Anexo 4 23
Monthly Andean Strategy Update: External factors pressuring Colombia; preference for Chile heading
into 2015; neutral in Peru. Credicorp Capital. Andean equities. Enero 8 de 2015.
15%
14%
14%
11%7%
6%
5%
4%
3%
3%
3% 3%
3%2%
2%
2%
2% 1%
0%
GRUPOSURA PFBCOLOM
ECOPETROL GRUPOARGOS
NUTRESA CEMARGOS
EXITO ISA
CORFICOLCF PFDAVVNDA
BOGOTA CLH
PFAVAL EEB
CELSIA ISAGEN
PREC PFAVH
BVC CNEC
FABRICATO ETB
TABLEMAC ENKA
con el fin de subsanar el efecto negativo del precio. Perspectiva negativa en
Ecopetrol, Pacific Rubiales y Canacol.
Expectativa 2: A pesar de la desaceleración económica que va a sufrir Colombia por
cuenta de unos menores ingresos petroleros, la fuerte demanda interna debe
favorecer el sector comercio, que al tener un beta bajo le ayudará a mantener una
menor volatilidad frente al resto del mercado. Perspectiva positiva en Nutresa.
Expectativa 3: El plan de infraestructura de las 4G va a ayudar a mantener el sector
de construcción dinámico para los próximos años, para el cual se espera que su
primera etapa, la cual ya fue adjudicada, empiece su ejecución a finales del presente
año. Perspectiva positiva en Cemargos.
A partir de estos datos, se construyen finalmente los retornos del modelo Black-
Litterman que se introducen en el modelo. El resultado del proceso de optimización
encuentra la Línea de Mínima Varianza, la cual está compuesta justamente por
aquellos portafolios que minimizan el riesgo. Los portafolios que son dominantes y
se encuentran en esta línea son entonces aquellos que forman la Frontera Eficiente.
Gráfica 2. Frontera Eficiente
0,00%
0,05%
0,10%
0,15%
0,20%
0,25%
0,06% 0,07% 0,08% 0,09% 0,10% 0,11% 0,12%
Reto
rno N
om
inal M
ensual
Varianza del retorno
4.3.3. Modelo Black-Litterman vs. Markowitz
El modelo una vez implementado para la renta variable en Colombia muestra tan
sólo una foto para un período de tiempo, justo aquel en el que gestor está decidiendo
su asignación óptima en Enero de 2015. Pero con el fin de comparar el modelo de
Black-Litterman frente a Markowitz se hace necesario la construcción de un track
record a través de varias asignaciones y diferentes expectativas a lo largo del
tiempo. El ejercicio que se plantea tiene las siguientes características:
1. El período a evaluar comprende desde Marzo de 2013 a Marzo de 2015.
2. Se hacen rebalanceos de manera trimestral para ambos modelos de acuerdo a la
nueva información disponible.
3. La tasa libre de riesgo sigue siendo la tasa de referencia de los TES TF 2015,
dado que incluso en Marzo de 2013 este título se encontraba en la parte corta de
la curva de rendimientos colombiana y su duración modificada era bastante baja.
La tasa varía de acuerdo al tiempo según el cierre del título al momento de cada
optimización.
4. Con el fin de reconstruir las expectativas a lo largo del tiempo, se toman
informes históricos publicados por Valores Bancolombia en sus informes de
Expectativas Sectoriales, Información de reporte de compañías y Valoración de
algunos emisores. Las expectativas para el último trimestre (Enero-Marzo de
2015) se basaron en el informe de Credicorp Capital mencionado anteriormente.
5. La canasta del Colcap se actualiza de manera trimestral, es decir, con la misma
periodicidad con la que se rebalancea el índice.
6. En cada proceso de optimización a lo largo de los 8 trimestres se crean 25
portafolios en cada modelo para cada período. Con el fin de poder comparar
entre ambos modelos, se toma aquel portafolio resultante que: 1. Tenga niveles
de riesgo similar frente al otro modelo, 2. Se encuentre en la parte baja del
riesgo a asumir y 3. Posea niveles adecuados de diversificación.
