Modélisationdes

Actions Mécaniques

1ère SICours :

1) NOTION D’ACTION MECANIQUE

      Créer ou modifier un mouvement ;

On appelle action mécanique toute cause susceptible de :

La charge excessive soulevée par un haltérophile déforme la barre des haltères.

Le déplacement d’un voilier est dû à l’action mécanique exercée par le vent sur la voile.

      Maintenir un corps au repos ;

L’action mécanique exercée sur la manivelle d’un étau permet de fixer une pièce entre les 2 mors de l’étau.

      Déformer un corps ;

2) DIFFERENTS TYPES D’ACTIONS MECANIQUES

2.1) LES ACTIONS MECANIQUES A DISTANCE

En construction mécanique, elles sont essentiellement de type magnétique ou de pesanteur.

Dans le cas de contact entre deux solides, les deux solides sont obligatoirement en liaison mécanique et l’action

mécanique exercée dépend de la nature du contact entre les deux solides. ( ponctuel, linéique, surfacique plan, etc.…)

 Par exemple, une liaison pivot glissant ne peut transmettre les

mêmes efforts qu’une liaison encastrement à cause de ses deux degrés de liberté.

2.2) LES ACTIONS MECANIQUES DE CONTACT

 Elles résultent :

- Soit du contact d’un fluide (gaz ou liquide) sur un solide;- Soit du contact d’un solide avec un autre solide.

3) LE MODELE DE LA FORCE Nous avons vu en étudiant les liaisons que le contact entre deux pièces pouvait être soit ponctuel, linéique ou surfacique. Dans un premier temps, nous allons

étudier l'action mécanique transmissible par un contact ponctuel parfait ( liaison parfaite ).

3.1) CAS DU CONTACT PONCTUEL PARFAIT (Sans Frottements) L'action mécanique qui s'exerce entre deux solides en contact ponctuel

sera modélisée par une force, dont les caractéristiques sont celles d’un vecteur : - Origine : point de contact E,

- Direction : normale au plan tangent de contact (0,Y ,Z ) donc suivant X.

- Sens : vers pièce sur laquelle s’exerce l’effort, ici: suivant les X négatifs, - Norme : dépend, de la « grandeur » de l’effort.

E 4/2

On a l'habitude de désigner une action mécanique modélisable par une force de la façon qui suit :

solide sollicité

solide qui exerce la force point d’application de la force

E 4/2

X

Y

3.2) CAS DES CONTACTS NON PONCTUELS

3.2.1) Cas de la Pression d’un Fluide sur une Paroi Plane

f

f

f

f

C

La pression sera supposée uniforme (constante sur toute la paroi).

Elle s’applique en chaque élément de surface de la paroi.

F

Leur somme nous donne une force appelée force de pression , ayant les caractéristiques suivantes :

f

Nous avons donc une infinité de forces élémentaires .

- Point d’application :- Direction :- Sens :

- Norme :

p.S F

, avec : - F : effort développé (N)

- p : pression uniforme du fluide (Pa) - S : surface de la paroi plane, en (m2)

F

le centre de la surface, Cperpendiculaire à la surface de contact entre le fluide et la paroi dirigé vers la paroi

Anciennement:daNBarcm²

3.2.1) Cas de la Pesanteur

On considère un solide indéformable.

Gpp

p p

pp

P

La pesanteur s’applique en chaque élément de matière de ce solide.

Leur somme nous donne une force appelée force de pesanteur P, ayant les caractéristiques suivantes :

- Point d’application :G, le centre de gravité du solide ou du système - Direction :verticale passant par G

- Sens :vers le bas - Norme : g . m P

avec : - P : poids en Newton ( N )

- m : masse du solide ou du système en kilogrammes ( kg )

- g : accélération de la pesanteur = 9.81 m.s-2

Nous avons donc une infinité de forces élémentaires .pΔ

3.3.3) Cas de l’Action d’un Ressort de Compression

L’action mécanique qu’exerce un ressort sur une pièce peut être modélisée par une force, dont les caractéristiques sont :

- Point d’application :centre du cercle de contact,

- Direction : selon l’axe du ressort,

- Sens :du ressort vers la pièce,

- Norme :proportionnelle à la variation de longueur du ressort (à sa déformation) :F = k (lo-l) , avec - k : raideur du ressort (constante – N/mm)

- lo : longueur à vide du ressort (mm) - l : longueur comprimée du ressort (mm)

Exemple : effort du ressort sur le piston.

