MODELISATION DU LAMINAGE A FROID DES ACIERS. ETUDE DES ASPECTS METALLURGIQUES.

ANALYSE PAR LA METHODE DES TRANCHES

A. SCHMITZ, J.C. HERMAN

CRMRue E. Solvay, 11 - 4000 Liège, Belgique

Abstract : Afin d'améliorer le modèle de prédiction des forces et des puissances de laminageà froid, une étude fine de la loi de consolidation des aciers en fonction des paramètres delaminage a été réalisée sur base d'essais de compression. Il a été démontré que la résistance àla déformation à froid peut être décomposée selon une loi d'additivité de 3 contributions, àsavoir la limite élastique de la bande à chaud, la contribution d'écrouissage uniquementdépendante du taux de déformation et la contrainte visqueuse qui reprend les dépendances envitesse et température. L'intégration de cette loi de comportement dans un modèle des tranchespour prendre en compte le frottement à l'interface bande-cylindre a permis le calcul des forcesde laminage. La validation sur des banques de données industrielles montre qu'il est possibled'atteindre une précision de l'ordre de 3.5% en écart-type sur le rapport des forces mesurées etcalculées, cette dispersion résiduelle pouvant être attribuée à une estimation trop imprécise dela dureté de la bande à chaud.

1. Introduction

Le laminage à froid a comme objectif de conférer àla bande à chaud une géométrie déterminée (épais-seur, planéité), un état microstructural particulier(écrouissage, texture) ainsi qu'un état de surfaceadaptés aux traitements de recuit ultérieurs. Pourremplir ces objectifs, le lamineur est confronté auxcontraintes technologiques du laminoir, et plus parti-culièrement l'élasticité des éléments constitutifs de lacage de laminoir et les limitations en puissances desmoteurs d'entraînement.

L'élasticité du système implique un certain "cédage"de cage engendré par les forces de laminage. Leprépositionnement des cylindres de travail qui prenden compte la correction du cédage nécessite unebonne évaluation a priori de la force de laminage. Ilen est de même pour le problème du cambrage descylindres.

Les limites de puissance définissent la structure duschéma de laminage, et en priorité le choix del'épaisseur de la bande à chaud pour obtenir uneépaisseur finale déterminée. Plus finement, le calculdes puissances de laminage permet de distribuer demanière optimale les réductions des différentes pas-ses d'une cage réversible ou des différentes cages

d'un tandem, tout en garantissant une productivitémaximale.

Le propos d'un modèle de laminage est de répondreà ces questions. Bien que les théories de laminagesoient bien établies , il reste néanmoins des perfec-[1]

tionnements à apporter au niveau métallurgique (loide consolidation, effet vitesse-température).

2. Analyse du calcul d'une force de laminage

Le calcul d'une force de laminage peut se décompo-ser comme suit :

(1)

avec

P la pression moyenne de déformation du métalmqui représente la contribution métallurgiquedu produit

S la surface de contact bande-cylindre qui estcfortement conditionnée par le retrait élastiquedu cylindre (contribution géométrique)

Q un coefficient qui reprend l'augmentationd'effort générée par le frottement à l'interfacebande-cylindre (contribution tribologique).

Fig.1 Roll gap geometry and static equilibrium of avertical slab (ABCD)

Fig.2 Strain rate and temperature evolution withinthe roll gap during cold rolling from 2 to1.5mm with 340 mm diameter rolls at400m/min

La précision relative de la force de laminage dépen-dra donc du soin apporté à l'évaluation de ces troiscontributions, les erreurs relatives s'additionnant.

3. Modèle métallurgique

3.1. Analyse des conditions thermomécaniques dedéformation dans l'emprise de laminage

L'élargissement de la bande pendant le laminage estici négligé et l'écoulement est considéré plan. La déformation plastique des métaux s'effectue selondes mécanismes de cisaillement et entraîne doncl'incompressibilité de l'écoulement. La déformationest supposée homogène en ce sens que la vitessehorizontale v de la matière est considérée constantesur l'épaisseur. Une tranche verticale à l'entrée restedonc verticale au travers de l'emprise, ce qui est defait observé expérimentalement dans le cas du lami-nage à froid bien lubrifié. Il s'ensuit que la vitesse vdu métal augmente dans l'emprise dans le sens in-verse de l'épaisseur h, et il existe ainsi un endroit del'emprise (x = x ) où la vitesse du métal égale cellendu cylindre v ; cet emplacement définit le plannneutre. L'incompressibilité se traduit par l'égalité :

(2)

D'un point de vue plastique, le matériau est supposéisotrope et les déformations équivalentes g sont cal-culées sur base des équations de Von MISES. Lafigure 1 illustre la géométrie de la moitié supérieurede la fente de laminage, la partie inférieure étantsymétrique.

