modelli a parametri distribuiti

8/15/2019 Modelli a parametri distribuiti

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Roberto PisanoRoberto PisanoRoberto PisanoRoberto Pisano

Dipartimento di Scienza Applicata e Tecnologia

e-mail: [email protected]

Tel. 011 0904679

POLITECNICO DI TORINO

Corso di Laurea in Ingegneria Chimica e Alimentare

IntroduzioneIntroduzioneIntroduzioneIntroduzione

I modelli a parametri distribuiti sono utilizzati per descrivere ilcomportamento dinamico di processi le cui variabili di stato sono

funzioni del tempo e dello spazio.

Politecnico di Torino – Controllo e strumentazione per processi chimici Lezione 05 – 2/15


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EsempioEsempioEsempioEsempio – –– – SSSScambiatore a tubo coassialecambiatore a tubo coassialecambiatore a tubo coassialecambiatore a tubo coassiale

Si consideri uno scambiatore di calore a tubo coassiale. Il fluido di

processo (avente portata massica ( ρ φ ) e temperatura T ) scorre neltubo interno ed è riscaldato da un fluido tecnologico (avente

temperatura T f ) che scorre nel tubo esterno.

Sia R il raggio del tubo interno, L la sua lunghezza, U il coefficiente

globale di scambio termico e AL l’area di scambio per il trasferimento

di calore tra i due fluidi.


EsempioEsempioEsempioEsempio – –– – Scambiatore a tubo coassialeScambiatore a tubo coassialeScambiatore a tubo coassialeScambiatore a tubo coassiale

1. Obiettivi e applicazione finale

Descrivere l’evoluzione del profilo di temperatura del fluido di

processo al variare della temperatura in ingresso del fluido

tecnologico.



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2+3. Schema di processo e classificazione delle variabili

T (z = 0,t ) = T 0(t ) variabile di ingresso di tipo disturboT f (z = 0,t ) = T 0(t ) variabile di ingresso di tipo disturbo

T (z ,t ) variabile di stato

T f (z ,t ) variabile di stato

T (z = L,t ) = T L(t ) variabile di uscita

T f (z = L,t ) = T L(t ) variabile di uscita


,m ( )0,T z t = ,m ( ),T z L t =

( , ) f T z L t =

( 0, ) f T z t =


4. Ipotesi semplificative

Flusso a pistone;

Non ci sono fenomeni di retro-miscelazione;

T wall è costante lungo z e nel tempo

c p e ρ sono costanti con la temperatura

5. Scelta della tipologia di modello

Modello a parametri distribuiti.


,m ( )0,T z t = ,m ( ),T z L t =

f T

T


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6+7. Equazioni del modello

Condizioni stazionarie


a u e g+ = +

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

* *

,0

2

12 0

10

0

0,

s s

p s p s z w s z dz z L

z

p s s w s z dz z

L p s s w s

z dz z

s L

p w s

s s

T T z

mc T T mc T T UdA T T A dzdA Rdz

L

mc T T U Rdz T T dz

UAmc T T dz T T

dz L

dT UAmc T T

dz L

T z t T

π

π

+

+

+

=

− = − + − = =

− − + − = ×

− − + − =

− + − =

= =

E1

dz


6+7. Equazioni del modello

Condizioni dinamiche


a u e g+ = +

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

* * 2

2

1 1

Rdz

p p p z f z

z dz

L p w R p R z dz z

L p w z dz z

T dVc mc T T mc T T U dA T T dV R dz

t

UA T mc T T dz T T A dzc A R

L t

UAmc T T dz T T

dz L dz

π

ρ π

ρ π

+

+

+

∂+ − = − + − =

∂

∂− − + − = =

∂

− − + − =

R A dz ρ

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

0

2

10,

, 0

p L

L p w R p

s

T c A

Rt L

T UA T mc T T A c

z L t

T z t T t dz

T z t T z

π

ρ

∂

=∂

∂ ∂− + − =

∂ ∂= = ×

= =

E2


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8+9. Riscrivere le equazioni del modello in termini di variabili di

scarto

(E2)(E2)(E2)(E2) – –– – (E1(E1(E1(E1):):):):


( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

,

0 0,0, 0,

, 0 , 0 0

s s L p w w s s R p

s s

s s s

T T T T UAmc T T T T A c

z L t

T z t T z t T t T

T z t T z t T z T z

ρ ∂ − ∂ −

− + − − − =∂ ∂

= − = = −

= − = = − =

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

,

0 0,0, 0,

, 0 , 0 0

s s Lw w s s

R p

s s

s s s

T T T T UAv T T T T

z t A c L

T z t T z t T t T

T z t T z t T z T z

ρ

∂ − ∂ −− + − − − =

∂ ∂

= − = = −

= − = = − =


8+9. Riscrivere le equazioni del modello in termini di variabili discarto

Si definiscano le seguenti variabili di scarto:

L’equazione in termini di variabili di scarto diventa:

Politecnico di Torino –Controllo e strumentazione per processi chimici Lezione 05 – 10/15

( ) ( ) ( )( )

0 0,0,

, 0 0

ρ

∂ ∂+ = −

∂ ∂

= = − =

= =

L

p R

s

y y UAv y

z t c LA

y z t T t T d t

y z t


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scarto

Nel dominio di Laplace si ottiene:


( ) ( ) ( )

( )

0 0,0,

, 0 0

ρ

∂ ∂+ = −

∂ ∂

= = − =

= =

L

p R

s

y y UAv y

z t c LA

y z t T t T d t

y z t

{ }

( )( ) ( )

ˆˆ 0

ρ

∂ ∂ + = −

∂ ∂

+ −

L

p R

y y UAv y

z t c LA

dy sv sy s y

dz

L L L

( )ˆ ρ

= − L

p R

UA y s

c LA


8+9. Riscrivere le equazioni del modello in termini di variabili discarto

Si ottiene quindi un’equazione differenziale ordinaria:

La cui condizione iniziale risulta essere:

L’equazione può essere così riscritta:


( )( ) ( )

ˆˆ ˆ

ρ + = − L

p R

dy s UAv sy s y s

dz c LA

( ) ( )ˆˆ , 0 y s z d s= =

( )( )

( )

( )( )

( )ˆ ,

ˆ ,0 0

ˆˆ

ˆ

ˆ

ρ

ρ

= − +

= − +

∫ ∫

L

p R

y s z z L

y s p R

dy s UAv s dz y s c LA

dy s UAv s dz

y s c LA


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scarto

Risolvendo si ottiene:

Applicando l’antitrasformata di Laplace si ha:


( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

,

ˆ1

ˆ ,ln 0

ˆ , 0

ˆ ˆ ˆ, , 0 , 0

ˆˆ , ,

α

β

ρ ρ

α

ρ

β

− + −

−

−

= − + −

= =

=

z

L L

p R p R

L

p R

U z

d sUA UA z zs z

sv vc A L Lvc Av

z s

y s z UAv s z

y s c LA

y s z y s e y s e e

y s z d s e U z

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

0 0,

0 0,

, ,

, ,

, ,

α β β α

β α

= − − = − −

= + − −

s s

s s

y t z d t z U z

T t z T z U z T t z T

T t z T z U z T t z T


10. Analisi dei gradi di libertà

NE=1

NV=2

NF=NV-NE=1



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Esercizi di verificaEsercizi di verificaEsercizi di verificaEsercizi di verifica

1. Qual è la risposta del sistema a fronte di un disturbo (di tipo

rampa) sulla temperatura in ingresso del fluido? Calcolare la

risposta nel dominio del tempo.

2. Rappresentare graficamente la risposta del sistema nel caso in

cui:

Il sistema sia adiabatico (U =0);

Ci sia trasferimento di calore tra il fluido tecnologico e quello

di processo.


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