X

Y

FD 8/6

D

FA

FA

4) LE MOMENT D’UNE FORCE 4.1) MOMENT D‘UNE FORCE PAR RAPPORT A UN AXE

4.1.1) Cas où la Force est Orthogonale à l’Axe

DEFINITION : On appelle moment d'une force par rapport à un axe (O, ), le produit de la norme de la force ( ) par la distance de la droite d'action de la force à l'axe considéré, affecté d’un signe défini ci-dessous :

AFx

F A

+ si la force tend à provoquer une rotation autour de l'axe dans le sens positif ou .

zyyx ,(

)xz

- si la force tend à provoquer une rotation autour de l'axe dans le sens négatif.

) OH F ( )F(M AAOx ) F (OH A ) F (d

ou ou

L'unité du moment est le Newton-mètre (N.m) d : distance la plus courte à la droite d’action (m) appelée aussi Bras de levier

 : norme de la force (N) F

Droite d’action de la force FA

(,FA)

Distance Distance :Bras de levier

Le moment d’une force par rapport à un axe est nul si le support de la force et l’axe du moment considéré appartiennent à un même

plan.

Exemple : 0)F(M AOy

4.1.2) Cas où la Force est Parallèle à l’Axe

Le moment d'une force par rapport à un axe qui lui est parallèle est nul.

car est parallèle à

0)F(M AOz AF ),( zO

Remarque : la force en A ne tend pas à «faire tourner» le bras du robot autour de l’axe (O, z ). Le moment est donc nul par rapport à cet axe.

FA

FA

Que pensez-vous du moment de FA par rapport à l’axe (O, z ) ?

4.2) MOMENT D‘UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT, NOTION DE VECTEUR MOMENT

4.2.1) Notion de Vecteur Moment

DEFINITION : On appelle vecteur moment de au point O, , le vecteur dont les coordonnées ou composantes sont les moments par rapport aux trois axes :

AF

)F(M AO

)F(M)F(M)F( M

)F(M

A Oz

AOy

AOx A O

Remarque : et sont perpendiculaires AF )F(M AO

4.2.2) Détermination Analytique, Produit Vectoriel

Le produit vectoriel d'un vecteur par un vecteur que l'on notera est le vecteur dont un représentant d'origine M est tel que :

U

V

VU

WDEFINITION :

- Son support est perpendiculaire au plan (S, , )

U

V

U

V

- Son sens est tel que le trièdre ( , , ) soit direct W

- Sa norme a pour valeur:

)V,Usin( . V U W

S

U

V

W

PROPRIETES :

- dans les cas suivants : 0W

- Dans un repère orthonormé direct ayant pour vecteur pour vecteurs de base , on a :

k,j,i

kji

ikj

jik

; ;

x

y

z

k

ji

U

V

• si et sont colinéaires

0U

• si

0V

• si

Expression analytique du moment dans un repère orthonormé direct R0 :

)F(M A S

SASoient a, b et c les coordonnées du vecteur dans R0. AFSoient X, Y et Z les coordonnées du vecteur dans R0.

AF SA AF

Pour obtenir le produit vectoriel (qui est le moment en S de ) on effectue les produits en croix comme ci-dessous :

)F(M AS AF SA =

=

a

b

cR0

X

Y

ZR0

b Z – c Y

=

R0

c X – a Z

a Y – b X

a X

La Force et le Moment ………

Dans la vie courante, est-ce que les actions mécaniques sont uniquement des forces ou des

moments ?

Non, car une action mécanique ne déplace (ou déforme) pas uniquement un solide :- en translation (cas de la force)

- en rotation (cas du moment)

Plus généralement une Action Mécanique peut engendrer des translations en même temps que des

rotations :

Une AM est donc une composition de forces et de moments.

Cette association s’appelle ……………

le TORSEUR

5) LE TORSEUR5.1) EXPRESSION DU TORSEUR

C'est la modélisation la plus générale pour une action mécanique. Elle permet, entre autres, de modéliser l’action mécanique transmissible par une liaison mais aussi les actions mécaniques de pesanteur, de pression et d’un ressort vues précédemment. DEFINITION :

Soient deux sous-ensembles 1 et 2 d'un mécanisme en liaison de centre A. L'action mécanique de 1 sur 2 est modélisée par l’association des vecteurs : et .

1/2AF A(1/2)M

L'ensemble s'appelle Torseur associé à l'action mécanique de 1 sur 2.

A(1/2)

A

MF

est appelée résultante du torseur.

1/2AF

est appelé moment résultant en A du torseur associé.