Le laminage à froid est en règle générale bien lubri-fié et l'énergie de laminage se compare à l'énergie decompression plastique. Cette énergie se transformeen grande partie en chaleur, un résidu se trouvantsous forme d'énergie interne (5% sous forme dedislocations). Dans le cas de laminages à grandevitesse, le temps de contact de la matière avec lescylindres est suffisamment petit que pour assurerl'aspect adiabatique de la déformation.

La figure 2 illustre le profil thermomécanique calcu-lé dans le cas d'un laminage de 2 mm à 1.5 mm, avecdes cylindres de 340 mm de diamètre tournant à 400m/min.

Les métaux répondent à ces sollicitations plastiquespar une contrainte d'écoulement F̄ qui augmenteavec la déformation (phénomène d'écrouissage), lavitesse (effet visqueux) et diminue avec la tempéra-ture (effet de l'activation thermique). L'objet du mo-dèle métallurgique est de décrire ces phénomènessous la forme d'une loi :

(3)

3.2. Loi de consolidation : effet de la déformation

La figure 3 montre l'augmentation de la contrainted'écoulement avec la déformation pendant des essaisde compression axisymétriques d'éprouvettescylindriques en acier ULC-Ti avec différentesvitesses de déformation.

Fig.3 Compression curves of an ULC-Ti steel at ro-om temperature for different strain rates

Fig.4 Strain hardening curve during compression ofan ULC-Ti steel at room temperature and itsdecomposition in different stages

Seul l'essai le plus lent à 10 /s peut être considéré-2

comme isotherme, le temps de contact avec lesplateaux de compression étant suffisammentimportant pour évacuer l'énergie de déformation.L'effet vitesse y est de plus minimisé.

Une manière d'appréhender l'écrouissage est deporter la pente de la courbe d'écrouissage (' =dF̄/d,) en fonction de la contrainte d'écoulement F̄(fig. 4). Il est d'usage dans la littérature de[2]

décomposer cette courbe en 2 stades :

- un stade III de décroissance linéaire de 'o(F̄ =F ) à 0 (F̄ = F )o is

- un stade IV constant : ' .4

Afin d'évaluer ce formalisme d'écrouissage dans lecas de la déformation par laminage, une bande àchaud ferritique en acier ELC de provenanceindustrielle a été laminée sur le laminoir

expérimental du CRM à différents niveaux deréduction. La contrainte d'écoulement de la matièreécrouie a alors été obtenue par des essais de tractionsur des éprouvettes prélevées dans le sens delaminage. Les points expérimentaux se trouventsuperposés à l'essai de compression à la figure 4. Onobserve une bonne correspondance entre les deuxmodes de déformation, et le formalisme adoptésemble convenir à la description de la consolidation.

3.3. Modélisation de l'effet vitesse-température :formalisme de l'activation thermique

Les courbes d'écrouissage de la figure 3 à différentesvitesses de déformation démontrent l'importance del'effet vitesse. Si celui-ci reste néanmoins limité pourdes dynamiques de vitesses inférieures à un rapport10, le problème de l'extrapolation des courbesd'écrouissage obtenues en laboratoire à des vitessesmaximum de 10/s vers les vitesses de déformationdu laminage industriel (jusqu'à 1000/s) reste posé.

D'un point de vue phénoménologique, les courbes dela figure 3 convergent vers un même niveau desaturation, ce qui pourrait s'interpréter par uneinfluence de la vitesse de déformation sur la loi deconsolidation. Néanmoins, l'évolution thermiquedans les différents essais passe d'un caractèreisotherme (, = 10 /s) à un état adiabatique (, =q -2 q

10/s).

Afin de minimiser la hausse de température à hautevitesse, un essai de compression à 1/s a été réaliséavec des arrêts de la machine pour des incréments dedéformation de 0.1. Pendant chaque arrêt,l'évacuation de l'énergie de déformation dans lesplateaux de la machine assure une déformation àtempérature constante. La courbe discontinue engras de la figure 3, démontre l'importance de l'effettempérature, et l'enveloppe de cette courbe semble serétablir parallèlement à la courbe obtenue à bassevitesse (10 /s).-2

Il découle de ces considérations la loi d'additivitésuivante :

(4)

où F est la limite élastique de départoF = F (,) est la loi d'évolution de lai i

contrainte interne liée auphénomène d'écrouissage qui estindépendant de la température etde la vitesse de déformation

Fig.5 Adiabatic compression curves of an ULC steelat different temperatures and high strain rate(10/s)

Fig.6 Temperature dependence of the viscous stresscorresponding to an internal stress of 270 MPaat a strain of 0.1

F = F (,, T) est la contrainte visqueuse quiv vq

reprend la dépendance envitesse et en température de lacontrainte d'écoulement F̄.