El ejercicio arroja resultados satisfactorios para el modelo Black-Litterman en
términos de desempeño y diversificación frente a Markowitz. En cuanto a
desempeño, BL a lo largo de los dos años evaluados presenta un diferencial (spread)
frente a Markowitz cercano a 3 unidades (ver Gráficas 3 y 4), que en términos
porcentuales representa un alpha desde el inicio de 2.71% (271 puntos básicos). Es
decir, no sólo obtiene un resultado final positivo sino que adicional a eso, registra a
lo largo de todos los períodos evaluados un diferencial positivo frente a Markowitz.
Gráfica 3. MBL vs Markowitz - Colcap
Gráfica 4. Spreads
Evidencia de lo anterior, en la Tabla 1 se puede observar como Black-Litterman
obtiene alpha positivo en todos los períodos evaluados tanto al comprarlo con
Markowitz como al hacerlo frente al índice de referencia Colcap. Cabe mencionar,
que tanto BL como Markowitz obtienen resultados positivos frente al Colcap,
70
75
80
85
90
95
100
105
110
abr-
13
may
-13
jun
-13
jul-
13
ago
-13
sep
-13
oct
-13
no
v-13
dic
-13
ene-
14
feb
-14
mar
-14
abr-
14
may
-14
jun
-14
jul-
14
ago
-14
sep
-14
oct
-14
no
v-14
dic
-14
ene-
15
feb
-15
mar
-15
MBL
Markowitz
COLCAP
-3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
abr-
13
may
-13
jun
-13
jul-
13
ago
-13
sep
-13
oct
-13
no
v-13
dic
-13
ene-
14
feb
-14
mar
-14
abr-
14
may
-14
jun
-14
jul-
14
ago
-14
sep
-14
oct
-14
no
v-14
dic
-14
ene-
15
feb
-15
mar
-15
MBL vs M
MBL vs COLCAP
dejando en evidencia la importancia de un ejercicio de optimización al momento de
establecer la asignación óptima de activos.
Tabla 1. Comparación de desempeño.
En lo referente a diversificación, Black-Litterman obtiene un promedio de inversión
de 4.73 activos por portafolio generado (en total se generaron 200 portafolios para
los 8 trimestres evaluados), mientras que Markowitz alcanza un promedio de 4.41
activos por portafolio. Adicional a esto, BL asigna al menos 4 activos por portafolio
en el 56% de los portafolios optimizados mientras que Markowitz tan sólo lo hace
en un 45,5%. Al evaluar más en detalle, Markowitz muestra que uno de cada dos
portafolios optimizados están concentrados en dos o tres activos. (Ver gráficas 5 y
6)
Gráfica 5. Histograma N Activos BL
30 90 180 365 Inicio
Black-Litterman -4,5% -9,3% -13,6% -14,4% -11,8%
Markowitz -5,6% -10,6% -13,8% -15,8% -14,6%
COLCAP -4,6% -13,8% -19,9% -22,7% -26,3%
30 90 180 365 Inicio
Alpha MBL vs M 110 126 29 134 271
Alpha MBL vs COLCAP 11 447 636 830 1.445
Alpha M vs COLCAP -99 320 607 696 1.173
Rentabilidad
Alpha (Exceso de rentabilidad)
6
52
3026
1217
11
26
127
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16
N activos
Gráfico 6. Histrograma N Activos Markowitz
4.3.4. Impacto de un gravamen a los dividendos para el mercado colombiano
La comprobación de la hipótesis planteada se basa en dos etapas: la primera, se
evalúa la relación entre dividend yield y volatilidad; y segunda, se hace una
simulación bajo la cual se implementa el view negativo del gravamen sobre aquellos
activos que pagan dividendos, y esta asignación obtenida se compara con la primera
simulación de activos realizada.
1. Relación dividend yield vs. Volatilidad
Se toma como base el precio de cierre del año de cada activo junto con el
proyecto de distribución de utilidades planteado por cada junta directiva a la
asamblea de accionistas, para calcular el dividend yield de cada emisor. Al
comparar este indicador con la volatilidad promedio de 10, 20, 30, 60, 90 y 180
días, se encuentra una correlación negativa de -0,45, la cual es significativa al
90%24
, es decir que a medida que disminuye el dividend yield la volatilidad se
incrementa (ver gráfico 5).