A(1/2)M

1/2AF A(1/2)Met sont les éléments de réduction du torseur au point A.

NOTATION :

)z,y,x(

1/2A1/2

1/2A1/2

1/2A1/2

AA(1/2)

A

A

1/2

N ZM YL X

M

F

où (A; , , ) représente le repère local associé à la liaison.

x

y

z

Coordonnées de la résultante

Coordonnées du moment résultant

Point de réduction (calcul) du torseur

Base de réduction (calcul) du torseur

TRANSPORT D’UN TORSEUR :

On a : au point de réduction A, et on veut le "transporter"

(le déplacer) au point B. On montre que le torseur, déplacé au point B, s'écrit :

A(1/2)

A

AM

F2/1

B(1/2)

B

BMF 2/1

AA(1/2)

A

BF BA M

F

AA(1/2)B(1/2)AB F BA M M et F Fdonc a on

5.2) TORSEURS DE QUELQUES ACTIONS MECANIQUES DEJA VUES

5.2.1) Torseur de l’Action Mécanique de Pression

C

x y

z F

C(f/p)C

oifluide/parM

F

5.2.2) Torseur de l’Action Mécanique de Pesanteur

G

P x

y

z

GG

pesanteurMP

5.2.3) Torseur de l’Action Mécanique d’un Ressort

X

Y

FD 8/6

D(8/6)

D8/6

DMF 6/8

)z,y,x(C0 00 F -0 0

)z,y,x(G0 P -0 00 0

)z,y,x(

D8/6

D0 00 00 X

5.3) TORSEURS DANS LES LIAISONS

z

x

x

1/2

Ax

y

y

x

A

x

y

A

x

A

y

x

A

y

x

z

yA

21

y

z

x

A

2

1

z

y

x

A

12

z

y

x

A1

2

y

x

z

A1

2

Nature de la liaison et repère

associé : R

Schémaspatial

Mvtspossibles

Torseur transmissible

Schémaplan

Torseurtransmissible

Cas d'un problème plan de normale

EncastrementR quelconque

     

Pivot d'axe (A, )      

Rotule de centre A      

Glissière d'axe (A, )

     

Pivot glissant d'axe (A, )

     

z

Rx Ry Rz

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 Rz

0 0 0

0 0 0

Tx 0 0

Rx 0 0

Tx 0 0

),,( zyx

1/2A1/21/2A1/2

1/2A1/2

AN ZM YL X

),,( zyx

1/2A1/21/2

AN -

- Y- X

),,( zyx

0 ZM YL X

1/21/2A1/2

1/2A1/2

A ),,( zyx

0 -- Y- X

1/21/2

A

),,( zyx

0 -- Y- X

1/21/2

A

),,( zyx

1/2A1/2

AN -

- Y- 0

),,( zyx

1/2A1/2

AN -

- Y- 0

),,( zyx

0 Z0 Y0 X

1/21/21/2

A

),,( zyx

1/2A1/21/2A1/2

1/2A

AN ZM YL 0

),,( zyx

1/2A1/21/2A1/2

AN ZM Y

0 0

5.3) TORSEURS DANS LES LIAISONS - SUITE

),,( zyx

1/2A1/2

1/2A

AN 0

0 YL 0

),,( zyx

1/2A1/2

AN -

- Y- 0

),,( zyx

0 00 00 X1/2

A ),,( zyx

0 -- 0- X1/2

A

),,( zyx

0 0M 0

0 X1/2A

1/2

A ),,( zyx

0 -- 0- X1/2

A

),,( zyx

0 Z0 00 X

1/2

1/2

A),,( zyx

0 -- 0- X1/2

A

z

1/2

y

y

A

z

x

2

1

x

A

y

x

x

y

zA

1

2

y

A

x

x

xX

y

z A

2 1

y

x

y

A

x

z

y

12

A

x

y

Nature de la liaison et repère

associé : R

Schémaspatial

Mvtspossibles

Torseur transmissible

Schémaplan

Torseurtransmissible

Cas d'un problème plan de normale

Appui plan de normale (A, )

Ponctuelle de normale (A, )

Linéaire rectiligne de normale (A, )

et d’axe (A, )

Linéaire annulaire d'axe (A, )

z

0 Ry 0

Tx 0 Tz

Rx 0 Rz

0 Ty Tz

Rx Ry Rz

0 Ty Tz

Rx Ry Rz

0 Ty 0

FINVous savez maintenant tout, ou presque, sur la Modélisation des

Actions Mécaniques