Le formalisme généralement adopté dans lalittérature pour traduire l'influence de la vitesse et[3]

de la température est celui de l'activation thermique.Il s'agit ici d'exprimer que la vitesse de l'écoulementplastique est associée au passage thermiquementactivé d'obstacles localisés dans le réseau cristallin.

L'effet du champ de contrainte appliqué F consistevà participer au travail nécessaire à passer la barrièrede potentiel )G qui caractérise ces obstacles.o

La loi phénoménologique de l'activation thermiquepeut prendre la forme suivante :[3]

avec

(5)

où , est un paramètre fréquentielqo

σ est la contrainte athermique (T = 0K) devopassage des obstacles

m est un paramètre lié à la géométrie de labarrière potentielle.

T représente la température au-delà de laquelle leopassage des obstacles est complètement activéthermiquement pour une vitesse de déformationdonnée.

Cette dernière équation (5) indique la compensationréciproque de l'effet de la vitesse avec celui de latempérature, en ce sens qu'un abaissement de latempérature de déformation aura la même influencesur la viscosité qu'une augmentation de la vitesse.

Les vitesses de compression en laboratoire étantlimitées à , = 10/s, la simulation de la viscositéq

correspondant aux conditions industrielles(, = 1000/s) s'est réalisée par des essais rapides (, =q q

10/s) à des températures de plus en plus basses (de -104EC à 82EC).

Sur la figure 5, l'adoucissement des courbes avec ladéformation, observé aux basses températures,résulte de l'augmentation de température due à larapidité des essais (temps de contact inférieur à 100ms). La viscosité étant indépendante de l'étatd'écrouissage, seules les valeurs de la contrainte à, = 0.1 sont considérées, l'énergie de déformation yétant limitée.

En reprenant des valeurs de la littérature pour ,q o(10 /s) et )G (0.8 eV), la température T pour8

o o, = 10/s est évaluée à 576 K. La figure 6 fournit laq

valeur des paramètres m (4) et F (1800 MPa)voobtenus en prenant une contrainte interne à , = 0.1de 270 Mpa. Il est alors possible de soustraire àl'ensemble des courbes de la figure 5 la contributionvisqueuse calculée par la formule (5) en considérantque l'évolution thermique suit une loi adiabatique.

Fig.7 Compression curves calculated by substractionof the viscous contribution to the curves ofFig.5

Les courbes ainsi corrigées (fig.7) se superposentpresque parfaitement, ce qui confirmel'indépendance de la consolidation vis-à-vis de lavitesse et de la température de déformation (pour destempératures inférieures à 200EC).

3.4. Synthèse : équations constitutives

L'évolution de la contrainte d'écoulement au seind'une fente de laminage peut être décrite à l'aide deslois suivantes :

loi d'additivité :

loi d'écrouissage :

loi de viscosité :

avec (6)

4. Etude du frottement : méthode des tranches

4.1. Equations de base

Le principe de la méthode des tranches consiste àdiscrétiser l'emprise de laminage en fines tranchesverticales (fig.1) et à établir l'équilibre statiquehorizontal de chacune d'elles.

La variation de force horizontale appliquée sur lesfaces AB et CD de chaque tranche résulte de deuxcontributions aux deux interfaces bande-cylindre(BC):(1) la projection horizontale de la pression : p sin N(2) la projection horizontale du cisaillement :J cos N

Si N est suffisamment petit, les approximationssuivantes sont admissibles :

p sin N - p.NJ cos N - JF = p cos N - p (7)y

Le passage de la matière au plan neutres'accompagne d'une inversion du glissement bande-cylindre et donc du signe du cisaillement. Pour unelargeur de bande unitaire, l'équilibre s'écrit alors:

(8)

En considérant une loi de frottement du typeCoulomb : J = µ p

(9)

Cette équation comporte deux inconnues : F et F .x yUne seconde équation s'obtient par l'expression del'écoulement plastique de la matière. Si µ estinférieur à 0.1, la loi de von MISES dans le cas desécoulements plans peut s'approximer par :

(10)

La contrainte F peut être considérée commeyhomogène sur l'épaisseur et il en est de même pourF via l'équation (10), étant donné que la contraintexd'écoulement est supposée homogène sur l'épaisseur.Le système d'équations se résume finalement :

(11)

Fig.8 Distribution of the pressure applied on therolls during cold rolling of an ELC steel in thesame conditions of Fig.2

Fig.9 Correlation between the measured and compu-ted roll forces on a base data (ELC steels fromthe reversible mill)

Ce système d'équations peut être résolunumériquement de proche en proche par différencesfinies, en initialisant le système avec les tractions àl'entrée T et à la sortie T de l'emprise. La figure 81 2montre le résultat des calculs de pression dans lesmêmes conditions de laminage que la figure 2. Lescourbes d'écrouissage et de viscosité sont ajoutées àla colline de frottement afin de mieux apprécier lesdifférentes contributions à la force de laminage.