24
Anexo 5
8
65
36
14 14 13 11 1217
63 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13
N activos
Gráfica 5. Dividend yield vs. Volatilidad promedio
Esto se hace más evidente cuando se piensa cada activo como un portafolio.
Suponga que un portafolio está hecho con un único activo y está compuesto
100% por éste. Adicional a esto, presuma que el activo paga dividendos y que
estos no se reinvierten en el activo nuevamente. De esta forma, cada vez que el
activo pague dividendos, el porcentaje de caja va ir incrementándose en
participación para el portafolio. Dado que el efectivo no tiene riesgo, el
portafolio va a ir disminuyendo su volatilidad en la medida que se vaya
acumulando más pago de dividendos. Esto quiere decir que aquellos activos que
pagan dividendos deben tener un riesgo menor.
2. Simulación
Un gravamen a los dividendos puede llegar a causar un view negativo sobre los
activos que decretaron el pago dado que el retorno final que recibe el
inversionista va a ser menor. A partir de esta expectativa, se realiza una
simulación con base en los datos a Enero de 2015 y un gravamen del 20% al
dividendo anual decretado por cada activo, a modo de ejemplo.
Al comparar los resultados de esta simulación frente a la primera realizada en el
documento en aquellos portafolios con riesgo similar, que en concreto de los 25
portafolios evaluados en cada una, 13 cumplen con este requisito, se logró
encontrar: primero, en ambas simulaciones la escogencia de activos es similar en
22 de los 24 activos posibles (incluyendo tanto los activos en los que se invierte
0
10
20
30
40
50
60
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
PFA
VH
EEB
ECO
PET
RO
L
PFD
AV
VN
DA
ISA
GEN
CO
RFI
CO
LCF
PFA
VA
L
BV
C
BO
GO
TA ISA
PFB
CO
LOM
CEL
SIA
EXIT
O
NU
TRES
A
CEM
AR
GO
S
GR
UP
OA
RG
OS
GR
UP
OSU
RA
PR
EC
CN
EC
CLH
Dividend Yield (Eje izquierdo)
Volatilidad Promedio
como en los que decide no invertirse); y segundo, el promedio de inversión en
cada activo a lo largo de los 13 portafolios evaluados no cambia de manera
significativa entre las simulaciones realizadas (Ver gráfica 6).
Gráfica 6.
Comparación de portafolios promedio
Al evaluar más en detalle la diferencia en las asignaciones, se encuentra que sólo
hay un activo en el cual se tiene un diferencial significativo, la acción del Banco
de Bogotá, el cual es cercano al 4,8%. Entre todos los demás activos en los que
se invierte, la diferencia no supera el 1%, tal como se observa en la gráfica 7.
Gráfica 7
Diferencia promedio de participación
5%11%
2%1%
12%
6%
7%1%1%8%1%
1%
44%
6%
10%
1%1%
12%
5%
6%0%
1%9%
49%
ECOPETROL PFBCOLOM
CEMARGOS PFAVAL
CORFICOLCF ISAGEN
PFDAVVNDA PFAVH
FABRICATO TABLEMAC
ENKA CELSIA
BOGOTA
Portafolio con Impuesto
Portafolio sin Impuesto
0,0%
0,8%
1,6%
2,4%
3,2%
4,0%
4,8%
ECO
PET
RO
L
PFB
CO
LOM
CEM
AR
GO
S
PFA
VA
L
CO
RFI
CO
LCF
ISA
GEN
PFD
AV
VN
DA
PFA
VH
FAB
RIC
ATO
TAB
LEM
AC
ENK
A
CEL
SIA
BO
GO
TA
De esta forma, se puede afirmar que la hipótesis evaluada se cumple en la
medida que a pesar de involucrar en las expectativas un impacto negativo en el
retorno de cada activo dado el gravamen, la asignación óptima promedio a los
largo de los portafolios con riesgo similar no cambio. Por lo tanto, el riesgo de
aquellos activos que no pagan dividendos (aquellos que no tenían view negativo)
no compensa el hecho de tener un retorno en comparación con los demás activos
más alto, por lo cual la optimización aún mantiene su asignación óptima.