4.2. Retrait élastique des cylindres de travail

Sous l'effet de la pression exercée localement parle matériau, les cylindres se relaxent élastiquementautour de l'emprise.

Ceci a pour conséquence une modification impor-tante de la géométrie de l'interface bande-cylindre etdonc de la surface de contact. La formulationd'HITCHCOCK est souvent employée dans la[1]

littérature pour calculer un rayon de cylindredéformé R'.

Une procédure itérative est alors mise en oeuvrepour les calculs successifs de la force de laminage etdu retrait élastique qui en résulte.

5. Analyse de banques de données industrielles

Afin de comparer les résultats du modèle avec lesparamètres mesurés sur laminoirs industriels, desbanques de données collectées sur une cageréversible et sur train tandem 4 cages ont étéanalysées.

Une sélection sur la chimie des bandes à chaud dansdes fenêtres relativement serrées est supposéefournir une base de données avec une dureté dedépart σ constante. Une adaptation des paramètresométallurgiques σ , σ , Γ ainsi que du coefficient deo is ofrottement µ a permis de minimiser l'écartquadratique moyen entre les forces mesurées etcalculées.

A titre d'exemple, la figure 9 illustre la bonnecorrélation obtenue entre les forces mesurées et lesforces calculées pour les laminages en premièrepasse sur cage réversible. Un histogramme durapport de la force mesurée sur la force calculée estprésenté à la figure 10.

Sur l'ensemble des 504 coils considérés, l'écart desforces ne dépasse jamais 10% et l'écart type est del'ordre de 3.9%.

Il reste alors à identifier la source de cette dispersionrésiduelle. Un enseignement important peut êtreobtenu en corrélant le rapport des forces en passe 2et en passe 3 (fig. 11). Il apparaît une importante transmission des écarts, ence sens qu'un coil qui est plus "dur" en passe 2 resteplus "dur" d'approximativement la même quantitérelative en passe 3. La même corrélation existe entrela passe 1 et la passe 2. Les conditions de laminageétant fort différentes d'une passe à l'autre, cettetransmission

Fig.10 Relative frequency of the ratio of the measuredto the computed roll forces

Fig.11 Transmission of the dispersion of the ratio ofthe measured to the computed roll forces frompass 2 to pass 3

est difficilement attribuable à un défaut du modèle.Après analyse des possibilités d'erreur dans lamesure des forces et des puissances, il a été concluque la source de dispersion ne pouvait provenir quede la méconnaissance des propriétés mécaniques dela bande à chaud. Malgré le choix et une nuanceparticulière, la dispersion de la dureté de l'acier àl'état de bande à chaud crée des variations de forcequi se transmettent d'une passe à l'autre.

Une analyse systématique des propriétés mécaniquesdes bandes à chaud par une campagne d'essais detraction serait nécessaire. Néanmoins, ceci restedifficilement envisageable étant donné qu'il fautévaluer ces propriétés en dehors des têtes et queuesde bande.

Une alternative serait d'intégrer l'évolutionmicrostructurale de la bande au cours de sonévolution thermomécanique à chaud par exemple parle modèle STRIP CAM . Ce dernier nécessite[4]

néanmoins la mesure précise de l'ensemble desparamètres thermomécaniques du "process" à chaud.

6. Conclusions

Un modèle de laminage à froid a été développé surbase de la méthode des tranches. L'évolutionmétallurgique de l'acier au sein de l'emprise delaminage a été intégrée à l'aide de nouvelleséquations constitutives en considérant unécoulement thermomécanique homogène surl'épaisseur. Ces équations constitutives ont étédéduites d'essais de compression en laboratoire àdifférents niveaux de vitesse et de température quimettent en évidence l'importance de ces effets.

Une analyse de banques de données industrielles amis en évidence une dispersion des écarts entre lesforces mesurées et calculées qui se sont transmis aucours des passes du laminoir réversible. La source deces dispersions serait une connaissanceinsuffisamment précise de la dureté de la bande àchaud.

7. Références

1. W.L. ROBERTS, "Cold rolling of steel", 1983,New York, Marcel Dekker.

2. J.GIL SEVILLANO, Materials Science andTechnology, 1993 , Ed. R.W. Cahn, P. Haasen,E.J. Kramer, volume 6, pp.19-87.

3. D.A. SMIDT, Acta Met., 17, 381, 19694. B. DONNAY, P. FABREGUE and

U. LOTTER, Report ECSC project 7210-EC/205/304/106, 1994

Remerciements

Ce travail a été effectué avec le support desAutorités Publiques Belges. Les auteurs remercientles laminoirs de Cockerill-Sambre Ferblatil et lelaminoir de Dudelange pour les donnéesindustrielles mises à disposition de la recherche.