5. Conclusiones
El modelo Black-Litterman resulta ser una herramienta complementaria dentro del
proceso de ejecución en la administración de activos, donde el gestor y el modelo se
alimentan uno del otro bajo el fin de obtener el mejor resultado posible. El MBL
necesita del buen desempeño del gestor en términos de análisis de información, atención
a las señales del mercado y de experiencia adquirida. Esto finalmente se resume en una
realización excelente del proceso de asignación estratégica de activos (justamente el
paso previo al proceso de ejecución). Entre tanto, el gestor necesita del modelo para
otorgarle una base a sus expectativas, no sólo por la correlación de activos o su varianza
sino para delimitar el universo de posibilidades de inversión que posee según el riesgo
dispuesto a asumir.
La responsabilidad del gestor de portafolios de alimentar al modelo de la mejor manera
debe ser parte de una evaluación al gestor mismo, quien debe llevar un track record del
desempeño de sus expectativas. El modelo y el gestor se deben calibrar en repetidas
ocasiones hasta encontrar su propio punto óptimo bajo el cual se vean reflejadas la
realidad del mercado y las expectativas introducidas por el gestor.
El resultado de la implementación del modelo Black-Litterman frente a Markowitz en
términos de desempeño y diversificación fue gratificante. Para el período evaluado y en
general para cada momento del tiempo, el desempeño del modelo logró mantener un
spread positivo frente Markowitz, haciendo ver la importancia de introducir nueva
información al modelo por medio de las expectativas del gestor. Adicional a esto, BL
logra alcanzar un alpha significativo frente al índice de referencia Colcap incluso de
una manera más eficiente, dado que cumple este objetivo a través de un menor número
de activos seleccionados, es decir, que en términos prácticos va a incurrir en menores
costos de transacción y comisiones que aquel gestor que replique el índice.
Entre tanto, en cuanto a diversificación Black-Litterman no sólo obtiene un mayor
promedio de activos seleccionados por portafolio que Markowitz sino que además logra
obtener un mayor número de portafolios con al menos cuatro activos. De esta forma,
para el período analizado no sólo obtiene BL un mejor desempeño sino que además lo
hace por medio de portafolios más diversificados, lo cual representa un menor riesgo
para el gestor.
Frente a una posible reforma tributaria que grave los dividendos, la asignación óptima
de activos no cambia en gran medida ante una expectativa negativa en los activos que
pagan dividendos. Esto se da como consecuencia de que aquellos activos que no pagan
dividendos tienen un riesgo más alto que aquellos que si, y su retorno no logra
compensar este hecho a pesar incluso que los demás activos elegibles tengan un retorno
final menor vía el view negativo aplicado.
Finalmente, próximas investigaciones pueden estar enfocadas a incluir derivados en
acciones o la posibilidad de apalancarse. Esto despliega una serie de oportunidades
mucho mayor en cuanto a coberturas de riesgo y diversidad en los portafolios. Por
supuesto, este avance dependerá en gran medida de la evolución del mercado de
derivados, así como de la inclusión de nuevos emisores y agentes en el mercado
colombiano.
Anexos
Anexo 1
Partiendo de la ecuación del CAPM:
Transforma la formula a términos vectoriales:
Se reemplaza el exceso de los retornos esperados y tomamos
:
Donde
Reemplazando:
Dado que es fijo, entonces , por lo tanto,
Reorganizando,
Ahora bien, la optimización inversa arroja el mismo resultado:
Condición de primer orden:
Dado que ya conocemos (se definió como el benchmark del portafolio), entonces:
Anexo 2
A partir de los supuestos ya conocidos:
1.
2.
Con base en el teorema de Bayes:
Función de densidad de la distribución normal:
Los supuestos se pueden expresar de la siguiente forma:
Al reemplazar en el numerador del teorema de Bayes:
Para el caso de los exponentes:
Se sacan los factores por el momento y se desarrollan los términos al interior del
exponente:
Dada la simetría de y :
Organizando términos:
Simplificando los términos se usa , , como símbolos representativos:
Dado que por ser simétrica:
Se introduce la matriz identidad
Reordenando el segundo término,
Usando de nuevo la matriz identidad,
En el proceso de integración, desaparece al no depender de . Al
introducir de nuevo el exponente y el factor:
Por lo tanto,
,
Anexo 3
Pruebas de Normalidad:
Anexo 4
Prueba de correlación:
Anexo 5
Prueba correlación, dividend yield - volatilidad
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